河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期
期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数的求导正确的是（ ）
A ．()22x x '-=-
B ．()2e 2e x x '=
C ．()cos cos sin x x x x x '=-
D ．()()122x x x -'=⋅ 2．设曲线()e x f x a b =+和曲线()πcos 2
x g x c =+在它们的公共点()02P ，处有相同的切线，则+a b c 的值为（ ）
A ．0
B ．π
C ．2
D ．3
3．已知随机变量X 的分布列如下，随机变量Y 满足21Y X =-，则随机变量Y 的期望()E Y 等于（ ）
A ．43
B ．83
C ．53
D ．73
4．函数()(1)ln 1f x x x =+-的大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）
A ．120
B ．150
C ．240
D ．300 6．()
632x x
⎛- ⎝的展开式中6x 的系数为（ ） A ．17- B ．17 C ．13- D ．13
7．设35ln 23a =，253e 5
b =，1
c =，则（ ） A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >> 8．若方程()()23ln 12ln x a x a x x --=有三个不同的解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，
B ．224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭
， C ．()224e 10114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭
⋃，， D ．()224e 1014e 4e ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭⋃，
二、多选题
9．已知()62601262a a x a x a x =+++⋯+，则下列结论正确的是（ ）
A ．3360a =-
B ．()()2202461351a a a a a a a +++-++=
C ．(6612622a a a ++⋯+=-
D ．展开式中最大的系数为2a
10．已知函数()()()2e 114
ax F x m x m =++++，下列说法正确的有（ ） A ．若0m =，1a =-，则函数()F x 有最小值
B ．若1m =-，0a ≠，则过原点可以作2条直线与曲线()y F x =相切
C ．若0a =，且对任意m ∈R ，()0F x >恒成立，则11x -<<
D ．若对任意R m ∈，任意0x >，()0F x ≥恒成立，则a 的最小值是2e
11．已知函数()()y f x x =∈R ，若()0f x >且()()0f x xf x '+>，则有（ ）
A ．()f x 可能是奇函数或偶函数
B ．()()11f f -<
C ．当ππ42
x <<时，()()cos22sin e cos x f x f x > D ．()()01f >
三、填空题
12．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、
“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有 种排法.
13．某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为35
，则抽到2名男生的概率为 . 14．若[]0,2x ∃∈，使得()1eln e e 1ln x a a x x a --+≥-+成立（其中e 2.71828=L 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是 .
四、解答题
15．已知二项式n
x
⎛ ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=
(1)求n 的值；
(2)求其展开式中所有的有理项．
16．某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目
是选择题的概率．
17．已知函数()ln f x x x x =+.
(1)求函数()f x 的极值；
(2)若()()1k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大整数值.
18．张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为13
，第二次投篮命中的概率为1
2，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为2
3，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为15
. （1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；
（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布.
19．设定义在R 上的函数()()e x f x ax a =-∈R ．
(1)若存在[)01,x ∈+∞，使得()0e f x a <-成立，求实数a 的取值范围；
(2)定义：如果实数s ，t ，r 满足s r t r -≤-，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及1x ≥，问：e x
和1e x a -+哪个更接近ln x ？并说明理由．。