名思教育辅导讲义
当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0）
2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。 当x =-a
2b
时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数
y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。
当-
a
2b
=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。
3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。
当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。 对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。
4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即： 当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。
5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。
6．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx +c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。 五、二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx +c =0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）
二、考点分析
考点一、图象
1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立 例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ①
；②
；③
；④
；⑤
，（
的实数）其
中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2、根据二次函数图象提供的信息，比较与a 、b 、c 相关的代数式的大小
例2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，且P=| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q=| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为 。
3、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解
例3、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为。
4、根据二次函数图象提供的信息，确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标的点的位置
例4、已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限。
5、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象
例5、在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可能是——。
6、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的围
例6、如图6所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是。
考点2、考抛物线的解析式
求二次函数的解析式，是重点容。
1、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式
例1、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。
2、已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式
例2、已知抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。
求该抛物线的解析式。
3、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式
例3、在直角坐标平面，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．
求该二次函数的解析式。
4、已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式
例4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析
式。
5、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式
例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，接着再向上平移6个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________。
例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为
例7、在同一坐标平面，图象不可能由函数 y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）
Ａ． y=2（x+1）2-1 Ｂ．y=2x2+3 Ｃ． y=-2x2-1 Ｄ．
6、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式
结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-（a2x+bx+c）。
例8、抛物线y=2（x-1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式为。
7、抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式
结论：抛物线y= a2x+bx+c关于y 轴的对称抛物线为：y=a2x-bx+c。
例9、抛物线y=2（x-1）2+3关于y轴对称的抛物线的解析式为。
8、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式
结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-a2x+bx-c。
例10、抛物线y=2（x-1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为。
考点3、图形面积最优化问题
1、只围二边的矩形的面积最值问题
例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？
2、只围三边的矩形的面积最值
例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
4、截出图形面积的最值问题
例4、如图4,△ABC是一块锐角三角形的余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN ,使长方形PQMN的边QM在BC上,其余两点P、N在AB、AC
上。
（1）问如何截才能使长方形PQMN的面积S最大？
（2）在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的
材料△APN、△BPQ △NMC 剪下再拼成（不计接缝
用料和损耗）一个与长方形零件PQMN大小一样的长
方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。
5、采光面积的最值
例5、 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。
（1） 求窗框的透光面积S （平方米）与窗框的宽x （米）之间的函数关系
式；
（2） 求自变量x 的取值围；
（3） 问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？
三、课堂练习
一、选择题：
1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）
A. 直线3-=x
B. 直线3=x
C. 直线2-=x
D. 直线2=x
2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),
(a
c
b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ）
A. 042>-ac b
B. 042=-ac b
C. 042<-ac b
D. ac b 42-≤0
4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，
则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c
5. 已知反比例函数x
k
y =
的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） O
x
y
校长签字：___________ 家长签字：___________