第五章 无源网络综合
§5.1 网络分析与网络综合
网络分析
网络综合
（a ） (b)
图5.1 网络分析与网络综合
网络综合：研究科学的数学的设计方法。 网络分析与网络综合的区别：
1 “分析”问题一般总是有解的(对实际问题的分析则一定是有解的)。而“设计”问题的解答可能根本不存在。
-V 5.0+
图5.2 网络综合解答不存在情况一
W 5.21
.05.0W 125.0412
L 2max
==<=⨯=P
P
(a) (b)
图5.3 网络综合解答不存在情况二
2“分析”问题一般具有唯一解，而“设计”问题通常有几个等效的解。
-+-V 4
+
V 4+-
-
-V
4+
(a) (b) (c)
图5.4 网络综合存在多解情况
3“分析”的方法较少，“综合”的方法较多。 网络综合的主要步骤：
(1) 按照给定的要求确定一个和实现的逼近函数。
(2) 寻找一个具有上述逼近函数的电路。
§5.2 网络的有源性和无源性
输入一端口网络N 的功率
()()()p t v t i t =
从任何初始时刻0t 到t ，该网络的总能量
0()()()()d t
t W t W t v i τττ=+⎰
式中0()W t 为在初始时刻0t 时该一端口储存的能量。 若对所有0t 以及所有时间0t t ≥，有
()0,(),()W t v t i t ≥∀ （1）
则此一端口N 为无源的。如果一端口不是无源的，达就是有源的。就是说，当且仅当对某个激励和某一初始值0t 以及某一时间0t t ≥，有()0W t <，则此一端口就是有源的。换句话说，如果一个一端口是有源的，就一定能找到某一激励以
及至少某一时间t ，式（1）对这个一端口不能成立。
在以上有关无源性的定义中必须计及初始储存能量0()W t 。例如，对时不变的线性电容，设它的电容值为C ，则有
0()
00()
22200()()()()()111
()()()()
222
t
v t t v t W t W t v i d W t C vdv
W t Cv t Cv t Cv t τττ=+=+=+-=⎰⎰
式中2
001()()2
W t Cv t =。所以0C >时，电容元件为无源的，而当0C <时（线
性负电容），则为有源的。但是，如不计及式中的初始能量项，则
22011
()()()22
W t Cv t Cv t =-
()W t 为从0t 到t 输入网络的能量。这样即使0C >，()W t 在某些时间将小于零。
事实上充电的电容有可能向外释放储存的能量，但是计及初始能量，它不可能释
放多余原先储存的能量。
为了考虑这种情况，引入了有关“无损性”的概念。设一端口的所有(),()v t i t 从0t →∞为“平方可积”，即有：
2
(),t
t v t dt <∞⎰
2()t
t i t dt <∞⎰
如果对任何初始时间0t ，下式成立
0()()()()d 0t
t W t W t v i τττ=+=⎰
式中0()W t 为在初始时刻0t 时该一端口储存的能量，则称此一端口为无损网络。 以上关于()v t 和()i t 平方可积的条件，也即
()()()()0v v i i ∞=-∞=∞=-∞=
就是说，一端口在t =∞和t =-∞时均为松弛的。
假设一端口在t =-∞时无任何存储能量，则无源性可按下式定义
()()()d 0t
W t v i τττ-∞
=≥⎰(),(),v t i t t ∀≥-∞ （2）
以上关于有源性的定义可以推广到N 端口。如果全部端口的电压电流允许信号对是真实的，且对所有t ，输入端口的总能量为非负的，则此N 端口为无源的，即对全部t ≥-∞，有
()()()d 0t
T W t v i τττ-∞
=≥⎰
这里设t =-∞时，()0,()0-∞=-∞=v i 。
如果对某些信号对，且对某些t >-∞，有
()()()d 0t
T W t v i τττ-∞
=<⎰
则此N 为有源的。
如果对所有平方可积有限值允许信号对，有
()()()d 0t
T W t v i τττ-∞
==⎰
则称此N 端口为无损的。一个无损的N 端口将最终把输入端口的能量全部返回。
线性（正）电阻元件、电容元件、电感元件均为无源元件。例如，对二端电阻，按式（2）有
2()()()d ()t t
W t v i Ri d τττττ-∞
-∞
==⎰⎰
可见，只要0R >，对所有t ，()W t 总是非负的。同理，对于非零的()v t 和()i t ，
()W t 将是t 的单调非递减正值函数，因此当t =∞时，()W t 不可能是零值，所
以线性电阻是无源的、非无损的。
线性负电阻、负电感、负电容是有源元件。
对于理想变压器，有
112200v i n i n v ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
按式（1－25）
1122()[()()()()]d 0t
W t v i v i τττττ-∞
=+=⎰
所以理想变压器是无源的且是无损的。
练习：讨论回转器和负阻抗变换器的有源性和无源性。
回转器：112200v i r v r i -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，负阻抗变换器：112200v i k i k v ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
§5.3归一化和去归一化
归一化定义：用一些合适的系数(常数)按比例换算所有电量，而不改变电路性质。
例如，用50作为电阻的换算系数(归一化常数)，则Ω75=R (实际值)变成
Ω515075./==N R (归一化值)。
归一化值、实际值、归一化常数之间的关系
)()()(0s Z s Z s Z N =，)()()(0s Y s Y s Y N =，0R R R N =，0L L L N =，0
C C
C N = 0T T T N =
，0f f f N =，0ωωω=N ，0
s s s N = 对实际值适用的物理关系，对归一化值网络应保持不变，因此得
)
()(s Y s Z 1=
)
()(s Y s Z N N 1
=
)
()(s Z s 001=
:Y R s Z =)(N N R s Z =)()
(s Z 00=:R :L sL s Z =)(N N L s s Z =)(N )
(s Z L 000=:
C sC
s Z 1=)(N N N C s s Z 1=
)()
(s Z C 0001=:
f T f 1=
N
N T f 1=
01T f =
:ωf
πω2=N N f πω2=00f =ωω
σj s +=:
s N
N N j s ωσ+=0
00ωσ==s 实际值
归一化值
化常数
