复变函数发展历程

复变函数产生及意义

班级：1434200102

学号：143403030801

姓名：胡玉秀

千百年来，人们日日探索数学的奥妙，从几何到代数。数学的魅力，梦幻了一代代的人。从算筹的产生开始，从方程的出现开始，解决方程的答案的方法让众位数学家早早白了头发。终于，一个名叫复数的东西诞生了，耀眼的光芒照耀着数学这片广袤的土地。

意大利米兰学者卡当也许可以称作复数的始祖了，把负数的平方根应用与三次方程，但不能算作最开始的那位，考虑金字塔的不可能问题的希腊数学家海伦或许是最初。不管怎样，复数，虚数就这么产生了，一个伟大事物的出现总带着各种不可能，不对，不赞同的反对声。如同日心说一般，真理慢慢就会被大众所接受，时间和空间的考验下，它有了四则运算，有了著名的各种定理公式，符号，生机勃勃的出现在了世人的眼球之下，旺盛的生命力让人为之倾服。

十八世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。诧异的是，早于1685年约翰·沃利斯已经提出此一观点。卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年，以当今标准来看，也是相当清楚和完备。他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年，以来表示平面上与实轴垂直的单位线段被提出。1806年，罗贝尔·阿尔冈亦发表文章，复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。

一，复数和复变函数

1.复数

在数学中，最早为人们所研究的一个纯数学问题，就是求解二次方程.四千多年前，古代巴比伦人就掌握了二次方程的解法.那时所发现的技巧，还基本上与今天在中学数学教科书中所用的方法相同.例如，解方程寸- 2x-15 = 0*用。配方”法，将这个方程写成矛-2为+ 1 -16的形式，也就是（x-1）」16 = 0,即得到（x-1）3 = 16,所以X-l = 4或一牝因此x = 5或x= -3.但是，对有些二次方程，这个《配方”法就失灵了. 例如要解简单的二次方程屮+ 1 = 0,这导致我们要找这样的数礼它的平方等于- It x2= -1.这似乎是不可能的，因为一个数的平方好像不应是负的・

想像如果有一个数，它的平方是「1,这将会发生什么情况呢？这个数，今天已习惯上采用亍来表示，并称之为“虚”单位;当有m出现时，就用-1代替之.这样，方程x' + i = o 就变成有解了，其解为x = i和 X=-礼另外，如方程 JC3-10^+ 40 = 0,即（*-5），

= -15也变成有解了，其解为为二5+"商和x = 5- 5/场.要验证它,我们只须计算

（5±10 （5± v'lBO + 40

=（5± V15C（5 +VlSi） - 10（5+ + 40

=25 士 5、/'套，± 5^/15® 十 15讣一 50 干 10*1京 + 40

=25- 15- 50+ 40 = 0,

但是，一个二次方程有一个* = 5 + "15i或X = 5 - 、/応的解,究竟有什么好处呢？归根结底i是一个“虚” 数.

复变函数的发展史及laplace变换在自控领域中的应用

摘要：复变函数经历了150多年的发展历程，在不断发展和更新的过程中愈来愈完善并不断向各个领域延伸，特别是在自动控制领域的作用愈来愈重要。复变函数中的Laplace变换是近一世纪来迅速发展起来的一种有效的数学方法。借助于Laplace变换可把微积分的运算转化复平面的代数运算，因此，可利用它解常微分方程、偏微分方程、积分方程及差分方程，简化了求解过程，是解线性系统的重要工具，。通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，根据拉普拉斯变换及其反变换的定义式，求解得到系统的动态过程，从而阐明其计算具有快速、简洁和方便的特点，在现代自控理论中得到广泛的应用。

关键词：复变函数拉普拉斯变换原函数象函数传递函数

Abstract : Complex function has experienced 150 years of development,and it became be more perfect and constantly to the various fields in the process of developing and updating, especially it palys a more and more important role in the field of automatic place transform is nearly a century to rapidly develop an effective mathematical method. Using Laplace transform can turn calculus operations in the plane of the transformation of complex arithmetic, therefore, can use it to solution of differential equation, partial differential equations and integral equations and difference equation, simplified the solving process, is an important tool for solving linear system, in the modern theory of automatic widely applied. These contents in relevant tutorial or monographs, already common occurance. This paper will give out Laplace transform another new applications, namely using Laplace transform calculating generalized integrals, thus obtains the calculation kind of generalized integrals of new methods.

复变函数产生及意义

班级：1434200102

学号：143403030801

姓名：胡玉秀千百年来，人们HH探索数学的奥妙，从几何到代数。数学的魅力，梦幻了一代代的人。从算筹的产牛开始，从方程的出现开始，解决方程的答案的方法让

众位数学家早早白了头发。终于，一个名叫复数的东西诞牛了，峨眼的光芒照峨着数学这片广袤的土地。

意大利米兰学者卡当也许可以称作复数的始祖了，把负数的平方根应用与三次方程，但不能算作最开始的那位，考虑金字塔的不可能问题的希腊数学家海伦或许是最初。不管怎样，复数，虚数就这么产牛了，一个伟大事物的出现总带着各种不可能，不对，不赞同的反对声。如同日心说一般，真理慢慢就会被大众所接受，时间和空问的考验下，它有了四则运算，有了著名的各种定理公式，符号, 牛机勃勃的出现在了世人的眼球之下，旺盛的牛命力让人为之倾服。

十八世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当吋卡斯帕尔•韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。诧异的是，早于1685年约翰•沃利斯已经提出此一观点。卡斯帕尔•韦塞尔的文章发表在1799年，以当今标准來看，也是相当清楚和完备。他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。怡04年，以来表示平面上与实轴垂直的单位线段被提岀。1806年，罗贝尔•阿尔冈亦发表文章，复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一•篇备忘录，奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。

复变函数科普知识

1．简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现 了负数开平方的情况。在复变函数 复变函数很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

2．历史复变函数 复变函数复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他 的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。

复变函数的应用以及发展史

复变函数是以复数域为自变量和取值域的函数，是数学分析和应用数

学中的重要分支之一、它的应用广泛，涉及到物理、工程、计算机科学、

经济学等众多领域。本文将介绍复变函数的应用以及其发展史。

复变函数在物理学中有广泛的应用。例如电动力学中的电场、磁场等

可以用复变函数表示。薛定谔方程是量子力学中的基本方程，它的解也是

一个复变函数，描述了量子粒子的运动和性质。另外，复变函数也在流体

力学、声学、光学等领域中有重要应用。

在工程领域，复变函数常用于电气工程、电子工程等领域中。例如，

交流电路中的电流和电压可以用复变函数表示。在电子电路中，利用拉普

拉斯变换和复变函数的性质，可以进行系统的分析和设计。在通信工程中，复变函数可以用于描述信号的频谱特性，以及信号的传输和处理过程。

在计算机科学中，复变函数在图像处理、计算机图形学等领域有广泛

应用。例如，图像处理中的傅里叶变换可以将图像转化为频域表示，从而

进行图像的增强、去噪等处理。在计算机图形学中，复变函数可以用于描

述和生成复杂的形状和图案，例如分形图形的生成。

在经济学中，复变函数常用于描述经济现象和经济模型。例如，在宏

观经济学中，复变函数可以用于描述经济增长、通货膨胀等现象。在微观

经济学中，利用复变函数可以描述市场供求关系、消费者和生产者的行为等。

复变函数的发展史可以追溯到18世纪。法国数学家欧拉是复变函数

理论的奠基人之一、他提出了欧拉公式，将复数的指数函数表示为三角函

数和指数函数的组合。随后，由于研究热传导方程等问题，人们开始对复

变函数进行更系统的研究。法国数学家庞加莱、德国数学家魏尔斯特拉斯

复变函数的应用及发展史

作者：杨慧贤

来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第05期

【摘要】复变函数在我国数学与物理学发展中有着重要的应用，通过复变函数的应用能够解决实际生活中遇到的许多问题，不过，目前人们在对复变函数进行研究时，仍旧有许多问题亟需解决。为此，本文对复变函数进行了简要的介绍，并明确了复变函数的相关应用，阐述了复变函数的发展史，以期能够帮助人们更加深入地了解复变函数的内涵及发展，使复变函数能够在更多领域中得到有效应用。

【关键词】复变函数；应用；发展史

近些年来，数学的快速发展使复变函数变得越来越重要，这也使越来越多的专家与学者投入到复变函数的研究中。复变函数在各个领域中发挥着重要作用，通过复变函数的应用，有助于对实际生活中所遇到的各种问题进行有效解决，从而大大推动各个领域的技术发展。随着人们对复变函数研究的不断深入，复变函数的重要性也日益凸显出来，人们更加迫切地需要解决复变函数研究中存在的问题。为此，以下便对复变函数的相关应用及其介绍进行了阐述与分析。

一、复变函数介绍

复数这一概念是人们在求解方程根时无意中发现的，长期以来，人们一直无法理解复数，不过，随着数学学科的不断发展，复数在各个领域中的重要性也逐渐凸显出来，这也使人们将复数的形式通常定义为a+bi，在该定义中，虚数单位由i表示。单复变函数起源于数学中的多复分析，由于多复分析过于复杂，而且分析难度较大，这也使人们在多复分析中所研究出的方法和单复变函数存在很大差异，这是因为定义区域所具有的拓扑性质与几何性质会在很大程度上影响多复变全纯函数的性质。因此，人们在研究过程中，需要从局部性质逐渐向着整体性质转移，并利用微分几何学、拓扑学等学科中的方法及概念，从而为复变函数的发展拓宽道路。在20世纪90年代，复变函数论得到了高速的发展，并在当时成为重要的研究热门，在那时，大多数数学家都认为复变函数论具有广阔的研究前景，并将其誉为抽象科学中和谐性最强的数学理论。欧拉达朗贝尔最早创建了复变函数论，在随后的几年里，拉普拉斯也投入到复变函数积分的研究中，从而为复变函数学科的发展做出了卓越的贡献。

课程发展历史沿革

复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。复变函数理论产生于十八世纪，Euler、D’ Alembert、Laplace等都是创建这门学科的先驱。十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人为这门学科的发展作了大量奠基性的工作。

复变函数论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为是这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家Leffler、法国数学家Poincare、Hadamard等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。

复变函数论不仅是我们所学实变函数微积分《数学分析》的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛地应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制理论等，目前还被广泛应用于信号处理、电子工程、智能计算等领域。更重要的是，有很多复杂的计算都是以复变函数为工具来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的Жуковский

在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。俄国数学家Ляпунов在研究天体运动问题时就以复变函数为工具，获得了天体运动的稳定性，从此奠定了微分方程稳定性理论基础，直至今日稳定性理论仍然是微分方程领域的一个研究热点。

复变函数的起源与发展

复变函数是数学中的一个重要分支，它的起源和发展可以追溯到18世纪末至19世纪初。

1.复数的引入：复变函数的起点可以追溯到复数的引入。在18世纪末，数学家们开始思考负数的平方根问题，这引发了对虚数单位i 的研究。通过引入虚数单位i，可以将负数的平方根问题转化为复数的平方根问题。

2.庞加莱的贡献：法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在19世纪末对复变函数做出了重要贡献。他研究了复数平面上的连续变换，并引入了庞加莱球面来描述复平面上的无穷远点。

3.韦尔斯特拉斯的全纯函数理论：19世纪中叶，德国数学家卡尔·韦尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了全纯函数的概念和理论。他定义了全纯函数的导数，并研究了全纯函数的级数展开和收敛性。韦尔斯特拉斯的工作奠定了复变函数理论的基础。

4.黎曼面和复析函数：德国数学家伯纳德·黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪中叶提出了黎曼面的概念，并将复变函数的研究

推广到多复变量的情况。他定义了复析函数，并研究了它们的性质和特征。黎曼的工作开创了复变函数理论的新领域。

5.应用和发展：复变函数的理论和方法在数学和物理学的许多领域中得到了广泛应用和发展。它在解析几何、调和分析、偏微分方程、概率论等领域中发挥着重要作用。复变函数的研究也催生了许多重要的数学定理和概念，如黎曼曲面、黎曼积分、留数定理等。

综上所述，复变函数的起源和发展可以追溯到18世纪末至19世纪初，从复数的引入到全纯函数理论和黎曼面的提出，复变函数的研究为数学和物理学的发展做出了重要贡献，并在各个领域中得到了广泛应用。

复数的故事

复数的概况

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一①。 16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。