弹性力学经典课件

§6.4 平面问题基础理论
2.平面应变问题：
平衡微分方程： x
x

yx y y y
X 0 Y 0
xy x
几何方程：
物理方程：
u x v y y u v xy y x
x
1 2 x ( x y) E 1 1 2 ( y x) E 1 1 xy xy G 见习机械设计工程师资格考试培训--有限元方法与ANSYS应用
Chap6-20
思考题
1.
2.
弹性力学中的平面应力与平面应变各适用 于什么情况？ 根据弹性力学平面问题的几何方程，证明 应变分量应满足下列方程。
2 2 2 x y xy 2 2 xy y x
2014-12-27
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E G 2(1 )
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1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E 1 yz yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
u
在应力边界 S 问题中，弹性体全部边界上所受的面力都是 已知的，即： X xl yxm zx n
Y xyl y m zy n Z xzl yz m z n
对于混合边界问题，可表达为： S S Su
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1 2 3
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Chap6-6
§6.2 弹性力学中的基本概念
5、应变：
物体在受到外力和温度的作用下发生变形，各边的单位伸 长或缩短量称为线应变ε；边与边的夹角的改变称为切应 变γ。
( x y z xy yz zx )T
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Chap6-19
§6.5 弹性力学中的能量原理
2.最小势能原理：
在所有可能满足位移边界条件和变形协调条件的位移中，
只有那些同时满足平衡条件和力的边界条件的那一组位移， 使系统的总势能取最小值。
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2014-12-27 见习机械设计工程师资格考试培训--有限元方法与ANSYS应用 Chap6-3
§6.2 弹性力学中的基本概念
2、面力：
面力是分布在物体表面上的力，定义物体内某点 所受的面力：
大小： F lim Q
S 0
S
方向：将面力沿坐标轴投影，规定沿坐标轴正 向为正，反之为负。
1.平面应力问题：
平衡微分方程：
x yx X 0 x y xy y Y 0 x y
几何方程：
u x v y y u v xy y x
x
物理方程：
1 ( x y ) E 1 y ( y x ) E 1 xy xy G
Chap6-21
2014-12-27 见习机械设计工程师资格考试培训--有限元方法与ANSYS应用 Chap6-4
§6.2 弹性力学中的基本概念
3、应力：
物体在外力作用下处于平衡状态， 此时物体内部将产生抵抗变形的 内力：
Q 大小： s lim A 0 A
方向：s方向倾斜于小面积， 可将s分解为沿法线方向的分 量σ和切线方向分量τ。
x
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Chap6-16
§6.4 平面问题基础理论
2.平面应变问题：
直柱体，面力及体力均垂直于Z轴，而且分布不随Z轴变化。
z 0
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自身变形产生位移
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Chap6-9
§6.3 弹性力学的基本方程
1.平衡微分方程：
根据力的平衡条件，沿x方向应有
同样沿y轴与沿z轴还有两个与上式类似的关系式， 化简并整理即得直角坐标中 应力平衡微分方程：
x yx zx 0 x y z xy y zy 0 x y z xz yz z 0 x y z
Chap6-12
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§6.3 弹性力学的基本方程
3.物理方程：
弹性力学中应力与应变之间 的关系称为物理关系，在完 全弹性的各向同性体内，应 变分量与应力分量之间的关 系可根据虎克定律建立： E－弹性模量，G－剪切模量， μ－泊松比，三者关系为：
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( x y z xy yz zx )T
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Chap6-5
§6.2 弹性力学中的基本概念
4、主应力：
如果过弹性体内任一点P的某一斜面上的切应力等 于零，则该斜面上的正应力称为该点的主应力。 该斜面称为过P点的应力主平面。主平面的法向称 为P点应力主向。
1 2 3
三个互相垂直方向的线应变之和是体积应变θ。
x y z
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§6.2 弹性力学中的基本概念
7、位移：
在物体受力变形过程中，其内部各点发生的位置 变化称为位移。
刚性位移
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§6.3 弹性力学的基本方程
1.平衡微分方程：
物体在外力下处于平 衡状态，单位体积上 作用的体积力F在三个 坐标轴上的分量为 X,Y,Z,则直角坐标中 应力平衡微分方程为：
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
第六章 弹性力学的基本理论
§6.1 弹性力学中的基本假设 §6.2 弹性力学中的基本概念 §6.3 弹性力学中的基本方程 §6.4 平面问题基本理论 §6.5 弹性力学中的能量原理
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§6.1 弹性力学中的基本假设
假设物体是连续的 假设物体是完全弹性的 假设物体是均匀的 假设物体是各向同性的 假设位移和变形是微小的 假设物体无初应力
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Chap6-11
§6.3 弹性力学的基本方程
2.几何方程：
在微小位移和微小变形 的情况下，可以略去位 移导数的高次幂，则应 变矢量和位移矢量的几 何关系为：
u x x v y y w z z u v xy yx y x v w yz zy z y w u zx xz x z





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Chap6-13
§6.3 弹性力学的基本方程
4.边界条件 ：
按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界、应力 边界和混合边界问题。
在位移边界 S 问题中，物体在全部边界上的位移分量都是 已知的，即：u u, v v, w w
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Chap6-2
§6.2 弹性力学中的基本概念
1、体力：
体力是分布在物体全部体积内的力，定义物体内 某点所受的体力：
大小： F lim Q
V 0
V
方向：将体力沿坐标轴投影，规定沿坐标轴正 向为正，反之为负。
方向：应变以伸长为正，缩短为负；切应变以两个沿坐 标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。
2014-12-27 见习机械设计工程师资格考试培训--有限元方法与ANSYS应用 Chap6-7
§6.2 弹性力学中的基本概念
6、主应变：
三个互相垂直的应变主轴之间的三个直角在变形后 仍然为直角，即切应变为零。
§6.4 平面问题基础理论
1.平面应力问题：
薄板，面力、体力均平行于板面且沿厚度方向不发生变化， 或对称于板的中间平面。
z 0, zy 0, zx 0
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§6.4 平面问题基础理论
y
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Chap6-18
§6.5 弹性力学中的能量原理
1.虚位移原理：
若物体在给定的外力载荷和温度分布下，应力处于平衡状
态，若从物体的变形协调状态出发给物体任意一虚位移， 则外力虚功恒等于应变能。 虚功方程和平衡方程在力的边界上的应力边界条件是等价 的，就可以在某些情况下用虚功方程来代替平衡方程。