【2019-2020】高考数学二轮复习专题五解析几何规范答题示范练习

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。

第1讲 直线与圆一、选择题1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，所以a ＝－2.2．半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.3．已知直线l ：y ＝x ＋1平分圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝4的周长，则直线x ＝3与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定解析：选B.由已知得，圆心C (1，b )在直线l ：y ＝x ＋1上，所以b ＝1＋1＝2，即圆心C (1，2)，半径为r ＝2.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．4．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255解析：选D.两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.5．(一题多解)在平面直角坐标系xOy 中，设直线x ＋y －m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝8交于不同的两点A ，B ，若圆上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±2C ．±2 2D ．±2 3解析：选B.通解：由题意知，点C 和圆心O 在直线AB 的同侧，且圆心O 在线段AB 的垂直平分线上，设线段AB 的中点为D ，圆O 的半径r ＝22，则|CD |＝|OD |＋r ＝32|AB |.因为|OD |＝|m |2，|AB |＝28－m 22，所以|m |2＋22＝32×28－m 22，解得m ＝±2.优解：设圆O 的半径为r ，则r ＝22，由圆周角∠ACB ＝60°，得圆心角∠AOB ＝120°，则圆心O 到直线x ＋y －m ＝0的距离d ＝12r ＝2，所以|m |2＝2，解得m ＝±2.6．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D.由题意知，圆C 的圆心为C (0，1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝12|PB |＝1，则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，由k >0，解得k ＝2. 二、填空题7．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m2，解得m ＝±52. 答案：±528．(2019·广州市调研测试)若点P (1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______．解析：由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3，0)，又P (1，1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.由弦MN 所在的直线经过点P (1，1)，得所求直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝09．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 1：y ＝3x ，l 2：y ＝kx －1.若直线l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2，则k 的值为______．解析：依题意知，圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径为2.圆心C 到直线l 1：y ＝3x 的距离为232＝3，所以直线l 1被圆C 所截得的弦长为2×4－3＝2.圆心C 到直线l 2：y ＝kx －1的距离d ＝|2k －1|1＋k2，所以直线l 2被圆C 所截得的弦长为24－d 2，由题意知2∶(24－d 2)＝1∶2，解得d ＝0，故直线l 2过圆心C .所以2k －1＝0，解得k ＝12.答案：12三、解答题10．已知点P (0，5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程． 解：(1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程即(x ＋2)2＋(y －6)2＝16， 所以圆C 的圆心坐标为(－2，6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2，6)． 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2. 若直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式为|－2k －6＋5|k 2＋（－1）2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)设直线ax －y ＋5＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．因为圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5， 所以|4m －29|42＋32＝5，即|4m －29|＝25. 因为m 为整数，所以m ＝1. 所以圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25. 将ax －y ＋5＝0变形为y ＝ax ＋5，并将其代入圆的方程，消去y 并整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0. 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0， 解得a <0或a >512.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)设符合条件的实数a 存在． 由(1)得a ≠0，则直线l 的斜率为－1a.所以直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.因为直线l 垂直平分弦AB ， 所以圆心M (1，0)必在直线l 上． 所以1＋0＋2－4a ＝0， 解得a ＝34.因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞， 所以存在实数a ＝34，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .第1讲 直线与圆[做真题]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A.由圆的方程可知圆心(1，4)．由点到直线的距离公式可得|a ×1＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝______．解析：将圆x 2＋y 2＋2y －3＝0化为标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，则圆心坐标为(0，－1)，半径r ＝2，所以圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22＝2，所以|AB |＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.答案：2 23．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径；(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由． 解：(1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上．由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|.连接MA ，由已知得|AO |＝2，又MO ⊥AO ，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1，0)，使得|MA |－|MP |为定值． 理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2.由于MO ⊥AO ，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x .因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1，0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .[明考情]1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点．2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，其难度多为中档题．直线的方程(基础型)[知识整合]三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点为(x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)． (3)两平行直线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2(其中两平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[注意] 要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．[考法全练]1．已知经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．－1或1解析：选 C.直线l 1的斜率k 1＝3a －01－（－2）＝a .当a ≠0时，直线l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2a a .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa ＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0，0)，此时直线l 2为y 轴，又A (－2，0)，B (1，0)，则直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为0或1.故选C.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B ．4 2 C.823D ．2 2解析：选C.因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.3．若直线l 1：y ＝kx －k ＋2与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2过定点( ) A ．(3，1) B ．(3，0) C ．(0，1)D ．(2，1)解析：选B.因为y ＝kx －k ＋2＝k (x －1)＋2，所以l 1：y ＝kx －k ＋2过定点(1，2)．设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝2，2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以直线l 2过定点(3，0)．故选B.圆的方程(基础型)[知识整合]圆的3种方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．[考法全练]1．(2019·河北省九校第二次联考)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m >0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选C.2．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝93．若不同的两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为______，圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为______．解析：k PQ ＝3－a －b3－b －a ＝1，故直线l 的斜率为－1，由点斜式可知l 的方程为y ＝－x ＋3，圆心(2，3)关于直线y ＝－x ＋3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：－1 x 2＋(y －1)2＝1直线(圆)与圆的位置关系(综合型)[知识整合]直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．圆与圆的位置关系的判定 (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离． (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切． (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交． (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切． (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．[典型例题](1)(2019·洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝______．(2)已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆(x －1)2＋y 2＝12作切线，切点分别为A ，B ，则四边形AFBM 面积的最小值为________．【解析】 (1)如图，过O 点作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |，不妨令|AD |＝5m (m >0)，由3AD →＝5DB →可得，|BD |＝3m ，|AB |＝8m ，则|DE |＝4m－3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2①，在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2②， 联立①②，解得r ＝10.(2)设M (x ，y )，易知抛物线C 的焦点F (1，0)也为圆的圆心，圆的半径r ＝|FA |＝22，连接MF ，则|MF |＝x ＋1.因为MA 为切线，所以MA ⊥AF ，在Rt △MAF 中，|MA |＝|MF |2－r 2＝（x ＋1）2－12.易知△MAF ≌△MBF ，所以四边形AFBM 的面积S ＝2×12|MA |×|AF |＝22|MA |＝22（x ＋1）2－12，又因为x ≥0，所以当x ＝0时，四边形AFBM 的面积取得最小值，所以S min ＝22×22＝12.【答案】 (1)10 (2)12(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路①研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．②利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路：首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x 轴垂直的切线．(2)弦长的求解方法①根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系R 2＝d 2＋l 24(其中l 为弦长，R 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．②根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．③求出交点坐标，用两点间距离公式求解．[对点训练]1．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2 2.则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 与圆N 的圆心距|MN |＝2<1＋2，两圆半径之差为1，故两圆相交．2．(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5. 答案：－253．已知点P 是圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝2上的动点，点Q (2，2)，O 为坐标原点，则△OPQ 面积的最小值是________．解析：因为圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝2，直线OQ 的方程为y ＝x ，所以圆心(－3，1)到直线OQ 的距离为d ＝|－3－1|2＝22，所以圆上的动点P 到直线OQ 的距离的最小值为22－2＝2，所以△OPQ 面积的最小值为12×22×2＝2.答案：2一、选择题1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，所以a ＝－2.2．半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.3．已知直线l ：y ＝x ＋1平分圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝4的周长，则直线x ＝3与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定解析：选B.由已知得，圆心C (1，b )在直线l ：y ＝x ＋1上，所以b ＝1＋1＝2，即圆心C (1，2)，半径为r ＝2.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．4．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255解析：选D.两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.5．(一题多解)在平面直角坐标系xOy 中，设直线x ＋y －m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝8交于不同的两点A ，B ，若圆上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±2C ．±2 2D ．±2 3解析：选B.通解：由题意知，点C 和圆心O 在直线AB 的同侧，且圆心O 在线段AB 的垂直平分线上，设线段AB 的中点为D ，圆O 的半径r ＝22，则|CD |＝|OD |＋r ＝32|AB |.因为|OD |＝|m |2，|AB |＝28－m 22，所以|m |2＋22＝32×28－m 22，解得m ＝±2.优解：设圆O 的半径为r ，则r ＝22，由圆周角∠ACB ＝60°，得圆心角∠AOB ＝120°，则圆心O 到直线x ＋y －m ＝0的距离d ＝12r ＝2，所以|m |2＝2，解得m ＝±2.6．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D.由题意知，圆C 的圆心为C (0，1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝12|PB |＝1，则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，由k >0，解得k ＝2. 二、填空题7．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m2，解得m ＝±52. 答案：±528．(2019·广州市调研测试)若点P (1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______．解析：由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3，0)，又P (1，1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.由弦MN 所在的直线经过点P (1，1)，得所求直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝09．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 1：y ＝3x ，l 2：y ＝kx －1.若直线l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2，则k 的值为______．解析：依题意知，圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径为2.圆心C 到直线l 1：y ＝3x 的距离为232＝3，所以直线l 1被圆C 所截得的弦长为2×4－3＝2.圆心C 到直线l 2：y ＝kx －1的距离d ＝|2k －1|1＋k2，所以直线l 2被圆C 所截得的弦长为24－d 2，由题意知2∶(24－d 2)＝1∶2，解得d ＝0，故直线l 2过圆心C .所以2k －1＝0，解得k ＝12.答案：12三、解答题10．已知点P (0，5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程． 解：(1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程即(x ＋2)2＋(y －6)2＝16， 所以圆C 的圆心坐标为(－2，6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2，6)． 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2. 若直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式为|－2k －6＋5|k 2＋（－1）2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)设直线ax －y ＋5＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．因为圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5， 所以|4m －29|42＋32＝5，即|4m －29|＝25. 因为m 为整数，所以m ＝1. 所以圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25. 将ax －y ＋5＝0变形为y ＝ax ＋5，并将其代入圆的方程，消去y 并整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0. 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0， 解得a <0或a >512.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)设符合条件的实数a 存在． 由(1)得a ≠0，则直线l 的斜率为－1a.所以直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.因为直线l 垂直平分弦AB ， 所以圆心M (1，0)必在直线l 上． 所以1＋0＋2－4a ＝0， 解得a ＝34.因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞， 所以存在实数a ＝34，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .第2讲 椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2019·高考北京卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：选B.由题意得，c a ＝12，所以c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，所以4b2＝3a 2.故选B.2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb＝1⇒bc ＝1，2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12C.14D.18解析：选D.由题意知x 2＝12y ，则F (0，18)，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝x 20＋（2x 20－18）2＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.4．(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5解析：选D.由题意知F (1，0)，l ：x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，则|AB |＝4|OF |＝4，而|AB |＝2×b a ，所以b a ＝2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a＝5，故选D.5．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A.通解：依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b2c2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A. 优解一：记F (c ，0)．连接OP ，PF ，则OP ⊥PF ，所以S △OPF ＝12|OP |·|PF |＝12|OF |·12|PQ |，即12a ·c 2－a 2＝12c ·12c ，即c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A.优解二：记F (c ，0)．依题意，PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦，因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |＝|OF |，因此PQ 是该圆与OF 垂直的直径，所以∠FOP ＝45°，点P 的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c 2，于是有2×c 2＝a ，即e ＝ca＝2，即C 的离心率为2，故选A.6．已知直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，且与圆x 2＋y 2＝8交于点M ，N ，若|MN |≥25，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，6]B ．(1，62]C ．[62，＋∞) D ．[6，＋∞)解析：选C.设圆心到直线l 的距离为d (d >0)，因为|MN |≥25，所以28－d 2≥25，即0<d ≤ 3.又d ＝21＋k2，所以21＋k2≤3，解得|k |≥33.由直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，得|k |＝b c .所以b c ≥33，即b 2c 2≥13，所以c 2－a 2c 2≥13，即1－1e 2≥13，所以e ≥62，即双曲线的离心率e 的取值范围是[62，＋∞)．故选C.二、填空题7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为______．解析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，A (x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b2，所以xy ＝16b 2＋4·b 2＝b 2⇒b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y212＝1.答案：x 24－y 212＝1 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为点B ，若AM →＝MB →，则p ＝________．解析：设直线AB ：y ＝3x －3，代入y 2＝2px 得：3x 2＋(－6－2p )x ＋3＝0， 又因为AM →＝MB →，即M 为A ，B 的中点，所以x B ＋(－p 2)＝2，即x B ＝2＋p2，得p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2，p ＝－6(舍去)． 答案：29．(2019·昆明市质量检测)已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x －3y ＋11＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m ，焦点为F ，分别过点P ，F 作PA ⊥m ，PM ⊥l ，FN ⊥l ，垂足分别为A ，M ，N .连接PF ，因为点P 在抛物线上，所以|PA |＝|PF |，所以(d 1＋d 2)min ＝(|PF |＋|PM |)min ＝|FN |.点F (1，0)到直线l 的距离|FN |＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d 1＋d 2)min ＝3.答案：3 三、解答题10．(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由题意知，离心率e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由条件可知F 1(－3，0)，直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265. 11．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.12．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得2k ＋1＝0， 解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.第2讲 椭圆、双曲线、抛物线[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.依题意得p2＝3p －p ，解得p ＝8，故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°解析：选D.依题意知，－b a＝tan 130°＝tan(130°－180°)＝－tan 50°，两边平方得c 2－a 2a 2＝tan 250°＝e 2－1，e 2＝1＋tan 250°＝1cos 250°，又e >1，所以e ＝1cos 50°，选D. 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D.易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92解析：选B.因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝9，把x 2＝9－y 2代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝52.故选B.5．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D.法一：由离心率e ＝ca＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.[明考情]圆锥曲线的标准方程与几何性质一直是高考的命题热点，其中求解圆锥曲线的标准方程，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系是高考解答题的常考内容，离心率问题、双曲线的渐近线问题等常出现在选择题、填空题中．圆锥曲线的定义及标准方程(综合型)[知识整合](1)(2019·广东六校第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为2，若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1 B.x 22－y 22＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 28－y 28＝1 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】 (1)由题意，得双曲线的左焦点为F (－c ，0)．由离心率e ＝c a＝2，得c ＝2a ，c 2＝2a 2＝a 2＋b 2，即a ＝b ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，则经过F 和P (0，4)两点的直线的斜率k ＝4c ＝1，得c ＝4，所以a ＝b ＝22，所以双曲线的方程为x 28－y28＝1，故选D.(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2(1a )2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.【答案】 (1)D(2)B(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[对点训练]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．±34D ．±33解析：选A.设M (x ，y )，由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义，可知x ＋p 2＝2p ，故x ＝3p 2，由y 2＝2p ×3p 2，知y ＝±3p .当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p 时，k MF ＝3p －03p 2－p 2＝3，当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，－3p 时，k MF＝－3p －03p 2－p 2＝－3，故k MF ＝± 3.故选A.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 2＝1C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：选D.因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.3．已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A.如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |.根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，即|PF 2|－|PQ |＝2，从而|QF 2|＝2.在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，则|OH |＝1.圆锥曲线的几何性质(综合型)[知识整合]椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠PAF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23 B.22C.33D.12(2)(一题多解)(2019·东北四市联合体模拟(一))已知矩形ABCD ，AB ＝12，BC ＝5，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的双曲线的离心率为______．【解析】(1)如图，不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠PAF ＝|PF ||AF |＝b 2aa ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.(2)通解：取AB 的中点O 为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则焦距2c ＝12，所以c ＝6，将点C (6，5)代入双曲线方程，得62a 2－52b2＝1①，又因为a 2＋b 2＝62②，由①②解得a ＝4，b ＝25，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝64＝32.优解：设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，则根据双曲线的性质得c ＝6，b 2a＝5，所以a 2＋b 2＝36，b 2＝5a ，即a 2＋5a －36＝0，解得a ＝4或a ＝－9(舍去)，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝64＝32.【答案】 (1)D (2)32(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题五 解析几何规范答题示范【典例 】 (12分)(2017·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[信息提取]看到求点P 的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程；看到过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ，想到证明OQ →⊥PF →.[规范解答](1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，………………………………………………………………………………1分由NP →＝2NM →得：x 0＝x ，y 0＝22y ， ………………………………………………………………………………3分因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1， 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.………………………………………………………………………………5分(2)证明 由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，………………………………………………………………………………7分OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，………………………………………………………………………………9分又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，………………………………………………………………………………11分又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .………………………………………………………………………………12分[高考状元满分心得]写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (x 0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m －m 2＋tn －n 2＝1就得分.写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x 0＝x ，y 0＝22y ，没有则不得分；第(2)问一定要写出OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分.[解题程序]第一步：设出点的坐标，表示向量NP →，NM →；第二步：由NP →＝2NM →，确定点P ，N 坐标等量关系；第三步：求点P 的轨迹方程x 2＋y 2＝2；第四步：由条件确定点P ，Q 坐标间的关系；第五步：由OQ →·PF →＝0，证明OQ ⊥PF ；第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论.【巩固提升】 (2018·郑州质检)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点O 是坐标原点，点P 是椭圆C 上任意一点，且点M 满足OM →＝λOP →(λ>1，λ是常数).当点P 在椭圆C 上运动时，点M 形成的曲线为C λ.(1)求曲线C λ的轨迹方程；(2)直线l 是椭圆C 在点P 处的切线，与曲线C λ的交点为A ，B 两点，探究△OAB 的面积是否为定值.若是，求△OAB 的面积，若不是，请说明理由.解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，对应的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x λ，y λ.由于点P 在椭圆C 上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x λ24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y λ2＝1， 即曲线C λ的轨迹是椭圆，标准方程为x 24λ2＋y 2λ2＝1(λ>1). (2)当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为x ＝±2， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，x 24＋y 2＝λ2，解得y ＝±λ2－1， 得|AB |＝2λ2－1.得S △OAB ＝12|OP |×|AB |＝2λ2－1， 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 由Δ＝0，可得m 2＝4k 2＋1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝λ2， 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－λ2)＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4（m 2－λ2）4k 2＋1. 则|AB |＝1＋k 2·16（4k 2＋1）（λ2－1）4k 2＋1 ＝41＋k 2·λ2－14k 2＋1， 原点到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝4k 2＋1k 2＋1， 所以S △OAB ＝12|AB |d ＝2λ2－1. 综上所述，△OAB 的面积为定值2λ2－1.。

五解析几何(A)1. (201 8 •江西九江模拟)给定椭圆C：'； +' =1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为，'的圆是椭圆C的“准圆” •若椭圆C的一个焦点为F( . ,0),其短轴上的一个端点到F的距离为(1) 求椭圆C的方程和其“准圆”方程；(2) 点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线丨1,1 2,使得丨1,1 2与椭圆C都只有一个公共点，且I 1,1 2分别交其“准圆”于点M,N.①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求I 1,1 2的方程；②求证:|MN|为定值.2. (2018 •武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-• ,0),P为椭圆IC上不同于A,B的任意一点，且满足k AP・k BP=-.(1)求椭圆C的方程；⑵设F为椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|, 求直线PF的斜率.3. 已知抛物线C顶点为原点，其焦点F(0,c)(c>0)至煩线l:x-y-2=0 的距离为二，设P为直线I 上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程；⑵当点P(X0,y 0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；⑶当点P在直线l上移动时，求|AF| • |BF|的最小值.4. (2018 •红桥区一模)已知椭圆C: +' =1(a>b>0)的离心率为’,椭圆C与y轴交于A,B 两点，且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程；⑵设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N 两点.1.(1)解：由题意知c=. ,a=.,所以b=1.所以椭圆的方程为:+y2=1,若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.“准圆”的方程为x2+y2=4.⑵①解：因为“准圆” x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2), 设过点P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,联立方程组消去y,2 2得到(1+3k )x +12kx+9=0,因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△ =144k2-4 X 9(1+3k 2)=0,解得k= ± 1.所以l 1,l 2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.②证明:a.当丨1,1 2中有一条无斜率时，不妨设11无斜率，因为I 1与椭圆只有一个公共点则其方程为x=.或x=- Z.当l 1的方程为x=.时，此时11与准圆交于点，1),( •. ,-1),此时经过点(•，1)(或r ,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),即12为y=1(或y=-1),显然直线l 1,l 2垂直;同理可证l 1方程为X=- •时，直线I 1,1 2垂直.b.当l 1,l 2都有斜率时,设点P(x o,y 0),其中+ =4,设经过点P(X0,y °)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x 0)+y 0,ry = tx 4- (y0 - tx Q\联立方程组2 2消去y 得到x +3[tx+(y 0-tx 0)] -3=0,2 2 2即(1+3t )x +6t(y 0-tx 0)x+3(y 0-tx 0) -3=0,2 2 2△ =[6t(y 0-tx 0)] -4 • (1+3t )[3(y 0-tx 0) -3]=0,-3)=0,设l 1,l 2的斜率分别为t1,t 2,因为I 1,1 2与椭圆都只有一个公共点 所以 t i ,t 2满足上述方程(3- )t 2+2x o y o t+( -3)=0, 所以 t l • t 2= ' =-1, 即I 1,l 2垂直. 综合a 和b 知I i ,l 2垂直, 因为I 1,1 2经过点P(X 0,y 0),又分别交其“准圆”于点 M,N,且I 1,1 2垂直, 所以线段MN 为“准圆” x 2+y 2=4的直径， 所以 |MN|=4. 2. 解:⑴ 设 P(x,y)(x 工土.), ] y y } 所以k AP • k BP =-',所以. -• •.=-：, x 2 整理得 +y 2=1(x 工土.), 因为A,B 两点在椭圆上， 所以椭圆C 的方程为 +y 2=1. (2)由题可知，斜率一定存在且 k z 0, 设过焦点 F 的直线方程为 x=my+1,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),M(x 0,y 0), fr 2 £ —+ y 2 = l, 1 2 联立 / = m y + 1“ 则(m 2+2)y 2+2my-仁0, —2^H 力十y 厂飞—・ 1 - 1y^2 - —n —，亦+ 2,A = R(m 2 + l)> 所以<'m 2 + 4所以 |OM|=!二，而 |QM|= '|PQ|1 鬧+1)〔加+四 m z + 2所以 4m 2 \m 2 + 2)2 4(/n 2 + 2)(m 2 + 2)丿J•』(亦+m2 + 1戎.肿+ 2 .因为|OM|=|QM|,^jm2+ 4 m2 + 1所以m z + 2 =富.+ 2,1所以m=‘，所以k2=2,所以k= ±..因此,直线PF的斜率为土.3. 解:⑴ 因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)至煩线l:x-y-2=0 的距离为•: \-c-2\所以=,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设切点A(x i,y i),B(x 2,y 2),I由x=4y 得y' = x,所以切线PA:y-y 1= x i(x-x 1),有y= x i x- +y i,而=4y i,I即切线PA:y= X i X-y i,I同理可得切线PB:y= X2x-y 2.因为两切线均过定点P(x o,y 0),i,y 0= x2x o-y 2,由此两式知点 A,B 均在直线y o = xx o -y 上,I所以直线AB 的方程为y °= xx o -y,I即 y= x o x-y o .⑶设点P 的坐标为（x ，,y ，）,由 x ，-y ，-2=0,得 x ， =y ， +2,则|AF| • |BF|=「 '：=(y i +1) • (y 2+1)=y i y 2+(y i +y 2)+1.x 2 = 4y t 1 y = -x r x - y r由2得 y 2+(2y ，-x ，2)y+y ，2=0,有 y i +y 2=x ，2-2y ， ,y i y 2=y ，，, 所以 |AF| • |BF|=y ，2+x ，2-2y ，2 2 =y ， +(y ，+2) -2y ，+i1 9=2(y ，+')2+3 即P （，-）时,|AF|• |BF|取得最小值 4. 解:⑴ 由题意可得，2b=2,即b=1,c ◎ - 1 3 — 7— e=：=二，得.=:解得a 2=4, x 2椭圆C 的标准方程为-+y 2=i.当y ，= 13 ,x ， = •时,+1(2)法一 设 P(x o ,y o )(O<x o w 2),A(0,-1),B(0,1), 儿 +1Vo + 1所以k pA=:,直线PA 的方程为 沪 x-1, 九-1同理，直线PB 的方程为y= " x+1,5 + 1)直线PA 与直线x=4的交点为 M(4, " -1), 直线PB 与直线x=4的交点为 N(4, : +1),4儿线段MN 的中点为(4,:),4儿 4所以圆的方程为(x-4) 2+(y- ' )2=(1- )2,— 2 2 — 因为I + ■ =1,所以 7 =-1,8所以(x-4) 2+ -5=0,设交点坐标为(x i ,0),(x 2,0),可得 X i =4+〔 ,x 2=4- ,因为这个圆与x 轴相交，该方程有两个不同的实数解£ 8所以 5— >0,解得 X o € O',2].贝V |x i -x 2|=2〔 ( <X o W 2),所以当x o =2时，该圆被x 轴截得的弦长最大值为 2.法二 设 P(x o ,y o )(0<x o < 2),A(0,-1),B(0,1), 令 y=0,则(x-4)\17一％ +儿 + 1 Vo + 1所以k pA= ,直线PA的方程为y= x-1,儿- 1同理，直线PB的方程为y " x+1.4肌+ 1)直线PA与直线x=4的交点为M(4, " -1),4(y0-D直线PB与直线x=4的交点为N(4, : +1), 若以MN为直径的圆与x轴相交，4(Vo + l) 4伽-1)则[ -1] x [ & +1]<0,16(元-1)4闵-1) 4伽+1)即%+ -1<01&(元-1)即：/ -1<0.A ±1 1因为I + ' =1,所以 "=-1 ,。

专题验收评估(五) 解析几何(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心，且倾斜角为π6的直线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x －2y ＋3＝0C ．x －3y ＋23－1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 已知圆的圆心坐标为(1,2)，所以经过已知圆的圆心，倾斜角为π6的直线方程为x －3y ＋23－1＝0.2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：选B 两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x 解析：选B 在双曲线中离心率e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16.5．(2017·宁波效实中学模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为( )A.214B ．6C ．8D ．12解析：选B 由题意得F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP ―→·FP ―→＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故x 24＋y 23＝1，所以x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，又－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，14(x ＋2)2＋2取得最大值6，即OP ―→·FP ―→的最大值为6.6．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.7．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……规范答题示例4 解析几何的综合问题典例4 (16分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程 (2)设M 存在即为M (m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；(5)MA →·MB →没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．跟踪演练4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连结AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，y M ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，y N .由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， 且Δ＝(18m )2＋84(3m 2＋4)>0， ∵y 1,2＝－18m ±(18m )2＋84(3m 2＋4)2(3m 2＋4) ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4.由A ，P ，M 三点共线可知，y M163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49， ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．。

规范解答集训(五）解析几何(建议用时:40分钟）1．（2019·兰州一诊）已知曲线C上的任意一点到直线l:x＝－错误!的距离与到点F错误!的距离相等．(1)求曲线C的方程;(2)若过P(1，0)的直线与曲线C相交于A,B两点，Q(－1,0)为定点，设直线AQ的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明:错误!＋错误!－错误!为定值．[解］（1）由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线,错误!＝错误!，p＝1。

∴抛物线的方程为y2＝2x。

(2)根据已知，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由错误!可得ky2－2y－2k＝0。

设A错误!，B错误!,则y1＋y2＝错误!，y1y2＝－2。

∵k1＝错误!＝错误!，k2＝错误!＝错误!。

∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋4。

∴错误!＋错误!－错误!＝4.2．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0）的右焦点F(错误!，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2。

（1)求椭圆C的标准方程;（2)设不经过点B（0,1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N,若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点,并求出该定点的坐标．［解］（1)由题意得,c＝3，错误!＝2，a2＝b2＋c2,∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为错误!＋y2＝1。

(2）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m （m≠1)，M（x1，y1），N（x2，y2)．由错误!消去y可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0。

∴Δ＝16（4k2＋1－m2）>0,x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴错误!·错误!＝0。

∵错误!·错误!＝（x1，kx1＋m－1)·（x2，kx2＋m－1）＝（k2＋1）x1x2＋k(m－1）(x1＋x2)＋(m－1）2＝0,∴（k 2＋1）4m 2－44k 2＋1＋k （m －1)错误!＋（m －1）2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1（舍去)． ∴直线l 的方程为y ＝kx －错误!。

五解析几何(A)1.(2018·江西九江模拟)给定椭圆C;+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;②求证;|MN|为定值.2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足AP·BP=-.(1)求椭圆C的方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率.3.已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l;-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.4.(2018·红桥区一模)已知椭圆C;+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.1.(1)解;由题意知c=,a=,所以b=1.所以椭圆的方程为+y2=1,“准圆”的方程为2+y2=4.(2)①解;因为“准圆”2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),设过点P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为y=+2,联立方程组消去y,得到(1+32)2+12+9=0,因为椭圆与y=+2只有一个公共点,所以Δ=1442-4×9(1+32)=0,解得=±1.所以l1,l2的方程分别为y=+2,y=-+2.②证明;a.当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为=或=-.当l1的方程为=时,此时l1与准圆交于点(,1),(,-1),此时经过点(,1)(或(,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1), 即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;同理可证l1方程为=-时,直线l1,l2垂直.b.当l1,l2都有斜率时,设点P(0,y0),其中+=4,设经过点P(0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(-0)+y0,联立方程组消去y得到2+3[t+(y0-t0)]2-3=0,即(1+3t2)2+6t(y0-t0)+3(y0-t0)2-3=0,Δ=[6t(y0-t0)]2-4·(1+3t2)[3(y0-t0)2-3]=0,经过化简得到(3-)t2+20y0t+1-=0,因为+=4,所以有(3-)t2+20y0t+(-3)=0,设l1,l2的斜率分别为t1,t2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以t1,t2满足上述方程(3-)t2+20y0t+(-3)=0,所以t1·t2==-1,即l1,l2垂直.综合a和b知l1,l2垂直,因为l1,l2经过点P(0,y0),又分别交其“准圆”于点M,N,且l1,l2垂直,所以线段MN为“准圆”2+y2=4的直径,所以|MN|=4.2.解;(1)设P(,y)(≠±),所以AP·BP=-,所以·=-,整理得+y2=1(≠±),因为A,B两点在椭圆上,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且≠0,设过焦点F的直线方程为=my+1,P(1,y1),Q(2,y2),M(0,y0),联立则(m2+2)y2+2my-1=0,所以所以所以|OM|=,而|QM|=|PQ|=·=·=·.因为|OM|=|QM|,所以=·,所以m2=,所以2=2,所以=±.因此,直线PF的斜率为±.3.解;(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l;-y-2=0的距离为,所以=,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为2=4y.(2)设切点A(1,y1),B(2,y2),由2=4y得y′=,所以切线PA;y-y1=1(-1),有y=1-+y1,而=4y1,即切线PA;y=1-y1,同理可得切线PB;y=2-y2.因为两切线均过定点P(0,y0),所以y0=10-y1,y0=20-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=0-y上, 所以直线AB的方程为y0=0-y,即y=0-y0.(3)设点P的坐标为(′,y′),由′-y′-2=0,得′=y′+2,则|AF|·|BF|=·=·=·=(y1+1)·(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y′-′2)y+y′2=0,有y1+y2=′2-2y′,y1y2=y′2,所以|AF|·|BF|=y′2+′2-2y′+1=y′2+(y′+2)2-2y′+1=2(y′+)2+,当y′=-,′=时,即P(,-)时,|AF|·|BF|取得最小值.4.解;(1)由题意可得,2b=2,即b=1,e==,得=,解得a2=4,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)法一设P(0,y0)(0<0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以PA=,直线PA的方程为y=-1, 同理,直线PB的方程为y=+1,直线PA与直线=4的交点为M(4,-1), 直线PB与直线=4的交点为N(4,+1), 线段MN的中点为(4,),所以圆的方程为(-4)2+(y-)2=(1-)2,令y=0,则(-4)2+=(1-)2,因为+=1,所以=-,所以(-4)2+-5=0,设交点坐标为(1,0),(2,0),可得1=4+,2=4-,因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解, 所以5->0,解得0∈(,2].则|1-2|=2(<0≤2),所以当0=2时,该圆被轴截得的弦长最大值为2.法二设P(0,y0)(0<0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以PA=,直线PA的方程为y=-1,同理,直线PB的方程为y=+1,直线PA与直线=4的交点为M(4,-1),直线PB与直线=4的交点为N(4,+1),若以MN为直径的圆与轴相交,则[-1]×[+1]<0,即-+-1<0,即+-1<0.因为+=1,所以=-,代入得到5->0,解得0∈(,2].该圆的直径为|-1-[+1] |=|2-|,圆心到轴的距离为|-1+[+1]|=||,该圆在轴上截得的弦长为2=2(<0≤2), 所以该圆被轴截得的弦长最大值为2.。

高考解答题的审题与答题示范(五)
解析几何类解答题
[思维流程]——圆锥曲线问题重在“设”与“算"
［审题方法]—-审方法
数学思想是问题的主线,方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．
典例(本题满分14分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!＋y2＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足错误!＝错误!错误!。

（1）求点P的轨迹方程；。

五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1;+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E;2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证;直线AB恒过定点.1.解;(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB;y=+m,由消y得(1+22)2+4m+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=162m2-4(1+22)(2m2-2)=0,得m2=22+1>1,①又由消y得22+(2m-4)+m2=0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=,12=,且有得≠0,m<1,因为OA⊥OB,所以·=12+y1y2=(1+2)12+m(1+2)+m2=()2+4·=0,得m=-4,联立①,得=±,故直线AB的方程为y=±(-4).2.(1)解;由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(,y),半径为r.因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明;由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=+b. 联立整理得2-4-4b=0,其中Δ=16(2+b)>0,设A(1,y1),B(2,y2),则1+2=4,12=-4b.①由抛物线的方程可得y=2,所以y′=.所以过A(1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=1(-1),又y1=,代入整理得y=1-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2m1-16=0,同理可得-2m2-16=0.所以1,2为方程2-2m-16=0的两个根,所以1+2=2m,12=-16.②由①②可得12=-4b=-16,1+2=4=2m.所以b=4,=,AB的方程为y=+4.当=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解;(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB;y=(-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程y2=4.(2)设D(0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为EF=-,AD⊥EF,所以AD=,故直线AD;y+=(-),即2-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==,设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD;-y-3=0,当t=-2时,AD;+y-3=0.4.解;(1)因为椭圆C;+=1(a>b>0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.所以解得a=2,b=,c=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率=OM=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=+m.由得2+2m+2m2-4=0.又直线l与椭圆交于A,B两个不同点,Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,于是-2<m<2. ∠AOB为钝角等价于·<0,且m≠0,设A(1,y1),B(2,y2),则·=12+y1y2=12+(1+m)(2+m)=12+(1+2)+m2<0,由韦达定理1+2=-2m,12=2m2-4,代入上式,化简整理得m2<2,即-<m<,又m≠0,故m的取值范围是(-,0)∪(0,).3.(2018·商丘二模)已知抛物线C;y2=2p(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(1,y1),B(2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018·南充模拟)已知椭圆C;+=1(a>b>0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点,若∠AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.。

五解析几何(B)1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.3.(2018·商丘二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系xOy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.解:(1)由e2===,得a=,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4x.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB:y=kx+m,由消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得m2=2k2+1>1,①又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,且有得k≠0,km<1,因为OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=()2+4·=0,得m=-4k,联立①,得k=±,故直线AB的方程为y=±(x-4).2.(1)解:由题意知,圆E的圆心E(0,1),半径为.设动圆圆心C(x,y),半径为r. 因为圆C与直线y=-相切,所以d=r,即y+=r.①因为圆C与圆E外切,所以|CE|=+r,即=+r.②联立①②,消去r,可得x2=4y.所以C点的轨迹Γ是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明:由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=kx+b.联立整理得x2-4kx-4b=0,其中Δ=16(k2+b)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.①由抛物线的方程可得y=x2,所以y′=x.所以过A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=x1(x-x1),又y1=,代入整理得y=x1x-.因为切线过P(m,-4),代入整理得-2mx1-16=0,同理可得-2mx2-16=0.所以x1,x2为方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.②由①②可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=,AB的方程为y=x+4.当x=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-),由化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为k EF=-,AD⊥EF,所以k AD=,故直线AD:y+=(x-),即2x-ty-4-=0,由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y1-y0|==,设点B到直线AD的距离为d,则d==,所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,当t=2时,AD:x-y-3=0,当t=-2时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)设动点M的坐标为(x,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的椭圆.所以解得所以轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在定点P(x0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.斜率为的直线l的方程为y=x+m(m∈R),由得x2+mx+m2-3=0,所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,所以m2<4,解得-2<m<2.又所以y1+y2=(x1+x2)+2m=m,因为k1+k2=+=0,所以(y1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0,y1x2+y2x1+2x0y0-x0(y1+y2)-y0(x1+x2)=0,所以(x1+m)x2+(x2+m)x1+2x0y0-x0×-y0(-m)=0.所以x1x2+m(x1+x2)+2x0y0+my0-x0=0,所以m(y0-x0)+2x0y0-3=0对于-2<m<2恒成立,所以解得或所以存在定点P,坐标为(1,)或(-1,-),使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0.。

五解析几何(A)1.(2018·黄陵高三期中)已知M为圆C;2+y2-4-14y+45=0上任意一点,点Q的坐标为(-2,3).(1)若P(a,a+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;(2)求|MQ|的最大值和最小值;(3)设M(m,n),求的最大值和最小值.2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足AP·BP=-.(1)求椭圆C的方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率.3.(2013·广东卷)已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l;-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.4.(2018·红桥区一模)已知椭圆C;+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线=4分别交于M,N两点.若以MN 为直径的圆与轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.1.解;(1)由点P(a,a+1)在圆C上,可得a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,即P(4,5).所以|PQ|==2,PQ==.(2)由2+y2-4-14y+45=0可得(-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.可得|QC|==4,因此|MQ|ma=|QC|+r=4+2=6,|MQ|min=|QC|-r=4-2=2.(3)分析可知,表示直线MQ的斜率.设直线MQ的方程为y-3=(+2),即-y+2+3=0,则=.由直线MQ与圆C有交点,所以≤2,可得2-≤≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.2.解;(1)设P(,y)(≠±),所以AP·BP=-,所以·=-,整理得+y2=1(≠±),但A,B两点在椭圆上,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且≠0,设过焦点F的直线方程为=my+1,P(1,y1),Q(2,y2), M(0,y0),联立则(m2+2)y2+2my-1=0,所以所以所以|OM|=,而|QM|=|PQ|=·=·=·,因为|OM|=|QM|,所以=·,所以m2=,所以2=2,所以=±.因此,直线PF的斜率为±.3.解;(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l;-y-2=0的距离为,所以=,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为2=4y.(2)设切点A(1,y1),B(2,y2),由2=4y得y′=,所以切线PA;y-y1=1(-1),有y=1-+y1,而=4y1,即切线PA;y=1-y1,同理可得切线PB;y=2-y2.因为两切线均过定点P(0,y0),所以y0=10-y1,y0=20-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=0-y上,所以直线AB的方程为y0=0-y,即y=0-y0.(3)设点P的坐标为(′,y′),由′-y′-2=0,得′=y′+2,则|AF|·|BF|=·=·=·=(y1+1)·(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y′-′2)y+y′2=0,有y1+y2=′2-2y′,y1y2=y′2,所以|AF|·|BF|=y′2+′2-2y′+1=y′2+(y′+2)2-2y′+1=2(y′+)2+,当y′=-,′=时,即P(,-)时,|AF|·|BF|取得最小值.4.解;(1)由题意可得,2b=2,即b=1,e==,得=,解得a2=4,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)法一设P(0,y0)(0<0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以PA=,直线PA的方程为y=-1, 同理,直线PB的方程为y=+1,直线PA与直线=4的交点为M(4,-1), 直线PB与直线=4的交点为N(4,+1), 线段MN的中点为(4,),所以圆的方程为(-4)2+(y-)2=(1-)2,令y=0,则(-4)2+=(1-)2,因为+=1,所以=-,所以(-4)2+-5=0,设交点坐标(1,0),(2,0),可得1=4+,2=4-,因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解, 所以5->0,解得0∈(,2].则|1-2|=2(<0≤2),所以当0=2时,该圆被轴截得的弦长最大值为2.法二设P(0,y0)(0<0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以PA=,直线PA的方程为y=-1,同理,直线PB的方程为y=+1,直线PA与直线=4的交点为M(4,-1),直线PB与直线=4的交点为N(4,+1),若以MN为直径的圆与轴相交,则[-1]×[+1]<0,即-+-1<0,即+-1<0.因为+=1,所以=-,代入得到5->0,解得0∈(,2].该圆的直径为-1-[+1]=2-,圆心到轴的距离为-1+[+1]=,该圆在轴上截得的弦长为2=2(<0≤2), 所以该圆被轴截得的弦长最大值为2.。

五解析几何(A)1.(2018·黄陵高三期中)已知M为圆C;2+y2-4-14y+45=0上任意一点,点Q的坐标为(-2,3).(1)若P(a,a+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;(2)求|MQ|的最大值和最小值;(3)设M(m,n),求的最大值和最小值.2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足AP·BP =-.(1)求椭圆C的方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率.3.(2013·广东卷)已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l;-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.14.(2018·红桥区一模)已知椭圆C;+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.1.解;(1)由点P(a,a+1)在圆C上,可得a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,即P(4,5).所以|PQ|==2,PQ ==.(2)由2+y2-4-14y+45=0可得(-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.可得|QC|==4,因此|MQ|ma =|QC|+r=4+2=6,|MQ|min =|QC|-r=4-2=2.(3)分析可知,表示直线MQ的斜率.设直线MQ的方程为y-3=(+2),即-y+2+3=0,则=.由直线MQ与圆C有交点,所以≤2,可得2-≤≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.2.解;(1)设P(,y)(≠±),2所以AP·BP =-,所以·=-,整理得+y2=1(≠±),但A,B两点在椭圆上,所以椭圆C 的方程为+y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且≠0,设过焦点F的直线方程为=my+1,P(1,y1),Q(2,y2), M(0,y0),联立则(m2+2)y2+2my-1=0,所以所以所以|OM|=,而|QM|=|PQ|=·=·=·,因为|OM|=|QM|,所以=·,所以m2=,所以2=2,所以=±.3因此,直线PF 的斜率为±.3.解;(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l;-y-2=0的距离为,所以=,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为2=4y.(2)设切点A(1,y1),B(2,y2),由2=4y得y′=,所以切线PA;y-y1=1(-1),有y=1-+y1,而=4y1,即切线PA;y=1-y1,同理可得切线PB;y=2-y2. 因为两切线均过定点P(0,y0),所以y0=10-y1,y0=20-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=0-y上,所以直线AB的方程为y0=0-y,即y=0-y0.(3)设点P的坐标为(′,y′),由′-y′-2=0,得′=y′+2,则|AF|·|BF|=·4=·=·=(y1+1)·(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y′-′2)y+y′2=0,有y1+y2=′2-2y′,y1y2=y′2,所以|AF|·|BF|=y′2+′2-2y′+1 =y′2+(y′+2)2-2y′+1=2(y′+)2+,当y′=-,′=时,即P(,-)时,|AF|·|BF|取得最小值.4.解;(1)由题意可得,2b=2,即b=1,e==,得=,解得a2=4,椭圆C 的标准方程为+y2=1.(2)法一设P(0,y0)(0<0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以PA =,直线PA的方程为y=-1, 同理,直线PB的方程为y=+1,直线PA与直线=4的交点为M(4,-1),5直线PB与直线=4的交点为N(4,+1),线段MN的中点为(4,),所以圆的方程为(-4)2+(y-)2=(1-)2,令y=0,则(-4)2+=(1-)2,因为+=1,所以=-,所以(-4)2+-5=0,设交点坐标(1,0),(2,0),可得1=4+,2=4-,因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解,所以5->0,解得0∈(,2].则|1-2|=2(<0≤2),所以当0=2时,该圆被轴截得的弦长最大值为2.法二设P(0,y0)(0<0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以PA =,直线PA的方程为y=-1,同理,直线PB的方程为y=+1,直线PA与直线=4的交点为M(4,-1),直线PB与直线=4的交点为N(4,+1),6若以MN为直径的圆与轴相交,则[-1]×[+1]<0,即-+-1<0, 即+-1<0.因为+=1,所以=-,代入得到5->0,解得0∈(,2].该圆的直径为-1-[+1]=2-,圆心到轴的距离为-1+[+1]=,该圆在轴上截得的弦长为2=2(<0≤2), 所以该圆被轴截得的弦长最大值为2.7。

专题检测卷(五) 解析几何(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·济南质检)若双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线的方程为3x ＋2y ＝0，则m ＝( ) A.49B.94C.23D.32解析 由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±1mx (m >0).3x ＋2y ＝0可化为 y ＝－32x ，所以1m ＝32，解得m ＝49.故选A.答案 A2.(2020·北京西城区二模)若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋a ＝0与x 轴、y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.[0，＋∞)D.[5，＋∞)解析 将圆的一般方程化作标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－a ，则该圆的圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝5－a .因为该圆与x 轴、y 轴均有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤5－a ，1≤5－a ，5－a >0，解得a ≤1，则实数a 的取值范围是(－∞，1].故选A. 答案 A3.(2020·河南六市模拟)已知P 为圆C ：(x －5)2＋y 2＝36上任意一点，A (－5，0).若线段P A 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)解析 如图，由题意知|QA |＝|QP |，||QA |－|QC ||＝||QP |－|QC ||＝|PC |＝6<|AC |＝10，所以动点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线，其方程为x 29－y 216＝1.故选B.答案 B4.(2020·辽宁五校模拟)仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美地证明了平面截圆柱的截面为椭圆面.如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.32解析 由题意可知椭圆的长轴与两球心连线的夹角为30°，所以椭圆的长轴2a ＝2sin 30°＝4，a ＝2，椭圆的短轴长等于球的直径，所以b ＝1，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D. 答案 D5.(2020·江南十校素质测试)已知点P 在圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上，点Q 在直线l ：x －2y ＋1＝0上，且点Q 的横坐标x ∈[－1，a ).若|PQ |既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤35，115 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，＋∞ 解析 如图，直线l ：x －2y ＋1＝0与x 轴交于点Q 1(－1，0).连接Q 1C 并延长，交圆C 于点P 1.过点C 作CQ 2⊥直线l 于点Q 2，交圆C 于点P 2，则|P 2Q 2|为|PQ |的最小值.易知直线CQ 2：y ＝－2x ＋2.设Q 2(x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋2，x －2y ＋1＝0，解得x 2＝35，∴a >35.设点Q 3(x 3，y 3).为点Q 1关于点Q 2的对称点，则x 3＝115.当a >115时，|PQ |无法取到最大值，当35<a ≤115时，|PQ |的最大值为|P 1Q 1|，∴35<a ≤115.故选A. 答案 A6.(2020·青岛检测)已知直线y ＝k (x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k (x －2)与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |－2|MN |，则( ) A.λ<－16 B.λ＝－16 C.－12<λ<0D.λ＝－12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2.因为直线y ＝k (x －1)经过抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2.同理可得|MN |＝8＋2k 2.所以λ＝4＋4k 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋2k 2＝4－16＝－12.故选D. 答案 D7.(2020·南昌调研)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.(2，5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，52D.(5，2＋1)解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0的圆心坐标为(0，5)，半径为3.因为圆C 上有且仅有两点到直线bx －ay ＝0的距离为1，所以圆心(0，5)到直线bx －ay ＝0的距离d 的范围为2<d <4，即2<5a a 2＋b2<4.又a 2＋b 2＝c 2，所以2<5a c <4，即54<e <52.故选C. 答案 C8.(2020·潍坊模拟)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，23)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 交于点Q ，与过焦点F且垂直于x 轴的直线交于点A ，B ，|AB |＝|PQ |，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M .若|PF |＝3|PQ |，则|PQ ||FM |＝( )A.1B. 3C.2D. 5解析 如图，连接P A ，PB .因为|AB |＝|PQ |，所以△P AB 是正三角形.又x 0>p2，所以x 0－p 2＝32|PQ |.又因为|PF |＝x 0＋p 2＝3|PQ |，所以x 0＝3p 2.所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，23，所以(23)2＝2p ·3p 2.因为p >0，所以p ＝2.所以F (1，0)，P (3，23)，所以|PQ |＝33|PF |＝33·（23－0）2＋（3－1）2＝433，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线PF 的方程为y ＝3(x －1).由⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，所以|FM |＝13＋1＝43，所以|PQ ||FM |＝ 3.故选B.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.0<r<2 2B.若△P AB为直角三角形，则r＝4C.△P AB外接圆的方程为x2＋y2＝4D.直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0解析因为过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的切线有两条，则点P 在圆C外，则r<|PC|＝42，故A错误；若△P AB为直角三角形，则四边形P ACB 为正方形，则2r＝|PC|＝42，解得r＝4，故B正确；由P A⊥CA，PB⊥CB，可得点P，A，C，B共圆，所以△P AB的外接圆就是以PC为直径的圆，即x2＋y2＝8，故C错误；将(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2与x2＋y2＝8相减即得直线AB的方程，所以直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0，所以D正确.故选BD.答案BD10.(2020·潍坊模拟)已知双曲线x24－y22＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是()A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程解析由题意，得双曲线的标准方程为x24sin2θ－y22sin2θ＝1，则a＝2|sin θ|，b＝2|sin θ|，则c＝a2＋b2＝6|sin θ|，则双曲线的焦距为2c＝26|sin θ|，顶点坐标为(±2|sin θ|，0)，离心率为e＝ca＝62，渐近线方程为y＝±22x.所以不因θ改变而变化的是离心率、渐近线方程.故选BD. 答案BD11.设P 是椭圆C ：x 22＋y 2＝1上任意一点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，则( ) A.|PF 1|＋|PF 2|＝2 2 B.－2<|PF 1|－|PF 2|<2 C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2 D.0≤PF 1→·PF 2→≤1解析 椭圆C 的长轴长为22，根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝22，故A 正确；||PF 1|－|PF 2||≤|F 1F 2|＝22－1＝2，所以－2≤|PF 1|－|PF 2|≤2，B 错误；|PF 1|·|PF 2|＝14[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2]，而0≤(|PF 1|－|PF 2|)2≤4，所以1≤|PF 1|·|PF 2|≤2，C 正确；PF 1→·PF 2→＝(OF 1→－OP →)·(OF 2→－OP →)＝OF 1→·OF 2→－OP →·(OF 1→＋OF 2→)＋|OP →|2＝|OP →|2－1，根据椭圆性质有1≤|OP |≤2，所以0≤PF 1→·PF 2→＝|OP →|2－1≤1，D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，∠EPF 的外角平分线交x 轴于点Q ，过点Q 作QN ⊥PE 交EP 的延长线于点N ，作QM ⊥PF 交线段PF 于点M ，则( )A.|PE |＝|PF |B.|PF |＝|QF |C.|PN |＝|MF |D.|PN |＝|KF |解析 由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，A 正确；∵PN ∥QF ，PQ 是∠FPN 的平分线，∴∠FQP ＝∠NPQ ＝∠FPQ ，∴|PF |＝|QF |，B 正确；若|PN |＝|MF |，则由PQ 是∠FPN 的平分线，QN ⊥PE ，QM ⊥PF ，得|QM |＝|QN |，从而有|PM |＝|PN |，于是有|PM |＝|FM |，则有|QP |＝|QF |，∴△PFQ 为等边三角形，∠FPQ ＝60°，也即有∠FPE ＝60°，这只是在特殊位置才有可能， 因此C 错误；连接EF ，如图，由选项A、B知|PE|＝|QF|，又PE∥QF，∴EPQF是平行四边形，∴|EF|＝|PQ|，∴△EKF≌△QNP，∴|KF|＝|PN|，D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020·武汉质检)已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为________.解析由题知，双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).因为点(4，1)在双曲线上，所以λ＝42－4＝12，所以双曲线的标准方程为x212－y23＝1.答案x212－y23＝114.已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是________.解析由题意可得|AB|＝（－1＋5）2＋（－3－0）2＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5可得M，N到直线AB的距离均为2，由于直线AB的方程为y－0－3－0＝x＋5－1＋5，即3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r＋2，解得r＝1，若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r－2，解得r＝5.故r的取值范围是(1，5). 答案(1，5)15.如图，点A，B分别是椭圆x225＋y2b2＝1(0<b<5)的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为15x ＋y －415＝0，且P A →·PF →＝0，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________.解析 依题意得直线AP 的方程为x －15y ＋5＝0，直线PF 与x 轴的交点为(4，0)，即F (4，0)，∴b 2＝25－16＝9，即椭圆方程为x 225＋y 29＝1.设M (m ，0)(－5≤m ≤5)，则M 到直线AP 的距离为|m ＋5|4，又|MB |＝|5－m |，所以|m ＋5|4＝|5－m |，∵－5≤m ≤5，∴m ＋54＝5－m ，解得m ＝3，∴M (3，0).设椭圆上的点(x ，y )(x ∈[－5，5])到M (3，0)的距离为d ，则d 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝1625x 2－6x ＋18＝1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x －75162＋6316，∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝7516时，d 2最小，此时d min ＝374. 答案37416.(2020·烟台诊断)已知F 为抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，点A (1，p )，M 为抛物线上任意一点，且|MA |＋|MF |的最小值为3，则该抛物线的方程为________.若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点，则四边形APFQ 的面积为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由题意，得抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线的方程为y ＝－p 2.因为|MF |等于点M 到准线的距离，所以当p >12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为点A 到准线y ＝－p 2的距离，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以3p2＝3，解得p ＝2，满足p >12p ；当p ≤12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为|AF |，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以（1－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －p 22＝3，解得p ＝42，不满足p ≤12p .综上所述，p ＝2.因此抛物线的方程为x 2＝4y .由p ＝2得，点A (1，2)，焦点F (0，1)，则线段AF 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，且|AF |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.设线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x 2＝4y .解得⎩⎨⎧x 1＝－2＋23，y 1＝4－23或⎩⎨⎧x 2＝－2－23，y 2＝4＋23，则|PQ |＝（4＋23－4＋23）2＋（－2－23＋2－23）2＝4 6.所以四边形APFQ 的面积S ＝12|AF |·|PQ |＝12×2×46＝4 3. 答案 x 2＝4y 4 3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020·北京适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0，1)，B (0，－1)，焦距为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上. (1)解 由题意知c ＝3，b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1<m <1，则x 20＝4(1－m 2).①∵点D 在直线AN 上一点，A (0，1)， ∴AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)， ∴OD →＝OA →＋AD →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， ∴D (λx 0，λ(m －1)＋1). ∵B (0，－1)，M (－x 0，m )，∴k BD ·k BM ＝λ（m －1）＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14. 整理，得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入上式得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0. ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0， ∴点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值. 解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0). 将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得 (m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0， 所以点M 的纵坐标y M ＝－mtm 2＋2. 将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0， 所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m，因此x 0＝2p （m 2＋2）2m 2.由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160， 当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040.19.(本小题满分12分)(2019·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1).(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点.(1)解 由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1. 同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2. 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0).20.(本小题满分12分)(2020·沈阳一监)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (2，2)，点B 在抛物线C 上，且满足OF →＝FB →－2F A →(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l ′，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l ′与抛物线C 交于M ，N 两点，△OPQ 的面积记为S 1，△OMN 的面积记为S 2，求证：1S 21＋1S 22为定值. (1)解 设B (x 0，y 0)，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴OF →＝FB →－2F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2，2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2－4，y 0－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p 2－4＝p 2，y 0－4＝0，∴⎩⎨⎧x 0＝4，y 0＝4. ∵点B 在抛物线C 上，∴42＝2p ×4，∴p ＝2，∴y 2＝4x .(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意得，直线l 的斜率存在且不为零.设l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 得，y 2－4my －4＝0.∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∴|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16＝4m 2＋1.因此S 1＝12|y 1－y 2|×1＝2m 2＋1.同理可得，S 2＝21m 2＋1.∴1S 21＋1S 22＝14（m 2＋1）＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝14（m 2＋1）＋m 24（m 2＋1）＝14. ∴1S 21＋1S 22为定值，定值为14. 21.(本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.(1)证明 因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83).当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83).22.(本小题满分12分)(2020·东北三校一联)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线l ：x＝－12相切，与定圆F ：(x －1)2＋y 2＝14外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M ，N (MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，直线l 交x 轴于点A ，记△AMM 1，△AMN ，△ANN 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 22＝4S 1S 3，求证：直线MN 过定点.(1)解 设P (x ，y )，⊙P 的半径为R ，则R ＝x ＋12，|PF |＝R ＋12，∴点P 到直线x ＝－1的距离与到定点F (1，0)的距离相等，故点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2， 设直线MN ：x ＝ty ＋n (t ≠0，n >0).将直线MN 的方程代入y 2＝4x 消去x 并整理，得y 2－4ty －4n ＝0，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4n <0.∵S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12·|y 1|，S 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|y 2|， ∴4S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 1y 2| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 1＋n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2＋n ＋12|y 1y 2| ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2y 1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12t （y 1＋y 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·|－4n | ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4nt 2＋4t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n . ∵S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·|y 1－y 2| ＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， ∴S 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·(16t 2＋16n )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n ).∵S 22＝4S 1S 3，∴n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n )， 即2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，解得n ＝12. ∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.。