江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题{含解析}

2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（）A. [3，+∞）B. （3，+∞）C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【答案】A【解析】因为，，所以；故选A.2.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（）A. 22B. -33C. -11D. 11【答案】D【解析】【分析】a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=11 a6进而得到结果.【详解】等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{an}的前11项的和为S11＝＝11a6＝11×1＝11.故选D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.3.总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（）A. 05B. 09C. 07D. 20【答案】C【解析】【分析】从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且小于或等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.【详解】根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是，可知选出的第4个值为，故选C.【点睛】本题主要考查了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（）A. 明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨C. 明天本地下雨的机会是80%D. 气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报【答案】C【解析】分析：根据概率的意义即可得出结论．详解：根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%．故选C．点睛：本题考查概率意义的理解及应用，考查学生的理解能力，属于容易题．5.设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.7.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样：③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．其中说法正确的为（）A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④【答案】A【解析】【分析】①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.【详解】①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；第二步确定分段间隔；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号；第四步将编号为依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确；④该抽样男生被抽到的概率；女生被抽到的概率，故“本次抽样中每个人被抽到的概率都是”这个说法是错误的．因此④不正确．故选A．【点睛】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．8.已知向量，且，则m=( )A. −8B. −6C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．9.如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2，【答案】A【解析】【分析】根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小．【详解】∵两个小组的平均成绩相同，∴，解得：，由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得，故选A．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础．10.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A. 24B. 18C. 12D. 9【答案】B【解析】【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选B．【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．11.定义在上的奇函数满足，且在上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则，且，由于，故，据此可得：，.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个的长方体框架，一个建筑工人欲从处沿脚手架攀登至处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知是“最近路线”，所以一共要走次向上、次向右、次向前，一共次，然后算出一共多少种情况，再计算出满足“不连续向上攀登”的情况的数目，最后得出结果．【详解】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走次向上，次向右，次向前，一共次，所以最近的行走路线共有：，因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是次向右和次向前全排列，接下来，就是把次向上插到次不向上之间的空当中，个位置排三个元素，也就是，则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有种，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率，故选B．【点睛】“不能连续向上”就是“三次向上”不能在一起，那么可以先将次向右和次向前首先排列出来，再将三次向上插到里面．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设复数，则复数的共轭复数为______．【答案】【解析】【分析】直接利用复数的四则混合运算化简求解即可．【详解】复数，则复数．复数的共轭复数为：故答案为．【点睛】本题考查复数的四则混合运算，是基础题，分式类型的复数计算注意分母实数化的方法.14.的展开式中，的系数为__________．【答案】【解析】从6个括号中选择2个取，选择1个取，剩余的3个取，便可得到含的项，故所求项的系数为.答案：15.已知向量，，，，若，则的最小值______．【答案】【解析】【分析】由，可得：，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】∵，∴，即，∵，，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值是．故答案为．【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.给出下列命题：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x-1＞0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．其中所有正确命题的序号是______ ．【答案】④【解析】【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断．【详解】①根据否命题的定义可知命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①错误．②由x2﹣5x﹣6＝0得x＝﹣1或x＝6，所以“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0”，所以③错误．④因为原命题正确，根据逆否命题和原命题为等价命题可知命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知函数．（1）求函数的单调区间.（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上最小值和最大值.【答案】（Ⅰ）增区间是：减区间是：；（Ⅱ）-2，1.【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（Ⅱ）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果.【详解】（Ⅰ），由得，增区间是：，由得减区间是：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得把向右平移个单位得到函数，，因为，所以，，故所在区间上的最大值为1，最小值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.18.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：（1）求的值；（2）求展开式中含项；（3）计算式子的值【答案】(1) ．(2) ．(3)【解析】【分析】（1）依题意，，即可求的值；（2）写出通项，令的指数为3，即可求展开式中含的项；（3）令得的值即可．详解】解：（1）依题意，，即，解得；（2）由（1）知．∴由，得，∴展开式中含的项．（3）令得．【点睛】本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想．19.已知数列前n项和，点在函数的图象上．(1)求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入函数的方程得到.利用，可求得数列的通项公式为.（2）利用裂项求和法求得.为递增的数列，当时有最小值为，所以，解得.试题解析：（1）点在函数的图象上，.①当时，，②①-②得.当时，，符合上式.．（2）由（1）得，．，数列单调递增，中的最小项为.要使不等式对任意正整数恒成立，只要，即.解得，即实数的取值范围为.点睛:本题主要考查函数与数列，考查已知数列前项和，求数列通项的方法，即用公式.要注意验证当时等号是否成立.考查了裂项求和法，当数列通项是分数的形式，并且分母是两个等差数列的乘积的时候，可考虑用裂项求和法求和.还考查了数列的单调性和恒成立问题的解法.20.如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）法一、取中点，连接，，由三角形的中位线定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，说明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定得到平面；法二、证明平面，转化为证明平面平面，在中，过作，垂足为，连接，由已知底面，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面，则结论得证；（2）连接，证得，进一步得到平面平面，在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．然后求解直角三角形可得直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）证明：法一、如图，取中点，连接，，为的中点，，且，又，，且，，且，则，且，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；法二、在中，过作，垂足为，连接，在中，由已知，，得，，，则，在中，，，由余弦定理得：，，而在中，，，即，，则平面．由底面，得，又，，则平面．，平面平面，则MN∥平面；（2）解：在中，由，，，得．，则，底面，平面，平面平面，且平面平面，平面，则平面平面．在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．在中，由是的中点，得，在中，由，得，．直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．21. 10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果．（1）4只袜子没有成双；（2）4只袜子恰好成双；（3）4只袜子2只成双，另两只不成双．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）直接由组合公式及分步计数乘法原理可得；（2）直接利用组合公式从十双互不相同的袜子中挑两双即可；（3）直接由组合公式及分步计数乘法原理可得.试题解析：（1）；（2）；（3）．考点：1、组合的应用；2、分步计数乘法原理的应用.22.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.78【答案】(1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3【解析】【分析】（1）由频率和为1，列出方程求的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为（人），填表如下：假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以可视为服从二项分布，即，，故，，，，.所以的分布列为：数学期望为.或（）．【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（）A. [3，+∞）B. （3，+∞）C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【答案】A【解析】因为，，所以；故选A.2.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（）A. 22B. -33C. -11D. 11【答案】D【解析】【分析】a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=11 a6进而得到结果.【详解】等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{an}的前11项的和为S11＝＝11a6＝11×1＝11.故选D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.3.总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（）A. 05B. 09C. 07D. 20【答案】C【解析】【分析】从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且小于或等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.【详解】根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是，可知选出的第4个值为，故选C.【点睛】本题主要考查了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（）A. 明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨C. 明天本地下雨的机会是80%D. 气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报【答案】C【解析】分析：根据概率的意义即可得出结论．详解：根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%．故选C．点睛：本题考查概率意义的理解及应用，考查学生的理解能力，属于容易题．5.设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.7.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样：③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．其中说法正确的为（）A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④【答案】A【解析】【分析】①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.【详解】①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；第二步确定分段间隔；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号；第四步将编号为依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确；④该抽样男生被抽到的概率；女生被抽到的概率，故“本次抽样中每个人被抽到的概率都是”这个说法是错误的．因此④不正确．故选A．【点睛】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．8.已知向量，且，则m=( )A. −8B. −6C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．9.如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2，【答案】A【解析】【分析】根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小．【详解】∵两个小组的平均成绩相同，∴，解得：，由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得，故选A．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础．10.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A. 24B. 18C. 12D. 9【答案】B【解析】【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选B．【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．11.定义在上的奇函数满足，且在上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则，且，由于，故，据此可得：，.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个的长方体框架，一个建筑工人欲从处沿脚手架攀登至处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知是“最近路线”，所以一共要走次向上、次向右、次向前，一共次，然后算出一共多少种情况，再计算出满足“不连续向上攀登”的情况的数目，最后得出结果．【详解】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走次向上，次向右，次向前，一共次，所以最近的行走路线共有：，因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是次向右和次向前全排列，接下来，就是把次向上插到次不向上之间的空当中，个位置排三个元素，也就是，则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有种，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率，故选B．【点睛】“不能连续向上”就是“三次向上”不能在一起，那么可以先将次向右和次向前首先排列出来，再将三次向上插到里面．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设复数，则复数的共轭复数为______．。

2019-2020学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“x R ∃∈，2230x x -+<”的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x -+≥ B ．x R ∀∈，2230x x -+< C ．x R ∃∉，2230x x -+< D ．x R ∀∈，2230x x -+≥【答案】D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果. 【详解】因为x R ∃∈的否定为x R ∀∈，2230x x -+<的否定为2230x x -+≥， 所以命题的否定为：x R ∀∈，2230x x -+≥. 故选：D. 【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题.2．“2x <”是“220x x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据2x <与220x x -<的互相推出情况，确定出2x <是220x x -<的何种条件. 【详解】当220x x -<时，02x <<，所以2x <不能推出220x x -<，220x x -<能推出2x <， 所以“2x <”是“220x x -<”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围.3．准线方程为1y =的抛物线的标准方程为( ) A ．24x y =- B ．24y x =- C ．22x y =- D ．24x y =【答案】A【解析】先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出p 的值即可得到抛物线的标准方程. 【详解】因为准线方程为1y =，所以设抛物线方程为()220x py p =->，又因为准线方程12py ==，所以2p =， 所以抛物线标准方程为：24x y =-. 故选：A. 【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中p 的值即可得到标准方程.4．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=u r ，平面α的法向量2,2(),4n -=-r，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．5C ．﹣1D ．﹣5【答案】C【解析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n u r r，所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为b r ，若//l α则有a b ⊥r r，若l α⊥则有//a b r r.5．函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】将221x x +-变形为()22121x x -++-，然后根据基本不等式求解出y 的最小值即可. 【详解】 因为22(1)1y x x x =+>-，所以()2222122611y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2211x x -=-，即2x =， 所以min 6y =. 故选：C. 【点睛】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.6．已知数列{}n a 是等比数列，20144a =，202016a =，则2017a =( )A ．B ．±C ．8D ．±8【答案】D【解析】根据等比数列下标和的性质，得到2017a 是2014a 、2020a 的等比中项，从而可计算出2017a 的值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，且2014202022017+=⨯， 所以220172014202064a a a =⋅=，所以20178a =±.故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的性质运用，难度较易.在等比数列{}n a 中，已知()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.7．如图，已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB V 为等边三角形，则该双曲线的离心率是( )A 3B 3C 2D 5【答案】A【解析】根据等边三角形的特点，用c 表示出12,AF AF ，再结合122AF AF a -=即可计算出双曲线的离心率. 【详解】因为122F F c =且1F AB V 是等边三角形， 所以12143cos30F F AF ==︒，21223tan 30AF F F =︒=， 由双曲线的定义可知：12232AF AF a -==， 所以3==ce a故选：A. 【点睛】本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率. 8．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( ) A ．211B ．811C ．1611D ．1811【答案】C【解析】将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出5a 的值. 【详解】将等差数列记为{}n a ，其中第n 节的容积为()*19,n a n n N≤≤∈，因为478946S a a a =⎧⎨++=⎩，所以1146472a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1811211a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5116411a a d =+=，所以第5节的容积为1611. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列及其前n 项和的简单综合应用，难度较易.已知关于等差数列的两个等式求解等差数列通项的常用方法：（1）构造关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差即可求解出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式.二、多选题9．已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x ≥的充分不必要条件是( )A ．[1,3]B ．{1,3}C ．1[3)+(]-∞⋃∞，， D ．(3,4) 【答案】BD【解析】先求解出()0f x ≥的解集A ，则充分不必要条件B 应是A 的真子集，由此作出判断即可. 【详解】因为()0f x ≥即2430x x -+≥的解集为：{|3x x ≥或}1x ≤， 所以()0f x ≥的充分不必要条件应是{|3x x ≥或}1x ≤的真子集， 所以{}()1,3,3,4满足条件.故选：BD. 【点睛】本题考查命题成立的充分不必要条件的判断，难度较易.判断命题成立的充分不必要条件或必要不充分条件，可从命题成立的对象所构成集合的真子集关系考虑.10．与直线0x y +=仅有一个公共点的曲线是( ) A ．221x y += B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =【答案】AC【解析】A ．根据圆心到直线的距离进行判断；B ．联立直线与椭圆方程利用∆进行判断；C ．根据双曲线的渐近线与直线的位置关系进行判断；D ．联立直线与抛物线方程利用∆进行判断. 【详解】A．圆心到直线的距离1d r ===，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B．因为22012x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所以2320x -+=，所以322480∆=-=>，所以直线与椭圆有两个交点，不符；C ．因为221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以0x y +-=平行于渐近线且不与渐近线重合，所以0x y +=与双曲线仅有一个公共点，符合；D．因为20x y y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以20y y +-=，所以10∆=+>，所以直线与抛物线有两个交点，不符. 故选：AC. 【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，难度一般.（1）判断直线与圆的交点个数可通过圆心到直线的距离和半径作比较得到结果；（2）判断直线与双曲线的交点个数，可先判断直线与双曲线的渐近线是否平行，若不平行可考虑通过联立方程利用∆进行判断. 11．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}2log n aC ．{}1n n a a +⋅D ．{}12n n n a a a ++++【答案】ACD【解析】先假设等比数列的通项公式，然后利用等比数列的通项公式逐项判断即可. 【详解】设11n n a a q -=，A ．11111111n n n a a q a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，此时1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为11a ，公比为1q 的等比数列；B ．因为()()()12212121log log log1log 0,0n n a a qa n q a q -==+->>，此时{}2log n a 是首项为21log a ，公差为2log q 的等差数列；C ．因为()()()()112212211111n n n n n n a q a q q a a q a a q --+-=⋅==⋅⋅，所以{}1n n a a +是首项为21a q ，公比为2q 的等比数列；D ．因为()()122221111n n n n n n n n a a q a q q q a a q q q a a a +-+++⎡⎤=++=++=++⋅⎣⎦， 所以{}12n n n a a a ++++是首项为()211a q q ++，公比为q 的等比数列.故选：ACD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，对学生的分析证明能力要求较高，难度一般.常用的判断等比数列的方法：通项公式法、定义法、等比中项法.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有( )A ．AB BC CD ++u u u r u u u r u u u rB ．11111AA BC DC ++u u u r u u u u r u u u u rC ．111AB C C BC -+u u u r u u u u r u u u u rD ．111AA DC B C ++u u u r u u u r u u u u r 【答案】BCD【解析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果. 【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数2()f x x x =-的图象上，则3a =________.【答案】4【解析】将点的坐标代入到()f x 中，求解出n S 的表达式，根据()12n n n a S S n -=-≥求解出n a ，即可求解出3a 的值. 【详解】因为(),n n S 在()f x 的图象上，所以2n S n n =-，所以()()()22111222n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=-≥⎣⎦，所以32324a =⨯-=.故答案为：4. 【点睛】本题考查根据n a 与n S 的关系求解{}n a 的通项公式，难度一般.根据1n n n a S S -=-求解数列通项公式时，注意*2,n n N ≥∈.14．在空间直角坐标系中，1(1)A t -,,，()20B t ,,，2(1,),C t -，若AB BC ⊥u u u r u u u r，则实数t 的值为________. 【答案】12【解析】先根据点的坐标得到,AB BC u u u r u u u r的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出t 的值即可. 【详解】因为()()1,1,,1,0,2AB t t BC =+-=--u u u r u u u r ，且AB BC ⊥u u u r u u u r ，所以0AB BC ⋅=u u u r u u u r，所以120t -+=，所以12t =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查根据空间向量的垂直关系求解参数，难度较易.已知()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，若a b ⊥r r，则有1212120x x y y z z ++=.15．若关于x 的一元二次不等式220ax bx a -+<的解集为(,1)m m + ，则实数ba的值为________. 【答案】±3 【解析】根据一元二次不等式解集的特点，计算出m 的值，然后将m 和1m +的值代入到对应的一元二次方程中即可得到,a b 的关系，从而可求ba的值. 【详解】因为220ax bx a -+<的解集为(),1m m +， 所以()21am m a+=，所以2m =-或1m =， 当1m =时，204220a b a a b a -+=⎧⎨-+=⎩，所以3b a =，所以3ba =，当2m =-时，422020a b a a b a ++=⎧⎨++=⎩，所以3b a =-，所以3ba =-，所以3ba=±. 故答案为：3±. 【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数关系，难度一般.注意一元二次不等式解集的端点值是对应的一元二次方程的根.16．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，且12PF F △的面积等于4，则实数b 的值为_______，实数a 的取值范围为_______.【答案】2 )⎡+∞⎣【解析】根据椭圆的定义以及勾股定理、12PF F △面积即可求解出b 的值；再根据120PF PF ⋅=u u u r u u u u r以及椭圆中x 的取值范围即可求解出a 的范围.【详解】因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以12PF PF ⊥， 又因为122PF PF a +=，所以122221224PF PF a PF PF c⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2122PF PF b ⋅=， 又因为1212242PF FP S b PF F ⋅===V ，所以2b =； 又因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，设(),P x y 且22214x y a+=， 所以2220x c y -+=，所以2222440x x c a-+-=，所以222244a x c a -=-，所以()2222444a x a a-=--， 又因为()2222280,4a a x a a -⎡⎤=∈⎣⎦-且2a >，所以28a ≥，所以)a ⎡∈+∞⎣. 故答案为：2；)⎡+∞⎣. 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中,x y 的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点P （非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于212tan2F PF b ∠.四、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且47a =-，39S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1()2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-+；（2）2112n nT n =-+-. 【解析】（1）根据34,S a 求解出等差数列的公差，再根据()n m a a n m d =+-即可求解出{}n a 的通项公式；（2）采用分组求和的方法分别对等差数列和等比数列进行求和，最后将结果相加即可. 【详解】（1）∵n S 是数列{}n a 前n 项和,且39S =- ∴239a =-，23a =- 又∵47a =- ∴427(3)2422a a d ----===-- ∴2(2)n a a n d =+-32(2)n =---21n =-+∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-+. （2）由（1）知2(1)(2)2n n n S n n -=-+-=- 令nS '是数列12n⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和∴11112211212n n nS '⎛⎫- ⎪⎝⎭==-- ∵12nn n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其前n 项和为n T ∴2112n n n nT S S n '=+=-+-. 【点睛】本题考查等差、等比数列的综合运用，难度较易.求解形如n n n a b c =+的前n 项和（{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列），注意采用分组求和的方法.18．已知抛物线2:2C y px =(0p >)经过点(1,2)A -，直线l 过抛物线C 焦点F 且与抛物线交于M 、N 两点，抛物线的准线与x 轴交于点B . （1）求实数p 的值；（2）若4BM BN ⋅=u u u u r u u u r，求直线l 的方程.【答案】（1）2；（2）10x y --=或10x y +-=.【解析】（1）直接将点的坐标代入到抛物线方程，即可求解出p 的值；（2）设出直线l 的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到对应的韦达定理形式，将4BM BN ⋅=u u u u r u u u r改写成韦达定理形式即可求解出直线l 的方程.【详解】（1）∵抛物线C 过点()1,2- ∴2(2)21p -=⋅⋅∴2p =（2）抛物线C 为24y x =，焦点F 为()1,0，准线为1x =-∵抛物线准线与x 轴交于点B ，∴(1,0)B - ∵过焦点F 的直线l 与抛物线有两个交点.∴直线l 的斜率不为0，故设直线l 为1x my =+，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭∴214x my y x=+⎧⎨=⎩，化简得：2440y my --=，∴121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩ ∵4BM BN ⋅=u u u u r u u u r ，∴2212121,1,444y y y y ⎛⎫⎛⎫+⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形得：()21121212222()3164y y y y y y y y +-++=即21681434m +-+=，解得1m =±故直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及根据坐标的韦达定理形式求解直线方程，难度一般.直线与圆锥曲线的综合问题中，若出现向量数量积运算，可优先考虑利用坐标的韦达定理形式解决问题.19．如图，在四棱锥—S ABCD 中，底面ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，2AD SA ==，1AB =，点E 是棱SD 的中点.（1）求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值； （2）求二面角E BC D --的大小. 【答案】（1）15；（2）4π.【解析】（1）建立空间直角坐标系，根据两条直线方向向量的夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；（2）利用平面法向量夹角的余弦值结合具体图形，即可计算出二面角E BC D --的大小. 【详解】（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2)S ，(0,2,0)D ，点E 为SD 中点，则(0,1,1)E ，(1,2,0)C∴(1,1,1)CE =--u u u r∵(1,0,0)B ，∴(1,0,2)BS =-u u u r设异面直线CE 、BS 所成角为θ∴||cos ||||CE BS CE BS θ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ∴异面直线CE 与BS所成角的余弦值为5； （2）设平面EBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，(0,2,0)BC =u u u r ，(1,1,1)CE =--u u u r则1111200y x y z =⎧⎨--+=⎩，令11x =，得111101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴1(1,0,1)n =u r取平面BCD 的一个法向量2n AS =u u r uu r ，求得2(0,0,2)n =u u r∴122121cos ,2n n n n n n ⋅<===⋅>u u r r ru u r u r u r ∴法向量11,n n u r u r的夹角为4π. 即二面角E BC D --的大小为4π. 【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角以及二面角，难度一般.（1）向量法求解异面直线所成角时，注意异面直线所成角的余弦值等于直线方向向量所成角余弦值的绝对值；（2）向量法求解二面角的大小时，平面法向量夹角的余弦值不一定等于二面角的余弦值，需要结合具体图形判断.20．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. （1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？【答案】（1）()4,16 n *∈N ；（2）该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12.【解析】（1）列出利润的表达式，盈利则利润大于零，由此求解出n 的取值范围；（2）列出平均利润的表达式，利用基本不等式求解出平均利润的最大值. 【详解】 （1）由题意得：(1)6919212602n n n n ----⋅> 化简得：220640n n -+< 解得：416n <<，答：该批小型货车购买n 年后盈利，n 的范围为()4,16,且n *∈N （2）设批小型货车购买n 年后的年平均利润为y则2360192643()6032646012n n y n n n-+-==-++≤-⨯+=当且仅当8n =时取“=”，答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式的实际应用，难度一般.解答问题的关键是能通过题意列出对应的表达式，同时在利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为32，焦距为23.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 上一点，过点O 作OM 的垂线交直线23y =N ，设OM 的斜率为k (0k ≠).求证：2211OM ON +为定值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据离心率以及焦距先求解出,a c 的值，然后即可求解出22,a b 的值，从而C 的方程可求；（2）设出直线OM 的方程，根据点到点的距离公式表示出2OM ，再根据斜率的关系亦可表示出2ON ，由此可判断出2211OM ON+为定值. 【详解】（1）∵∴c a =∵椭圆的焦距为∴2c =c =2a =∴2222221b a c =-=-=∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）∵OM 的斜率为k ，∴设直线OM 为y kx =.2244x y y kx ⎧+=⎨=⎩，求得：22414x k =+∴M OM ==∴()2224114k OM k +=+∵ON OM ⊥，∴1ON k k=-∴3N ON y ==，∴()22413k ON +=∴()()()222222214344141141114k k k k k OM ON ++=+==++++ ∴2211OM ON+为定值1. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及椭圆中的定值问题，对学生的的分析和计算能力要求较高，难度一般.求解椭圆方程的两种思路：（1）根据椭圆的定义求解方程；（2）根据,,a b c 的值求解椭圆方程.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-(N n *∈). （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的N n *∈，不等式1()15n n n a a λ+-+≤恒成立，求实数λ的最大值.【答案】（1）2nn a =；（2）278. 【解析】（1）由22n n S a =-写出1n -时对应的等式，两式作差即可证明{}n a 为特殊数列，由此求解出{}n a 的通项公式；（2）将不等式1()15n n n a a λ+-+≤采用分离参数的方法分离出λ，由此得到λ与关于n 的式子的大小关系，通过数列的单调性可分析出关于n 的式子的最值，即可求出λ的范围. 【详解】（1）∵22n n S a =-① ∴1122(2)n n S a n --=-≥② ①-②得122n n n a a a -=-，即12nn a a -= ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列 ∵11122S a a =-=，∴12a = ∵221222S a a a =-=+，∴24a = ∴212a a =，即当1n =时，符合等比数列 ∴当*N n ∈时，{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列∴111222n n nn a a q --=⋅=⋅=；（2）要使1()15n n n a a λ+-+„恒成立，则1()2215n nn λ+-⋅+„，参变分离得1min15122n n λ+⎛⎫+- ⎪⎝⎭„ 令115122n n b n +=+-，∴212215215122n n n n n b b ++++--=-= ∴当2n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +> 当1n =时，10n n b b +-<，即21b b <.∴1234n b b b b b ><<<<<L L ∴当2n =时，n b 有最小值为278. ∴278λ…∴实数λ的最大值为278. 【点睛】本题考查根据()12n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式以及根据数列单调性求解参数最值，难度一般.（1）数列{}n a 的单调性的证明方法：将1n n a a +-的结果与0比较大小，若大于零，则是递增数列，若小于零，则是递减数列.；（2）数列求通项时若出现了1n -的下标则需要标注2n ≥，要注意验证1n =是否符合条件.。

江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年度高二第一学期期中试题 数学【含解析】一、选择题（每小题只有一个正确选项.）1.顶点在原点，焦点是()0,2F 的抛物线方程（ ） A. 28y x = B. 28x y =C. 218y x =D. 218x y =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求得答案． 【详解】由题意设抛物线的方程为22x py=()0p >，因焦点坐标为()0,2F ，则22p=， 4p ∴=，∴抛物线的方程为28x y =.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及p 的值是关键，属于基础题． 2.圆锥的母线为2、底面半径为1，则此圆锥的体积．．是（ ） 3π B.33πC. 2πD.23π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的母线以及底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】由圆锥的母线为2，底面半径为1，得圆锥的高22213h =-， 所以此圆锥的体积21131333V S h ππ=⋅=⨯⨯故选：B.【点睛】本题考查圆锥的体积公式，求出圆锥的高是关键，属于基础题.3.如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于A. ADB. FAC. AFD. EF 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算的法则计算． 【详解】BC -BD ＝DC ，11()22BC BD DC DF -==， ∴AD +12（BC -BD ）AD DF AF =+=． 故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 4.已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A. –4 B. –2 C. 4 D. 2【答案】D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D. 【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.5.如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点，则EF 和1BC 所成的角是（ ）A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取11A D 的中点G ，连接EG ，FG ，在正方体1111ABCD A BC D -中，设正方体边长为2， 易证GEF ∠（或补角）为异面直线EF 与1BC 所成的角， 在GEF ∆中，2EF =，2EG 6FG 由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-，即120GEF ︒∠=， 所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．6.将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，则折后的直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值（ ） A.12B.3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，即可得到答案.【详解】将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，如图所示：在等腰直角三角形ABC 中，AD BC ⊥，易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，又BD DC =，60BDC ︒∠=， 所以DBC ∆为正三角形，故60DBC ︒∠=， 所以直线BC 与平面ABD 3故选：D.【点睛】本题考查学生的翻折问题，立体几何的空间想象能力，属于基础题.7.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A BC D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.8.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为（ ） A. 1 B. 1或2-C. 1或12D.12【答案】A 【解析】 【分析】先判断焦点位置，再依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系，列出方程，即可求出．【详解】由双曲线2212x y a -=知，0a >，焦点在x 轴上，所以依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系可得，242a a -=+，解得1a =，故选A ． 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质应用．9.如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. ABC ∆内部【答案】A 【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A10.已知圆C 的方程为22220x x y ay ++-=，其中a 为常数，过圆C 内一点()1,2的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为20x y -=，则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直，再由斜率的关系列式求解．【详解】将圆C ：22220x x y ay ++-=化为()()22211x y a a ++-=+，圆心坐标为()1,C a -，半径21r a =+，如图：由题意可得，过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直时，ACB ∠最小， 此时21112a -=---，即3a =. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦B. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦ C. ()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ D. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出2x x <，从而得出()()()21f x f x f <<，从而得出选项．【详解】∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+，由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由于112x <<，故2x x <，所以()()()210f x f x f <<=， 而()20f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()22f x f x f x <<，故选D.【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.12.过双曲线M ：()22210y x b b-=>左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且32OB OA OC =+，则双曲线的离心率是（ ）10 5510【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程，得渐近线方程为y bx =或y bx =-，设过左顶点的直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立解得B ，C 的横坐标关于b 的式子，由32OB OA OC =+得B 为AC 的三等分点，利用向量坐标运算建立关于b 的方程并解之可得2b =，由此算出5c =. 【详解】由题可知()1,0A -，所以直线l 的方程为1y x =+，因双曲线M 的方程为()22210y x b b-=>，则两条渐近线方程为y bx =或y bx =-，由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得1,11b C b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因32OB OA OC =+，又()1,0OA =-，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴311b bb b =+-，解得2b =， 在双曲线中，225c a b += 所以双曲线的离心率5ce a==. 故选：B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A 的直线相交于B ，C 两点且B 为AC 的三等分点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 二、填空题13.曲线x y e =在点()0,1处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______. 【答案】12【解析】 【分析】求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决． 【详解】依题意得e x y '=，因此曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率01k e ==， 所以相应的切线方程为1y x =+，当0x =时，1y =；当0y =时，1x =-； 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为111122S =⨯⨯-=.故答案为：12. 【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知(),P x y 是椭圆C ：2214x y +=上一点，若不等式20x y a -+≥恒成立，则a 的取值范围是______.【答案】)17,+∞ 【解析】 【分析】根据椭圆方程表示出椭圆的参数方程，即设()2cos ,sin P θθ，代入不等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出a 的取值范围. 【详解】根据题意设()2cos ,sin P θθ，即2cos x θ=，sin y θ=，代入不等式得：()124cos sin 170tan 4x y a a a θθθϕϕ⎛⎫-+=-+=++≥=⎪⎝⎭恒成立， 即()17a θϕ-≤+恒成立，又()1cos 1θϕ-≤+≤，17a -≤-，即17a ≥故a 的取值范围为)17,+∞. 故答案为：)17,+∞.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，解题的关键是利用参数正确设点，属于基础题.15.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱．．．．称之为“堑堵”，2的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球．．．的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为2，进而可得外接球的半径2R =.2柱的高为2，所以该“堑堵”的外接球的半径22112R =+248S R ππ==. 故答案为：8π.【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.16.设()()2222,44mn n D m e n m n R ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭，则D 的最小值为______.21 【解析】 【分析】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中m x e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值.【详解】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中m x e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，由ln y x =的导数为1y x'=，11k x ∴=，点2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线24x y =上，又2x y '=，22x k ∴=令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，即抛物线24x y =上的点到焦点()0,1F的距离， 从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即AF AB +，如图所示：由两点之间线段最短，得1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，则1D +就最小，即D 最小，设()00,ln B x x ，则000ln 1110x x x -⋅=--，即200ln 10x x +-=，解得01x =，即()10B , ∴点()0,1F 到()10B ,的距离就是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值，故1D +的最小值为2，即D 的最小值为21-. 故答案为：21-.【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥.（1）求证：AD CE ⊥；（2）求证：平面//ABF 平面DCE . 【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得DE AD ⊥，AD DC ⊥，从而AD ⊥平面DCE ，由此即可得证AD CE ⊥；（2）由题意可得//AB DC ，进而可得//AB 平面CDE ，又//AF DE ，即可得//AF 平面CDE ，由此即可得证平面//ABF 平面DCE .【详解】证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AD CD ⊥， 又∵DE AD ⊥，且CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴AD ⊥平面CDE ，又∵CE ⊂平面CDE ，∴AD CE ⊥.（2）∵矩形ABCD ，∴//AB CD ，又CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，∴//AB 平面CDE .又∵//AF DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE .∴//AF 平面CDE ，又AB AF A =，,AB AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面CDE .【点睛】本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.已知圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，圆心C 在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线210x y -+=上，过P 点作圆C 的两条切线，分别与圆切于M 、N 两点，求四边形PMCN 周长的最小值.【答案】(1) ()()22122x y -+=+ (2) 2322【解析】 【分析】（1）由题意设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=，由题意圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，得到关于a ，r 的方程解得即可； （2）由题意得：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中22PM PN PC =-的距离即可求得答案.【详解】（1）因为圆心C 在直线2y x =-上，所以可设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=；又圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，所以()()2222122111a a r a a r ⎧-+-+=⎪⎨--=⎪+⎩，解得12a r =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以圆C 的方程为()()22122x y -+=+.（2）由题意：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中22PM PN PC ==-，即PC 取最小值时，此时周长最小，又因P 在直线210x y -+=上，即圆心C 到直线210x y -+=的距离时，PC ∴的最小值为22221512PC ++==+，所以周长252222322c ≥-+=+， 故四边形PMCN 周长的最小值为2322+.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.19.2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD ，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD 的长为2x 毫米.（注：343V R =π球，V Sh =柱，其中R 为球半径，S 为圆柱底面积，h为圆柱的高）（1）求胶囊中药物体积y 关于x 的函数关系式； （2）如何设计AD 与AB 的长度，使得y 最大？ 【答案】(1) 2322253y x x πππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2) AD 为10032π-毫米，AB 为255032ππ--毫米 【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积y 关于x 的函数关系式； （2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案. 【详解】解：（1）由2250AB x π+=得25AB x π=-，0AB >，所以250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以药物体积()322321422525233y x x x x x ππππππ⎛⎫=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）求导得2222350'x y x x πππ=-+，令'0y =，得5032x π=-或0x =（舍），当500,32x π⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y >，y 在区间500,32π⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调增， 当5025,32x ππ⎛⎫∈⎪-⎝⎭，'0y <，y 在区间5025,32ππ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调减，所以当5032x π=-时，y 有最大值，此时100232AD x π==-，255032AB ππ-=-，答：当AD 为10032π-毫米，AB 为255032ππ--毫米时，药物的体积有最大值.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的数据应用，考查计算能力，属于基础题． 20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11AAC C ；（2）若11CC CB =，2CA CB ==，3AB =，平面11CC B B ⊥平面ABC ，求二面角1B NC M --的余弦值.【答案】(1)证明见解析7【解析】 【分析】（1）利用已知条件证四边形AMNP 为平行四边形即可得//MN 平面11AAC C ； （2）利用几何关系作出二面角1B NC M --的平面角，利用解三角形即可得到答案.【详解】证明：（1）取11AC 的中点，连接AP ，NP ， ∵11C N NB =，11C P PA =，∴11//NP A B ，1112NP A B =.在三棱柱111ABC A B C -中，∵11//A B AB ，11A B AB =. ∴//NP AB ，且12NP AB =.∵M 为AB 的中点，∴12AM AB =. ∴NP AM =，且//NP AM .∴四边形AMNP 为平行四边形.∴//MN AP ，∵AP ⊂平面11AAC C ，MN ⊄平面11AAC C ，∴//MN 平面11AAC C .其他方法：（2）∵11CC CB =，N 是11B C 中点，∴11CN B C ⊥.又∵三棱柱， ∴11//BC B C ，∴CN BC ⊥，又∵平面11CC B B ⊥平面ABC ， 平面11CC B B平面ABC BC =，CN ⊂平面11CC B B ，∴CN ⊥平面ABC ，又,CB CA ⊂平面ABC ，∴CN CB ⊥，CN CA ⊥，BCM ∠为二面角1B NC M --的平面角，如图：在三角形CAB 中，2CA CB ==，3AB =，∴中线7CM =22273227cos 722BCM ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴∠==⨯⨯，故二面角1B NC M --7. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21.已知函数()()21ln 2f x x a b x =+-，,a b ∈R . （1）当0a =，2b =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值； （2）设1b =-，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21f x x 的取值范围. 【答案】(1) 1ln 2-. (2) 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当0a =，2b =时，求出函数的导数，通过函数()f x 在区间(2上单调递减；在)2,+∞上单调递增，求得最小值；（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，得到1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，从而12x x a +=-，121x x ⋅=，推出()21f x x 的表达式，记()()1ln 12x g x x x x =+>，利用函数的导数求得单调性，即可得到答案.【详解】（1）当0a =，2b =时，()212ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2'220x x x x f x x-=-=>，∴当(2x ∈时，()'0f x <；当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，∴()f x 在(2上单调递减；在)2,+∞上单调递增，∴()(min21ln 2f x f==-.（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，∴12x x a +=-，121=x x ， ∵12x x <且1>0x ，20x >，∴21>x ，221a x x =--， ∴()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++==+， 令()()1ln 12x g x x x x =+>，则()2'1ln 102x xg x =-++>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()112g x g >=，即：()211,2f x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22.如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】 【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值； （2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px=-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，>0∆且121224y y pm y y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =， 所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m 为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+，联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN 的距离2241d m --=+2121MN m y =+-，()21222163322AMNm S MN d y y m∆-=⋅⋅=-=+26t m =-，213364166416AMN t S t t t t∆==++++13281642≤=⨯+当且仅当8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，∴8414C p p x p -==为定值.（2）∵直线l 的斜率()02126t t k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．。

2019-2020学年江苏省淮安市涟水中学高二上学期10月阶段性测试数学试题一、单选题1．若关于x 的不等式20mx ->的解集是{|1}x x >，则实数m 等于（ ） A ．－1 B ．1C ．-2D ．2【答案】D 【解析】由题得21m=，解方程即得解. 【详解】由题得0m >，2x m>， 因为关于x 的不等式20mx ->的解集是{|1}x x >， 所以21,2m m=∴=. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则72是这个数列的（ ）A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项【答案】A【解析】解方程272n n +=即得解. 【详解】令272n n +=，所以2720,(9)(8)0,8n n n n n +-=∴+-=∴=. 所以72是这个数列的第8项. 故选：A 【点睛】本题主要考查数列的通项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．不等式23760x x -≥+的解集为（ ） A ．23,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,[3,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】直接利用因式分解法解不等式得解. 【详解】因为23760x x -≥+，所以2(32)(3)0,3x x x -+≥∴≥或3x ≤-. 所以不等式的解集为2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的前3项和为6，55a =，则2020a =（ ） A ．2017 B ．2018C ．2019D ．2020【答案】D【解析】先求出等差数列的通项n a ，即得解. 【详解】由题得12311336,2a a a a d a d ++=+=∴+=.又145a d +=， 所以11a d ==.所以20201(1)1,2020n a n n a =+-⨯=∴=. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6 B ．1C ．﹣1D ．﹣6【答案】D【解析】由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a 4•a 7的值． 【详解】∵等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，∴a 2•a 9＝﹣6，则a 4•a 7＝a 2•a 9＝﹣6， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．6．在等差数列{}n a 中，若12342,4a a a a +=+=，则78a a +的和等于（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为12342,4a a a a +=+=，由等差数列的性质得56786,8.a a a a +=+= 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ） A ．48 B ．90C ．105D ．106【答案】C【解析】根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S . 【详解】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列， 所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若不等式20ax bx c ++< 的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是( )A ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,23⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】设y ＝ax 2+bx +c ，ax 2+bx +c ＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），得到开口向下，﹣2和3为函数与x 轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a 与b 、c 的关系，化简不等式cx 2+bx +a ＞0，求出解集即可． 【详解】∵不等式ax 2+bx +c ＜0 的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），∴02323a b a c a ⎧⎪⎪⎪-=-+⎨⎪⎪=-⨯⎪⎩＜，即016a ba c a⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩＜， ∴不等式cx 2+bx +a ＞0变形得：c a x 2ba+x +1＜0，即﹣6x 2﹣x +1＜0， 整理得：6x 2+x ﹣1＞0，即（3x ﹣1）（2x +1）＞0， 解得：x 13＞或x 12-＜， 则不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是（﹣∞，12-）∪（13，+∞）． 故选：D ． 【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．9．等差数列{}n a 的公差为1，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．110 B ．90 C ．55 D ．45【答案】C【解析】由248a a a ，，成等比数列，所以()()()211137a d a d a d +=++ ，又1d = ，解得：1a ，再利用求和公式即可得出． 【详解】解：∵248a a a ，， 成等比数列，∴2428a a a =，可得()()()211137a d a d a d +=++ ，又1d = ，化简得：1101,10a a == ， 则{a n }的前10项和()101101055.2S +⨯== ．故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】利用123a =，6812S a =可求出基本量，再考虑n a 何时变号即可得到n S 达到最大值的n 的值. 【详解】设等差数列的公差为d ，则 ()65623122372d d ⨯⨯+⨯=+，故2d =-， 故252n a n =-，当13n ≥时，0n a <，当12n ≤时，0n a >， 所以当12n =时，n S 最大，故选C.二、填空题11．等差数列{}n a 中，31024a a +=，则其前12项之和12S 的值为_________ 【答案】144 【解析】利用1211231012()6()2S a a a a =+=+求解. 【详解】 由题得1211231012()6()6241442S a a a a =+=+=⨯=. 故答案为：144 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．【答案】{}|23x x -<<或(2,3)-【解析】由韦达定理可得出=-b a ，6c a =-，代入不等式20ax bx c ++>，消去a 得出260x x --<，再解该不等式即可.【详解】由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>， 得260ax ax a -->，0a <Q ，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<， 因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<或()2,3-， 故答案为{}|23x x -<<或()2,3-. 【点睛】本题考查根与系数的关系（韦达定理），也考查了二次不等式的解法，在解二次不等式时，也要注意将首项系数化为正数，考查运算求解能力，属于中等题.13．各项均为实数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知123,2,3S S S 成等差数列,则数列{}n a 的公比为________. 【答案】13【解析】根据123,2,3S S S 成等差数列得到3213a a =，计算得到答案. 【详解】123,2,3S S S 成等差数列，则231121233211434443333S S S a a a a a a a q =+∴+=++∴=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.14．不等式11axx <-解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞，则a = . 【答案】12【解析】在本题中首先移项，然后通分化成整式不等式进行求解，然后利用一元二次不等式的解集形式求出a 即可. 【详解】 由11ax x <-得，101ax x -<-，即(1)101a x x -+<-， 变形得，[(1)1](1)0a x x -+-<，且10a -≠， 所以1(1)(1)01a x x a ⎛⎫-+-< ⎪-⎝⎭， 因为解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞， 所以10a -<，且121a =--，解得12a =， 故本题答案为12. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，在本题中首先移项，然后通分化成整式不等式进行求解，注意分母不为0，以及一元二次不等式的解集形式，属基础题.15．若数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +--=，则n a =_____．【答案】22n n +-【解析】根据112nn n a a +--=，用累加法求解，即可得出结果.【详解】因为数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +--=，所以12112a a -=+，23212a a -=+，34312a a -=+，……1112n n n a a ---=+，以上各式相加得123111(222...2)n n a a n --=-+++++，所以22nn a n =+-.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.16．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若4210S S =，则2538a a a =________． 【答案】1-或13±【解析】由4210S S =得1q =-或3q =±，即得解. 【详解】 显然公比1q ≠.所以422211(1)(1)10,(1)(9)0,111a q a q q q q q q--=∴--=∴=---或3q =±. 所以2859381=a q a a q q =， 所以2538a a a =1-或13±. 故答案为：1-或13± 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =()n N *∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）212n na -=；（2）21n nT n =+ 【解析】（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出n b 的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【详解】（1）由等比数列通项公式得：112222n n nn a --=⋅= 212n n a -∴=（2）由（1）可得：212log 221n n b n -==- ()()111111212122121-⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭b n b b n n n n 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题. 18．（1）解关于x 不等式2111x x-≤- （2）若函数()f x =的定义域为R ，求实数k 的取值范围．【答案】（1）213x x x 或⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭；（2）[0,1] 【解析】（1）根据分式不等式的解法进行求解即可．（2）根据f （x ）的定义域为R ，从而得出不等式kx 2﹣6kx +k +8≥0的解集为R ，从而可讨论k ：k ＝0时，显然满足条件；k ≠0时，可得出00k ⎧⎨≤⎩V ＞，解出k 的范围即可．【详解】 （1）由2111x x -≤-得21101x x --≤-，即3201x x -≥-, 10320x x ＞-⎧⇔⎨-≥⎩或10320x x -⎧⎨-≤⎩＜，得123x x ⎧⎪⎨≥⎪⎩＞或123x x ⎧⎪⎨≤⎪⎩＜，得1x ＞或23x ≤， 即不等式的解集为213x x x 或⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭.（2）∵f （x ）的定义域为R ； ∴不等式kx 2﹣6kx +k +8≥0的解集为R ； ①k ＝0时，8＞0恒成立，满足题意；②k ≠0时，则()236480k k k k ⎧⎨=-+≤⎩V ＞； 解得0＜k ≤1；综上得，实数k 的取值范围为[0，1]． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合分式不等式的解法是解决本题的关键．19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足22n n nS +=,*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n nan n b a =+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）n a n =（2）2122n n ++- 【解析】根据公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 解出n a 即可．写出n b ，再分组求和． 【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=， 综上n a n =.（2）由（1）知()21nn n b n =+-()()122222212342n n T n =++⋅⋅⋅++-+-+-⋅⋅⋅+ ()221212n n -=+-2122n n +=+-【点睛】本题考查数列通项的求法及分组求法求前n 项和．属于基础题．20．已知函数()()2,1ax b f x a b R x -=∈-. （1）若关于x 的不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，求()0f x <解集； （2）若12a =，解不等式()0f x >的解集. 【答案】（1）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）见解析 【解析】（1）由题意得，()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，然后求解即可（2）由题意得，）12a =时，不等式()()()()00101x b f x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-，然后，分类讨论即可 【详解】（1）()21ax b f x x -=-.∵不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴0a >，0a b =>， ()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，∴()0f x <的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）12a =时，不等式()()()()00101x b f x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-， 1o 当1b >时，不等式的解集为()(),1,b -∞⋃+∞；2o 当1b =时，不等式的解集为{}1x x ≠；3o 当1b <时时，不等式的解集为()(),1,b -∞⋃+∞.【点睛】本题考查不等式的求解应用，属于基础题21．已知等比数列{}n a 为递增数列，2532a a =，3412a a +=，数列{}n b 满足2log n n b a =．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】（1）1n b n =-（2）(2)22n n S n =-⋅+【解析】（1）利用等比数列的下标性质，可以由2532a a =，得到3432a a ⋅=，通过解方程组，结合已知可以求出34,a a 的值，这样可以求出公比，最后可以求出等比数列{}n a 的通项公式，最后利用对数的运算性质可以求出数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相消法可以求出数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【详解】解（1）∵{}n a 是等比数列∴253432a a a a ⋅=⋅=又∵3412a a +=由{}n a 是递增数列解得34a =，48a =且公比2q =∴3132n n n a a q--== 2log 1n n b a n ==-（2）1(1)2n n n a b n -=-01210212(2)2(1)2n n n S n n --=⋅+⋅++-⋅+-L12120212(2)2(1)2n n n S n n -=⋅+⋅+-⋅+-⋅L ，两式相减得：21222(1)2n n n S n --=++--⋅L ()1212(1)212n n n --=--⋅-(2)22n n =-⋅-∴(2)22n n S n =-⋅+【点睛】本题考查了等比数列下标的性质，考查了求等比数列通项公式，考查了对数运算的性质，考查了错位相消法，考查了数学运算能力.。

江苏省淮阴中学2019-2020高二（上）数学周练一、单选题 1. 函数x x x f ln 21)(2-=的单调减区间为（ ） A.）（），（1,01-- ∞ B.），（）（∞+10,1- C.）（1,0 D.）（∞+1 2．双曲线1422=-y ax 的离心率为3，则实数a 的值为 （ ）A. 8B. 6C. 5D. 33．若 )1,2,0(),1,2,1(=-=，则=⋅ （ ） A. 5B. 4C. 3D. 24．设12,F F 分别为1422=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1223PF PF +=则12F PF ∠=（ ）6.πA 4.πB 3.πC 2.πD5．若直线l 10y ++=垂直，则l 的倾斜角为（ ） A ．30B ．60C ．120D ．1506．正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、Q 分别为111,,AB BB C D 的中点，过M 、N 、Q 的平面与正方体相交截得的图形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形7．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB与1CC 所成的角的余弦值（ ）A ．B ．C ．D ．8．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A.20x y --=B.2100x y +-=C.20x y -=D.280x y +-=9．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为m 的值为( ) A.1 B.－3 C.1或－3 D.2 10．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数（ ）A.个B.个C.个D.个11．已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。

江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二第一学期期末考试试题数学【含解析】一、选择题1.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求出p 的值，再根据抛物线的简单性质即可得到． 【详解】由228y px x ==，知p ＝4，而焦点到准线的距离就是p ．故选C ．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．2.已知方程22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A. 12m << B. 31 2m <<C.322m << D. 12m <<且32m ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点在x 轴上椭圆方程的特点可得不等式，解不等式求得结果. 【详解】22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆 120m m ∴->->，解得：322m <<故选：C【点睛】本题考查根据方程表示椭圆及椭圆焦点位置求解参数范围的问题，属于基础题.3.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是( ) 3 B. 63 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上， 所以ABC ∆的周长232343l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.4.若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于（ ） A. 11 B. 9C. 5D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程可知26a =，由双曲线定义构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程得：26a =由双曲线定义知：21236PF PF PF -=-=，解得：29PF =或3-（舍） 故选：B【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(3，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. 2212128x y -=B. 2212821x y -=C. 22134x y -=D. 22143x y -=【答案】D 【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是by x a=23b a =①，抛物线27y x =的准线是7x =7c =2227a b c +==②，由①②联立解得2{3a b ==22143x y -=．故选D ． 考点：双曲线的标准方程．6.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -= 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程可知5b =；利用椭圆焦点坐标和双曲线中222c a b =+可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程.【详解】由双曲线渐近线方程知：5b a =，即5b = 椭圆221123x y +=焦点坐标为()3,0± 2229c a b ∴=+=22594a a ∴+=，解得：24a = 22554b a ∴==∴双曲线C 的方程为22145x y -=故选：B【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于基础题.7.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A. 4 B. －4C. －14D.14【答案】C 【解析】【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意，双曲线的标准方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.故选C. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.8.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）32 C.12D.13【答案】A 【解析】【详解】根据题意，焦点在x 轴上，设22221x y a b+= 左焦点(-c ，0)，故P 坐标可求为(-c ，±2b a )12F F =2c ，所以1F P 332b a22233c a c a -=22310c -=, 同时除以a²，22310e +-=,求得33e =9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞3F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A. 1 23 D. 2【答案】B 【解析】因为32c e a ==，所以3c =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a =+．依题意可得直线方程为3()2y k x a =-，联立22223(){41y k x x y a a =+=可得22222(14)43(31)0k x k ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则2221212243(31)14k k ax x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以112233(,)3(,)x y x y --=，从而有12323x x a +=① 再由3AF FB =可得3AF FB =12323323()3()x x -=-，即214333x x a -=② 由①②可得12353,x x ==，所以2221225(31)914k a x x a k -⋅==+，则22(31)5149k k -=+，解得2k =±因为0k >，所以2k =B10.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A. (0,1) B. 1(0,]2C. 2(0,2D. 22【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c ．因为12·0MF MF =所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以,c a c b <<，所以2222c b a c <=-，所以22222122c c a e a <∴=< ，所以2e ∈ ，故选C ．【点睛】求离心率的值或范围就是找,,a b c 的值或关系．由12·0MF MF =想到点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．再由点M 在椭圆的内部，可得,c a c b <<，因为a b < ．所以由c b <得2222c b a c <=-，由,a c 关系求离心率的范围．11.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A. 2 3223【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d =-，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为222023b a bd ca b +⨯===+ 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，其右准线与轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 2(0,2B. 1(0,]2C. 21,1)D. 1[,1)2【答案】D 【解析】解：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等 |FA|=222222222222,[,][,]1{{11,21(0,1)[,1)2a b c PF a c a c c cb ac a c cac c b ac c cac c a c a c c ac c a c a a e e -=∈-+∈-+-≤≤+≤-≤-∴∴+≥-≤-≥∈∴∈于是，即二.填空题13.若双曲线221y x m-=3，则实数m =__________．【答案】2 【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a+=====+=，2m =.渐近线方程是2y mx x ==. 14.已知x ,y 满足2142y x =-3yx +的取值范围是_____.【答案】5⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】将已知方程整理为()22104x y y +=≥，可得其图象为半椭圆；将3y x +转化为半椭圆上的点与()3,0-连线的取值范围；由图象可知下底限为0，上限为直线与半椭圆相切的时候；假设切线方程，联立后利用0∆=求得切线斜率，从而得到所求的范围.【详解】由2142y x =-得：()22104x y y +=≥，则其图象为如下图所示的半椭圆3yx +可看做半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率 当如图所示的过()3,0-的直线l 与椭圆相切时，设直线():3l y k x =+，0k > 与椭圆方程联立得：()222241243640k x k x k +++-=()()4225764413640k k k ∴∆=-+-=，解得：5k =∴半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率的取值范围为55⎡⎢⎣⎦ 50,35y x ⎡∴∈⎢+⎣⎦故答案为：50,5⎡⎢⎣⎦【点睛】本题考查根据直线与椭圆的位置关系求解参数范围的问题，关键是能够明确所求式子的几何意义为曲线上的点与定点连线的斜率，利用数形结合的方式确定临界值，从而求得结果.15.已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F ∆的面积为9，则b =_____．【答案】3 【解析】 【分析】由定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，由12PF PF ⊥得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， 由面积得12|PF 1||PF 2|＝9，由此能得到b 的值.【详解】∵F 1、F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥,∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，12|PF 1||PF 2|＝9，∴（|PF 1|+|PF 2|）2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，∴36=4（a 2-c 2）=4b 2，∴b=3．故答案为3．【点睛】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于基础题.16.曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21a a >的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则12F PF ∆,的面积不大于212a 其中，所有正确结论的序号是_____ 【答案】②③ 【解析】 【分析】首先结合两点间距离公式确定曲线C 的方程，()0,0不满足曲线方程，可知①错误；当(),x y 在曲线上时，(),x y --满足曲线方程，可知②正确；由三角形面积公式可知12212sin 2F PFa S F PF ∆=∠，由此可得12212F PF S a ∆≤，③正确.【详解】设曲线C 上点的坐标为(),x y ()()()22222111x y x y a a ++-+=>①将()0,0代入曲线方程知：2111a ⨯=≠ ∴曲线C 不过坐标原点，①错误；②若(),x y 在曲线C 上，将(),x y --代入曲线方程，可知方程成立，则曲线C 关于坐标原点对称，②正确；③122212121211sin sin 222F PF a S PF PF F PF F PF a ∆=∠=∠≤，③正确. 故答案为：②③【点睛】本题考查根据曲线方程研究曲线的性质，涉及到关于原点对称的点的特点、三角形面积公式的应用等知识，关键是能够通过已知的等量关系确定曲线的方程. 三、解答题17.已知平面上的三点(52)P ，、1(60)F -， 、2(60)F ， . （1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y x = 的对称点分别为P ' 、1F ' 、2F ' ，求以1F ' 、2F ' 为焦点且过点P ' 的双曲线的标准方程.【答案】（1）221459x y += （2）2212016x y -=.【解析】试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出35a =从而可得2229b a c =-=，进而可得椭圆的标准方程；（2）点()52P ，、1(60F ，）- 、()260F ， 关于直线y x = 的对称点分别为()25P '，、()'106F -， 、()'206F ， .设所求双曲线的标准方程为 2222111y x a b -= （10a > ，10b > ）其半焦距16c = ，由双曲线定义得''112245a P F P F =-=''，得125a =22211116b c a =-=，进而可得'1F 、'2F 为焦点且过点P ' 的双曲线的标准方程.试题解析：（1）由题意知，焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为22221x ya b+= （0a b >> ）其半焦距6c =由椭圆定义得122a PF PF =+()()()()222256026502--+--+-65=∴35a =∴22245369b a c =-=-=故椭圆的标准方程为221459x y += .（2）点()52P ，、1(60F ，）- 、()260F ， 关于直线y x = 的对称点分别为()25P '，、()'106F -， 、()'206F ， .设所求双曲线的标准方程为2222111y x a b -= （10a > ，10b > ）其半焦距16c = ， 由双曲线定义得''1122a P F P F =-''()()()()222202650265=-+---+- 5=∴125a =，∴222111362016b c a =-=-= ，故所求的双曲线的标准方程为 2212016x y -=.18.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率2e =F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ,且2PF =.(1)求椭圆的方程;(2)点(),Q x y 在椭圆上，求2x +的最大值.【答案】(1) 221168x y +=;(2) 42【解析】 【分析】 (1)利用离心率22e =以及通经公式求解即可. (2)利用椭圆的参数方程求解即可.【详解】(1)由题意得224222c a a c b b a ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪=⎪⎩故椭圆方程为221168x y +=. (2)设4cos 22x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,则24cos 4sin 42)4x πθθθ=+=+,当4πθ=时42)4πθ+取最大值2.故2x 的最大值为42【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求法以及利用参数方程求解最值问题,属于基础题型.19.已知椭圆22173x y +=.(1)椭圆的左右焦点为1F ,2F ,点P 在椭圆上运动，求12PF PF ⋅的取值范围; (2)倾斜角为锐角的直线l 过点()1,0M 交椭圆于A ，B 两点，且满足2AM MB =,求直线l 的方程. 【答案】（1）[]1,3-（2）77:l y x =【解析】 【分析】 （1）设()73Pθθ，利用平面向量数量积的坐标运算可整理得到2124cos 1PF PF θ⋅=-，由余弦函数的值域可求得12PF PF ⋅的取值范围； （2）由2AM MB =可利用B 点横纵坐标表示出A 点坐标，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程可求得B 点坐标；利用两点连线斜率公式求得直线l 斜率后，利用点斜式得到直线方程. 【详解】（1）由椭圆方程知：()12,0F -，()22,0F 设)73Pθθ则()127,3PF θθ=--，()227,3PF θθ=-222127cos 43sin 4cos 1PF PF θθθ∴⋅=-+=-20cos 1θ≤≤ 214cos 13θ∴-≤-≤，即12PF PF ⋅的取值范围为[]1,3-（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()111,AM x y =--，()221,MB x y =-由2AM MB =得：()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩ 1212322x x y y =-⎧∴⎨=-⎩ ()2232,2A x y ∴--由,A B 两点在椭圆上可得：()22222222324173173x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：22523714x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 537,214B ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭ ∴直线l 斜率377145712k ==- ∴直线l 方程为：()717y x =-，即7777y x =- 【点睛】本题考查椭圆中的向量问题的求解，涉及到平面向量数量积的取值范围的求解、直线方程的求解问题；求解平面向量数量积的关键是能够灵活应用椭圆的参数方程，将问题转化为三角函数的值域求解问题.20.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． ∴由222{9y kx bx y m=++=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+．∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =∴239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =-，247k =+．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.21.已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）． 【答案】（1）63m <-或63m >；（2）22. 【解析】（1）可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，从而可知有两个不同的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；（2）令1t m=，可 将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.试题解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，由，消去y ，得，∵直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-，②．由①②得6m <或6m >（2）令166(t m =∈⋃，则4222322212t t AB t t -++=++，且O 到直线AB的距离为22121t d t +=+，设AOB ∆的面积为()S t ，∴221112()2()22222S t AB d t =⋅=--+≤，当且仅当212t =时，等号成立，故AOB ∆ 面积的最大值为22. 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.22.已知双曲线C 的方程为()222210,0y x a b a b -=>>，离心率5e =25(1)求双曲线C 的方程;(2)设P 是双曲线C 上的点,A,B 两点在双曲线C 的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若AP PB λ=,1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求AOB 面积的取值范围.【答案】(1) 2214y x -=;(2)82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】(1)根据离心率以及顶点到渐近线的距离表达出,,a b c 对应的关系再求解即可.(2)由双曲线方程与渐近线方程可设001122(,),(,2),(,2)P x y A x x B x x -,再利用AP PB λ=求得00(,)P x y ,再代入双曲线方程求解化简,再代入面积公式求解即可.【详解】(1)由题,一条渐近线方程0b y x bx ay a =⇒-=, 可知2255202525c c a a ab ab c a b⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪==⎪⎪⎩+⎩两式相乘有1b =,又222c a b =+.故22225154,524c a a c a a +=⇒=⇒==.故双曲线C 的方程：2214y x -=(2)由题,渐近线方程为2y x =±,故设001122(,),(,2),(,2)P x y A x x B x x -因为AP PB λ=,故12001200120120()12(2)21x x x x x x x y x x y x x y λλλλλλ+⎧=⎪-=-⎧⎪+⇒⎨⎨-=---⎩⎪=⎪+⎩ ,将点00(,)P x y 代入双曲线方程有221212111x x x x λλλλ-+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得()21214x x λλ+=-.故()1221122221111(2)2112212222AOBSx y x y x x x x x x λλλλ=-=--⨯+⎛⎫==+⎪=+ ⎝⎭. 因为1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由对勾函数性质得1102,3λλ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,故11822,23AOBSλλ⎛⎫⎡⎤++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣=⎦【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解以及设点求双曲线上对应的点代入方程求解的方法等.主要利用向量的关系表达出双曲线上的点的表达式,属于难题.。

江苏省淮安市2019—2020学年第一学期期末调研测试高二数学试题2020．1一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．命题“x ∃∈R ，2230x x -+<”的否定是A ．x ∃∈R ，2230x x -+≥B ．x ∀∈R ，2230x x -+< C ．x ∃∉R ，2230x x -+< D ．x ∀∈R ，2230x x -+≥ 2．“x ＜2”是“x 2﹣2x ＜0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．准线方程为1y =的抛物线的标准方程为A ．24x y =- B ．24y x =- C ．22x y =- D ．24x y =4．若直线l 的方向向量m u r ＝(x ，﹣1，2)，平面α的法向量n r＝(﹣2，﹣2，4)，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是A ．1B ．5C ．﹣1D ．﹣5 5．函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 6．已知数列{}n a 是等比数列，20144a =，202016a =，则2017a ＝ A ．42 B ．42± C ．8 D ．±87．如图，已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 为等边三角形，则该双曲线的离心率是 A ．3B ．3 C ．2 D ．58．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是 A ．211 B ．811 C ．1611 D ．1811二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知函数2()43f x x x =-+，则()f x ≥0的充分不必要条件是 A ．[1，3] B ．{1，3} C ．(-∞，1]U [3，+∞) D ．(3，4) 10．与直线20x y +-=仅有一个公共点的曲线是A ．221x y += B ．2212x y += C ．221x y -= D ．2y x = 11．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是 A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}2log n aC ．{}1n n a a +⋅D ．{}12n n n a a a ++++ 12．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为1AC u u u u r的有A ．AB BC CD ++u u u r u u u r u u u rB ．11111AA BCD C ++u u u u r u u u u r u u u u u r C ．111AB C C B C -+u u u r u u u u r u u u u rD ．111AA DC B C ++u u u u r u u u r u u u u r第12题三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，n S )在函数2()f x x x =-的图象上，则3a ＝．14．在空间直角坐标系中，A(1，﹣1，t )，B(2，t ，0)，C(1，t ，﹣2)，若AB uuu r ⊥BC uuu r，则实数t 的值为 ．15．若关于x 的一元二次不等式220ax bx a -+<的解集为(m ，m ＋1)，则实数ba的值为 ． 16．已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，如果椭圆C 上存在一点P ，使得12PF PF 0⋅=u u u r u u u r ，且△PF 1F 2的面积等于4，则实数b 的值为 ，实数a 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且47a =-，39S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1()2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y px =(p ＞0)经过点A(1，﹣2)，直线l 过抛物线C 焦点F 且与抛物线交于M 、N 两点，抛物线的准线与x 轴交于点B ．（1）求实数p 的值；（2）若BM BN ⋅u u u u r u u u r＝4，求直线l 的方程．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，AD ＝SA ＝2，AB ＝1，点E 是棱SD 的中点． （1）求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值； （2）求二面角E —BC —D 的大小．20．（本小题满分12分）随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大．某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入．（1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少?21．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为3，焦距为23．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 上一点，过点O 作OM 的垂线交直线233y =-于点N ，设OM 的斜率为k (k ≠0)．求证：2211OM ON +为定值．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-(N n *∈)．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的N n *∈，不等式1()n n n a a λ+-+≤15恒成立，求实数λ的最大值．参考答案1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．A 8．C 9．BD 10．AC 11．ACD 12．BCD 13．414．1 215．±316．2；[22， ) 17．18．19．20．解：（1）由题意得： (1)6919212602n n n n ----⋅> 化简得：220640n n -+<解得：4＜n ＜16，答：该批小型货车购买n 年后盈利，n 的范围为(4，6)；（2）设批小型货车购买n 年后的年平均利润为y则2360192643()60n n y n n n-+-==-++ 32646012≤-⨯+=当且仅当n ＝8时取“＝”，答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12． 21．22．。

淮安市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知向量=（1，n），=（﹣1，n ﹣2），若与共线．则n 等于（ ） A ．1B．C ．2D ．42． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A． B ．（4+π） C． D．3． 下列命题正确的是（ ）A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有210x ->”C ．函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥ 4． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．1216． 函数y=2|x|的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，2）D ．（2，3）8． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位： 小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.9． 若复数（m 2﹣1）+（m+1）i 为实数（i 为虚数单位），则实数m 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．﹣1或110．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23 C ．1 D ．2 二、填空题13．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．14．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1ia =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大值为 .【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 16．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则m= ．17．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．18．在空间直角坐标系中，设)1,3(，m A ，)1,1,1(-B ，且22||=AB ，则=m .三、解答题19．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．20．（本小题满分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4x sin C＋6≥0对一切实数x恒成立.（1）求cos C的取值范围；（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.21．（本小题满分12分）如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．（1）求证：BD⊥MC1；（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．22．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？23．已知不等式的解集为或（1）求，的值（2）解不等式.24．已知双曲线C：与点P（1，2）．（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程；（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明理由．淮安市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：∵向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），且与共线． ∴1×（n ﹣2）=﹣1×n ，解之得n=1 故选：A2． 【答案】 D【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D ．【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．3． 【答案】C 【解析】考点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断. 4． 【答案】D【解析】解：∵方程x 2+ky 2=2，即表示焦点在y 轴上的椭圆∴故0＜k ＜1故选D ．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．5． 【答案】C【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114n n n na a a a ++-=+得2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >得n a =1112n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为11111)(1)52222n +++==，∴120n =，选C ． 6． 【答案】B【解析】解：∵f （﹣x ）=2|﹣x|=2|x|=f （x ）∴y=2|x|是偶函数，又∵函数y=2|x|在[0，+∞）上单调递增，故C 错误．且当x=0时，y=1；x=1时，y=2，故A ，D 错误故选B【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据函数的解析式，分析出函数的性质，进而得到函数的形状是解答本题的关键．7． 【答案】C【解析】解：∵f （1）=1＞0，f （2）=1﹣2ln2=ln ＜0， ∴函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（1，2）． 故选：C ．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．8． 【答案】15 【解析】9．【答案】A【解析】解：∵（m2﹣1）+（m+1）i为实数，∴m+1=0，解得m=﹣1，故选A．10．【答案】C【解析】解：由定义的行列式运算，得====．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m=．当k=0时，m有最小值．故选C．【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．11．【答案】B【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．12．【答案】B【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为112(12)2323⨯⨯⨯⨯=，选B ． 二、填空题13．【答案】 [，1] ．【解析】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以，，所以，=所以5=1，所以，所以5a 2﹣1∈[]，[，1]，所以；故答案为：[，1]．【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．14．【答案】2，21+. 【解析】∵22212112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，而222123121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，∴12321a a a ++≤，当且仅当12a a +与3a 1.15．【答案】D 【解析】16．【答案】8或﹣18【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2++y 2=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得m=8或﹣18故答案为：8或﹣18 17．【答案】345【解析】考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程. 18．【答案】1 【解析】 试题分析：()()()()2213111222=-+--+-=m AB ，解得：1=m ，故填：1.考点：空间向量的坐标运算三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3， 第4组的频率为0.04×5=0.2， 第5组的频率为0.02×5=0.1； （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10； 因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．20．【答案】【解析】21．【答案】【解析】解：（1）证明：如图，连接AC ，设AC 与BD 的交点为E ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ； 又A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， 又MC 1⊂平面A 1ACC 1，∴BD ⊥MC 1.（2）∵AB ＝BD ＝2，且四边形ABCD 是菱形， ∴AC ＝2AE ＝2AB 2－BE 2＝23，又△BMC 1为等腰三角形，且M 为A 1A 的中点， ∴BM 是最短边，即C 1B ＝C 1M . 则有BC 2＋C 1C 2＝AC 2＋A 1M 2，即4＋C 1C 2＝12＋（C 1C 2）2，解得C 1C ＝463，所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V ＝S 菱形ABCD ×C 1C＝12AC ×BD ×C 1C ＝12×23×2×463＝8 2. 即四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为8 2.22．【答案】【解析】解：（1）当x=1时，f （1）=p （1）=37.当2≤x ≤12时，且x ≤12）验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元.【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．23．【答案】【解析】解：（1）因为不等式的解集为或所以，是方程的两个解所以，解得（2）由（1）知原不等式为，即，当时，不等式解集为当时，不等式解集为;当时，不等式解集为;24．【答案】【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．…当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0 （*）（ⅰ）当2﹣k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点所以l的方程为…（ⅱ）当2﹣k2≠0，即k≠±时△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k），①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．所以l的方程为3x﹣2y+1=0…综上知：l的方程为x=1或或3x﹣2y+1=0…（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）…又∵x1+x2=2，y1+y2=4，∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）即k AB==，…∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…代入双曲线方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在．…【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。