高等数学(下)习题集答案
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3
2k 时表面积最小； 2
2 1 和 时所得旋转体的体积最大； 3 3 1 时面积最大； 2
7．当长、宽均为
8．当长为
1 1 、宽为 时面积最大； 4 6
9．当两直角边均为
l 2
时周长最大；
10．将 a 分为
a a a 、 、 时乘积最大。 3 3 3
第九章
一． 填空题 1． ； 2． ； 3．
1 2
3 2
2 1 1 ； 4．16； 5． ； 6．0； 7．－4； 8． ； 9． ； 10．0. 3 3 3 2
二． 解答题
1 sin 1 ； 1． (1 cos 4) ； 2． 3． (1 ) ； 4． ； 5．
8． 1 e
2
1 2
1 6
1 e
1 2
1 e 1 ； 6．2 ； 7． (e 4 1) ； 2
第八章
一．填空题 1． 4 ； 2． 2(e 2) ； 3．2e
2
2
； 4．4e ； 11．0 ；
4
5． ；
y
9 5
6． e ； 7． (8
2
1 )； e2
8． 2 ； 9． 4 ；
10．－2；
xy
12． x (lnx)
；
13． xe sin y ；
x
14．2 x ； 15．2 y (1 xy )e ； 16．2 y ； 17． 2 ；
20． x y z 2 .
2． 4 x y 3z 1 0 ； 5．
3．
x 1 y 2 z 3 ； 1 3 2
6． (1 , 5 , 2) .
x 1 y 2 z 3 ； 2 3 7
x3 y 2 z 5 ； 4 3 1
3．
； 12
4．
81 ； 2
5．
1 R3 ； 12
6．12.
2
13．2 x 7 y z 0 ； 16． x y 3z 5 0 ；
2 2
15．
x 1 y 1 z 2 ； 1 2 5 x 1 y 3 z 2 ； 2 3 4
x 1 y z 3 ； 3 2 1
2 2
18．
2
19． ( x 1) ( y 2) ( z 3) 16 ； 二． 解答题 1．x 5 y 3z 4 0 ； 4．
19．
z 3 yz 2 x z 3xz 2 y ， ； x 2 z 3xy y 2 z 3xy
20． dz
e xy ( y dz
(2 x yz 2 )dx (3 y 2 xz 2 )dy ； 2 xyz
8． dz ( y F 9 ．
y F ' )dx ( x F ' )dy ； x
z y x ln y f 2 x 2 f ' x
，
z xy x 1 2 xyf ' y
，
dz ( y x ln y f 2 x 2 f ' )dx ( xy x1 2 xyf ' )dy ；
z 2 yf 1 ' xe xy f 2 ' ； y
6． dz e
y x ( ) x y
y 1 x 1 ( 2 )dx ( 2 )dy ； y x y x
7． dz yx
y 1
2 xy
y f' 1 f' dx x ln x 2 y 2 2 dy ； 2 f f f
12．
4
；
9． ；
7 3
10．
1 33 ； 11． ； 3 140 16 ； 3
9 ； 8
19．
13．
9 ； 4
14．
1 ； 24
15．
1 ； 24
16． 2 ( e 1) ； 17．
18．9；
； 20． (2 ln2 1) . 4 16
三．应用题 1． 8 ； 2．
； 2
17．
z z2 z z ， ； x x z y y ( x z )
z z tan(x z ) 1， tan( x z ) ； x y
cos( x z ) y 2 z z 2 xyz z 2 18． ， ； 2 x cos( x z ) y x y xy cos( x z )
13．
x 2z 1 z z x 2 z 1 2 z ； ln( xy ) 1 ， ， 2 , 2 2 , x y x y y x y xy y
2z x 2 2 ' ' 14． ； xy y (2 x y ) 2
16．
2z z 15． 2 xyf ' ， 2 xf '4 xy 2 f ' ' ； x xy
10． dz
x 3 y 4
2dx dy 2 z y2 ， 2 5 x (x 2 y 2 ) x 2 y 2
；
11． 2 y 12 x
y y y cos( ) sin( ) ； x x x
2z 12． xy
x2 y 3
4(1 3 ln2) ；
18． 16 ； 19． 0 ；
20．6e .
1
二．解答题 1．
y z x z sin 2( x 3) ， ； x 2(1 xy ) ln(1 xy ) y 2(1 xy ) ln(1 xy )
2．
z 1 z y 2 xyf u ' 2 f v ' ， x 2 f u ' f v ' ； x y x x
z z cos( x 2 y) 2 xyf ' ， 2 cos( x 2 y) f 2 y 2 f ' ； x y
3．
4．
z yx y 1 f ' ， z x y ln x f x f ' ； y y x
5．
z 2 xf 1 ' ye xy f 2 ' ， x
x 0 y 3
22．当 z 1 时 dz
3dy ， 当 z 3 时 dz x 0
y 3
3dy ；
23．是驻点，是极值点，是极小值点；
24．极大值为 f (2 , 2) 8 .
三．应用题 1．当长、宽、高均为 2m 时用料最省； 2．当长、宽、高均为 23 4 m 时用料最省； 3．当长、宽、高均为 3 V0 时用料最省； 4．当边长均为 103 6 m、高为 53 6 m 时表面积最小； 5．当长、宽均为 3 2k ，高为 6．当边长为
参考答案
第七章
一． 填空题 1．2； 2．8； 3． 1 , 5 , 5； 4． 5 , 2 , 2 ； 8． 2； 9． －1； 5．－14； 10． ；
6． 14 ， 1 , 2 , 3，5 , 0 , 1； 7． 0； 12．
2
11． ；
3
； 4
14．2 x y z 1 0 ； 17．
2k 时表面积最小； 2
2 1 和 时所得旋转体的体积最大； 3 3 1 时面积最大； 2
7．当长、宽均为
8．当长为
1 1 、宽为 时面积最大； 4 6
9．当两直角边均为
l 2
时周长最大；
10．将 a 分为
a a a 、 、 时乘积最大。 3 3 3
第九章
一． 填空题 1． ； 2． ； 3．
1 2
3 2
2 1 1 ； 4．16； 5． ； 6．0； 7．－4； 8． ； 9． ； 10．0. 3 3 3 2
二． 解答题
1 sin 1 ； 1． (1 cos 4) ； 2． 3． (1 ) ； 4． ； 5．
8． 1 e
2
1 2
1 6
1 e
1 2
1 e 1 ； 6．2 ； 7． (e 4 1) ； 2
第八章
一．填空题 1． 4 ； 2． 2(e 2) ； 3．2e
2
2
； 4．4e ； 11．0 ；
4
5． ；
y
9 5
6． e ； 7． (8
2
1 )； e2
8． 2 ； 9． 4 ；
10．－2；
xy
12． x (lnx)
；
13． xe sin y ；
x
14．2 x ； 15．2 y (1 xy )e ； 16．2 y ； 17． 2 ；
20． x y z 2 .
2． 4 x y 3z 1 0 ； 5．
3．
x 1 y 2 z 3 ； 1 3 2
6． (1 , 5 , 2) .
x 1 y 2 z 3 ； 2 3 7
x3 y 2 z 5 ； 4 3 1
3．
； 12
4．
81 ； 2
5．
1 R3 ； 12
6．12.
2
13．2 x 7 y z 0 ； 16． x y 3z 5 0 ；
2 2
15．
x 1 y 1 z 2 ； 1 2 5 x 1 y 3 z 2 ； 2 3 4
x 1 y z 3 ； 3 2 1
2 2
18．
2
19． ( x 1) ( y 2) ( z 3) 16 ； 二． 解答题 1．x 5 y 3z 4 0 ； 4．
19．
z 3 yz 2 x z 3xz 2 y ， ； x 2 z 3xy y 2 z 3xy
20． dz
e xy ( y dz
(2 x yz 2 )dx (3 y 2 xz 2 )dy ； 2 xyz
8． dz ( y F 9 ．
y F ' )dx ( x F ' )dy ； x
z y x ln y f 2 x 2 f ' x
，
z xy x 1 2 xyf ' y
，
dz ( y x ln y f 2 x 2 f ' )dx ( xy x1 2 xyf ' )dy ；
z 2 yf 1 ' xe xy f 2 ' ； y
6． dz e
y x ( ) x y
y 1 x 1 ( 2 )dx ( 2 )dy ； y x y x
7． dz yx
y 1
2 xy
y f' 1 f' dx x ln x 2 y 2 2 dy ； 2 f f f
12．
4
；
9． ；
7 3
10．
1 33 ； 11． ； 3 140 16 ； 3
9 ； 8
19．
13．
9 ； 4
14．
1 ； 24
15．
1 ； 24
16． 2 ( e 1) ； 17．
18．9；
； 20． (2 ln2 1) . 4 16
三．应用题 1． 8 ； 2．
； 2
17．
z z2 z z ， ； x x z y y ( x z )
z z tan(x z ) 1， tan( x z ) ； x y
cos( x z ) y 2 z z 2 xyz z 2 18． ， ； 2 x cos( x z ) y x y xy cos( x z )
13．
x 2z 1 z z x 2 z 1 2 z ； ln( xy ) 1 ， ， 2 , 2 2 , x y x y y x y xy y
2z x 2 2 ' ' 14． ； xy y (2 x y ) 2
16．
2z z 15． 2 xyf ' ， 2 xf '4 xy 2 f ' ' ； x xy
10． dz
x 3 y 4
2dx dy 2 z y2 ， 2 5 x (x 2 y 2 ) x 2 y 2
；
11． 2 y 12 x
y y y cos( ) sin( ) ； x x x
2z 12． xy
x2 y 3
4(1 3 ln2) ；
18． 16 ； 19． 0 ；
20．6e .
1
二．解答题 1．
y z x z sin 2( x 3) ， ； x 2(1 xy ) ln(1 xy ) y 2(1 xy ) ln(1 xy )
2．
z 1 z y 2 xyf u ' 2 f v ' ， x 2 f u ' f v ' ； x y x x
z z cos( x 2 y) 2 xyf ' ， 2 cos( x 2 y) f 2 y 2 f ' ； x y
3．
4．
z yx y 1 f ' ， z x y ln x f x f ' ； y y x
5．
z 2 xf 1 ' ye xy f 2 ' ， x
x 0 y 3
22．当 z 1 时 dz
3dy ， 当 z 3 时 dz x 0
y 3
3dy ；
23．是驻点，是极值点，是极小值点；
24．极大值为 f (2 , 2) 8 .
三．应用题 1．当长、宽、高均为 2m 时用料最省； 2．当长、宽、高均为 23 4 m 时用料最省； 3．当长、宽、高均为 3 V0 时用料最省； 4．当边长均为 103 6 m、高为 53 6 m 时表面积最小； 5．当长、宽均为 3 2k ，高为 6．当边长为
参考答案
第七章
一． 填空题 1．2； 2．8； 3． 1 , 5 , 5； 4． 5 , 2 , 2 ； 8． 2； 9． －1； 5．－14； 10． ；
6． 14 ， 1 , 2 , 3，5 , 0 , 1； 7． 0； 12．
2
11． ；
3
； 4
14．2 x y z 1 0 ； 17．