1近代光学信息处理
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−∞
二维傅立叶变换存在条件 － “物理的真实” 物理的真实” 常用 g(x,y) ⇔ G(u,v) 表示付里叶变换对。对于光学 付里叶变换，xy是空间变量，uv是空间频率变量。
δ函数的傅立叶变换 δ(x, y) 1 物理含义:点源函数具有权重为1的最丰富的频谱分量. 因 脉冲响应. 此光学中常用点光源来检测系统的响应特性,即脉冲响应 脉冲响应 傅立叶变换的性质： 傅立叶变换的性质： 线性：
Ag ( x, y ) + Bh( x, y ) ⇔ AG (u, v) + BH (u , v)
缩放及反演： 位移： 共轭：
g (ax, by ) ⇔
1 u v G( , ) ab a b
(反演a=b=-1)
g ( x + x0 , y + y0 ) ⇔ exp[i 2π (ux0 + vy0 )]G (u , v)
由δ函数变换得：
exp[i 2π (ux + vy)]x k y l dxdy = (i 2π ) − k −l δ ( k ,l ) (u, v) ∫∫
再用一次δ函数导数定义：
M k ,l = (−i 2π ) − k −l G ( k ,l ) (0,0)
4、Parseval 定理：
g * ( x, y ) f ( x, y )dxdy = ∫∫ G * (u , v)F (u , v)dudv ∫∫
∫∫
f ( x, y ) dxdy = ∫∫ F (u , v) dudv
2
2
能量守恒定律在空域和频域中表达式一致性的表现。 5、特殊函数及其付里叶变换： （1)
rect ( x) ⇔ sin c(u ) sin c( x) ⇔ rect (u ) Λ ( x) ⇔ sin c 2 (u ) 1 sgn( x) ⇔ iπu
1、角谱 、 单色波沿z方向传播，照射到xy平面上，在xy平面复振幅用 ψ(x, y, 0)表示，用频谱表示为： ψ ( x, y,0) = ψ ( x, y ) = ∫∫ A(u , v) exp[i 2π (ux + vy)]dudv （1） 一个波矢量为k的平面波在z=0平面： r r 2π ϕ 0 ( x, y, z = 0) = exp(ik ⋅ r ) = exp[i (αx + βy )] λ 做比较，取：
空间自相关函数表征空间相距为(x, y)的两点之间场 的相似性，是场的相干性的量度。 场的相干性（相似性） 越高，功率谱的弥散就越小，表示光功率集中在很小的 区域中（准单色光）；反之，当场的相干性较差时，功 率谱的弥散较大，表示光功率分布在频域中较大的区域 内，包含较宽的波段。 用途：测短脉冲波形
二、空间带宽积和测不准关系
近代光学信息处理
2011-2012学年秋季学期
• 考试成绩占70%，平时30% • 平时成绩的评定包括： 出勤，作业，课程论文 • 办公室G405 答疑时间：周一、周三 办公室电话：66132520 email：yangxih@
如Байду номын сангаас学习本课程
• 上课：2学时，讲述主要内容及同学试讲 • 课下：2学时，学习、调研相关内容， 完成作业 • 作业：基本问题， 调研、设计课题
3、系统分辨率 定义为： 定义为：输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距 的倒数。 的倒数。 输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距， δx δy ∝XY ∝ 1/(∆u∆v )∝ ∆x∆y/ SW 可见：在给定输入平面尺寸∆ 越大， 可见：在给定输入平面尺寸∆x, ∆y 后，SW越大，最 越大 小分辨长度就越小，系统的分辨率越高， 小分辨长度就越小，系统的分辨率越高，测量过程的失 真越小。 真越小。 问题：如果二个系统的带宽相同，测量质量有什么差 别？这就需要讨论等效带宽。
上式表示： Z=0平面的场，或者说透过xy平面向+z方向 传播的波，可以用不同方向的平面波展开。 复振幅分布的空间频率正比于α/λ或β/λ，在ψ(x,y)中 的低频分量对应于与z轴夹角不大的平面波分量，而高频 分量则对应于与z轴夹角较大的平面波分量（？？），这 这 是一个重要概念. 是一个重要概念 角谱：不同方向平面波的权函数A称为角谱。 角谱与平面波复振幅的关系就是付里叶变换：
g s ( x) = g ( x)comb( x / X ) = X
n = −∞
∑ g (nX )δ ( x − nX )
∞
gs(x)称g的抽样函数，X为从抽样间隔，xn＝nX称抽样 点，g(xn)称样值。
6、功率谱和空间自相关函数 f(x, y) ⊗ f(x, y) 自相关函数 | F(u, v)|2 = s(u, v) 功率谱
3、矩 g(x,y)的（k,l)阶矩定义为：
M k ,l = ∫∫ g ( x, y ) x k y l dxdy
M k ,l = ∫∫{∫∫ G (u, v) exp[i 2π (ux + vy)]dudv}x k y l dxdy = ∫∫ G (u, v)dudv ∫∫ exp[i 2π (ux + vy )]x k y l dxdy
α β α β α β ψ ( x, y, z ) = ∫∫ A( , ; z ) exp[i 2π ( x + y )]d d λ λ λ λ λ λ
以ψ(x, y, z)代入亥姆霍兹方程，可知复振幅A也是满 足亥姆霍兹方程：
d2 2 α β 2 + k z A , ; z = 0 dz λ λ
−∞ −∞
∞
∞
comb( x) ⇔ comb(u )
a.
函数g(x)与comb(x/X)的卷积为： 与 的卷积为： 函数 的卷积为
(1 / X ) g ( x) * comb( x / X ) =
n = −∞
∑ g ( x − nX )
∞
结果得到了以nX 为中心的一系列重复出现的波形 g(x-nX)，这一现象称为“复现”。 b. 函数g(x)与comb(x/X)的乘积用gs(x)表示， 函数g(x)与comb(x/X)的乘积用 (x)表示 的乘积用g 表示，
G (0) = ∫ g ( x)dx
−∞
∞
宽”，它是频谱曲线展宽程度的 量度。 ~ 由图可见，G(u)越宽， w 越大， 因而常用来评价系统的性能。
~ w 有明确的意义，称为“等效带
~w = 1 s~
由于s表征信号在空域的展宽或弥散，上式意味着信号在 空域和频域中的展宽是互相制约的。 问题1：为什么测量永远都不是绝对准确的？？ 问题 ：为什么测量永远都不是绝对准确的？？
（2) 周期函数： 周期函数可以表示为付里叶级数：
g ( x) = ∑ Cn exp(i 2nπf 0 x)
−∞ +∞
其中，
+
1 Cn = X
∫ g ( x) exp(−i 2nπf x)dx
0
X 2
−
X 2
两边取付里叶变换得到：
G (u ) = ∑ Cnδ (u − nf 0 )
−∞ +∞
（3) 梳状函数Comb(x)
α β u= , v= λ λ 则（1）式可表示为： α β α β α β ψ ( x, y ) = ∫∫ A( , ) exp[i 2π ( x + y )]d d λ λ λ λ λ λ
α β α β α β ψ ( x, y ) = ∫∫ A( , ) exp[i 2π ( x + y )]d d λ λ λ λ λ λ
3、等效带宽和测不准关系 设信号在空域和频域不显著为0的分量都集中在原点近 旁有限区域内，则可以用下面近似方法近似度量g(x)和 G(u)的弥散或展宽的程度 ∞ ~ = ∞ g ( x)dx / g (0) s g (0) = G (u )du
∫ ~ w=∫
−∞ ∞
∫
−∞
−∞
G (u )du / G (0)
α β α β A( , ) = ∫∫ψ ( x, y ) exp[−i 2π ( x + y )]dxdy λ λ λ λ
2、角谱的传播 、 ψ(x, y, 0) 即求 ψ(x, y, z)
α β α β A( , ) ⇒ A( , ; z ) λ λ λ λ
α β α β A( , ; z ) = ∫∫ψ ( x, y, z ) exp[−i 2π ( x + y )]dxdy λ λ λ λ
卷积和相关的付里叶变换性质： f(x, y)∗g(x, y) f(x, y)⊗g(x, y) f(x, y)⊗f(x, y) F(u, v)G(u, v) F∗(u, v)G(u, v) F∗(u, v)F(u, v)= | F(u, v)|2
互相关描述了两点间场的相关性；自相关反映了函数变化的快慢。
第一部分 付里叶光学基础
一、二维傅立叶分析
傅立叶变换把一个函数的空域和频域联系起来。 函数g(x,y)的傅立叶变换为
G (u , v) =
+∞
−∞
∫ g ( x, y) exp[−i 2π (ux + vy)]dxdy
+∞
G(u,v)的逆傅立叶变换为
g ( x, y ) = ∫ G (u , v) exp[i 2π (ux + vy )]dudv
测量某个量，实际上是对这个量进行的一个变换。例如， 测量某点， 用δ函数表示，是系统输入，输出恰恰是系统的脉冲响应h。通过测量只 能获得h包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身。 由于测量系统带宽有限，即w→∞的系统不存在，所以s永远不能为0， 即测量永远都不是绝对准确的。 即测量永远都不是绝对准确的
g * ( x, y ) ⇔ G * (−u ,−v)
2、卷积、相关 卷积： 相关：
f(x, y) ∗ g ( x, y ) = ∫∫ f (ξ ,η ) g ( x − ξ , y − η )dξdη f(x, y) ⊗ g ( x, y ) = ∫∫ f * (ξ ,η ) g ( x + ξ , y + η )dξdη
问题2：如果二个系统的带宽相同，测量质量有什么差别？？ 问题 ：如果二个系统的带宽相同，测量质量有什么差别？？
前边说过，w取决于G(u)分布，因此二个系统即使有等同的截止频率， 由于G(u)不同，也会得到不同的等效带宽，因而s也不一致。w越大，频 响特性越好，脉冲响应的弥散就越小。
三、平面波的角谱和角谱衍射
comb( x / X ) = X ∑ δ ( x − Xn) comb( x) = ∑ δ ( x − n)
−∞ ∞ −∞
∞
梳状函数是由一系列间隔为1的δ函数组成，它可以用 周期函数的付里叶级数表达为：
comb( x) = ∑ exp(i 2nπx)
−∞
∞
∑ exp(i 2nπx) ⇔ ∑ δ (u − n)
带限函数：信号g在频域内不为0的分量限制在某一区域内。 频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面。 1、空间带宽积 测量信号的实际测量系统的输入平面总是有限的， 设信号被限制在矩形区域r内，面积：∆x∆y；又设系统 的带宽为∆u, ∆v与抽样间隙X, Y 满足倒数关系，则在r内 共有抽样点N个： N= ∆x∆y/(XY) = ∆x∆y∆u∆v = SW SW称空间带宽积, 是评价系统性能的重要参数。 2、自由度 一般地，信号g在空域内不显著为0的分量只分布在有限区 域内，如上述假设区域r内，则信号由N个样值所确定。 称该信号有N个自由度。 显然：自由度=空间带宽积。
《近代光学信息处理》课程内容 近代光学信息处理》
•第一部分 基础理论部分－ 付里叶光学基础 •第二部分 相干光学信息处理 •第三部分 非相干光学信息处理 •第四部分 光学图像识别 •第五部分 空间光调制器 *第六部分 光学小波变换 *第七部分 专题报告
（研究课题：经典和量子光学信息处理）
近代光学信息处理发展得益于全息术、光学传递函数 和激光。而透镜的付里叶变换效应则是光学信息处理的理 论框架。 激光的应用使全息术获得了新的生命，全息术和光学 传递函数的进一步发展，加上把数学中的付里叶变换和 通信中的线性系统理论引入光学，使光学处理从“空域” 走向“频域”，为光学信息处理开辟了广阔的应用前景。 近年来，这一学科发展很快，理论体系日趋成熟，完整， 成为信息科学的重要分支，在一些领域中逐渐进入实用 阶段。 光学信息处理特点：高度并行、大容量。
二维傅立叶变换存在条件 － “物理的真实” 物理的真实” 常用 g(x,y) ⇔ G(u,v) 表示付里叶变换对。对于光学 付里叶变换，xy是空间变量，uv是空间频率变量。
δ函数的傅立叶变换 δ(x, y) 1 物理含义:点源函数具有权重为1的最丰富的频谱分量. 因 脉冲响应. 此光学中常用点光源来检测系统的响应特性,即脉冲响应 脉冲响应 傅立叶变换的性质： 傅立叶变换的性质： 线性：
Ag ( x, y ) + Bh( x, y ) ⇔ AG (u, v) + BH (u , v)
缩放及反演： 位移： 共轭：
g (ax, by ) ⇔
1 u v G( , ) ab a b
(反演a=b=-1)
g ( x + x0 , y + y0 ) ⇔ exp[i 2π (ux0 + vy0 )]G (u , v)
由δ函数变换得：
exp[i 2π (ux + vy)]x k y l dxdy = (i 2π ) − k −l δ ( k ,l ) (u, v) ∫∫
再用一次δ函数导数定义：
M k ,l = (−i 2π ) − k −l G ( k ,l ) (0,0)
4、Parseval 定理：
g * ( x, y ) f ( x, y )dxdy = ∫∫ G * (u , v)F (u , v)dudv ∫∫
∫∫
f ( x, y ) dxdy = ∫∫ F (u , v) dudv
2
2
能量守恒定律在空域和频域中表达式一致性的表现。 5、特殊函数及其付里叶变换： （1)
rect ( x) ⇔ sin c(u ) sin c( x) ⇔ rect (u ) Λ ( x) ⇔ sin c 2 (u ) 1 sgn( x) ⇔ iπu
1、角谱 、 单色波沿z方向传播，照射到xy平面上，在xy平面复振幅用 ψ(x, y, 0)表示，用频谱表示为： ψ ( x, y,0) = ψ ( x, y ) = ∫∫ A(u , v) exp[i 2π (ux + vy)]dudv （1） 一个波矢量为k的平面波在z=0平面： r r 2π ϕ 0 ( x, y, z = 0) = exp(ik ⋅ r ) = exp[i (αx + βy )] λ 做比较，取：
空间自相关函数表征空间相距为(x, y)的两点之间场 的相似性，是场的相干性的量度。 场的相干性（相似性） 越高，功率谱的弥散就越小，表示光功率集中在很小的 区域中（准单色光）；反之，当场的相干性较差时，功 率谱的弥散较大，表示光功率分布在频域中较大的区域 内，包含较宽的波段。 用途：测短脉冲波形
二、空间带宽积和测不准关系
近代光学信息处理
2011-2012学年秋季学期
• 考试成绩占70%，平时30% • 平时成绩的评定包括： 出勤，作业，课程论文 • 办公室G405 答疑时间：周一、周三 办公室电话：66132520 email：yangxih@
如Байду номын сангаас学习本课程
• 上课：2学时，讲述主要内容及同学试讲 • 课下：2学时，学习、调研相关内容， 完成作业 • 作业：基本问题， 调研、设计课题
3、系统分辨率 定义为： 定义为：输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距 的倒数。 的倒数。 输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距， δx δy ∝XY ∝ 1/(∆u∆v )∝ ∆x∆y/ SW 可见：在给定输入平面尺寸∆ 越大， 可见：在给定输入平面尺寸∆x, ∆y 后，SW越大，最 越大 小分辨长度就越小，系统的分辨率越高， 小分辨长度就越小，系统的分辨率越高，测量过程的失 真越小。 真越小。 问题：如果二个系统的带宽相同，测量质量有什么差 别？这就需要讨论等效带宽。
上式表示： Z=0平面的场，或者说透过xy平面向+z方向 传播的波，可以用不同方向的平面波展开。 复振幅分布的空间频率正比于α/λ或β/λ，在ψ(x,y)中 的低频分量对应于与z轴夹角不大的平面波分量，而高频 分量则对应于与z轴夹角较大的平面波分量（？？），这 这 是一个重要概念. 是一个重要概念 角谱：不同方向平面波的权函数A称为角谱。 角谱与平面波复振幅的关系就是付里叶变换：
g s ( x) = g ( x)comb( x / X ) = X
n = −∞
∑ g (nX )δ ( x − nX )
∞
gs(x)称g的抽样函数，X为从抽样间隔，xn＝nX称抽样 点，g(xn)称样值。
6、功率谱和空间自相关函数 f(x, y) ⊗ f(x, y) 自相关函数 | F(u, v)|2 = s(u, v) 功率谱
3、矩 g(x,y)的（k,l)阶矩定义为：
M k ,l = ∫∫ g ( x, y ) x k y l dxdy
M k ,l = ∫∫{∫∫ G (u, v) exp[i 2π (ux + vy)]dudv}x k y l dxdy = ∫∫ G (u, v)dudv ∫∫ exp[i 2π (ux + vy )]x k y l dxdy
α β α β α β ψ ( x, y, z ) = ∫∫ A( , ; z ) exp[i 2π ( x + y )]d d λ λ λ λ λ λ
以ψ(x, y, z)代入亥姆霍兹方程，可知复振幅A也是满 足亥姆霍兹方程：
d2 2 α β 2 + k z A , ; z = 0 dz λ λ
−∞ −∞
∞
∞
comb( x) ⇔ comb(u )
a.
函数g(x)与comb(x/X)的卷积为： 与 的卷积为： 函数 的卷积为
(1 / X ) g ( x) * comb( x / X ) =
n = −∞
∑ g ( x − nX )
∞
结果得到了以nX 为中心的一系列重复出现的波形 g(x-nX)，这一现象称为“复现”。 b. 函数g(x)与comb(x/X)的乘积用gs(x)表示， 函数g(x)与comb(x/X)的乘积用 (x)表示 的乘积用g 表示，
G (0) = ∫ g ( x)dx
−∞
∞
宽”，它是频谱曲线展宽程度的 量度。 ~ 由图可见，G(u)越宽， w 越大， 因而常用来评价系统的性能。
~ w 有明确的意义，称为“等效带
~w = 1 s~
由于s表征信号在空域的展宽或弥散，上式意味着信号在 空域和频域中的展宽是互相制约的。 问题1：为什么测量永远都不是绝对准确的？？ 问题 ：为什么测量永远都不是绝对准确的？？
（2) 周期函数： 周期函数可以表示为付里叶级数：
g ( x) = ∑ Cn exp(i 2nπf 0 x)
−∞ +∞
其中，
+
1 Cn = X
∫ g ( x) exp(−i 2nπf x)dx
0
X 2
−
X 2
两边取付里叶变换得到：
G (u ) = ∑ Cnδ (u − nf 0 )
−∞ +∞
（3) 梳状函数Comb(x)
α β u= , v= λ λ 则（1）式可表示为： α β α β α β ψ ( x, y ) = ∫∫ A( , ) exp[i 2π ( x + y )]d d λ λ λ λ λ λ
α β α β α β ψ ( x, y ) = ∫∫ A( , ) exp[i 2π ( x + y )]d d λ λ λ λ λ λ
3、等效带宽和测不准关系 设信号在空域和频域不显著为0的分量都集中在原点近 旁有限区域内，则可以用下面近似方法近似度量g(x)和 G(u)的弥散或展宽的程度 ∞ ~ = ∞ g ( x)dx / g (0) s g (0) = G (u )du
∫ ~ w=∫
−∞ ∞
∫
−∞
−∞
G (u )du / G (0)
α β α β A( , ) = ∫∫ψ ( x, y ) exp[−i 2π ( x + y )]dxdy λ λ λ λ
2、角谱的传播 、 ψ(x, y, 0) 即求 ψ(x, y, z)
α β α β A( , ) ⇒ A( , ; z ) λ λ λ λ
α β α β A( , ; z ) = ∫∫ψ ( x, y, z ) exp[−i 2π ( x + y )]dxdy λ λ λ λ
卷积和相关的付里叶变换性质： f(x, y)∗g(x, y) f(x, y)⊗g(x, y) f(x, y)⊗f(x, y) F(u, v)G(u, v) F∗(u, v)G(u, v) F∗(u, v)F(u, v)= | F(u, v)|2
互相关描述了两点间场的相关性；自相关反映了函数变化的快慢。
第一部分 付里叶光学基础
一、二维傅立叶分析
傅立叶变换把一个函数的空域和频域联系起来。 函数g(x,y)的傅立叶变换为
G (u , v) =
+∞
−∞
∫ g ( x, y) exp[−i 2π (ux + vy)]dxdy
+∞
G(u,v)的逆傅立叶变换为
g ( x, y ) = ∫ G (u , v) exp[i 2π (ux + vy )]dudv
测量某个量，实际上是对这个量进行的一个变换。例如， 测量某点， 用δ函数表示，是系统输入，输出恰恰是系统的脉冲响应h。通过测量只 能获得h包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身。 由于测量系统带宽有限，即w→∞的系统不存在，所以s永远不能为0， 即测量永远都不是绝对准确的。 即测量永远都不是绝对准确的
g * ( x, y ) ⇔ G * (−u ,−v)
2、卷积、相关 卷积： 相关：
f(x, y) ∗ g ( x, y ) = ∫∫ f (ξ ,η ) g ( x − ξ , y − η )dξdη f(x, y) ⊗ g ( x, y ) = ∫∫ f * (ξ ,η ) g ( x + ξ , y + η )dξdη
问题2：如果二个系统的带宽相同，测量质量有什么差别？？ 问题 ：如果二个系统的带宽相同，测量质量有什么差别？？
前边说过，w取决于G(u)分布，因此二个系统即使有等同的截止频率， 由于G(u)不同，也会得到不同的等效带宽，因而s也不一致。w越大，频 响特性越好，脉冲响应的弥散就越小。
三、平面波的角谱和角谱衍射
comb( x / X ) = X ∑ δ ( x − Xn) comb( x) = ∑ δ ( x − n)
−∞ ∞ −∞
∞
梳状函数是由一系列间隔为1的δ函数组成，它可以用 周期函数的付里叶级数表达为：
comb( x) = ∑ exp(i 2nπx)
−∞
∞
∑ exp(i 2nπx) ⇔ ∑ δ (u − n)
带限函数：信号g在频域内不为0的分量限制在某一区域内。 频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面。 1、空间带宽积 测量信号的实际测量系统的输入平面总是有限的， 设信号被限制在矩形区域r内，面积：∆x∆y；又设系统 的带宽为∆u, ∆v与抽样间隙X, Y 满足倒数关系，则在r内 共有抽样点N个： N= ∆x∆y/(XY) = ∆x∆y∆u∆v = SW SW称空间带宽积, 是评价系统性能的重要参数。 2、自由度 一般地，信号g在空域内不显著为0的分量只分布在有限区 域内，如上述假设区域r内，则信号由N个样值所确定。 称该信号有N个自由度。 显然：自由度=空间带宽积。
《近代光学信息处理》课程内容 近代光学信息处理》
•第一部分 基础理论部分－ 付里叶光学基础 •第二部分 相干光学信息处理 •第三部分 非相干光学信息处理 •第四部分 光学图像识别 •第五部分 空间光调制器 *第六部分 光学小波变换 *第七部分 专题报告
（研究课题：经典和量子光学信息处理）
近代光学信息处理发展得益于全息术、光学传递函数 和激光。而透镜的付里叶变换效应则是光学信息处理的理 论框架。 激光的应用使全息术获得了新的生命，全息术和光学 传递函数的进一步发展，加上把数学中的付里叶变换和 通信中的线性系统理论引入光学，使光学处理从“空域” 走向“频域”，为光学信息处理开辟了广阔的应用前景。 近年来，这一学科发展很快，理论体系日趋成熟，完整， 成为信息科学的重要分支，在一些领域中逐渐进入实用 阶段。 光学信息处理特点：高度并行、大容量。