2018届高考数学理一轮总复习检测：第九章 第二节 随机

第二节 随机抽样
【最新考纲】 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法．4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.
1．简单随机抽样
(1)设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法有两种：抽签法和随机数表法．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．
(1)先将总体的N 个个体编号．
(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n 是整数时，取k ＝N n
，当N n 不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k ＝N n
. (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l ≤k)．
(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k)，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k)，依次进行下
去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个数，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样是从总体中逐个不放回的抽取抽样．()
(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()
(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()
(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()
答案：(1)√(2)×(3)√(4)×
2．(2015·广东卷)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为() A．50B．40C．25D．20
解析：根据系统抽样的特点分段间隔为1 000
40＝25.
答案：C
3．(2016·西安调研)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体
C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本
解析：从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体．
答案：A
4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()
A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p2
C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3
解析：由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.
答案：D
5．(2015·福建卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45
的样本，则应抽取的男生人数为________．
解析：设男生抽取x人，则有45
900＝
x
900－400
，解得x＝25.
答案：25
两条规律
1．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平
性．若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是n N.
2．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列．
三个范围
1．简单随机抽样：总体容量较少，尤其是样本容量较少．
2．系统抽样：适用于元素个数很多且均衡的总体．
3．分层抽样：适用于总体由差异明显的几部分组成的情形．三点注意
1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当N n不
是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的．
A级基础巩固
一、选择题
1．(2015·四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是() A．抽签法B．系统抽样法
C．分层抽样法D．随机数法
解析：根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
答案：C
2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()
A．11B．12C．13D．14
解析：由840
42＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间
[481，720]的人数为720－480
20＝
240
20＝12(人)．
答案：B
3．某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车
间的产品中抽取了3件，则n＝()
A．9 B．10 C．12 D．13
解析：依题意得3
60＝
n
120＋80＋60
，故n＝13.
答案：D
4．(2015·陕西卷)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()
A．93 B．123 C．137 D．167
解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的教师人数为150×(1－60%)＝60，
该校女教师的人数为77＋60＝137.
答案：C
5．(2016·青岛二模)某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生()
A．1 030人B．97人C．950人D．970人
解析：由题意可知抽样比为
200
2 000＝
1
10，
设样本中女生有x人，则x＋(x＋6)＝200，
所以x＝97，该校共有女生97
1
10
＝970(人)．
答案：D
6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()
A．7 B．9 C．10 D．15
解析：由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为960
32＝30，抽取
的号码依次为9，39，69，…，939.落入区间[451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．答案：C
二、填空题
7．(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
解析：根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为
4
4＋5＋5＋6
×300＝60.
答案：60
8．网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．
解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽取人数的比例为1 6，
即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.
答案：57
9．(2014·广东卷改编)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中学学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．
解析：易知，样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200.
又样本中高中学生共有2 000×2%＝40(人)．
利用图②知，高中学生的近视率为50%.
因此所抽样本中高中学生的近视人数为40×50%＝20(人)．
答案：200；20
三、解答题
10．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是
0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
解：(1)∵
x
2 000＝0.19.∴x＝380.
(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人
数为：48
2 000×500＝12(名)．
B级能力提升
1．(2016·青岛模拟)将参加夏令营的600名学生编号为001，
002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()
A．26，16，8B．25，17，8
C．25，16，9 D．24，17，9
解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300得k≤103
4，因此在第Ⅰ营区被抽中的人数
是25；
令300<3＋12(k－1)≤495得103
4<k≤42，
因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17，第Ⅲ营区抽50－25－17＝8(人)．
答案：B
2．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
解析：由分组可知，抽号的间隔为5，
又因为第5组抽出的号码为22，
所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100，
则应抽取的人数为40
200×100＝20(人)．
答案：3720
3．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人
中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为5
39，求x，y
的值．
解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，
∴30
50＝
m
5，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7人：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为7 10.
(2)由题意，得10
N＝
5
39，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴
48
80＋x
＝
20
50＝
10
20＋y
，
解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40，5.。