云南省沾益县第一中学2016-2017学年高二下学期第二次质量检测数学(文)试题

沾益区一中高二（下）第二次月考文科数学试卷
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合{}{}|13,|2A x x B x x =-≤≤=>，则A
B 等于
A. {}|23x x <≤
B. {}|x 1x ≥-
C. {}|2x 3x ≤<
D.{}|x 2x > 2.已知i 是虚数单位，则()2i i -的共轭复数为
A. 12i +
B. 12i --
C. 12i -
D. 12i -+ 3.已知角α的终边经过点()1,1P -，则cos α的值为
A. 1
B.1-
C. 2-
D. 2
4.函数()()
lg 12
x f x x -=
-的定义域是
A. ()1,2
B. ()()1,22,+∞
C. ()1,+∞
D.[)()1,22,+∞
5.设x 为实数，命题2:,210p x R x x ∀∈++≥，则命题p 的否定是
A. 2
:,210p x R x x ⌝∃∈++< B. 2
:,210p x R x x ⌝∃∈++≤ C. 2
:,210p x R x x ⌝∀∈++< D. 2
:,210p x R x x ⌝∀∈++≤ 6.按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂， 则,a b 的位置关系是
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D.平行或异面 8.已知平面向量()()2,3,1,a b m ==，且//a b ，则实数m 的值为
A. 23-
B. 23
C. 32-
D. 32
9.若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是
A. 三棱锥
B. 四棱锥
C. 四棱台
D.三棱台
10.若函数()()()2f x x x a =-+是偶函数，则实数a 的值为 A.2 B. 0 C. 2- D.2± 11.函数()32x f x x =+的零点所在的一个区间为
A. ()2,1--
B.()1,0-
C. ()0,1
D.()1,2 12.函数()sin 3f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调递增区间是 A. 5,,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ B. 52,2,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
C. 5,,6
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ D. 52,2,66k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.双曲线229436x y -=的离心率为 .
14.函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点的坐标为 .
15. 设变量,x y 满足约束条件1,
10,10,x x y x y ≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则目标函数3z x y =+的最大值为 .
16. 已知实数1m n +=，则33m
n
+的最小值为 .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C
sin cos A a C =. （I ）求C 的值；
（II
）若c
，b =ABC ∆的面积．
x
时间（分钟）
0.00360
80
40
20
100
0.002
频率/组距
0.025
图4
18.（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：13a =，且1413,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
19．（本小题满分12分）
某中学随机抽取50名高二学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为
[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
（Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；
（Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知
,[40,60)[80,100]m n ∈⋃，求事件“||20m n ->”的概率.
图3
B 1
C 1
A 1
D
C
B
A
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点． (Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；
(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1
是正方形，且1A D =求多面体11CAC BD 的体积.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4
，离心率等于2
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值．
图3
22.已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=在点处取得1-=x 极大值为2. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值．
（注：|)()(||)()(|min max 21x f x f x f x f -≤-），
沾益区一中高二（下）第二次月考数学试卷答案
一、选择题： 答案1—5 ACCBA 6---10 CDDBA 11----12 BD 二、填空题： 13、
2
13
14、（2，4） 15、7 16、32 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，
sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：
sin sin a A c C ==
-----------------3分⇒tan C =,----------------4分 ∵0C π<< ∴6
C π
=
.-----------5分
（II ）解法1：∵c =，b =
由余弦定理得：2
2
7122
a a =+-⨯
，------------7分 整理得： 2
20a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）------------9分
∴1a =，由1sin 2ABC S ab C ∆=
得ABC ∆的面积111222
ABC S ∆=⨯⨯=．-----12分
【解法2：由c =结合正弦定理得：sin
14A C =
=，---------6分
∵a c <， ∴A C <, ∴cos A ==,-------7分 ∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+
sin cos cos sin A C A C =+12=-----------9分 由正弦定理得：sin 1sin b A
a B
=
=，---------------------10分
∴ABC ∆的面积11122ABC S ∆=
⨯⨯=．----------------------12分】 18. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题可知2
1134a a a =，
E
B 1
C 1
A 1
D
C
A
即()()2
331233d d +=+，解得2d =， 则()31221n a n n =+-⨯=+． （2）解：因为11n n n
b a a -=
，所以1111
()(21)(21)22121
n b n n n n =
=--+-+ …8分
19、解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ⨯+⨯++=得0.017x =；-------2分 （Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1⨯+=，-----3分
不少于1小时的频数为12000.1120⨯=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分
（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033⨯⨯=人，设为,,A B C ； -6分 成绩在[80,100] 的人数为50200.0022⨯⨯=人，设为,x y .------7分 若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；
若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；------------------8分
若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，---------------10分
事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P （||20m n ->）=
63
.105
=-----------------------12分 20.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分
D 1
B 1
C 1A 1
D
C
B
A
E
H B 1
C 1
A 1
D
C
B
A
【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1ACD ∴1//BD 平面1ACD ,---------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD -------------4分 ∵1
111BD C D D = ∴平面1
ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C
∴BC 1∥平面A 1CD. ---------------6分】 (Ⅱ)
222115AD +A A =A D = 1,A A A D
\^------7分 又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^， 又AD
BC B = 1A A \^面ABC --------9分
（法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ------------10分
1111111
33ABC ACD A B C AA S AA S BB S ∆∆∆=⨯-⋅⨯-⋅⨯
112ABC AA S ∆=
⋅
⨯2
112222=⋅⋅=即所求多面体11CAC BD
分 【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ， ∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C 平面111A B C 11B C =
∴1A H ⊥平面11BB C C ,-------------10分
∴所求多面体的体积V =1111
A ACD A ACC V V --+1111
133
BCD BCC S AA S A H ∆∆=⋅+⋅
11114243232
=⨯⨯+⨯⨯=分】 21.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b
+=>>--------------------1分
由题意22224a b c a c a
⎧
⎪=+⎪⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
，解得2,a b =----------------4分
所以，椭圆的方程为22
142
y x +=．---------------5分 （Ⅱ）由椭圆的方程22
142
y x +=
，得(1P ．---------------------6分 由题意知，两直线P A 、PB 的斜率必存在，设P A 的斜率为k ， 则P A
的直线方程为(1)y k x =-．--------------------7分
由22
(1)
124
y k x x y ⎧-=-⎪
⎨+=⎪⎩
得：222(2)2))40k x k k x k +++-=．----8分 设A (x A , y A )，B (x B , y B )
，则22
212A A k x x k --=⋅=+，---------------------9分
同理可得22
2
2B k x k +-=+----------10分
则B A x x -=
28(1)(1)2B A B A k y y k x k x k -=----=+． 所以直线AB
的斜率A B
AB A B
y y k x x -=
=-为定值．-----------------12分
22、解：(1) f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝2，f′（－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝2，3a －2b －3＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝0，
所以f(x)＝x 3－3x.
(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.
因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4.
所以c的最小值为4.。