苏州市高三数学 解析几何一．填空题【考点一】：直线方程及直线与直线的位置关系例1．若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a 的值为_________． 【答案】a ＝0或a ＝－1．【解析】由两直线垂直得3a ＋(2a －1)a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1．例2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的范围是_________． 【答案】⎝⎛⎭⎫π6，π2．【解析】方法一：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋332＋3k ，y ＝6k －232＋3k .因为交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋332＋3k ＞0，6k －232＋3k ＞0，解得：k ＞33． 所以，直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．方法二：因为直线l ：y ＝kx －3恒过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与x 轴，y 轴交点的坐标分别为(3,0)，(0,2) ．又点(0，－3)与点(3,0)连线的斜率为0＋33－0＝33，点(0，－3)与点(0,2)连线的斜率不存在，所以要使直线l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k ＞33，所以直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．例3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ． 【答案】⎝⎛⎭⎫1－22，12．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b．∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12．考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为⎝⎛⎭⎫1－22，12． 例4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ·PB 的最大值是 ． 【答案】5．【解析】因为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，所以A (0,0)，B (1,3)． 当点P 与点A (或B )重合时，P A ·PB 为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， 所以△APB 为直角三角形，所以AP 2＋BP 2＝AB 2＝10，所以P A ·PB ≤P A 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当P A ＝PB 时，上式等号成立．【考点二】： 圆方程及直线与圆的位置关系例5．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的标准方程是 ． 【答案】(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．【解析】方法一： 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+--=r y x r y x x y 2|1|)2()3(4002202000，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==224100r y x ，因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．例6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________． 【答案】6【解析】如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ．因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知OP ＝12AB ＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5， 所以OP max ＝OC ＋r ＝6， 即m 的最大值为6．例7．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P，使得PA ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】11m +≤．【解析】设P (x ,y ),由PA =得,化简得22(1)3x y ++=,所以点P 是直线0x y m ++=与圆22(1)3x y ++=,的公共点，即直线与圆,解得11m -≤．例8．已知圆C ：22(1)5x y +-=，A 为圆C 与x 负半轴的交点，过点A 作圆的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA OM =，则直线AB 的斜率 ． 【答案】2k =．【解析】设直线AB ：(2)y k x =+． 因为CM AB ⊥，直线CM ：11y x k=-+． 将它与直线AB 的方程联立得222(12)2(,)11k k k kM k k -+++．因为2OA OM ==2=，2k =±． 当2k =-不符合，故2k =．例9．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PB PA =，则0x 的取值范围为 ．【答案】(1,0)(0,2)-．【解析】先从第一个条件出发，确定参数a 的取值范围．因为P 在线段AB 的中垂线上，从而用a 的代数式表示直线PC 的斜率后得到00211x x a=-+， 3,04a a <->解得：0x 的取值范围为(1,0)(0,2)-．例10．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________． 【答案】3．【解析】圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1， 易知PC 的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12P A ·AC )＝P A ·AC ＝P A ＝PC 2－1＝22－1＝3，因此四边形P ACB 的面积的最小值是3．例11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()41:22=-+y x C ．若等边PAB ∆的一边AB为圆C 一条弦，则PC 的最大值为 ． 【答案】4．【解析】由PAB ∆为等腰三角形，PAB ∆为等边三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记,,AH BH x PH y PC t ====，则CH =，满足()224,0x y x y t y ⎧+=>⎪⎨=+⎪⎩求PC的最小值．记直线:l y t =+，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧()224,0x y x y +=>相切时，则t 取最大值，求得max 4t =，即PC 的最大值为4．例12．已知圆C 的方程为22(1)(1)9x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的范围________． 【答案】k ≥34-． 【解析】因为5MC <，只要MC ≥1对于任意的点M 恒成立， 只需点位于的中点时存在公共点即可． 点（1，1）到直线的距离d =≥1，解得：k ≥34-． 【考点三】： 圆锥曲线方程与性质例13．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是________．【答案】3或253． 【解析】当焦点在x轴上时，e ==3m =； 当焦点在y轴上时，e ==253m =． 例14．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为________． 【答案】34．【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== ．例15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【答案】35．【解析】如图，设AF ＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45． 解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF 1＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以F 1F ＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57．例16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 ． 【答案】6．【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=．例17．设P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2.若e 2＝3e 1，则e 1＝________．【答案】53． 【解析】设椭圆C 1的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，双曲线C 2的实半轴长为a 2，虚半轴长为b 2.∵ PF 1⊥PF 2，根据椭圆的性质可得S △PF 1F 2＝b 21，又e 1＝c a 1，∴ a 1＝c e 1，∴ b 21＝a 21－c 2＝c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1.根据双曲线的性质可得S △PF 1F 2＝b 22，∵ e 2＝c a 2，a 2＝c e 22，∴ b 22＝c 2－a 22＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，∴ c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，即1e 21＋1e 22＝2.∵ 3e 1＝e 2，∴ e 1＝53. 例18．已知直线:20l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率34MA MB K K =-，则实数m 的值是___________．【答案】[]4,4-．【解析】点M 的轨迹为221(2)43x y x +=≠． 把直线:2l x y m =-代入椭圆方程得，221612(312)0y my m -+-=． 根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．例19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ．【答案】152022=+y x ． 【解析】因为椭圆的离心率为23, 所以23==a c e ,2243a c =,222243b a ac -==，所以2241a b =,即224b a =． 双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ． 所以b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=， 则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ．四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，故52=b ．因此，椭圆方程为152022=+y x ． 例20．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ．若1230PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ．1．【解析】由双曲线定义易得，12122,PF PF a PF -==，1212212F F ce a PF PF ===-． 例21．已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l0y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．（1）若a ＝8，切点1)T -,求直线AP 的方程； （2）若P A =2PT ，求实数a 的取值范围．【解析】由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为(4,3)-，所以OT k =，1PT OT k k =-=，故直线PT的方程为1y x +-40y --=． 联立直线l 和PT，40,80,y y --=+-=解得2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2)P ，所以直线AP的斜率为k ===，故直线AP的方程为2)y x =+，即1)21)0x y -+=，即1)20x y -+=．（2）设(,)Pxy ，由P A ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x ++-=，即满足P A ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线0y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以83d =，即16|3a -≤a ． 例22．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程． 【解析】(1)证明 直线l 恒过定点P (1,1)，由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内， 所以直线l 与圆C 总有两个交点．(2)圆心到直线的距离d ＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB r ＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3．(3)方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)， 所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎨⎧=-+-=-5)1()1(122y x x k y ⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+③②,15,1222212221k k x x k k x x由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．方法二：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1．5t ，PD ＝0．5t ．在Rt △CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0．5t )2，在Rt △CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2， 从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22， 解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．例23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．【解析】 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ， 从而△PQF 2的周长为4a .由题意，得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) (法1)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.设Q (x 1，y 1)． 因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b2λ2a2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.(法2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方， 故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.例24．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (1，32)，离心率e ＝12，直线l 的方程为x＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3.④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)，联立⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y23＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．例25．如图6，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上． （1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．【解析】（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m +2）． 代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=， 解得32m =-或0m =（舍）． 所以A （3-，1-）．故直线AB 的方程为360x y ++=．（2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-． 设),(M M y x M ，由M P A ,,三点共线， ∴)3)(1()1)(3(00++=++M M x y y x ． 又点M 在直线x y =上，图6解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+．设),(N N y x N ，由N P B ,,三点共线， ∴00(2)(2)N N x y y x +=+．点N 在直线y x =上，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--．所以OM ON ⋅0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6． 例26．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．① 若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足P A →＝λAF →，PB →＝μBF →.求证：λ＋μ为定值；② 若OA ⊥OB (O 为原点)，求△AOB 面积的取值范围．【解析】(1)由题设知c ＝1，a 2c＝2，a 2＝2c ，∴ a 2＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴ 椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 方程代入椭圆方程，得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴ x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.由P A →＝λAF →，PB →＝μBF →知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴ λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k2＝－－4－1＝－4(定值)． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 方程，得x 2＋2k 2x 2＝2，∴ x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理可得x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2， △AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，则S ＝t 2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2；令u ＝1t∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22. 综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22，即△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.三．课本改编题1．课本原题（必修2第112页习题2．2第12题）：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．改编1：（2008高考江苏卷第13题）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ．改编2：（2013高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y=2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[说明]：利用阿波罗尼斯圆进行命题的经典考题很多，最著名的当属高考中出现的这两题．课本上虽未出现阿波罗尼斯圆的字眼，但是必修2教材上的这道习题已经体现了这类问题的本质．如果我们平时能钻研教材，对这道习题有所研究，那么我们的数学意识就会有所增强，再碰到此类问题时就会得心应手．2．课本原题（1）（选修2-1第42页习题第5题）在ABC D 中，(6,0),(6,0)B C -，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．原题（2）（选修2-2第105页复习题第14题）：已知椭圆具有如下性质：设M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点．若直线PM 、PN 的斜率都存在并分别记为,PM PN k k ，则P M P N k k ×是与点P 的位置无关的定值．试类比椭圆，写出双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个类似性质，并加以证明．改编1：（2012年南通市高三数学第二次模拟考试第13题）在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D ．若cos ∠F 1BF 2=725，则直线CD 的斜率为____．改编2：（2013苏北四市期末18题第2、3问）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E的方程为22143x y +=．若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆 上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．改编3：（2011年高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P A的斜率为k．（1）当直线P A平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：P A⊥PB．[说明]原题是推理与证明中的复习题，教学中可以把握教材前后的联系，在椭圆的学习中就可以对该结论进行探究．利用该结论进行命题的经典考题非常多，以上几例利用这个结论会大大降低运算的难度．平时我们要多留意课本上的常见结论，加强知识储备，这对提高我们的解题能力大有帮助．3．课本原题（必修2 P88思考运用13）：已知直线l 过点（2，3），与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为16，求该直线l 的方程改编1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 ． [解析]设所求直线方程为)5(4+=+x k y ．依题意有5)45)(54(21=--k k． ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k ,或58=k ． ∴直线的方程是01052=--y x ,或02058=+-y x ．改编2：（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 ． [解析]设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则1111111(2)(12)44[4(4)()][442222OAB S k k k k k k ∆=--=--=+-+-+=≥，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号， ∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4． 改编3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小． [解析]设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x ．令0=y 得1500-=x x x ， ∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S2]40=≥， 当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号． ∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小．[说明]原题的本质是建立三角形的面积与斜率之间的方程关系，通过解方程求出未知量，而变体题则是建立这两者之间的函数关系，利用求函数最值的知识解决问题。
