2016-2017学年高中数学章末质量评估1新人教A版选修2-2资料

章末评估验收卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图解析：设计生产过程，应用工序流程图．答案：B2．在下列图示中，是结构图的为()A.B.C.D.解析：选项A表示流程图；选项C表示频率分布直方图；选项D表示从B到A的路径图；选项B表示结构图．答案：B3．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A．①—综合法，②—分析法B．①—分析法，②—综合法C．①—综合法，②—反证法D．①—分析法，②—反证法解析：根据分析法、综合法、反证法的特点知A正确．答案：A4．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是()A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计解析：由工序流程图知，设备采购的下一道工序是设备安装．答案：A5．如图所示是一结构图，在处应填入()A．图象变换B．对称性C．奇偶性D．解析式解析：根据函数的性质，应填入奇偶性．答案：C6．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120 B．720C．1 440 D．5 040解析：该框图的功能是计算1×2×3×…×N的值，因为N＝6，所以输出p的值为1×2×3×4×5×6＝720.答案：B7．商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量，下列四种方案中最可取的是()解析：到三个地方去调研没有严格顺序，但可同时进行，这样可以缩短调研周期，从而尽快决定产品数量．答案：D8．(2015·四川卷)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：由程序框图知，当k ＝5时，终止循环输出S ＝sin 5π6＝12. 答案：D9．某自动化仪表公司组织结构图如图所示，其中品管部的直接领导是( )A ．副总经理甲B ．副总经理乙C ．总经理D ．董事会解析：由组织结构图知，品管部是由副总经理(乙)直接领导． 答案：B10．如图所示是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在()A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B．“向量的加减法”中“运算律”的下位C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D．“向量的数乘”中“运算律”的下位解析：因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．答案：A11．执行程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于()A．[－3，4] B．[－5，2]C．[－4，3] D．[－2，5]解析：由框图知s是关于t的分段函数：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，－1≤t <1，4t －t 2，1≤t ≤3，当t ∈[－1，1)时，s ∈[－3，3)；当t ∈[1，3]时，s ＝4t －t 2＝4－(t －2)2∈[3，4]，故输出的s ∈[－3，4]．答案：A12．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45解析：第一次循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件； 第二次循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，故这时程序不再满足条件，结束循环，因此判断框中的条件为s >710. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．阅读框图，运行相应的程序，输出S的值为________．解析：S＝0，n＝3，S＝0＋(－2)3＝－8，n＝3－1＝2≤1，不成立；故S＝－8＋(－2)2＝－4，n＝2－1＝1≤1，成立．故输出S的值为－4.答案：－414．在平面几何中，四边形的分类关系可用如图所示的框图描述：则在①中应填入________，在②中应填入________．解析：结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形．结合②的条件可知：一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．故②处应填直角梯形．答案：菱形直角梯形15．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B 可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________．解析：由题意可画出工序流程图如图所示：所以2＋x＋4≤9.所以x≤3.答案：316．执行如图所示程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝________．解析：当n＝1时，M＝1＋12＝32，a＝2，b＝32；当n＝2时，M＝2＋23＝83，a＝32，b＝83；当n＝3时，M＝32＋38＝158，a＝83，b＝158；n＝4时，终止循环．输出M＝15 8.答案：15 8三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．解：流程图如图所示：18．(本小题满分12分)根据你学习的《数学必修1》第三章“函数的应用”内容，画出该章的知识结构图．解：“函数的应用”知识结构图如图所示：19．(本小题满分12分)下图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：根据此流程图回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？解：(1)一件屏幕成品可能经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．20．(本小题满分12分)某地行政服务中心办公分布结构如下．(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心这三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布在其他楼层．(2)二楼：公安局、民政局、财政局．(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局．(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局．(5)五楼；其余部门办理窗口．试绘制该中心结构图．解：该行政中心办公分布结构图如图所示：21．(本小题满分12分)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表格所示：统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图如图所示．(1)试在判断框内填上条件；(2)求输出的s的值．解：(1)依题意，程序框图是统计6名队员投进的三分球的总数．所以判断框内应填条件“i≤6？”．(2)6名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6.故输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.22.(本小题满分12分)已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图如图所示，若k＝5，k＝10时，分别有S＝511和S＝1021，试求数列{a n}的通项公式．解：由程序框图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d .S i ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1＝ 1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a i －1a i ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a i ＋1. 当k ＝5时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 61d＝5a 1a 6＝511. 所以a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11；①当k ＝10时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 111d＝10a 1a 11＝1021， 所以a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21.② 由①②联立，得a 1＝1，d ＝2， 因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.。

2016-2017学年高中数学 章末质量评估3 新人教A 版选修2-2一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： z 1－z 2＝5－7i. 答案： D2．复数1－7i1＋i 的虚部为( )A ．0B ． 2C ．4D ．－4解析： ∵1－7i 1＋i ＝1－7i1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案： D3．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3； ③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析： 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的； 假设z 1＝i ，z 2＝0，z 3＝1，若(i －0)2＋(0－1)2＝0，则i ＝1，显然是错误的，故②是不正确的；假设x ＝－1，则x 2＋3x ＋2＝0，故③是不正确的；假设a ＝b ＝0，则(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故④是不正确的． 综上可知：①②③④均不正确，故选A. 答案： A4．已知z1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析： 由题意知z ＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ， 从而z ＝1－3i ，选B. 答案： B5．在复平面内，复数z ＝i 2(1＋2i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： 复数z ＝i 2＋2i 3＝－1－2i ，复数对应的点为(－1，－2)，则复数z 对应的点在第三象限，选C.答案： C6．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－1或3解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3，选B.答案： B7．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －i等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析： z 2－2z z －i ＝1＋i 2－21＋i 1＋i －i ＝2i －2－2i1＝－2，选D.答案： D8．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i(a ∈R )对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0解析： 由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，故a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.故选D.答案： D9．已知a ，b ∈R ，命题甲：a ＋b i 是纯虚数；命题乙：a ＝0，则甲是乙成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，于是甲是乙的充分但不必要条件，选A. 答案： A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案： A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析： 由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x ＋4y ≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.答案： C12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．无数个解析： f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________． 解析： 由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案： 414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案： 115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析： ∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案： 2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________． 解析： 先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220 ＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.18．(本小题满分12分)实数m 分别取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方？解析： (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1.(3)由题意知，m 2－2m －15>0，解得m >5，或m <－3.19．(本小题满分12分)在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为1＋2i,3－5i.求另外两个顶点C ，D 对应的复数．解析： 设D (x ，y )，A ，B ，C ，D 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，则z 4－z 1＝x －1＋(y －2)i ，z 2－z 1＝2－7i.在正方形ABCD 中，AD ⊥AB ，且|AD |＝|AB |，z 4－z 1表示AD →，z 2－z 1表示AB →，∴|z 4－z 1|＝|z 2－z 1|，即x 2＋y 2－2x －4y －48＝0.①(x －1)·2－7(y －2)＝0， 即2x －7y ＋12＝0.②①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4.又BC →＝AD →， 则z 3－z 2＝z 4－z 1，z 3＝z 4＋z 2－z 1＝(x ＋2)＋(y －7)i.综上可得⎩⎪⎨⎪⎧z 3＝－4－7i ，z 4＝－6，或⎩⎪⎨⎪⎧z 3＝10－3i ，z 4＝8＋4i.20．(本小题满分12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，对于复数w ＝(z ＋a i)2，当a 为何值时，w 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解析： 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2，z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵w ＝(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ， (1)w 为实数，则a －2＝0，∴a ＝2， 即w ＝12＋4×2－22＝16.(2)w 为虚数，只要a －2≠0，∴a ≠2.(3)w 为纯虚数，只要12＋4a －a 2＝0且a －2≠0， ∴a ＝－2或a ＝6.21．(本小题满分13分)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数． (1)求复数z ； (2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|.解析： (1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3b ＝0，且9＋b ≠0， ∴b ＝1，∴z ＝3＋i.(2)ω＝3＋i2＋i ＝3＋i ·2－i2＋i ·2－i＝7－i 5＝75－15i ∴|ω|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝ 2. 22．(本小题满分13分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2，z 所对应的点A 在第一象限．(1)求z ；(2)若 z ，z 2，z －z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC . 解析： (1)令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． ∵|z |＝2， ∴x 2＋y 2＝2.①又∵z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ， ∴2xy ＝2， ∴xy ＝1.②由①②可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.∴z ＝1＋i ，或z ＝－1－i. 又∵x ＞0，y ＞0，∴z ＝1＋i. (2)z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1＋i －2i ＝1－i.如图所示，∴A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， ∴BA →＝(1，－1)，BC →＝(1，－3)， ∴cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝1＋32·10＝425＝255.。

章末质量评估(一)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为 ( )．A．A46 B．A24 C．C24A44 D．C24A24解析从4道选答题中选2道的选法为C24，2道必答题和2道选答题让4人各答一题的方法为A44，故选C.答案 C2．已知{1，2}⊆Z⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合Z共有 ( )．A．2个 B．6个 C．4个 D．8个解析由题意知集合Z中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故共有C03＋C13＋C23＋C33＝8(个)．答案 D3．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为 ( )．A．24 B．18 C．16 D．6解析T2＝C1n a n－1(2b)1＝C1n·2a n－1·b，所以2n＝8，n＝4，所以C2n＝C24＝6.答案 D4．某汽车生产厂家准备推出10款不同的轿车参加车展，但主办方只能为该厂提供6个展位，每个展位摆放一辆车，并且甲、乙两款车不能摆放在1号展位，那么该厂家参展轿车的不同摆放方案有 ( )．A．C210A48种 B．C19A59种C．C18A59种 D．C18A58种解析考查分步计数原理和排列数公式，在1号位汽车选择的种数为C18，其余位置的排列数为A59，故种数为C18A59，选C.答案 C5．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况的种数为 ( )．A ．A 34B ．43C ．34D ．C 34解析 四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项冠军都有3种可能， 由分步乘法计数原理知共有3×3×3×3＝34种． 答案 C6．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 等于 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 ∵T r ＋1＝C r n(x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r n x 2n －3r，∴又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C rn ＝15，∴n ＝6.故选D.答案 D7．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有 ( ).A.72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种 解析 涂A 共4种涂法，则B 有3种涂法，C 有2种涂法，D 有3种涂法． ∴共有4×3×2×3＝72种涂法． 答案 A8．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是 ( )． A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析 (1－x )5中x 3的系数为－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36· (－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10. 答案 D9．从正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为 ( )．A．C48－12 B．C48－8 C．C48－6 D．C48－4解析在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体．答案 A10．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有 ( )．A．252种 B．112种C．70种 D．56种解析分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人、另一个住2人，所以不同的分配方案共有C37A22＋C27A22＝35×2＋21×2＝112种．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)11．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．解析(间接法)共有C47－C44＝34种不同的选法．答案3412．若(3x＋1)n(n∈N*)的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x2项的系数是________．解析令x＝1，得(3＋1)n＝256，解得n＝4，(3x＋1)4的展开式中x2项的系数为C2432＝54.答案5413．在5名乒乓球队员中有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析两老一新时，有C13×C12A22＝12种排法；两新一老时，有C12C23×A33＝36种排法，即共有48种排法．答案4814．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝________．解析由(2x－1)6＝C06(2x)6＋C16(2x)5·(－1)＋…＋C66(－1)6，可知x6，x5，…，x0的系数正、负相间，且|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 6| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6. 令x ＝－1，有a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0 ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ＝(－3)6＝36. 答案 36三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(10分)已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，而且是它后一项系数的56，求展开式中二项式系数最大的项．解 由题意设展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n ·2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n ·2k＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7. ∴展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，T 4＝C 37(2x )3＝280x 32，T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.16．(10分)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m 接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种？(1)甲不能跑第一棒和第四棒； (2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．解 (1)法一 优先考虑特殊元素甲，让其选位置，此时务必注意甲是否参赛，因此需分两类：第1类，甲不参赛有A 45种排法；第2类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有A 12种排法；其余5人占3个位置有A 35种排法，故有A 12A 35种方案．所以有A 45＋A 12A 35＝240种参赛方案．法二 先着眼于整体，后局部剔除不合要求的参赛方案．首先，6个人占4个位置有A 46种占法；其次，甲跑第一棒和第四棒的不合要求的参赛方案有2A 35种． 所以有A 46－2A 35＝240种参赛方案．(2)显然第一、四棒为特殊位置，与之相伴的甲、乙则为特殊元素，这时特殊元素与特殊位置的个数相等，对此我们仍从三方面进行思考，以在对比中积累经验． 法一 优先考虑特殊位置．第1类，乙跑第一棒有A 11A 35＝60种排法； 第2类，乙不跑第一棒有A 14A 14A 24＝192种排法． 故共有60＋192＝252种参赛方案． 法二 (间接法)共有A 46＝360种参赛方案，其中不合要求的有： ①甲跑第一棒，乙跑第四棒，有A 11A 11A 24＝12种排法； ②甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有A 11A 14A 24＝48种排法； ③甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有A 11A 14A 24＝48种排法． 综上知有360－12－48－48＝252种参赛方案．17．(10分)设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n(m 、n ∈N ＋)，若其展开式中关于x 的一次项系数的和为11，试问m 、n 为何值时，含x 3的系数最小？这个最小值是多少？ 解 据题意可得C 1m ＋C 1n ＝11， ∴m ＋n ＝11，含x 3的系数为 C 3m ＋C 3n ＝m （m －1）（m －2）6＋n （n －1）（n －2）6＝m 3－3m 2＋2m ＋n 3－3n 2＋2n6＝（11－n ）3－3（11－n ）2＋2（11－n ）＋n 3－3n 2＋2n 6＝27n 2－297n ＋9906＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1122＋2318.∴当m ＝5，n ＝6或m ＝6，n ＝5时，x 3的系数最小为30. 18．(12分)有6名男医生，4名女医生．(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种不同方法？(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种不同方案？ 解 (1)分三步完成．第一步：从6名男医生中选3名有C 36种方法； 第二步：从4名女医生中选2名有C 24种方法； 第三步：对选出的5人分配到5个地区有A 55种方法． 根据分步乘法计数原理，共有N ＝C 36C 24A 55＝14 400(种)．(2)医生的选法有以下两类情况：第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人．共有C 14C 46种不同的分法；第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人．因为组与组之间无顺序，故共有12C 24C 36种不同的分法．因此，把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有C 14C 46＋12C 24C 36＝120种．若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，则共有＝96 000种不同方案．19．(12分)(2012·广州高二检测)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？解 (1)分步完成：第一步在四个偶数中取三个，可有C 34种情况； 第二步在五个奇数中取四个，可有C 45种情况；第三步三个偶数，四个奇数进行排列，可有A 77种情况，所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800个．(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C 34C 45A 55A 33＝14 400个． (3)上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有 C 34C 45A 33A 44A 22＝5 760个．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把四个奇数排好，再将三个偶数分别插入5个空档，共有A 45C 34A 35＝28 800个．。

2016-2017学年高中数学 章末质量评估1 新人教A 版选修2-2一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：∵y ′＝2x ＋a ，∴曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在(0，b )处的切线方程的斜率为a ， 切线方程为y －b ＝ax ，即ax －y ＋b ＝0.∴a ＝1，b ＝1. 答案： A2．函数y ＝x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos x －x 2sin x B ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x C ．y ′＝x 2cos x －2x sin x D ．y ′＝x cos x －x 2sin x解析： 利用求导法则运算． 答案： A3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2解析：f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋1，f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2⇒x 0＝e.答案： B4．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析： 由f ′(2)，f ′(3)的几何意义知f ′(2)>f ′(3)>0， 设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则k AB ＝f－f 3－2，由图象知0<f ′(3)<k AB <f ′(2)． 答案： B 5．过曲线y ＝x ＋1x 2(x >0)上横坐标为1的点的切线方程为( )A ．3x ＋y －1＝0B ．3x ＋y －5＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：∵y ′＝x 2－2x x ＋x 4＝－x 2－2x x4， ∴该切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－3，则所求的切线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －5＝0，故选B. 答案： B6．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则( ) A ．f (0)<f (6) B ．f (0)＝f (6) C ．f (0)>f (6)D ．无法确定解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)⇒f ′(2)＝4＋2f ′(2)⇒f ′(2)＝－4. 从而f (x )＝x 2－8x ＋3，其对称轴为x ＝4，则f (0)>f (6)． 答案： C7．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3C ．353D ．323解析：S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323. 答案： D8．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是( ) A ．(2,4) B ．(－3，－1) C ．(1,3)D ．(0,2)解析： 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)知，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(1,3)上为减函数，函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y ＝f (x ＋1)的单调递减区间．故选D.答案： D9．函数f (x )＝x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m ＋n 为( ) A ．0B ．1C ．2D ．4解析：f (x )＝x 3－3x ⇒f ′(x )＝3x 2－3＝0⇒x ＝±1，不难判断m ＝f (－1)＝(－1)3＋3＝2，n ＝f (1)＝13－3＝－2，m ＋n ＝0.答案： A10．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F 所作的功为( )A ．10 JB ．14 JC ．7 JD ．28 J解析：W ＝⎠⎛13F (x )d x＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) |31＝(2·32－3)－(2·12－1)＝14 J. 答案：B11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析： 当1≤x ≤2时，f ′(x )≥0，则f (2)≥f (1)； 而当0≤x ≤1时，f ′(x )≤0，则f (1)≤f (0)， 从而f (0)＋f (2)≥2f (1)． 答案： C12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x 都有f (x )≥0，则ff的最小值为( )A ．3B ．52C ．2D ．32解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，有f ′(0)>0⇒b >0.由于对于任意实数x 都有f (x )≥0，从而⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0，得c >0，从而ff＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋a ＋c 2ac ≥1＋2ac2ac＝2，当且仅当a ＝c 时取等号．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥－3x 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立． 而－3x 2的最大值为－3，故只需a ≥－3即可． 答案： a ≥－314．过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线的方程为________．解析： 设所求切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1x 2，∴y ′|x ＝x 0＝－1x 20，所求切线的方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．∵点(2,0)在切线上，∴0－y 0＝－1x 20(2－x 0)，∴x 20y 0＝2－x 0，①又x 0y 0＝1，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1，∴所求直线方程为x ＋y －2＝0. 答案： x ＋y －2＝015．已知函数f (x )为一次函数，其图象经过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，则函数f (x )的解析式为________．解析： 设函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，因为函数f (x )的图象过点(3,4)，所以有b ＝4－3a .∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋4－3a )d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ax 2＋－3a x | 10＝12a ＋4－3a ＝1，∴a ＝65.∴b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.答案： f (x )＝65x ＋2516．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn(n ∈N *)的前n 项和是________．解析：f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝1.则f (x )＝x 2＋x ，1f n＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，其和为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：nn ＋1三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解析： (1)∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13， ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)方法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 方法二：由题意知，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．18．(本小题满分12分)物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 走过的路程是多少(时间单位为：s ，速度单位为：m/s)?解析： 设A 追上B 时，所用的时间为t 0， 依题意有s A ＝s B ＋5，即∫t 00(3t 2＋1)d t ＝⎠⎛0t 010t d t ＋5，∴t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，t 0＝5 s ， ∴s A ＝5t 20＋5＝130 (m)．19．(本小题满分12分)某电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A ，B 型号电视机的价值分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元．已知厂家把总价值为10万元的A ，B 两种型号电视机投放市场，且A ，B 两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解析： 设B 型号电视机的价值为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号电视机的价值为(10－x )万元，由题意得，y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1， y ′＝25x －110，由y ′＝0⇒x ＝4.当x ∈[1,4)时，y ′>0， 当x ∈(4,9]时，y ′<0， 所以当x ＝4时，y 取最大值，y max ＝25ln 4－0.4＋1≈1.2.即厂家分别投放A ，B 两型号电视机6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约为1.2万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值．(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x <0时，f (x )<16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围．解析： (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个不相等的实数解，从而Δ＝1－4c >0，∴c <14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0， ∴c ＝－2.∴f (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1]时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ∈(－1,2]时，f ′(x )<0，函数单调递减． ∴x <0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ，∵x <0时，f (x )<16d 2＋2d 恒成立，∴76＋d <16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)>0， ∴d <－7或d >1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞)．21．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ， (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解析： (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)．∵x ∈(－1,3)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,3]上单调递增．又f (x )在[－2，－1)上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. 故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7. 22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x ln(1＋x )－a (x ＋1)，其中a 为实常数． (1)当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )＞0恒成立，求a 的取值范围； (2)求函数g (x )＝f ′(x )－ax1＋x的单调区间．解析： (1)由题意，知f ′(x )＝ln(1＋x )＋x1＋x －a ＞0，则a ＜ln (1＋x )＋x1＋x 在x ∈[1，＋∞)时恒成立．令h (x )＝ln(1＋x )＋x1＋x，则h ′(x )＝11＋x ＋1＋x2＝x ＋2＋x2.∵x ∈[1，＋∞)，∴h ′(x )＞0， 即h (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (1)＝12＋ln 2，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12＋ln 2. (2)由(1)知，函数g (x )＝ln(1＋x )＋－a x1＋x－a ，其定义域为(－1，＋∞)．则g ′(x )＝11＋x＋1－a ＋x2＝x ＋2－a＋x2. ①当a ＞1时，若x ∈(－1，a －2)，则g ′(x )＜0，g (x )在(－1，a －2)上单调递减；若x ∈(a －2，＋∞)，则g ′(x )＞0，g (x )在(a －2，＋∞)上单调递增．②当a ≤1时，g ′(x )＞0，g (x )在(－1，＋∞)上单调递增． 综上，当a ＞1时，g (x )的单调递增区间为(a －2，＋∞)， 递减区间为(－1，a －2)；当a ≤1时，g (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·广州高二检测)用S 表示图1-7-4中阴影部分的面积，则S 的值是( )图1-7-4A.⎠⎛ac f (x )d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acf (x )d x C.⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b c f (x )d x D.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x 【解析】 在区间[a ，b ]上图形在x 轴下方，积分为负值， ∴S ＝⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛a b f (x )d x .故选D.【答案】 D2．如图1-7-5，阴影部分的面积是( )图1-7-5A ．23B ．2－ 3 C.323D.353【解析】 S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1-3＝323.【答案】 C3．一物体以速度v ＝3t 2＋2t (单位：m/s)做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m【解析】 S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)|30＝33＋32＝36(m)．【答案】 B4．如果某飞行物以初速度v 0＝10 m/s ，加速度a (t )＝10t m/s 2做直线运动，则飞行物在t ＝3 s 时的瞬时速度为( )A ．40 m/sB ．45 m/sC ．50 m/sD ．55 m/s【解析】 飞行物在t ＝3 s 时的瞬时速度为 v ＝v 0＋⎠⎛03a (t )d t ＝10＋⎠⎛0310t d t＝10＋5t 2⎪⎪⎪30＝55 m/s. 【答案】 D5．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( ) A. ⎠⎛-11(x －x 3)d x B. ⎠⎛-11(x 3－x )d x C ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛-10(x －x 3)d x【解析】 由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .【答案】 C 二、填空题6．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________． 【解析】 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪4＝23×8－12×16＋2×4＝163.【答案】 1637．一物体沿直线以v ＝1＋t (单位：m/s)的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是________________. 【导学号：60030043】【解析】 s ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪10＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－1.【答案】 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－18．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时(在弹性限度内)，克服弹力所作的功为________．【解析】 由题意可知1＝k ×0.02，∴k ＝50，故在弹簧伸长12 cm 时所做的功为⎠⎛00.12∫0.12050l d l ＝25l 2⎪⎪⎪0.120＝0.36(J)．【答案】 0.36 J 三、解答题9．求曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图1-7-6阴影部分)的面积的最小值．图1-7-6【解】 由定积分与微积分基本定理，得 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪ t0＋⎝ ⎛ ⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t ＝t 3－13t 3＋13－t 2－13t 3＋t 3 ＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)，所以S ′＝4t 2－2t ，所以t ＝12或t ＝0(舍去)． 当t 变化时，S ′，S 变化情况如下表：所以当t ＝12时，S 最小，且S min ＝14.10.如图1-7-7，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．图1-7-7【解】 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝12－13＝16.由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2，可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33⎪⎪⎪1-k＝16(1－k )3.又S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342，所以k 的值为1－342.[能力提升]1．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623【解析】 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83.【答案】 C2．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝axB ．y ＝±axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax【解析】 显然，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ， 由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得 交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2)， 所以图形面积S ＝⎠⎛02a +k [kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33⎪⎪⎪2a +k＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33 ＝(2a ＋k )36.又因为S ＝92a 3，所以(2a ＋k )36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A. 【答案】 A3．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为( )A ．110 mB ．120 mC ．130 mD ．140 m【解析】 依题意，设自开始运动到两物体相遇所用时间为x s ，则有⎠⎛0x (3t 2＋1)d t ＝5＋⎠⎛0x 10t d t ，即x 3＋x ＝5＋5x 2，(x －5)(x 2＋1)＝0，因此x ＝5.两物体相遇时物体A 运动的距离等于x 3＋x ＝53＋5＝130 m.【答案】 C4．已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积. 【导学号：60030044】【解】 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2， 方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1.解方程组{ y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1， y ＝－2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛32|2x 3－3x 2－2x ＋1－(－2x ＋1)|d x ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2|d x＝＝2732，即所求面积为2732.。

第二章 圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 B.⎝⎛⎭⎪⎫116，0C ．(1,0)D ．(0,1)解析： ∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a ，∴a ＝2，∴抛物线方程为x 2＝14y ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116. 答案： A2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析： ∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴x 2m 2＋y 2n2＝1的右焦点为(2,0)， ∴m >n 且c ＝2. 又e ＝12＝2m ，∴m ＝4.∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12. ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案： B3．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线解析： 依题意，PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )．又PA →·PB →＝x 2，∴(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，即y 2＝x ＋6.∴点P 的轨迹是抛物线． 答案： D4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析： 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52. 答案： D5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1 解析： 2c ＝6，∴c ＝3，∴2a ＋2b ＝18，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4，∴椭圆方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.答案： C6．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．1B ．0C ．－2D ．－8116解析： 设点P (x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，由题意得A 1(－1,0)，F 2(2，0)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20－x 0－2＋y 20，由双曲线方程得y 20＝3(x 20－1)，故PA 1→·PF 2→＝4x 20－x 0－5(x 0≥1)，可得当x 0＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选C. 答案： C7．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1 B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析： 设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0＋12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案： A8．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析： 由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案： B9．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－1解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，又OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即b 2－2b ＝0，解得b ＝0(舍)或b ＝2. 答案： A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析： 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即a 2＋b 2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以ba＝3，解得a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案： B11．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)解析： 抛物线y 2＝8x 上的点到准线x ＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．答案： B12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32解析： 设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．解析： 由x 225＋y 216＝1知，a ＝5，b ＝4，∴c ＝3，即F 1(－3,0)，F 2(3,0)，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝10－6＝4，于是S △PF 1F 2＝12·|PF 1|·h＝12×4×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8 2.答案： 8 214．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析： 若k 不存在，则y 21＋y 22＝32.若k 存在，设直线AB 的斜率为k ，当k ＝0时，直线AB 的方程为y ＝0，不合题意，故k ≠0.由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，y 2＝4x 得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2＋32>32.∴y 21＋y 22的最小值为32. 答案： 3215．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析： 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 2的坐标为(c,0)，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 由题意知|PF 2|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，a 2－c 2＝2ac ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －1＝0，解得c a ＝±2－1，负值舍去． 答案：2－116．已知双曲线C ：x 24－y 29＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．①直线y ＝32x ＋1与双曲线有两个交点；②双曲线C 与y 29－x 24＝1有相同的渐近线；③双曲线C 的焦点到一条渐近线的距离为3.解析： ①错误，因为直线y ＝32x ＋1与渐近线y ＝32x 平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y ＝±32x ；③正确，右焦点为(13，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3.答案： ②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．解析： 由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝ a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 18．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解析： 焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数关系得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.19．(本小题满分12分)(2014·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．解析： 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2<|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1. 20．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (0,1)，且与直线l ：y ＝－1相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则|PQ |的最大值为多少？解析： (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝ x 1－x 22＋y 1－y 22＝ 1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8] ＝8－t24＋t2≤6，即|PQ |的最大值为6.21．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A (4，m )到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．解析： (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，p ≠0其准线方程为x ＝－p2，∵A (4，m )到焦点的距离等于A 到其准线的距离， ∴4＋p2＝6，∴p ＝4，∴此抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，∵直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同两点A ，B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0Δ>0，解得k >－1且k ≠0，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． ∴所求k 的值为2.22．(本小题满分14分)已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为34，求双曲线的方程．解析： (1)依题意，有3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，即m 2＝8n 2，即双曲线方程为x 216n 2－y 23n2＝1，故双曲线的渐近线方程是x 216n 2－y 23n 2＝0，即y ＝±34x . (2)不妨设渐近线y ＝±34x 与直线l ：x ＝c 交于点A ，B ，则|AB |＝3c 2，S △OAB ＝12c ·32c ＝34，解得c ＝1. 即a 2＋b 2＝1，又b a ＝34，a 2＝1619，b 2＝319， ∴双曲线的方程为19x 216－19y23＝1.。

归纳推理的四个特点(1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．[典例1](1)观察下列不等式1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________．(2)如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．解析：(1)第n (n ＝1,2,3)个不等式的左边为前n ＋1个正整数平方的倒数和，右边分母为n＋1，分子为2n ＋1，故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.(2)设第n 层共有a n 个点，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＋1＝a n ＋6(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝6＋(n －2)×6＝6n －6(n ≥2，n ∈N *)，前n 层所有点数之和为S n ＝1＋(n －1)[6＋(6n －6)]2＝3n 2－3n ＋1，故这个点阵共有3n 2－3n ＋1个点．答案：(1)1＋122＋132＋142＋152＋162<116(2)3n 2－3n ＋1 [对点训练]1．观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．解析：设第n 个图形中小正方形的个数为S n ，观察图形，当n ＝1时，S 1＝2＋1；当n ＝2时，S 2＝3＋2＋1；当n ＝3时，S 3＝4＋3＋2＋1；当n ＝4时，S 4＝5＋4＋3＋2＋1；当n ＝5时，S 5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，可得S n ＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝[1＋(n ＋1)]·(n ＋1)2＝n 2＋3n ＋22.答案：n 2＋3n ＋22类比推理的特点是：对两类具有某些类似性质的对象，若其中一类对象具有某些已知性质，推出另一类对象也具有这些性质．(1)类比是以已知知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)常见的类比推理情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．[典例2] 在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D .则1AD 2＝1AB 2＋1AC2，类比以上结论写出四面体ABCD 中，类似的命题，并给出证明．解：猜想：在四面体A -BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两垂直，且AE ⊥平面BCD ，E 为垂足，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 故猜想正确． [对点训练]2．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示____________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面3．如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC ＝1. 运用类比猜想，对于空间中的四面体V -BCD ，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．解：如图，设O 为四面体V -BCD 内任意一点，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于V ′，B ′，C ′，D ′，类似结论为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．因为V O -BCDV V -BCD＝13·S △BCD ·h ′13·S △BCD ·h ＝OV ′VV ′(其中h ′，h 分别为两个四面体的高)，同理V O -VCD V B -VCD ＝OB ′BB ′，V O -VBD V C -VBD ＝OC ′CC ′，V O -VBCV D -VBC＝OD ′DD ′，所以OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝V O -BCD V V -BCD ＋V O -VCD V B -VCD ＋V O -VBD V C -VBD ＋V O -VBCV D -VBC＝1. 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．[典例3] 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明：法一：(分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵1－cos α＞0，∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4， 当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立，∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．法二：(综合法)∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4， 当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.[对点训练]4．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，a ≠1)． (1)证明：函数f (x )的图象在y 轴一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是图象上的两点，证明：直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x －1＞0得a x ＞1.①当a ＞1时，x ＞0，函数图象在y 轴右侧； ②当0＜a ＜1时，x ＜0，函数图象在y 轴左侧． 故综上所述，函数总在y 轴一侧．(2)由于k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，又由x 1＜x 2，故只需证y 2－y 1＞0即可．因为y 2－y 1＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1)＝log a ax 2－1ax 1－1.①当a ＞1时，由0＜x 1＜x 2得a 0＜ax 1＜ax 2， 即0＜ax 1－1＜ax 2－1，故有ax 2－1ax 1－1＞1，log a ax 2－1ax 1－1＞0，即y 2－y 1＞0.②当0＜a ＜1时，由x 1＜x 2＜0得ax 1＞ax 2＞a 0， 即ax 1－1＞ax 2－1＞0，故有0＜ax 2－1ax 1－1＜1，∴y 2－y 1＝log a ax 2－1ax 1－1＞0，即y 2－y 1＞0.综上，直线AB 的斜率总大于零.(1)如果一个命题的结论难以直接证明，可以考虑运用反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．[典例4] 设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二：交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0.从而⎩⎨⎧k 1＝y －1x，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0.整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上． [对点训练]5．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由已知a ＋b ＝c ＋d ＝1，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋ad ＋bc ＋bd . 又ac ＋bd ＞1，而a ，b ，c ，d 都是非负数，所以ad ≥0，bc ≥0， 则1＝(a ＋b )(c ＋d )＞1，矛盾．所以假设不成立，即a ，b ，c ，d 中至少有一个负数.数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可．[典例5] 已知数列{a n }中，a 2＝a ＋2(a 为常数)，S n 是{a n }的前n 项和，且S n 是na n 与na 的等差中项．(1)求a 1，a 3；(2)猜想数列{a n }的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：(1)由已知得S n ＝na n ＋na 2＝a n ＋a2·n ，当n ＝1时，S 1＝a 1， ∴2a 1＝a 1＋a ， ∴a 1＝a .当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3， ∴2(a 1＋a 2＋a 3)＝3(a 3＋a )， ∴2(a ＋a ＋2＋a 3)＝3(a 3＋a )， ∴a 3＝a ＋4.(2)由a 1＝a ，a 2＝a ＋2，a 3＝a ＋4，…，猜想a n ＝a ＋2(n －1)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ，右边＝a ＋2(1－1)＝a ， ∴当n ＝1时等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，等式成立， 即a k ＝a ＋2(k －1)， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋1＋a 2·(k ＋1)－a k ＋a2·k ，∴2a k ＋1＝(a k ＋1＋a )(k ＋1)－(a k ＋a )k ， ∴(k －1)a k ＋1＝ka k －a .∵k ≥2，∴a k ＋1＝ka k k －1－ak －1，将a k ＝a ＋2(k －1)代入，得a k ＋1＝k k －1[a ＋2(k －1)]－ak －1＝(k －1)a ＋2k (k －1)k －1＝a ＋2[(k ＋1)－1]．∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①、②可知，对于任意的正整数n ，等式a n ＝a ＋2(n －1)恒成立． [对点训练]6．用数学归纳法证明：当n ≥2且n ∈N *时，⎝⎛⎭⎫1－122·⎝⎛⎭⎫1－132·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n. 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－122＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－122·⎝⎛⎭⎫1－132·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k， 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－122·⎝⎛⎭⎫1－132·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2·⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·(k ＋1)2－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)， 这说明当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，对任意n ≥2且n ∈N *，⎝⎛⎭⎫1－122·⎝⎛⎭⎫1－132·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n都成立．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点．因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值 f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．以上推理中( )A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：选B 可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值相反，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，故选B.2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■B ．△C ．□D ．○解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确． 4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．5．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199 解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4，f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7; f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47; f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：选B 增乘的代数式为(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.8．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1367 B.⎝⎛⎭⎫1368 C.⎝⎛⎭⎫13111D.⎝⎛⎭⎫13112 解析：选D 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝⎛⎭⎫13112.故选D.9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)B ．f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2 C.n (n ＋1)2D.n (n ＋1)2f (1)解析：选C f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ⋮f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)．所以A ，D 正确．又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2，所以B 也正确．故选C.10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)解析：选B ∵当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33； ∴归纳猜想S n ＝n 3，故选B.11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 8解析：选A b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4)＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2)＝－b 4(q －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34. ∵b n ＞0，q ＞1，∴－b 4(q －1)2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34＜0， ∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.12．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 016等于( )A.12B ．－1C ．2D ．3解析：选C ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 016＝a 3＋3×671＝a 3＝2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33216．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n >2)个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n . 答案：n 2＋n三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca＜ 3.证明：因为a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0， 所以a ＞0，c ＜0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ， 即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )＞0，因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0，所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立，故原不等式成立．18．(本小题12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c中至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 都小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则a ＋b ＋c ＜3.∵a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3，且x 为实数， ∴2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3， 即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1.19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 20．(本小题12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列． (1)比较b a 与c b的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．解：(1)b a ＜c b.证明如下： 要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac .∵1a ，1b ，1c成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0.由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＞2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac＞0， 这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 是最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．21．(本小题12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x ， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )， 所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )． 所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．22．(本小题12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， ∴a 2＝2－1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3. 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立；②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k .∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0.∴a k＋1＝k＋1－k.即n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，a n＝n－n－1对任意n∈N*都成立．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝u n，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝t n，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 【答案】 A2．若f(x)＝1－x2sin x，则f(x)的导数是()A.－2x sin x－(1－x2)cos xsin2xB.－2x sin x＋(1－x2)cos xsin2xC.－2x sin x＋(1－x2)sin xD.－2x sin x－(1－x2)sin x【解析】f′(x)＝(1－x2)′sin x－(1－x)2·(sin x)′sin2x＝－2x sin x－(1－x)2cos xsin2x.【答案】 A3．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－x2x＋5B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln(2x＋5) D.x2x＋5【解析】y′＝[x ln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·12x＋5·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.【答案】 B4．(2016·宁波高二检测)函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝0【解析】 ∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′ ＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′ ＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ， ∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 【答案】 B5．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( ) A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2 sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2x D ．2sin 2x －cos x2x【解析】 y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′ ＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x. 【答案】 A 二、填空题6．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 【导学号：60030014】【解析】 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x . ∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1，∴f ′(x )＝－cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.【答案】 － 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′ ＝2 sin 2x . 【答案】 2sin 2x 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． 【解】 (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2.(2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x . (3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程．【解】 因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′ ＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ， 所以y ′|x ＝π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3.所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.[能力提升]1．(2016·长沙高二检测)函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos 2x －sin 2xC ．sin 2x ＋cos 2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4【解析】 ∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故选A. 【答案】 A2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 因为y ＝4e x＋1，所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x＋1e x ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 D3．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为_________________________． 【解析】 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ， 所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)， 即5x ＋y －3＝0. 【答案】 5x ＋y －3＝04．已知函数f (x )＝x 3＋1(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围. 【导学号：60030015】【解】 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。

2016-2017学年高中数学章末质量评估2 新人教A版选修2-2一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( )A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数D．有理数都是有限循环小数解析：演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C.答案： C2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个偶数．”正确的反设为( )A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：“至少有一个”的反面是“一个也没有”，∴“a，b，c中至少有一个是偶数”应反设为：a，b，c都是奇数．答案： B3．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得当n＝k ＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( ) A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立解析：依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.答案： C4．下列表述正确的是( )①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是3.A．①②③④B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤解析：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；|z＋2－2i|＝1表示复平面上的点到(－2,2)的距离为1的圆，|z－2－2i|就是圆上的点，到(2,2)的距离的最小值，就是圆心到(2,2)的距离减去半径，即：|2－(－2)|－1＝3，故⑤正确．故选D.答案： D5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n＝6n＋2.答案： C6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c，则正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．答案： B7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199解析：记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. 答案： C8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 014等于( )A ．12 B ．－1 C ．2D ．3解析： ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 014＝a 1＋3×671＝a 1＝12.答案： A9．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中点D ．各正三角形外的某点解析： 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案： C10．已知x ＞0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析： 由x ＋1x ≥2，x ＋4x ＝x ＋22x ≥3，x ＋27x ＝x ＋33x ≥4，…，可推广为x ＋nnx≥n ＋1，故a ＝n n.答案： B11．命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为2∶1，类比可得在四面体中，顶点与所对面的________连线所得四线段交于一点，且分线段比为________( )A ．重心 3∶1B ．重心 3∶1C ．内心 2∶1D ．外心 2∶1解析： 由四面体的性质可得结论为A. 答案： A12．在用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)时，在验证当n ＝1时，等式左边为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析： 等式左边共n ＋2项，规律是a 的指数从0依次增加1直到n ＋1，故n ＝1，最后一项为a 2.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案： 菱形的对角线互相垂直且平分14．已知x ，y ∈R ，且x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析： “至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案： x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1) 15．观察下列不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…照此规律，第五个不等式为________________________________________．解析：先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162＜11616．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有__________个小正方形．解析：第1个图中有3个小正方形，第2个有3＋3＝6个小正方形，第3个有6＋4＝10个小正方形，第4个图形有10＋5＝15个小正方形，第5个图形有15＋6＝21个小正方形，第6个图形中有21＋7＝28个小正方形．答案：28三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．18．(本小题满分12分)(1)证明：函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数；(2)当x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？解析：(1)证明：任取x1，x2∈(－∞，1]，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．∵x 1<x 2≤1，∴x 2＋x 1－2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)．于是，根据“三段论”可知，f (x )＝－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．(2)∵f (x )在(－∞，1]上是增函数，而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间，∴f (x )在[－5，－2]上是增函数．19．(本小题满分12分)已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100，求证a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.解析： 假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25， 则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100矛盾，故假设错误． 所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.20．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，记A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明： 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证明c a ＋b ＋ab ＋c＝1，所以只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证明c 2＋a 2＝ac ＋b 2.(*)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， ∴∠B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. ∴b 2＝c 2＋a 2－ac .代入(*)式，等式成立． ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，故命题得证．21．(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析： 方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α －12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋si n 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.22．(本小题满分13分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解析： 当n ＝2时，f (1)＝g (2)[f (2)－1]， 得g (2)＝ff－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝2. 当n ＝3时，f (1)＋f (2)＝g (3)[f (3)－1]，得g (3)＝f ＋f f －1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3. 猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n －1)]恒成立．(1)当n ＝2时，由上面计算知，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)， 那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤fk ＋－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， 故当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立． 故存在函数g (n )＝n 使等式成立．。

阶段质量检测(二) 推理与证明班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2C.nn －4＋n ＋4n ＋4－4＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝22．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a≠0)可得b ＝c .则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋17．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n －1)D ．n n8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋29．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．19910．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．12．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________. 13．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f(x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14.观察下列数字： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于2 0152.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)观察下列式子： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，假设1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f x1－f x ，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．答 案1．选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 2．选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.3．选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．选A 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a≠0)得a·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a⊥(b －c )，故④错误．6．选B 增乘的代数式为k ＋1＋k k ＋1＋k ＋1k ＋1＝2(2k ＋1)．7．选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.8．选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．选C 记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.11．解析：∵f (x )＝12x＋2， f (1－x )＝121－x＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x . ∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x ＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12，∴S ＝3 2. 答案：3 212．解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋2n －12n －22＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 00815．解：猜想sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°＋2α2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋cos 60°＋2α－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°·cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.16．解：(1) b a ＜ cb.证明如下： 要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c≥21ac，∴b 2≤ac .又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：法一 假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二 假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c＞1b＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．17．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f x ＋a1－f x ＋a ＝1＋1＋fx 1－f x 1－1＋fx 1－f x＝－1f x ， 所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1fx ＋2a＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数． 18．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n ＞0，所以a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， 所以a 2＝2－1.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 证明：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立． 由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。

第二章一、选择题(本大题共小题．每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( )．实数分为有理数和无理数．π不是有理数．无理数都是无限不循环小数．有理数都是有限循环小数解析：演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选.答案：．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中至少有一个偶数．”正确的反设为( )．，，中至少有两个偶数．，，都是奇数．，，中至少有两个偶数或都是奇数．，，都是偶数解析：“至少有一个”的反面是“一个也没有”，∴“，，中至少有一个是偶数”应反设为：，，都是奇数．答案：．某个命题与正整数有关，如果当＝(∈*)时，该命题成立，那么可推得当＝＋时命题也成立．现在已知当＝时，该命题不成立，那么可推得( )．当＝时该命题不成立．当＝时该命题成立．当＝时该命题不成立．当＝时该命题成立解析：依题意，若＝时该命题成立，则＝时该命题成立；而＝时该命题不成立，却无法判断＝时该命题成立还是不成立，故选.答案：．下列表述正确的是( )①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若∈，且＋－＝，则－－的最小值是.．①②③④．②③④．①②④⑤．①②⑤解析：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；＋－＝表示复平面上的点到(－)的距离为的圆，－－就是圆上的点，到()的距离的最小值，就是圆心到()的距离减去半径，即：－(－)－＝，故⑤正确．故选.答案：．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )．－．－．＋．＋解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为＝＋.答案：．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠)可得＝，则正确的结论有( )．个．个．个．个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由·＝·(≠)得·(－)＝，从而－＝或⊥(－)，故④错误．答案：．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝( )．．．．解析：记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝.通过观察不难发现()＝(－)＋(－)(∈*，≥)，则()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝.所以＋＝.答案：．数列{}满足＝，＋＝－，则等于( )。

第一章一、选择题(本大题共小题．每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若曲线＝＋＋在点(，)处的切线方程是－＋＝，则( )．＝，＝．＝－，＝．＝，＝－．＝－，＝－解析：∵′＝＋，∴曲线＝＋＋在(，)处的切线方程的斜率为，切线方程为－＝，即－＋＝.∴＝，＝.答案：．函数＝的导数为( )．′＝－．′＝＋．′＝－．′＝－解析：利用求导法则运算．答案：．设()＝，若′()＝，则＝( )．．．．解析：′()＝()′＝＋，′()＝＋＝⇒＝.答案：．函数()的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )．<′()<′()<()－()．<′()<()－()<′()．<′()<′()<()－()．<()－()<′()<′()解析：由′()，′()的几何意义知′()>′()>，设(，())，(，())，则＝，由图象知<′()<<′()．答案：．过曲线＝(>)上横坐标为的点的切线方程为( )．＋－＝．＋－＝．－＋＝．－－＝解析：∵′＝＝，∴该切线的斜率＝′＝＝－，则所求的切线方程为－＝－(－)，即＋－＝，故选.答案：．若函数()在上可导，且()＝＋′()＋，则( )．()<() ．()＝()．()>() ．无法确定解析：′()＝＋′()⇒′()＝＋′()⇒′()＝－.从而()＝－＋，其对称轴为＝，则()>()．答案：．如图，阴影部分的面积是( )．．－．．解析：＝(－－)＝＝.答案：．若函数()的导函数′()＝－＋，则函数(＋)的单调递减区间是( )．() ．(－，－)．() ．()解析：由′()＝－＋＝(－)(－)知，当∈()时，′()<，函数()在()上为减函数，函数＝(＋)的图象是由函数＝()的图象向左平移个单位长度得到的，所以()为函数＝(＋)的单调递减区间．故选.答案：．函数()＝－的极大值为，极小值为，则＋为( )．．．．解析：()＝－⇒′()＝－＝⇒＝±，不难判断＝(－)＝(－)＋＝，＝()＝－＝－，＋＝.答案：．一物体在力()＝－(单位：)的作用下，沿着与力相同的方向，从＝处运动到＝处(单。

模块综合评价(一) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2015·福建卷)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅解析：由已知得A ＝{i ，－1，－i ，1}，故A ∩B ＝{1，－1}，故选C. 答案：C2．演绎推理“因为指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是对数函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是增函数”所得结论错误的原因是( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误解析：当a ＞1时，指数函数y ＝a x是增函数，所以大前提错误． 答案：A3．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”．答案：A4．给出下列三个类比推理的结论： ①类比a x·a y＝ax ＋y，则有a x ÷a y ＝ax －y；②类比log a (xy )＝log a x ＋log a y ，则有sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ③类比(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，则有(a →＋b →)2＝a →2＋2a → b →＋b →2.其中，结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：只有①③的结论是正确的． 答案：B5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：Q 2－P 2＝(a ＋3＋a ＋4)2－(a ＋a ＋7)2＝2(a 2＋7a ＋12－a 2＋7a )，因为a ≥0，所以Q 2－P 2＞0，又P ＞0，Q ＞0，所以Q ＞P . 答案：C6．如图所示，阴影部分面积为( )A.∫ba d x B.∫ca d x ＋∫bc d x C.∫ca d x ＋∫bc d x D.∫b a d x解析：因为在区间(a ，c )上g (x )＞f (x )，而在区间(c ，b )上g (x )＜f (x )．所以S ＝S 1＋S 2＝∫c a d x ＋∫bc d x .答案：B7．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2.”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知，O 为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h ，由等体积法可求内切球半径为14h ，外接球半径为34h ，所以AOOM＝3.答案：C8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，|x ＋1＋y i|＝（x ＋1）2＋y 2， |1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝（y －1）2＋x 2， 则（x ＋1）2＋y 2＝（y －1）2＋x 2，得y ＝－x .所以复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线y ＝－x .答案：A9．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如下图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极大值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：若f (x )在x 0处的左边导函数的符号为正，右边为负，则x 0是函数f (x )的极大值点，据此判断，函数f (x )有两个极大值点．答案：B10．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x(x ＞0)，由f ′(x )＞0得x 2－x －2＞0，解得x ＜－1或x ＞2. 因为x ＞0，所以x ＞2. 答案：C11．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 的坐标为( ) A ．(1，0) B ．(－1，－4)C ．(1.－4)D ．(1，0)或(－1，－4)解析：f ′(x )＝3x 2＋1，设点P 坐标为P (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，得x 20＝1，所以x 0＝1或x 0＝－1，对应的y 0＝0或y 0＝－4.答案：D12．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )＞0，a ＝f (0)，b＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解析：由f (x )＝f (2－x )知，函数f (x )图象关于直线x ＝1对称，由(x －1)f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f ′（x ）＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f ′（x ）＜0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，又a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，c ＝f (3)，32＜2＜3，所以c ＞a ＞b . 答案：B二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角． 解析：依题意cos θ＞0，－sin θ＜0，即cos θ＞0，sin θ＞0，所以θ为第一象限角．答案：一14．变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2(m/s)(其中t 为时间，单位：s)，则它在前2s 内所走过的路程为________m.解析：令v (t )＝0得t ＝1，当t ∈(0，1)时，v (t )＞0；当t ∈(1，2)时，v (t )＜0，所以物体所走的路程为∫10(1－t 2)d t ＋∫21(t 2－1)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13t 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－t 21＝2. 答案：215．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .n ＝2，S 2＝4；n ＝3，S 3＝8；n ＝4，S 4＝12；….按此规律，推出S n 与n 的关系式为_________________________________________．解析：依图的构造规律可以看出：S 2＝2×4－4， S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)． 答案：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)16．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，易知P (4，8)，Q (－2，2)，所以在P ，Q 两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l 1：4x －y －8＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y ＝－4.答案：－4三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2的单调区间．解：f ′(x )＝e x－1＋x e x－x ＝(e x－1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－1，0)时f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减． 18．(本小题满分12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y (x ，y ∈R)．则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，所以y ＝－2. 又z2－i＝x －2i 2－i ＝15(x －2i )·(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， 所以x ＝4，所以z ＝4－2i.又因为(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞0，8（a －2）＞0，解得2＜a ＜6，所以实数a 的取值范围是{a |2＜a ＜6}．19．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等.1a，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：B 不可能是钝角． (1)解：大小关系为b a ＜c b，证明如下：要证ba＜cb，只需证ba＜cb，由题意知a，b，c＞0，只需证b2＜ac，因为1a，1b，1c成等差数列，所以2b＝1a＋1c≥21ac，所以b2＜ac，又a，b，c任意两边均不相等，所以b2＜ac成立．故所得大小关系正确．(2)证明：假设B是钝角，则cos B＜0，而cos B＝a2＋c2－b22ac＞2ac－b22ac＞ac－b22ac＞0.这与cos B＜0矛盾，故假设不成立．所以B不可能是钝角．20．(本小题满分12分)已知a≥5，求证：a－5－a－3＜a－2－a. 证明：要证a－5－a－3＜a－2－a，只需证a－5＋a＜a－3＋a－2，只需证(a－5＋a)2＜(a－3＋a－2)2，只需证2a－5＋2a2－5a＜2a－5＋2a5－5a＋6，只需证a2－5a＜a2－5a＋6，只需证a2－5a＜a2－5a＋6，只需证0＜6.因为0＜6恒成立，所以a－5－a－3＜a－2－a成立．21．(本小题满分12分)已知f(x)＝－x3＋ax，其中a∈R，g(x)＝－12x32，且f(x)＜g(x)在(0，1]上恒成立．求实数a的取值范围．解：设F(x)＝f(x)－g(x)＝－x3＋ax＋12x32，因为f(x)＜g(x)在(0，1]上恒成立，所以F(x)＜0在(0，1]上恒成立，所以a＜x2－12x12，这样，要求a的取值范围，使得上式在区间(0，1]上恒成立，只需求函数h (x )＝x 2－12x 12在(0，1]上的最小值．因为h ′(x )＝2x －14x＝（2x －1）（4x ＋2x ＋1）4x，由h ′(x )＝0，得(2x －1)(4x ＋2x ＋1)＝0. 因为4x ＋2x ＋1＞0， 所以2x －1＝0，得x ＝14.又因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，h ′(x )＜0， x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1时，h ′(x )＞0，所以x ＝14时，h (x )有最小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－316，所以a ＜－316.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)当k ＝2时，f (x )＝ln (1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x （kx ＋k －1）1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1，0)上，f ′(x )＞0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )＜0. 故f (x )的单调递增区间是(－1，0)， 单调递减区间是(0，＋∞)． 当0＜k ＜1时，由f ′(x )＝x （kx ＋k －1）1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk＞0.所以，在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k，＋∞上，f ′(x )＞0；在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1－k k 上，f ′(x )＜0. 故f (x )的单调递增区间是(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1－k k . 当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x. 故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)． 当k ＞1时，由f ′(x )＝x （kx ＋k －1）1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1，0)，x 2＝0.所以，在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)上，f ′(x )＞0； 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k，0上，f ′(x )＜0.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k，0.。

高中数学人教a版高二选修2-2章末综合测评2 含解析章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C 项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．下列几种推理是演绎推理的是()A．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式B．某校高三共有12个班，其中(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D．两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π【解析】A，B为归纳推理，C为类比推理．【答案】 D3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【解析】 由归纳推理的特点知，选B. 【答案】 B4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( ) A ．完全正确 B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】 A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . 【答案】 B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n ＝k＋2，故选B.【答案】 B7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是()A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.【答案】 A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 013【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴a n－5＝(n－1)(n＋6)2，∴a2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011.【答案】 D11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 015＋a2 016＋a2 017＝()图2A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009【解析】依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2 015＋a2 017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2 016＝12×2 016＝1 008，a2 015＋a2 016＋a2 017＝1 008.故选C.【答案】 C 12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104 B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104 【解析】 因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为__________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝114．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .【解析】 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有n(n＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】(5,7)15．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a －b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a－b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116．如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N*)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋n(n－3)2＝n(n＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n(n－3)2·(n－2)＝n(n－1)(n－2)2.【答案】n(n＋1)212n(n－1)(n－2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝3 4，sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝3 4.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α ＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N *，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3. 【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N *. 下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知： a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k＋1＝13(k＋1)－2.即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N*，a n＝13n－2成立．(2)b n＝a n·a n＋1 a n＋a n＋1＝13n－2·13n＋1 13n－2＋13n＋1＝13n＋1＋3n－2＝13(3n＋1－3n－2)，所以b1＋b2＋…＋b n＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝13(3n＋1－1)，所以只需要证明13(3n＋1－1)<n3⇔3n＋1<3n＋1⇔3n＋1<3n＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N*，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3.第11页共11页。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2【解析】 ⎠⎛241x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.【答案】 D2．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a >c >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x 4343⎪⎪⎪10＝34， b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14，∴a >b >c . 【答案】 A3．(2016·东莞高二检测)已知积分⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【解析】 ⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2.【答案】 A4．已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛-12f (x )d x ＝( )A ．3B ．4 C.72D.92【解析】 因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x ≤0，2－x ， x ≥0，所以⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10 (2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22＝32＋2＝72.【答案】 C5．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23 B.34 C.45D.56【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21 ＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题6．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于__________. 【导学号：60030039】【解析】 ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍)或k ＝1.【答案】 17．(2016·南宁模拟)设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于____________ .【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1－13x 3| 10＝43.【答案】 438．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9．计算下列定积分． (1)⎠⎛121x (x ＋1)d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (cos x ＋2x )d x .【解】 (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝[ln x －ln(x ＋1)]| 21＝ln 43.(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (cos x ＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋2xln 2＝2＋1ln 2(2π2－2－π2)．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x )．【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，② ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ＝196，③由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1．(2016·石家庄高二检测)若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ＝3－ln 2，且a >1，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2【解析】 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ＝(x 2－ln x )|a 1 ＝a 2－ln a －1，故有a 2－ln a －1＝3－ln 2， 解得a ＝2. 【答案】 D2．如图1-6-2所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )图1-6-2A.14 B.15 C.16D.17【解析】 因为S 正方形＝1，S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝23－12＝16，所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16. 【答案】 C3．计算：⎠⎛-22(2|x |＋1)d x ＝__________. 【导学号：60030040】【解析】 ⎠⎛-22(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛-20(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12. 【答案】 124．已知f (x )＝⎠⎛-a x ⎠⎛x －a(12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．【解】 因为f (x )＝⎠⎛x －a(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x ) ⎪⎪⎪10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1. 所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.。

选修2－2 全册质量评估检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝8－6i 2i ＝－3－4i. 答案：A2．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( )A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin2x 2，故选A.答案：A3．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)．则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2解析：因为f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(0)＝2f ′(1)．因为f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，故f ′(0)＝－4.答案：B4．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋) C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2答案：C5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.答案：C6．已知函数f (x )＝a sin2x －13sin3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 等于( ) A ．0 B ．1C.12 D ．－12解析：因为f ′(x )＝2a cos2x －cos3x ，。

第二章圆锥曲线与方程(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知抛物线的方程为＝，且过点()，则焦点坐标为( )．()．()解析：∵抛物线过点()，∴＝，∴＝，∴抛物线方程为＝，焦点坐标为.答案：．设椭圆＋＝(>，>)的右焦点与抛物线＝的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：∵＝的焦点为()，∴＋＝的右焦点为()，∴>且＝.又＝＝，∴＝.∵＝－＝，∴＝.∴椭圆方程为＋＝.答案：．已知点(－)，()，动点(，)满足·＝，则点的轨迹是( )．椭圆．圆．抛物线．直线解析：依题意，＝(－－，－)，＝(－，－)．又·＝，∴(－－)(－)＋＝，即＝＋.∴点的轨迹是抛物线．答案：．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点(，－)，则它的离心率为()解析：设双曲线的标准方程为－＝(>，>)，所以其渐近线方程为＝±，因为点(，－)在渐近线上，所以＝，根据＝＋，可得＝，解得＝，＝.答案：．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为()＋＝＋＝＋＝或＋＝＋＝解析：＝，∴＝，∴＋＝，＝＋，∴(\\(＝，＝，))∴椭圆方程为＋＝或＋＝.答案：．已知双曲线－＝的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )．．．－．－解析：设点(，)，则－＝，由题意得(－)，(，)，则·＝(－－，－)·(－，－)＝－－＋，由双曲线方程得＝(－)，故·＝－－(≥)，可得当＝时，·有最小值－.故选.答案：．已知是抛物线＝的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是( )．＝－．＝－．＝－．＝－解析：设(，)，的中点为(，)，则＝，又()，∴(\\(＝()，＝(＋)，))∴(\\(＝，＝－，))代入＝得－＝()，化简得＝－，故选.答案：．抛物线＝的焦点到双曲线－＝的渐近线的距离是( )．解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为()，双曲线的渐近线方程为－＝或＋＝，则焦点到渐近线的距离＝＝或＝＝.答案：．直线＝＋与抛物线＝交于，两点，为坐标原点，且⊥，则＝( )。

1.导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[典例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16. 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)， 则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1. 解得，x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14. [对点训练]1．设函数f (x )＝4x 2－ln x ＋2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝8x －1x.所以在点(1，f (1))处切线的斜率k ＝f ′(1)＝7， 又f (1)＝4＋2＝6，所以切点的坐标为(1,6)．所以切线的方程为y －6＝7(x －1)，即7x －y －1＝0.借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ，e x ，－x 3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f ′(x )的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．[典例2] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)． 此时f ′(x )＝2(x ＋1)2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12<a <0时，Δ>0.设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ，由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a>0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，上单调递增．[典例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. 故4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 因此a 的取值范围是[5,7]． [对点训练]2．已知函数f (x )＝x e kx (k ≠0)，求f (x )的单调区间． 解：f ′(x )＝(1＋kx )e kx ，若k >0，则由f ′(x )>0得1＋kx >0，x >－1k ；由f ′(x )<0得x <－1k.∴k >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－1k . 若k <0，则由f ′(x )>0得1＋kx >0，x <－1k ；由f ′(x )<0得x >－1k .∴k <0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－1k ，递减区间为⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞. 3．若a ≥－1，求函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)的单调区间． 解：由已知得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝ax －1x ＋1(a ≥－1)， (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； (2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a .f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－1，1a1a ⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值从上表可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，1a 时，f ′(x )<0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，1a 上单调递减． 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增． 综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a >0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，1a 上单调递减，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增.1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f (x )的定义域． (2)解方程f ′(x )＝0的根．(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号： 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值． 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．[典例4] 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ，且x ＝3是f (x )的极值点． (1)求实数a 的值；(2)求f (x )在x ∈[1,5]上的最小值和最大值． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3. f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5.(2)f (x )＝x 3－5x 2＋3x .令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝13(舍去)．当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x 1 (1,3) 3 (3,5) 5 f ′(x ) －0 ＋ f (x )－1－915因此，当当x ＝5时，f (x )在区间[1,5]上有最大值是f (5)＝15. [典例5] 已知函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R .(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝0时，曲线f (x )＝x 2－ln x ，所以f ′(x )＝2x －1x ⇒f ′(1)＝1，f (1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x－y ＝0.(2)因为函数在[1,2]上是减函数，所以f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1,2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≤0，h (2)≤0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，得a ≤－72. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－72. (3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①当a ≤0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)．②当1a ≥e 时，g ′(x )≤0在(0，e]上恒成立，所以g (x )在(0，e]上单调递减． g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．③当0<1a <e 时，令g ′(x )<0⇒0<x <1a ，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增．所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件． 综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，g (x )有最小值3. [对点训练]4．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x ＝32，或x ＝12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 ⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax＋1≥0在R 上恒成立．因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，又由a >0，得0<a ≤1.即a 的取值范围为(0,1]．5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2,1)内x ＝－1时取极小值，x ＝23时取极大值．(1)求曲线y ＝f (x )在x ＝－2处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2,1]上的最大值与最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，又x ＝－1，x ＝23分别对应函数的极小值，极大值，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．即23a ＝－1＋23，－b 3＝(－1)×23. 于是a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x .x ＝－2时，f (－2)＝2，即切点为(－2,2)．又切线斜率为k ＝f ′(－2)＝－8， 所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.x －2 (－2，－1)－1 ⎝⎛⎭⎫－1，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )2－32222712则f (x )在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－32.从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f (x )>g (x )，则构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证φ(x )>0即可，由此转化成求φ(x )最小值问题，借助于导数解决．[典例6] 已知函数f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，求证：对任意实数x ，都有f (x )≥g (x )．解：(1)f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，由f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 当－2<x <0或x >1时，f ′(x )>0； 当x <－2或0<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)和(0,1)上是减函数．(2)证明：f (x )－g (x )＝x 2e x －1－x 3＝x 2(e x －1－x )．设h (x )＝e x －1－x ，h ′(x )＝e x －1－1， 由h ′(x )＝0得x ＝1，则当x <1时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减； 当x >1时，h ′(x )>0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因此，当x ＝1时，h (x )取最小值h (1)＝0.即对任意实数x 都有h (x )≥0，又x 2≥0，所以f (x )－g (x )≥0， 故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )． [对点训练]6．证明不等式ln x >2(x －1)x ＋1，其中x >1.证明：设f (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x >1)，则f ′(x )＝1x －4(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2.∵x >1，∴f ′(x )>0，即f (x )在(1，＋∞)内为单调递增函数． 又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0， 即ln x －2(x －1)x ＋1>0，∴ln x >2(x －1)x ＋1.解决恒成立问题的方法：(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )max ≤m . (2)若关于x 的不等式f (x )≥m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )min ≥m . (3)导数是解决函数f (x )的最大值或最小值问题的有力工具． [典例7] 已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .又当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x ∈(－∞，－3]，∴a ≥－3，即a 的取值范围为[－3，＋∞)． (2)由题知，2f (x )≥－x 2＋mx －3， 即mx ≤2x ·ln x ＋x 2＋3. 又x >0，∴m ≤2x ·ln x ＋x 2＋3x .令h (x )＝2x ·ln x ＋x 2＋3x，h ′(x )＝(2x ln x ＋x 2＋3)′·x －(2x ln x ＋x 2＋3)·x ′x 2＝(2ln x ＋2＋2x )x －(2x ln x ＋x 2＋3)x 2＝2x ＋x 2－3x 2，令h ′(x )＝0.解得x ＝1，或x ＝－3(舍)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )min ＝h (1)＝4， 即m 的最大值为4. [对点训练]7．已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝1处取得极值，求证：对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，令f ′(x )＝0， 由Δ>0得1－12b >0，解得b <112.即b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c ，f (1)＝－32＋c . 又f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，由f (x )<c 2在x ∈[－1,2]上恒成立，得2＋c <c 2，即c 2－c －2>0.解得c >2或c <－1. 故所求c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． (3)证明：由(2)知f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c ，故对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )min －f (x )max |＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－32＋c －(2＋c )＝72.讨论方程根的个数，研究函数图象与x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．[典例8] 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求f (x )的极值点；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有3个不同实根，求实数a 的取值范围； (3)已知当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3(x 2－2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ 2.当x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈()－2，2时，f ′(x )<0， 因此x 1＝－2，x 2＝2分别为f (x )的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y ＝f (x )图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)<a <f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x )＝a 有3个不同实根时，所求实数a 的取值范围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x )≥k (x －1)，即(x －1)(x 2＋x －5)≥k (x －1)，因为x >1，所以k ≤x 2＋x －5在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋x －5，由二次函数的性质得g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )>g (1)＝－3，所以所求k 的取值范围是为(－∞，－3]． 法二：直线y ＝k (x －1)过定点(1,0)且f (1)＝0， 曲线f (x )在点(1,0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中草图知要使x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立需k ≤－3.故实数k 的取值范围为(－∞，－3]．[对点训练]8．设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明若f (x )有零点，则f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.因为k >0，所以令f ′(x )＝0得x ＝k ，列表如下：x (0，k ) k (k ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值减区间为(0，k )，增区间为(k ，＋∞)． 当x ＝k 时，取得极小值f (k )＝k －k ln k2. (2)当k ≤1，即0<k ≤1时，f (x )在(1，e)上单调递增， f (1)＝12，f (e)＝e 2－k 2＝e －k 2>0，所以f (x )在区间(1，e)上没有零点．当1<k <e ，即1<k <e 时，f (x )在(1，k )上递减，在(k ，e)上递增，f (1)＝12>0，f ()e ＝e －k 2>0，f ()k ＝k －k ln k 2＝k (1－ln k )2>0，此时函数没有零点．当k ≥e ，即k ≥e 时，f (x )在()1，e 上单调递减，f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点．综上，若f (x )有零点，则f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点.解决优化问题的步骤：(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域． (2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．[典例9] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线的一部分(河流宽度忽略不计)．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN ，试求游乐园的最大面积．解：如图，以M 点为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则D (4,2)．设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p .解得p ＝12.∴曲线MD 的方程为y 2＝x (0≤x ≤4,0≤y ≤2)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点， 则|PQ |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为S ＝|PQ |·|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得，S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0， 得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍)．当y ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，S ′>0，函数为增函数； 当y ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝23时，S 有最大值．这时|PQ |＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝⎛⎭⎫232＝329.∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)．[对点训练]9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端桥墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解：(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256(0<x ≤m )． (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值， 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.由定积分求曲边梯形面积的方法步骤：(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标．(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和． [典例10] 求由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围图形的面积S .解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32|10－14x 4|10＝512.[对点训练]10．试求由抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝－x ＋7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积．解：画出图形(如图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋7得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |20＋⎝⎛⎭⎫7x －12x 2|72＝143＋252＝1036.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f(x)＝ln xx 2，则f ′(e )＝( )A .1e 3B .1e 2C ．－1e 2D ．－1e3解析：选D ∵f ′(x)＝x 2x －2x ln x x 4＝1－2ln xx 3， ∴f ′(e )＝1－2ln e e 3＝－1e3. 2．若函数f(x)＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：选A ∵f(x)＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，∴f ′(x)＝x 2－2f ′(1)·x －1，∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，∴f ′(1)＝0. 3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 解析：选A ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．已知对任意实数x ，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f ′(x)>0，g ′(x)>0，则x<0时( )A ．f ′(x)>0，g ′(x)>0B ．f ′(x)>0，g ′(x)<0C ．f ′(x)<0，g ′(x)>0D ．f ′(x)<0，g ′(x)<0解析：选B f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f ′(x)>0; g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g ′(x)<0.A .13B .23C .23 D ．－236．若f(x)＝－12x 2＋b ln (x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 解析：选C f ′(x)＝－x ＋b x ＋2. ∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x)＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤x(x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立． 又∵x(x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b ≤－1.7．已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B .⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞)解析：选B 由题知，x>0，f ′(x)＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知0<a<12.8．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B 设f(x)＝2x 3－6x 2＋7， 则f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)． ∵x ∈(0,2)，∴f ′(x)<0.∴f(x)在(0,2)上递减，又f(0)＝7，f(2)＝－1， ∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点，即方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内只有一个根．9．曲线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积等于( ) A .13 B .23 C ．1 D .43解析：选D 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3︱10＝2×23＝43. 10．若函数f(x)在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，则当a >b 时，下列不等式成立的是( )A ．e a f (a )>e b f (b )B ．e b f (a )>e a f (b )C ．e b f (b )>e a f (a )D ．e a f (b )>e b f (a ) 解析：选D ∵⎝⎛⎭⎫f (x )e x ′＝e xf ′(x )－e xf (x )(e x )2＝e x [f ′(x )－f (x )](e x )2<0，∴y ＝f (x )e x 单调递减，又a >b ，∴f (a )e a <f (b )e b， ∴e a f (b )>e b f (a )．11．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 当x >0时，令F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，∴当x >0时，F (x )＝f (x )x为减函数． ∵f (x )为奇函数，且由f (－1)＝0，得f (1)＝0，故F (1)＝0. 在区间(0,1)上，F (x )>0；在(1，＋∞)上，F (x )<0. 即当0<x <1时，f (x )>0；当x >1时，f (x )<0.又f (x )为奇函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0； 当x ∈(－1,0)时，f (x )<0.综上可知，f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．12．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1， 解析：选C 构造函数F (x )＝f (x )－kx ， 则F ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴函数F (x )在R 上为单调递增函数．∵1k －1>0，∴F ⎝⎛⎭⎫1k －1>F (0)． ∵F (0)＝f (0)＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1－kk －1>－1， 即f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1，故C 错误．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析：由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax －1x 及导数的几何意义得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，解得a ＝12.答案：1214．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 单位：m/s ，t 单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．解析：停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30 s ，s ＝∫300v (t )d t ＝∫300(27－0.9t )d t＝(27t －0.45t 2)|300＝405(m)．答案：405 m15．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为________． 解析：f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，则f ′(1)＝3a ＋12a .∵a <0，∴f ′(1)＝－⎣⎡⎦⎤(－3a )＋21－a≤－2(－3a )×12－a＝－12. 当且仅当－3a ＝12－a，即a ＝－2时，取“＝”．答案：－216．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，y ′＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，函数无极值，故a ＝4，b ＝－11. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和均值不等式可知， f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，当且仅当ax ＝1时等号成立， 即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增； 当0<x <1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.18．(本小题12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立．又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 19．(本小题12分)若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间及极值． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－43x ，由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x >0)．f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x .由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2.①当f ′(x )>0时，1<x <2；②当f ′(x )<0时，0<x <1或x >2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )5383－43ln 2函数的极小值为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln 2.20．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln xx .(1)判断函数f (x )的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x 的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－ln xx 2.当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．(2)依题意得，不等式a <ln x ＋1x 对于x >0恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x . 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，则g (x )是(1，＋∞)上的增函数； 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，则g (x )是(0,1)上的减函数．所以g (x )的最小值是g (1)＝1，从而a 的取值范围是(－∞，1)．21．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x >0)，当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值；当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝－a ， 且0<x <－a 时，f ′(x )<0， x >－a 时，f ′(x )>0.所以x ＝－a 时，f (x )取得最小值，f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e. (2)g (x )<x 2即ln x －a <x 2，即a >ln x －x 2，故g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，也就是a >ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x，由h ′(x )＝0及0<x ≤e 得x ＝22. 当0<x <22时，h ′(x )>0，当22<x ≤e 时，h ′(x )<0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln22－12，＋∞.22．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值． 解：(1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)， 即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. (3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ∈(0,1)恒成立． 当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－k ＋21－x 2.所以当0<x < 4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0， 4k －2k 上单调递减．版权所有:中国好课堂 故当0<x < 4k －2k时，h (x )<h (0)＝0， 即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. 所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33并非对x ∈(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2.。