江苏省宿迁市沭阳县2021年中考5月模拟数学试卷(含解析)

2021年江苏省宿迁市沭阳县中考数学模拟试卷〔5月份〕
一、选择题〔共8小题，每题3分，总分值24分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的〕
1．﹣5的相反数是〔〕
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．以下计算，正确的选项是〔〕
A．a2•a2=2a2B．a2+a2=a4C．〔﹣a2〕2=a4D．〔a+1〕2=a2+1
3．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，那么∠A等于〔〕
A．30° B．35° C．40° D．50°
4．下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是〔〕
A．B． C． D．
5．函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为〔〕
A．B．C．D．
6．有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是〔〕A．10 B． C．2 D．
7．假设抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，那么原抛物线图象的解析式应变为〔〕
A．y=〔x﹣2〕2+3 B．y=x2﹣1 C．y=〔x﹣2〕2+5 D．y=x2+4
8．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，P为AD的中点，将△ABP沿BP翻折至△EBP〔点A 落到点E处〕，连接DE，那么图中与∠APB相等的角的个数为〔〕
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，总分值24分〕
9．一种花瓣的花粉颗粒直径约为．
10．分解因式：2x2﹣8= ．
11．a﹣b=2，那么代数式2a﹣2b﹣3的值是．
12．某小区2021 年绿化面积为2000平方米，方案2021年绿化面积要到达2880平方米．如果每年绿化面积的增长率一样，那么这个增长率是．
13．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是边形．14．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，假设∠C=15°，AB=4cm，那么⊙O 半径为cm．
15．如图，四边形OABC是平行四边形，边OC在x轴的负半轴上，反比例y=〔k＜0〕的图象经过点A与BC的中点F，连接AF、OF，假设△AOF的面积为9，那么k的值为．
16．如下图，点M〔0，2〕，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，P、Q分别是线段OA，AB上的动点，那么PQ+MP的最小值是．
三、解答题〔本大题共有10小题，共72分.请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．计算： +2sin60°+|3﹣|﹣〔﹣π〕0．
18．解方程：．
19．某校为了解本校九年级男生“引体向上〞工程的训练情况，随机抽取该年级局部男生进展了一次测试〔总分值15分，成绩均记为整数分〕，并按测试成绩〔单位：分〕分成四类：A类〔12≤m≤15〕，B类〔9≤m≤11〕，C类〔6≤m≤8〕，D类〔m≤5〕绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答以下问题：
〔1〕本次抽取样本容量为，扇形统计图中A类所对的圆心角是度；
〔2〕请补全条形统计图；
〔3〕假设该校九年级男生有600名，请估计该校九年级男生“引体向上〞工程成绩为C类的有多少名？
20．在四张反面完全一样的纸牌A、B、C、D中，其中正面分别画有四个不同的几何图形〔如图〕，小华将这4张纸牌反面朝上洗匀后摸出一张〔不放回〕，再从余下的3张纸牌中摸出一张．
〔1〕用树状图〔或列表法〕表示两次摸牌所有可能出现的结果〔纸牌可用A、B、C、D表示〕；〔2〕求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
21．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．
22．如图，小华在A处利用高为的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进30米到达C处，又测得顶部E的仰角为60°，求大楼EF的高度．〔结果准确到，参考数据=1.732〕
23．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
〔1〕求证：CD是⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O的半径为4，求图中阴影局部的面积．
24．某校九年级〔1〕班准备购置大课间活动器材呼啦圈和跳绳，购置1根跳绳和2个呼啦圈要35元，购置2根跳绳和1个呼啦圈要25元．
〔1〕求每根跳绳、每个呼啦圈各多少元？
〔2〕根据班级实际情况，需购置跳绳和呼啦圈的总数量为30，总费用不超过300元，但不低于280元，请你通过计算求出有几种购置方案，哪种方案费用最低．
25．线段MN=8，C是线段MN上一动点，在MN的同侧分别作等边△CMD和等边△CNE．
〔1〕如图①，连接DN与EM，两条线段相交于点H，求证ME=DN，并求∠DHM的度数；〔2〕如图②，过点D、E分别作线段MN的垂线，垂足分别为F、G，问：在点C运动过程中，DF+EG的长度是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是请说明理由；
〔3〕当点C由点M移到点N时，点H移到的路径长度为〔直接写出结果〕
26．如图，直线y=x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与轴交于另一点B〔1，0〕．
〔1〕求该抛物线的解析式．
〔2〕在直线y=x﹣2上方的抛物线上存在一动点D，连接AD、CD，设点D的横坐标为m，△DCA的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．
〔3〕在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以为半径的圆与直线AC相切？假设存在，请求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．
〔4〕在y轴的正半轴上存在一点P，使∠APB的值最大，请直接写出当∠APB最大时点P的坐标．
2021年江苏省宿迁市沭阳县中考数学模拟试卷〔5月份〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔共8小题，每题3分，总分值24分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的〕
1．﹣5的相反数是〔〕
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
应选：B．
2．以下计算，正确的选项是〔〕
A．a2•a2=2a2B．a2+a2=a4C．〔﹣a2〕2=a4D．〔a+1〕2=a2+1
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．
【分析】根据同底数幂相乘判断A，根据合并同类项法那么判断B，根据积的乘方与幂的乘方判断C，根据完全平方公式判断D．
【解答】解：A、a2•a2=a4，故此选项错误；
B、a2+a2=2a2，故此选项错误；
C、〔﹣a2〕2=a4，故此选项正确；
D、〔a+1〕2=a2+2a+1，故此选项错误；
应选：C．
3．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，那么∠A等于〔〕
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．
【解答】解：如图，∵直线m∥n，
∴∠1=∠3，
∵∠1=70°，
∴∠3=70°，
∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，
∴∠A=40°，
应选C．
4．下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是〔〕
A．B． C． D．
【考点】I6：几何体的展开图．
【分析】根据三棱柱的展开图的特点作答．
【解答】解：A、是三棱锥的展开图，应选项错误；
B、两底在同一侧，应选项错误；
C、是三棱柱的平面展开图，应选项正确；
D、是四棱锥的展开图，应选项错误．
应选：C．
5．函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为〔〕
A．B．C．D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；E4：函数自变量的取值范围．
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵y=，
∴x﹣2≥0，解得x≥2，
在数轴上表示为：
应选D．
6．有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是〔〕A．10 B． C．2 D．
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
【分析】根据算术平均数的计算公式求出a的值，根据方差的计算公式计算即可．
【解答】解：∵3、a、4、6、7，它们的平均数是5，
∴〔3、a、4、6、7〕=5，
解得，a=5
S2= [〔3﹣5〕2+〔5﹣5〕2+〔4﹣5〕2+〔6﹣5〕2+〔7﹣5〕2]
=2，
应选：C．
7．假设抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，那么原抛物线图象的解析式应变为〔〕
A．y=〔x﹣2〕2+3 B．y=x2﹣1 C．y=〔x﹣2〕2+5 D．y=x2+4
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移规律，可得到答案．
【解答】解：坐标系右移上移，得图象左移下移，得
y=〔x+1〕2﹣2〔x+1〕+3﹣3
化简，得
y=x2﹣1，
应选：B．
8．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，P为AD的中点，将△ABP沿BP翻折至△EBP〔点A 落到点E处〕，连接DE，那么图中与∠APB相等的角的个数为〔〕
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】PB：翻折变换〔折叠问题〕；LB：矩形的性质．
【分析】由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，∠PDE=∠PED=∠BPE=∠APB，由平行线的性质，可得∠APB=∠CBP，进而得出结论．
【解答】解：由折叠知，∠BPE=∠APB，AP=PE，
∵点P是AD中点，
∴AP=DP，
∴PD=PE，
∴∠PDE=∠PED，
∵2∠PDE+∠DPE=180°，2∠APB+∠DPE=180°，
∴∠PDE=∠APB，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠CBP，
∴∠PDE=∠PED=∠BPE=∠APB=∠CBP，
应选：D．
二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，总分值24分〕
9．一种花瓣的花粉颗粒直径约为×10﹣6．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
×10﹣6．
×10﹣6．
10．分解因式：2x2﹣8= 2〔x+2〕〔x﹣2〕．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8=2〔x+2〕〔x﹣2〕．
11．a﹣b=2，那么代数式2a﹣2b﹣3的值是 1 ．
【考点】33：代数式求值．
【分析】原式前两项提取2变形后，将等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣b=2，
∴原式=2〔a﹣b〕﹣3=4﹣3=1，
故答案为：1
12．某小区2021 年绿化面积为2000平方米，方案2021年绿化面积要到达2880平方米．如果每年绿化面积的增长率一样，那么这个增长率是20% ．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】此题需先设出这个增长率是x，再根据条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设每年屋顶绿化面积的增长率为x．
2000〔1+x〕2=2880．
〔1+x〕2=+x=±1.2．
所以x1=0.2，x2=﹣2.2〔舍去〕．
故x=0.2=20%．
故答案是：20%．
13．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是六边形．【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】n边形的内角和可以表示成〔n﹣2〕•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得：
〔n﹣2〕•180°=2×360°，
解得n=6，
故答案为：六．
14．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，假设∠C=15°，AB=4cm，那么⊙O 半径为 4 cm．
【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出BE，由圆周角定理求出∠AOE=60°，解直角三角形求出OA即可．
【解答】解：连接OA，如下图：
∵∠C=15°，
∴∠AOE=2∠C=30°，
∵直径CD⊥弦AB，AB=2，
∴AE=AB=2，∠OEA=90°，
∴OA=2OA=4〔cm〕．
故答案是：4．
15．如图，四边形OABC是平行四边形，边OC在x轴的负半轴上，反比例y=〔k＜0〕的图象经过点A与BC的中点F，连接AF、OF，假设△AOF的面积为9，那么k的值为﹣9 ．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质，由△AOF的面积可以得到△BOC的面积，然后根据点F是BC的中点，从而可以得到△OCF的面积，进而求得k的值．
【解答】解：∵△AOF的面积为9，四边形OABC是平行四边形，
∴△BOC的面积是9，
∵反比例y=〔k＜0〕的图象经过点A与BC的中点F，
∴△OCF的面积是4.5，
∵点F在反比例函数y=〔k＜0〕的图象上，
∴×2〕=﹣9，
故答案为：﹣9．
16．如下图，点M〔0，2〕，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，P、Q分别是线段OA，AB上的动点，那么PQ+MP的最小值是3．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】如图，点M关于x轴的对称点N〔0，﹣2〕，过点N作NQ⊥AB交OA于P，那么NQ=PQ+PM 的最小值，
根据直线y=x+4，得到B〔0，4〕，∠OAB=30°，进一步得到∠ABO=60°，BN=4+2=6，解直角三角形得到结论．
【解答】解：如图，点M关于x轴的对称点N〔0，﹣2〕，过点N作NQ⊥AB交OA于P，
那么NQ=PQ+PM的最小值，
∵直线y=x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，
∵B〔0，4〕，∠OAB=30°，
∴∠ABO=60°，BN=4+2=6，
∴在Rt△BQN中，QN=sin60°•BN=3，
∴PM+MN的最小值是 3．
故答案为 3．
三、解答题〔本大题共有10小题，共72分.请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．计算： +2sin60°+|3﹣|﹣〔﹣π〕0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解： +2sin60°+|3﹣|﹣〔﹣π〕0
=3+2×+3﹣﹣1
=3++2﹣
=5
18．解方程：．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】观察可得最简公分母是〔x﹣1〕〔x+1〕，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘〔x﹣1〕〔x+1〕，得
3x+3﹣x﹣3=0，
解得x=0．
检验：把x=0代入〔x﹣1〕〔x+1〕=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=0．
19．某校为了解本校九年级男生“引体向上〞工程的训练情况，随机抽取该年级局部男生进展了一次测试〔总分值15分，成绩均记为整数分〕，并按测试成绩〔单位：分〕分成四类：A类〔12≤m≤15〕，B类〔9≤m≤11〕，C类〔6≤m≤8〕，D类〔m≤5〕绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答以下问题：
〔1〕本次抽取样本容量为50 ，扇形统计图中A类所对的圆心角是72 度；
〔2〕请补全条形统计图；
〔3〕假设该校九年级男生有600名，请估计该校九年级男生“引体向上〞工程成绩为C类的有多少名？
【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
【分析】〔1〕根据A的人数除以A所占的百分比，可得答案；根据按比例分配，可得答案；〔2〕根据有理数的减法，可得C类的人数，根据C类的人数，可得答案；
〔3〕根据样本估计总体，可得答案．
【解答】解：〔1〕样本容量为10÷20%=50，
A类所对的圆心角是360×20%=72°，
故答案为：50，72；
〔2〕C类的人数为50﹣10﹣22﹣3=15，
补全的统计图如图，
〔3〕600×30%=180〔名〕，
答：该校九年级男生有600名，请估计该校九年级男生“引体向上〞工程成绩为C类的有180名．
20．在四张反面完全一样的纸牌A、B、C、D中，其中正面分别画有四个不同的几何图形〔如图〕，小华将这4张纸牌反面朝上洗匀后摸出一张〔不放回〕，再从余下的3张纸牌中摸出一张．
〔1〕用树状图〔或列表法〕表示两次摸牌所有可能出现的结果〔纸牌可用A、B、C、D表示〕；〔2〕求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】〔1〕首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
〔2〕由树状图可求得摸出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：〔1〕画树状图得：
那么共有12种等可能的结果；
〔2〕∵既是轴对称图形又是中心对称图形的只有B、C，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种情况，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为=．
21．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质和条件易证△EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即可证明CH=EH．
【解答】证明：∵在▱ABCD中，BE∥CD，
∴∠E=∠2，
∵CE平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴BE=BC，
又∵BH⊥BC，
∴CH=EH〔三线合一〕．
22．如图，小华在A处利用高为的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进30米到达C处，又测得顶部E的仰角为60°，求大楼EF的高度．〔结果准确到，参考数据=1.732〕
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠DEB=30°，根据等腰三角形的性质求出DE，根据正弦的概念求出EG，计算即可．
【解答】解：∵∠EDG=60°，∠EBG=30°，
∴∠DEB=30°，
∴DE=DB=30米，
在Rt△EDG中，sin∠EDG=，
∴EG=ED•sin∠EDG=15≈25.98，
∴+≈27.5，
答：大楼EF的高度约为．
23．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O的半径为4，求图中阴影局部的面积．
【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】〔1〕连接OC，易证∠A=∠D=30°，由于OA=OC，所以∠ACO=∠A=30°，从而可知∠OCD=90°，即OC⊥CD．
〔2〕分别求出扇形BOC与直角三角形OCD的面积即可求出阴影局部面积．
【解答】解：连接OC，
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=60°
∴∠OCD=180°﹣∠COD﹣∠D=90°
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线；
〔2〕由〔1〕可知：∠COD=60°，
∴S扇形BOC==
在Rt△OCD中，
tan60°=
∴CD=4，
∴S△OCD=OC×CD=8，
∴阴影局部面积为：8﹣
24．某校九年级〔1〕班准备购置大课间活动器材呼啦圈和跳绳，购置1根跳绳和2个呼啦圈要35元，购置2根跳绳和1个呼啦圈要25元．
〔1〕求每根跳绳、每个呼啦圈各多少元？
〔2〕根据班级实际情况，需购置跳绳和呼啦圈的总数量为30，总费用不超过300元，但不低于280元，请你通过计算求出有几种购置方案，哪种方案费用最低．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】〔1〕根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得每根跳绳、每个呼啦圈各多少元；
〔2〕根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得相应的购置方案和哪种购置方案费用最低．
【解答】解：〔1〕每根跳绳x元，每个呼啦圈y元，
，解得，
答：每根跳绳5元，每个呼啦圈15元；
〔2〕设需购置跳绳a根，
，
解得，15≤a≤17，
∴有三种购置方案，
方案一：购置跳绳15根，购置呼啦圈15根，
方案二：购置跳绳16根，购置呼啦圈14根，
方案三：购置跳绳17根，购置呼啦圈13根，
∵跳绳比呼啦圈廉价，
∴方案三费用最低．
25．线段MN=8，C是线段MN上一动点，在MN的同侧分别作等边△CMD和等边△CNE．
〔1〕如图①，连接DN与EM，两条线段相交于点H，求证ME=DN，并求∠DHM的度数；〔2〕如图②，过点D、E分别作线段MN的垂线，垂足分别为F、G，问：在点C运动过程中，DF+EG的长度是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是请说明理由；
〔3〕当点C由点M移到点N时，点H移到的路径长度为π〔直接写出结果〕
【考点】KY：三角形综合题．
【分析】〔1〕根据等边三角形的性质得到CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，根据全等三角形的性质得到ME=DN，∠CME=∠CDN，根据三角形的内角和得到∠DHM=∠DCM=60°；
〔2〕设MF=FC=x，那么CG=NG=4﹣x，得到DF=x，EG=〔4﹣x〕，即可得到结论；〔3〕如图③，当点C由点M移到点N时，点H移动的路径即为，根据邻补角的定义得到∠MHN=120°，根据圆周角定义得到∠MON=120°，解直角三角形得到OM=ON=，于是得到结论．
【解答】〔1〕证明：∵△CMD与△CNE是等边三角形，
∴CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，
∴∠DCN=∠MCE=120°，
在△MCE与△DCN中，，
∴△MCE≌△DCN，
∴ME=DN，∠CME=∠CDN，
∵∠1=∠2，
∴180°﹣∠CME﹣∠1=180°﹣∠CDN﹣∠2，
∴∠DHM=∠DCM=60°；
〔2〕解：DF+EG为定值，
理由：设MF=FC=x，那么CG=NG=4﹣x，
∴DF=x，EG=〔4﹣x〕，
∴DF+GE=x+〔4﹣x〕=4；
〔3〕解：如图③，当点C由点M移到点N时，点H移到的路径即为，∵∠MHD=60°，
∴∠MHN=120°，
∴∠MPN=60°，
∴∠MON=120°，
∵MN=8，
∴OM=ON=，
∴点H移到的路径长度==，
故答案为：．
26．如图，直线y=x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与轴交于另一点B〔1，0〕．
〔1〕求该抛物线的解析式．
〔2〕在直线y=x﹣2上方的抛物线上存在一动点D，连接AD、CD，设点D的横坐标为m，△DCA的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．
〔3〕在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以为半径的圆与直线AC相切？假设存在，请求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．
〔4〕在y轴的正半轴上存在一点P，使∠APB的值最大，请直接写出当∠APB最大时点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】〔1〕先求得C〔0，﹣2〕、A〔4，0〕，设抛物线的解析式为y=a〔x﹣4〕〔x﹣1〕，将点C的坐标代入可求得a的值；
〔2〕过点D作y轴的平行线交AC与E，那么点D〔m，﹣ m2+m﹣2〕，E〔m， m﹣2〕．那么DE=﹣m2+2m，然后利用三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式，然后利用二次函数的性质可得到△DCA的面积的最大值；
〔3〕先依据勾股定理可求得AC的长，然后可得到△ACM的面积=4，当点M在AC的上时，由〔2〕可知M〔2，1〕．当点M在AC的下方时，过点M作y轴的平行线交AC与E，那么点M〔m，﹣ m2+m﹣2〕，E〔m， m﹣2〕．那么ME=m2﹣2m，然后可得到S与m的函数关系式，将s=4代入可求得m的值，从而得到点M的坐标；
〔4〕过点A作AE⊥PB，垂足为E．设点P的坐标为〔0，a〕．依据勾股定理得：AP=．然后再求得BP、AE的解析式，从而可求得点E的坐标，然后由sin∠APB=，得到sin2∠
APB，故此当a=时，sin∠APB有最大值，从而可求得a的值．
【解答】解：〔1〕把x=0代入y=x﹣2得：y=﹣2．
∴C〔0，﹣2〕．
把y=0代入得： x﹣2=0，解得：x=4．
∴A〔4，0〕．
设抛物线的解析式为y=a〔x﹣4〕〔x﹣1〕，将点C的坐标代入得：4a=﹣2，解得：a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2．
〔2〕过点D作y轴的平行线交AC与E，那么点D〔m，﹣ m2+m﹣2〕，E〔m， m﹣2〕．
∴DE=﹣m2+m﹣2﹣〔m﹣2〕=﹣m2+2m．
∴△DAC的面积S=×4×〔﹣m2+2m〕=﹣m2+4m．
∴当m=2时，S的最大值为4．
∴S与m的关系式为S=﹣m2+4m，△DCA的最大面积为4．
〔3〕∵⊙M与AC相切，
∴△AMC的AC边上的高为．
∵AC=2，OA=4，
∴AC=2．
∴S△ACM=×2×=4．
当点M在AC的上时，由〔2〕可知：当m=2．
∴点M的坐标为〔2，1〕．
当点M在AC的下方时，过点M作y轴的平行线交AC与E，那么点M〔m，﹣ m2+m﹣2〕，E〔m， m﹣2〕．
∴ME=〔m﹣2〕﹣〔﹣m2+m﹣2〕=m2﹣2m．
∴△MAC的面积S=×4×〔m2﹣2m〕=m2﹣4m．
∴m2﹣4m=4，整理得：m2﹣4m﹣4=0，解得：m=2+2或m=2﹣2．
∴点M的坐标为〔2+2，﹣3〕或〔2﹣2，﹣﹣3〕．
〔4〕如图3所示：过点A作AE⊥PB，垂足为E．
设点P的坐标为〔0，a〕．依据勾股定理得：AP=．
设直线BP的解析式为y=kx+a，将点B的坐标代入得：k+a=0，解得：k=﹣a．
∴直线PB的解析式为y=﹣ax+a．
设直线AE的解析式为y=x+b，将点A的坐标代入得： +b=0，解得：b=﹣．
∴直线AE的解析式为y=x﹣．
将y=﹣ax+a与y=x﹣联立，解得：x=，y=．
∴点E的坐标为〔，〕．
∴AE=．
∵sin∠APB=，
∴sin2∠APB====．∵a2+≥2×a•=8，
∴当a=时，sin∠APB有最大值，解得a=2或a=﹣2〔舍去〕．
∴当a=2时，∠APB有最大值．
∴P〔0，2〕．。