2015-2016年河北省衡水市武邑中学高二(上)期中数学试卷及参考答案

河北省武邑中学2015-2016学年高二上学期周日（1。

10）考试数学试题一、选择题：（本大题共12个小题,每题只有一个正确答案，每题5分,共60分)。

1.设:12,:21x p x q <<>，则p 是q 成立的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件2.命题“存在0xR ∈，使得020x ≤"的否定是( ) A ．不存在0x R ∈，使得020x >B ．存在0x R ∈，使得020x >C ．对任意x R ∈，20x >D ．对任意x R ∈,20x ≤4.设{}na 是等差数列，下列结论中正确的是( ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则2123()()0a a a a -->5．已知函数ln (),()1ln k x f x k R x =∈+，且(2)1f =,则1()2f 的值等于（ ）A ．—1B ．1C ．0D ．与k 有关6．若在曲线(,)0f x y =（或()y f x =)上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线(,)0f x y =或()y f x =的“自公切线”．下列方程：①221x y -=;②2y x x =-；③3sin 4cos y x x =+；④214x y +=-“自公切线"的有( ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为（ )A ．2B ．12C ．3D ．1 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆222()x a y a -+=截得的弦长为，则双曲线C 的离心率为（） A ．2 BCD9．已知(1,sin ),(cos 2,2sin 1),(,)2a b πααααπ==-∈，若15a b =，则tan()4πα+的值（ )A ．23B ．13-C ．27D ．17- 10 ．在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π 11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．6 12．已知F 是抛物线2yx =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB =（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ )A ．2B ．3 CD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13。

2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高二（上）周考数学试卷（四）一、选择题：1．设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．62．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．63．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=a x（a＞1），则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（2）＜g（3）C．f（2）＜g （0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）4．下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y=+是偶函数，但不是奇函数；③函数f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数f（x+1）的定义域为[﹣1，3]；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．6．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．27．要得到函数y=2sin2x的图象，只需将函数y=2sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形9．已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．如果执行程序框图，那么输出的S=（）A．2450 B．2500 C．2550 D．265211．搞某一市场调查，规定在大都会商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止，这种抽样方式是（）A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法12．有20位同学，编号从1﹣20，现在从中抽取4人的作问卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（）A．5，10，15，20 B．2，6，10，14 C．2，4，6，8 D．5，8，11，14二、填空题：13．在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1+a）+f（1﹣a2）＜0，则实数a的取值范围是．14．等差数列{a n}的首项a1=1，且a2是a1和a6的等比中项，那么公差d= ．15．函数f（x）=cos2x+sinxcosx在[﹣，]的取值范围是．16．已知向量，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．17．已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为．18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．三、解答题：19．（1）解不等式：；（2）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|0≤ax+1≤3}．若A∪B=B，求实数a的取值组成的集合．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，cos=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a+c=2，b=2，求△ABC的面积．22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．23．已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．备选：24．（2014浙江校级一模）已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是．25．（2014春金华期末）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值为．2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高二（上）周考数学试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题：1．设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．6【分析】先求出集合A元素，根据集合关系和运算即可得到结论．【解答】解：A={x|x2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∪B={0，1，2}，则0∈B，则B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本关系的应用，比较基础．2．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】本题的关键是根据A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数【解答】解：∵A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}则B中所含元素的个数为：3故选：B【点评】本题主要考查集合的元素，属于基础题．3．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=a x（a＞1），则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（2）＜g（3）C．f（2）＜g （0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）【分析】根据奇偶性条件知，用﹣x换x，由f（x）﹣g（x）=e x再构造一个方程，求得f （x），g（x）比较即可．【解答】解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=a x（a＞1），∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=a﹣x（a＞1），即﹣f（x）﹣g（x）=a﹣x（a＞1），两式联立解得f（x）=，g（x）=﹣，则g（0）=﹣1，f（2）=，f（3）=，则f（3）＞f（2）＞g（0），故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性求出函数f（x）和g（x）的表达式是解决本题的关键．4．下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y=+是偶函数，但不是奇函数；③函数f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数f（x+1）的定义域为[﹣1，3]；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①运用判别式大于0且两根之积小于0，即可求出a的范围；②先求函数的定义域，再化简函数，判断函数的奇偶性；③由函数的定义域的概念，令﹣2≤x+1≤2，求出x的范围，即为所求函数的定义域；④画出曲线y=|3﹣x2|，直线y=a，通过观察，即可得到交点个数．【解答】解：①若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则判别式大于0且两根之积小于0，即（a﹣3）2﹣4a＞0且a＜0，解得a＜0，故①对；②函数y=+的定义域为{﹣1，1}，即y=0，则函数既是偶函数，又是奇函数，故②错；③函数f（x）的定义域是[﹣2，2]，令﹣2≤x+1≤2，则﹣3≤x≤1，则函数f（x+1）的定义域为[﹣3，1]，故③错；④画出曲线y=|3﹣x2|，直线y=a，则曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，m=0，2，3，4，则m的值不可能是1，故④对．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，抽象函数的定义域和函数的图象，以及二次方程实根的分布，属于基础题．5．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．6．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．2【分析】由等比数列可得x+3y=1，可得+=（+）（x+3y）=2+，由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，∴3x33y=3x+3y=3，即x+3y=1，∴+=（+）（x+3y）=2+≥2+2=4，当且仅当即x=3y=时取等号，∴+的最小值为：4故选：C【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．7．要得到函数y=2sin2x的图象，只需将函数y=2sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位可得函数y=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】在△ABC中，总有A+B+C=π，利用此关系式将题中：“2cosBsinA=sinC，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．【解答】解析：∵2cosBsinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C【点评】本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路．9．已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为三棱锥，侧面与底面垂直，其外接球即为分别以OA，OB，OC为长宽高的长方体的外接球，由此求出OC的值，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且侧棱CO与底面OAB垂直，其直观图如图：∵其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，∴OA=OB=，其外接球即为分别以OA，OB，OC为长宽高的长方体的外接球，设OC=x，∵三棱锥的外接球的半径为，∴2==，解得：OC=2，∴棱锥的体积V=××××2=．故选C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图画出几何体的直观图，求相关几何量的数据是关键．10．如果执行程序框图，那么输出的S=（）A．2450 B．2500 C．2550 D．2652【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．∵S=2×1+2×2+…+2×50=2××50=2550故选C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．11．搞某一市场调查，规定在大都会商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止，这种抽样方式是（）A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法【分析】本题既不是系统抽样，又不是分层抽样，它的形式类似于简单随机抽样，但是它不符合简单随机抽样的两种形式抽签法和随机数表法，不属于三种抽样方法的任意种．【解答】解：由题意知；本题既不是系统抽样，又不是分层抽样，它的形式类似于简单随机抽样，但是它不符合简单随机抽样的两种形式，故选D，【点评】我们鼓励学生从自己的生活中提出与典型案例类似的统计问题，在学生提出这些问题后，要引导学生考虑问题中的总体是什么，要观测的变量是什么，如何获取样本，通过这样一个过程，更能激起学生的学习兴趣．12．有20位同学，编号从1﹣20，现在从中抽取4人的作问卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（）A．5，10，15，20 B．2，6，10，14 C．2，4，6，8 D．5，8，11，14 【分析】根据系统抽样的定义，判断样本间隔是否相同即可．【解答】解：根据题意编号间隔为20÷4=5，则只有A，满足条件，故选：A．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．二、填空题：13．在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1+a）+f（1﹣a2）＜0，则实数a的取值范围是（﹣1，0）．【分析】把f（1+a）+f（1﹣a2）＜0利用奇函数的定义转化为f（1+a）＜f（a2﹣1），再利用f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数可得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（1+a）+f（1﹣a2）＜0⇔f（1+a）＜f（a2﹣1），∵函数f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，∴∴所求a的取值范围是﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用．在利用函数的奇偶性解题时，要注意自变量一定要在函数定义域内．14．等差数列{a n}的首项a1=1，且a2是a1和a6的等比中项，那么公差d= 0或3 ．【分析】根据a2是a1和a6的等比中项，a1=1，由等比数列的性质列出方程，求出方程的解即可得到公差的值．【解答】解：由a2是a1与a6的等比中项得：a22=a1a6，即（a1+d）2=a1（a1+5d），又a1=1，化简得：d2﹣3d=0，解得：d=0或3．故答案为：0或3．【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．15．函数f（x）=cos2x+sinxcosx在[﹣，]的取值范围是[0，] ．【分析】利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，利用x的范围确定2x+的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）max=+=，f（x）min=﹣+=0，∴函数f（x）的取值范围是[0，]，故答案为：[0，]．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的理解和运用．16．已知向量，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．【分析】由条件可得求得=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围求出θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，求出=1，是解题的关键，属于中档题．17．已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为7 ．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时的最小值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．因此， =（3a+4b）（）= [25+12（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．故答案为：7【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求的最小值．着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=，EF=∴cos∠EB1F=，故答案为【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题：19．（1）解不等式：；（2）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|0≤ax+1≤3}．若A∪B=B，求实数a的取值组成的集合．【分析】（1）利用函数y=log2x在（0，+∞）的单调性和分式不等式的解法即可得出．（2）利用一元二次方程和不等式的解法、集合的运算即可得出．【解答】解：（1）由得，∴．由化为⇔x＜0或x=1．由化为⇔x（x2+6x+1）＞0⇔或，解得x＞0或．从而得原不等式的解集为．（2）法一：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，又∵B={x|0≤ax+1≤3}={x|﹣1≤ax≤2}，∵A∪B=B，∴A⊆B①当a=0时，B=R，满足题意．②当a＞0时，，∵A⊆B∴，解得0＜a≤1．③当a＜0时，，∵A⊆B∴，解得．综上，实数a的取值组成的集合为．法二：∵A∪B=B，∴A⊆B又A={1，2}，∴，∴，∴．∴实数a的取值组成的集合为．【点评】本题考查了对数函数的单调性、分式不等式的解法、一元二次方程和不等式的解法、集合的运算、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）当n=1时，a1=S1，解得a1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用对数的运算性质可得b n，利用c n==．利用“裂项求和”即可得出：数列{c n}的前n项和T n=．由于对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，可得，化为=，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，∴．（2）∵b n=log2a n==n，∴c n==．∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，∴，化为=．∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．∴，∴．∴实数k的取值范围是．【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，cos=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a+c=2，b=2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）已知等式左边利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式求出cosB的值即可；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cos=，∴cos=sin=，则cosB=1﹣2sin2=；（Ⅱ）∵b=2，cosB=，即sinB==，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣ac，将a+c=2代入得：ac=6，则S△ABC=acsinB=×6×=2．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．【分析】（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C 平行，在利用PD⊂平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD 平行；（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．【解答】解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD∥B1C．又∵PD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD∴B1C∥平面A1BD．（2）∵正三棱住ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC．又∵BD⊥AC∴A1D⊥BD∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角．∵AA1=，AD=AC=1∴tan∠A1DA=∴∠A1DA=，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是．（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC∴BD⊥平面A1ACC1，∵AM⊂平面A1ACC1，∴BD⊥AM∵A1D∩BD=D∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=，∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=．∴sin∠APM=∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．【点评】此题重点考查了线面平行的判定定理，线面角的概念及二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解角的大小，及学生的空间想象能力及计算能力．23．已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．【分析】（1）由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程；（2）由垂径定理可得，过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，求出过P点的直径的斜率，进而求出过P点的最短弦所在直线的斜率，利用点斜式，可以得到过P点的最短弦所在直线的方程．【解答】解：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．（2）圆的圆心坐标为C（1，﹣2），则过P点的直径所在直线的斜率为﹣，由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直∴过P点的最短弦所在直线的斜率为2，∴过P点的最短弦所在直线的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．由垂径定理，判断出过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直是解答本题的关键．备选：24．（2014浙江校级一模）已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是m＞．【分析】先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围．再根据在D内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）==，构造新函数h（x）=，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围．【解答】解：∵M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数，可得且a＞0，即，解得a，故M={a|a}∵N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，所以可得N={b|1＜b≤2}∴D=M∩N=（1，]∵是定义在R上的奇函数∴f（0）=0可得n=0∴f（x）=，又在D内没有最小值∴f（x）==，定义在R上的奇函数在D内没有最小值，所以分母恒为正，即m必须为正数，若m＞0，令h（x）=，则在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：由于h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可解得x＞，令h′（x）＜0，可解得x＜，由此知，函数h（x）在（0，）是减函数，在（，+∞）上是增函数，当≥时，即m≥时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意当≤1时，即m≤1时，函数h（x）在D上是增函数，存在最大值h（），不符合题意当1＜＜时，即1＜m＜时，函数h（x）在（1，）是减函数，在（，）上是增函数，必有h（1）＞h（）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m＞+，解得m＞，符合题意综上讨论知，m的取值范围是m＞，故答案为m＞【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题．25．（2014春金华期末）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值为857 ．【分析】利用取整函数的性质和对数的运算法则求解．【解答】解：由题意可知：设[log3a]=blog3a=b+x，a，b为整数a=3b+x，0≤x＜1，因为y=3x为单调增函数当a在[1，2]时因为30=1，31=3则0＜b+x＜1所以b=0时，[log31]+[log32]=0当a在[3，8]时同理1＜b+x＜2b=1时，[log33]+[log34]+…+[log38]=1b=2时，[log39]+[log310]+…+[log326]=2．b=3时，[log327]+[log328]+…+[log380]=3．b=4时，[log381]+[log382]+…+[log3242]=4．b=5时，[log3243]=5．∴[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．故答案为：857．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意取整函数的性质和对数的运算法则的合理运用．。

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分也不必要条件2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q3．如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣24．若存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a≤15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．36．曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45°C．﹣45°D．135°7．已知点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为（）A．﹣=1（y≥3）B．=1C．﹣=1（x≥3）D．﹣=18．点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（）A．（±，1）B．（，±1） C．（，1）D．（±，±1）9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣210．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．211．已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A． +=4 B． +=2C．e12+e22=4 D．e12+e22=212．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是．14．椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为．15．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．16．①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P不一定在该椭圆外部；②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c（c为半焦距）；③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x≤3．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．20．已知椭圆+=1及直线l：y=x+m，（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．21．已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=﹣2e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）+在上是单调增函数，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分也不必要条件【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出条件q和¬q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，∴¬q：0≤x≤1．∴p是¬q成立必要不充分条件．故选B．2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．3．如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣2【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】利用方程表示焦点在x轴上的椭圆，建立不等式，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴a2＞a+6＞0，解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2∴实数a的取值范围是a＞3或﹣6＜a＜﹣2故选D．4．若存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a≤1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先求对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的取值范围，再求该范围的补集即可．【解答】解：命题：存在x0∈R，使的否定为：对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立，下面先求对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的范围：①当a=0时，该不等式可化为2x≥0，即x≥0，显然不合题意；②当a≠0时，则有，解得a≥1，综①②得a的范围为：a≥1，所以，存在x0∈R，使的a的取值范围为：a＜1．故选A．5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=b，由a，b，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，由两条渐近线互相垂直，可得﹣•=﹣1，可得a=b，即有c==a，可得离心率e==．故选：A．6．曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45°C．﹣45°D．135°【考点】直线的倾斜角．【分析】本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点（1，）处切线的倾斜角，我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点（1，）的斜率即该点的导数值，然后再计算倾斜角．【解答】解：∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点（1，）处切线的斜率为：﹣1故曲线在点（1，）处切线的倾斜角为：135°故选D7．已知点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为（）A．﹣=1（y≥3）B．=1C．﹣=1（x≥3）D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由已知得动点P的轨迹是以F1（﹣4，0）、F2（4，0）为焦点，实轴长为6和双曲线的右支，由此能求出【解答】解：∵点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，∴动点P的轨迹是以F1（﹣4，0）、F2（4，0）为焦点，实轴长为6和双曲线的右支，∴（x≥3）．故选：C．8．点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（）A．（±，1）B．（，±1） C．（，1）D．（±，±1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据已知，点P是椭圆+=1上的一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，根据该三角形的底边|F1F2|=2，我们易求出P点的横坐标，进而求出P点的纵坐标，即可得到答案．【解答】解：设P（x0，y0），∵点P是椭圆+=1上的一点，∴+=1，∵a2=5，b2=4，∴c=1，∴=|F1F2|•|y0|=|y0|=1，∴y0=±1，∵+=1，∴x0=±．故选：D．9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故选B．10．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．11．已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A． +=4 B． +=2C．e12+e22=4 D．e12+e22=2【考点】椭圆的简单性质．【分析】设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，并表示出e1和e2，根据椭圆和双曲线的定义、勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论．【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，则e1=，e2=，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|=2a ②又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得，|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2 ④将④代入③得，a2+m2=2c2，即，即，故选：B．12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1．利用，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为： +=1故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．【解答】解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=y，p=∴焦点坐标为（0，）．当a＜0时，同样可得．故答案为：（0，）．14．椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，建立方程组，求解即可得椭圆方程．【解答】解：∵椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，∴，解得a2=4，b2=2，c2=2，∴椭圆C的方程为：．故答案为：．15．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．【考点】导数的几何意义；直线的点斜式方程．【分析】先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．【解答】解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）S=，故答案为：．16．①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P不一定在该椭圆外部；②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c（c为半焦距）；③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1．其中真命题的序号为②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据点与椭圆的位置关系，可判断①；根据离心率，求出b，c关系，可判断②；求出椭圆和双曲线的焦点，可判断③；求出抛物线上点到焦点的最小距离，可判断④【解答】解：①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P一定在该椭圆外部，故错误；②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c=a（c为半焦距），正确；③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点（，0），正确；④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为=1，正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p≠0），依题意，可求得AB=2|p|，利用△OAB的面积等于4，即可求得p，从而可得此抛物线的标准方程．【解答】解：由题意，设抛物线方程为y2=2px（p≠0），焦点F（），直线l：x=，∴A、B两点坐标为（），（），∴AB=2|p|．∵△OAB的面积为4，∴•||•2|p|=4，∴p=±2．∴抛物线的标准方程为y2=±4x．18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x≤3．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（I）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；（II）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）对于命题p：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由已知q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（Ⅱ）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x≤2或x＞3}，则0＜a≤2且3a＞3，∴实数a的取值范围是1＜a≤2．19．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）先求函数的导函数，然后根据1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，则f'（1）=0，f'（﹣1）=0，建立方程组，解之即可求出a与b的值；（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函数的单调性，从而函数的g（x）的极值点．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（﹣1）=3﹣2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）∵由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g'（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g'（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g'（x）＞0，∴x=﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．20．已知椭圆+=1及直线l：y=x+m，（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程，求得9x2+6mx+2m2﹣8=0，由△≥0，即可求得实数m的取值范围；（2）由（1）可知，由韦达定理及弦长公式可知丨AB丨=•=•，当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．【解答】解：（1）将直线方程代入椭圆方程：，消去y，整理得：9x2+6mx+2m2﹣8=0，由△=36m2﹣36（2m2﹣8）=﹣36（m2﹣8），∵直线l与椭圆有公共点，∴△≥0，即﹣36（m2﹣8）≥0解得：﹣2≤m≤2，故所求实数m的取值范围为；（2）设直线l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可知：利用韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，故丨AB丨=•=•=•，当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．21．已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．【解答】解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．设椭圆的标准方程是．则2a=AC+BC，即，所以a=2．所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．所以椭圆的标准方程是．（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．因为M，N在椭圆上，所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．则，若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，，即，得k2=2，经验证，此时△=48＞0．所以直线l的方程为，或．即所求直线存在，其方程为．22．已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=﹣2e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）+在上是单调增函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）a=﹣2e时，求出f′（x），利用x变化时，f'（x），f（x）的变化情况可求函数f（x）的单调区间和极值；（2）问题转化为a≥﹣2x2在恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=﹣2e时，f′（x）=2x﹣=，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：x （0，）（，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）极小值∴f（x）的单调递减区间是（0，）；单调递增区间是（，+∞），∴极小值是f（）=0，无极大值；（2）g（x）=x2+alnx+，x＞0，g′（x）=2x+﹣，∵函数g（x）在上是单调增函数，∴g′（x）≥0在恒成立，即a≥﹣2x2在恒成立，令h（x）=﹣2x2，h′（x）=﹣﹣4x＜0在恒成立，∴h（x）在单调递减，∴h（x）max=h（1）=0，∴a≥0．2017年1月6日。

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）2．已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．3．点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B． C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）4．若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．5．若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．6．已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．7．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．79．双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．1610．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，21，21，+∞）D．（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4） B． C．2，+∞）【考点】抛物线的简单性质．【分析】曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2，|BD|≤2，解出即可．【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为hslx3y3h2，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=6．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】根据空间向量的坐标运算，求出﹣，再求它的模长．【解答】解：∵=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），∴﹣=（2，﹣4，4），∴|﹣|==6．故答案为：6．14．抛物线y=4x2的准线方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．15．已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是（﹣，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，求得双曲线的方程，代入y=kx，解方程可令3﹣k2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得|MN|=4，|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，由a=1，c=2，可得b2=c2﹣a2=3，可得方程为x2﹣=1（x＞0），由y=kx代入双曲线的方程，可得：（3﹣k2）x2=3，由题意可得3﹣k2＞0，解得﹣＜k＜．故答案为：（﹣，）．16．如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．【考点】圆锥曲线的范围问题；抛物线的简单性质；平面与圆锥面的截线．【分析】根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为4，∴OH=EH=2．∴OE=2．在平面CED内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．C（2，4），∴16=2p•（2），解得p=2．F（，0）．即OF=，EF=，∵PB=4，PE=2，∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由￢q与p∧q均为假命题，可得q为真命题，p为假命题．分别求出两个命题对应的参数的范围，进而可得答案．【解答】解：若命题p为真，则有0，即，解得m≤﹣1或m≥1，若命题q为真，则有1＜＜4，解得：0＜m＜15，∵￢q与p∧q均为假命题，∴q为真命题，p为假命题．则有解得0＜m＜1．故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．18．已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．（1）由x=my+6与抛物线y2=4x得y2﹣4my﹣24=0，利用•=x1x2+y1y2，求•；【分析】=|OM|•|y1﹣y2|=3=12=12，求出m，即可求直线l （2）S△OAB的方程．【解答】解：（1）设直线l的方程为x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+6与抛物线y2=4x得y2﹣4my﹣24=0，显然△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣24，x1x2=36可得•=x1x2+y1y2=12．…=|OM|•|y1﹣y2|=3=12=12，（2）S△OAB∴m2=4，m=±2．那么直线l的方程为x+2y﹣6=0和x﹣2y﹣6=0…19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，， }为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用向量的加法，即可得出结论；（2）连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，证明MN∥BC1，即可证明结论；（3）以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面A1BD的法向量，即可求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】（1）解：．（2）证明：连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，又M为A1B的中点，∴MN∥BC1，又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（3）解：∵DA、DC、DD1两两垂直，∴可以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．设正方体棱长为2，则M（2，1，1），N（1，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴，，，，∵，，∴，，∴为平面A1BD的法向量，设直线MN与平面A1BD所成的角为θ，则，所以直线MN与平面A1BD所成角的正弦值为．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E 为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出AB．（2）分别求出，，利用向量法能求出异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，2，0），E（0，1，），=（0，1，）．设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），=（m，2，0）．设=（x，y，z）为平面ACE的法向量，则，取z=2，得=（，﹣1，2）．…又=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为，∴由题设知|cos＜＞|=，即，解得m=1，即AB=1．…（2），∴，，…，∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为．…22．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，解出即可得出．（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，由△＞0，解得t范围，利用根与系数的关系可得|x1﹣x2|，由此可得：四边形APBQ的面积S．②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，得a=4，∴椭圆C的方程为．（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由韦达定理得x1+x2=﹣t，．∴，由此可得：四边形APBQ的面积，∴当t=0，．②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），由整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，∴，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴，，，所以直线AB的斜率为定值．2016年11月28日。

河北武邑中学2015-2016高二上学期周日试题（1.24）数学（文）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列有关命题的说法正确的是（ )A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为:“若21x =，则1x ≠”B ．“1m =”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件C ．命题“R x ∃∈，使得210xx ++<”的否定是:“R x ∀∈，均有210x x ++<” D ．命题“已知x ，y 为一个三角形的两内角，若x y =,则sin sin x y =”的逆命题为真命题3。

复数z 为纯虚数，若()3i z a i -=+（i 为虚数单位),则实数a 的值为（ )A ．3-B ．3C ．13- D ．134.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶5.设R a ∈,若函数x y eax =+，R x ∈，有大于零的极值点，则( ) A ．1a <- B ．1a >- C ．1a e <-D ．1a e >- 6.设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12FF 3b P +P =，129F F 4ab P ⋅P =，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．94D ．3 7。

若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标,则点P 落在圆2210x y +=内（含边界）的概率为（） A ．16B ．14C ．29D ．736 8.已知抛物线214y x =-的焦点为F ，则过F 的最短弦长为（ ) A ．18 B ．14C ．4D ．8 9.设曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =( ） A ．2 B ．2- C ．12-D ．1210.观察下列事实1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4,2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8，3x y +=的不同整数解(),x y 的个数为12，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则20x y +=的不同整数解(),x y 的个数为（ ）A ．76B ．80C ．86D ．92二、填空题11.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:307:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 （用数字作答）．12。

一、选择题(每小题5分，共0分) 1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法 2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 3．2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为一考生打出分数的茎叶图如图2-1，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,4．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n＝( )A．660 B．720 C．780 D．800．下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃18 13 10 4 －1 杯数/杯2434 39 51 63 若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是( )A．y＝x＋6 B．y＝x＋42 C．y＝－2x＋60 D．y＝－3x＋78.是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是( )A.＝ B.＝ C.＝a＋b D.＝ ．国际羽联规定，标准羽毛球的质量应在[4.8,4.85]g内，现从一批飞行球产品中任取一个，已知其质量少于4.8g的概率为0.1，质量大于4.85g的概率为0.2，则其质量符合规定标准的概率是( ) A．0.3 B．0.7 C．0.8 D．0.9．图2-5是某县参加2014年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，Am(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图2-6是统计图中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( ) 图2-5 图2-6 A．i<9? B．i<8? C. i<7? D．i<6?．抽查10件产品，设事件A为至少有2件次品，则A的对立事件为 ( ) A.至多有2件次品 B．至多有1件次品 C.至多有2件正品 D．至少有2件正品 ．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( ) A. B. C. D. 11．从1,2，…，9这九个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是偶数和至少有一个是奇数．上述事件中是对立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③ ．任取一个3位正整数n，则对数log2n是一个正整数的概率为( ) A. B. C. D．以上全不对 二、填空题(每小题5分，共20分) 1．下列四种说法中，数据4,6,6,7,9,3的众数与中位数相等；一组数据的标准差是这组数据的方差的平方；数据3,5,7,9的标准差是数据6,10,14,18的标准差的一半；频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数．其中正确的有__________(填序号)． 1．超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过80 km/h，否则视为违规．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图，则违规的汽车大约为________辆． 1．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率________． 1．在正方形内有一扇形(见图的阴影部分)，点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外，且在 正方形内的概率为________． 1．(1分)从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05，求下列事件的概率． (1)事件D＝“抽到的是一等品或二等品”； (2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”． 1．(1分)已知A，B，C三个箱子中各装有两个大小相同的球，每个箱子里的球，有一个球标有号码1，另一个标有号码2，现以A，B，C三个箱子中各模一个球． (1)若用数组(x，y，z)中x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x，y，z)的所有情形，并回答一共有多少种？ (2)如果你猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由． 1．(1分)甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1,2,3,4,5,6的6个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否则乙赢． (1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由． ．(1分)设点M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1时按均匀分布出现，试求满足： (1)x＋y≥0的概率； (2)x＋y<1的概率； (3)x2＋y2≥1的概率21．(1分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表： 商店名称 A B C D E 销售额x/千万元 3 5 6 7 9利润额y/百万元 2 3 3 4 5 (1)画出销售额和利润额的散点图； (2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程； (3)据(2)的结果估计当销售额为1亿元时的利润额 22、选作题．(分)甲盒中有红、黑、白3种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白3种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球是不同颜色的概率； (2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的2个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．三、解答题(共分)17．(1分)从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05，求下列事件的概率． (1)事件D＝“抽到的是一等品或二等品”； (2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”． 18．(1分)已知A，B，C三个箱子中各装有两个大小相同的球，每个箱子里的球，有一个球标有号码1，另一个标有号码2，现以A，B，C三个箱子中各模一个球． (1)若用数组(x，y，z)中x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x，y，z)的所有情形，并回答一共有多少种？ (2)如果你猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由． 19．(1分)甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1,2,3,4,5,6的6个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否则乙赢． (1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由． 20．(1分)设点M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1时按均匀分布出现，试求满足： (1)x＋y≥0的概率； (2)x＋y<1的概率； (3)x2＋y2≥1的概率． 21．(1分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表： 商店名称 A B C D E 销售额x/千万元 3 5 6 7 9利润额y/百万元 2 3 3 4 5 (1)画出销售额和利润额的散点图； (2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程； (3)据(2)的结果估计当销售额为1亿元时的利润额． 22、选作题．(分)甲盒中有红、黑、白3种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白3种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球是不同颜色的概率； (2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的2个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)． 解：(1)设事件A＝“取出的2球是相同颜色”，事件B＝“取出的2球是不同颜色”． 则事件A的概率为P(A)＝＝. 由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为P(B)＝1－P(A)＝1－＝. (2)随机模拟的步骤： 第1步：利用计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球． 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n. 第3步：计算的值，则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值． 22．解：(1)销售额和利润额的散点图如图D33. 图D33 (2)销售额和利润额具有相关关系，列表如下： xi 3 5 6 7 9 yi 2 3 3 4 5 615 18 28 45 ＝6，＝3.4，＝112，＝200 所以＝＝0.5， ＝－＝3.4－6×0.5＝0.4. 从而得回归直线方程＝0.5x＋0.4. (3)当x＝10时，＝0.5×10＋0.4＝5.4(百万元)． 故当销售额为1亿元时，利润额估计为540万元． 1．D　2.D3．C　.B　.C　.A　.B　.B 9.B 10．B．C　．B　13.①③ 14．280 三、解答题(共80分) 第三章自主检测 15．解：由题知事件A，B，C彼此互斥， (1)P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7＋0.1＝0.8. (2)P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15. 16．解：(1)数组(x，y，z)所有情形为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)共8种． (2)记 “所摸出三个球号码之和为i”为事件Ai(i＝3,4,5,6)， P(A3)＝，P(A4)＝，P(A5)＝，P(A6)＝. 猜4或5获奖可能性最大． 17．解：所有可能的基本事件共有27个，如图D34. 图D34 (1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图D41可知，事件A的基本事件有1×3＝3(个)，故P(A)＝＝. (2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图D41可知，事件B的基本事件有2×3＝6(个)，故P(B)＝＝. 18．解：(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包含的基本事件为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)共5个，又甲、乙两人取出的球的编号的基本事件共有6×6＝36(个)等可能的结果，故P(A)＝. (2)这种游戏规则是公平的．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3, 3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)． 所以甲胜的概率P(B)＝＝，乙胜的概率P(C)＝1－＝. 因为P(B)＝P(C)，所以这种游戏规则是公平的． 19．解：如图D35，满足|x|≤1，|y|≤1的点组成一个边长为2的正方形，则S正方形ABCD＝4. 图D35 (1)方程x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方，即在ACD内(含边界)． 而SACD＝S正方形ABCD＝2， 所以P(x＋y≥0)＝＝. (2)设点E(0,1)，F(1,0)，则x＋y＝1的图象是直线EF，满足x＋y<1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)， 而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－SEDF＝4－＝， 所以P(x＋y<1)＝＝＝. (3)满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，SO＝π， 所以P(x2＋y2≥1)＝＝. 周日测试 命题人：马倩审题人：张丽娟 班级姓名组号 数学作业 总第（1）期 2015-2016学年高二。

2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）复数z满足•（1+2i）=4+3i，则z等于（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）若A={x||x﹣|＜1}，B={x|≥1}，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A ∩B}，则A×B=（）A．∪ B．∪ C．D．（0，1] 3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn5．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．26．（5分）给定函数y=f（x）的图象如下列图中，经过原点和（1，1），且对任意a n∈（0，1），由关系式a n=f（a n）得到数列{a n}，满足a n+1＞a n（n∈N*），+1则该函数的图象为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ38．（5分）设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．3+29．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）10．（5分）已知实数变量xy满足，且目标函数z=3x﹣y的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．111．（5分）已知函数f（x）=在R上满足：对任意x1≠x2，都有f （x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[﹣2，+∞）12．（5分）若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．14．（5分）已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值的集合是．15．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2016x+log2016x，则函数f（x）的零点的个数是．16．（5分）下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．18．（12分）已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（﹣cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=．（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是等边三角形，PA⊥AC，PB⊥BC．（1）证明：AB⊥PC；（2）若PC=2，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P﹣ABC的体积．20．（12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）21．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）复数z满足•（1+2i）=4+3i，则z等于（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：∵•（1+2i）=4+3i，∴===2﹣i，∴z=2+i．故选：B．2．（5分）若A={x||x﹣|＜1}，B={x|≥1}，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A ∩B}，则A×B=（）A．∪ B．∪ C．D．（0，1]【解答】解：∵A={x||x﹣|＜1}，B={x|≥1}，∴，B={x|0＜x≤1}，∴A∩B={x|0＜x≤1}，，∴故选：B．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角【解答】解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确．B．依据命题的否定法则：“命题：∃x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B是真命题．C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，∴，又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴．据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB⇔＞0⇔A＞B．故在△ABC中，sinA ＞sinB是A＞B的充要条件．因此C正确．D．由向量，∴，∴的夹角，∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的．故选：D．4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【解答】解：∵，，…∴=故选：A．5．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值故选：B．6．（5分）给定函数y=f（x）的图象如下列图中，经过原点和（1，1），且对任=f（a n）得到数列{a n}，满足a n+1＞a n（n∈N*），意a n∈（0，1），由关系式a n+1则该函数的图象为（）A．B．C．D．=f（a n）＞a n知f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1结合图象可得只有A符合．故选：A．7．（5分）已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选：D．8．（5分）设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．3+2【解答】解：解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a++=（a﹣b）+++b≥4=4当且即当（a﹣b）===b即a=2且b=1时取等号，∴a++的最小值为：4故选：C．9．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）【解答】解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得：f（2n）＞，n∈N*）故选：D．10．（5分）已知实数变量xy满足，且目标函数z=3x﹣y的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．1【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=3x﹣y得y=3x﹣z，显然直线y=3x﹣z过A点时，z取得最大值4，∴z==4，解得：m=1，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=在R上满足：对任意x1≠x2，都有f （x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[﹣2，+∞）【解答】解：∵对任意x1，x2∈R，当x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）成立，∴函数f（x）=是R上的单调函数，∴由x＞1和x≤1时，函数均为减函数，故当x=1时，﹣2x+a≥﹣1，即﹣2+a≥0，∴a≥2；即实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：C．12．（5分）若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，即ln=|x|，即﹣lny=|x|，即lny=﹣|x|，即y=，显然函数的定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为12π．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．故答案为：12π．14．（5分）已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值的集合是{ a|a＜5 } ．【解答】解：∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊊B，∴a＜5．因此实数a的取值的集合是{ a|a＜5 }．故答案为：{ a|a＜5 }．15．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2016x+log2016x，则函数f（x）的零点的个数是3．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；∵f（x）=2016x+log2016x在（0，+∞）上连续单调递增，且f（）＜0，f（1）=2016＞0；故f（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，∴函数f（x）的零点的个数是3；故答案为：3．16．（5分）下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是．【解答】解：观察“三角形数阵”得出：每行的第一个数组成了首项为，公差为的等差数列，每行的数组成了公比为的等比数列．所以第10行第1个数为：+（10﹣1）×=，则第10行第6个数为：×（）6﹣1=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=5时，，…（3分）由f（x）＞2得不等式的解集为．…（5分）（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为，在x=﹣1处取得最大值m﹣2，…（8分）所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．…（10分）18．（12分）已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（﹣cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=．（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵=（﹣cos，sin），=（cos，sin），且=（﹣cos，sin）•（cos，sin）=﹣cos2+sin2=﹣cosA=，即﹣cosA=，又A∈（0，π），∴A=…．（3分）又由S△ABC=bcsinA=，所以bc=4．由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•c os=b2+c2+bc，∴16=（b+c）2，故b+c=4．…（7分）（2）由正弦定理得：====4，又B+C=π﹣A=，∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（﹣B）=4sin（B+），∵0＜B＜，则＜B+＜，则＜sin（B+）≤1，即b+c的取值范围是（2，4]．…（12分）19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是等边三角形，PA⊥AC，PB⊥BC．（1）证明：AB⊥PC；（2）若PC=2，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：在Rt△PAC和Rt△PBC中取AB中点M，连结PM，CM，则AB⊥PM，AB⊥MC，∴AB⊥平面PMC，而PC⊂平面PMC，∴AB⊥PC…（6分）（2）在平面PAC内作AD⊥PC，垂足为D，连结BD∵平面PAC⊥平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又BD⊂平面PBC，∴AD⊥BD，又Rt△PAC≌RtPBC，∴AD=BD，∴△ABD为等腰直角三角形…（9分）设AB=PA=PB=a，则在Rt△PAC中：由PA•AC=PC•AD，得，解得…（11分）∴，∴．…（13分）20．（12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）【解答】解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）21．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表，…（3分）根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…（5分）∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（6分）（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人）…（7分）在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人．…（8分）年龄在20～30（岁）记为（A，B）；年龄在30～40（岁）记为（a，b，c，d），则从6名选手中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）、（a，b，d）、（a，c，d）、（b，c，d），共20种情况，…（9分）其中至少有一人年龄在20～30岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…（10分）记至少有一人年龄在20～30岁为事件A，则P（A）==…（11分）∴至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为．…（12分）22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）（2）由得即…（4分）又所以是以为首项，3为公比的等比数列．…（6分）所以即…（8分）（3）…（9分）=两式相减得，∴…（11分）∴若n为偶数，则若n为奇数，则，∴﹣2＜λ＜3…（14分）。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由22cos 2cos sin ααα=-，知“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故A 为正确答案．考点：1、二倍角公式；2、简易逻辑． 2.下列说法中正确的说法的个数是（ ）（1）命题“x R ∃∈，使得23x>”的否定是“x R ∀∈，使得23x≤” （2）命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则()00f x '=”的否命题是真命题（3）()f x 是()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，0x >时的解析式是()2x f x =，则0x <的解析式为()2xf x -=-A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C考点：1、特称命题的否定；2、原命题与否命题的关系．3.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则,AE SD 所成的角的余弦值为（ ） A ．13 BCD ．23【答案】C考点：异面直线所成的角．4.已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若,m n m α⊥ ，则n α⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ ；③若,,m m n n αβ⊥⊂P ，则αβ⊥；④若,m n ααβ=I P ，则m n P ． 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：根据线面垂直的判定和面面平行的判定可知①、②正确；类似①得,n n αβ⊥⊂，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故③正确；④中m 与n 的位置关系不确定，可能平行，也可能异面，所以④错误；故正确命题为①、②、③共3个．考点：1、直线与平面的位置关系；2、平面与平面的位置关系．5.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若19418,7a a a +==，则10S =（ ） A ．55 B ．81 C ．90 D ．100 【答案】D 【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，由题意得11281837a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以101109101014521002S a d ⨯=+=⨯+⨯=，故答案为D ． 考点：1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和．6.将5名大学生分配到3个乡镇去任职，每个乡镇至少一名，不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．60 D ．120 【答案】A 【解析】试题分析：分两种情况：一是按照2,2,1分配，有2235331902C C A =种结果；二是按照3,1,1分配，有1135431602C C A =种结果，根据分类加法得到共9060150+=种结果，故选A ． 考点：计数原理．7.编号为1、2、3，4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（ ）A ．60种B ．8种C ．20种D ．10种 【答案】D考点：1、排列；2、组合．8.过曲线31y x =+上一点()1,0且与该点处的切线垂直的直线方程是（ ）A ．33y x =-B ．1133y x =-C ．1133y x =-+ D ．33y x =-+ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得'2'213,313x y x y==∴=⨯=，则过过曲线31y x =+上一点()1,0且与该点处的切线垂直的直线的斜率为13-，所以直线方程为()1013y x -=--即1133y x =-+． 考点：1、导数的几何意义；2、直线方程．9.函数()33f x x x =-+在区间()212,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(-B ．()1,2-C ．(]1,2-D ．()1,4【答案】C考点：1、函数的单调性；2、最值和极值． 10.由直线1,2x x ==，曲线1y x=及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．74 B ．114C ．ln 2D ．2ln 2 【答案】C 【解析】试题分析：由直线1,2x x ==，曲线1y x=及x 轴所围图形为下图中的曲边梯形ABCD ，其面积为 22111ln ln 2dx x x==⎰，故选C ．考点：定积分求面积．11.已知双曲线()2210,0mx ny m n -=>>的离心率为2，则椭圆221mx ny +=的离心率为（ ）A ．13B C D【答案】C考点：1、椭圆的性质；2、双曲线的性质．【技巧点晴】本题主要考查的是椭圆的离心率、双曲线的离心率问题，属于基础题；本题先把双曲线的方程化为标准方程，根据离心率的值得到实数m n 、之间的关系，再把该关系式代入椭圆的离心率公式公式中，化简后整理即可求出椭圆的离心率；此类问题做题的关键在于把圆锥曲线方程先化为标准方程，.12.已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A ．⎡⎢⎣B ．⎡⎣C ．⎛ ⎝D ．( 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线221124x y -=的渐近线方程是y x =，右焦点为()4,0F ；当过点F 的直线与双曲线的两条渐近线平行时，与双曲线的右支有且只有一个交点，那么在斜率是⎡⎢⎣两条直线之间的所有直线中，都满足条件，所以此直线的斜率的取值范围是⎡⎢⎣． 考点：1、双曲线的性质；2、直线与双曲线的关系．【易错点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的综合应用，是高考的重点，属于中档题；此类题目的易错点是直线和双曲线的相交问题，直线与双曲线相交可以有1个交点，或者2个交点，要结合图形分析直线与渐近线平行、与曲线相切等极端位置；本题求直线斜率的取值范围，解题时要注意数形结合思想的合理运用．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为______（用数字作答）． 【答案】0.6考点：1、古典概型；2、组合数．14.在空间直角坐标系Oxyz 中，y 轴上有一点M 到已知点()4,3,2A 和点()2,5,4B 的距离相等，则点M 的坐标是______． 【答案】()0,4,0M 【解析】试题分析：设()0,,0M y =4y =，故点M 的坐标是()0,4,0M ．考点：空间两点间的距离公式．15.二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现S l '=；三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现V S '=．已知四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =______． 【答案】42r π 【解析】试题分析：由题意知3'8W V r π==，所以W =42r π． 考点：1、类比推理；2、导数的计算．【思路点晴】本题主要考查的是类比推理，属于容易题；本题解题的关键是理解类比的规律，主要是通过题中所给的示例以及类比推理的规律得出高维的测度的导数是低一维的测度，所以根据导数的计算得出四维空间中“超球”的四维测度的表达式．16.已知点()00,P x y 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，如果经过点P 的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P 称为切点，这条切线方程可以表示为：00221x x y ya b+=．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆22:1169x y L +=，若(),Q u v 是椭圆L 外一点（其中,u v 为定值），经过Q 点作椭圆L 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程是______． 【答案】1169ux vy+=考点：1、椭圆的性质；2、新定义问题．【思路点晴】本题主要考查的知识点是椭圆的切线的性质、切点弦问题的求法，属于中档题；本题先设切点为()()1122,,,A x y B x y ，由切线的性质分别写出切线方程，由于椭圆的两条切线都经过点(),Q u v ，将点(),Q u v 代入切线方程，即可求出直线AB 的方程；对于新定义问题，要仔细读题，理解题中所给的准确信息．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知0m >，()():260p x x +-≤，:22q m x m -≤≤+． （Ⅰ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）实数m 的取值范围是[)4,+∞；（Ⅱ）实数x 的取值范围为[)(]3,26,7-- ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意的:26p x -≤≤，而p 是q 的充分条件，∴[]2,6-是[]2,2m m -+的子集，得到关于实数m 的不等式组，解出即可．（Ⅱ）据题意有，p 与q 一真一假，此时:37q x -≤≤；分p 真q 假和p 假q 真两种情况讨论即可求出实数x 的取值范围．考点：1、逻辑关系；2、分类讨论思想．18.（本小题满分12分）已知()232cos 2f x x x =+- （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=有实数解，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）实数m 的取值范围是3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：（1）利用和差公式化简()1cos 23222x f x x +=+-得()sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，从而可求出最小正周期和函数的单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，先求出()f x 的值域，由()f x m =，得出实数m 的取值范围．考点：1、三角函数的化简与求值；2、三角函数的图象和性质． 19.（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，60,90,2A C CD ∠=︒∠=︒=，把ABD ∆沿BD 折起（如图2），使二面角A BD C --为直二面角． （Ⅰ）求AD 与平面ABC 所成的角的余弦值； （Ⅱ）求二面角B AC D --的大小的正弦值．【答案】（Ⅰ）AD 与平面ABC ；（Ⅱ）二面角B AC D -- 【解析】试题分析：（Ⅰ）以BD 的中点O 为原点，OC 所在的直线为x 轴，OD 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，表示出面ABC 的法向量为n r 和AD uuur ，利用夹角公式即可求出AD 与面ABC所成角的余弦值；（Ⅱ）同理求得面ACD 的法向量为1n u r，从而可以求出二面角B AC D --的正弦值．考点：1、空间中的线面角的求法；2、二面角的求法． 20.（本小题满分12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为123456,,,,,A A A A A A ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；（ⅱ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率． 【答案】（Ⅰ）从这三个协会中分别抽取的运动员人数为3，1，2；（Ⅱ）（ⅰ）所有可能的结果为{}{}{}121314,,,,,A A A A A A {}{}{}{}15162324,,,,,,,,A A A A A A A A{}{}{}{}{}{}{}25263435364546,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A {}56,A A 共15种；（ⅱ）事件A 发生的概率为35．考点：1、分层抽样；2、古典概型．21.（本小题满分12分）椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，，直线l 与y 轴交于点()0,P m ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3AP PB = ．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）椭圆方程为：22112x y +=；（Ⅱ）m 的取值范围为111,,122⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，根据已知条件得2c b a == （Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，与椭圆C 的方程联立消去y ，得到关于x 的二次方程，结合韦达定理，代入3AP PB = ，得2222214022km m k k --⎛⎫+= ⎪++⎝⎭；整理得22222041m k m -=>-，所以m 的取值范围可求. 试题解析：（Ⅰ）设()2222:10y x C a b a b+=>>，设2220,c c a b >=-，由条件知2c b a ==∴1,a b c === ………………3分 故C 的方程为：22112x y +=． ………………4分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系．【技巧点晴】本题主要考查的知识点是椭圆的标准方程、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系的综合，属于难题，也是高考中的重点题目；解决直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题时，先考虑有无直线斜率不存在的情况，如果有，记得分类讨论；然后把直线方程和圆锥曲线方程联立，令判别式大于0，根据韦达定理写出两根的表达式，代入题目所给条件即可．22.（本小题满分10分）已知函数()()3263x f x x x x t e =-++（,t R e ∈为自然对数的底数）（Ⅰ）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围（Ⅱ）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值.【答案】（Ⅰ）t 的取值范围是()8,24-；（Ⅱ）正整数m 的最大值为5．（Ⅱ）不等式()f x x ≤，即()3263x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-．转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立．即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立．即不等式2063x e x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立设()263x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+．设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-，因为1x m ≤≤，有()0r x '<．故()r x 在区间[]1,m 上是减函数；又()()()123140,220,30r e r e r e ---=->=->=-<故存在()02,3x ∈，使得()()000r x x ϕ'==．考点：1、导数的运算；2、利用导数研究闭区间上函数的极值和最值．【思路点晴】本题主要考查的是零点问题、实数的取值范围的求法、转化化归、函数与方程的数学思想方法，属于难题；利用导数知识把零点及实数的取值范围问题转化为闭区间上函数的极值和最值问题，此类问题的难点在于构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，得出极值与最值，从而达到解决问题的目的．：。

2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）在复平面内复数z=（a＞0），已知|z|=1则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度4．（5分）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种5．（5分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．6．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．3268．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．8 C．10 D．129．（5分）八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种10．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣311．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．3612．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若函数（a为常数）在定义上为奇函数，则实数a等于．14．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=．15．（5分）已知函数f（x）=，则=．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区（，1）内的单调函数，求实数a的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f （x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，得，解得a=1．∴z=a+（a﹣2）i=1﹣i．则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．2．（5分）在复平面内复数z=（a＞0），已知|z|=1则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【解答】解：∵z=（a＞0），|z|=1，∴=1，∴a=1，∴z==i，∴=﹣i，故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．4．（5分）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故选：C．5．（5分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．【解答】解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：A．6．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．326【解答】解：因为5=2×2+1，16=3×5+1，65=4×16+1，所以n=16×16+1=257，故选：C．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6+2.4=3和2，由正视图知长方体的高为1+1=2，∴长方体的体积V=3×2×2=12．9．（5分）八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种【解答】解：第一步分步：由题意把8人分为以下三组（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3），分组的种数为C81C73++=280+210+280=770种，第二步，分配，每一种分法都有A33=6种，根据分步计数原理，共有770×6=4620种，故选：C．10．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣3【解答】解：∵a1=1，a n+1•a n=2n，∴a2=2，∴当n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴==2，∴数列{a n}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015=+=21009﹣3，故选：B．11．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．36【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，第一类，前三个圆用3种颜色，后三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若函数（a为常数）在定义上为奇函数，则实数a等于±1．【解答】解：∵函数f（x）在定义上为奇函数∴f（﹣x）+f（x）=0，即f（﹣x）+f（x）===0，即（a2﹣1）（e x+e﹣x）=0解得a=±1，故答案为±1．14．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=2πr4．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr415．（5分）已知函数f（x）=，则=．【解答】解：=dx+x2dx，因为dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，所以dx=×22π=π，x2dx=|=，所以=dx+x2dx=π+故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=x2（x+a），有，∴a=±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a=﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，即f（x0）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．18．（12分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【解答】解：（1）==．（3分）由得（5分）于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分）又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分）（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（﹣1，，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；…（7分）设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由得：，令y=1，则x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；则•=1，∴cos＜＞===，…（11分）由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…（12分）20．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差﹣1的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．21．（12分）已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区（，1）内的单调函数，求实数a的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，则，∴（2x+1）（x﹣1）＞0，解得x＞1或，当（2x+1）（x﹣1）＜0时，得，又定义域为x∈（0，+∞），∴f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值．（2）易知，f（x）在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解，即或f'（1）≤0，解得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．（3）设切点（t，t2+at﹣lnt），，∴切线方程为．∵切线过原点（0，0），∴，化简得t2﹣1+lnt=0（※）．设h（t）=t2﹣1+lnt（t＞0），则，所以h（t）在区间（0，+∞）内单调递增．又h（1）=0，故方程（※）有唯一实根t=1，从而满足条件的切线只有一条．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f （x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）不妨先证明0＜g（x）＜x （x＞0），即0＜ln（e x﹣1）﹣lnx＜x，先证ln（e x﹣1）﹣lnx＞0，即e x＞x+1，显然成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）再证ln（e x﹣1）﹣lnx＜x，只需证，e x﹣1＜xe x设h（x）=xe x﹣e x+1，则h′（x）=e x+xe x﹣e x=xe＞0，即h（x）＞h（0）=0，0＜g（x）＜x得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由当a≤0时，则f（x）在R上单调递增，可知，f（g（x））＜f（x），当0＜a≤1时，lna≤0，又f（x）在（lna，+∞）上单调递增，f（g（x））＜f（x）当a＞1时，f（x）在（0，lna）上单调递减，f（g（x））＞f（x）与条件不符．综上a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。

河北省武邑中学2015-2016学年高二数学上学期周考试题（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（ ）A ．6A 33B ．3A 33C ．2A 33D ．A 22A 41A 442．编号为1，2，3，4，5，6的六个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的六个座位，其中有且只有两个人的编号与座位编号一致的坐法有（ ）A ．15种B.90种C ．135种D ．150种3．从6位男学生和3位女学生中选出4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有（ ）A ．168B ．45C ．60D ．1114．氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有 （ ）A ．210种B ．126种C ．70种D ．35种5．某校刊设有9门文化课专栏,由甲,乙,丙三位同学每人负责3个专栏,其中数学专栏由甲负责,则不同的分工方法有（ ）A ．1680种B ．560种C ．280种D ．140种6．电话号码盘上有10个号码，采用八位号码制比采用七位号码制可多装机的门数是（ ）A ．871010A A -B ．C 108-C 107C ．781010-D ．88108C A 7．已知集合A={1，2，3，4}，集合B={﹣1，﹣2}，设映射f: A →B ，若集合B 中的元素都是A 中元素在f 下的象，那么这样的映射f 有 （ ）A ．16个B ．14个C ．12个D ．8个8．从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是 （ ）A ．208B ．204C ．200D ．1969．由0，1，2，3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是（ ）A ．24个B ．12个C ．6个D ．4个10．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）A ．319823C C 种B ．(219733319723C C C C +)种C ．)C -(C 41975200种D ．)C C C (4197135200-种11．把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是 （ ）A ．36CB ．26CC ．39C D ．2129C 12.下面是高考第一批录取的一份志愿表：现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有不同的填写方法的种数是（ ） A ．3233)(4A ⋅ B ．3233)(4C ⋅ C ．32334)(C A ⋅ D ．32334)(A A ⋅二、填空题（本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.）13．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且数字1与2不相邻的五位数有_____个．14．一电路图如图所示，从A 到B 共 有 条不同的线路可通电.15．直线m x =，x y =将圆面422≤+y x 分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m 的取值范围是16．８名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各４人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另外一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠亚军,败者角逐第三,第四名,则该大师赛共有____ 场比赛.三、解答题（本大题满分74分.）17．（12分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种多少种？18．（12分）一些棋手进行单循环制的围棋比赛，即每个棋手均要与其它棋手各赛一场，现有两名棋手各比赛3场后退出了比赛，且这两名棋手之间未进行比赛，最后比赛共进行了72场，问一开始共有多少人参加比赛？19．（12分）用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a 、b 、 c 、d 四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问： 不同的染色方法的种数是多少？20．（12分）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减； (3)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．21．（12分）4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间； (2)教师不能坐在两端，但要坐在一起； (3)教师不能坐在两端，且不能相邻．22．（14分）集合A 与B 各有12个元素,集合B A 有4个元素,集合C 满足条件: (1))(B A C ⊂; (2)C 中含有3个元素; (3)Φ≠A C . 试问：这样的集合C 共有多少个?参考答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．A 8．B 9．B 10．B 11．D 12．D5解：23328632/280C C C C = 8解：3312443204C C --=9解：11232212.C C A =二、填空题13解：542542A A A -=72. 14解：12121232222333()()1()17.C C C C C C C ++++++= 15解：)2,2(- 16解：22442115.C C +++=三、解答题17解：设还需准备不同的素菜 x 种, x 是自然数，则200C C 2x 25≥⋅，即 N x ,040x x 2∈≥-- ，得7x ≥.18解：设这两名棋手之外有n 名棋手，他们之间互相赛了72-2×3=66场，66C 2n =，解得：n=12.故一开始共有14人参加比赛． 19解：18020解：（1）4343144;A A = （2）1112228;A A A = （3）6376C C 33C ⋅=140． 21(1) 解法１ 固定法：从元素着眼，把受限制的元素先固定下来．ⅰ) 教师先坐中间，有22A 种方法； ⅱ) 学生再坐其余位置，有44A 种方法． ∴ 共有 22A ·44A ＝48种坐法．解法２ 排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉．ⅰ) 学生坐中间以外的位置：44A ； ⅱ) 教师坐中间位置：22A ．解法３ 插空法：从元素着眼，让不受限制的元素先排好（无条件），再让受限制元素按题意插入到允许的位置上．ⅰ) 学生并坐照相有44A 种坐法； ⅱ) 教师插入中间：22A ．解法４ 淘汰法（间接解法）：先求无条件限制的排法总数，再求不满足限制条件的排法数，然后作差．即“A ＝全体-非A ”.ⅰ) 6人并坐合影有66A 种坐法； ⅱ) 两位教师都不坐中间：24A （先固定法）·44A ；ⅲ) 两位教师中仅一人坐中间； 12A (甲坐中间) · 14A (再固定乙不坐中间) · 44A · 2（甲、乙互换）；ⅳ) 作差：66A -（24A 44A +212A 14A 44A ）解法５ 等机率法：如果每一个元素被排入，被选入的机会是均等的，就可以利用等机率法来解．将教师看作1人（捆绑法），问题变成5人并坐照相，共有55A 种坐法，而每个人坐中间位置的机会是均等的，应占所有坐法的1/5，即教师1人坐中间的坐法有5155A 22A 即5255A 种． (2) 将教师看作1人，问题变为5人并坐照相．解法１ 从位置着眼，排斥元素——教师. 先从4位学生中选2人坐两端位置：24A ；其他人再坐余下的3个位置：33A ；教师内部又有22A 种坐法. ∴ 共有 24A 33A 22A ＝144种坐法．解法 2 从元素着眼,固定位置. 先将教师定位：13A 22A ；再排学生： 44A . ∴ 共有22A 44A 13A 种坐法. (3) 解 插空法：（先排学生）44A 23A (教师插空).22解：（1）若BC A C U ⊆，则这样的集合C 共有38C =56（2）若B A C ⊆，则这样的集合C 共有4C 34=个；（3）若A C ⊄且φ≠aC ，则这样的集合C 共有28141824C C C C ⋅+⋅=160个．综合（1），（2），（3）得：满足条件的集合C 一共有56+4+160=220个．2015-2016学年高二数学周测试题班级姓名学号二、填空题：13、 14、 15、 16、三、解答题：17．（12分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种多少种？18．（12分）一些棋手进行单循环制的围棋比赛，即每个棋手均要与其它棋手各赛一场，现有两名棋手各比赛3场后退出了比赛，且这两名棋手之间未进行比赛，最后比赛共进行了72场，问一开始共有多少人参加比赛？19．（12分）用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少？20．（12分）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(3)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．21．（12分）4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．22．（14分）集合A 与B 各有12个元素,集合B A 有4个元素,集合C 满足条件: (1))(B A C ⊂; (2)C 中含有3个元素; (3)Φ≠A C . 试问：这样的集合C 共有多少个?选做题：1、 有10级台阶，一步可上一个台阶或两个台阶，问走完这10级台阶共有多少种不同的走法？（用两种方法作答）方法一：方法二：2、三位数中，如果十位上的数字比个位和百位的数字都大，则称这个数为凸数，问这样的三位凸数共有多少个？- 11 -。

2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M=，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁R N）=（）A．（3，+∞）B．（﹣2，﹣1]C．（﹣1，3]D．[﹣1，3）2．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1 B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）若θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，则曲线=1是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线6．（5分）与双曲线3x2﹣y2=3的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为（）A．x2+=1 B．C．D．7．（5分）从1，2，3，…，9这九数字中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）设F1，F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．49．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（5分）双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则△PF1F2面积为（）A．16B．32C．32 D．4211．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件12．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设=（x，4，3），=（3，﹣2，y），且∥，则xy=．14．（5分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，设，则=．15．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．16．（5分）已知在空间直角坐标系中，有棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．18．（12分）如图所示，已知正方体ABCD﹣A 1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角．19．（12分）设命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域为[﹣1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．20．（12分）设F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆的方程．（2）若K为椭圆C上的一点，且∠F1KF2=30°，求△F1KF2的面积．21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，为坐标原点），当点M坐标为时，l的方程为x+2y﹣4=0．（I）求椭圆C方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为K，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），求∠HOM最大时k的值．2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M=，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁R N）=（）A．（3，+∞）B．（﹣2，﹣1]C．（﹣1，3]D．[﹣1，3）【解答】解：集合M=={y|﹣3≤y≤3}，N={x|2x+1≤1}={x|x≤﹣1}，则∁R N={x|x＞﹣1}，∴M∩（∁R N）=（﹣1，3]．2．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1 B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞1【解答】解：∵p：∃x∈R，sinx≤1，∴p：∀x∈R，sinx＞1考查四个选项，D正确故选：D．3．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选：A．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．5．（5分）若θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，则曲线=1是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线【解答】解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，从而sinθ＞﹣cosθ，从而曲线=1是焦点在x轴上的椭圆．故选：A．6．（5分）与双曲线3x2﹣y2=3的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为（）A．x2+=1 B．C．D．【解答】解：双曲线3x2﹣y2=3即为x2﹣=1，可得焦点为（﹣2，0），（2，0），离心率为e=2，即有椭圆的离心率为，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），a2﹣b2=4，=，即有a=4，b=2，则椭圆方程为+=1．故选：D．7．（5分）从1，2，3，…，9这九数字中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件数包括两类：抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，前者C43，后者C41C52．∴A中基本事件数为C43+C41C52．∴符合要求的概率为：=．故选：A．8．（5分）设F1，F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：由于椭圆方程为，故a=2，b=，故c==1由题意当四边形PF1QF2的面积最大时，点P，Q恰好是椭圆的短轴的端点，此时PF1=PF2=a=2，由于焦距|F1F2|=2c=2，故△PF1F2为等边三角形，故∠F1PF2=60°，故=2×2×cos60°=2故选：C．9．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选：C．10．（5分）双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则△PF1F2面积为（）A．16B．32C．32 D．42【解答】解：∵直线PF1，PF2倾斜角之差为，∴∠F1PF2=，∴△PF1F2面积=16×=16．故选：A．11．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选：A．12．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2，∵M，O分别是PF2，F1F2的中点，∴MO∥PF1，且|PF1|=2|MO|=2b，∵OM⊥PF2，∴PF1⊥PF2，|F1F2|=2c，∴|PF2|=2，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，∴2b+2=2a，∴a﹣b=，两边平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2，∴c2=a2﹣b2，并代入并化简得：2a=3b，∴b=，a=1，c==，∴e==，即椭圆的离心率为，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设=（x，4，3），=（3，﹣2，y），且∥，则xy=9．【解答】解：∵∥，∴存在实数λ，使得，可得，解得．∴xy==9故答案为9．14．（5分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，设，则=．【解答】解：取CC1中点E，连结AC，AE，∵正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，设，则==，∴=||===．故答案为：．15．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m，n都取到奇数的概率为．故答案为．16．（5分）已知在空间直角坐标系中，有棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点M是线段DC 1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为a．【解答】解：如图以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，a，0），C1（a，a，a），D1（0，a，a），=（0，a，a），=（a，0，a），点M到直线AD1距离的最小值即为两异面直线AD1和DC1间的距离，设它们的公垂线段所在的向量为=（x，y，z），则⊥，即有•=0，即为ay+az=0，，即有=0，即为ax+az=0，可取=（﹣1，﹣1，1），取=（0，a，0），则两异面直线AD1和DC1间的距离为：==a．故答案为：a．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．【解答】解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，∴P（B）==18．（12分）如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角．【解答】解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），C（0，1，0），E（），F（），=（0，﹣，﹣），=（0，1，0），∴cos＜，＞==﹣，∴＜，＞=135°，∴异面直线EF和CD所成的角是45°．19．（12分）设命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域为[﹣1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．【解答】解：命题p：∵函数是R上的减函数，由得命题q：∵g（x）=（x﹣2）2﹣1，在[0，a]上的值域为[﹣1，3]得2≤a≤4∵p且q为假，p或q为真，得p、q中一真一假．若p真q假，得若p假q真，得综上，＜a＜2或≤a≤420．（12分）设F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆的方程．（2）若K为椭圆C上的一点，且∠F1KF2=30°，求△F1KF2的面积．【解答】解：（1）∵点A到F1，F2两点的距离之和等于4．∴2a=4，解得a=2．又点在椭圆上，∴，解得b2=3，所以所求椭圆的方程为．（2）=1．记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，∴，，∴，又，∴．21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B 1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD 1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，为坐标原点），当点M坐标为时，l的方程为x+2y﹣4=0．（I）求椭圆C方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为K，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），求∠HOM最大时k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：+=1，（*）将x+2y﹣4=0代入椭圆C，有：（3a2+4b2）x2﹣8a2x+16a2﹣4a2b2=0，令△=0得：3a2+4b2=16，（**）联立（*）、（**），解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为：+y2=1；（II）设直线l：y=kx+m，M（x0，y0）．将直线l的方程代入椭圆C得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，令△=0，得m2=4k2+1，且=，∴|OM|2=，又|OH|2==，∴（cos∠HOM）2=，∵（1+16k2）（4+4k2）≤=，∴≥，等号当且仅当k2=时成立，∴∠HOM取最大时k=±．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

河北武邑中学2015-2016高二上学期周日试题（1.24）数学（文）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” B ．“1m =”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<” D ．命题“已知x ，y 为一个三角形的两内角，若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题3.复数z 为纯虚数，若()3i z a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．13-D ．134.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶5.设R a ∈，若函数xy e ax =+，R x ∈，有大于零的极值点，则（ ）A ．1a <-B ．1a >-C ．1a e <- D ．1a e>-6.设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得12F F 3b P +P =，129FF 4ab P ⋅P =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．53 C ．94D ．37.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆2210x y +=内（含边界）的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．29 D ．7368.已知抛物线214y x =-的焦点为F ，则过F 的最短弦长为（ ） A ．18 B ．14C ．4D ．89.设曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．1210.观察下列事实1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4，2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8，3x y +=的不同整数解(),x y 的个数为12，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则20x y +=的不同整数解(),x y 的个数为（ ）A ．76B ．80C ．86D ．92 二、填空题11.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:307:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 （用数字作答）．12.某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）．根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5yx =+，则表中t 的值为 ．13.定义在R 上函数()f x 满足()11f =，()2f x '<，则满足()21f x x >-的x 的取值范围是 ．14.若过点()5,2P -的双曲线的两条渐近线方程为20x y -=和20x y +=，则该双曲线的实轴长为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在直角坐标系x y O 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为x ty at=⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 与直线2C 交于A ，B 两点，若AB ≥，求实数a 的取值范围．16.设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，离心率为2，过点F 且与x 轴垂直的． （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，当∆OAB 面积最大时，求AB ．17.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c ． （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． （注：若三个数a ，b ，c 满足a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）18.校本课程是由学校自主开发的课程，与必修课程一起构成学校课程体系．某校开设校本课程“数学史选讲”，为了了解该课程学生的喜好程度是否跟性别有关，随机调查了50名同学，结果如下：25名男生中有10名喜欢，15名不喜欢；25名女生中有20名喜欢，5名不喜欢． （I ）根据以上数据完成22⨯列联表；（II ）有多大的把握认为该课程的喜好程度与学生的性别有关？（参考公式与数值附后）参考公式与数值：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++19.已知函数()32f x x ax x c =+-+，且23a f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设函数()()3xg x f x x e ⎡⎤=-⋅⎣⎦，若函数()g x 在[]3,2x ∈-上单调递增，求实数c 的取值范围．20.已知下列三个方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．。