第30讲-复数(讲义版)

第30讲-复数
一、 考情分析
1.通过方程的解，认识复数；
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；
3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
二、 知识梳理
1.复数的有关概念
内容 意义
备注
复数的概念
形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b 若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数
复数相等
a ＋
b i ＝
c ＋
d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )
共轭复数 a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原
点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设OZ
→对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模
|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2 2.复数的几何意义
复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i
复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ
→.
3.复数的运算
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；
(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）
（c ＋d i ）（c －d i ）
＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i
c 2＋
d 2(c ＋d i ≠0).
[微点提醒]
1.i 的乘方具有周期性
i n
＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，
i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3
(k ∈Z ).
2.复数的模与共轭复数的关系
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.
三、 经典例题
考点一 复数的相关概念
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．0或1
【答案】C 【解析】
()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，
10 10m m -=⎧∴⎨
+≠⎩
，即1m =，故选C ． A ．
15
B
C ．
12
D
．
2
【答案】B
【解析】
12
12
3434
i
i
z z
i i
+
+
=====
++
．
A．
3
2
-B．
3
2
C．3-D．3
【答案】A
【解析】122)(
(3)(6)
(23)
=+=++-
-i a a
z z a i i是纯虚数，
所以(23)0
+=
a且60
a-≠，可得
3
2
a=-
A．若复数3i
z=+，则
13
1010
i
z
=-．
B．复数z满足21
z i
-=，z在复平面内对应的点为(),x y，则()2
221
x y
+-=．
C．若复数1z，2z满足2
1
z z
=，则120
z z≥．
D．复数13
z i
=-的虚部是3．
【答案】ABC
【解析】由()()
1133
3i3i3i1010
i i
z
-
===-
++-，故A正确；
由z在复平面内对应的点为(),x y，则()
221
z i x y i
-=+-=
1
=，则()2
221
x y
+-=，故B正确；
设复数1z a bi
=+，则
2
z a bi
=-，所以()()2
1
2
2
a bi a b
z bi
z a
+-=+
=≥，故C正确；复数13
z i
=-的虚部是-3，故D不正确.
(1)实数；(2)纯虚数；(3)零.
【解析】(1)z为实数的充要条件是z的虚部为0，即
23100
m m
--=，解得2
m=-或5
m=，
所以当2
m=-或5
m=时，z为实数.
(2)z为纯虚数的充要条件是z的虚部不为0，而实部为0，即
2
2
60
3100
m m
m m
⎧--=
⎨
--≠
⎩
，解得3
m=，
所以当3m =时，z 为纯虚数.
(3)z 为零的充要条件是z 的实部与虚部同时为零，即
22
60
3100m m m m ⎧--=⎨--=⎩
，解得2m =-， 所以当2m =-时，0z =.
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.
考点二 复数的几何意义
A ．1
B ．0
C ．﹣1
D ．﹣2
【答案】B 【解析】∵()()()()111
11122
a i i a i a a z i i i i +++-+=
==+--+ 又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，
∴102
102
a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，得﹣1＜a ＜1．
∴实数a 的值可以是0．
A ．y x =-
B ．y x =
C ．()()22111x y -+-=
D ．()()22
111x y +++=
【答案】B
【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，∵1i z z -=-，∴1x yi x yi i +-=+-， 即2
2
2
2
(1)(1)x y x y -+=+-，化简得y x =．
A
．
B ．(3,2)
C ．(5,0)
D ．(4,1)
【答案】D
【解析】设z a bi =+， 因为|3|2z -=， 所以2
2
(3)4a b -+=， 经验证(4,1)M 不满足，故选：D.
【答案】()2,6 【解析】由题意可知：
()2124(816)z a a a i =+---，
所以21240,(816)0,
a a a ⎧+->⎨--<⎩解得26a <<，
即实数a 的取值范围是()2,6．
（1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；
（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围. 【解析】解：（1）∵复数z 是纯虚数，
∴224300
m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得130,1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故3m =，
（2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限
∴22430
0m m m m ⎧-+>⎨->⎩
，解得3m >或0m <，
∴实数m 的取值范围为()
(),03,-∞+∞.
规律方法 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )
Z (a ，b )
OZ
→＝(a ，b ).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
考点三 复数的运算
A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
【答案】C
【解析】由于()()()2
1121112
i i i
i i i i ---===-++-，
所以()
()
2020
2020
4505
111i i i i ⨯-⎛⎫=-=-= ⎪
+⎝⎭
．
A ．85
i B ．2455
i -
C ．85
i -
D ．
2455
i + 【答案】A
【解析】2z i =+，2z i =-，
()()22
2222282245
i i z z i i i z z i i i +--+--=-==-+-.
A ．12i -
B ．1+2i
C ．-1-2i
D ．-1+2i
【答案】A 【解析】复数()2
2i 212i i i z i i --=
==+
z 的共轭复数是12i -.
A ．
13
22
i + B ．
1322
i - C ．1322
i -
+ D ．1322
i -
- 【答案】B 【解析】()()()()21223113
111222
i i i i i i i i -----===-++-. 故选：B. A ．112145145
i -
+ B ．
112145145
i - C ．
112145145
i + D ．112145145
i -
- 【答案】C
【解析】
(12)112112
12(12)(12)145145145
i i i i
i
i i i
-+
===+ ++-
，
规律方法复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
[方法技巧]
1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.
2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.
3.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
4.注意复数的虚部是指在a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.
四、课时作业
A．1B．2i C．±1D．2
A ．12
B ．12
-
C ．
12
i D ．12
i -
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
A ．1122
z i =
+ B ．复数z 对应的点在第一象限 C ．1z = D ．复数z 的虚部与实部互为相反数
A ．10
z z
+是实数 B ．10
2z z
+
< C ．101z z
+> D ．z 在复平面中所对应的点不可能在第三象限
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
A ．y x =-
B ．y x =
C ．()()22111x y -+-=
D ．()()22
111x y +++=
A ．
B ．(3,2)
C ．(5,0)
D ．(4,1)
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
A ．i -
B ．i
C ．1i +
D ．1i -+
A 12
i - B ．
12 C 12
i + D ．
12+ A ．i +2 B ．i -2 C ．-i -2 D ．2 - i
A ．2655
i + B ．
2655
i - C ．2655
i -
+ D ．2655
i -
-
A ．12i -
B ．12i +
C ．2i +
D ．2i -
A ．-
B ．4
-
C ．
4
D ．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
A ．﹣1
B ．﹣i
C ．1
D ．i
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
A ．2+i
B ．2﹣i
C ．l +2i
D ．1﹣2i
A ．32
- B ．
32
C ．3-
D ．3
A ．1
B
C
D ．5
A ．110
B ．
1110
C ．
2110
D ．
21
10
- A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小
B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定
C ．m n p ≤=
D ．m n p ≥=
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B ．z 可能为实数
C ．2cos z θ=
D ．1z
的实部为12
A ．若复数3i z =+，则
131010
i
z =-． B ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2
221x y +-=． C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥． D ．复数13z i =-的虚部是3．
28．（多选题）已知z 1与z 2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是( ) A ．z 12<|z 2|2 B ．2
122z z z =
C ．z 1+z 2∈R
D ．
1
2
z R z ∈ A ．20
z
B ．2z z =
C ．31z =
D ．2020z z =
A ．10i e π+=
B ．1ix
e
=
11 C ．cos
2ix ix e e x --= D ．12i e 在复平面内对应的点位于第二象限
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在实轴的上方.
（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围．
（2）若1
1
11z z ω-=+，求证：ω为纯虚数．
(1) ,AO BC 所表示的复数；
(2)对角线CA 所表示的复数；
(3)B 点对应的复数．
（1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .
（1）若所对应点在圆上，求所对应点的轨迹；。