(完整word)历年上海高考试题(立体几何)

近四年上海高考解析几何试题一．填空题:1、双曲线116922=-y x 的焦距是 .2、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 轨迹方程 ___。

3、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。

4、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

5、已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .6、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .7、已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ； 8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；10、曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条是 ． 11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m .13、若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则=m ．14 、以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 16 、已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF =17、已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是二．选择题:18、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 19、抛物线x y 42=的焦点坐标为 ( ) （A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.20、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.21 、已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8. 三．解答题22 (本题满分18分)（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.23、（本题满分14分）如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为316，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为316，求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题. 评分说明：(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.xy27 (14分) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点 分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()1,2M .(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.28（本题满分18分）我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围；y1B O1A2B2A . . 1F 0F2Fx .29在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.30 、已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；近四年上海高考解析几何试题一．填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1、双曲线116922=-y x 的焦距是 . 652、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 轨迹方程 ___。

近五年上海高考真题——解析几何（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）答案：4.4关键点：引入时刻t ，表示点,P Q ，直线PQ ，列出（不等式）圆心到直线PQ 的距离小于等于半径，解不等式可得提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤ 则0 1.5:20020 1.5PQ x y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+= 点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤t ≤≤0 4.4t t ≤≤⇒∆=≈P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．答案：22143x y +=知识点：（2018秋20）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x =()0,0x t y ≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）2BF t =+；（2）73AQP S =△；（3）245,5P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 关键点：FQ FP PM =+u u u r u u u r u u u u r知识点：中点弦（2018春18）已知a R ∈，双曲线22:1x y Γ-=．直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．答案．51-． 关键点：1212x x +=，因此用设而不求，韦达定理 知识点：和立体几何相关19．（7分+7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3答案．（1）14；（2）9.59︒．知识点：双曲线2017秋-6、设双曲线)0(19222>=-b b y x 的焦点为P F F ,,21为该双曲线上的一点，若5||1=PF ，则_____||2=PF答案：11关键点：双曲线的定义，发散：若16PF =，则2______PF = 关键点：216PF PF =± 知识点：参数方程(2017秋16)已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D 关键点：法一：椭圆的参数方程()1212126cos cos 2sin 3sin 6cos θθθθθθ+=-法二：柯西不等式121211226623x x y y x y y x +=+≤从本题也可看出，柯西不等式和两角差的余弦定理，参数方程之间的联系知识点：和向量相关秋-20、在平面直角坐标系中，已知椭圆1422=+Γy x ：，A 是其上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 是x 轴正半轴上的一点； （1）若点P 在第一象限，且2||=OP ，求点P 的坐标；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛5358，P ，且APM ∆为直角三角形，求M 的横坐标； （3）若MA MP =，4PQ PM =u u u r u u u u r ，直线AQ 交椭圆Γ于另一点C ，2AQ AC =u u u r u u u r,求直线AC 的方程；答案、（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,332P ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2029M 或⎪⎭⎫ ⎝⎛0,53M 或)0,1(M ； （3）设点()00,P x y 线段AP 的中垂线与x 轴的交点03,08M x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为4PQ PM =u u u r u u u u r ，所以003,32Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为2AQ AC =u u u r u u u r ，所以00133,42y C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入并联立椭圆方程，解得001,99x y ==-，所以13Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AQ的方程为110y x =+ 关键点：（2）直角=向量数量积为0；（3）设出点P 的坐标，根据题意，依次表示点M Q C 、、，点,P C 在椭圆上，建立方程组，可求出点,P C 的坐标春-10、设椭圆2212x y +=的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，则使得12F F P ∆是等腰三角形的点P 的个数是______答案：6关键点：半弦长的值域是[],a c a c -+春-20、已知双曲线()222:10,y x b bΓ-=> 直线():0l y kx m km =+≠，l 与Γ交于P Q 、 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点()0,N n（1）若点()2,0是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为()1,0-，且32NP P Q ''=u u u u r u u u u r，求k 的值；（3）若2m =，求n 关于b 的表达式答案：（1）y = （2）12k =± （3）22b n =-知识点：应用题（2016秋-20）（6+8分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

1近四年上海高考解析几何试题一．填空题 :1、双曲线9x2 16y 2 1的焦距是.2、直角坐标平面xoy 中，定点A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点P轨迹方程___。

3、若双曲线的渐近线方程为y 3x ，它的一个焦点是10 ,0 ，则双曲线的方程是__________。

4、将参数方程x 1 2 cos（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

y 2sin5、已知圆C :( x 5) 2 y 2 r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x y 5 0 .若圆 C 与直线 l 没有公共点，则 r 的取值范围是.6、已知直线l过点P( 2, 1) ，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A、 B 两点， O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为.7、已知圆x2－ 4 x－ 4＋y2＝ 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线x－y－ 1＝0 的距离是；8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是；10、曲线y |x| 1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条是．2 ＝＋11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2 4x 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点 P 的横坐标 x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 x 4 y2与直线 x m 有且只有一个公共点，则实数 m .13、若直线 l1： 2x my 1 0 与直线 l2： y 3x 1 平行，则 m ．14x2 y21的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．、以双曲线4 516 、已知 P 是双曲线x2 y21 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0 .设a2 9F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 3 ，则 PF117 、已知A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l1： x 0, l 2 : y 0 和 l3 : x 3y 1 0 . 设 P i是l i ( i 1, 2, 3) 上与A、B 两点距离平方和最小的点，则△PP12 P3的面积是二．选择题 :218、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C．有无穷多条D ．不存在19、抛物线 y 24x 的焦点坐标为( )（A ） ( 0, 1) .（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) .（ D ） ( 2, 0 ) .20、若 k R ，则“ k3 ”是“方程x 2y 21 表示双曲线”的()k3 k 3（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .（C ）充要条件 .（D ）既不充分也不必要条件 .21 、已知椭圆x 2y 2 1，长轴在 y 轴上 . 若焦距为 4 ，则 m 等于 （）10 mm2（ A ） 4 .（ B ） 5 .（ C ） 7 .（ D ） 8 .三．解答题22 ( 本题满分 18 分) （ 1）求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ，且经过点 (2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；（ 2）已知椭圆 C 的方程是x 2 y 2 1 ( a b 0 ) . 设斜率为 k的直线 l ，交椭圆 C 于 A Ba 2b 2、 两点，AB 的中点为 M . 证明：当直线 l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心 .23、（本题满分 x 2y 2 14 分）如图， 点 A 、 B 分别是椭圆1长3620轴的左、 右端点， 点 F 是椭圆的右焦点， 点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴上方， PA PF ．（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．3 24 ( 本题满分14 分 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2 y 2100 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）25后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0, 64 为顶点的抛物线的实线7部分，降落点为D( 8, 0 ) .观测点 A( 4, 0 )、 B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系xO y中，直线l与抛物线y2＝2x 相交于、两点．A B（1）求证：“如果直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝ 3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26、(14 分 ) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积” . 求出体积 16后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16 ，求侧棱长”；3 3也可以是“若正四棱锥的体积为16，求所有侧面面积之和的最小值”. 3试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点 P( 2, 1) 到直线 3x 4y0 的距离有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明：(ⅰ ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列中，应只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. .”的一个6 分(ⅱ ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.427 ( 14 分 ) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆yx 2 y 2C :a 2b 21 (a b 0) 的左右两个焦点分别为 F 1、F 2 . 过右焦点 F 2 且与 x 轴垂直的直线l 与椭x圆 C 相交，其中一个交点为M 2, 1 .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设椭圆 C 的一个顶点为B( 0, b ) ，直线 BF 2 交椭圆 C 于另一点 N ，求△ F 1 BN 的面积 .我们把由半椭圆 x2y 2 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 y2x 2 1 ( x ≤ 0) 合成28（本题满分 18 分） a 2 b 2 b 2c 2的曲线称作“果圆”，其中a 2b 2c 2 ， a0 ， b c 0．如图，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点．y（1）若 △ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求B 2“果圆”的方程；.F2b（2）当 A 1 A 2B 1 B 2的取值范围；.时，求 aO.xA 1F 0A 2F 1B 15 29 在平面直角坐标系xOy 中，A、B分别为直线x y 2 与x、 y 轴的交点，C为AB 的中点 . 若抛物线y2 2 px ( p 0) 过点C ，求焦点 F 到直线AB 的距离.30 、已知z是实系数方程x22bx c0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z ( Re z, Im z ) .（ 1）若( b, c )在直线2x y 0 上，求证：P z在圆C1：(x 1)2 y2 1上；（ 2）给定圆 C ：( x m) 2 y2 r 2（m、r R ， r 0 ），则存在唯一的线段s 满足：①若P z 在圆C 上，则( b, c )在线段s 上；②若( b, c )是线段s 上一点（非端点），则P z在圆C上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；6近四年上海高考解析几何试题一．填空题 : 只要求直接填写结果，每题填对得4 分，否则一律得零分 .1、双曲线 9x 2 16y 21的焦距是. 562、直角坐标平面xoy 中，定点 A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点 P 轨迹方程 ___。

十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解11立体几何部分一、选择题（共11小题；共55分）1. 给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件3. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 A. B.C. D.4. 若有平面α与β，且α∩β=l,α⊥β,P∈α,P∉l，则下列命题中的假命题为 A. 过点P且垂直于α的直线平行于βB. 过点P且垂直于l的平面垂直于βC. 过点P且垂直于β的直线在α内D. 过点P且垂直于l的直线在α内5. 若空间中有两条直线，则"这两条直线为异面直线"是"这两条直线没有公共点"的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件6. 已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是 A. 若l∥m，m∥n，则l∥nB. 若l⊥α，n∥α，则l⊥nC. 若l⊥m，m∥n，则l⊥nD. 若l∥α，n∥α，则l∥n7. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件8. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是 A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C19. 一个封闭的立方体，它的6个表面各标出A、B、C、D、E这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是 A. D、E、FB. F、D、EC. E、F、DD. E、D、F10. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 A. 48B. 18C. 24D. 3611. 在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是 A. 若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB. 若l⊥β且α∥β，则l⊥αC. 若l⊥β且α⊥β，则l∥αD. 若α∩β=m且l∥m，则l∥α二、填空题（共24小题；共120分）12. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a=．13. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为．14. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为．15. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个"正交线面对"．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是．16. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan2，则该正四棱柱的高等于．317. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．18. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．19. 如图，若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是（结果用反三角函数表示）．20. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．21. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π．该圆柱的表面积为．22. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是．23. 若球O1、O2表面积之比S1S2=4，则它们的半径之比R1R2=．24. 如图，若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是．25. 在正四棱锥P−ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60∘，则异面直线PA与BC所成角的正切值等于．26. 下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对．27. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）．28. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）．29. 已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为π6，则lr=．30. 在xOy平面上，将两个半圆弧x−12+y2=1x≥1和x−32+y2=1x≥3、两条直线y=1和y=−1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过0,y∣y∣≤1作Ω的水平截面，所得截面面积为4π 1−y2+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为．31. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．32. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a a>0．用它们拼成一a个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．33. 如图，在底面边长为2的正三棱锥V−ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是1，则侧4棱VA与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）．34. 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2．若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．35. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a a>0．用它们拼成a一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．三、解答题（共22小题；共286分）36. 如图，正三棱锥O−ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．37. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．38. 如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为60∘，求正四棱锥P−ABCD的体积V．π，39. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23 A1B1长为π，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．3（1）求三棱锥C−O1A1B1的体积．（2）求异面直线B1C与AA1所成角的大小．，A1B1 40. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．长为π3（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．41. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P−AOC的体积，并求异面直线PA与OE 所成角的余弦值．42. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点．证明A1，C1，F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值．43. 底面边长为2的正三棱锥P−ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．44. 如图，在长方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，AB=2，AD=1，AAʹ=1，证明直线BCʹ平行于平面DʹAC，并求直线BCʹ到平面DʹAC的距离．45. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC=π，AB=2，2 AC=23，PA=2．求：（1）三棱锥P−ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．46. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB=2，AD=22，PA=2．求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．47. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；（2）四面体AB1D1C的体积．48. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；（2）若点C到平面AB1D1的距离为4，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．349. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．（2）若点C到平面AB1D1的距离为4350. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．51. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．52. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小．（用反三角函数值表示）53. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为ℎ米，盖子边长为a米．（1）求a关于ℎ的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当ℎ为何值时，V最大?求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）54. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1−A1C−C1的大小．55. 在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60∘，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60∘．（1）求四棱锥P−ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．56. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘,AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为45∘，求三棱锥A1−ABC的体积．57. 如图，P−ABC是底面边长为1的正三棱锥，D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P−ABC为正四面体；PA，求二面角D−BC−A的余弦值；（2）若PD=12（3）设棱台DEF−ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF−ABC有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. C2. C3. B4. D5. A6. D7. A 【解析】答案 A8. D 【解析】只有B1C1与EF在同一平面内，是相交的，选项A，B，C中直线与EF都是异面直线．9. C 10. D【解析】提示：问题可以等价转化为求正方体中过顶点的直线与过顶点的四边形所在平面垂直的对数共有多少个．11. B第二部分12. 413. 33π【解析】设圆锥的底面的圆的半径为r，高为ℎ，母线为l，则由题设πrl=2π,πr2=π,则r=1,l=2.于是ℎ=2−r2=4−1=3．该圆锥的体积V=13πr2ℎ=33π．14. 3π【解析】由主视图，得该圆锥的底面圆的半径为r=1，母线l=3，则该圆锥的侧面积是S=πrl= 3π．15. 36【解析】正方体中，一个面有四条棱与之垂直，所以六个面共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．16. 22【解析】BD=32，DD1=BD⋅23=22．17. 33π【解析】由圆锥的底面面积为π，可知圆锥的底面半径为1，由圆锥的侧面积为2π，可得圆锥的母线为2，则圆锥的高为3，所以V=13×3×π×12=33π.18. 33π【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为ℎ，则πl=2πr,12πl2=2π,解得l=2,r=1,从而ℎ=．所以该圆锥的体积V=13πr2⋅ℎ=13π×12×3=33π．19. arctan520. 24【解析】由三视图可知，切割后的两个小长方体的长、宽、高分别为2、3、2，所以体积和为22×3×2=24．21. 6π22. 8π323. 224.25. 2【解析】过点P作PO⊥平面ABCD于O，取AD的中点H，连接OH,PH，如图：要求PA与BC所成的角，即求∠PAD，由题意知，∠PHO=60∘，设HO=a，则PH=2a，AH=12AD=OH=a，故tan∠PAD=PHAH=2．26. 3【解析】提示：原正方体中四条线段AB、CD、EF和GH的位置如图所示：27. arcsin1328. arccos1329.【解析】如图，取下底面中心，记为M，连接OM、AM，则BC∥OM，所以OA与BC所成的角就是∠MOA，即∠MOA=π6，tanπ6=rl．30. 2π2+16π【解析】一个半径为1，高为2π的圆柱平放，和一个高为2，底面面积8π的长方体放在一起构成一个组合体，根据祖暅原理，这个几何体与Ω的每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π⋅12⋅2π+2⋅8π=2π2+16π.31. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．32. 0<a<153【解析】①拼成一个三棱柱时，有三种情况：将上、下底面对接，其全面积为：S1＝2×12×3a×4a+3a+4a+5a×4a＝12a2+48；3a边可以合在一起时，S2＝24a2+36；4a边合在一起时，S3＝24a2+32．②拼成一个四棱柱，有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合，其上、下底面积之和都是2×2×12×3a×4a＝24a2，但侧面积分别为：24a+5a×2a ＝36，23a+5a×2a＝32，23a+4a×2a＝28，显然，三个四棱柱中全面积最小的值为：S4＝2×2×12×3a×4a+23a+4a×2a＝24a2+28．由题意，得24a2+28<12a2+48．解得0<a<153．33. arctan14【解析】设V在底面上的射影为O，则O∈AE，且∠VAE就是侧棱VA与底面所成的角．因为底面△ABC的边长为2，所以其BC边上的高AE=3．由S△VAE=12VO⋅AE=14，解得VO=36，而AO=23AE=233，所以tan∠VAE=VOAO=14．34. 23c a2−c2−1【解析】利用椭圆的定义及割补法求体积．由AB+BD=AC+CD=2a>AD=2c，可得点B与点C都在以A、D为焦点的椭球上运动．过BC作垂直于AD的平面EBC交AD于E点，则四面体ABCD的体积为V=13AD⋅12×2 BE2−1=2c3BE2−1,要求四面体ABCD体积的最大值，即求BE的最大值．当E与AD的中点O重合，即B为椭圆短轴的端点时，BE最大，且BE=2−c2故四面体ABCD的体积的最大值为2c3a2−c2−1．35. 0,153【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有三种，边长为3a的边重合在一起，构成的四棱柱的表面积为24a2+36，边长为4a的边重合在一起，构成的四棱柱的表面积为24a2+32，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2+28；拼成三棱柱有一种，就是两个三棱柱的上下底面对接，此时新的三棱柱的表面积为12a2+48；若最小的是一个四棱柱，则要求24a2+28<12a2+48，解得0<a<153．第三部分36. 三棱锥O−ABC的体积是V O−ABC=1⋅S△ABC⋅1=3.设O在面ABC中的射影为Oʹ，BC的中点D，则OOʹ=1,OʹD=3 ,在Rt△OOʹD中，有OD=OOʹ2+DOʹ2=12+3=3,三棱锥O−ABC的表面积为S O−ABC=3S△OBC+S△ABC=3⋅BC⋅OD+3=33,所以，三棱锥O−ABC的体积为33，表面积为3．37. 如图：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，则EF⊥平面ABCD，所以∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角．由EF是△BCC1的中位线，得EF=12CC1=1.由F为BC的中点，得CF=1CB=1,在Rt△DCF中，DF=5,因为EF⊥DF，所以tan∠EDF=EFDF=55,故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是55．38. 如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接AO，O是正方形ABCD的中心，所以∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角．由题∠PAO=60∘，PA=2．所以PO=3,AO=1,AB=2,因此V=13PO⋅S ABCD=13×3×2=233.39. （1）连O1B1，则A1B1=∠A1O1B1=π3，所以△A1O1B1为正三角形，所以S△A1O1B1=34，所以V C−O1A1B1=13OO1⋅S△A1O1B1=312．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连BB1，则BB1∥AA1，所以∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）．BB1=AA1，连BC，BO，OC，AB=A1B1=π3，AC=2π3，所以BC=π3，所以∠BOC=π3，所以△BOC为正三角形，所以BC=BO=1，所以tan∠BB1C=BCBB1=1，所以∠BB1C=45∘，所以直线B1C与AA1所成角大小为45∘．40. （1）由题意可知，圆柱的母线长l=1，底面半径r=1．圆柱的体积V=πr2l=π×12×1=π，圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π．（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则O1B1∥OB，所以∠COB或其补角为O1B1与OC所成的角．由A1B1长为π3，可知∠AOB=∠A1O1B1=π3，由AC长为5π6，可知∠AOC=5π6，∠COB=∠AOC−∠AOB=π2，所以异面直线O1B1与OC所成的角的大小为π2．41. V P−AOC=13×12×2=13．因为AC∥OE，所以∠PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角．由PO=2，OA=OC=1，得PA=PC=AC=在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC=1010，故异面直线PA与OE所成角的余弦值为1010．42. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A12,0,1，C10,2,1，E2,1,0，F1,2,0，C0,2,0，D10,0,1．因为A1C1=−2,2,0，EF=−1,1,0，所以A1C1∥EF，因此直线A1C1与直线EF共面，即A1，C1，F，E四点共面．设平面A1C1FE的法向量为n=u,v,w，则n⊥EF，n⊥FC1，又EF=−1,1,0，FC1=−1,0,1，故−u+v=0,−u+w=0,解得u=v=w.取u=1，得平面A1C1FE的一个法向量n=1,1,1．又CD1=0,−2,1，故CD1⋅n ∣∣CD1∣∣∣n∣=−1515.因此直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为1515．43. 在△P1P2P3中，P1A=P3A , P2C=P3C,所以AC是△P1P2P3的中位线，故P1P2=2AC=4.同理P2P3=P3P1=4,所以△P1P2P3是等边三角形，且边长为4．设Q是△ABC的中心，则PQ⊥平面ABC，所以AQ=233,PQ= AP22=236.因此V=1S△ABC⋅PQ=22.44. 因为ABCD−AʹBʹCʹDʹ为长方体，故AB∥CʹDʹ，AB=CʹDʹ，故ABCʹDʹ为平行四边形，故BCʹ∥ADʹ，显然直线BCʹ不在平面DʹAC上，于是直线BCʹ平行于平面DʹAC；直线BCʹ到平面DʹAC的距离即为点B到平面DʹAC的距离，设为ℎ．考虑三棱锥ABCDʹ的体积，以ABC为底面，可得V=1×1×1×2×1=1.而△ADʹC中，AC=DʹC=，ADʹ=，故S△ADʹC=3 2 .所以，V=1×3×ℎ=1⇒ℎ=2,即直线BCʹ到平面DʹAC的距离为23．45. （1）S△ABC=12AB⋅AC=12×2×23=23,三棱锥P−ABC的体积为V=1S△ABC×PA=1×23×2=43.（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2，所以cos∠ADE=22+22−22×2×2=34,所以∠ADE=arccos 3 .因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos34．46. （1）因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD．因为在直角三角形PCD中，PD=22+222=23，CD=2，所以三角形PCD的面积为1×2×23=2 3.（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B2,0,0，C 2,22,0，E 1,2,1，AE=1,2,1，BC=0,22,0．设AE与BC的夹角为θ，则cosθ=AE⋅BC ∣∣AE∣∣∣∣BC∣∣=42×22=22,所以θ=π4 ,由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4．解法二：如图所示，取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF=2，AF=2，AE=2，知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=π4，因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4．47. （1）连接BD，AB1，B1D1，AD1，因为BD∥B1D1，AB1=AD1，所以异面直线BD与AB1所成角为∠AB1D1，记∠AB1D1=θ，AB12=AD12=22+12=5,B1D12=2,所以在△AB1D1中，由余弦定理cosθ=AB12+B1D12−AD122AB1×B1D1=1010.所以异面直线BD与AB1所成角的余弦值为1010．（2）连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积V=V ABCD−A1B1C1D1−4×V C−B1C1D1=2−4×1 3=2 .48. （1）因为AA1⊥底面A1B1C1D1，所以AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，即∠AB1A1=α．因为△ABB1≌△ADD1，所以AB1=AD1，又O1为B1D1中点，所以AO1⊥B1D1，又A1O1⊥B1D1，则∠AO1A1是二面角A−B1D1−A1的平面角，即∠AO1A1=β．在Rt△AA1B1中，tanα=AA1 A1B1.在Rt△AA1O1中，tanβ=AA1 11.又A1B1=2A1O1，所以tanβ=α．（2）建立如图空间直角坐标系．设正四棱柱的高为 ℎ，底面边长为 1，则 A 0,0,ℎ ，B 1 1,0,0 ，D 1 0,1,0 ，C 1,1,ℎ ，从而AB 1 = 1,0,−ℎ ,AD 1 = 0,1,−ℎ ,AC = 1,1,0 .设平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n = x ,y ,z ，则n ⋅AB 1 =0,n ⋅AD 1 =0,即x −ℎz =0,y −ℎz =0,取 z =1，得 n = ℎ,ℎ,1 ．则点 C 到平面 AB 1D 1 的距离为d =∣∣n ⋅AC ∣∣= ℎ2+ℎ2+1=4.解得 ℎ=2．49. （1） 连接 AO 1，AA 1⊥ 底面 A 1B 1C 1D 1 于 A 1．AB 1 与底面 A 1B 1C 1D 1 所成的角为 ∠AB 1A 1，即 ∠AB 1A 1=α． 因为 AB 1=AD 1，O 1 为 B 1D 1 中点，所以 AO 1⊥B 1D 1，又 A 1O 1⊥B 1D 1，所以 ∠AO 1A 1 是二面角 A −B 1D 1−A 1 的平面角，即 ∠AO 1A 1=β． 设 AA 1=ℎ，所以tan α=AA 111=ℎ,（2） 建立如图空间直角坐标系，有 A 0,0,ℎ ，B 1 1,0,0 ，D 1 0,1,0 ，C 1,1,ℎ ，AB 1 = 1,0,−ℎ ,AD 1 = 0,1,−ℎ ,AC= 1,1,0 . 设平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n = x ,y ,z ，则n ⊥AB 1 ,n ⊥AD 1,即n ⋅AB 1 =0,n ⋅AD 1 =0,取 z =1 得n = ℎ,ℎ,1 .所以点 C 到平面 AB 1D 1 的距离为d =∣∣n ⋅AC ∣∣= ℎ2+ℎ2+1=4, 则 ℎ=2．50. （1） 设圆柱形灯笼的母线长为 l ，则l=1.2−2r 0<r <0.6 ,S=−3π r −0.4 2+0.48π,所以当 r =0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米． （2） 当 r =0.3 时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得A1B3=0.3,0.3,0.6，A3B5=−0.3,0.3,0.6，设向量A1B3与A3B5的夹角为θ，则cosθ=A1B3⋅A3B5∣A1B3∣⋅∣A3B5∣=2,所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的余弦值为23．51. （1）圆柱体的高为1.2−2r，故S=πr2+2πr1.2−2r=π−3r2+2.4r0<r<0.6.当r=0.4时，S max=1.5080≈1.51m2.（2）当r=0.3时，l=0.6，作三视图如图．52. （1）因为CB⊥平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B．由A1B⊥AE,AE⊂平面A1B，得A1C⊥AE，同理可证A1C⊥AF，因为AF∩AE=A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1C⊥平面AEF．（2）过A作BD的垂线交CD于G，因为D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD．设AG与A1C所成的角为α，则α即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角．由已知，计算得DG=94．如图，建立直角坐标系，则得点 A 0,0,0 ，G 94,3,0 ，A 1 0,0,5 ，C 4,3,0 ，AG = 94,3,0 ，A 1C = 4,3,−5 ，因为 AG 与 A 1C 所成的角为 α．所以 cos α=∣∣AG ⋅A 1C ∣∣∣∣AG ∣∣⋅∣∣A 1C ∣∣=12 225，α=arccos12 225．由定理知，平面 AEF 与平面 D 1B 1BD 所成角的大小为 arccos 12 225．53. （1） 设 ℎʹ 为正四棱锥的斜高． 由已知a 2+4⋅1ℎʹa =2,ℎ2+1a 2=ℎʹ2,解得 a =ℎ2+1ℎ>0 ．（2） V =13ℎa 2=ℎ3 ℎ2+1ℎ>0 ，易得 V =13 ℎ+1ℎ，因为 ℎ+1ℎ≥2 ℎ⋅1ℎ=2，所以 V ≤16． 等号当且仅当 ℎ=1ℎ，即 ℎ=1 时取得．故当 ℎ=1 米时，V 有最大值，V 的最大值为 16立方米． 54. 如图，建立空间直角坐标系．则 A 2,0,0 ，C 0,2,0 ，A 1 2,0,2 ，B 1 0,0,2 ，C 1 0,2,2 ． 设 AC 的中点为 M ，连接 BM ．∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥ 平面 A 1C 1C ，即 BM = 1,1,0 是平面 A 1C 1C 的一个法向量． 设平面 A 1B 1C 的一个法向量是 n = x ,y ,z ．因为A 1C = −2,2,−2 ,A 1B 1 = −2,0,0 ,所以n ⋅A 1B 1 =−2x =0,n ⋅A 1C =−2x +2y −2z =0,令 z =1，解得x =0,y =1.所以n = 0,1,1 .设法向量 n 与 BM 的夹角为 φ，二面角 B 1−A 1C −C 1 的大小为 θ，显然 θ 为锐角． 因为cos θ=∣cos φ∣=∣∣n ⋅BM ∣∣∣n ∣⋅∣∣BM ∣∣=12,解得θ=π.所以，二面角 B 1−A 1C −C 1 的大小为 π3．55. （1） 在四棱锥 P −ABCD 中，因为 PO ⊥ 平面 ABCD ， ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，∠PBO =60∘． 在 Rt △AOB 中 BO =AB sin30∘=1，由 PO ⊥BO ， 于是，PO =BO tan60∘= 3，而底面菱形的面积为 2 3． 故四棱锥 P −ABCD 的体积 V =13×2 3× 3=2．（2） 解法一：以 O 为坐标原点，射线 OB 、 OC 、 OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．在 Rt △AOB 中 OA = A 、 B 、 D 、 P 的坐标分别是 A 0,− 0 、 B 1,0,0 、 D −1,0,0 、 P 0,0, 3 ． E 是 PB 的中点，则 E 12,0,32，于是 DE = 32,0,32，AP = 0, 3, 3 .设 DE与 AP 的夹角为 θ，有 cos θ=324+4⋅ 3+3=24． 所以，异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24． 解法二：取 AB 的中点 F ，连接 EF 、 DF ．由E是PB的中点，得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）．在Rt△AOB中AO=AB cos30∘=3=OP，于是，在等腰Rt△POA中，PA=EF=62．在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=3，所以cos∠FED=12EFDE=643=24，故异面直线DE与PA所成角的余弦值为24．56. （1）∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角），∵∠ABC=90∘,AB=BC=1，∴∠ACB=45∘，∴异面直线B1C1与AC所成角为45∘．（2）∵AA1⊥平面ABC，∴∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠A1CA=45∘，∵∠ABC=90∘,AB=BC=1,AC=2，∴AA1=2，∴三棱锥A1−ABC的体积V=13S△ABC×AA1=26．57. （1）∵棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+PE+PF．又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60∘，∴P−ABC是正四面体．（2）取BC的中点M，连接PM,DM,AM．∵BC⊥PM,BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM，则∠DMA为二面角D−BC−A的平面角．由（1）知，P−ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=32，由D是PA的中点，得sin∠DMA=ADAM =33，∴二面角D−BC−A的余弦值为63．（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台DEF−ABC的棱长和为定值6，体积为V．设直平行六面体的棱长均为12，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6，体积为18sinα=V．∵正四面体P−ABC的体积是212，故构造棱长均为12，底面相邻两边夹角的正弦值为8V的直平行六面体即满足要求．。

近五年上海高考试卷汇编——立体几何（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．答案：arcsin（2018春14）如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4答案 C（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，E是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积．（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．答案：（1） （2）4π（2012文19）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥ 底面ABC ，D 是PC 的中点，已知2BAC π∠=，2AB =，AC=2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积．（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）答案：（1）3； （2）3arccos 4（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr= ．（2016理19）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。

答案：12；4π （2018秋17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.答案：（1）V =；（2） 关键点：方法一：建立空间直角坐标系（首选）； 方法二；平移法（2017秋考17）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，2,4,5,901===︒=∠BC AB BB ABC ；O MPBA（1）求三棱柱111C B A ABC V -的体积；（2）若M 是棱AC 中点，求M B 1与平面ABC 所成角的大小；答案：（1）20=V ；（2）5arctan；（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．答案：arcsin（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，E是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积．（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．答案：（1）（2）4π（2013理19）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，'1AA =． 证明直线'BC 平行于平面'D AC ，并求直线'BC 到平面'D AC 的距离．证明：略（2013理19）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，'1AA =． 证明直线'BC 平行于平面'D AC ，并求直线'BC 到平面'D AC 的距离．答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、'(0,2,0)C 、'(0,0,0)D .设平面'D AC 的法向量为(,,)n u v w =r ，则'n D A ⊥r u u u u r ，'n D C ⊥r u u u u r .因为'(1,0,1)D A =u u u u r ，'(0,2,1)D C =u u u u r ，'0n D A ⋅=r u u u u r ，'0n D C ⋅=r u u u u r，所以020u w v w +=⎧⎨+=⎩，解得2u v =，2w v =-.取1v =，得平面'D AC 的一个法向量(2,1,2)n =-r.因为'(1,0,1)BC =--u u u u r ，所以'0n BC ⋅=r u u u u r ，所以'n BC ⊥r u u u u r .又'BC 不在平面'D AC 内，所以直线'BC 与平面'D AC 平行.由(1,0,0)CB =u u u r，得点B 到平面'DAC 的距离23n CB d n ⋅===r u u u ru u r ，所以直线'BC 到平面'D AC 的距离为23（2015理4）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．答案：4（2010理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB V ，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则以(),A B ,,C D O 为顶点的四面体的体积是 ．（2014理19文19）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是123PP P ∆，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．答案：在123P P P ∆中，13P A P A =，23P C PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. 同理，234P P =，314P P =.所以123P P P ∆是等边三角形，各边长均为4.设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =PQ ==从而，13ABC V S PQ ∆=⋅=（2010春10）各棱长为1的正四棱锥的体积V = ． 答案：62 （2018秋15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：D关键点：底面矩形是下图的四种情形，每种情形都有四种垂直于底面的侧棱，故个数为16，（2018春7）如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，13,4,5AB BC AA ===，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．答案：5（2012文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 答案：6π（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr= ．（2009文8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是．答案：8 3π（2015理6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为______．答案：3π（2014理6文7）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）．答案：1 arccos3（2012理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．答案：3（2011春20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥形（如图）,现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积．（精确到0.01）答案：设圆锥的底面半径为r，高为h.由题意，圆锥的侧面扇形的周长为121045ππ⋅⋅=()cm，圆锥底面周长为2r π()cm ，则24r ππ=，2r =()cm .=()cm ，圆锥的侧面扇形的面积为11410202S ππ=⨯⨯=()2cm ，半球的面积为 2214282S ππ=⨯⨯=.该蛋筒冰激凌的表面积122887.96S S S π=+=≈()2cm ；圆锥的体积为21123Vπ=⨯⨯()3cm ， 半球的体积为3214162233V ππ=⨯⨯=()3cm ，所以该蛋筒冰激凌的体积为)1216157.803V V V π=+=≈()3cm .因此该蛋筒冰激凌的表面积约为287.96cm ， 体积约为357.80cm .（2018秋17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.答案：（1）V =；（2）O MPBA（2017秋4）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于___ 答案：9π（2009理8）已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S 满足的等量关系是 ．=（2013理13）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ．答案： 2216ππ+（2017秋7）如图，以长方体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为)2,3,4(，则1AC u u u u r的坐标为_____答案：()4,3,2-4 5 知识点15：三视图（2011文7）若一个圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 ．答案：3π（2014文8）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于答案：24（2009年高考文16）如图,已知三棱锥的底面是直角⊥,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( )()A ()B ()C ()D答案：B知识点16：截面问题（2017春15）过正方体中心的截面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A 、三角形B 、长方形C 、对角线不相等的菱形D 、六边形答案：A知识点17：球面距离（2010春21）已知地球半径约为6371千米． 上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．（1）若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时？（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0．1小时）（2）求大连与里斯本之间的球面距离．（结果精确到1千米）答案：（1）1.2小时； （2）约为10009千米 4 3 4 4 3 4知识点18：和数列相关（2012理6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= ． 答案：87知识点19：补形法（2011春13）有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），AB 与CD 所成角的大小是 ．答案：3π提示：补充图形为正方体（2010春13）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S = 2cm ．答案：2600πO大连上海 北南极 赤里斯本知识点20：和圆锥曲线相结合 （2014春24）如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB CD 、是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点. 已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点与圆锥顶点P 的距离为（ ）A 、1B 、32C 、62D 、104答案：D （2012理14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=，其中,a c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ． 答案：22213c a c -- 题型：三棱锥的体积计算与椭圆试一试：已知在半径为2的球面上有A B C D 、、、四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为___________答案：43 选题理由：本题为四面体中，已知对棱的长为,a b ，对棱的夹角为θ，对棱的距离为h ，体积为1sin 6V abh θ=的典型题 40c50c80c（2018春19）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2图3 答案：（1）14；（2）9.59︒．。

新课标卷高考真题1、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，90∠=，且二面角D AF E与二面角C BE FAFD都是60．（I）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E BC A的余弦值．2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．3【2015高考新课标1，理18】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1­3，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D­AE­C为60°，E­ACD的体积．5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1­5，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.图1­5(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A­A1B1­C1的余弦值．6、（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．7、（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE ﹣C的余弦值．8、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．1【解析】 ⑴∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒ ∵AB EF ∥ AB ⊄平面EFDCEF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ⊂平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，FD a =()()000020E B a ，，，， ()302202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，()020EB a =，，，322a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，.00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112032022a y a x ay a z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩ 111301x y z ===-，，()301m =-，，设面ABC 法向量为()222n x y z =，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即22223202220a x ay az ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 222034x y z ===，， ()034n =，，设二面角E BC A --的大小为θ.4219cos 1931316m n m nθ⋅-===-+⋅+⋅ ∴二面角E BC A --的余弦值为21919-2【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE OH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()，()，()，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，由110n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，， ∴12129575cos 255210n n n n θ⋅+===⋅，∴295sin 25θ=．3，【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）33又∵AE ⊥EC ，∴EG 3，EG ⊥AC ， 在Rt△EBG 中，可得BE 2，故DF 22. 在Rt△FDG 中，可得FG 62在直角梯形BDFE 中，由BD =2，BE 2，DF 22可得EF 322， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC . ……6分（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （03，0），E (1,0, 2)，F （－1,022），C （030），∴AE =（132），CF =（-1，322）.…10分 故3cos ,3||||AE CF AE CF AE CF •<>==-. 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为33. ……12分 4，解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC . (2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A ­xyz ，则D ⎝⎛⎭⎫0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32，12.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC→＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0， 可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量， 由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ­ACD 的高为12.三棱锥E ­ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.5解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AO . 又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O ­ xyz .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，33，B (1，0，0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－33，0.AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33，－33，A 1B 1→＝AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，0，－33， B 1C →1＝BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33，0. 设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则⎩⎨⎧n ·AB 1＝0，n ·A 1B 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B 1→＝0，m ·B 1C 1→＝0，同理可取m ＝(1，－3，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝17.所以结合图形知二面角A ­A 1B 1 ­ C 1的余弦值为17.6、【答案】（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ== ，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：= ．7、【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则= ．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴= = =1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．=（﹣1，0，1），= ，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取= ．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos = = =﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．8、【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞= = ．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．。

17．（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·AA 1=12AB ·AC ·AA 1=12×4×2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥底面ABC.∴∠AMA 1是直线A 1M 与平面ABC 所成角. ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴AM=12BC=12×42+22= 5.由AA 1⊥底面ABC ，可得AA 1⊥AM,∴tan ∠A 1MA=AA 1AM =55= 5.∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．19．（2016•23-19）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π，A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19、（2015.上海）如图。

第七部 立体几何专题【考点1】立体几何判断题公理1 如果直线l上有两个点在平面 上，那么直线l在平面 上.公理2 如果不同的两个平面 、 有一公共点A，那么 、 的交集是过点A的直线. 公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面.公理4 平行于同一直线的两条直线相互平行.推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.推论2 两条相交的直线确定一个平面.推论3 两条平行的直线确定一个平面.等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.线面平行判定：若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则线面平行.线面平行性质：若线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则直线和交线平行. 线面垂直判定：若直线l与平面 上的两条相交直线都垂直，则直线l与平面 垂直.推论：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的所有直线.推论若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线平行.面面平行判定：若平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行.推论：若平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则面面平行. 推论：垂直于同一条直线的两个平面平行.面面平行性质：若两个平行平面同时和第三个平面相交，则得到的两条交线互相平行.推论：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面.面面垂直判定：若平面经过另一个平面的一条垂线，则面面垂直.面面垂直性质：若面面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.1.（2019春15）已知平面 、 、 两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a ，b ，c ，则直线a 、b 、c 不可能是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面2.（2017春15）过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 三角形 B. 长方形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形3.（2016春18）设直线l 与平面 平行，直线m 在平面 上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直4.（2014春13）两条异面直线所成的角的范围是（ ）A. (0,)2B. (0,]2C. [0,)2D. [0,]25.（2012春17）已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能 6.（2016文16）如图，正方体1111ABCD A B C D中，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中 与直线EF 相交的是（ ）A. 直线1AAB. 直线11A BC. 直线11A DD. 直线11B C【考点2】多面体相关题（1）棱柱如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平行， 那么这个多面体叫做棱柱.侧棱不垂直于底面侧棱垂直于底面底面是正多边形棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱.底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形四棱柱平行六面体直平行六面体长方体底面是正方形棱长都相等正四棱柱正方体. 直柱体的表面积：22S S S ch S 侧全底底（h c 、分别为直柱体的高和底面周长） 棱柱的体积：V S h 棱柱底（h 为棱柱的高）7.（2018春14）如图，在直三棱柱111ABC A B C 的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的 直线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.（2018年15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马， 设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面 矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 169.（2016理6）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 边长为3，1BD 与底面 所成角大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于10.（2013春9）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1A B 与1B C 所成角的 大小为11.（2015理4）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a12.（2016春25）如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的体积为，底面边长为3， 求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小.13.（2015春25）如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D ，1AB ，1D B 和平面ABCD所成的角的大小为arctan4，求该四棱柱的表面积.14.（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，11AA ，2AB AD ，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成角的大小.15.（2013理19）如图，在长方体ABCD A B C D 中，2AB ，1AD ，1AA ， 证明直线BC 平行于平面D AC ，并求直线BC 到平面D AC 的距离.16.（2013春25）如图，正三棱锥111ABC A B C 中，16AA ，异面直线1BC 与1AA 所成 角的大小为6，求该三棱柱的体积.（2）棱锥如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面 体叫做棱锥. 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个 棱锥叫做正棱锥.正锥体的表面积：12S S S ch S 侧全底底（h c 、分别为斜高和底面周长） 棱锥的体积：13V S h棱锥底（h 为棱锥的高） 17.（2018春7）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，3AB ，4BC ，15AA ，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB 的体积为18.（2012理14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC ，若2AD c ，且2AB BD AC CD a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 体积最大值是19.（2013文19）如图，正三棱锥O ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.20.（2014年19）底面边长为2的正三棱锥P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ， 如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .【考点3】旋转体相关题（1）圆柱和圆锥圆柱的表面积：2222S S S rh r 侧全底（h r 、分别为圆柱的高和底面半径） 圆锥的表面积：2S S S rh r 侧全底（h r 、分别为母线长和底面半径） 圆柱的体积：2V S h r h 圆柱底（h r 、分别为圆柱的高和底面半径） 圆锥的体积：21133V S h r h圆锥底（h r 、分别为圆锥的高和底面半径）22.（2016春附5）已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30 ，则该圆锥的侧面积为23.（2012文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2 ，该圆柱的表面积为24.（2012理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为25.（2011理7）若圆锥的侧面积为2 ，底面面积为 ，则该圆锥的体积为26.（2014文7）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）27.（2014理6）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）28.（2015理6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大 小为29.（2019年14）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两 个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 830.（2015春18）底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）A. 2B.C.23D. 331.（2014春24）如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线 PB 中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 432.（2013文10）已知圆柱 母线长为l ，底面半径为r ，O 是 上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线， 若直线OA 与BC 所成角的大小为6，则lr33.（2015文19）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧 AB 的中点，E 为劣弧 CB的中点，已知2PO ，1OA ，求三棱锥P AOC 的 体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.（2）球球的表面积公式：24S r （r 是球的半径）球的体积公式：343V r球（r 是球的半径） 球面距离求法：确定两点的直线距离，求出圆心角34.（2017年4）已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于 35.（2016春14）半径为1的球的表面积为（ ） A.B. 43C. 2D. 436.（2014春21）若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ）A. 2:3B. 4:9C. 8:27D. 37.（2013春21）若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:1638.（2011春20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌，上部分是半球形，下半部分呈圆锥形 （如图），现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个蛋皮围成圆锥的侧面 （蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积.（精确0.01）（3）祖暅原理祖暅原理：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等 高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等39.（2013理13）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x 和22(3)1(3)x y x 、两条直线1y 和1y 围成的封闭图形记为D ，如图阴影部分，记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)y （||1y ）作 的水平截面，所得截面面积为48 ，试利用祖暅原理、一个平放 的圆柱和一个长方体，得出 的体积为【考点4】三视图将三个视图展示在同一个平面上，使俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方，我们 把整个构图叫做这个长方体的三视图.40.（2011文7）若一个圆锥的主视图是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥侧面积为 41.（2014文8）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个 小长方体的体积之和等于【考点5】立体几何综合（1）异面直线所成角异面直线所成角的范围(0,90] . 求异面直线所成的角，主要有以下方法： ① 平移，将异面直线平移至相交，常用“作平行”和“取中点”的方法.② 补形，延长异面直线，或者将题中几何体进行添补，然后再平移至相交.③ 向量法，设空间直线a 与b 所成的角为 ，(0,2，它们的方向向量分别为1d和2d ，1d和2d 的夹角为 ，[0,] ，根据空间两条直线所成角的定义，可知cos |cos | .（2）直线与平面所成角直线与平面所成角的范围[0,90] . 求直线与平面所成的角，主要有以下方法： ① 定义法，根据直线与平面所成角的定义，找斜线及其射影的夹角. ② 垂线法，过直线上某一点作平面的垂线.③ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离.④ 向量法，设直线l 与平面 所成角为 ，[0,]2，d是l 的一个方向向量，n 是的一个法向量，d与n 的夹角为 ，根据直线与平面所成角的定义，可知sin |cos | .（3）二面角的平面角二面角的平面角的范围[0,180] . 求二面角的平面角，主要有以下方法： ①定义法，在两个半平面中分别作交线的垂线.②垂线法，过一个平面上一点作另一个平面的垂线，再作交线的垂线. ③垂面法，找到一个与两个半平面均垂直的平面，截得的交线所形成的角.④ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离.⑤ 射影法，面积射影定理cos S S. ⑥ 向量法，设二面角大小为 ，[0,] ，二面角两个半平面的法向量分别为1n 和2n，1n 和2n的夹角为 ，根据二面角的定义，可知 或 .（4）距离的计算线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离. 求点到平面的距离，主要有两种方法： ① 垂线法，过点作平面的垂线，求垂线的长度.② 等体积法，通过几何体体积相等，求出高，即点到平面的距离.③ 向量法，已知平面 上一点A 与平面 外一点M ，n是平面 的一个法向量，设点M到平面 的距离为d ，则||||n AM d n . 42.（2019年3）已知向量(1,0,2)a，(2,1,0)b ，则a 与b 的夹角为43.（2017年7）如图，以长方体1111ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为44.（2011春13）有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图）， 则AB 与CD 所成角的大小是45.（2019春17）如图，正三棱锥P ABC 中，侧棱长为2M 、N 分 别是PB 和BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小； （2）求三棱锥P ABC 的体积.46.（2012文19）如图，在三棱锥P ABC 中，PA 底面ABC ，D 是PC 的中点，已知2BAC，2AB ，AC ，2PA ，求：（1）三棱锥P ABC 的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）47.（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB ，AD 2PA ，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.48.（2019年17）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，M 为1BB 上一点，已知2BM ，3CD ，4AD ，15AA .（1）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离.49.（2017春17）如图，长方体1111ABCD A B C D 中，2AB BC ，13AA . （1）求四棱锥1A ABCD 的体积； （2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小.50.（2017年17）如图，直三棱柱111ABC A B C 的底面为直角三角形，两直角边AB 和 AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C 的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.51.（2011文20）已知1111ABCD A B C D 是底面边长为1的正四棱柱，高12AA ，求： （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体11AB D C 的体积.52.（2012春19）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 的底面边长为1，高为2，M 为线段AB 的中点，求：（1）三棱锥1C MBC 的体积； （2）异面直线CD 与1MC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）53.（2011理21）已知1111ABCD A B C D 是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点.（1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为 ，二面角111A B D A 的大小为 ，求证：tan；（2）若点C 到平面11AB D 的距离为43， 求正四棱柱1111ABCD A B C D 的高.54.（2018年17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO ，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ，M 为 线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.55.（2018春19）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB 于C ，3AB 米， 4.5OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）.（图1） （图2） （图3）56.（2016文19）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱， 如图， AC 长为56 ， 11A B 长为3，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小.57.（2016理19）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23 ， 11A B 长为3，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧. （1）求三棱锥111C O A B 的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.。

那些曾经让你印象深刻的上海高考数学真题一、2009年——与疫情有关的概率统计点评：这题是我初来上海教学时经历的第一次高考题，此题对今年高考真应景.二、2010年——与世博会有关的算法之程序框图点评：我记得好像就是从这一年开始，算法和程序框图→从此退出高考的历史舞台.三、2011年——与圆锥曲线有关的一道自选难度的压轴题点评：这种大胆创新真是别具一格，正应验了那句话“撑死胆大的饿死胆小的”。

四、2012年——立体几何中难得一见的小题压轴题点评：上海高考，向来立体几何这个章节不怎么为难学生，这应该是高考真题中难度一见的高难度立体几何小题。

五、2013年——立体几何中隗宝——“祖暅原理”点评：又多少人是从这题开始留意、认识、了解、掌握祖暅原理的，哈哈。

还有这个钱大姐，把中国文化，深深的体验了一把：好货不便宜，便宜没好货.六、2014年——小白玩游戏点评：加权或权重的理念，在这题提现得淋漓尽致. 出题人说：玩不好这题，真成了小白了.七、2015年——学生的梦魇，从这一年开始，新定义下的充要性论证走向舞台.点评：论证分析，曾经迷茫了多少孩子，后面的一模二模，也跟着高考这个方向标转舵.八、2016年——笛卡尔极坐标心形图点评：从这年后，2017年开始因为高考改革，文理卷合并，极坐标从此退出高考舞台，笛卡尔充满爱情的心形图——从此成了极坐标的绝唱，一阵悲凉仿佛随风飘过.九、2017年春考——平面几何与向量点评：从这一年开始，向量被重新提高地位，无论是之后的一二三模还是高考题，向量的灵活性和难度陡增.十、2017年秋考——三角的有界性十一、2018年春考——数学来自生活点评：当年发生的麦当劳改“logo，金拱门事情”，为了体现数学来自生活很自然，跃然纸上.十二、2018年秋考——函数的定义点评：继2009年考差函数的定义之后，这一年再次冒出来，让许多学生在考试中措手不及.十三、2019年春考——集合中的压轴题点评：当我们准备四大难题类型：函数+数列+解几+向量的时候，出卷人来个出其不意攻其不备，确实我们没法预计出题人的想法，哈哈.还有能把数列出在第18题（第2个解答题）位置的，只此一年，要多容易有多容易，且做且珍惜.十四、2019年秋考——三角方程中的压轴题点评：三角与方程的结合，着实体现了高考原创的魅力，也深度告知学生，数学要的是你处变不惊、遇事不慌下的，分析问题→解决问题能力.十五、2020年春考——集合中的压轴题。

GH 在原正方体中相互异面的有 对。

3(02)若正四棱锥的底面边长为 2、3cm ,体积为4cm 3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 ________ 30(03春)关于直线a,b,l 以及平面M , N ，下列命题中正确的是().(A) 若a//M,b//M ,则 a//b (B) 若 a // M , b a ,则 b M (C) 若 a M ,b M ,且 l a,l b ,则 I M (D) 若 a M ,a // N ,则 MN D(03)在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°,则异面直线 PA历年上海高考试题(立体几何)(01春)若有平面与，且 (A )过点P 且垂直于 (C )过点P 且垂直于 I, ,P 的直线平行于 的直线在 内. ,P I ，则下列命题中的假命题为( )B )过点P 且垂直于I 的平面垂直于 . (D )过点P 且垂直于|的直线在 内. (01)已知a 、b 为两条不同的直线，a 、B 为两个不同的平面，且命题中的假命题是( )D a 丄a, b 丄则下列 A.若 a // b ,则 a//B C.若a 、b 相交，则a 、B 相交B.若a 丄B ，贝y a 丄b D.若a 、B 相交，则 a 、b 相交 (02春)下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段 AB 、CD 、EF 和一 2（05）有两个相同的直三棱柱 ,高为一，底面三角形的三a边长分别为3a 、4a 、5a （a>0）.用它们拼成一个三棱 柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 _____________ . 0<a<上153（06春）正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为3，则其体积为 _________________ .—3（06文）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没 有公共点”的（）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件 A（06理）若空间中有四个点，则"这四个点中有三点在同一直线上”是"这四个点在同一平面 上”的 ［答］（ ）A （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件. （07文）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，ACB 90，AA 1 2，AC BC 1，则异面直线 AB 与AC 所成角的A与BC 所成角的大小等于.（结果用反三角函数值表示） arctg2（03）在下列条件中，可判断平面a 与B 平行的是A .a 、B 都垂直于平面r.B .a 内存在不共线的三点到B 的距离相等 C. l , m 是a 内两条直线，且 I 〃B, m . D.I , m 是两条异面直线，且 I //a, m //a, I //3, m . （04春）如图，在底面边长为2的正三棱锥 V-ABC 中,E 是BC 的中点，1若厶VAE 的面积是一,则侧棱VA 与底面所成角的大小为41（结果用反三角函数表示）arctg（04）在下列关于直线I 、m 与平面a 、B 的命题中，真命题是（）（A ）若I B 且a 丄B 则I 丄a . （B ）若I 丄B 且all B 则I 丄a. （C ）若 I 丄 B 且 a 丄 B 则 I //a . （D ）若 aA3 =&1 // m,则 I // a. B （05春）已知直线I 、m 、n 及平面 ，下列命题中的假命题是（A ）若 l//m , m//n ,则 l//n .（B ）若 I , n 〃，则 I n .(C )若 I m , m 〃 n ,则 I n .(D )若 I// , n 〃 ，贝U l//n.DD大小是________________________ （结果用反三角函数值表示）.1B!arccos ——6（07理）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知， 是两个相交平面，空间两条直线l i ，I 2在 上的射影是直线 S i , s,，h, I 2在 上的射影是直线t i , t 2 •用S i 与S 2 , t i 与t 2的位置关系，写出一个总能确定 l i 与丨2是异面直线的充分条件： ____________________________________________________ • S i //S 2 ,并且 t i 与 t 2 相交（t i // t 2 ,并且 S i与S 2相交） 且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器 （如图）， 设容器的高为h 米，盖子边长为a 米.（1） 求a 关于h 的函数解析式；（2）设容器的容积为 V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值.（求解本题时，不计容器的厚度） 解（i ）设h'为正四棱锥的斜高14 —h'a 2,2i解得a 心0）易得V因为h * 2，所以V 1i等式当且仅当h -，即h i 时取得。

历年（2019-2023）全国高考数学真题分项（立体几何）汇编考点一 空间几何体的侧面积和表面积1．（2021( )A ．2B ．C ．4D ．2．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ．3．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为 ．4．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．5．（2019•上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为( ) A ．1B ．2C ．4D ．86．（2020•浙江）已知圆锥的侧面积（单位：2)cm 为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm 是 ．7．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π8．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积22(1cos )S r πα=-（单位：2)km ，则S 占地球表面积的百分比约为( ) A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%考点二 空间几何体的体积9．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l 剟，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A ．[18，81]4B ．27[4，814C ．27[4，643D ．[18，27]10．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为 2.65)(≈ ) A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯11．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )A ．20+B ．C ．563D ．312．【多选】（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：)m 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有( ) A ．直径为0.99m 的球体 B ．所有棱长均为1.4m 的四面体C ．底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体13．【多选】（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ==．记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为1V ，2V ，3V ，则( )A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =14．【多选】（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则( ) A ．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值 B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 15．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．16．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，1AA =，则该棱台的体积为 ． 17．（2020•海南）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点，则三棱锥1A NMD -的体积为 ．18．（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边ABC ∆，O 为AC 边中点，且PO ⊥底面ABC ，2AP AC ==． （1）求三棱锥体积P ABC V -；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC 所成角大小．19．（2020•上海）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．考点三 空间中直线与直线之间的位置关系20．（2022•上海）如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，联结1A S ，1B D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为( )A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q21．（2021•浙江）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B22．（2020•上海）在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线交正方体于P 、Q 两点，则Q 点所在的平面是( )A ．11AAB BB ．11BBC CC ．11CCD DD ．ABCD23．（2023•上海）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为边11A C 上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( )A ．1DDB ．ACC ．1ADD ．1B C考点四 异面直线及其所成的角24．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知正方体1111ABCD A B C D -，则( ) A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C ．直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒考点五 空间中直线与平面之间的位置关系25．（2019•上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面26．【多选】（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是( )A ．B ．C ．D ．考点六 直线与平面所成的角27．（2020•山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为)O ，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒28．（2021•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =． （1）若P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积； （2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小．29．（2021•浙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥．（Ⅰ）证明：AB PM ⊥；（Ⅱ）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．30．（2020•海南）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．31．（2020•上海）已知ABCD 是边长为1的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱． （1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2π至11ABC D ，求线段1CD 与平面ABCD 所成的角．32．（2020•山东）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．33．（2020•浙江）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =． （Ⅰ）证明：EF DB ⊥；（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．34．（2019•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =．（1）求直线1A C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离．35．（2019•浙江）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A A C AC ==，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．（Ⅰ）证明：EF BC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．考点七 二面角的平面角及求法36．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则( )A ．αβγ剟B ．βαγ剟C ．βγα剟D ．αγβ剟37．（2019•浙江）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则( )A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<38．【多选】（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45︒，则( )A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC ∆39．（2023•上海）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，3AD =，4CD =． （1）证明：直线1//A B 平面11DCC D ；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角1A BD A --的大小．40．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠=︒，E 为BC 中点．（1）证明BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值．41．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =．点2A ，2B ，2C ，2D 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，23CC =． （1）证明：2222//B C A D ；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ．42．（2022•浙江）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为AE ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：FN AD ⊥；（Ⅱ）求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．43．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 为PB 的中点． （1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．44．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，△1A BC 的面积为 （1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．45．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，QD QA ==3QC =．（Ⅰ）求证：平面QAD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．46．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点． （1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD ∆是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．考点八 立体几何的交线问题47．（2020•山东）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒．以1D 为半径的球面与侧面11BCC B 的交线长为 ．参考答案考点一 空间几何体的侧面积和表面积1．（2021，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B ．C ．4D ．【详细解析】由题意，设母线长为l ，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2l ππ=⋅，解得l =所以该圆锥的母线长为 故选：B ．2．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ． 【详细解析】因为圆柱的底面积为9π，即29R ππ=， 所以3R =，所以224S Rh ππ==侧．故答案为：24π．3．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为 ．【详细解析】如图1，上底面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ， 则12ABC S AB CM ∆=⨯⨯， 根据题意，AB 为定值2，所以ABC S ∆的大小随着CM 的长短变化而变化，如图2所示，当点M 与点O 重合时，CM OC ==，此时ABC S ∆取得最大值为122⨯=；如图3所示，当点M 与点B 重合，CM 取最小值2， 此时ABC S ∆取得最小值为12222⨯⨯=．综上所述，ABC S ∆的取值范围为．故答案为：．4．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ． 【详细解析】圆柱的底面半径为1r =，高为2h =， 所以圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=侧． 故答案为：4π．5．（2019•上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8【详细解析】如图，则21142133V ππ=⨯⨯=，22121233V ππ=⨯⨯=，∴两个圆锥的体积之比为43223ππ=． 故选：B ．6．（2020•浙江）已知圆锥的侧面积（单位：2)cm 为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm 是 ．【详细解析】 圆锥侧面展开图是半圆，面积为22cm π，设圆锥的母线长为acm ，则2122a ππ⨯=，2a cm ∴=，∴侧面展开扇形的弧长为2cm π，设圆锥的底面半径OC rcm =，则22r ππ=，解得1r cm =． 故答案为：1cm ．7．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π3=4=，如图，设球的半径为R 1=，解得5R =， ∴该球的表面积为24425100R πππ=⨯=．当球心在台体内时，如图，1=，无解． 综上，该球的表面积为100π． 故选：A ．8．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积22(1cos )S r πα=-（单位：2)km ，则S 占地球表面积的百分比约为( ) A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%【详细解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，则36000640042400OP =+=，那么64008cos 4240053α==； 卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos )S r πα=-，那么，S 占地球表面积的百分比为222(1cos )4542%4106r r παπ-=≈．故选：C ．考点二 空间几何体的体积9．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l 剟，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A ．[18，814B ．27[4，814C ．27[4，643D ．[18，27]【详细解析】如图所示，正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，连接AC 与BD 交于点E ，连接PE ，则球心O 在直线PE 上，连接OA ， 设正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，在Rt PAE ∆中，222PA AE PE =+，即222221(22l h a h =+=+， 球O 的体积为36π，∴球O 的半径3R =，在Rt OAE ∆中，222OA OE AE =+，即222(3)(2R h =-+， ∴221602a h h +-=，∴22162a h h +=，26l h ∴=，又3l 剟∴3922h剟， ∴该正四棱锥体积2232112()(122)4333V h a h h h h h h ==-=-+，2()282(4)V h h h h h '=-+=- ，∴当342h <…时，()0V h '>，()V h 单调递增；当942h <…时，()0V h '<，()V h 单调递减，()max V h V ∴=（4）643=， 又327(24V = ，981()24V =，且278144<，∴2764()43V h 剟， 即该正四棱锥体积的取值范围是27[4，643， 故选：C ．10．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为 2.65)(≈ )A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯【详细解析】26214014010km m =⨯，26218018010km m =⨯，根据题意，增加的水量约为661401018010(157.5148.5)3⨯+⨯⨯-9=6693(32060 2.65)103143710 1.410m ≈+⨯⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．11．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )A ．20+B ．C ．563D 【详细解析】解法一：如图1111ABCD A B C D -为正四棱台，2AB =，114A B =，12AA =． 在等腰梯形11A B BA 中，过A 作11AE A B ⊥，可得14212A E -==，AE ==． 连接AC ，11A C ，AC ==，11A C ==，过A 作11AG A C ⊥，12A G -==AG ==， ∴正四棱台的体积为：V h =22243+== 解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，∴该棱台的记h ==下底面面积116S =，上底面面积24S =， 则该棱台的体积为：1211((16433V h S S =++=+=故选：D ．12．【多选】（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：)m 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有( )A ．直径为0.99m 的球体B ．所有棱长均为1.4m 的四面体C ．底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【详细解析】对于A ，棱长为1的正方体内切球的直径为10.99>，选项A 正确； 对于B ，如图，正方体内部最大的正四面体11D A BC - 1.4=>，选项B 正确；对于C ，棱长为1 1.8<，选项C 错误；对于D ，如图，六边形EFGHIJ 为正六边形，E ，F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，六边形EFGHIJ 棱长为2米，30GFH GHF ∠=∠=︒，所以FH ===米，故六边形EFGHIJ而223()(1.2) 1.4422=>=，选项D 正确． 故选：ABD ．13．【多选】（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ==．记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为1V ，2V ，3V ，则( )A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【详细解析】设22AB ED FB ===， 114||33ACD V S ED ∆=⨯⨯=，212||33ABC V S FB ∆=⨯⨯=，如图所示，连接BD 交AC 于点M ，连接EM 、FM ，则FM =EM =，3EF =，故12EMF S ∆==，3112332EMF V S AC ∆=⨯=⨯⨯=，故C 、D 正确，A 、B 错误． 故选：CD ．14．【多选】（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则( )A ．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值 B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【详细解析】对于A ，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ= ，所以1//CP BB，故点P 在线段1CC 上，此时△1AB P 的周长为11AB B P AP ++，当点P 为1CC 的中点时，△1AB P ，当点P 在点1C 处时，△1AB P 的周长为1， 故周长不为定值，故选项A 错误；对于B ，当1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ= ，所以1//B P BC， 故点P 在线段11B C 上， 因为11//B C 平面1A BC ，所以直线11B C 上的点到平面1A BC 的距离相等， 又△1A BC 的面积为定值，所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故选项B 正确；对于C ，当12λ=时，取线段BC ，11B C 的中点分别为M ，1M ，连结1M M ， 因为112BP BC BB μ=+，即1MP BB μ= ，所以1//MP BB ，则点P 在线段1M M 上，当点P 在1M 处时，1111A M B C ⊥，111A M B B ⊥， 又1111B C B B B = ，所以11A M ⊥平面11BB C C ，又1BM ⊂平面11BB C C ，所以111A M BM ⊥，即1A P BP ⊥， 同理，当点P 在M 处，1A P BP ⊥，故选项C 错误；对于D ，当12μ=时，取1CC 的中点1D ，1BB 的中点D ， 因为112BP BC BB λ=+ ，即DP BC λ= ，所以//DP BC ，则点P 在线的1DD 上，当点P 在点1D 处时，取AC 的中点E ，连结1A E ，BE ，因为BE ⊥平面11ACC A ，又1AD ⊂平面11ACC A ，所以1AD BE ⊥， 在正方形11ACC A 中，11AD A E ⊥， 又1BE A E E = ，BE ，1A E ⊂平面1A BE ，故1AD ⊥平面1A BE ，又1A B ⊂平面1A BE ，所以11A B AD ⊥， 在正方体形11ABB A 中，11A B AB ⊥，又11AD AB A = ，1AD ，1AB ⊂平面11AB D ，所以1A B ⊥平面11AB D ， 因为过定点A 与定直线1A B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P ，故选项D 正确．故选：BD ．15．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．【详细解析】如图所示，根据题意易知△11SO A SOA ∆∽，∴11112SO O A SO OA ===，又13SO =， 6SO ∴=，13OO ∴=，又上下底面正方形边长分别为2，4，∴所得棱台的体积为1(4163283⨯++⨯=．故答案为：28．16．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，1AA =，则该棱台的体积为 ． 【详细解析】如图，设正四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面中心分别为M ，N ，过1A 作1A H AC ⊥，垂足点为H ，由题意易知12A M HN ==，又AN =，2AH AN HN ∴=-=，又1AA =，1A H MN ∴==∴该四棱台的体积为1(143⨯++故答案为：6．17．（2020•海南）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点，则三棱锥1A NMD -的体积为 ．【详细解析】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点， ∴111122ANM S ∆=⨯⨯=， ∴111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯=．故答案为：13．18．（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边ABC ∆，O 为AC 边中点，且PO ⊥底面ABC ，2AP AC ==． （1）求三棱锥体积P ABC V -；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC 所成角大小．【详细解析】（1）在三棱锥P ABC -中，因为PO ⊥底面ABC ，所以PO AC ⊥， 又O 为AC 边中点，所以PAC ∆为等腰三角形，又2AP AC ==．所以PAC ∆是边长为2的为等边三角形，PO ∴=，三棱锥体积2112133P ABC ABC V S PO -∆=⋅==， （2）以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0P ，0，B 0，0)，(0C ，1，0)，M 12，0)，(2PM = ，12，， 平面PAC的法向量OB =0，0)， 设直线PM 与平面PAC 所成角为θ，则直线PM 与平面PAC所成角的正弦值为3sin ||||||PM OB PM OB θ⋅===⋅所以PM 与面PAC所成角大小为arcsin4． 19．（2020•上海）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【详细解析】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，PD DC ∴⊥． 3CD = ，5PC ∴=，4PD ∴=，2134123P ABCD V -∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为12．（2）ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ， BC PD ∴⊥，BC CD ⊥又PD CD D = BC ∴⊥平面PCDBC PC ∴⊥异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD ∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =故PC =在Rt PDC ∆中，3CD =PD ∴=考点三 空间中直线与直线之间的位置关系20．（2022•上海）如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，联结1A S ，1B D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为( )A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q【详细解析】线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，即直线MN 与线段1A S 、1B D 不相交，因此所求与1D 可视的点，即求哪条线段不与线段1A S 、1B D 相交，对A 选项，如图，连接1A P 、PS 、1D S ，因为P 、S 分别为AB 、CD 的中点， ∴易证11//A D PS ，故1A 、1D 、P 、S 四点共面，1D P ∴与1A S 相交，A ∴错误；对B 、C 选项，如图，连接1D B 、DB ，易证1D 、1B 、B 、D 四点共面， 故1D B 、1D R 都与1B D 相交，B ∴、C 错误；对D 选项，连接1D Q ，由A 选项分析知1A 、1D 、P 、S 四点共面记为平面11A D PS ， 1D ∈ 平面11A D PS ，Q ∉平面11A D PS ，且1A S ⊂平面11A D PS ，点11D A S ∉， 1D Q ∴与1A S 为异面直线，同理由B ，C 选项的分析知1D 、1B 、B 、D 四点共面记为平面11D B BD ， 1D ∈ 平面11D B BD ，Q ∉平面11D B BD ，且1B D ⊂平面11D B BD ，点11D B D ∉，1D Q ∴与1B D 为异面直线，故1D Q 与1A S ，1B D 都没有公共点，D ∴选项正确．故选：D ．21．（2021•浙江）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B【详细解析】连接1AD ，如图：由正方体可知11A D AD ⊥，1A D AB ⊥，1A D ∴⊥平面1ABD ， 11A D D B ∴⊥，由题意知MN 为△1D AB 的中位线，//MN AB ∴，又AB ⊂ 平面ABCD ，MN ⊂/平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ．A ∴对； 由正方体可知1A D 与平面1BDD 相交于点D ，1D B ⊂平面1BDD ，1D D B ∉， ∴直线1A D 与直线1D B 是异面直线，B ∴、C 错；//MN AB ，AB 不与平面11BDD B 垂直，MN ∴不与平面11BDD B 垂直，D ∴错．故选：A ．22．（2020•上海）在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线交正方体于P 、Q 两点，则Q 点所在的平面是( )A ．11AAB B B ．11BBC C C ．11CCD DD ．ABCD【详细解析】如图，由点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，可得P 在△1AA D 内，过P 作1//EF A D ，且1EF AA 于E ，EF AD 于F ， 在平面ABCD 中，过F 作//FG CD ，交BC 于G ，则平面//EFG 平面1A DC ．连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，平面//EFG 平面1A DC ，平面1A AC ⋂平面11A DC A C =，平面1A AC ⋂平面EFM EM =， 1//EM A C ∴．在EFM ∆中，过P 作//PQ EM ，且PQ FM 于Q ，则1//PQ A C ．线段FM 在四边形ABCD 内，Q 在线段FM 上，Q ∴在四边形ABCD 内． ∴则Q 点所在的平面是平面ABCD ．故选：D ．23．（2023•上海）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为边11A C 上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( )A ．1DDB ．ACC ．1ADD ．1B C【详细解析】对于A ，当P 是11A C 的中点时，BP 与1DD 是相交直线； 对于B ，根据异面直线的定义知，BP 与AC 是异面直线； 对于C ，当点P 与1C 重合时，BP 与1AD 是平行直线； 对于D ，当点P 与1C 重合时，BP 与1B C 是相交直线． 故选：B ．考点四 异面直线及其所成的角24．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知正方体1111ABCD A B C D -，则( ) A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C ．直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒ 【详细解析】如图，连接1B C ，由11//A B DC ，11A B DC =，得四边形11DA B C 为平行四边形， 可得11//DA B C ，11BC B C ⊥ ，∴直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，故A 正确；111A B BC ⊥ ，11BC B C ⊥，1111A B B C B = ，1BC ∴⊥平面11DA B C ，而1CA ⊂平面11DA B C ，11BC CA ∴⊥，即直线1BC 与1CA 所成的角为90︒，故B 正确；设1111A C B D O = ，连接BO ，可得1C O ⊥平面11BB D D ，即1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，1111sin 2OC C BO BC ∠== ，∴直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30︒，故C 错误； 1CC ⊥ 底面ABCD ，1C BC ∴∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒，故D 正确．故选：ABD ．考点五 空间中直线与平面之间的位置关系25．（2019•上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【详细解析】如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．26．【多选】（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是( )A ．B ．C ．D ．【详细解析】对于A ，设正方体棱长为2，设MN 与OP 所成角为θ，则1tan 12θ==，∴不满足MN OP ⊥，故A 错误； 对于B ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2N ，0，0)，(0M ，0，2)，(2P ，0，1)，(1O ，1，0)，(2MN = ，0，2)-，(1OP = ，1-，1)，0MN OP ⋅= ，∴满足MN OP ⊥，故B 正确；对于C ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2M ，2，2)，(0N ，2，0)，(1O ，1，0)，(0P ，0，1)，(2MN =- ，0，2)-，(1OP =- ，1-，1)，0MN OP ⋅= ，∴满足MN OP ⊥，故C 正确；对于D ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(0M ，2，0)，(0N ，0，2)，(2P ，1，2)，(1O ，1，0)，(0MN = ，2-，2)，(1OP = ，0，2)，4MN OP ⋅= ，∴不满足MN OP ⊥，故D 错误．故选：BC ．考点六 直线与平面所成的角27．（2020•山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为)O ，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【详细解析】可设A 所在的纬线圈的圆心为O '，OO '垂直于纬线所在的圆面，由图可得OHA ∠为晷针与点A 处的水平面所成角，又OAO '∠为40︒且OA AH ⊥，在Rt OHA ∆中，O A OH '⊥，40OHA OAO '∴∠=∠=︒，另解：画出截面图，如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线．l 是点A 处的水平面的截线，由题意可得OA l ⊥，AB 是晷针所在直线．m 是晷面的截线，由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得//m CD ，根据线面垂直的定义可得AB m ⊥，由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒，故选：B ．28．（2021•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =．（1）若P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积；（2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小．【详细解析】（1）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112322332C PAD PAD C PAD V S h -∆-⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭平面； （2）连接1111A C B D O = ，AB BC = ，∴四边形1111A B C D 为正方形，则11OB OA ⊥，又11AA OB ⊥，111OA AA A = ，1OB ∴⊥平面11ACC A ，∴直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为1OAB ∠，∴111sin OB OAB AB ∠=== ∴直线1AB 与平面11ACC A所成的角为29．（2021•浙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥．（Ⅰ）证明：AB PM ⊥；（Ⅱ）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．【详细解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，由已知可得，1CD AB ==，122CM BC ==，60DCM ∠=︒， ∴由余弦定理可得，2222cos60DM CD CM CD CM =+-⨯⨯︒11421232=+-⨯⨯⨯=， 则222134CD DM CM +=+==，即CD DM ⊥，又PD DC ⊥，PD DM D = ，CD ∴⊥平面PDM ，而PM ⊂平面PDM ，CD PM ∴⊥，//CD AB ，AB PM ∴⊥；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD ⊥平面PDM ，又CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PDM ，且平面ABCD ⋂平面PDM DM =，PM MD ⊥ ，且PM ⊂平面PDM ，PM ∴⊥平面ABCD ，连接AM ，则PM MA ⊥，在ABM ∆中，1AB =，2BM =，120ABM ∠=︒， 可得2114212(72AM =+-⨯⨯⨯-=，又PA =Rt PMA ∆中，求得PM ==，取AD 中点E ，连接ME ，则//ME CD ，可得ME 、MD 、MP 两两互相垂直，以M 为坐标原点，分别以MD 、ME 、MP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(A ，2，0)，(0P ，0，，1,0)C -，又N 为PC的中点，1(22N ∴-，5(,22AN =- ， 平面PDM 的一个法向量为(0,1,0)n = ，设直线AN 与平面PDM 所成角为θ，则5||sin |cos ,|6||||AN n AN n AN n θ⋅=<>===⋅ ． 故直线AN 与平面PDM所成角的正弦值为6．30．（2020•海南）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l上的点，QB =，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【详细解析】（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，BC ∴⊥平面PCD ，设m 为平面PCD 中任意一条直线，则BC m ⊥，//l BC ，l m ∴⊥，由线面垂直的定义是l ⊥平面PCD ；（2）解：如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，1PD AD == ，Q 为l上的点，QB =，PB ∴=，1QP =，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，作//PQ AD ，则PQ 为平面PAD 与平面PBC 的交线为l，因为QB =，QAB ∆是等腰直角三角形，所以(1Q ，0，1)，则(1DQ = ，0，1)，(1PB = ，1，1)-，(0DC = ，1，0)，设平面QCD 的法向量为(n a = ，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴00b a c =⎧⎨+=⎩，取1c =，可得(1n =- ，0，1)，|cos n ∴<，||||||||n PB PB n PB ⋅>=== ， PB ∴与平面QCD所成角的正弦值为3． 31．（2020•上海）已知ABCD 是边长为1的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱． （1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2π至11ABC D ，求线段1CD 与平面ABCD 所成的角．【详细解析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成， 221214S πππ∴=⨯⨯+⨯=．故该圆柱的表面积为4π．（2） 正方形11ABC D ，1AD AB ∴⊥， 又12DAD π∠=，1AD AD ∴⊥，AD AB A = ，且AD 、AB ⊂平面ADB ，1AD ∴⊥平面ADB ，即1D 在面ADB 上的投影为A ，连接1CD ，则1D CA ∠即为线段1CD 与平面ABCD 所成的角，而11cos 3AC D CA CD ∠==， ∴线段1CD 与平面ABCD所成的角为3． 32．（2020•山东）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．【详细解析】（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线， PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，BC ∴⊥平面PCD ， 设平面PCD 中有任一直线l '，则BC ⊥直线l '，//l BC ，l ∴⊥直线l '，∴由线面垂直的定义得l ⊥平面PCD ；（2）如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz-则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，设(Q m ，0，1)，(DQ m = ，0，1)，(1PB = ，1，1)-，(0DC = ，1，0)，设平面QCD 的法向量为(n a = ，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴00b am c =⎧⎨+=⎩，取1a =-，可得(1n =- ，0，)m ， cos n ∴<，||||n PB PB n PB ⋅>==⋅ ， PB ∴与平面QCD。

立体几何练习题一、选择题1．已知平面外不共线的三点A, B, C 到的距离都相等,则正确的结论是A. 平面ABC必平行于B. 平面ABC必与相交C. 平面ABC必不垂直于D. 存在ABC的一条中位线平行于或在内2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ A ）充分非必要条件；（ B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（ D）非充分非必要条件．3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A ） 48（B）18（C）24（D）364．已知二面角l 的大小为 600， m、 n 为异面直线，且m ，n ，则 m、 n 所成的角为（ A ）300 （ B）600 （ C）900 （ D）12005．已知球 O 半径为1， A 、 B、 C 三点都在球面上， A 、 B 两点和 A 、C两点的球面距离都是， B、 C 两点的球面距离是，则二面角 B OA C 的大小是4 3（ A ）（ B）（ C）（ D）24 3 2 37．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面 .考查下列命题，其中正确的命题是A ．m , n , m nB ．// , m ,n // m nC．, m , n // m n D．, m, n m n8．设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是．．．A ． AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面B．若 AC 与 BD 是异面直线，则AD 与 BC 是异面直线C．若 AB=AC， DB=DC，则 AD=BCD．若 AB=AC， DB=DC，则 AD BC9．若l 为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①，；②，∥；③ l ∥， l ．其中正确的命题有A ． 0 个B． 1 个C． 2 个 D ．3 个10．如图， O 是半径为 1 的球心，点 A 、B 、 C 在球面上， OA 、 OB、 OC 两两垂直， E、 F分别是大圆弧?E、 F 在该球面上的球面距离是AB 与 AC 的中点，则点（ A ）（B ）（ C）2 （ D）4 3 2 411．如图，正三棱柱ABC A1 B1C1的各棱长都为2，E、F分别为AB 、 A 1C1的中点，则EF 的长是（ A ） 2 （ B） 3 （ C）5 （ D）712．若P是平面外一点，则下列命题正确的是（ A ）过P只能作一条直线与平面相交（ B）过P可作无数条直线与平面垂直（ C）过P只能作一条直线与平面平行（ D）过P可作无数条直线与平面平行l13 l与平面，在平面内必有直线 m ，使 m 与．对于任意的直线（ A ）平行（ B）相交n, （C）垂直（D ）互为异面直线14和共面的直线m 、下列命题中真命题是．对于平面（ A ）若m , m n,则n∥（ B）若m∥,n∥,则m∥n（ C）若m , n∥ ,则m∥n （ D）若m、n与所成的角相等，则m∥n 15．关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：①若 m // ， n // 且// ，则 m // n ；② 若③ 若m ， n 且，则 m n ；m ， n // 且 // ，则 m n ；④若 m //，n且，则m // n。

2017-2021年上海市高考数学真题分类汇编：立体几何
一．选择题（共6小题）
1．（2020•上海）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正
）
方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（
A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD 2．（2019•上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（）
A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面3．（2019•上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）
A．1B．2C．4D．8 4．（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面
）
矩形的一边，则这样的阳马的个数是（
A．4B．8C．12D．16 5．（2018•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为（）
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