人教A版选修2-2§1.6微积分基本定理.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
§1.6微积分基本定理
教学目标：
1、能说出微积分基本定理。

2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

3、能掌握微积分基本定理的应用。

4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。

教学重点： 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分；
教学难点：微积分基本定理的含义．
教学过程设计
（一）、复习引入，激发兴趣。

【教师引入】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题: 1. 我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？
2. 如何求曲线下方的面积？
3. 用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法。

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

(二)、探究新知，揭示概念
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ），
则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2
1()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 21()T T v t dt ⎰
=12()()S T S T -
而()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
()()()
b a f x d x F b F a =-⎰
（三）、分析归纳，抽象概括
若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则
()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
证明：因为()x Φ=()x
a f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故
()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）
其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=
()a a f t dt ⎰=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a
f t dt ⎰ 令x b =，有()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即
()()|()()b
b a a f x dx F x F b F a ==-⎰
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，
是微积分学中最重要最辉煌的成果。

（四）、知识应用，深化理解
例1．计算下列定积分：
（1）2
11dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x
-⎰。

解：（1）因为'1(ln )x x
=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰。

（2））因为2''211()2,()x x x x
==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-⎰⎰⎰233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。

练习：计算
120x dx ⎰ 解：由于313
x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x d x ⎰=3101|3
x =33111033⋅-⋅=13 例2．计算下列定积分：
2200
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
πππ⎰⎰⎰。

由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。

解：因为'(cos )sin x x -=，
所以
00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x ππ
π=-=---=⎰，
22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππ
ππ=-=---=-⎰， 2
200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 .
6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。

设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。

当t=0时，汽车速度0v =32公里/小时=
3210003600
⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从
(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90
米才能停住.
课堂练习
（五）、归纳小结、布置作业
1.微积分基本定理
2.基本初等函数的原函数公式
布置作业：。