瞬时变化率

变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。

例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。

拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。

即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。

利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。

导数——平均变化率与瞬时变化率本讲教育信息】⼀. 教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率⼆. 本周教学⽬标：1、了解导数概念的⼴阔背景，体会导数的思想及其内涵．2、通过函数图象直观理解导数的⼏何意义．三. 本周知识要点：（⼀）平均变化率1、情境：观察某市某天的⽓温变化图2、⼀般地,函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（⼆）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上⼀点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c⽆限地趋近于点P，割线PQ⽆限地趋近于某⼀极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线割线PQ的斜率为，即当时，⽆限趋近于点P的斜率．2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某⼀时刻（某⼀位置）的速度，叫做瞬时速度.2）确定物体在某⼀点A处的瞬时速度的⽅法：要确定物体在某⼀点A处的瞬时速度，从A点起取⼀⼩段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表⽰物体经过A点的瞬时速度.当位移⾜够⼩时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．我们现在已经了解了⼀些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律⽤函数表⽰为s＝s（t），也叫做物体的运动⽅程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt称时间增量）平均速度根据对瞬时速度的直观描述，当位移⾜够⼩，现在位移由时间t来表⽰，也就是说时间⾜够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt⾜够短，就是Δt⽆限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率⽆限趋近于⼀个常数，那么称这个常数为物体在t＝ t0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率，当Δt→0时，平均速度⽆限趋近于⼀个常数，那么这个常数为在t＝ t0时的瞬时加速度．3、导数3、导数设函数在（a,b）上有定义，．若⽆限趋近于0时，⽐值⽆限趋近于⼀个常数A，则称f（x）在x＝处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作．⼏何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每⼀个，都对应着⼀个确定的导数，从⽽构成了⼀个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作．【典型例题】例1、⽔经过虹吸管从容器甲中流向容器⼄，t s后容器甲中⽔的体积（单位：），计算第⼀个10s内V的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为即第⼀个10s内容器甲中⽔的体积的平均变化率为．例2、已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．解：函数在[－3，－1]上的平均变化率为在[－3,－1]上的平均变化率为函数在[0，5]上的平均变化率为在[0，5]上的平均变化率为例3、已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数在区间[1，3]上的平均变化率为函数在[1，2]上的平均变化率为函数在[1，1.1]上的平均变化率为函数在[1，1.001]上的平均变化率为例4、物体⾃由落体的运动⽅程s＝s（t）＝gt2，其中位移单位m，时间单位s，g＝9.8 m/s2. 求t＝3这⼀时段的速度.解：取⼀⼩段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）当Δt⽆限趋于0时，⽆限趋于3g＝29.4 m/s．例5、已知质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求.（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越⼩，求出的越接近某时刻的速度.解：∵＝4t+2Δt∴（1）当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．（2）当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．（3） Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s例6、曲线的⽅程为y＝x2+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的⽅程．解：设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：斜率为2∴切线的斜率为2．切线的⽅程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．【模拟试题】1、若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1,3）及邻近点Q（1+Δx,3+Δy），则＝（）A. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx2、⼀直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（）A. 从时间到时，物体的平均速度；B. 在时刻时该物体的瞬时速度；C. 当时间为时物体的速度；D. 从时间到时物体的平均速度3、已知曲线y＝2x2上⼀点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线⽅程.4、求曲线y＝x2+1在点P（－2，5）处的切线⽅程．5、求y＝2x2+4x在点x＝3处的导数．6、⼀球沿⼀斜⾯⾃由滚下，其运动⽅程是s＝s（t）＝t2（位移单位：m，时间单位：s），求⼩球在t＝5时的瞬时速度7、质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、B2、B3、解：（1）时，k＝∴点A处的切线的斜率为4.（2）点A处的切线⽅程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－24、解：时，k＝∴切线⽅程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.5、解：Δy＝2（3+Δx）2+4（3+Δx）－（2×32+4×3）＝2（Δx）2+16Δx，＝2Δx+16∴时，y′|x＝3＝166、解：时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.7、解：时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s。

班级 姓名 小组 编写：文科数学备课组§1(2) 瞬时变化率【学习目标】1.复习理解函数平均变化率的意义；2.理解函数的瞬时变化率的概念；3.会求函数在某点的瞬时变化率. 【学习重难点】函数的瞬时变化率 【学习难点】求函数的瞬时变化率 【学习内容】 一.自主学习1. 复习引入：什么叫做函数的平均变化率?它的作用是什么？2．问题提出：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，物体的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求物体的瞬时速度呢？对应的，如何精确地刻画函数在某一点处的变化快慢呢？例1．一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为221gt s =，./8.92）为重力加速度（s m g g =试完成下表并估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度.解：3．函数的瞬时变化率：对于一般的函数y=f(x),在自变量x 从x 1变到x 2的过程中，若设Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1),则函数的平均变化率是 = . 当Δx →0时，平均变化率就趋于函数在x 1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 .t 1/st 2/s时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 (Δt)/m 平均速度（ts∆∆）/(m/s) 4.9 5 4.99 5 4.999 5 4.9999 5 … … ………二.合作探究1．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．2.如图，一根质量分布不均匀的和金棒，长为10m ，x （单位：m ）表示OX 这段合金棒的长度，y(单位：kg)表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系，y=f(x)=2x .估计该合金棒在x=2m 处的线密度。

三． 课堂检测1. 如果某物体运动时的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为22(1)s t =-，则在t=2秒时的瞬时速度是多少？2.已知函数y=3x 2+6x,求函数在x=3处的瞬时变化率.3．自由落体运动的位移S （单位m ）与时间t （单位s ）的关系为221gt S =（g为常数），（1）求0t t =s 时的瞬时速度；（2）分别求出时间t 为0，1，2秒时的瞬时速度。

1 瞬时变化率
一．问题提出：
前面我们用平均变化率刻画了函数在某个自变量区间上变化快慢，但现实可能更多的是我们需要知道函数在某个点的变化快慢，为此，我们需要研究：瞬时变化率。

二．案例分析：
一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为：
212
s gt = 其中g 为重力加速度（g=9.8m/s 2）.试着估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

三．抽象概括：
1．瞬时变化率的定义：一般地，对于函数()y f x =来说，设其自变量的变化量为x ∆，因变量的变化量y ∆，那么函数在区间[]00,x x x +∆平均变化率可以表示为：
那么，当 时，平均变化率就趋于一个 ，其就叫做函数在0x 处的瞬时变化率。

2．瞬时变化率的意义：瞬时变化率是用来描述 的数学量。

四．问题解决：
例：一根质量分布不均匀的合金棒，设其上某点离某端的距离为x （单位：m ），这段质量为y （单位：kg ），且二者满足：
()y f x ==
试估计合金棒在2x =处的线密度。

五．当堂检测
1．通过平均变化率估计函数21y x =-+在下列各点的瞬时变化率：
1）1x =； 2）1x =-； 3）0x =。

2．通过平均变化率估计函数22y x =在下列各点的瞬时变化率：
1）1x =； 2）1x =-； 3）0x =。

3．某个人走过的路程s （单位：m ）是时间t （单位：s ）的函数：2
1s t =-，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：
1）0t =； 2）2t =； 3）4t =。

1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。

例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。

形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。

例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。

物理瞬时速度计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：物理瞬时速度是描述物体在某一时刻瞬间的速度，是物理学中重要的概念之一。

瞬时速度可以用来描述物体在某一时刻的运动状态，帮助我们更好地研究物体的运动规律。

本文将介绍物理瞬时速度的概念，计算公式以及相关知识。

瞬时速度是一个瞬间的概念，它的值可以随时间变化而改变。

通常情况下，我们能够通过一定的数学方法计算出物体在某一时刻的瞬时速度，从而更好地理解物体的运动规律。

2. 瞬时速度计算公式物理学中，瞬时速度的计算公式可以通过对物体运动过程中速度的变化进行微积分的方法来推导。

在一维直线运动的情况下，瞬时速度的计算公式可以表示为：v = lim(t->0) [s(t+Δt) - s(t)] / Δtv表示瞬时速度，s(t)表示物体在时刻t的位置，Δt表示一个极微小的时间间隔。

这个公式的含义是描述物体在时刻t的瞬时速度等于在这一时刻微小时间间隔Δt内所经过的位移除以时间。

在三维空间运动的情况下，可以将上述公式推广为瞬时速度的向量表示：v表示瞬时速度向量，r(t)表示物体在时刻t的位置向量。

这个公式可以用来描述物体在某一时刻的速度方向和大小。

在工程学中，瞬时速度的概念也被广泛应用。

例如在航天工程中，瞬时速度可以帮助工程师计算卫星的飞行轨道和速度变化，以确保卫星能够准确地进入预定轨道。

在生物学领域，瞬时速度可以用来描述生物体在运动中的速度变化，帮助科学家更好地研究生物体的运动规律和行为。

希望对您有所帮助。

第二篇示例：物理瞬时速度计算公式是物理学中非常重要的一个概念，它用来描述一个物体在某一时刻的瞬时速度。

在物理学中，速度是描述物体运动状态的一个重要参数，可以用来描述物体在单位时间内所覆盖的距离。

瞬时速度是指物体在某一瞬间的速度，可以通过瞬时速度计算公式来求得。

瞬时速度的计算公式是由物理学家根据物体运动的运动学规律推导得出的。

在物理学中，速度是一个矢量量，除了大小外还有方向。

平均变化率和瞬时变化率公式
平均变化率和瞬时变化率是描述一个物理量(如速度、加速度、压力等)在一定时间内变化程度的两个指标。

它们之间的关系可以用以下公式表示:
平均变化率 = (1/t) * 总变化量 / 总时间
瞬时变化率 = (1/t) * 变化速度 / 时间
其中,t为时间,总变化量是指在一定时间内变化的数值,变化速度是指单位时间内变化的数值,时间也可以称为变化的时间。

需要注意的是,平均变化率和瞬时变化率的定义仅适用于在一定时间内连续发生的物理量变化。

如果变化不是连续的,或者变化时间段不固定,那么这些指标就无法用上面的定义进行计算。