高中数学必修内容复习 不等式 新课标 人教版

必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<。

2.恒成立的不等式：一般地，∀R b a ∈,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。

说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =。

3.等式的性质：性质1：若a =b ，则b =a ;性质2：若a=b,b=c,则a=c;性质3：若a=b ，则a±c=b±c;性质4：若a=b ，则ac=bc;性质5：若a=b ，c≠0，则cb c a = 4.不等式的性质：性质1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

性质2：若a b >，b c >，则a c >。

不等式的传递性。

性质3：若a b >，则a c b c +>+。

性质4：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。

性质5：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。

性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。

性质7：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且。

2.2 基本不等式1. 如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；（2）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数。

不等式章末复习一：知识脉络：1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m ＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B ＞0时，①Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；②Ax ＋By ＋C ＜0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到．二：典型例题：例1(1)解不等式：21212x x -<+-≤；(2)解不等式()112a x x ->-(a ≠1)． 解：(1)原不等式等价于22211212x x x x ⎧+->-⎪⎨+-≤⎪⎩ 即2220.....................230................①②x x x x ⎧+>⎪⎨+-≤⎪⎩ 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得()()310x x +-≤，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为()1102a x x -->-，即()()2101a a x x a -⎛⎫-->* ⎪-⎝⎭， ①当a ＞1时，(*)式即为()2101a x x a -⎛⎫--> ⎪-⎝⎭，而22011a a a a ---=<--，所以221a a -<-，此时x ＞2或21a x a -<-. ②当a ＜1时，(*)式即为()2101a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，而2211a a a a --=--. 若0＜a ＜1，则221a a ->-，此时221a x a -<<-； 若a ＝0，则()220x -<，此时无解；若a ＜0，则221a a -<-，此时221a x a -<<-. 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭. 例2.设不等式2220x ax a -+++≤的解集为M ，[]1,4M ⊆，求a 的取值范围 解：分离自变量与参变量得()22221220x ax a x a x -+++=-+=≤，故错误！未找到引用源。

一 . 不等式知识重点1. 两实数大小的比较ababab a b 0abab2.不等式的性质： 8条性质 .aa2 2b b 222 ab1( ab )22a2整式形式abb23.基aba 2b 2本不 2等式abab 定理2根式形式2 ( a 2b 2 )ba分 式 形 式ba 2 ( a ,b 同 号 ）ab1a2a倒数形式aa12aa4.公式：a 12a ba 2b 2ab3.解不等式xb(a0)(1) 一元一次不等式 ax b(a 0)a(2) 一元二次不等式：xb(a0)a鉴别式△>0 △=0△ <0△ =b 2- 4acy=ax 2+bx+c的图象yyy(a> 0)x 1 Ox2xxOO x 1xax 2+bx+c= 0 有两相异实根有两相等实根没有实根x 1, x 2 (x 1< x 2)b(a >0) 的根x 1= x 2= 2aax 2+bx+c> 0 {x|x<x 1,或 {x|x ≠b } R2a(y> 0)的解集x>x 2}ax 2+bx+c< 0 {x|x 1< x <x 2 }ΦΦ(y <0 )的解集一元二次不等式的求解流程 ：.一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根 .三求：求对应方程的根 .四画：画出对应函数的图象.五解集：依据图象写出不等式的解集.(3)解分式不等式：f ( x)f (x) g( x)g( x)f ( x)f (x)g(x)g(x)g( x)高次不等式：( x a 1 )( x a 2 ) ( x a n )(4)解含参数的不等式： （1） (x –2)(ax –2)>0（ 2）x 2 –(a + a 2)x + a 3 >0 ； （ 3）2x 2+ ax +2 > 0 ；注:解形如 ax 2+bx+c> 0 的不等式时分类讨 论的标准有： 1、议论 a 与 0 的大小； 2、议论⊿与 0 的大小； 3、议论两根的大小；二、运用的数学思想：1、分类议论的思想；2、数形联合的思想；3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒建立的问题：.1、函数2、分别参数后用最值3、用图象例 1．已知对于x 的不等式x2(3 a2 )x 2a 10在(–2，0)上恒建立，务实数 a 的取值范围．例 2．对于x的不等式y log 2 ( ax 2ax1)对全部实数 x∈R都建立，求 a 的取值范围.x例3.若对随意x0,a恒建立，x23x 1则 a的取值范围.(5)一元二次方程根的散布问题：方法：依照二次函数的图像特点从：张口方向、鉴别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转变为一元二次不等式组求解 ..二次方程根的分布问题的讨论：f (k )0y1．x1< x2< k b kk2a x10O xx2yf (k)0．1< x2b k2k < x2ax1O x2xky3．x1< k < x2 f (k) 0kx1O x x.4．k1 < x1 < x2 < k25．x1 < k1 < k2 < x2 yyk1k2Ok1k2x1O x2x x1x2xf (k1 )0f (k2 )0k1bk2 2a6．k1< x1< k2< x2< k3f ( k1 ) 0f ( k2 ) 0f ( k2 ) 0f (k1 ) 0f (k2 ) 0yO k2x2k1x1k3x4解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值。

说课标，说教材说课稿人教版高中数学必修5第三章《不等式》各位评委、各位老师，大家好：今天我“说课标、说教材”的内容是人教版高中数学必修5第三章《不等式》。

下面我将从说课标、说教材、说建议三大方面面进行研说。

其中说课标包括数学课程的总体目标、必修五《不等式》课程目标、必修五《不等式》内容标准。

说教材包括教材的编写特点、教材编写体例、目的、教材的内容结构及知识与技能的立体式整合一、说课标（一）、数学课程的总体目标高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

具体目标如下：1、获得数学基础知识、基本技能、基本方法、基本实践活动2、培养学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理的能力；培养应用意识、创新意识3、提高兴趣、树立信心、树立辩证唯物主义世界观这三个目标分别体现了数学课程在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观上对学生提出的要求。

（二）、必修五《不等式》课程目标：1、知识与技能：了解不等式（组）的实际背景。

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式二元一次不等式组模型的过程。

探索并了解基本不等式的证明过程。

会用基本不等式解决简单的最值问题。

2、过程与方法：通过本章学习培养和发展学生勇于自主探索，合作学习，勇于创新精神，体会事物之间普遍联系的思想。

3、情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，拓展学生视野，培养良好的学习习惯。

（三）、必修五《不等式》内容标准：在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

二、说教材：（一）、教材的编写特点1、关注数学情境的建立，注重兴趣培养。

第三讲不等式一、核心要点1、不等式的性质(1)不等式的基本性质：(同向不等式可加不可减，可乘不可除) (尽量减少加和乘的次数)A、对称性：a . b：= b ：：：a ；B、传递性：a . b,b . c：= a . c；C、可加性：a .b：=a・c.b・c ；D 可乘性：a . b, c 0= ac . bc; a b,c：：：0：= ac ::: bc ；E、加法法则：a b,c a c b d；F、乘法法则：a • b . 0,c . d . 0 = ac . bd ;G 乘方法则：a b 0= a n b n( n N, n_ 2);H、开方法则：a b O= ：a ■n b (n N , n _ 2).(2)比较两数或两式的大小方法：(作差法步骤：作差一变形一一定号)A、作差法：对于任意a,b，① a -b 0：= a b :② a -b 二0= a =b :③ a -b ：：0= a ：：b ；a a aB、作商法：设a 0, b . 0 ,则① 1 ：= a • b •，② a = b :③• 1 a ：：： b .b b b备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧；备注2:对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：a3-b3二(a -b)(a2 ab b2)；平方和公式：a3b3 = (a b)(a2 - ab b2).2、不等式的解法；(1 )一元二次不等式ax bx c 0(a 0)及ax bx 0(a - 0)的解法：(a ：：：0 转化为a 0)A、若方程ax2bx 0的二0且两实根分别为％,x2(x^：x2)，则不等式ax2bx c 0的解集为｛x|x ：：捲或x - x2｝，不等式ax2bx c ::: 0的解集为｛x|x^：x x2｝；B、若方程ax2 bx ^0的厶-0且两相等实根分别为x^ x2，则不等式ax2 bx c 0的解集为｛x |x= x1｝，不等式ax2 bx c ：：：0的解集为「；C、若方程ax2bx ^0的: 0，则不等式ax2bx c 0的解集为R，不等式ax2bx 0的解集为「.(2)分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解(具体见模块) ；(3)高次不等式的解法：序轴标根法(过程见模块) ；(4)无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式(具体见模块) ；(5)绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法(具体见模块)3、基本不等式：如果a,b R，则——-ab (当且仅当a = b时取“=”)(一正二定三相等)21a b(1)特例：a 0, a ・一_2 ；2 ( a,b 同号)•ab a⑵变形：① a 2b 2_(a b)2弋 ab ^2『‘③ ab J a b)2；2 2 2（3）扩展：2兰Uab 乞 _ <Ja +b（a,^ R ）1 +12 \ 2 a b4、 均值定理：已知x, R +2（1） 如果x y =S （定值），则xy 乞（彳y）^—（当且仅当X = y 时取“=”）“和定积最大”2 4（2） 如果xy =P （定值），贝U x • y _2「xy = 2... P （当且仅当x = y 时取“二”）“积定和最小” 5、 判断二元一次不等式（组）表示平面区域的方法一“选点法”：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选 原点. 6、 线性规划中常见代数式的几何意义：（1） . x 2y 2表示点（x,y ）与原点（0,0）之间的距离；（2） ... （x-a ） （y -b ）表示点（x, y ）与点（a,b ）之间的距离; （3） y表示点（x, y ）与原点（0,0）连线的斜率；x （4） yb 表示点（x,y ）与点（a,b ）连线的斜率.x-a二、考点突破考点一：不等式的基本性质: 题型一：不等式的性质：例1、如果a, b, c 满足c ::: b ::: a 且ac ：：： 0 ,那么下列选项中不一定成立的是（ ）练1：设0 ：：： b ：：： a ：：： 1，则下列不等式成立的是（ ）baA 、ab :: b ：： 1B log 1 b log 1 a ： 0C 2 : 2 :: 22 2练2：已知a,b,m R •，并且a ::b ，那么一定成立的是（）Aam a… am a^a —maA 、BCb m bb m b b-mb题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式： 例2、若a, b 0且a = b ，试比较a 3b 3与a 2b ' ab 2的大小. 解：由于(a3b 3) _(a 2b ab 2) = (a b)(a 2 —ab b 2) 一 ab(a b) = (a b)(a 2 一 2ab b 2) = (a b)(a 一 b)2又 a,b .0且 a b ，所以(a b)(a -b)20，所以 a 3 b 3 a 2b ab 2.（备注：调和 < 几何空算术空平方）A 、 ab acB c(b - a) 0C cb 2 :: ab2D 、ac(a-c)：：0D 、 a 2：： ab ：： 1练3：若x ::: y ::: 0,试比较(x2• y2)(x-y)与(x2 -y2)(x • y)的大小.答案：(x2 y2)(x -y) -(x2 -y2)(x y)二(x2 y2)(x - y) -(x- y)(x y)2二-2xy(x - y)由于x ：：： y ::: 0，所以x - y ::: 0且-2xy ：：： 0 ,故一2xy(x - y) . 0，所以(x2 y2)(x _ y) (x2 - y2)(x y).练习4：设a 0, b 0且a ^b，试比较a a b b与a b b a的大小.a b a&b b b b _a答案：一b a = (—) (_)(—)，因为a 0,b 0 且a = b .a b b a a若a b，0 ：：：b：：：1,b—a ：：：0 ,所以(b)b」1，故a a b b- a b b a；a a若a ::: b，b 1,b -a 0，所以(b)b-a1，故a a b b- a b b a.a a综上所述，a a b b a b b a.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围：例3、( 10 辽宁理)已知-1 ：：：x • y ::: 4 且2 ：：： x - y ：：： 3，则z = 2x -3y 的取值范围是(3,8)a ■b = 2 1 5解析：令z =2x -3y =a(x • y) • b(x- y)，得，解得a ,b =，a -b - -3 2 21 5即z = 2x -3y = (x y)八一(x - y).2 21 1 5 15由-1 ：： x y ::: 4,2 ：： x - y ：： 3，得- 2 (x y) ,5 (x - y) ，2 2 2 2所以3 ：：：2x -3y ：：：8，故z =2x-3y的取值范围是(3,8).练习1 :已知1 < a b < 2且2 ::: a -b ■ 4，求2a - 3b的取值范围x + y = 2解析：设2a +3b =x(a +b) + y(a -b) =(x + y)a +(x- y)b，所以丿，解得*、x-y = 3 ” 5 x =—215 5 1 15 1 1所以—_（a b） :：: 5, -2 ：：： - （a —b）：：： -1 .所以一一（a b） - （a —b）：：： 4 ,即:：:2a 3b ：：： 4 ,所以22 2 2 2 2 212a 3b的取值范围是（，4）.2练习2：设f (x) =ax2• bx，且1 _ f(_1) _2,2 _ f (1) _4，求f (-2)的取值范围."m + n =4于是得丿，得m=3, n=1.所以f (―2) =3f (—1)+ f(1).因为1< f(—1)兰2,2 兰f(1)兰4 , m - n = 2所以5 E3f (-1) f(1)叮0，故5< f (-2)乞10 .x 2x3练习3：（10江苏）设x,y为实数，满足3乞xy2乞8,4 9，则飞的最大值是. 27y y3 2设x4 =(xy2)m (X )n，y y 化简得3x m 2n 2m_n4二x y y「m + 2 n = 3 'm = -1』，得丿2m - n = -4 n = 25所以原不等式的解集为{x |x -1或x . 6}.2 2 2 1(2) 4x2—4x+1 兰 0，即(2x —1)2 兰 0 ,又方程(2x —1)2=0 的根为 x = ^.2 1 所以4x 2-4x • 1 _ 0的解集为{x | x }.2(3) 由-X 2• 7x 6，得 x 2-7x • 6 ：：： 0，而 x 2-7x • 6 = 0 的两个根是 x = 1 或 x = 6. 所以不等式x 2-7x 6 ：：： 0的解集为{x |1 ：：： x ：：： 6}. (4)原不等式可化为 x 2- 6x ：：：0，即(x-3)2：：： 0 ,所以不等式的解集为 门. ［题后感悟］解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1) 通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正.(2) 对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3) 求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根. (4) 根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5) 根据图象写出不等式的解集 . 练1:求下列不等式的解集： (1) -2x 23x 2 ：： 0 ； (2) -2x 2x -6 ：： 0 ；(3) 4x 2 4x 1 0 ；(4) x 225 乞 10x .3 23x4=(xy 2)4(x)2[2,27]， 所以一4的最大值是27 .y yy考点二、一元二次不等式及其解法： 题型一：一元二次不等式的定义：例1、下列不等式中，一元二次不等式的个数为（①（m 1）x 2「3x 1 ：：0 ； ③-x 25x 6 _0 ； A 、1B 2题型二：简单一元二次不等式的求解： 例2、求下列一元二次不等式的解集： （1） x 2-5x 6 ； （3） - x 2 7x 6 ；x② 2 -x 2 ；④(x a)(x a 1) ：： 0.C 3(2) 4x 2- 4x 1 乞 0 ；2解：(1 )由 x 2-5x 6，得 x 2-5x -6 0.又方程 x 2-5x - 6 = 0 的两根是 x - -1 或 x = 6，练2：设集合A={x|(x-1)2：：：3x • 7}，则A Z中有 ______ 个元素.6练3：解下列不等式：(1)x22x -15 0 ； (2) x22x-1 ； ( 3) x2：：2x—2.(1 )当a 0时，x1 x2，不等式的解集为{x|-2a ：：： x ：：： a}.(2)当a = 0时，原不等式化为x2：：： 0，无解.(3)当a ::: 0时，x( ：：：x2，不等式的解集为｛x| a ：：：x ：：：-2a｝.综上所述，原不等式的解集为： a . 0时，｛x| _2a ：：：x ：：：a｝；a=0 时，：.：』；a ：：：0时，.练42 23 2(1)x -(a a )x a 0 ；(2) ax -2(a 1)x 4 0.答案：(1 )原不等式x2 _(a+a2)x+a3A O可化为(x — a)(x— a2) >0.①当a ：：：0时，a ：：：a2，所以原不等式的解集为｛x | x a或x - a2｝；②当a =0时，a = a2，所以原不等式的解集为｛x| x R,且x = 0｝；③当0：：：a：：：1时，a a2，所以原不等式的解集为｛x|x：：：a2或x a｝；④当a二1时，a=a2=1，所以原不等式的解集为｛x|x R,且x = 1｝；⑤当a >1时，，所以原不等式的解集为｛x|xca或x>a2｝.(2)I)当a = 0时，原不等式可化为-2x • 4 • 0 ,解得x ：：：2，所以原不等式的解集为｛x|x ：：：2｝；一2n)当a 0时，原不等式可化为(ax-2)(x-2) • 0 ,对应方程的两根为x1,x2=2.a2 2①当0 :：: a :：: 1时，2，所以原不等式的解集为｛x | x •或x ：：：2｝；a a2②当a =1时，2，所以原不等式的解集为｛x|x=2｝；a③当a A1时，2<2，所以原不等式的解集为｛x | x >2或xc 2｝.a a2 川)当a ：：：0时，原不等式可化为(-ax - 2)(x -2) ：：：0 ,对应方程的两根为人=2 , x2 = 2 ,a2又a < 0 ,所以原不等式的解集为｛x| x ：：：2｝.a练5：解不等式mx2-(m-2)x-2 0.2答案：mx -(m-2)x-2 0= (mx 2)(x -1) 0(1 )当m =0时，原不等式转化为2(x-1) 0，即x-1・0 ,得不等式的解集为｛x|x 1｝.2 2(2)当m・0时，将原不等式两边同时除以m可转化为(X，2 )(^1) 0，因为- 2：：：0：：：1，所以不等式的m m 、2解集为｛x | X…或x -1｝.m2(3)当m：：：0时，原不等式转化为(x )(x_1)：：：0, m①当m - -2时，解集为门;2 2②当—2：：：m：：：0时，一21，所以不等式的解集为｛x|1 ：：： x ：：： - 2｝；m m2 2③当m ：：：一2时，一2：::1，所以不等式的解集为｛x| - 2 :：: x :：: 1｝.m m考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：2例1、已知不等式ax (a -1)x a -1 ：：：0对于所有的实数x都成立，求实数a的取值范围解：若a = 0，则原不等式可化为-X 一1 ：：： 0，即x . 一1，不合题意，故a = 0 .令f (x)二ax2• (a -1)x a -1，因为原不等式对任意R都成立，所以二次函数 f (x)的图像在x轴的下方a c 0 1现(-1)<0，即|(a-1)(3a+1)>0，所以a<「，故(a的取值范围为练1：若关于x的不等式ax22x 2 ■ 0在R上恒成立，求实数a的取值范围答案：当a -0时，原不等式可化为2x +2 A0，其解集不为R，故a -0不满足题意，舍去；当a H0时，要使原不等式的解集为R，只需丿a>°2，解得a>丄.苫=2 —4x2ac0 21综上，所求实数a的取值范围为J；).练2：若关于x的不等式(a2 -1)x2 -(a-1)x-1 ：：：0在R上恒成立，求实数a的取值范围答案：(1 )当a2-1 =0，即a = 一1 时,①若a =1，则原不等式可化为-1 ：：：0，恒成立，1②若a = -1，则原不等式为2x -1 ：：： 0，即x —，不符合题目要求，舍去22(2 )当a -1 =0，即a -1时，原不等式的解集为3解得一■- a ::: 1厂3).a ：：：0 且厶=(a 一1)2R的条件是；2 -1^02 2=(a—1) 4(a 一［题后感悟］不等式恒成立问题方法总结：53综上所述，当… a ＜1时，原不等式的解为全体实数.5练3：若不等式(a-2)x2• 2(a -2)x-4 ：：： 0对x ・R 恒成立，求实数a 的取值范围答案：因为a =2时，原不等式为 —4＜：0，所以a = 2时成立.当a H 2时，由题意得＜ “°，即」苫＜0 2，解得—2 < a c2.4(a_2)2 _4(a_2)(a_4) <0综上两种情况可知 -2 ::: a 乞2.题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系:ax 2bx 0的解集为｛x | -1乞x 空2｝，求不等式 3 1 1c解：方法一：由 ax 2+bx +c 二0 的解集为｛x|—-Wx 兰2｝知 av0，又(一一斥 2=— c0，贝V c a 0 .3 3 a1 2,小b 5 b 5c 2 5 2 又…,2为方程ax ，bx ，c=0的两个根，所以…-，即 =…，又 ，所以b a, c a .3 a 3 a 3 a 3 332 2 5 2 2此时不等式变为 (- a)x •(- a)x a ：： 0，即 2ax 2 5ax -3a 0，又因为 a ：：： 0，所以 2x 2■ 5x -3 ：：： 0 .3 31所以所求不等式的解集为 ｛x | -3 ：：： x ：：： ｝.21 b 1 c方法二：由已知得 a ：：： 0且(-)2 ,(- )2 知c 0.3 a 3 ab a设方程cx 2• bx • a = 0的两根分别为 捲必，则捲• X2 ,捲冷：c c21所以不等式cx bx 0(c - 0)的解集为｛x | -3 ：：： x •: .2［题后感悟］方法总结： (1)给出一元二次不等式的解集， 则可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知 a,b,c 之间的关系;1 1练4：已知不等式ax 2 bx 2 0的解集为｛x | x ｝，求2x 2bx 0的解集2 32 11 11 2答案：因为ax bx 2 0的解集为｛x| - ：:: x ：：： ｝，所以-，是方程ax bx 0的两实根.例2、若不等式其中 —=c1 (J)21(-3)2 31223 2 3b 2a，解得丿 a所以 2x2bx a : 0 = 2x 2 -2x -12 ： 0= x 2 -x -6 ：： 0= (x -3)(x 2) ：： 0= -2 ：： x ：3.则不等式2x 2bx a ＜0的解集为｛x| 一2 ：：： x ：：： 3｝.由根与系数的关系得丄12 3 1 1x —题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，杀U 车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距 离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速40km/h 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了 •事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ,又知甲、乙两种车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/ h ）之间分别有如下关系2 2s 甲 =0.1x 0.01x , S z = 0.05x 0.005x .试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据.明甲车的车速超过 30km/h ，但根据题意刹车距离略超过 12m，由此估计甲车不会超过限速40km / h .对于乙车，有 0.05x+0.005x 2 >10，即 x 2+10x —2000 a 0.解得x 乞40或x £ -50（舍去）.这表明乙车的车速超过 40km/h ，超过规定限速 [题后感悟]（1）解不等式应用题，一般可按如下四步进行：① 阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； ② 引进数学符号，用不等式表示不等关系 （或表示成函数关系）；③ 解不等式（或求函数最值）;[ ④ 回扣实际问题.考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法： 题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式f(x) ；f(x) g(x) AO g(x) .g(x)式 0x —1例1、（12重庆理）不等式0的解集为（ ）2x+11 1 1 1A 、（-一,1]B [ ,1]C （-：：， ） [1, ；）D （-：：， ] [1,；）222 2x —2练1:不等式1的解集是 .{x| x ：：： -2}x +2解析： -——>1= -— 一1 >0= ―— >0= x + 2 £ 0= x £ -2.x 2 x 2 x 2(1)仙 0= f(x) g(x) 0; g(x)(2) 3 ：： 0= f(x) g(xh ：：0 ;g(x)(3)f(x) g(x)EO g(x) =0(1)J f (x) a J g (x)二“g(x^0、f(x)>g(x)；(2) /f ^>g(x)二“f f(x) >0f (x) _ 0 或g(x)_02f(x) [g(x)]例3、解不等式.5-2x • x-1 •一心 或n ：x —1 v0解I ：卜今，解n ： J[x <1X 仝2 x^1 ，即 XV1 或 1Exv2，所以 x c 2 ,-2 vx £2则原不等式的解集为{x|x £2}.解：移项 J 1 —x 兰卞3x —2，则*‘1-x^0 、3x_2》1_xX 」33 = , m ， x — 3 44x —2练4：不等式x 2+3x+2题型三：无理不等式的解法： （化无理不等式为有理不等式）X +1练2：不等式岂3的解集是解析:X 1亠x 1亠0= 5亠2X -1亠XXX X〔(2x-1)x" 门十 1」=x < 0或x>—-XH 02题型二：高次不等式的解法：（序轴标根法）序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿（前提：保证因式分解后 X 的系数为正）例 2、解不等式：（X 2）（x 1）（x _1）（x 一2）乞0解：设y =（x • 2）（x 1）（x _1）（x _2），则y = 0的根分别是_2,_1,1,2，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是 {x| -2乞x 乞-1,或1^x 乞2}.练3： （10全国n ）不等式x□ .0的解集为（ X -1A 、{x| x ：： -2或x 3}B 、{x | x ： -2 或 1 ：： x 3}C 、{x| -2 ::x :: 1 或x 3}D {x| -2 ： x :: 1 或1 ：： x 3}-0的解集是 (-2,-1) (2,：：){x | x ：： 0X解：原不等式等价于I ：练5：解不等式一1 -x -・3x-2岂0的解集.5-2x 一0 *x-130,3所以原不等式的解集为⑴/兀汀.练6：解不等式(1) ... 2x2 -3x 1 1 2x ； (2) .. 2x2—3x • 1 ：：： 1 • 2x.”2x2-3x +1 X0(2 )原不等式等价于<1+2x>0 u *2 22x2-3x +1 c(1 +2x)2x A1或X兰一21 1x>一一，即0 v x 兰一或x X 1,2 2x<--或X A 01所以原不等式的解集为{x|0cx兰一或x31}.2考点五：绝对值不等式的解法：(选修4—5)2 2(1)|x| ：：a(a 0)= x :: a a x a；(2)| x | a(a 0) = x2 a2 = x a或x ：-a ；(3)| x -m | ：： a(a 0) ：= -a ：： x 一m ：： a m 一a ：：： x ：： m a ；(4)| x — m | a(a 0)：= x — m a或x 一m ：： -a= x m a或x m 一a.2例1、(08四川文科)不等式|x -x|：：：2的解集为( )A、(-1,2) B (-1,1) C (-2,1) D (-2,2)解析：|x2-x|：2 二-2 ：X2-X：2二x2-X 2 0且x2-x-2 0：= x R且-1 ：x：2二x (-1,2).练1：（04全国）不等式1 <| x 1p： 3的解集为（）A、(0,2) B (-2,0) (2,4) C (-4,0) D (-4厂2) (0,2)解析：1 ：： | x 1| ：： 3 ：= 1 ：： x 1 ：： 3或一 3 ：： x 1 ：： — 1 ：= 0 ：： x 2或一 4 ：： x ：： —2.练2： (07广东)设函数f(x) =|2x -1| x 3，若f(x)乞5，则x 的取值范围是 . [-1,1]解析：f (x)乞5= 12x -1| x 3 乞5= 12x _1|乞 _x 2= x _2 乞 2x _1 岂 _x 21—1u —1兰X 兰1 X 兰1练3: (09山东)不等式|2x_1|_|x_2|：：：0的解集为 .(-1,1)解析：|2x-1| -|x —2|：：：0二 |2x_1|：：：|x_2|二 |2x —1|S ：|x —2|2二(2x — 1)2— (x— 2)2：： 0练4：若不等式|x_4| ・|x_3|.a 对一切实数x 恒成立，求实数 a 的取值范围 解：不等式|x-4|・|x-3|.a 对一切实数x 恒成立，由绝对值的几何意义可知，|x-4| • |x -3|表示数轴上点x 到3和4的距离之和，那么对任意x R 恒成立，显然(|x-4| |x-3|)min =1，又(|x-4| |x-3|)min a ， 故a ：：：1，所以实数a 的取值范围是(-：：,1).考点六：基本不等式和均值定理： (一正二定三相等)题型一：通过加减项配凑成基本不等式：1例1、已知X 1，求x的最小值以及取得最小值时x 的值.X -1 1 1 1解：由 x 1，得 x -10，则 x(x -1) --- ----------------- ：1 _ 2 (x -1) ：1 =3.x -1x-1(X-1)1当且仅当x-1 ： —— 时取“二”号.于是x=2或者x = 0 (舍去)X -1答：最小值是3，取得最小值时X 的值为2.51练1：已知x ，求函数y =4x-2的最大值.4 4x —5「x-2 兰 2x-1|2x —1 兰—5 1 1解：由x ；：—，得5 —4x 0，y = 4x — 2 (5 —4x ：- ) 3，44x—5 5 — 4x1工2 ；(5 —4x) ■—1—=2 (当且仅当5—4x= —由―5-4X时，即x = 1 时取“=”),(5-4x) 5-4x得y乞-2 • 3 = 1，所以函数的最大值为1.2 /ax x 1x 16 ；x 2*1练3:求y 2的最大值.x +4解：令t 「x2・1(t_1)，则y = 26t — —6—「一6= .3，当且仅当t=3，即x=_、3时取等号，故y 的 t 3 t . 3 2 3 t解：因为 x A 0, y >0，丄 + 9=1，所以 x + y = (x + y)Q +9)=1 + 弐 + 丫+ 9 兰 10 + 2；岂上=16，当且 xy x y y x \ y x仅当9x 二y，即x =4, y =12时，x y 的最小值为16.y x1 4练4：已知a“bX a+b=2，则y 蔦+ b4的最小值是1 44a b 4a b 解析：由 a 0,b0, a ^2，且 2y = (a • b)(—，—) = 1 亠 亠 亠4_5,2「一 —9 (当且仅当a b b a b a4a b149厂了，即“羽时取等)，则y=；u 的最小值为9.题型三：转化与方程消元求二次函数最值:练2:求函数(x ■ -1且a 0)的最小值t t 2 2 2ax x 1 a(t -1) t at -2at a ta “ 1、 ， ct = x 1 .0y at (1 - 2a) a(t ) 1 -tx y例3、若正数a,b满足a^a b 3 ,贝U：（1）ab的取值范围是_____ ; [9, •：：）（2） a b的取值范围是[6, •：：）解：（1 ）判别式法：令ab = t（t • 3）,则b =上,代入原式得t = a •上.3 ,整理得a a2 2a （3 —t）a t =0, . ：= （3 — t）—4t _0，得t _9或（舍）.（2）判别式法，令a • b =t（t . 0），则b =t —a，代入原式得a（t _a） =t - 3，整理得a2-at • t • 3 = 0，.■: =t2 -4（t 3）_0，解得t _6或者t _ -2 （舍）.备注：以上（1）（2）也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决练5：若x, y =0满足2x + y +6 = xy，贝U xy的最小值是18练6：若x, y . 0满足x • y • xy = 2，则x y的最小值是2、3 - 2练7：（10重庆）已知x, y 0满足x 2y 2xy =8，则x 2y的最小值是（）A、3B、4 考点七：简单线性规划问题：11 2题型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题:例1、设变量x,y满足约束条件2x-y乞2« x - y 兰一1，求zx + y 31=2x 3y的最大值.题型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题：2x +1例2、设变量x, y满足例1中的约束条件，求z 的取值范围y+ 1题型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量x,y满足例1中的约束条件，求z=x2，(y-2)2的最值，以及此时对应点的坐标题型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量x,y满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长题型五：已知最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量x,y满足例1中的约束条件，且目标函数z = ax y (其中a ：0 )仅在(3,4)处取得最大值，求a 的取值范围•题型六：已知最优解，探求约束条件参数问题:2x-y <2例6、设变量x,y满足约束条件x_y_m，且目标函数2x 3y在(4,6)处取得最大值，求m ,x y _ 12x-y-3 0例7、已知x, y满足不等式组2x 3^6 ::: 0，求使x y取得最大值的整数 x, y .3x - 5y -15 ：： 0解：不等式组的解集为三直线h : 2x - y-3 = 0, |2：2x • 3y-6 = 0, |3：3x - 5y-15 = 0所围成的三角形内部(不含边界)，设h与I2，l i与I3，I2与I3的交点分别为A,B,C.15 3 75 12则的坐标分别为A( —, ), B(0,-3),C(—,—)，8 4 19 19作一组平行线I : x • y = t平行于l0 : x • y = 0，当l往10右上方移动时，t随之增大,当I过C点时最大为，但不是整数解，又由0 <x 知x可取191,2,3，当x =1时，代入原不等式组得y = -2，所以x，y = -1 ；当x=2◎x+y 兰3 x+2v 兰3练7：满足线性约束条件的目标函数 ^x y 的最大值是（）练习：线性规划问题综合练习p <2练1若x, y 满足约束条件< y <2 ，贝U z = x+2y 的取值范围是（）"沦2练2：满足|x| • |y |_2的点（x,y ）中整数（横纵坐标都是整数）有（A 、9个C 、13 个D 14个2x y -2 _02 2练3：已知x, y 满足约束条件x-2y ，4 一 0 ,则z 二x y 的最大值和最小值分别是（ 3x - y - 3 乞 0A 、13,1B 、13,2131D • 13,^5练4:不等式组2x y -6 一0* x + y -3兰0表示的平面区域的面积为A 、 4D 无穷大x y -5练5 :已知x, y 满足约束条件 x -y 乞0,使z 二x ，ay （a 0）取得最小值的最优解有无数个,x 乞3则的值为（）C -1练6：已知|2x - y • m|：：：3表示的平面区域包含点 （0,0）和（-1,1），则m 的取值范围是（ A (-3,6)B (0,6)C (0,3)D (-3,3)p>0y-03A、1 B C 2 D 32J x 3y —3 _0练&若实数x,y满足不等式组2x-y -3岂0，且x y的最大值为9，则实数m=( )x-my 1 _ 0A、-2 B -1 C 1 D 22x y -2 _0y亠1练9：已知实数x,y满足x - 2y 4 - 0 ,试求z 的最大值和最小值.x+13x - y 1 _ 0所以z的几何意义是点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率，因此y 1的最值就是点(x,y)与点M (-1,-1)x + 1连线的斜率的最值，结合图像可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即Z max = k MB = 3，此时x = 0, y = 2 ；1zx二1, y =0•min - k MC - ?，此时y Z x练10：设变量x, y满足约束条件x • 2y乞2，贝U z =x -3y的最小值为. -8x _ -2x-^02x+ v 兰2练11：若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是1^0x y _ a40 :: a -1 或a -3练12：已知平面区域 D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)，为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点(x, y)可使目标函数my取得最小值，则m二.1。

数学·必修5(人教A版)一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用不等式解应用题的基本步骤：①审题；②建立不等式模型；③解决数学问题；④作答．本章中，不等式的证明是难点，解不等式是重点，含参数的不等式综合题是高考命题的热点．掌握不等式的意义和实数的符号法则，是分散难点和解决难点的关键．如能熟悉不等式的性质，认清基本不等式的特点，灵活运用比较、分析、综合等基本方法，认真进行思考和探索，是不难找到解题途径的．要善于进行转化变形，即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等，以突破解证不等式这一难关．通过本章的学习达到以下基本目标：1．会用不等式(组)表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式(组)表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确基本不等式及其成立条件，会灵活应用基本不等式证明或求解最值．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c < 0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0,0<c <d ⇒a c ＞b d ；(6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即： 若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0,0＜c ＜d ，则a c ＞b d .(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞nb .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式，②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解，③画出相应的二次函数的图象，④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝(a>0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2(x1<x2){x|x<x1，或x>x2}{x|x1＜x＜x2}Δ＝0有两相等实根x1＝x2＝－b2a{x|x≠－b2a}∅Δ＜0无实根R∅特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点；③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值：若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C ＜0所表示的平面区域．也可采用：把二元一次不等式改写成y＞kx ＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．(3)解简单线性规划问题的基本步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．具体来讲有以下5步：a．画图：画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域；b．定线：令z＝0，得一过原点的直线；c．平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；d．求最优解：通过解方程组求出最优解；e．求最值：求出线性目标函数的最大或最小值．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax ＋By＋C＜0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方．(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab≤a＋b 2.(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么ab≤a＋b2.当且仅当a＝b时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a＋b2看做是正数a，b的等差中项，ab看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．③基本不等式ab≤a＋b2几何意义是“半径不小于半弦”．(2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a ．当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＝b ⇒a ＋b 2＝ab ； b ．仅当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＋b 2＝ab ⇒a ＝b ； 综合起来，其含意是：a ＋b 2＝ab ⇔a ＝b . (3)设a ，b ∈R ，不等式a 2＋b 2≥2ab ⇔ab ≤a 2＋b 22⇔ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)基本不等式的几种变式：设a ＞0，b ＞0，则a ＋1a ≥2，b a ＋a b ≥2，a 2b ≥2a －b .(5)常用的几个不等式：① a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a ，b ，c ∈R ，则a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)；③真分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min ＞A ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max ＜B .设函数f (x )＝x ，g (x ) ＝x ＋a (a >0)，若x ∈[1,4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1⇔－1≤f (x )－ag (x )f (x )≤1，得0≤ag (x )f (x )≤2， 即ax ＋a 2x ≤2在x ∈[1,4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1,4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1,2]上恒成立，设g (t ) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0，g (2)≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0,22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，则等价于在区间D 上的f (x )max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，则等价于在区间D 上的f (x )min ＜B .若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值＜a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，⇒x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，得：Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8,0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6,8－3x ＞0， ∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x )≤132+-⎛⎫⎪⎝⎭3x 83x 2＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)．求函数f (x )的最小值．解析：f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值． 此时f (x )min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4m )2－4×2×(3m －1)≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13.∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m 13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根．题型7 不等式与函数的综合问题定义在(－1,1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f (x )的定义域为(－1,1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)． 由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)． 又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是(0,1)．题型8 求分式函数的最值求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值．解析：y ＝(x 4＋2x 2＋1)＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2(x 2＋1)·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．。

不等式重点知识复习要点不等式是中学数学的主体内容，在中学数学中占有特殊的地位，它与中学数学几乎所有章节都有联系．不等式还是中学数学与实际问题联系的重要渠道之一，因此成为高考考查的重点内容．一、重点知识摘要1．不等式的性质是学习不等式的基础，不等式的证明及解不等式必须依赖不等式的性质，它又是高等数学的基本知识之一，通过证明不等式的性质，可以培养严谨、完整的逻辑推理能力．不等式的判断、证明及解不等式、不等式的应用是不等式问题体现的四个主要方面．若想在这四个方面取得成功，必须先学好不等式的五个定理和三个推论，因为这些性质是不等式的理论基础和依据，没有它，可以说解或证明不等式是寸步难行，故在学习中要予以高度重视．不等式的性质刻划了在一定条件下两个量的不等关系，复习时必须注意乘法、开方、乘方运算的条件都是正数为前提，减法和除法运算不能直接进行，必须转化为加法和乘法的情况下才能施行．另外值得注意的是，其中有一类具有充要性的特征，条件和结论可互相推出，解不等式的每一变形只能依据这一类性质，才能保证变形的同解性；另一类性质只具有充分性的特征，它可以作为证明不等式的依据，但不能作为解不等式的依据．2．不等式证明有很多方法，在解题时应注意灵活运用．⑴比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，经常用的是作差法或作商法．一方面要灵活运用题中条件，还要结合不等式性质、配方或因式分解．如果比较的多，可恰当选取“分界量”，如先找出正数或负数，在正数中找比1大的或比1小的数等．一般地，证明幂指数不等式时常用“商值比较”法，证明对数不等式时常用“差值比较”法．当“商”或“差”式中含有参数时，通常都需要对参数的取值进行分析．应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性．⑵分析法是执果索因，即从结论开始，一步步寻求上一步成立的充分条件，直至找到已知的不等式或易证的不等式为止，当所证的不等式比较复杂而又无从下手时，常采用分析法．这个方法证明的逻辑和证明方法的思路一致，方向明确，是综合法以外的一种重要证明方法．实际上，它也是寻求综合证法的一种分析思考方法，凡用分析法证明过的不等式，都可以写成综合法证明的形式．分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件．如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只使用于证明等价命题了．用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语．⑶综合法是由因导果，即从已知条件或已知的真命题出发，根据不等式性质一步步推出结论成立，综合法往往是分析法的逆过程，它表述简单，条理清楚，因此，在实际证题过程中．我们通常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法． 在利用综合法证明不等式时，最常用的不等式是：211a b +2a b +≤． ⑷用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．⑸放缩法是要证明不等式A＜B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．即要证明A＜B成立，可以构造出数学式C使A＜C，且C＜B，其中数学式C常常通过将A放大或将B缩小而构成．放缩法是一种证题技巧，它是利用“放大”或“缩小”的方法来证明不等式的一种重要数学方法，利用好这一技巧可以突破证明不等式的种种难关．对于不等式的证明，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定程序可寻，因而常有一定的难度，解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思想方法，熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法．3．解不等式的过程，实质上是用同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则．解不等式的基本思路是由复杂向简单转化，即超越不等式转化为代数不等式，无理不等式转化为有理化不等式，分式不等式转化为整式不等式，高次不等式转化为低次不等式，最终都转化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式．⑴在转化过程中，对不等式常常施行必要的变形，例如，不等式两边同乘以一个数或式子，不等式两边同时乘方、开方、取对数等变形，都可能破坏同解性，因此，要特别注意不等式的同解性，注意保持字母的允许值范围不发生变化．⑵解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．分类的标准要通过理解题意(例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件)、根据方法(例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值)、按照解题需要(例如进行不等式变形时必须具备的变形条件)等方面来决定，分类时要注意不重、不漏．较复杂的含参数不等式也可用数形结合的方法求解．⑶解绝对值不等式的基本思路是设法去掉绝对值符号，转化为一般类型代数不等式来解．化去绝对值符号的主要途径有：一是根据绝对值的意义；二是两边平方．而对于含有两个或两个以上绝对值符号、并且其形式是和或差的不等式，可先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式，求解过程中不要丢掉区间端点的讨论，以免漏解．⑷要重视数学思想方法在解不等式中的应用．如解一元二次不等式要用二次函数的图象；解含参数的不等式常要分类讨论；如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形加以解决．因此，在学习不等式的解法的过程中，应注意领悟等价转化思想、函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想．⑸在解决不等式组的问题时，应注意各个不等式之间的关系，可简化复杂不等式的解法．对含有参变量的不等式必须进行讨论，讨论时要用逻辑划分的思想分类，然后对每一分类分别求解，再给出综合答案，在确定划分标准时，应是互斥、无漏和最简单的．4．以不等式为模型的应用题是最常见的题型之一，特别是利用不等式解答生产生活中的实际问题，又是近几年的一个增长点．有关统筹安排、最佳决策、最优化以及最值等实际问题，常常需要通过建立不等式模型求解．二、不等式考点领悟高考对不等式的考查侧重以下几个方面：1．不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现，有时与充要条件的知识联系在一起．解答此类题目要求考生要有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．2．高考试卷中，单纯不等式的考题，一般是中档难度题，内容多涉及不等式的性质和解法，以及重要不等式的应用．解不等式的考题常以填空题和解答题的形式出现．在解答题中，含字母参数的不等式问题较多，需要对字母参数进行分类讨论，这类考题多出现在文科试卷上．3．证明不等式近年来逐渐淡化，但若考试卷中出现不等式证明，则往往不是单独的纯不等式证明，而是与函数、三角、解析几何、数列、导数等知识综合考查，这时有可能是压轴题或倒数第二题．此类考题区分度高，综合性强，与同学们平时联系的差距较大，考生要有较强的逻辑思维能力和较高的数学素质才能取得较好的成绩．这类考题往往是理科试卷中经常出现的题型．4．应用问题是近年数学高考命题的热点，近些年高考试题带动了一大批“以实际问题为背景，以函数模型，以重要不等式为解题工具”的应用题问世．解此类考题在合理地建立不等关系后，判别式、重要不等式是常用的解题工具．5．含有绝对值的不等式经常出现在高考试卷中，有关内容在教材中安排较少，考生解此类问题大多感觉困难，这与平时练习量不足有关，对此应有所加强．6．解不等式的基本思想是转化，解题思路是利用不等式的性质及结合有关函数的性质把问题转化为一元一次不等式、一元二次不等式、含有基本初等函数的最基本不等式，然后求解．在这里着重强调的是，解不等式是在不等式有意义的前提下求出满足不等式的未知数取值的集合，在解无理不等式、对数不等式时，要注意其定义域．三、特别提示1．在复习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练，以便快速、准确求解．在解或证明含有参数不等式的过程中，一般要对参数进行分类讨论，因此，还要加强分类讨论思想的训练，做到分类合理、不重不漏．由于不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化，所以，强化函数与方程思想在不等式中的应用训练十分必要．2．高考中，对不等式的考查不是单一的，所以此类考题往往综合性强，难度也较大，应用极其广泛，诸如求最值、比较大小、函数性质(定义域、值域、单调性、有界性、最值)的研究、方程解的讨论、曲线类型和两曲线位置关系的判定等等．因此，复习时应强化理解不等式的应用，注意多知识点的相互渗透．3．在复习不等式时，一要注意强化含参数不等式的解法与证明的训练，尤其是理科考生更应注意到这一点；二要加强以函数为载体的不等式练习，如果以函数为背景考题出现在试卷上，一定与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高；三要灵活处理以导数为载体的导数、不等式、函数大型综合问题，这类代数推理考题在复习时一定要倍加关注．。

3．4基本不等式：ab≤a＋b 21．了解基本不等式的证明过程．2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点) 3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)[基础·初探]教材整理1基本不等式阅读教材P97～P98，完成下列问题．1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式：ab≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．3．算术平均数与几何平均数(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．()(2)若a≠0，则a＋4a≥2a·4a＝4.()(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) (4)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (5)若ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为2.( )【解析】 (1)×.任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)×.只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋4a ≥2a ·4a ＝4成立．(3)√.因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)×.因为不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；而a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ，b 均为非负实数．(5)√.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√教材整理2 基本不等式的应用阅读教材P 99例1、例2，完成下列问题．1．用基本不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y ＝s 2时，积xy 有最大值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最小值为2p .2．基本不等式求最值的条件(1)x ，y 必须是正数．(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．()(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x>1时，函数f(x)＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数f(x)的最小值是2xx－1.()(4)如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为9.()【解析】(1)√.由基本不等式求最值条件可知．(2)√.因为ab≤a＋b2＝42＝2，所以ab≤4.(3)×.因为当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2(x－1)·1x－1＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，函数f(x)的取到最小值3.(4)×.因为由log3m＋log3n＝4，得mn＝81且m>0，n>0，而m＋n2≥mn＝9，所以m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，m＋n取到最小值18.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×[小组合作型]利用基本不等式比较代数式的大小222＝ab ＋bc＋ca 的大小关系是______．(2)给出下列命题： ①若x ∈R ，则x ＋1x ≥2；②若a ＞0，b ＞0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若a ＜0，b ＜0，则ab ＋1ab ≥2；④不等式y x ＋x y ≥2成立的条件是x ＞0且y ＞0.其中正确命题的序号是________．【精彩点拨】 (1)由于p 是平方和的形式，而q 是a ，b ，c 两两乘积的和，联想基本不等式求解．(2)解本小题关键是弄清基本不等式适用的条件．【自主解答】 (1)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )．即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，亦即p >q .(2)只有当x >0时，才能由基本不等式得到x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，故①错误；当a >0，b >0时，lg a ∈R ，lg b ∈R ，不一定有lg a >0，lg b >0，故lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b不一定成立，故②错误；当a <0，b <0时，ab >0，由基本不等式可得ab ＋1ab≥2ab ·1ab ＝2，故③正确；由基本不等式可知，当y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2y x ·xy＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故④错误．【答案】 (1)p >q (2)③1．在理解基本不等式时，要从形式和内含两方面去理解，特别要关注条件是否满足． 2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[再练一题]1．设a >0，b >0，试比较a ＋b 2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小，并说明理由. 【解】 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab， 即ab ≥21a ＋1b (当且仅当a ＝b 时取等号)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24 ≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22， ∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)，而ab ≤a ＋b 2，故a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (当且仅当a ＝b 时等号成立)．不等式的证明已知a 求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .【精彩点拨】【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0，∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明．2．利用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．[再练一题]2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 【证明】 法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋a b .故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝ 5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)． 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ， 因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 于是1ab ≥4，2ab ≥8.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．基本不等式的实际应用图3-4-1如图3-4-1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？【精彩点拨】 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值．【自主解答】 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y )． ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．1．应用基本不等式解决实际问题的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．2．函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调性和最值的求法：对于函数y ＝x ＋k x (k >0)，可以证明x ∈(0，k ]及[－k ，0)上均为减函数，在[k ，＋∞)及(－∞，－k ]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k ，可用基本不等式，不包含±k 就用函数的单调性．[再练一题]3．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解】 (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元，则y ＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n (n －1)2×4 ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20 ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12， 当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．[探究共研型]利用基本不等式求最值探究1 由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？【提示】 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a＋b2≥ab(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．探究2小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？【提示】不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取“＝”，y＝x＋1x的最小值是2；当x<0时，y＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x－1x≤－2(－x)·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝1x ，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋1x的最大值是－2.探究3已知x≥3，求y＝x2＋4x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y＝x2＋4x＝x＋4x≥2x·4x＝4，∴当x≥3时，y＝x2＋4x的最值为4.”【提示】不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋4x的单调性求解．(1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2x x 2＋1的最大值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．【精彩点拨】 变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征．(1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3. (2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x )．(3)2x x 2＋1＝2x ＋1x. (4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y . 【自主解答】 (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116， ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. (3)f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.1．应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形． 2．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．[再练一题] 4．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【解析】 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0，∴要使2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴m ≤9.故应选B.【答案】 B5．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________.【解析】 ∵x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋4y ＝1，∴1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋4y x ＋x y≥9，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝13，y ＝16时取等号．故应填9.【答案】 91．已知x <－2，则函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值为( ) A ．2 2 B ．22－4 C ．－22－4 D ．－2 2【解析】 因为x <－2，所以x ＋2<0，y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4≤－22(x ＋2)·1x ＋2－4＝－22－4，故选C. 【答案】 C2．若正数a ，b 满足ab －(a ＋b )＝1，则a ＋b 的最小值是( )A ．2＋2 2B ．22－2C.5＋2D.5－2 【解析】 由于ab －(a ＋b )＝1，所以ab ＝a ＋b ＋1.而ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ＋1≤14(a ＋b )2.令a ＋b ＝t (t >0)，所以t ＋1≤14t 2，解得t ≥2＋22，即a ＋b ≥22＋2.【答案】 A3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2.当且仅当a x y ＝y x ，即ax 2＝y 2时，“＝”成立．∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值(a ＋1)2≥9，解得a ≥4. 【答案】 44．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________t.【解析】 一年的总运费与总存储费用之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ×4＋4x 万元，400x ×4＋4x ≥160，当1 600x ＝4x 即x ＝20 t 时，一年的总运费与总存储费用之和最小．【答案】 205．(1)设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，求实数k 的最小值； (2)已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1，求x ＋2y 的最小值．【解】 (1)由1a ＋1b ＋k a ＋b≥0， 得k ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b ) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋2，因为a >0，b >0，所以b a ＋a b ＋2≥2b a ·a b ＋2＝4，当且仅当b a＝a b ，即a ＝b 时，等号成立．因为不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，所以k ≥－4. (2)∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2 x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立， 故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.。

主备人：
执教者：
【学习目标】
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【学习重点、难点】
不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

【授课类型】 新授课 【学习方法】 诱思探究 【知识梳理】 一、不等式与不等关系 1、不等式的主要性质（1-8）；
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法；
3、应用不等式性质证明； 二、一元二次不等式及其解法
一元二次不等式()0002
2
≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为
2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：
0>∆
0=∆ 0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
一元二次方程
()的根
00
2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根
a
b x x 221-==
无实根
个性设计。