初一数学辅导讲义 第三讲 实数(三)

1月17日复华七年级数学实数12.1 实数的概念一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。

分类： 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数：)0,(≠q q p qp都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。

这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。

由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。

追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数)0,(≠q q p qp都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。

问题4：无限不循环小数还有吗？Π是有理数码？ 二、归纳1．无理数（1）无限不循环小数叫做无理数。

（2）无理数包括正无理数和负无理数。

（3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。

2．实数（1）有理数和无理数统称为实数。

(2)实数可以这样分类：正有理数有理数 零 ——有限小数或无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 ——无限不循环小数负无理数三、练习1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、722、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式)2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。

《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。

简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。

有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。

而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。

实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。

也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。

二、有理数有理数是实数的重要组成部分。

整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。

分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。

有理数具有一些很重要的性质。

比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。

而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。

我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。

比如购物时的价格、物品的数量等等。

三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。

像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。

圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。

无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。

虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。

四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。

加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。

乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。

除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。

乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。

在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

七年级数学下《实数》课件
幻灯片1：封面
•标题：《实数》课件
•副标题：七年级数学下册
•（此处可添加授课教师的姓名、日期等）
幻灯片2：课程目标
•掌握实数的概念和性质。

•理解实数的运算方法。

•培养数学思维能力和解决问题的能力。

幻灯片3：实数的基本概念
•有理数和无理数的总称。

•与数轴上的点一一对应。

幻灯片4：实数的分类
•正数、负数、零的定义与例子。

幻灯片5：实数的运算规则
•加法、减法、乘法、除法的规则与例子。

幻灯片6：实数的性质
•有序性、四则运算性质、绝对值的性质等。

幻灯片7：实数的应用
•生活中的实例，如长度、质量、时间的测量。

•数学中的定理和公式，如勾股定理等。

幻灯片8：总结与回顾
•实数的主要知识点总结。

•课堂互动与答疑。

幻灯片9：作业与预习
•布置相关练习题。

•预习下一节内容，了解无理数的基本概念。

初一数学寒假班（3）——12.1～12.4复习、测试【知识点】1． ________和_________统称有理数.2． ___________________________________叫做无理数.无理数可分为____________和____________. 3． __________和__________统称为实数.4． 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的_______，即若2x a =（0a ≥），则x=______. 5． _____数有两个平方根，它们互为________；零有_____个平方根，是_______；_______数没有平方根。

6． 正数a 的正的平方根叫a 的______________，记作_______.7． 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的_______，即若3x a =，则x=______. 8． 正数有____个_____的立方根，负数有____个______的立方根，0的立方根是______. 9. 平方根等于它本身的数是________，立方根等于它本身的数是________. 10. 当a ≥0时，2()a =______， 2()a -=______,即2()a ±=______ 11. 当a ≥0时，2a =______=______；当a ≤0时，2a =______=______.12. 一个正数的偶次方根有_____个，它们互为________；一个数的奇次方根有____个. 【例题分析】例1. 在实数312,0.3180.8010837π-，，，，中，无理数的个数为______个. 例2. (1)无限小数都是无理数. （ ） (2) 无理数都是无限小数. （ ）(3)实数分为正实数和负实数.（ ） (4) 实数不是有理数就是无理数.（ ）(5) 不带根号的数都是有理数.（ ） (6) 带根号的数都是无理数. （ ）例3. (1)23-的相反数是___________，绝对值是___________.(2)235-=（）___________.例4. 写出一个大于2小于3的无理数_________例5. (1) 3的平方根是_______；(2) 若24x =，则x=_______；(3) 81的平方根是______；(4) 16的算数平方根的平方根是______；(5) 27的立方根是______；（6）—8的立方根是_______； (7) 81的四次方根是______；(8) 32的五次方根是______.例6. (1) 64±=_____；(2)16=_____；(3)364-=______；(4)664=_____；(5)2(3)-=____；(6) 23=（-）_____；(7) 40.0016_____=；(8)362=______；(9)3610_____-=.例7. 下列计算正确的是( )(A) 030= (B) 33-=-- (C) 331-=- (D) 39±=例8. 平方根等于它本身的数是_______；立方根等于它本身的数是_______.例9. (1) 7在整数_____与整数_____之间； （2）7整数部分为_____，小数部分为______.(3) 绝对值小于7的整数有__________.54321-1-2(4) 若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_____．例10. 利用20,0,0a a a ≥≥≥解决问题(1) 已知()22340a b c -+-+-=，求a-b+c 的值.(2) 已知2b -与5a -互为相反数，求ab 的平方根.(3) 已知0)3(12=++-+y y x ，求y x -的值.(4) 已知230x y ++-=，求2010()x y +的值.(5) 已知224250a b a b +--+=，求2ab 的值.例11. (1) 23m m +和+1是同一个数的平方根，求这个数.(3) 已知一个正数的平方根是32x -和56x +，求这个数．例12. (1)已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简:2|1|a a -+（2）如图，求a a b c b a c -+--++的值.12.1——12.4单元测试一、选择题（每题1.下列说法正确的是（ ）(A) 带根号的数都是无理数 (B) 不带根号的数一定是有理数 (C) 无理数是无限小数 (D) 无限小数是无理数 2.下列表示方法正确的是( )(A)9的平方根是±3，可以表示为93=± (B)3是9的平方根，可以表示为93±= (C) ±3是9的平方根，可以表示为93±=± (D) -3是9的平方根，可以表示为93=- 3. 下列说法正确的是（ ） ①实数分为正实数和负实数 ②3π是分数 ③互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 ④1的立方根与平方根相同 ⑤一个无理数不是正数就是负数 ⑥一个无理数的平方一定是有理数(A) ①③ (B) ②⑤ (C) ③⑤ (D) ①⑥ 4. 23的整数部分和小数部分分别为（ ）(A) 4，423- (B) 5，235- (C) 4，234- (D) 以上都不对二、填空题（每题5.________和_________统称有理数。

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。

简单来说，实数包括了有理数和无理数。

有理数，就是可以表示为两个整数之比的数，例如整数、有限小数和无限循环小数。

像 2、－3、05（即 1/2）、0333（即 1/3）等都是有理数。

而无理数，则是无限不循环小数，不能写成两个整数之比的形式。

比如圆周率π（约为 314159）、根号 2（约为 1414）等。

实数可以直观地看作数轴上的点，每一个实数都对应数轴上的一个唯一的点，反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。

二、实数的分类实数的分类方式有多种，常见的分类方法如下：1、按符号分类（1）正实数：大于 0 的实数，如 2、35 等。

（2）负实数：小于 0 的实数，如－2、－35 等。

（3）零：既不是正数也不是负数的实数。

2、按性质分类（1）有理数：包括整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）。

（2）无理数：无限不循环小数。

三、实数的运算1、加法和减法实数的加法和减法运算遵循以下规则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8 。

（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2 。

（3）减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 。

2、乘法和除法（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例如，3 × 5 ＝ 15，－3 ×（－5) ＝ 15，3 ×（－5) ＝－15 。

（2）除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

例如，6 ÷ 3 ＝ 6 × 1/3 ＝ 2 。

3、乘方和开方（1）乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。

例如，2³＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8 。

奥数七年级实数知识点七年级的学生进入初中，开始学习更高深的数学知识。

其中一个重要的领域是实数。

实数是指所有的实数，包括有理数和无理数。

在这篇文章中，我们将深入探讨七年级学生所需了解的重要实数知识点。

一. 实数的概念实数是指可以用数轴上的点来表示的数，包括有理数和无理数。

数轴是一个直线，上面的点与实数一一对应。

有理数是可以表示成两个整数之比的数，而无理数则不能用有理数的形式表示，如根号2、根号3等。

二. 实数的范围实数包括从负无穷到正无穷的所有数。

在数轴上，正数位于原点的右侧，负数则位于原点的左侧。

而无理数则分布在整个数轴上。

三. 实数的比较对于有理数和无理数的比较，我们可以通过大小关系和绝对值来进行。

对于两个有理数，我们可以比较它们的大小。

对于两个无理数，我们需要使用近似值进行比较。

而对于有理数和无理数的比较，则需要将无理数近似成一个有理数，再比较大小。

四. 实数的表示实数可以用分数表示，也可以用小数表示。

对于有理数来说，可以用分数或小数表示。

而无理数则大多数用小数表示，因为无理数无法表示成分数的形式。

五. 实数的运算实数的运算同样也是非常重要的知识点。

实数的加、减、乘、除等运算都是基本的。

对于有理数的运算，可以使用通分或分母分解来进行。

对于无理数的运算，只能将其近似成小数，再进行运算。

六. 实数的绝对值实数的绝对值表示该数到原点的距离，因此它总是非负的。

对于正数，它的绝对值等于它本身。

而对于负数，则需要取负号，如|-3|= 3，|3|= 3。

七. 实数的平方实数的平方表示该数乘以自己的结果，即x²= x × x。

对于正数和负数来说，它们的平方都是非负数，如3²= 9，-3²= 9。

总结实数是高中数学中的重要知识点之一。

这篇文章介绍了实数的概念、范围、比较、表示、运算、绝对值、平方等知识点。

通过这些知识，七年级的学生可以更好地理解实数的概念和应用，为未来的数学学习打下坚实的基础。

数学初一实数运算实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两类。

实数的运算是数学的基础，在初一数学课程中，我们需要了解实数的基本性质和运算规则。

本文将介绍初一实数运算的内容，包括加法、减法、乘法和除法。

一、实数的加法运算实数的加法运算是将两个实数相加，结果仍然是实数。

对于任意实数a和b，它们的和记作a + b，计算方式是将a和b的数值相加。

例如，2 +3 = 5，-1 +4 = 3。

加法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b和c，有以下性质：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)二、实数的减法运算实数的减法运算是将一个实数减去另一个实数，结果仍然是实数。

对于任意实数a和b，它们的差记作a - b，计算方式是将a减去b的数值。

例如，5 - 3 = 2，2 - 5 = -3。

减法运算可以看作是加法运算的逆运算，在计算中可以使用加法运算来实现减法运算。

三、实数的乘法运算实数的乘法运算是将两个实数相乘，结果仍然是实数。

对于任意实数a和b，它们的积记作a * b或ab，计算方式是将a和b的数值相乘。

例如，2 * 3 = 6，-1 * 4 = -4。

乘法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b和c，有以下性质：- 交换律：a * b = b * a- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)四、实数的除法运算实数的除法运算是将一个实数除以另一个非零实数，结果仍然是实数。

对于任意实数a和b（b ≠ 0），它们的商记作a / b，计算方式是将a除以b的数值。

例如，6 / 2 = 3，-4 / (-2) = 2。

除法运算可以看作是乘法运算的逆运算，在计算中可以使用乘法运算来实现除法运算。

五、实数的运算性质实数运算具有以下性质：1. 加法的零元：对于任意实数a，有a + 0 = a。

2. 加法的负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。

教育学科教师辅导讲义根据定义，巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例题 1： 已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.巩固： 若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.巧解方程例2： 解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 （3）27)3(83=--x巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例1 、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.巩固①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。

②已知互为相反数，求a ，b 的值§3 .2 实数一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

关于数系扩张后与有理数的知识链接1 关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．2．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、等．3.实数的大小比较 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。

2024年浙教版数学初一上册32《实数》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的分类及性质。

2. 学会实数的加减乘除及乘方运算，并能熟练运用。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：实数的乘除运算及性质的理解。

教学重点：实数的概念、分类及运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如温度计的刻度，让学生了解实数的概念。

2. 新课导入：讲解实数的定义、分类及性质，让学生对实数有更深入的理解。

a. 实数的定义：包括有理数和无理数。

b. 实数的分类：整数、分数、无理数。

c. 实数的性质：大小比较、相反数、倒数等。

3. 例题讲解：讲解实数的加减乘除及乘方运算，分析解题思路和方法。

4. 随堂练习：让学生进行实数运算的练习，巩固所学知识。

六、板书设计1. 实数的概念、分类及性质。

2. 实数的加减乘除及乘方运算。

3. 例题及解题过程。

七、作业设计1. 作业题目：b. 计算：3+2√2、45、6×(3/2)、8÷2、(√3)^2。

2. 答案：a. 实数：0、3/2、5、2.5；非实数：√2、π。

b. 结果：5+2√2、1、9、4、3。

c. 大小关系：1<0<1<√2<π。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的概念和性质掌握程度，以及对运算的熟练程度。

2. 拓展延伸：探讨实数在实际生活中的应用，如物理、化学等领域的测量，提高学生将数学知识应用于实际问题的能力。

重点和难点解析1. 实数的定义及分类2. 实数的乘除运算及性质3. 教学过程中的实践情景引入4. 作业设计中的题目及答案一、实数的定义及分类实数的定义包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，如分数；无理数则不能表示为两个整数之比，如π、√2等。

实数的分类包括整数、分数和无理数。

实数知识点一（平方根和立方根） 【知识梳理】1．一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0．2．一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这就是说，如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根，a 的平方根记为a ±．3．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．4．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．5．一般的，如果_一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

这就是说，如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，a 的立方根记为3a ．6．求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方．7．正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0． 8．一般的，=-3a 3a -．【例题精讲】题型1：平方根、算术平方根、立方根的概念 例1：25111的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 125的立方根是______；81-的立方根是______．例2：判断正误（1）3是9的算术平方根．（ ） （2）3是9的一个平方根．（ ） （3）9的平方根是－3．（ ） （4）（－4）2没有平方根．（ ） （5）－42的平方根是2和－2．（ ） （6）6427的立方根是43±．（ ） （7）有理数一定有立方根．（ ）例3：下列说法中正确的是（ ）A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数题型2：计算例1： 计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-412______． （7）=3064.0______； （8）=3216______；（9）=-33)2(______；（10）=364611______ 例2：求下列各式的值：（1）325 （2）3681+ （3）25.004.0- （4）121436.0⋅（5）327102-- （6）3235411+⨯ （7）3231)3(27---+-例3：求下列各数中的x 值⑴225x = ⑵2810x -= ⑶2449x = ⑷225360x -=⑸3512x = ⑹3641250x -= ⑺()31216x -=-题型3：实际应用例1：要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？例2：要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？例3：已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．【课堂练习】一、选择题1. ）．Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4． 2.下列说法正确的是（ ）A 、64-的立方根是4±；B 、64-的平方根是8-；C 、8的立方根是2±；D 、27-的立方根是3-。