对勾函数(图像及概念)

对勾函数图象性质

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+

b

x

的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+

b

x

（接下来写作

f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，f (x )=ax +b

x ≥2√ab (当且尽当ax =b

x 时取等号)，此时x =√b

对勾函数f (x )=a x

+的图象与性质

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对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如

f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)=b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y=b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

a>0b>0a<0b<0

对勾函数的图像（ab 同号）

对勾函数的图像（ab 异号）

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：

当x>0

时，。

当x<0

时，

。

即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域

对勾函数图像

引言

在数学中，对勾函数是一种常见的数学函数，通常用来表示一个变量随另一个

变量的变化而变化的关系。对勾函数通常用来描述两个变量之间的简单和直接的联系。本文将介绍对勾函数的基本概念和性质，并通过绘制对勾函数的图像来展示其特征。

对勾函数的定义

对勾函数是一种特殊的函数，通常表示为y=f(x)的关系式。在对勾函数中，对于每一个x，对应有唯一的y，反之亦然。简言之，对勾函数是一种一对一的函

数关系。

对勾函数的性质

1.单调性

对勾函数通常具有单调性，即当x1<x2时，对应的y1<y2，或者当x1>x2时，对应的y1>y2。

2.定义域和值域

对勾函数的定义域是所有可能的x的取值范围，而值域是所有可能的y的取值

范围。对勾函数通常具有明确的定义域和值域。

3.关于坐标轴的对称性

对勾函数通常具有某种关于坐标轴的对称性，可以是关于x轴、y轴或者原点

的对称性。

4.渐近线

一些对勾函数可能具有渐近线，这些线可以帮助我们更好地理解函数的特征。

对勾函数图像的绘制

为了更好地了解对勾函数的性质，我们可以通过绘制对勾函数的图像来展示其

特征。下面我们将给出一些实际的例子。

例子一

考虑对勾函数y=2x+3。我们可以通过构建一个x−y的坐标系，选择若干

个x的值，计算相应的y值，并将这些点连接起来，就可以得到对应的函数图像。

例子二

考虑对勾函数 $y = \\sqrt{x}$。这是一个常见的对勾函数，表示y和x之间的

平方根关系。我们同样可以通过选择x的值，计算相应的y值，并绘制函数图像。

结论

本文介绍了对勾函数的基本概念和性质，通过绘制对勾函数的图像，展示了其

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质

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对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不显现，但考试总喜爱考的函数，因此也要注意它和了解它。

(一)对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一样函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x组成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”。如以下图所示：

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的转变。可是，咱们仍然能够看做是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

一样地，咱们以为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即

对勾函数也是双曲线的一种，只只是它的核心和渐进线的位

置有所改变算了。

接下来，为了研究方便，咱们规定a>0，b>0。以后当a<0，

b<0时，依照对称就很容易患出结论了。

(二)对勾函数的极点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式能够取得：

当x>0时，

。

对勾函数的图像（ab异号）当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

(一) 对勾函数的概念域、值域

由（二）取得了对勾函数的极点坐标，从而咱们也就确信了对勾函数的概念域、值域等性质。

(二) 对勾函数的单调性

对勾函数图象性质

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+

b

x 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+b

x （接下来写作

f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，f (x )=ax +b

对勾函数、幕函数

目录

1.对勾函数 (1)

2.繇函数 (4)

3.本节课回顾： (6)

4.课后作业 (6)

5.答案 (6)

1.对勾函数

对勾函数知识点总结如下：

1、对号函数又称“对勾函数”、“双勾函数"、“勾函数”。

表达式：y=x+p/x

当函数表达式为y=qx+p/x,我们可以提取出q,使它成为y=q(x+p/qx), 这样依旧可以由性质上去观察函数。

2、函数性质:

（1）奇偶性

当p＞0时，它的图象是分布在一、三象限的两条抛物线，都不能与X轴、Y 轴相交，为奇函数。

当p＜0时，它的图象是分布在二、四象限的两条抛物线，都不能与X轴、Y 轴相交，也为奇函数。

（2）单调性

对于第一象限的情况：以（"p,2Jp）为顶点，在（0, Jp］上是减函数，在［JP，+8）上是增函数，开口向上；

第三象限内以（・Jp,-2 Jp）为顶点，在（一8,.Jp］,是增函数，在p,0）是减函数，开口向下。其中顶点的纵坐标是由对函数使用均值不等式后得到的。

r（x）=i-§=导=竺零归，

当*€（-8, -jq时，O）＞o, £60单類j / 当灰（-/a, 0）时，

O）＜0, f（X）单减；• 当x€（0,厶）时，O）＜0,

f（x）单减j ♦k

当x€G/a,)时，C.(x)>0, f(x)Mta)•J*

3、值得注意的是：在第一象限的图像，当x越小，即越接近于。时，图像左侧就越趋向Y轴+8,但不相交；当x越大，即越趋向+8时，图像右侧就越接近直线y=x正半支，但不相交。

4、同理，在第三象限的图像，当x越大，即越接近于。时，图像右侧就越趋向Y 轴・8,但不相交；当x越小，即越趋向-8时，图像左侧就越接近直线

对勾函数的性质及图像

对勾函数是一类常见的抽象函数，它也被称为条件函数。以一般形式来讲，它有两个参数：一个表示参数，另一个表示值，它把第一个参数映射到第二个参数，其表达式为：y=f(x)，当且仅当条件C成立时才有定义。这里，参数x表示满足条件C的状态，而参数y表示对应的返回的值。

二、对勾函数的特性

（1）对勾函数是一种非线性函数，它的表达式不是一次方程或者一个多项式，它的表达式可以是任意的。

（2）当参数f与参数x相同时，对勾函数的值也可以不同。

（3）对勾函数是一种强烈以条件为导向的函数，只有当条件C 满足时，函数f才有定义，这使得对勾函数可以精准地控制函数参数的行为。

三、对勾函数的图像

对勾函数的图像包括折线图、曲线图以及平面图等多种类型。用折线图表示时，把y=f(x)作为一组直线方程可以分别画出两条直线，而这两条直线都是y>=(f(x)的解析解。用曲线图表示时，可以把对勾函数的图像表示为一条曲线，其中的曲线是y>=(f(x)的解析解，因此曲线图可以表示函数f的连续性。

四、总结

对勾函数是一类常见的抽象函数，它的表达式可以是任意的，且只有当特定条件满足时才有定义。对勾函数的图像可以用折线图、曲

线图以及平面图等多种类型表示。这些特性使得对勾函数在许多方面得到了广泛的应用，例如在人工智能中，它通常用于推理过程，给定一组条件，可以用函数f来计算出各种可能的结果，从而让系统变得更加智能。

对勾函数专题讲解

专题：对勾函数及其应用

1.对勾函数定义

对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其

图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。

2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质

1) 定义域：(-∞。0) ∪ (0.+∞)。

2) 值域：(-∞。-2ab] ∪ [2ab。+∞)。

3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。

4) 单调性：(-∞。-a/b)，(a/b。+∞) 上是增函数；(-a/b。0)，(0.a/b) 上是减函数。

3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：

±a/b。

求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。

特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。

4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时

要先找出对应的单调区间，然后求解。

5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：

若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。

例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。(2) [3,4]。(3) [-3,-1]。

变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。

例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。

对勾函数的性质及应用

一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：

1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞

2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab

3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，

且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b

y ax x

=+

≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2

由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a

b -时，取最大值ab 2-

5. 单调性：增区间为（∞+,a

b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0）

二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b

y ax x

=+

)0,0(<

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.

4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=a

b 时，取

最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=a

b -时，取最大值ab 2-

5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a

b ），（a b -∞-,）,

类型二：斜勾函数b

y ax x =+)0(

①0,0<>b a 作图如下

1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞

2.值域：R

3.奇偶性：奇函数

4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.

②0,0>

1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞

2.值域：R

3.奇偶性：奇函数

4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

对勾函数的性质及图像

一、引言

在数学中，对勾函数是一种常见的函数类型，其性质和图像具有一定的特点。

本文将探讨对勾函数的定义、性质以及绘制其图像的方法。通过深入研究对勾函数，我们可以更好地理解其在数学中的应用和意义。

二、对勾函数的定义

对勾函数通常用符号\( y = \sin(x) \) 表示，其中\( \sin \) 代表正弦函数。正弦

函数是周期性函数的一种，其定义域为实数集，值域在区间\([-1, 1]\)内取值。对

勾函数具有以下几个重要的特点：

1.周期性：对勾函数以\( 2\pi \)为一个完整的周期，在每个周期内函

数值重复。

2.奇函数性质：对勾函数关于原点对称，即\( \sin(-x) = -\sin(x) \)，这

是因为正弦函数是奇函数。

3.连续性：对勾函数在其定义域内是连续的。

三、对勾函数的性质

对勾函数具有许多重要的性质，包括但不限于：

1.基本性质：对勾函数在整个实轴上都有定义，且处处可导。

2.最值点：对勾函数在\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)和\( x = -

\frac{\pi}{2} + 2k\pi \)处取得极值，其中\( k \)为整数。

3.周期性：对勾函数的周期为\( 2\pi \)，即\( \sin(x) = \sin(x + 2k\pi)

\)，其中\( k \)为整数。

4.导数性质：对勾函数的导数为余弦函数，即\( y’ = \cos(x) \)。

5.零点：对勾函数在\( x = k\pi \)处取零点，其中\( k \)为整数。

四、对勾函数的图像

对勾函数图象性质

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab 同号）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质

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对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

(三)对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一)对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作

f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域