人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程》随堂练习题

基础知识反馈卡·21.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( ) A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－12．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.4．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m 的值是______．5．把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．用配方法解方程x 2－23x －1＝0，正确的配方为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＝89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝59C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋109＝0D.⎝⎛⎭⎪⎫x －132＝1092．一元二次方程x 2＋x ＋14＝0的根的情况是( )A ．有两个不等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x 2－4x －12＝0的解x 1＝________，x 2＝________. 4．x 2＋2x －5＝0配方后的方程为____________． 5．用公式法解方程4x 2－12x ＝3，得到x ＝________. 三、解答题(共7分)6．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx －2＝0.(1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) 1．一元二次方程x 2＝3x 的根是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－32．方程4(x －3)2＋x (x －3)＝0的根为( )A ．x ＝3B ．x ＝125C ．x 1＝－3，x 2＝125D ．x 1＝3，x 2＝125二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x 2－16＝0的解是____________．4．如果(m ＋n )(m ＋n ＋5)＝0，则m ＋n ＝______. 5．方程x (x －1)＝x 的解是________． 三、解答题(共7分)6．解下列一元二次方程：(1)2x 2－8x ＝0； (2)x 2－3x －4＝0.时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是( )A．4 B．3 C．－4 D．－32．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )A．－3,2 B．3，－2 C．2，－3 D．2,3二、填空题(每小题4分，共12分)3．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________．4．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m的值是______．5．已知x1，x2是方程x2－3x－3＝0的两根，不解方程可求得x21＋x22＝________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足1α＋1β＝1，求m的值．基础知识反馈卡·21.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A．173(1＋x%)2＝127 B．173(1－2x%)＝127C．173(1－x%)2＝127 D．127(1＋x%)2＝1732．某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( ) A．19% B．20% C．21% D．22%3．一个面积为120 cm2的矩形花圃，它的长比宽多2 m，则花圃的长是( )A．10 m B．12 m C．13 m D．14 m二、填空题(每小题4分，共8分)4．已知一种商品的进价为50元，售价为62元，则卖出8件所获得的利润为__________元．5．有一个两位数等于其数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，则这个两位数是________．三、解答题(共8分)6．某西瓜经营户以2元/千克的进价购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天赢利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？参考答案基础知识反馈卡·21.11．B 2.B 3.2 4.－125．x 2－6x ＋4＝0 x 2 －6 4 6．解：把x ＝－1代入原方程，得 2m －1－3m ＋5＝0，解得m ＝4. 基础知识反馈卡·21.2.1 1．D 2.B 3.6 －24．(x ＋1)2＝6 5.3±2 326．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝m 2＋8， ∵对于任意实数m ，m 2≥0， ∴m 2＋8＞0.∴对于任意的实数m ，方程总有两个不相等的实数根． (2)当m ＝2时，原方程变为x 2－2x －2＝0，∵Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝12，∴x ＝2±122.解得x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3. 基础知识反馈卡·21.2.2 1．C 2.D3. x ＝±44.0或－55.0或2 6．(1)x 1＝0，x 2＝4 (2)x 1＝4，x 2＝－1基础知识反馈卡·*21.2.3 1．B 2.A3．x 2－7x ＋12＝0(答案不唯一) 4．2 2 5.156．解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.∴(2m －3)2－4m 2＞0.解得m ＜34.∵1α＋1β＝1，即α＋βαβ＝1. ∴α＋β＝αβ.又α＋β＝－(2m －3)，αβ＝m 2. 代入上式，得3－2m ＝m 2. 解得m 1＝－3，m 2＝1.∵m 2＝1＞34，故舍去．∴m ＝－3.基础知识反馈卡·21.31．C 2.B 3.B 4.96 5.246．解：设每千克小型西瓜的售价降低x 元，根据题意，得(3－2－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫200＋x0.1×40－24＝200，整理，得50x －25x ＋3＝0，解得x 1＝0.2，x 2＝0.3.答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．。

人教版九年级上21.1一元二次方程同步练习一．选择题1．（2021春•张店区期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0 C．x2﹣＝5 D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）2．（2021春•阜南县期末）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10 3．（2021•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣34．（2021春•当涂县期末）关于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣2 B．±2 C．3 D．±35．（2021•环翠区模拟）若x＝1是方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的根，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．26．（2021春•泰山区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2021+3a ﹣3b的值为（）A．2018 B．2020 C．2022 D．20247．（2021春•海安市期末）已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+4m的值为（）A．2020 B．2021 C．2019 D．﹣20208．（2021春•阜南县月考）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个非零根﹣n，则m﹣n的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2二．填空题9．（2021春•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是；其中二次项系数是．10．（2021春•阜阳月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，则这个一元二次方程一定有一个解是．11．（2021春•江干区期末）若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的值为．12．（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为．13．（2021•南充一模）如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是．三．解答题14．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣5）2＝36；（2）3y（y+1）＝2（y+1）．15．（2020秋•安居区期中）已知方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？16．（2019秋•淮安区期末）试证明：不论m为何值，关于x的方程（m2+2m+2）x2﹣（4m﹣1）x ﹣7＝0总为一元二次方程．17．（2020秋•仓山区校级月考）定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．（1）已知x＝4是x2+4x+c＝0的倒方程的解，求c的值；（2）一元二次方程ax2﹣4x+c＝0（a≠c）与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a和c的值．18．（2019春•西湖区校级月考）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（ax0+1）2，请比较P与Q的大小关系？19．（2021春•淮北月考）若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a+的值．答案与解析一．选择题1．（2021春•张店区期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0 C．x2﹣＝5 D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）【解析】解：A、x（x+3）＝0，是一元二次方程，符合题意；B、x2﹣4y＝0，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；C、x2﹣＝5，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；D、ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数），一次项和二次项系数不一定是非零数，不是一元二次方程，不符合题意；故选：A．2．（2021春•阜南县期末）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【解析】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，故选：D．3．（2021•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣3【解析】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．4．（2021春•当涂县期末）关于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣2 B．±2 C．3 D．±3【解析】解：∵关于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，∴，解得m＝±3．故选：D．5．（2021•环翠区模拟）若x＝1是方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的根，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．2【解析】解：把x＝1代入方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0，得（m+3）﹣m+m2﹣12＝0，解得m＝±3，故选：C．6．（2021春•泰山区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2021+3a ﹣3b的值为（）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【解析】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0，则a﹣b＝1，所以原式＝2021﹣3（a﹣b）＝2021﹣3×1＝2021﹣3＝2018，故选：D．7．（2021春•海安市期末）已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+4m的值为（）A．2020 B．2021 C．2019 D．﹣2020【解析】解：把x＝m代入方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m+1＝0，所以m2﹣4m＝﹣1，所以2020﹣m2+4m＝2020﹣（m2﹣4m）＝2020﹣（﹣1）＝2021．故选：B．8．（2021春•阜南县月考）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个非零根﹣n，则m﹣n的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2【解析】解：把x＝﹣n代入方程x2+mx+n＝0得n2﹣mn+n＝0，∵n≠0，∴n﹣m+1＝0，∴m﹣n＝1．故选：A．二．填空题9．（2021春•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是6x2﹣5x﹣11＝0；其中二次项系数是6．【解析】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0，二次项系数为：6．故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6．10．（2021春•阜阳月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，则这个一元二次方程一定有一个解是x＝﹣2．【解析】解：当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，所以这个一元二次方程一定有一个解是x＝﹣2．故答案为﹣2．11．（2021春•江干区期末）若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的值为1．【解析】解：∵t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，∴at2+2t＝t（at+2）＝0，∴t＝0或at＝﹣2．当t＝0时，Q＝（at+1）2＝（0+1）2＝1；当at＝﹣2时，Q＝（at+1）2＝（﹣2+1）2＝1；综上所述，Q＝（at+1）2的值为1．故答案是：1．12．（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为2019．【解析】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1．∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020＝﹣（a+1﹣a）+2020＝﹣1+2020＝2019．故答案为：2019．13．（2021•南充一模）如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是﹣2．【解析】解：设它们的相同根为t，根据题意得t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1，∵t有且只有一个值，∴k﹣1≠0，∴t＝1，把t＝1代入①得1+1+k＝0，∴k＝﹣2．故答案为﹣2．三．解答题14．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣5）2＝36；（2）3y（y+1）＝2（y+1）．【解析】解：（1）一元二次方程（x﹣5）2＝36的一般形式是：x2﹣10x﹣11＝0，二次项系数是1、一次项系数是﹣10，常数项是﹣11；（2）一元二次方程3y（y+1）＝2（y+1）的一般形式是：3y2+y﹣2＝0，二次项系数3、一次项系数是1，常数项是﹣2．15．（2020秋•安居区期中）已知方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？【解析】解：（1）∵方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程，∴，解得：m ＝±，所以当m为或﹣时，方程方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程；（2）∵方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程，∴或m2＝1或m＝0，解得，m＝2或m＝±1，0，故当m为2或±1，0时，方程方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程．16．（2019秋•淮安区期末）试证明：不论m为何值，关于x的方程（m2+2m+2）x2﹣（4m﹣1）x ﹣7＝0总为一元二次方程．【解析】证明：∵m2+2m+2＝（m+1）2+1，∴m2+2m+2≥1，故关于x的方程（m2+2m+2）x2﹣（4m﹣1）x﹣7＝0总为一元二次方程．17．（2020秋•仓山区校级月考）定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．（1）已知x＝4是x2+4x+c＝0的倒方程的解，求c的值；（2）一元二次方程ax2﹣4x+c＝0（a≠c）与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a和c的值．【解析】解：（1）解：x2+4x+c＝0的倒方程为cx2+4x+1＝0，把x＝4代入cx2+4x+1＝0得16c+16+1＝0，解得c＝﹣；（2）一元二次方程ax2﹣4x+c＝0的倒方程为cx2﹣4x+a＝0，而倒方程只有一个解，∴c＝0，则﹣4x+a＝0，解得x＝，把c＝0，x＝代入ax2﹣4x+c＝0中，，解得：a1＝0，a2＝4，a3＝﹣4，又∵a≠c，∴a＝0舍去，∴a的值为±4，c的值为0．18．（2019春•西湖区校级月考）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（ax0+1）2，请比较P与Q的大小关系？【解析】解：∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x0+c＝0，即ax02+2x0＝﹣c，则Q﹣P＝（ax0+1）2﹣（1﹣ac）＝a2x02+2ax0+1﹣1+ac＝a（ax02+2x0）+ac＝﹣ac+ac＝0，∴Q＝P．19．（2021春•淮北月考）若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a+的值．【解析】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，∴a2＝2020a﹣1，∴a2﹣2021a+＝2020a﹣1﹣2021a+＝﹣a+a﹣1＝﹣1．。

21.1 一元二次方程一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－2（3x －2）+（x+1）=0的一般形式是（ ）A ．x 2－5x+5=0B ．x 2+5x －5=0C ．x 2+5x+5=0D ．x 2+5=02. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）A. 21503x x -+=B. 2134x x x +=C. 2110x x --=D. 2111x x =+-3. 一元二次方程的一般形式是 （ ）A. ax 2＋bx ＋c ＝0B. ax 2＋bx ＋c(a≠0)C. ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)D. ax 2＋bx ＋c ＝0(b≠0)4. 若px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. p ＝1B. p ＞0C. p≠0D. p 为任意实数5. 关于x 的一元二次方程（3－x ）（3＋x ）－2a （x ＋1）＝5a 的一次项系数为 （） A. 8a B. －8a C. 2a D. 7a －96. 若（m 2－4）x 2＋3x －5＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. m≠2B. m≠－2C. m≠－2，或m≠2D. m≠－2，且m≠27. 下列方程中，不含一次项的是（ ）A ． 3x 2=4xB ．（2x －1）（1+2x ）=0C ．2x 2=7－6xD ．x （1－x ）=08. 下列说法正确的是（ ）A ．方程ax 2+bx+c=0是关于x 的一元二次方程B ．方程3x 2=4的常数项是4C ．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解二、填空题9. 把方程x(x＋1)＝2化为一般形式为，二次项系数是 .10. 已知0是关于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，则m＝ .11. 若关于x的方程kx2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则k .12. 若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=13. 若方程（m－1）x|m|+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=14. 方程3x2－3x+3=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为15. 若x=1是方程x2+nx+m=0的根，则m+n的值是16. 关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值是17. 若ax2－5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集为18. 当m 时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x的一元二次方程.19. 根据题意，列出方程：1，（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的3设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为（2）有一个面积为20cm2的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为三、解答题20. 已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a≠b，求2222a b a b --的值.21. 如果x 2＋3x ＋2与a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c 是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a ，b ，c 的值吗？22. 如图所示，有一个面积为120m 2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m ，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）23. 已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？24. 学了一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）（2）它的二次项系数为5（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数你能写出一个符合条件的方程吗？答案;一、1---8 AACCC DBC二、9. x 2＋x －2＝010. ±311. ≠012. 813. －114. －915. －116. －117. a ＞－2且a≠018. ＝1 ≠119. （1）x （6－x ）=31［10（6－x ）+x ］（2）21x （x －3）=20三、20. 解：把x ＝1代入一元二次方程ax 2＋bx －40＝0，得a ＋b －40＝0， ∴2222a b a b -=-()()2()a b a b a b +-=-4020.22a b +== 21. 解：能，根据题意得x 2＋3x ＋2＝a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ，即x 2＋3x ＋2＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋(a ＋b ＋c)，123,2,a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，∴解得11,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，22. 解：设平行于墙的边长为x m，则垂直于墙的边长为322x-m，由题意得x·322x-＝120，即x2－32x＋240＝0.23. （1）当m≠n时，方程是一元二次方程（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程解析：一元二次方程中ax2中的a不可能为0，即m－n≠0；而一元一次方程中ax中的a不可能为0，即m≠0。

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0C．x2+1x=3 D．x﹣5y=6【答案】B2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0，常数项为0，则m值等于A．1 B．﹣1C．1或﹣1 D．0【答案】B【解析】由题意，得m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，故选B．3．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是A．1 B．0C．−1 D．2【答案】B【解析】把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选B．4．若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则A．p＝1 B．p＞0C．p≠0 D．p为任意实数【答案】C【解析】∵方程px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，∴二次项系数p≠0．故选C．5．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为A．6、2、5 B．2、﹣6、5C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5【答案】C【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5.故选C.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6．已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是A．1 B．﹣2C．0 D．﹣1【答案】D【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．7．若关于x的一元二次方程ax2﹣b x+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是A．2016 B．2018C．2020 D．2022【答案】B【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，∴4a﹣2b+4=0，则2a﹣b=﹣2，∴2020+2a ﹣b=2020+（2a﹣b）=2020+（﹣2）=2018．故选B．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为__________．【答案】1【解析】将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，解得：m=1．9．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．【答案】-1【解析】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m|=1，m−1≠0，解得：m=−1.故答案为：−1.10．若是方程的一个根，则的值为__________．【答案】2018【解析】由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1,∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018,故答案为2018.【名师点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．11．已知关于x的方程（m＋2）x²＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是__________．【答案】m≠−2【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程需注意几个方面：化简后；一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项的系数不为0；整式方程. 12．若关于x的方程的常数项为0，则m的值等于__________．±【答案】32【解析】由题意知，方程（m-3）x2 +5x+m2 -18=0的常数项为m2−18，所以m2−18=0，±，解得：m=32±.故答案为：32【点睛】本题考查了方程的一般式，本题常数项为0时方程可为一元一次方程也可为一元二次方程，不论哪一种情况，都符合题意，这是解题的关键所在，也是易错点.13．一元二次方程2x2+4x﹣1=0的一次项系数及常数项之和为__________．【答案】3【解析】由题意，得：4+（﹣1）=3．故答案为3．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．已知一个一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，则这个一元二次方程可以是__________．（只需写出一个方程即可）【答案】x 2﹣3x =0【解析】一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，这个一元二次方程可以为x 2-3x =0．故答案为x 2−3x =0．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．灵活应用整体代入的方法计算．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x 的方程（m 2 -1）x 2 -（m +1）x +m =0．（1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 【答案】（1）m =1；（2）m ≠±1，二次项系数为m 2-1、一次项系数为-（m +1），常数项为m ．16．已知x 是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的实数根，求代数式 2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值． 【答案】13【解析】原式=()()()333322x x x x x x +--÷-- ()()()()321323333x x x x x x x x --=⨯=-+-+. ∵x 2+3x ﹣1=0．∴x 2+3x =1．∴x （x +3）=1.∴原式=()11333x x ==+. 17．已知x =1是关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +m 2=0的根，求代数式()()()2233m m m m --+-的值．【答案】2． 18．已知实数a 是方程的根． （1）计算的值；（2）计算的值．【答案】（1）2015;（2）5.【解析】（1）∵实数a 是方程的根，∴． ∴，即 ． ∴； （2）．∵，∴．．。

人教版九年级数学上册《21.1一元二次方程》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列关于x 的方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．240x x-= C ．()()1110x x +-+= D ．()22125x x x -= 2．一元二次方程221x x -=的一次项系数和常数项依次是（ ）A ．1-和1B ．1-和1-C ．2和1-D ．1-和33．将一元二次方程()()()21235x x x x +-=+-化为一般形式为（ ）A ．2510x x -+=B ．290x x +-=C ．2430x x -+=D ．210x x -+=4．一元二次方程x 2+px ﹣2=0的一个根为2，则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣25．若a 是方程2230x x --=的一个解，则263a a -的值为() A ．3B ．3-C ．9D ．9-二、填空题 6．只含有 个未知数，并且未知数的 次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为 ．7．一元二次方程()521x x x -=+的一次项系数是 ．8．若关于x 的一元二次方程20x a -=的一个根是2，则=a ．9．若方程()2190a x x -+-=是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是__________．10．已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数式2552021m m -+的值是 ．三、解答题11．判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④ 215402x x-+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．12．已知13，都是方程230==-x x+-=的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．ax bx13．已知m是方程2250x x+-=的一个根，求32+--的值．259m m m14．根据题意列出方程,化为一般式,不解方程.(1)一个大正方形的边长比一个小正方形边长的3倍多1,若两正方形面积和为53,求这两正方形的边长.(2)某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．求本班有多少名同学（设本班有x名同学）．参考答案1．C2．B3．A4．C5．C6．一最高20(0)++=≠ax bx c a7．7-8．49．1a ≠10．202611．②③⑥.12．1a = 2b = 2 230x x +-= 13．9-14．（1）10x 2+6x-52=0；（2）211900x x --=。

第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程1.下列方程化为一般形式后,常数项为零的是( )A.5x-3=2x2B.(2x-1)(2x+4)=-4C.(3x-1)(2x+4)=1D.(x+3)(x+2)=-62.有x 支球队参加篮球比赛,共比赛了45 场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( )A.1x(x-1)=45B.1x(x+1)=452 2C.x(x-1)=45D.x(x+1)=453.已知关于x 的方程x2-kx-6=0 的一个根为x=3,则实数k 的值为( )A.1B.-1C.2D.-24.已知关于x 的方程kx2+2x-1=3x2 为一元二次方程,则k 的取值范围是( )A.k≠0B.k≠-3C.k≠3D.k 可以取任何实数5.在方程x2+x=y, 5x-7x2=8,x2+y2=1,(x-1)(x-2)=0,x2-1=6 中,一元二次方程的个数是.�6.一元二次方程2x2+4x-1=0 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为.7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)8x2-2x=1+2x;(2)(y-1)(y-2)=1.2 � 8. 小刚在写作业时,一不小心,方程 3x 2- x-5=0 的一次项系数被墨水盖住了,但从题目的答案中,他知道方程的一个解为 x=5,请你帮助小刚求出被覆盖的数.9. 已知方程(m+4)x |m|-2+8x+1=0 是关于 x 的一元二次方程,求 m 的值.10. 若关于 x 的一元二次方程(m-1)x 2+x+|m|-1=0 有一个根为 0,则 m 的值为( )A.1B.-1C.1 或-1D.111. 已知关于 x 的方程 x 2+bx+a=0 有一个根为-a (a ≠0),则下列代数式的值恒为常数的是() A .abB .�C .a+bD .a-b12. 关于 x 的方程(m 2-16)x 2+(m+4)x+2m+3=0,当 m时,是一元一次方程;当 m 时,是一元二次方程.13. 根据下列问题,列出关于 x 的方程,并将其化成 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的形式:(1)一个长方形的宽比长少 3,面积是 75,求长方形的长 x ;(2) 两个连续偶数的积为 168,求较小的偶数 x ;(3) 一个直角三角形的两条直角边的长的和是 20,面积是 25,求其中一条直角边的长 x.14. 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0,且 a ,b ,c 满足 �-1+(b-2)2+|a+b+c|=0,求满足条件的一元二次方程的一般形式.2 1 2 2 15.已知 m ,n 都是方程 x 2+2 018x-2 019=0 的根,试求代数式(m 2+2 018m-2 018)(n 2+2 018n+1)的值.★16.某教学资料中出现了一道这样的题目: 1x 2-x=2 化为一元二次方程的一般形式,并写出它 把方程 2的二次项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编成下面的两道小题,请回答问题:(1) 下列式子中有哪些是方程 x -x=2 化为一元二次方程的一般形式?.(填序号)①1x 2-x-2=0,②-1x 2+x+2=0,③x 2-2x=4,④-x 2+2x+4=0,⑤ 3x 2-2 3x-4 3=0.2 2(2) 方程1x 2-x=2 化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数和常数项之间具有什么关系?参考答案夯基达标1.B2.A3.A4.C 由原方程得(k-3)x 2+2x-1=0,结合题意可知 k-3≠0,即 k ≠3.5.26.57. 解 (1)一般形式:8x 2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为 8,-4,-1.(2)一般形式:y 2-3y+1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1,-3,1.8. 解 设=a.∵x=5 是关于 x 的方程 3x 2-ax-5=0 的一个解,∴3×52-5a-5=0,解得 a=14,即被覆盖的数是 14.9. 分析 根据一元二次方程的二次项系数不为零和未知数的最高次数为 2 确定 m 的值.�+ 4 ≠ 0,|�|-2 = 2,解得m=4.培优促能10.B 对于含字母系数的一元二次方程,要注意除了满足未知数的最高次数是2 以外,还要保证二次项系数不为0.由题意,得(m-1)×02+0+|m|-1=0,且m-1≠0,解得m=-1.故选B.11.D 把x=-a 代入方程x2+bx+a=0,得a2-ab+a=0,∵a≠0,∴a-b=-1.故选D.12.=4 ≠±413.解(1)x(x-3)=75,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为x2-3x-75=0.(2)x(x+2)=168,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为x2+2x-168=0.(3)1x(20-x)=25,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为x2-20x+50=0.214.分析关键是理解算术平方根、完全平方数和绝对值的非负性,即�-10,(b-2)2≥0,|a+b+c|≥0.只有使各项都为0 时,其和才为0.�-1 = 0, 解由�-1+(b-2)2+|a+b+c|=0,得�-2 = 0,� = 1, 解得� = 2,� + � + � = 0, � = -3.由于 a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项,故所求方程的一般形式为x2+2x-3=0. 15.解∵m,n 都是方程x2+2 018x-2 019=0 的根,∴m2+2 018m-2 019=0,n2+2 018n-2 019=0.∴m2+2 018m=2 019,n2+2 018n=2 019.∴原式=(2 019-2 018)×(2 019+1)=2 020.创新应用16.解(1)①②④⑤(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a、常数项为-4a(或者说:这个方程的二次项系数∶一次项系数∶常数项=1∶(-2)∶(-4)).解由题意,得。

第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 同步训练题 1. 下列方程中是一元二次方程的是( )A ．2x ＋1＝0B ．y 2＋x ＝1 C ．x 2＋1＝0 D.1x＋x 2＝12．把方程(x －5)(x ＋5)＋(2x －1)2＝0化为一元二次方程的一般形式是( ) A ．5x 2－4x －4＝0 B ．x 2－5＝0 C ．5x 2－2x ＋1＝0 D ．5x 2－4x －6＝03. 下列一组数值中，是方程x 2－3x ＋2＝0的解是( ) A ．－1 B ．2 C ．－3 D ．1或24．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A. 12x(x －1)＝45B. 12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝455. 关于x 的方程(a 2－3)x 2＋ax ＋1＝0是一元二次方程的条件是( ) A ．a≠0 B ．a≠ 3 C ．a≠－ 3 D ．a≠± 36. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－27. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( ) A ．x(5＋x)＝6 B ．x(5－x)＝6 C ．x(10－x)＝6D ．x(10－2x)＝68．根据关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，可列表如下：A．根的整数部分是0，十分位是5B．根的整数部分是0，十分位是8C．根的整数部分是1，十分位是1D．根的整数部分是1，十分位是29. 已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝；10. 已知关于x的方程x2＋x＋2a－1＝0的一个根是0，则a＝____.11．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则a＋b＋c＝ . 12．根据下表中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c是常数)的一个解x的范围为_______________.13.xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 .14. 根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈ (精确到0.1).一次项及常数项．16. 已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？17. 用估算法求一元二次方程的解．x2－3x＋1＝0(精确到0.1)18. 已知2是关于x的方程x2－x＋a＝0的一个根，求a－2－a2a＋2的值．19. 某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了减少库存，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，求每件童装的降价范围．(用估算法求解，保留整数元) 参考答案：1---8 CADAD ABC 9. 6 10. 1211. 012. 3.24＜x ＜3.25 13. x 2－70x ＋825＝0 14. －4.315. 解：5x 2＋8x －2＝0；二次项为5x 2，一次项为8x ，常数项为－2. 16. (1) 解：(1)m ＝3，x ＝56(2)m≠±317. 解：x 1≈0.4，x 2≈2.618. 解：∵2是方程的根，∴a ＋2＝2，∴原式＝－4a ＋2＝－42＝－2 219. 解：设每件应降价x 元，列方程为(40－x)(30＋x2·6)＝1000；化为一般形式为－3x 2＋90x ＋200＝0 求解如下：∴2＜x。

人教版数学九年级上册第21章21.1---21.3练习题含答案21.1一元二次方程一．选择题1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2011B．2015C．2019D．20202．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5B．﹣4C．3D．﹣13．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣3＝0B．x2﹣2y＝0C．＝﹣3D．x2＝04．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．5．已知x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．0D．0或46．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和37．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣18．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a＜0C．a≠0D．a≤19．将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（）A．1，2，5B．1，﹣2，﹣5C．1，﹣2，5D．1，2，﹣5 10．已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2019的值是（）A．2018B．2019C．2020D．2021二．填空题11．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．m是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，则代数式11+6m﹣m2的值是．13．若x＝2是一元二次方程x2+x+c＝0的一个解，则c2＝．14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的一个根是0，则a的值是．15．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则2a2﹣5a﹣2+的值为．三．解答题16．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．17．已知方程x2﹣bx+3＝0的一个根是1，求b的值和方程的另外一个根．18．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．19．若m是一个一元二次方程x|a+1|﹣x﹣5＝0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．故选：C．2．【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．故选：B．3．【解答】解：A、是一元一次方程，故A不合题意；B、是二元二次方程，故B不合题意；C、是分式方程，故C不合题意；D、是一元二次方程，故D符合题意．故选：D．4．【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选：C．5．【解答】解：因为x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，所以4﹣2m+4＝0解得m＝4．故选：B．6．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．7．【解答】解：由方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0，得，解得m＝3，故方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝3．故选：B．8．【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．9．【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣5＝0，则a，b，c的值分别是1，2，﹣5，故选：D．10．【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2019＝a（a2+a）+a2+2019＝a+a2+2019，＝1+2019＝2020，故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：由题意，得|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2．12．【解答】解：∵a是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，∴a2﹣6a﹣5＝0，整理得，a2﹣6a＝5，∴11+6m﹣m2＝﹣（m2﹣6m）+11，＝﹣5+11，＝6．故答案为：6．13．【解答】解：依题意，得22+2+c＝0，解得，c＝﹣6，则c2＝（﹣6）2＝36．故答案为：36．14．【解答】解：根据题意知，x＝0是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的根，∴a2+2a﹣3＝0，解得，a＝﹣3或a＝1，∵a﹣1≠0，∴a≠1．故答案是：﹣3．15．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，∴2a2﹣5a﹣2+＝2（3a﹣1）﹣5a﹣2+＝a+﹣4＝﹣4＝﹣4＝3﹣4＝﹣1．故答案为﹣1．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．17．【解答】解：把x＝1代入x2﹣bx+3＝0得1﹣b+3＝0，解得b＝4，方程化为x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，所以x1＝1，x2＝3，即方程的另一个解为3．18．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣3＝0，即m2＝m+3，∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m+3﹣m）＝3×＝3×2＝6．19．【解答】解：（1）根据题意得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3；（2）∵m是一个一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣5＝0，∴m2﹣m＝521.2解一元二次方程一、选择题（共12题）1、一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝32、一元二次方程x2-2x-1=0配方后可化为（）A.(x-1)2= 2B.(x-1)2= 1C.(x + 1)2= 1D.(x -1)2=03、方程的解是（）A．x1=2，x2= 3 B．x1=2，x2=1 C．x=2 D．x=3 4、若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠05、方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2 B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根6、下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=07、一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定8、关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A． B． C． D．09、关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a 的值为 ( )A.2B.0C.1D.2或010、若是关于x的一元二次方程的一个解，的值是A． 17 B． 1026 C． 2018 D． 405311、已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±112、一个等腰三角形的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是 ( )A.12B.9C.13D.12或9二、填空题（共5题）1、已知关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为______．2、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．3、关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．4、如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是_____．5、定义新运算“※”，规则：a※b=ab﹣a﹣b，如1※2=1×2﹣1﹣2=﹣1，若x2+x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1※x2= ．三、解答题（共4题）1、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．2、关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．（1）求m的取值范围．（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.3、关于x的一元二次方程kx2-(2k-2)x+(k-2)=0(k≠0).(1)求证:无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)要使得方程的两个实数根都是整数,求整数k可能的取值.4、阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得①﹣②，得（k﹣6）m=k﹣6 ③显然，当k=6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m=1，代入②式，得k=﹣6，此时两个方程有一相同根x=1．∴当k=﹣6时，有一相同根x=1；当k=6时，有两个相同根是﹣1和7.聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根．参考答案一、选择题1、D;2、A.;3、A;4、B;5、D;6、B;7、B;8、A;9、B;10、B;11、C;12、A;二、填空题1、 22、 k＞0且k≠1.3、 04、 a＞﹣1且a≠﹣且a≠且a≠﹣5、0，三、解答题1、解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根为x1=x2=2．2、（1）m≤3.25．（2）m=-3.3、解:(1)证明:∵kx2-(2k-2)x+(k-2)=0(k≠0),∴Δ=[-(2k-2)]2-4k(k-2)=4>0,∴无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根.(2)由求根公式可求得x1=1,x2=1-,要使得方程的两个实数根都是整数,则整数k为2的因数,∴k=±1或k=±2.4、解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0，相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1，若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根和．若k≠1，则a==1，即相同实根是x=1，代入方程，得12+k×1﹣1=0，k=0综上当k=0或k=1时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根21.3实际问题与一元二次方程一．选择题1．一个矩形的长比宽多2，面积是99，则矩形的两边长分别为（）A．9和7B．11和9C．1+，﹣1+D．1+3，﹣1+32．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．173．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．50×30﹣50x﹣30x+2x2＝800B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800D．（50﹣x）（30﹣2x）＝8004．如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（）A．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22B．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22C．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×22D．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×225．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200B．x（49﹣2x）＝200C．x（49+1﹣2x）＝200D．x（49﹣1﹣2x）＝2006．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）7．如表是一张月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个数（如1，2，8，9），如果圈出的四个数中的最小数与最大数的积为308，那么这四个数的和为（）12345 678910111213141516171819202122232425262728293031A．68B．72C．74D．768．如图是某公司去年8～12月份生产成本统计图，设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据图中信息，得到x所满足的方程是（）A．30（1﹣x）2＝15B．15（1+x）2＝30C．30（1﹣2x）4＝15D．15（1+2x）2＝309．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（）A．x2﹣8＝（x﹣3）2B．x2+82＝（x﹣3）2C．x2﹣82＝（x﹣3）2D．x2+8＝（x﹣3）210．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（）A．6B．﹣C．﹣2D．5﹣5二．填空题11．某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是．（用含x的代数式表示）12．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过秒钟后，P，Q两点间距离为4厘米．13．如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程是．14．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为m．15．如图，在足够大的空地上有一段长为3米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了16米木栏．所围成的矩形菜园的面积为14平方米，则所利用旧墙AD的长为．三．解答题16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，AP＝CQ？（2）经过几秒后，△PBQ的面积等于15cm2？17．10月份，是柚子上市的季节，柚子味酸甜，略带苦味，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．有健胃补血，降血糖等功效，百果园大型水果超市的红心柚与沙田柚这两种水果很受欢迎，红心柚售价12元/千克，沙田柚售价9元/千克．（1）若第一周红心柚的销量比沙田柚的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心柚多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心柚和沙田柚的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心柚售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，沙田柚的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了%，求a的值．18．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？若设每个支干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为；②从主干中长出的支干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述支干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．19．如图①，用一块长100cm，宽80cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，可以做成如图②所示的底面积为4800cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为（x﹣2），则x（x﹣2）＝99，解得x＝11，（舍去负值）．则x﹣2＝9，答：矩形的两边长分别为11和9，故选：B．2．【解答】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），答：x为14，故选：A．3．【解答】解：依题意，得：（50﹣2x）（30﹣x）＝800，故选：C．4．【解答】解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22．故选：B．5．【解答】解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，故选：C．6．【解答】解：依题意，得y＝5（1+x）2．故选：C．7．【解答】解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，由题意得：x（x+8）＝308，解得：x1＝14，x2＝﹣22（不合题意，舍去），14+8＝22，则四个数为：14，15，21，22，14+15+21+22＝72，故选：B．8．【解答】解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：30（1﹣x）2＝15，故选：A．9．【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，故选：C．10．【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：50+×4＝50+25＝75，∴该方程的正数解为﹣×2＝5﹣5．故选：D．二．填空题11．【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，故答案为：100（1+x）2．12．【解答】解：设t秒后PQ＝4，则BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴（6﹣t）2+（2t）2＝（4）2，解得t＝或2（舍弃）．答：秒后PQ间的距离为4，故答案为：．13．【解答】解：设无门的那边长为x米，则平行于墙的一面长为120+3﹣2x＝123﹣2x，∴工地面积为x（123﹣2x）＝2000．故答案为x（123﹣2x）＝2000．14．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，依题意，得：x（20﹣3x+2）＝40，整理，得：3x2﹣22x+40＝0，解得：x 1＝，x2＝4．当x＝时，20﹣3x+2＝12＞11，不合题意，舍去；当x＝4时，20﹣3x+2＝10，符合题意．故答案为：4．15．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（16﹣2x）米，依题意得：x（16﹣2x）＝14，解得：x1＝1，x2＝7．当x＝1时，16﹣2x＝14＞3，不合题意舍去；当x＝7时，16﹣2x＝2．答：所利用旧墙AD的长为2米．故答案为：2米．三．解答题16．【解答】解：（1）设经过x秒后，AP＝CQ，则AP＝xcm，CQ＝（10﹣2x）cm，依题意，得：x＝10﹣2x，解得：x＝．答：经过秒后，AP＝CQ．（2）设经过y秒后，△PBQ的面积等于15cm2，则BP＝（8﹣y）cm，BQ＝2ycm，依题意，得：（8﹣y）×2y＝15，化简，得：y2﹣8y+15＝0，解得：y1＝3，y2＝5．答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2．17．【解答】解：（1）设第一周销售红心柚x千克．则沙田柚（x﹣200）千克，根据题意得：12x+9（x﹣200）≥6600，解得：x≥400．答：第一周至少销售红心柚400千克；（2）根据题意得：12（1﹣a%）×400（1+a%）+9×200（1+a%）＝6600（1+%），∴a1＝45，a2＝0（舍去）．答：a的值为45．18．【解答】解：（Ⅰ）①根据题意得主干的数目为1；②从主干中长出的支干的数目为小x；③又从上述支干中长出的小分支的数目为x2；（Ⅱ）设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），答：每个支干长出9个小分支．19．【解答】解：设截去的小正方形的边长为xcm，则长方形盒子的底面为长（100﹣2x）cm，宽为（80﹣2x）cm的长方形，依题意，得：（100﹣2x）（80﹣2x）＝4800，化简，得：x2﹣90x+800＝0，解得：x1＝10，x2＝80（不合题意，舍去）．答：截去的小正方形的边长为10cm．。

人教版九年级数学上册《21.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入》专项练习题-附带答案【例题精讲】【例1】已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=． （1）试判断该方程根的情况 说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根 求k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根 理由如下： △222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-⨯⨯-=-+=-+．2(1)0k -2(1)40k ∴-+>即△0>∴无论k 取何值 方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m则()()221102360m k m k m k m k ⎧-++-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②②-① 得：2450m m +-= 解得：15m =- 21m =．当5m =-时 有255(1)10k k +++-= 解得：296k =-2929225(3)(5)6066⨯---⨯---=296k ∴=-符合题意；当1m =时 2(1)110m k m k -++-=-≠1m ∴=不符合题意 舍去． k ∴的值为296-． 【例2】关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值 使得方程有两个整数根 并求出这两个整数根．【解答】（1）证明：△22(3)12(3)k k k =+-=-2(3)0k -∴方程有两个实数根；（3）解：取2k =时 则35k += 36k = 故方程为2560x x ++= (3)(2)0x x ++=解得2x =-或3x =-．【例3】已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求：（1）2240403a a --的值； （2）代数式22202020191a a a -++的值． 【解答】解：（1）a是方程2202010x x -+=的一个根220201a a ∴=- 220201a a ∴=- 2240403a a ∴-- 2(20201)40403a a =---4040240403a a =--- 5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a =+- 211a a+=-2020111a a -+=-20201=- 2019=．【题组训练】一．公共根（共15小题）1．方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根 则a 的值是 2 ．【解答】解：方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根 (1)10a x a ∴+++= (1)(1)0a x ∴++=解得 1x =- 当1x =-时 2112a x x =-=+=．故答案是：2．2．若方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根 则200()a b +的值是多少？【解答】解：设公共根为0x 则20020000x ax b x bx a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②．①-② 得0()(1)0a b x --=当a b =时 两方程完全一样 不合题意； 当01x =时 1a b +=- 则200()1a b +=． 答：200()a b +的值是1．3．若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根 则( ) A ．a b =B ．0a b +=C ．1a b +=D ．1a b +=-【解答】解：设公共根为0x 则20020000x ax b x bx a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②．①-② 得0()(1)0a b x --=当a b =时 方程可能有两个公共根 不合题意； 当01x =时 1a b +=-． 故选：D ．4．若关于x 的方程：2230x x --=和210x mx ++=有且只有一个公共根 则m = 2或103- ． 【解答】解：解方程2230x x --=得11x =- 23x = 把1x =-代入210x mx ++=得110m -+= 解得2m =；把3x =代入210x mx ++=得9310m ++= 解得103m =- 综上所述 m 的值为2或103-． 故答案为：2或103-． 5．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 20bx cx a ++= 20cx ax b ++=恰有一个公共实数根 则222a b c bc ca ab++的值为 3 ．【解答】解：设公共实数根为t则20at bt c ++= 20bt ct a ++= 20ct at b ++= 三式相加得2()()0a b c t a b c t a b c ++++++++= 即2()(1)0a b c t t ++++= 因为22131()024t t t ++=++>所以0a b c ++=所以原式333a b c abc++=223()()a b a ab b c abc+-++=23()[()3]a b a b ab c abc++-+=23(3)c c ab c abc --+=3abcabc= 3=．故答案为3．6．已知关于x 的一元二次方程220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根 则m = 3- ．【解答】解：220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根2222x mx x x m ∴++=++有一个实数根 1x ∴=把1x =代入220x mx ++=得： 3m =-．故答案为：3-．7．有三个方程：①2650x x -+=；②2250x -=；③550(0)ax a b bx a b --+=+≠ 它们的公共根是( ) A ．5B ．5-C ．1D ．以上都不是【解答】解：2650x x -+= (5)(1)0x x --= 50x -=或10x -= 15x ∴= 21x =把15x = 21x =代入②③ 5x =能使方程左右相等∴它们的公共根是5故选：A ．8．已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=． （1）试判断该方程根的情况 说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根 求k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根 理由如下： △222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-⨯⨯-=-+=-+．2(1)0k -2(1)40k ∴-+> 即△0>∴无论k 取何值 方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m则()()221102360m k m k m k m k ⎧-++-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②②-① 得：2450m m +-= 解得：15m =- 21m =．当5m =-时 有255(1)10k k +++-= 解得：296k =- 2929225(3)(5)6066⨯---⨯---=296k ∴=-符合题意； 当1m =时 2(1)110m k m k -++-=-≠ 1m ∴=不符合题意 舍去． k ∴的值为296-． 9．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根 求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根 请说明此时哪个方程没有实数根； （3）若方程①和②有一个公共根a ．求代数式22(42)35a a k a a +-++的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等实数根 102k ∴+≠且△10= 即2(2)4(1)(1)02kk +-+⨯-= 则(2)(4)0k k ++= 解此方程得12k =- 24k =-而20k +≠ 4k ∴=-当4k =-时 方程②变形为：2750x x -+= 解得1x 2x =； （2）△2222(21)4(23)41213(23)40k k k k k =+++=++=++>∴无论k 为何值时 方程②总有实数根方程①、②只有一个方程有实数根∴此时方程①没有实数根（3）设a 是方程①和②的公共根 2(1)(2)102ka k a ∴+++-=③2(21)230a k a k ++--=④由(③-④)2⨯得22(1)44ka k a k =---⑤ 由④得：2(21)23a k a k =-+++⑥ 将⑤、⑥代入 原式2242352(1)44423(21)6955ka ak k a a k a k ak k k a k a =+-++=---+--++++=． 10．已知关于x 的两个一元二次方程： 方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根 求：k 的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根 请说明此时哪个方程没有实数根． （3）若方程①和②有一个公共根a 求代数式22(42)35a a k a a +-++的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等的实数根 ∴11020k ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩ 则2k ≠- △222214(2)4(1)(1)4442682kb ac k k k k k k =-=+-+⨯-=++++=++则(2)(4)0k k ++= 2k ∴=- 4k =- 2k ≠-4k ∴=-；（2）△22222(21)41(23)44181241213(23)40k k k k k k k k =+-⨯⨯--=++++=++=++>∴无论k 为何值时 方程②总有实数根方程①、②只有一个方程有实数根∴此时方程①没有实数根．（3）根据a 是方程①和②的公共根∴2(1)(2)102k a k a +++-=③ 2(21)230a k a k ++--=④∴③2⨯得：2(2)(24)20k a k a +++-=⑤⑤+④得：2(3)(45)25k a k a k +++-=代数式222(42)35(3)(45)25a a k a a k a k a k =+-++=+++-=．故代数式的值为5．11．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 20bx cx a ++= 20cx ax b ++=恰有一个公共实数根 则222a b c bc ca ab++的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：设0x 是它们的一个公共实数根则2000ax bx c ++= 2000bx cx a ++= 2000cx ax b ++=． 把上面三个式子相加 并整理得200()(1)0a b c x x ++++=．因为22000131()024x x x ++=++>所以0a b c ++=．于是222333333()3()3a b c a b c a b a b ab a b bc ca ab abc abc abc+++-+-+++====故选：D ．12．是否存在某个实数m 使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共的实根？如果存在 求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在 请说明理由． 【解答】解：假设存在符合条件的实数m 且设这两个方程的公共实数根为a 则 222020a ma a a m ⎧++=⎨++=⎩①②①-② 得(2)(2)0a m m -+-= (2)(1)0m a --= 2m ∴= 或1a =．当2m =时 已知两个方程是同一个方程 且没有实数根 故2m =舍去； 当1a =时 代入②得3m =-把3m =-代入已知方程 求出公共根为1x =． 故实数3m =- 两方程的公共根为1x =．13．关于x 的方程2230x x +-=和22240x x m m +++=有公共根 则m 的值为 1-或3- ．【解答】解：设公共解为t根据题意得222230240t t t t m m ⎧+-=⎨+++=⎩①②②-①得2430m m ++= 解得11m =- 23m =-． 故答案为1-或3-．14．若方程210x mx ++=和20x x m ++=有公共根 则常数m 的值是 2- ． 【解答】解：设方程210x mx ++=和20x x m ++=的公共根为t 则210t mt ++=① 20t t m ++=②①-②得(1)1m t m -=-如果1m = 那么两个方程均为210x x ++= △2141130=-⨯⨯=-< 不符合题意； 如果1m ≠ 那么1t =把1t =代入① 得110m ++= 解得2m =-． 故常数m 的值为2-． 故答案为：2-．15．方程270x ax ++=和270x x a --=有一个公共根 则a 的值是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【解答】解：设该公共根为x b = 由题意可知：270b ab ++= 270b b a --= (7)70a b a ∴+++= 70a +≠ 1b ∴=-1x ∴=-代入270x x a --= 178a =+=故选：B ．二．整数根（共15小题）16．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 则下列说法正确的是( )A ．p 是正数 q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-<C ．q 是正数 p 是负数D ．22(2)(2)8p q -+->【解答】解：设方程20x px q ++=的两根为1x 、2x 方程20y qy p ++=的两根为1y 、2y ． 关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 120x x q ∴⋅=> 120y y p ⋅=>故选项A 与C 说法均错误 不符合题意；关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 240p q ∴- 240q p -2222(2)(2)44448(p q p q q p p ∴-+-=-++-+>、q 不能同时为2 否则两个方程均无实数根）故选项B 说法错误 不符合题意；选项D 说法正确 符合题意； 故选：D ．17．关于x 的方程2(3)30(0)mx m x m +--=≠有两个不相等的正整数根 则整数m 的值为1- ．【解答】解：由题意可知：△2(3)4(3)m m =--⨯-2269(3)0m m m =++=+x ∴=1x ∴=或3x m=-由题可知：1m =- 故答案为：1-18．已知：关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=． （1）求方程有实数根的实数m 的取值范围；（2）若方程有两个不相等的正整数根 求出此时m 的整数值． 【解答】 解：（1）由题意可知：0m ≠ △2(2)?8m m =+ 244?8m m m =++ 2?44m m =+2(?2)m =∴△0故0m ≠ 方程总有实数根； （2）2(2)20mx m x -++= (1)(2)0x mx ∴--= 1x ∴=或2x m=方程有两个不相等的正整数根 1m ∴=．19．关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值 使得方程有两个整数根 并求出这两个整数根． 【解答】（1）证明：△22(3)12(3)k k k =+-=-2(3)0k -∴方程有两个实数根；（3）解：取2k =时 则35k += 36k = 故方程为2560x x ++= (3)(2)0x x ++=解得2x =-或3x =-．20．已知关于x 的一元二次方程220x mx n -+=．（1）若此方程总有两个相等的实数根 求n 的值．（用含m 的代数式表示）；（2）当2m =时 此方程有两个不相等的整数根 写出一个满足条件的n 的值 并求此时方程的根．【解答】解：（1）根据题意得△2440m n =-= 所以2n m =；（2）当2m =时 原方程变形为240x x n -+= 方程有两个不相等的根∴△2440n =->即4n <当0n =时 方程变形为240x x -= 方程有两个整数根 即10x = 24x =．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)mx m x m ---=≠． （1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根 求整数m 的值． 【解答】（1）证明：0m ≠ △2(2)4(2)m m =--⨯- 2448m m m =-++ 244m m =++2(2)0m =+∴方程一定有实数根；（2）2(2)2m m x m-±+=11x ∴= 22x m=-当整数m 取1± 2±时 2x 为整数 方程有两个不相等的整数根∴整数m 为1- 1 2．22．已知关于x 的方程2220x x m ++-=有两个整数根 且m 为正整数 则符合条件的所有正整数的和是( ) A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：根据题意得△224(2)1240m m =--=-解得3mm 为正整数m ∴为1、2、3当1m =时 △8= 所以方程的根为无理数 不合题意舍去； 当2m =时 方程化为220x x += 方程有两个整数解； 当3m =时 方程化为2210x x ++= 方程有两个相等整数解； 所以符合条件的所有正整数m 的和为235+=． 故选：B ．23．已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=有两个不相等的正整数根 则m 的值为( )A ．2B ．1C D ．2或1【解答】解：方程2(2)20mx m x -++=是一元二次方程 0m ∴≠2(2)20mx m x -++= (2)(1)0mx x ∴--= 1x ∴=或2x m=方程有两个不相等的正整数根∴21m ≠ 2m是正整数 1m ∴=．故选：B ．24．已知二次多项式25x ax a -+-． （1）当1x =时 该多项式的值为 4- ；（2）若关于x 的方程250x ax a -+-= 有两个不相等的整数根 则正数a 的值为 ． 【解答】解（1）当1x =时 25154x ax a a a -+-=-+-=- 故答案为4-；（2）设1x 2x 是方程两个不相等的整数根 则12x x a += 125x x a =-． a ∴ 5a -均为整数∴△222()4(5)420(2)16a a a a a =---=-+=-+为完全平方数设22(2)16(a t t -+=为整数 且0)t则22(2)16a t --=-．于是 (2)(2)16a t a t ---+=- 由于2a t -- 2a t -+奇偶性相同 且22a t a t ---+ ∴2424a t a t --=-⎧⎨-+=⎩或2822a t a t --=-⎧⎨-+=⎩或2228a t a t --=-⎧⎨-+=⎩解得24a t =⎧⎨=⎩或15a t =-⎧⎨=⎩（舍去）或55a t =⎧⎨=⎩经检验2a = 5a =符合要求 2a ∴=或5a =故答案为2或5．25．已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-= （1）求证：无论k 取何值 此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根 求正整数k 的值；（3）若一元二次方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=满足12||3x x -= 求k 的值． 【解答】解：（1）证明：当10k += 即1k =-时 原方程为440x --= 解得：1x =-；当10k +≠ 即1k ≠-时 △222(31)4(1)(22)69(3)0k k k k k k =--+-=-+=-∴方程有实数根．综上可知：无论k 取何值 此方程总有实数根． （2）方程有两个整数根 113(3)12(1)k k x k -+-∴==-+ 213(3)2(1)422(1)11k k k x k k k ----===-++++ 且1k ≠-2x 为整数 k 为正整数1k ∴=或3k =．（3）由（2）得11x =- 2421x k =-++ 且1k ≠- 1244|||1(2)||1|311x x k k ∴-=---+=-=++解得：3k =-或0k =经检验3k =-或0k =是原方程的解． 故k 的值为3-或0．26．求正整数k 使得关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根． 【解答】解：方程2343410x x k -+-=至少有1个正整数根∴△2344(341)11601360k k =--=-正整数k 可能取值为1 2 3 4 5 6 7 8 只有当1k =时 11x = 233x =∴正整数k 的值是1．27．已知关于x 的一元二次方程23610x x k -+-=有实数根 k 为负整数． （1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根 求出它的根．【解答】解：（1）根据题意 得△2(6)43(1)0k =--⨯- 解得2k -． k 为负整数 1k ∴=- 2-．（2）当1k =-时 不符合题意 舍去；当2k =-时 符合题意 此时方程的根为121x x ==． 28．已知关于x 的方程2(3)30(0)ax a x a +--=≠． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根 求整数a 的值． 【解答】解：（1）0a ≠∴原方程为一元二次方程．∴△22(3)4(3)(3)a a a =--⨯⨯-=+．2(3)0a +．∴此方程总有两个实数根．（2）解原方程 得11x =- 23x a=．此方程有两个负整数根 且a 为整数 1a ∴=-或3-． 11x =- 23x a=． 3a ∴≠-． 1a ∴=-．29．已知关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=． （1）试说明方程根的情况；（2）求证：当1m ≠时 原方程总有一个不变的整数根为1．【解答】（1）解：当1m =时 原方程化为220x -+= 此时方程的根为1x =． 当1m ≠时△22244(1)(1)44440m m m m m =--+=-+=>∴当1m ≠时 此方程有两个不相等的实数根综上所述 当1m =时 关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=的根为1x =；当1m ≠时 关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=有两个不相等的实数根； （2）证明：由求根公式 得222(1)m x m ±=-11x ∴= 212111m x m m +==+-- ∴无论m 取何值 方程总有一个不变的整数根为1．30．已知：关于x 的方程：2(2)2(1)10m x m x m ---++=． （1）m 取何值时 方程有两个实数根？（2）是否存在正整数m 使方程的根均为整数？若存在 请求出它的整数根；若不存在 请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得20m -≠且△2[2(1)]4(2)(1)0m m m =----⨯+ 解得3m 且2m ≠；故当3m 且2m ≠时 方程有两个实数根； （2）存在由（1）知3m 且2m ≠m 为正整数 1m =或3当1m =时 方程为220x -+= 无整数解 故1m =舍去； 当3m =时 方程为2440x x -+= 解得122x x ==； 综上 当3m =时 使方程的根122x x ==均为整数． 三．整体思想（共12小题）31．若a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根 则224a a +的值是 6 ． 【解答】解：a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根 2230a a ∴+-= 223a a ∴+=22242(2)236a a a a ∴+=+=⨯= 故答案为：6．32．若a 为方程2240x x +-=的解 则2368a a +-的值为( ) A ．4B ．2C ．4-D ．12-【解答】解：a 为方程2240x x +-=的解 2240a a ∴+-= 224a a ∴+=223683(2)83484a a a a ∴+-=+-=⨯-= 故选：A ．33．m 是方程210x x +-=的根 则式子2222020m m ++的值为( ) A ．2018B ．2019C ．2021D ．2022【解答】解：m 是方程210x x +-=的根 210m m ∴+-=即21m m +=222220202()2020220202022m m m m ∴++=++=+=． 故选：D ．34．若a 是方程210x x --=的一个根 则322020a a -++的值为( ) A ．2020B ．2020-C ．2019D ．2019-【解答】解：a 是方程210x x --=的一个根21a a ∴-= 21a a -+=-32222020(1)202020202019a a a a a a a ∴-++=--++=-++=． 故选：C ．35．若a 是2270x x --=的一个根 则221a a -+的值是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：a 是2270x x --=的一个根 2270a a ∴--= 227a a ∴-= 221718a a ∴-+=+=．故选：D ．36．若关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=≠有一根为2019x = 则一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为( ) A ．2017B ．2020C ．2019D ．2018【解答】解：对于一元二次方程2(1)(1)20a x b x -+-+= 设1t x =- 所以220at bt ++=而关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=≠有一根为2019x = 所以220at bt ++=有一个根为2019t = 则12019x -= 解得2020x =所以一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为2020x =． 故选：B ．37．已知a 是方程220150x x +-=的一个根 则22211a a a---的值为( ) A ．2014B ．2015C ．12014D ．12015【解答】解：a 是方程220150x x +-=的一个根 220150a a ∴+-=∴22211a a a--- 21(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a +=-+-+- 21(1)(1)a a a a a --=+-21a a =+ 12015=． 故选：D ．38．已知a 是方程210x -+=的一个根．则221a a +的值为( )A ．4B ．6C ．D ．【解答】解：把x a =代入方程210x -+= 得210a -+=所以21a +=则222211()22826a a a a +=+-=-=-=． 故选：B ．39．若x 是方程2310x x ++=的解 则11x x -=+ 2- ． 【解答】解：21(1)11111x x x x x x x x +-+--==+++ x 是方程2310x x ++=的解231x x ∴=--∴原式3111x x x --+-=+2(1)1x x +=-+ 2=-．故答案为：2-．40．已知实数a 是元二次方程2202110x x -+=的根 求代数式22120202021a a a +--的值为1- ．【解答】解：a 是方程2202110x x -+=根 2202110a a ∴-+= 220211a a ∴=-∴原式2021112021120202021a a a -+=---1a a =--1=-．故答案是：1-．41．若m 是方程210x x +-=的一个根 则代数式3222022m m ++的值为 2023 ． 【解答】解：m 是方程210x x +-=的一个根 210m m ∴+-= 21m m ∴=-+32(1)(1)21m m m m m m m m ∴=-+=-+=--++=-3222022212(1)2022212220222023m m m m m m ∴++=-+-++=--++=． 故答案为：2023．42．已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求： （1）2240403a a --的值； （2）代数式22202020191a a a -++的值． 【解答】解：（1）a 是方程2202010x x -+=的一个根 220201a a ∴=- 220201a a ∴=- 2240403a a ∴-- 2(20201)40403a a =--- 4040240403a a =---5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a=+- 211a a+=-第 21 页 共 22 页2020111a a -+=- 20201=- 2019=．第22页共22页。

22.1一元二次方程◆随堂检测1、判断以下方程，是一元二次方程的有____________.〔1〕32250x x -+=； 〔2〕21x =； 〔3〕221352245x x x x --=-+；〔4〕22(1)3(1)x x +=+；〔5〕2221x x x -=+；〔6〕20ax bx c ++=.〔提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.〕2、以下方程中不含一次项的是〔〕A ．x x 2532=-B ．2916x x =C ．0)7(=-x xD ．0)5)(5(=-+x x3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.4、1、以下各数是方程21(2)23x +=解的是〔〕 A 、6 B 、2 C 、4 D 、05、根据以下问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.〔1〕4个完全一样的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x .〔2〕一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x .〔3〕一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x .◆典例分析关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=．〔1〕m 为何值时，此方程是一元一次方程？〔2〕m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。

分析：此题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进展讨论求解.解：〔1〕由题意得，21010m m ⎧-=⎨+≠⎩时，即1m =时， 方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元一次方程210x -+=.〔2〕由题意得，2(1)0m -≠时，即1m ≠±时，方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元二次方程.此方程的二次项系数是21m -、一次项系数是(1)m -+、常数项是m .◆课下作业●拓展提高1、以下方程一定是一元二次方程的是〔 〕A 、22310x x+-= B 、25630x y --=C 、220ax x -+=D 、22(1)0a x bx c +++=2、2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，那么x 的值应为〔 〕A 、m ＝2B 、23m =C 、32m =D 、无法确定3、根据以下表格对应值：x20,(0)++=≠xax bx c aA、x＜3.24B、3.24＜x＜3.25C、3.25＜x＜3.26D、3.25＜x＜3.284、假设一元二次方程20,(0)++=≠有一个根为1，那么ax bx c aba_________；假设有一个根是-1，那么b与a、c之间的关系+c+=为________；假设有一个根为0，那么c=_________.5、下面哪些数是方程220--=的根？x x-3、-2、-1、0、1、2、3、6、假设关于x的一元二次方程0(2)1122=m的常数项为0，-xx++-m求m的值是多少？●体验中考1、2x=是一元二次方程220++=的一个解，那么m的值是〔〕x mxA．-3 B．3 C．0 D．0或3〔点拨：此题考察一元二次方程的解的意义.〕2、假设(0)n n≠是关于x的方程220+的值为++=的根，那么m nx mx n〔〕A．1 B．2 C．-1 D．-2〔提示：此题有两个待定字母m和n，根据条件不能分别求出它们的值，故考虑运用整体思想，直接求出它们的和.〕参考答案：◆随堂检测1、〔2〕、〔3〕、〔4〕〔1〕中最高次数是三不是二；〔5〕中整理后是一次方程；〔6〕中只有在满足0a≠的条件下才是一元二次方程．2、D 首先要对方程整理成一般形式，D选项为2250x-=.应选D.3、3；-11；-7 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化成一般形式231170x x--=，同时注意系数符号问题.4、B 将各数值分别代入方程，只有选项B能使等式成立．应选B.5、解：〔1〕依题意得，2425x=，化为一元二次方程的一般形式得，24250x-=.〔2〕依题意得，(2)100x x-=，化为一元二次方程的一般形式得，221000--=.x x〔3〕依题意得，222+-=，(2)10x x化为一元二次方程的一般形式得，22480--=.x x◆课下作业●拓展提高1、D A中最高次数是三不是二；B中整理后是一次方程；C中只有在满足0a≠的条件下才是一元二次方程；D选项二次项系数2a+≠恒成立.故根据定义判断D.(1)02、C 由题意得，212m -=，解得32m =.应选D.3、B 当3.24＜x ＜3.25时,2ax bx c ++的值由负连续变化到正,说明在3.24＜x ＜3.25围一定有一个x 的值,使20ax bx c ++=,即是方程20ax bx c ++=的一个解.应选B. 4、0；b a c =+；0 将各根分别代入简即可.5、解：将3x =-代入方程，左式=2(3)(3)20----≠，即左式≠右式.故3x =-不是方程220x x --=的根.同理可得2,0,1,3x =-时,都不是方程220x x --=的根.当1,2x =-时,左式=右式.故1,2x =-都是方程220x x --=的根.6、解:由题意得，21010m m ⎧-=⎨-≠⎩时，即1m =-时，012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0.●体验中考1、A 将2x =带入方程得4220m ++=，∴3m =-.应选A.2、D 将x n =带入方程得220n mn n ++=，∵0n ≠，∴20n m ++=，∴2m n +=-.应选D.22．2降次--解一元二次方程〔第一课时〕22.2.1 配方法(1)◆随堂检测1、方程32x +9=0的根为〔 〕A 、3B 、-3C 、±3D 、无实数根2、以下方程中，一定有实数解的是〔 〕A 、210x +=B 、2(21)0x +=C 、2(21)30x ++=D 、21()2x a a -=3、假设224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是〔 〕A 、p=4，q=2B 、p=4，q=-2C 、p=-4，q=2D 、p=-4，q=-24、假设28160x -=，那么x 的值是_________．5、解一元二次方程是22(3)72x -=．6、解关于x 的方程〔x+m 〕2=n ．◆典例分析：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值． 分析：此题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x 、y 的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．解：原方程可化为〔x+2〕2+〔y-3〕2=0，∴〔x+2〕2=0，且〔y-3〕2=0，∴x=-2，且y=3，∴原式=2681313--=-． ◆课下作业●拓展提高1、一元二次方程032=+c x ，假设方程有解，那么c ________．2、方程b a x =-2)(〔b ＞0〕的根是〔〕A 、b a ±B 、)(b a +±C 、b a +±D 、b a -±3、填空〔1〕x 2-8x+______=〔x-______〕2；〔2〕9x 2+12x+_____=〔3x+_____〕24、假设22(3)49x m x +-+是完全平方式，那么m 的值等于________．5、解以下方程：〔1〕(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0．6、如果x 2-4x+y 2，求()z xy 的值．●体验中考1、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=_____________.2、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为〔 〕A ．2(1)6x +=B ．2(1)6x -=C ．2(2)9x +=D ．2(2)9x -=参考答案：◆随堂检测1、D 依据方程的根的定义可判断此方程无实数根，应选D ．2、B D 选项中当0a <时方程无实数根，只有B 正确．3、B 依据完全平方公式可得B 正确．4．5、解：方程两边同除以2，得2(3)36x -=，∴36x -=±，∴129,3x x ==-．6、解：当n ≥0时，x+m=，∴x 1，x 2．当n<0时，方程无解．◆课下作业●拓展提高1、0≤ 原方程可化为23c x =-，∴0c ≤．2、A 原方程可化为x a -=x a =±3、根据完全平方公式可得：〔1〕16 4；〔2〕4 2．4、10或-4 假设22(3)49x m x +-+是完全平方式，那么37m -=±，∴1210,4m m ==-．5、〔1〕121,1x x ==；〔2〕1251,33x x ==．6、解：原方程可化为〔x-2〕2+〔y+3〕2=0，∴x=2，y=-3，z=-2，∴2()(6)z xy -=-=136． ●体验中考1、6x += 原方程可化为6x +=，∴另一个一次方程是6x += 2、B 原方程可化为22160x x -+-=，∴2(1)6x -=.应选B.22．2降次--解一元二次方程〔第二课时〕22.2.1 配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得〔 〕A ．〔x-2〕2+3B ．〔x-2〕2-3C ．〔x+2〕2+3D ．〔x+2〕2-32、x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的选项是〔 〕A 、x 2-8x+42=31B 、x 2-8x+42=1C 、x 2+8x+42=1D 、x 2-4x+4=-113、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值． 4、解以下方程：〔1〕x 2+6x+5=0；〔2〕2x 2+6x-2=0；〔3〕〔1+x 〕2+2〔1+x 〕-4=0.点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或〔mx+n 〕2=p 〔p ≥0〕的形式，那么可得x=mx+n=p ≥0〕.◆典例分析 用配方法解方程22300x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得2152x x -=，配方，得2211()15224x x -+=+， 即2161()24x -=，解得12x -=，即12x x ==． 分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。

一元二次方程21.1__一元二次方程__[见A本P2]1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)A．x2＋1x2＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0【解析】A是分式方程，B中缺a≠0，D中含有两个未知数．2．方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(C)A．5，6，－8 B．5，－6，－8C．5，－6，8 D．6，5，－8【解析】5x2＝6x－8化为一般形式后得5x2－6x＋8＝0.3．若关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则(B)A．a>0 B．a≠0C．a＝1 D．a≥0【解析】一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0，故选B.4．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为(A)A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32－3k－6＝0成立，解得k＝1. 5．如图21－1－1所示，图形中四个长方形的长比宽多5，围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x，则下列方程不正确的是(C)图21－1－1A．x(x＋5)＝25B．x2＋5x＝25C．x2＋5x－20＝0D．x(x＋5)－25＝0【解析】大正方形边长为2x＋5，则(2x＋5)2＝125，∴4x2＋20x＋25＝125，∴4x2＋20x－100＝0，∴x2＋5x－25＝0，故A，B，D正确，选C.6．下列关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的说法正确的有(C)①若有一个根为零时，则c＝0；②若有一个根为1时，则a＋b＋c＝0；③若有一个根为－1时，则a－b＋c＝0；④只有一个实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】把x＝0代入原方程有a×02＋b×0＋c＝0，得到c＝0；把x＝1代入原方程有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0；把x＝－1代入原方程有a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0，这说明①②③都正确．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以没有实数根，所以④不正确．7．当x＝__0__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝__3__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0是关于x的一元一次方程．8．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打__x －1__场比赛，比赛总场数用代数式表示为__12x (x －1)__．根据题意，可列出方程__12x (x －1)＝28__．整理，得__12x 2－12x ＝28__．化为一般式，得__x 2－x －56＝0__．二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1__，__－1__，__－56__．【解析】 设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x (x －1)． 根据题意，可列出方程12x (x －1)＝28. 整理，得12x 2－12x ＝28， 化为一般式为x 2－x －56＝0.二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，－1，－56.9．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如果设门的宽为x 尺，那么这个门的高为(x ＋6.8)尺，根据题意，得__x 2＋(x ＋6.8)2＝102__，整理、化简，得__2x 2＋13.6x －53.76＝0__．10．教材或资料会出现这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：(1)下列式子中，有哪几个是方程12x 2－x ＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)__①②④⑤__．①12x 2－x －2＝0；②－12x 2＋x ＋2＝0；③x 2－2x ＝4；④－x 2＋2x ＋4＝0；⑤3x 2－23x －43＝0. (2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？解：(2)若设它的二次项系数为a (a ≠0)，则一次项系数为－2a 、常数项为－4a .11．若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2013－a －b 的值是( A )A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012【解析】∵x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0的一个根，∴a ·12＋b ·1＋5＝0，∴a ＋b ＝－5，∴2013－a －b ＝2013－(a ＋b )＝2013－(－5)＝2018.12．[2013·黔西南]已知x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则代数式a 2＋b 2＋2ab 的值是__1__.【解析】 ∵x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，∴12＋a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝－1∴a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝(－1)2＝1.13．若方程4x k －1＋3x ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则k 的值为__3__．【解析】 ∵此方程是一元二次方程，∴k －1＝2，∴k ＝3.14．翠湖公园有一块长为32 m ，宽为20 m 的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路．如图21－1－2所示，若设道路宽为x m ，剩下的空地面积为540 m 2，请列出关于x 的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．图21－1－2解：将图形中的“之”字路进行平移得到如图所示的图形．依题意得(32－x )(20－x )＝540，整理，得一般形式为x 2－52x ＋100＝0，二次项系数为1，一次项系数为－52，常数项为100. 15．已知m 是方程x 2－2 013x ＋1＝0的一个根，试求代数式m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1的值． 解：∵m 为方程x 2－2 013x ＋1＝0的根，∴m 2－2 013m ＋1＝0，即m 2－2 013m ＝－1，m 2＋1＝2 013m ，∴m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1＝m 2－2 013m ＋m ＋2 0132 013m ＝－1＋m ＋1m .又由m 2－2 013m ＋1＝0， 两边同除以m 得m ＋1m＝2 013， ∴原式＝－1＋2 013＝2 012.。

一元二次方程练习一：（定义、配方法）1. 一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

举例：；；。

2. 一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做二次项系数，叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。

举例：。

3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。

例题1 （1）下列方程中，是一元二次方程的有。

（填序号）①；②；③；④；⑤；⑥。

（2）若关于的方程(a－5)+2x－1=0是一元二次方程，则a的值是_______。

思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判断：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④经过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；（2）由一元二次方程的定义可得，所以；但是当时，原方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故应舍去；当时，原方程为，因此。

答案：（1）①③⑥；（2）点评：做概念辨析题要紧扣定义，对于一元二次方程要把握这样几个关键点：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。

例题2 把方程x(2x－1)=5(x+3)化成一般形式是___________，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。

思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由得，移项得，合并同类项得。

答案：；；；点评：任何一个一元二次方程通过化简都可以得到的形式，方程左边是含有未知数的二次式，项数有可能为三项、两项或一项，方程的右边一定为0。

例题3 一元二次方程有一个解为x=0，试求的值。

思路分析：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值，因此把x=0代入原方程得到一个关于m的方程，解此方程可得m的值。

答案：解：把x=0代入得；即∴当时，原方程的二次项系数为0，与题意不符，故舍去；当时，原方程为，符合题意；故，此时。

九年级数学上册《第二十一章 一元二次方程》同步练习题附带答案（人教版）姓名 班级 学号一、选择题：1．下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．2112x x +=C ．2221x x x +=-D ．()23(1)21x x +=+2．要使方程(a-3)x 2+(b+1)x+c=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠3且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03．一元二次方程22(1)(1)1x a x x x -+=--化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()21001121x +＝B ．()21001%121x +＝C ．()10012121x +＝D ．()()210010*********x x ++++＝5．若 1x =- 是关于x 的一元二次方程 ()2200ax bx a ++=≠ 的一个根，则202122a b -+= （ ）A ．2025B ．2023C ．2019D ．20176．方程230x +=的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）A ．3B ．CD ．9- 7．若0x 是方程()2200ax x c a ++=≠的一个根，设2M ac =-，20(1)N ax =+则下列关于M与N 的关系正确的为（ ）A ．M N =B ．1M N =+C ．3M N +=D ．2M N = 8．若关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠满足0a b c -+=，称此方程为“月亮”方程．已知方程()221999100a x ax a -+=≠是“月亮”方程，则22199919991a a a a +++的值为（ ） A ．－1B ．2C ．1D ．－2 二、填空题： 9．将方程 22143x x x -+=- 化为一般形式为 .10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0是一元二次方程，则a 的取值范围是11．若关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=的常数项为0，则m 的值是 . 12．某市从2020年开始大力发展旅游产业.据统计，该市2020年旅游收入约为2亿元.预计2022年旅游收入约达2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x ，根据题意列出方程为 .13．若关于 x 的一元二次方程 ()2100mx nx m +-=≠ 的一个解是 1x = ，则 m n + 的值是 .三、解答题：14．若（m+1）x |m|+1+6x ﹣2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．15．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：①它的一般形式为ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②它的二次项系数为5③常数项是二次项系数的倒数的相反数你能写出一个符合条件的方程吗？16．把方程（3x+2）（x ﹣3）=2x ﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．17．一元二次方程化为一般式后为 ，试求 a 2+b 2-c 2的值的算术平方根．18．完成下列问题：（1）已知x ，y 为实数，且 2y = ，求 23x y - 的值.（2）已知 m 是方程 2202110x x -+= 的一个根，求代数式 2120202m m m-++ 的值.参考答案：1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．D9．230x x +-=10．a ≠111．-112．()221 2.88x +=13．114．解：由题意，得|m|+1=2，且m+1≠0解得m=115．解：由①知这是一元二次方程，由②③可确定 a c 、 ，而 b 的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．这个方程是5x 2－2x － 15=0. 16．解：（3x+2）（x ﹣3）=2x ﹣63x 2﹣9x=0所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是017．解：a （x+1）2+b （x+1）+c=0化作一元二次方程的一般形式为ax 2+(2a+b)x+a+b+c=0又一般形式为3x 2+2x-1=0∴a=3，2a+b=2，a+b+c=-1解得，a=3，b=-4，c=0∴a 2+b 2-c 2=25，则其算术平方根是5．18．（1）解：由题意得， 5050x x --，∴52x y ==-，∴2310616x y -=+=（2）解：∵m 是方程 2202110x x -+= 的一个根∴2202110m m -+=∴220211m m =-211202022021120202m m m m m m -++=--++21111202112022m m m m +=++=+=+=。

第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识点1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 .3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。

一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．5x+3=0B ．x 2-x （x+1）=0C ．4x 2=9D ．x 2-x 3+4=03．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．a=±2B ．a=-2C ．a=2D ．a 为任意实数4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或-1D ．06．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-17．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012二．填空题9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m 是一元二次方程；10．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .11．方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 .12．（2012•柳州）一元二次方程3x 2+2x-5=0的一次项系数是 .13．关于x 的一元二次方程3x （x-2）=4的一般形式是 .14．（2005•武汉）方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .15．（2007•白银）已知x=-1是方程x 2+mx+1=0的一个根，则m= .16．（2010•河北）已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ．17．（2013•宝山区一模）若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 .18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c= ，a-b+c= ．三．解答题19．若（m+1）x |m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．20．（2013•沁阳市一模）关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．2１．一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求0222=-+c b a 的值的算术平方根．21.1 一元二次方程知识点1.一，最高次数是2的整式。

人教版九年级上册数学随堂检测21.1 一元二次方程1.下面关于x 的方程中①20ax bx c ++=；②223(9)(1)1x x --+=；③2150x x++=；④232560x x -+-=；⑤2233(2)x x =-；⑥12100x -=是一元二次方程的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.42.把方程()()252x x x +=-化成一般式，则a b c ，，的值分别是( )A. 1,3,10-B. 1,7,10-C. 1,5,12-D. 1,3,23.如果方程()()23330m x m x --++=是关于x 的一元二次方程，那么m 不能取的值为() A.3± B.3 C.3- D.都不对4.已知一元二次方程230x kx +-=有一个根为1，则k 的值为( )A ．-2B ．2C ．-4D ．45. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x +1=0C. 5x 2+x 1+4=0D. 3x 2+(1+x ) 2+1=06. 方程x 2－2(3x －2)+(x +1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x +5=0B. x 2+5x +5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=07. 一元二次方程7x 2－2x =0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x ,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x ,08. 方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ） A.2 B.－2 C.32- D.3221-+9. 若关于x 的方程（a x +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为（ ）A. mB. －bdC. bd －mD. －(bd －m )10. 若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于211. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解12. 方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是__________.13. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x =0的常数项是__________.14. 如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.15. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程， 当m __________时，是一元一次方程.16.一元二次方程22(1)1(1)x m x x x -++=-的一次项系数为2-，则m 的值为 ______ .17.新春佳节，某班数学兴趣小组的x 名同学互发短信祝贺（每名同学给其余同学每人只发18.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）2213x x =-；（2）25(2)43x x x x -=-.答案以及解析1.A2.A3.B4.B5.C6.A7.D8.D9.D 10.A 11. C12. 5x 2－22x +3=0 5x 2 －22x 313. 014. ≠115. ≠4 =416.答案：217.答案：()190x x -=解析：每名同学需给()1x -名同学发短信，则x 名同学共发短信()1x x -条，即()190x x -=.18.答案：（1）一般形式为：22310x x +-=，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为1-.（2）一般形式为270x x -=，二次项系数为1，一次项系数为7-，常数项为0.。