2020年最新人教A版高中数学必修3第一章算法初步1.3算法案例教案(1)

《算法案例》教案
——辗转相除法与更相减损术
教材：课标版高中《数学》必修第章第节
设计思路与指导思想：
与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容。

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。

现代社会，信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想成为现代人应具备的一种基本数学素养。

本节课是使学生在已经学习算法的初步知识基础上，探究典型的算法案例，理解其中所包含的算法思想，巩固算法三种表示方法。

通过让学生经历分析算法步骤、画出程序框图、编制程序的基本过程，给学生提供探索与交流的活动时间和思维空间，真正使学生经历问题的提出过程、感受知识的形成与发展过程、暴露问题解决的思维过程、体验成功的喜悦过程，培养学生发现问题、解决问题的能力、养成良好的学习习惯、掌握必备的数学知识，从而达到知识与技能、过程与方法、情感与态度三位一体的统一。

教学方法：
通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。

学法指导：
在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。

教学目标
（）知识与技能
.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

（）过程与方法
.由具体到抽象、观察探究，理解辗转相除法，体会使用算法解决问题的基本过程，体会算法思想，发展有条理思考和表达的能力，培养逻辑思维能力。

.在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。

（）情态与价值
.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法
解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。

（）教学重难点
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

学法与教学用具
教学基本流程：
设置疑问，寻求最大公约数新方法→设置情景，感知辗转相除法→描述证明，理解辗转相除法原理→讨论探索，设计辗转相除法算法→应用辗转相除法→理解更相减损术→对比两种
算法→课堂小结→布置作业。

教学过程：
问题设计意图师生活动
1.和的最大公约数是
可和的最大公约数怎么求？
感受有必要探求新
的求最大公约数的方法。

教师提出问题，学生回
答思考问题。

. 给一张长为30cm，宽为18cm的长方形纸，先将短边往长边上折，得到
一个正方形，从长方形上裁掉这个正
方形后继续将短边往长边上折，一直
到最后剩下来的是正方形为止，最后
得到的正方形边长是多少？把边长
换成和再试一试？设置情景，引出辗转相除
法，并让学生直观感受辗
转相除法的具体做法，
教师展示情境，学生回
答问题。

师生互动解答。

. 你能描述辗转相除法吗？为什么可以这样求出最大公约数？
给出辗转相除法的
算法自然语言表述，并引
导学生学会先归纳再论
证的数学研究方法。

教师引导，学生思考，回答。

. 用辗转相除法怎么求和的最大公
约数？
具体操作，巩固新知教师引导，师生互动解答。

. 辗转相除法的计算规律是什么？主要是什么逻辑结构？如何编程实现辗转相除法？引导学生分析算法，巩固
两种循环结构，体会算法
思想。

教师引导学生分析算法；学
生动手实践，列程序框图并
转化成程序语言。

. 练习：判断算法的输出结果会“识”当型循环语句描
述辗转相除法，并且会
“算”最大公约数。

教师提出问题，学生识别，并动手实践得出结果。

. 我国古代也有另一种方法：更相减损术，按照更相减损术的步骤，求与的最大公约数，并解释为什么。

引导学生理解更相
减损术。

教师展示算法，引导学生明
确步骤，然后尝试应用更相
减损术，并理解算理。

. 比较辗转相除法和更相减损术对比加深理解，把握
特点，以准确应用。

教师引导，学生思考，回答
. ①今天这节课主要学习了什么内容？②在问题的解决过程中，我们运用了哪些数学思想？及时归纳总结，加深知识
的理解和记忆。

教师引导学生总结。

. 作业：看书，完成目标、设计算法求两个正整数最小公倍数。

、选做题：想一想你还能不能设计出
其他其最大公约数的算法？编出程
序，并上机验证。

必做题让所有学生再
次巩固本节课所学内容；
选作题丰富算法的不唯
一性，可供学生提高之
用；
教师布置作业。

补充：辗转相除法求最大公约数的证明
证明：对于两个正整数 , (>), 如果 (≤<)即，则有（ , ）（ , ）. ( , )表示，的最大公约数 .
证明：设为的公约数，
则是的约数
∴存在正整数，使
又也是的约数
∴存在正整数，使
∵ ,
∴–(–)
∴也是的约数，
从而也是与的公约数
反之，如果是与的公约数，同理可证也是与的公约数
所以，与和与与有相同的公约数
因此也有相同的最大公约数（, ）(, )
学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。

但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴
儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出
来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自
己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。

明天会更好，相信自己没错的！我们一定要说积极向上的话。

只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，
于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。