南昌航空大学2011 常微分方程B卷

《常微分方程》期末试卷(16)班级 学号 姓名得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 518．解 由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。

常微分方程试题模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是 ．2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是 ．3．线性方程0y y ''+=的基本解组是 ．4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x=初值解惟一的 条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．积分方程11()1()d xy x y s s s =+⎰的解是（ ）． （A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x =7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=x x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 8．方程⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,ln 00d d y y y y x y 当当， 在xoy 平面上任一点的解（ ）． （A ）都不是惟一的 （B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交 （D ）都与x 轴相切 9．平面系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（ ）． （A ）不稳定结点 （B ）稳定焦点 （C ）不稳定焦点 （D ）鞍点10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（ ）零点．（A ）无 （B ）只有一个 （C ）至多只有有限个 （D ）有无限个三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分：11. 2211d d xy x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--=13. 2y xy y ''=+14．012)(2=+'-'y x y15．03222=-'-''y x y y y四、计算题（本题15分）16．d d d 4d x x y t y x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩五、证明题（本题15分）17．设函数()f t 在(,)-∞+∞上连续且有界，求证：对任意的00(,)t x ，方程 )(d d t f x t x =+ 满足00()x t x =的解在0[,)t +∞上有界．。

《常微分方程》期末试卷(16)班级 学号 姓名得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e-=+x 2e 51 8．解 由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。

高等数学（下）期中测试题一、填空题（每小题3分，共30分。

写出各题的简答过程，并把答案填在各题的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分）。

1．=-+→→24)sin(lim0xy xy y x 。

2．设332)1)(1(),(y x y x yxy x f +-++=，则=)1,1(x f 。

3．设2lny xx z =，则=∂∂∂y x z2 。

4．设x ye z =，则===21y x dz。

5．设,62332),,(222z y x z y x z y x f --+++=则=)1,1,1(gradf 。

6．设D 是圆形闭区域：422≤+y x ，则=+⎰⎰Ddxdy y x )4(22 。

7．曲面222y x z --=与曲面22y x z +=所围成的立体的体积是 。

8．B A 是x y 22=上从)2,2(-A 到)2,2(B 的一段弧，则=+⎰BA x d yy d x 。

9．设L为椭圆12222=+by ax取顺时针方向，则=+-⎰L xdy ydx 3 。

10．设Γ为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上对应于θ从0到π的一段弧，则=-+⎰Γydz zdy dx x 2。

二、选择题（每小题4分，共40分。

写出各题的简答过程，并把代表正确答案的选项的标号填在 题后的括号中，仅填答案标号不写简答过程或只写简答过程不填答案标号均不给分）。

11．设xy z ye xe e +=，则=-∂∂+∂∂1y z x z （ ）。

A ．2-++xyy x yexe ee ； B ．xyy x ye xe ee ++； C ．yx e e +； D ．xy ye xe +。

12．曲线323,2x z x y ==在2=y 的点处的切线方程为（ ）。

A ．934211±=-=±z y x ； B ．934211±=--=±z y x ； C ．934211±=±-=±z y x ； D ．934211±=-=±z y x 。

2010-2011学年第二学期常微分方程考试AB 卷答案理学院年级信息与计算科学专业 填空题（每题4分，共20分）1.形如)()('x Q y x P y +=（)(),(x Q x P 连续）的方程是一阶线性微分 方程，它的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰=c dx dxx P e x Q dx x P e y )()()(.2.形如0y y '''-=的方程是3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=.3.形如1111110n n nn n n n n d y d y dyx a x a x a y dx dx dx----++++=的方程为欧拉方程,可通过变换t x e =把它转化成常系数方程.4.2(1)0,y dx x dy ++=满足初始条件：x =0,y =1的特解11ln 1yx=++5．5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是: (,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1．dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u ,则dx dy =dxdu-1……………………….3 dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c (5)2．()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x解：两边同乘以y x 2得：()()0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3)故方程的通解为：c y x y x=+5324 (5)3．2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy=，则2p x y +=， 两边对x 求导，得dxdp pp 21+= pp dx dp 21-=，……………………….3 解之得()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2， (4)且y=x+1也是方程的解，但不是奇解 (5)4.04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，42λ=，52λ=-............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-. (5)5.4523x x x t ''''''--=+解：特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-= 齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3)又因为=λ0是特征根，故可以取特解行如2x At Bt =+代入原方程解得A=1425，B=25- (4)故通解为x=5212325t t c e c e c t t -++- (5)6.2ln 0,xy y y '-=初值条件:y(1)=e解:原方程可化为ln dy y y dx x=………………………1 分离变量可得ln dy dxy y x=…………………………………………………..3两边积分可得ln y cx =…………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解:ln 2y x = (5)二、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于该切线的斜率. 解：设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为：dyy xdx-……………………….3 由题意得dyy x x dx-=即11dy y dx x =- 也即ydx xdy dx -+=- 两边同除以2x ，得2ydx xdy dxx x-+=-………………….5 即()ln yd d x x =- (7)即ln y cx x x =+……………………….10 为方程的解。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、 考试所用时间：120分钟。

3、 考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 ________________ 条件 是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）.（A ）上半平面 （B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓 班试卷份数年月 日9、微分方程xlnx y y 的通解 （）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间年月日dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e x dx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝U u x-du ，代入上式，得dx dxdu x 1 u dx分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解 对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解： 由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。

2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB 卷答案理学 院 年级 信息与计算科学 专业填空题（每题4分，共20分）1. 形如)()('x Q y x P y += （)(),(x Q x P 连续）的方程是 一阶线性微分 方程，它的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰=c dx dxx P e x Q dx x P e y )()()( . 2. 形如0y y '''-=的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=.3. 形如1111110n n nn n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx----++++=L L 的方程为 欧拉 方程, 可通过变换t x e =把它转化成常系数方程.4. 2(1)0,y dx x dy ++= 满足初始条件：x =0,y =1的特解11ln 1y x=++5．5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是:(,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1．dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u ,则dx dy =dxdu-1 ……………………….3 dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. (5)2．()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x解：两边同乘以y x 2得：()()0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3)()()05324=+y x d y x d故方程的通解为：c y x y x =+5324 (5)3．2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy=，则2p x y +=， 两边对x 求导，得dxdp pp 21+=pp dx dp 21-=， (3)解之得 ()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2， (4)且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. (5)4. 04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，42λ=，52λ=- ............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=- . (5)5. 4523x x x t ''''''--=+解：特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-=齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3)又因为=λ0是特征根，故可以取特解行如2xAt Bt =+%代入原方程解得A=1425，B=25- (4)故通解为x=5212325t t c e c e c t t -++- (5)6. 2ln 0,xy y y '-=初值条件:y(1)=e 解: 原方程可化为ln dy y ydx x=………………………1 分离变量可得ln dy dx y y x= ...........................................................3 两边积分可得ln y cx = ...........................................................4 将初值代入上式求得方程的解: ln 2y x = . (5)二、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于该切线的斜率. 解： 设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为：dyy xdx - ……………………….3 由题意得 dyy x x dx -=即 11dy y dx x=-也即 ydx xdy dx -+=-两边同除以2x ，得2ydx xdy dxx x-+=- ………………….5 即()ln yd d x x=- ............................7 即 ln y cx x x =+ . (10)为方程的解。

数学必修二：常微分方程习题答案1. 问题1已知常微分方程dy/dx = x + y，求解该微分方程。

解答：将该微分方程重新整理，得到(dy/dx) - y = x。

这是一个一阶线性常微分方程。

首先求解其齐次方程(dy/dx) = y。

解齐次方程得到y = ce^x，其中c为任意常数。

然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^x，其中u(x)是待定函数。

将y代入原方程得到(u'e^x + u)e^x - u(x)e^x = x，化简可得u'e^x = x，解这个常微分方程得到u(x) = (1/2)x^2 + C1，其中C1为常数。

因此，原方程的通解为y = ce^x + (1/2)x^2 + C1e^x，其中c和C1为任意常数。

2. 问题2已知常微分方程 dy/dx = 2xy，求解该微分方程。

解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx - 2xy = 0。

这是一个一阶线性齐次微分方程。

首先求解其齐次方程 dy/dx = 2xy，将其变形为 dy/y = 2x dx，并对两边同时积分，得到 ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。

解出y为 y = Ce^(x^2)，其中C为常数。

3. 问题3已知常微分方程 dy/dx + y = 3e^(-x)，求解该微分方程。

解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx = 3e^(-x) - y。

这是一个一阶非齐次线性微分方程。

首先求解其齐次方程dy/dx = -y，得到y = Ce^(-x)，其中C为常数。

然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^(-x)，其中u(x)是待定函数。

将y代入原方程得到 (u'e^(-x) - u)e^(-x) = 3e^(-x)，化简可得 u' = 3，解这个常微分方程得到u(x) = 3x + C1，其中C1为常数。

因此，原方程的通解为 y = ce^(-x) + (3x + C1)e^(-x)，其中c和C1为任意常数。