互逆命题.4-1互逆命题

11.4互逆命题学习目标导航重点：1．知道命题和逆命题的相互关系，能写出一个命题的逆命题．2．知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．3．会用符号“⇒”简明地表述推理过程．难点：知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．考点:写出一个命题的逆命题并判断其假．重点难点透视教材知识点详解详解点一互逆命题（重点）(1)定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．(2)构造方法：每个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，所得的命题即为原命题的逆命题．(3)命题的组成形式：一般情况下，命题可有如下的一些形式：①如果……那么……；②若……则……；③因为……所以……．通常为标准形式，其他的都可以化为标准形式，并且“如果……”部分为命题的条件，“那么……”为命题的结论部分．(4)互逆命题的真假：延伸：如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理．【例1】写出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题：(1)同位角相等；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．解: (1)条件：两个角是同位角；结论：这两个角相等．逆命题：相等的角是同位角．(2)条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余．逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．名师点睛：给出一个命题写出客观存在的逆命题，把题设和结论进行交换的同时还要注意语句是否通顺．详解点二假命题的证明（难点）要证明一个命题为假命题，只要能举出一个满足条件而不满足结论的例子即可，这在数学上称为“举反例”．【例2】证明下列命题为假命题．(1)质数都是奇数；(2)两个互余的角不相等．分析：证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了．证明：(1)因为2是质数，且它是偶数，所以这个命题是假命题．(2)取α=45°，β=45°，则α+β=90°，而α=β且α、β互余．所以这个命题是假命题．方法归纳：证明一个命题是假命题的方法是举反倒．详解点三用“⇒”表述推理过程(重点、难点)为了简化证明的推理过程，我们可以用符号○C “⇒”来表述推理，“⇒”是推出符号．使用符号“⇒”进行推理不但简化了证明过程，而且使得整个证明过程更加条理清晰．【例3】图l1一4—2，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN∥BC，分别交AB 、AC 于点M 、N 求证：MN=BM+CN ．分析：欲证明MN=BM+CN ，只需要证明OM=BM ，ON=CN.方法归纳：(1)因为A ，所以B ，可用A “⇒”B ；(2)若C 为已知或已证，而B 与C 结合可推出D ，可按下面推理(注意“⇒”指向):方法规律聚焦类型一 逆命题的书写及逆命题的真假判断【例4】说出下列命题的逆命题，判断每个逆命题的真假，并说明理由． (1)在△ABC 中，如果∠A 是钝角，那么∠B 和∠C 是锐角． (2)平行四边形是四边形．(3)若a 2是有理数，则a 是有理数．(4)如果m >0，则m≠0．(5)四边形的内角和是360°．分析：把原命题改写成逆命题，关键是分析清楚原命题的条件与结论，然后把原命题的结论变成逆命题的条件，而把原命题的条件变成逆命题的结论．现将各题的条件与结论列表如下：解：(1)逆命题为：在△ABC 中，如果∠B 和∠C 是锐角，那么∠A 是钝角．逆命题是假命题．因为∠A 可能是锐角，也可能是直角，还有可能是钝角．(2) 逆命题为：四边形是平行四边形．逆命题是假命题．因为平行四边形是一种较为特殊的四边形，如梯形是四边形，但不是平行四边形．(3) 逆命题为：若a 是有理数，则a 2是有理数．逆命题是真命题.因为有理数平方后还是一个有理数．(4) 逆命题为：如果m≠0，则m >0．逆命题是真命题．因为一个非零实数的绝对值一定大于O ．点石成金 “⇒ ”前的是条件，“⇒ ”后的是由条件推出的结论.(5) 逆命题为：如果一个多边形的内角和是360°，那么该多边形一定是四边形．逆命题是真命题．根据多边形内角和公式：(n-2)180°=360°，得n=4，因此这是一个四边形．名师点睛：(1)一个真命题的逆命题不一定是真命题，一个假命题的逆命题不一定是假命题． (2)要说明一个命题是真命题需进行严密的逻辑推理，而说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．类型二命题的证明【例5】证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．图11．4—1分析：此为文字叙述的证明题，命题的条件是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线也互相平行．已知：如图11．4—1，直线a、b、c，b∥a，c∥a，求证：b∥c．证明：作直线a、b、c的截线d．因为b∥a(已知)，所以∠2=∠1(两直线平行，同位角相等)．因为c∥a(已知)，所以∠3=∠l(两直线平行，同位角相等)，所以∠2=∠3(等量代换)，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)．用符号“⇒”简明表述上述的推理过程如下：名师点睛：用“⇒”符号表述推理过程可以使证明过程变得简单明了，同时也有利于培养解答者的逻辑推理能力．综合应用探究类型三证明逆命题真假【例6】请写出“如图11．4—2，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12 BC”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由．图11．4—2 图11．4—3分析：命题“在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12BC”的条件是“若DE是△ABC的中位线”，结论是“BE=12BC”．将条件与结论相反，则为它的逆命题．解:逆命题：若DE=12BC，则DE是△ABC的中位线．假命题，反例如图11．4—3所示．方法归纳：在判断某个命题是真命题时，要进行说理；在判断某个命题是假命题时，举个反例就行了．常见思维误区警示易错点一叙述逆命题时出错易错点导析在由原命题写逆命题时，未进行语言加工，只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，这是出错的主要原因．【例7】写出命题“等腰三角形两个底相等”的逆命题．错解：两个底角相等的三角形是等腰三角形.纠错秘方：在改写逆命题时，要把握逆命题和原命题的关系，特别注意某些概念内在的先后顺序．正解：有两个角相等的三角形是等腰三角形.易错点二对命题的条件和结论表述不清在叙进命题时,有些命题的条件和结论不是很明显，很容易混淆，从而出现错误．【例8】写出“命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题．错解：逆命题为：如果对应边相等，那么它是全等三角形．纠错秘方：在由原命题写它的逆命题时，未进行语言加工,只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，因为对应边是针对两个三角形而言，所以“对应边相等”应改为“两个三角形的对应边相等”．正解：逆命题为：如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等三角形．知识方法归纳快乐测试经典基础题1．“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是 ( ) A．对角线互相平分的是平行四边形B．互相平分的是平行四边形的对角线C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．如果是平行四边形的对角线，那么互相平分【C 提示：A答案差一个主语“四边形”，B,D两答案原命题的题设与结论没有弄清．】2．下列命题的逆命题为真命题的是 ( ) A．对顶角相等B．等边三角形是锐角三角形C．若x>y，则x2>y2D．能被5整除的数，它的末位数字是5【D 提示：A答案相等的角不一定是对顶角；B锐角三角形不一定是等边三角形；C当x、y是负数时,若x2>y2，则x<y．】3．下列定理有逆定理的是 ( ) A．对顶角相等B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．正方形的四个角都是直角【B 提示：A、C、D三个命题的逆命题都是假命题．】4．每一个命题都 (填“有”或“没有”)它的逆命题．【有】5．原命题成立，它的逆命题 (填“一定”或“不一定”)成立．【不一定】6．“如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形全等”是命题．它的逆命题是．【假，全等三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等】7.判断下列命题的真假．(1)同位角相等；(2)9的平方根是3；(3)同角的余角相等；(4)三个连续自然数的积是6的倍数．解：(1)(2)假命题，(3)(4)真命题．点拨：根据定义，同位角是两条直线被第三条直线所截形成的位置相同的角，只有当这两条直线平行时才相等，故“同位角相等”是假命题．9的平方根是±3，因为(±3)2=9．故9的平方根有两个，故“9的平方根是3”是假命题．同角的余角都等于90°减这个同角，故是真命题．三个连续自然数中必有一个是2的倍数和3的倍数，故它们的积是6的倍数，故是真命题．8.指出下列命题中的互逆命题．(1)直角都相等；(2)同位角相等，两直线平行；(3)如果a+b>0，那么a>0，b>0；(4)两直线平行，同位角相等；(5)相等的角都是直角；(6)如果a>0，b>0，那么ab>0．分析：互逆命题的两个命题的条件与结论正好互换．因此分别说出各个命题的条件和结论，比较一下则易判断它们是否互为逆命题．解：(1)与(5)、(2)与(4)名师点睛：(3)与(6)不是互逆命题．由于(3)的条件不是(6)的结论．另外(5)虽然是假命题，但它条件和结论与(1)的条件和结论正好互换，因此是互逆的．10.【章末】写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．(1)若ac2>bc2,则a>b；(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(3)若ab=0．则a=0．分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下即可．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例．千万不能想当然．解：(1)逆命题为：若a>b，则ac2>bc2．假命题，如c=0时，ac2=bc2．(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．真命题．(3)逆命题为：若a=0,则ab=0．真命题．点拨：真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的正确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一步推导出来的．而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子．9.请用“ ”符号表述下面的证明过程．已知：点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．求证：∠l=∠2．证明：因为DE∥BC，EF∥AB(已知)，所以∠1=∠DEF，∠2=∠DEF(两直线平行，内错角相等)．所以∠1=∠2(等量代换)．解：改写如下：10．写出下面命题的逆命题，并判断其真假原命题真假性逆命题真假性(1)奥巴马是美国总统(2)如果x=l，那么x(x-1)=0(3)两个三角形全等则对应边相等(4)在一个三角形中，等边对等角(5)等边三角形是等腰三角形【】能力拓展题11．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”(如图11．4—4)，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．”彬彬：“作△ABC的角平分线AD．”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．图11．4—4【 (1)只有等腰三角形具备“三线合一”性质，此题等腰三角形是求证部分，故过点A 只能作BC的垂线AD，垂足为D．(2)证明：作△ABC的角平分线AD，则∠BAD =∠CAD，又因为∠B =∠C，AD = AD，所以△ABD≌△ACD，所以AB=AC．】12．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：(1)构造一个真命题，画图并给出证明；(2)构造一个假命题，举反例加以说明．【 (1)③④为条件时，此命题是真命题．如图答11．4—1所示：图答¨．4一l因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC = 180°．又因为∠BAD =∠DCB．所以∠DCB+∠ABC = 180°，所以AB∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．(2)②④为条件时，此时可以构成一梯形．】参考答案与点拨：。

逆命题与逆定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题；3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题．【要点梳理】要点一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.要点诠释：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型一、互逆命题与互逆定理1、“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 .【答案】轴对称图形是等腰三角形【解析】根据轴对称图形的概念求解．逆命题是结果与条件互换一下的说法．【总结升华】掌握好逆命题，及轴对称的概念．举一反三：【变式】下列定理中，没有逆定理的是（）．A.全等三角形的对应角都相等B.全等三角形的对应边都相等C.等腰三角形的两底角相等D.等边三角形的三边都相等【答案】A类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理2、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．【答案与解析】解：∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）．A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】D3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．举一反三：【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【答案】解：类型三、角平分线性质定理及其逆定理4、（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【答案与解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=30.【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．举一反三：【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）．①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①②B．①④C．③②D．③④【答案】C5、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF求证：AD平分∠BAC．【思路点拨】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE=DF，然后由角平分线性质的逆定理，即可证得AD平分∠BAC．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD平分∠BAC．【总结升华】此题考察了角平分线性质的逆定理与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）．A. BC的中线上B. BC边的垂直平分线上C.BC边的高线上D.∠A的平分线所在的直线上【答案】D。

**互逆命题1 课程标准层次要求认识：①互逆命题例1理解：②举反例说明假命题的方法例2掌握：③判断两个命题是否是逆否命题和求一个命题的逆命题的方法（重点）例1 、例3、例62教材知识全面解读知识点1 互逆命题意义举例互逆命题在两个命题中，如果第一个的条件是第二个命题的结论，而第二个命题的条件又是第一个命题的结论，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫另一个命题的逆命题．“若a b=，则a b=”的逆命题是“a b=，则a b=”．牢记解读：（1）互逆命题不是指一个命题，而是指两个命题之间的一种关系，它和互为倒数，互为相反数，互为余角，互为补角这些的含义类似．（2）原命题与逆命题是相对的，互逆命题是指两个命题之间的某种关系，这种关系体现在题设与结论的相互交换上．（3）每个命题都可以将它的条件和结论互换得到它的逆命题，因而每个命题都有逆命题．（4）写出一个命题的逆命题的方法：首先找出原命题的条件和结论，然后把结论作为条件，把条件作为结论就可以了．如：“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．互换题设与结论后是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，即“相等的角是对顶角”．拓展：每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题却不一定正确，原命题错误，逆命题不一定错误．巧记乐背互逆命题是两个命题之间的一种特殊关系，它们的条件、结论是互换的关系．基础题型一互逆命题【例1】给出下列命题：（1）直角都相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0；（4）两直线平行，同位角相等；（5）相等的角都是直角；（6）如果a>0，b>0，那么ab>0，其中，互为逆命题的是：____________. 分析：根据逆命题的定义，只要找到条件和结论互换的两个命题即可．答案：（1）与（5）、（2）与（4）、（3）与（6）．方法点拨：判断互逆命题关键看在条件与结论有没有相互交换．变式练习：1．写出下列命题的逆命题：（1）两直线平行，内错角相等；逆命题是：_________________________. （2）如果a2=b2，那么a=b；逆命题是：__________________________. （3）内错角相等逆命题是：__________________________. 答案：（1）内错角相等，两直线平行；（2）如果a=b，那么a2=b2；（3）相等的两角是内错角．知识点2 反例内容举例反例举出一个符合命题的条件但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题的例子称为反例．命题若xy=0,则x=0的反例是2x=，y=．牢记注意：数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．巧记乐背反例，反例，反驳的例子，也就是条件成立结论不成立的例子．基础题型二用反例说明命题是假命题【例2】举反例说明下列命题是假命题：①如果a+b>0，那么a>0,b>0；②两个锐角的和大于90°分析：找出满足条件且结论不成立的例子解：①a=5，b=－2时，有a+b=5＋（－2）=3，但b=－2＜0；②30°的锐角与40°的锐角有30°＋40°=70°＜90°．方法点拨：注意满足条件的例子有多种可能，要在这几种可能中找出符合条件且结论不成立的例子．变式练习：2．举反例说明若a＞b则a2＞b2的逆命题为假命题．解：若a＞b，则a2＞b2的逆命题为：若a2＞b2，则a ＞b，反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b．3 典型例题分类解读类型一逆命题的真假判断【例3】写出下列命题的逆命题，并指出其真假(1) 如果a2=b2，那么a=b；(2)对顶角相等．分析：先写出逆命题，再判断其真假．解：（1）如果a2=b2，那么a=b；的逆命题是：如果a=b，那么a2=b2．显然，其逆命题是真命题．(2) 对顶角相等的逆命题是相等的两角是对顶角，其逆命题是假命题，反例如下图的两个角∠AOB，∠BOC，尽管∠AOB=∠BOC，但∠AOB与∠BOC不是对顶角．图12-3-1方法点拨：解本题的前提是写对逆命题，再做出正确判断，注意运用恰当的反例来说明一个命题是假命题．要点总结：逆命题的真假情况与原命题的真假没有必然的联系，所以判断逆命题的真假步骤还是先写出逆命题，再判断其真假．变式练习3．下列定理中，逆命题不正确的是（）A．内错角相等，两直线平行；B．直角三角形中两锐角互余C．相反数的绝对值相等；D．同位角相等，两直线平行答案：C．类型二完成证明、寻找互逆命题【例4】已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．（1）求证：CD⊥AB；（2）在上面的证明过程中应用了哪个互逆的真命题？图12-3-2分析：由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．⑴证明：∵∠1=∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∵∠2=∠3（已知）∴∠3=∠DCB（等量代换），故CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠FHB=∠CDB（两直线平行，同位角相等），∵FH⊥AB（已知），∴∠FHB=90°（垂直的定义）∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB（垂直的定义）．⑵应用了“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”这两个真命题．方法点拨：本题关键是由角的关系与直线的位置关系互相转化以及等量代换等变换．要点总结：先判定平行再用平行的性质，要判定平行先找角的特殊关系．变式练习4．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED=∠BDE，求证：EF也是∠AED的平分线．图12-3-3证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知），∴∠ABD=∠DBC（角平分线定义）；∵ED∥BC（已知），∴∠BDE=∠DBC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABD=∠BDE（等量代换）；又∵∠FED=∠BDE（已知），∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行），∴∠AEF=∠ABD（两直线平行，同位角相等），∴∠AEF=∠DEF（等量代换），∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）．4 拓展创新能力提升类型三：平行线性质与判定的综合应用【例5】已知，如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试证明∠AED=∠C，分析：先利用补角性质证明∠2=∠4，于是EF∥AB，因而可得∠ADE=∠B，再由DE∥BC，证得∠AED=∠C．证明：∵∠1+∠2=180°（已知），又∠1+∠4=180°（补角的性质），∴∠2=∠4（同角的补角相等），∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等），又∵∠3=∠B（已知），∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．方法点拨：本题利用补角的性质证等角，从而证平行线，再利用平行线性质解决问题．易错点1 命题的真假性判断错误易错例1 下列说法中真命题的个数有（）（1）若a∥b，b∥c，则a∥c．（2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行．（3）相等的角是对顶角．（4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等．（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．（6）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个常见错解：C．【误区分析】产生错解的原因是误以为“两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等”是正确的，事实上，“两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等”是假命题，只有两条平行线被第三条直线所截取得的同位角才相等，（4）是假命题；而根据平行于同一直线的两条直线平行，（1）是真命题；∵如图：AB和CD不平行，∴（2）是假命题；∵在两条平行线被第三条直线所截的同位角相等，但不是对顶角，∴（3）错误；∵若在同一平面内，a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∴（5）假命题；如图：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE，∵EN平分∠BEF，FM平分∠CFE，∴∠NEF=12∠BEF，∠MFE=12∠CFE，∴∠MFE=∠NEF，∴EN∥FM，∴（6）是真命题．故选B．正解：B．易错点2 误以为原命题与逆命题的真假性是一致的易错例2 下列说法中，正确的是（）A．每个命题不一定都有逆命题；B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题仍是真命题；D．假命题的逆命题未必是假命题常见错解：C．【误区分析】误以为一个真命题的逆命题一定是真命题，一个假命题的逆命题一定是假命题．事实上，一个命题的真假与它逆命题的真假并无相关性，如命题“同位角相等，两直线平行”原命题和逆命题都是真命题；命题“对顶角相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题；命题“同位角相等”，原命题与逆命题都错误．另外，每个定理的都是真命题，它的逆命题也可能是真命题，也可能是假命题，既是逆命题是真命题，并不一定把逆命题作为定理，故选D．正解：D．6 3年中考3年模拟中考命题方向本节内容在中考中以考察逆命题知识的题目较少，常以填空题、选择题形式出现，在今后的中考中，这部分知识大约考0-3分． 中考典型习题考点一 命题与逆命题真假判断1．(2012•内蒙古包头)已知下列命题：①若a ≤0，则｜a ｜=-a ②若ma 2>na 2，则m >n ; ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点二 写出逆命题 2．（2011•凉山州）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：考点三 平行线性质与判定的综合应用 3．（2012•恩施州）如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1=50°，则∠2等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．90°参考解答：1、B 分析：四个命题的原命题均为真命题，①的逆命题为：若｜a ｜=－a ，则a ≤0，也为真命题；②的逆命题为：若m >n ，则ma 2>na 2，是假命题，当a =0时，结论就不成立；③的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，是真命题；④的逆命题是：平分弦的直径垂直于弦，这是个假命题，当这条弦为直径时，结论不一定成立。

勾股定理逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理(1)互逆命题：一般的如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。

(2)互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称为原定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理。

注意：（1）互逆命题是两个命题形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题。

但是当原命题成立时，它的逆命题不一定成立。

（2）每一个定理都是一个命题，它有逆命题，当且仅当这个逆命题经过证明是正确的时候，即也是一个定理的时候，才能称为原定理的逆定理。

当这个逆命题不成立的时候，原定理没有逆定理。

知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。

（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。

知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。

（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。

例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345【变式练习】1、以下列各组数作为三角形的三边，其够组成直角三角形的是（ ）A ．6，7，8B ．5，6，7C ．4，5，6D ．5，12，13例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】2、已知在△ABC 中，AB ：BC ：CA=1:3ABC 是否是直角三角形。

13.5 逆命题与逆定理学习目标1. 理解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定成立；了解互逆定理。

2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理。

3. 掌握角平分线性质定理及逆定理。

知识详解1. 互逆命题与互逆定理一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题。

每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题，但是原命题正确，它的逆命题未必正确。

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。

2. 线段垂直平分线线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”。

到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三边的垂直平分线交于一点。

3. 角平分线角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”。

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点。

【典型例题】例1：如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点【答案】A【解析】△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．例2：如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CDB．∠DAC=∠BC．∠C＞2∠BD．∠B+∠ADE=90°【答案】D【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．例3：如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B 的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°【答案】B【解析】在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B=∠BAD ∵∠CAD：∠DAB=2：1 ∴4∠B=90°∴∠B=22.5°【误区警示】易错点1：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】∵BC的中垂线交斜边AB于D，CD=BD，CE=BE，∴∠B=∠BCD，又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°∴∠A=∠ACD，∴AD=CD ∴AD=BD 共4组．易错点2：线段的垂直平分线的性质2. 线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解析】∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB且垂足为M．∵∠ADB=80°，∠CAD=10°，∴∠ACM=50°，∴∠ACB=100°．【综合提升】针对训练1. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上．A．ABB．ACC．BCD．不能确定2. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD=CD，AB=7.8，AC=3.9，DE⊥BC于E，则图中有（）个60°的角．A．2B．3C．4D．53. 下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1.【答案】B【解析】∵BC=BD+AD=BD+CD ∴AD=CD ∴点D在AC的垂直平分线上2.【答案】D【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7.8，AC=3.9 ∴∠B=30°∵BD=CD ∴∠DCB=∠B=30°又DE⊥BC于E ∴∠BDE=∠CDE=60 ∴∠ACD=90°﹣30°=60°∴△ACD为等边三角形∴∠ADC=∠DAC=∠ACD=∠CDE=∠BDE=60°3.【答案】C【解析】①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的。

19.3 命题和逆定理1.知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理的含义2.会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假3.知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理知识点一 互逆命题、原命题、逆命题1.概念在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题(1)原命题与逆命题是相对的,每个命题都有逆命题.(2)原命题是真命题,逆命题不一定是真命题;原命题是假命题，逆命题不一定是假命题拓展:符号语言表示原命题:如果p,那么q;逆命题:如果q,那么p.2.方法写原命题的逆命题时,首先要分清这个命题的题设和结论，最好先将原命题改写成“如果…,那么…”的形式，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题.即学即练1（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．两直线平行，内错角相等C ．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D ．若x y =，则22x y =【答案】D【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A 、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；B 、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．即学即练2（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列定理中，没有逆定理的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．两个全等三角形的对应角相等C．直角三角形的两个锐角互余；D．两内角相等的三角形是等腰三角形【答案】B【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．【详解】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理．例2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（）A．对顶角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等D．邻补角互补【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．【详解】解：∵“如果22a b=．”=，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么22a b∴“如果22=，那么a＝b”的逆命题是真命题，a b故答案为：真．【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．一、单选题1．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同位角相等，两直线平行B．在一个三角形中，等边对等角C．全等三角形三条对应边相等D．全等三角形三个对应角相等【答案】D【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可解答．【详解】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题，故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，能够正确的写出原命题的逆命题是解题的关键．2．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角【答案】B【分析】先分别确定各命题的逆命题，再判断真假即可．【详解】A选项的逆命题是“三个内角都等于60°的是等边三角形”，是真命题，所以不符合题意；题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．5．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（ )(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是等边对等角，正确；（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．【答案】见解析【分析】由角的和差关系可得∠CPB=∠DPA，由中点的定义可得BP=AP，利用SAS可证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得结论．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CPD=∠2+∠CPD，即∠CPB=∠DPA∵P是线段AB的中点，∴BP=AP，在△APD和△BPC中，BP APCPB DPA PC PD=ìïÐ=Ðíï=î，∴△APD≌△BPC，∴∠C=∠D．【点睛】本题考查中点的定义及全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的常用方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL等，注意：SSA、AAA不能判定两个三角形全等，利用SAS时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．14．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在Y ABCD中，E为对角线AC延长线上的一点．(1)若四边形ABCD是菱形，求证：BE＝DE.(2)写出(1)的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．【答案】见解析【详解】试题分析：（1）根据“菱形ABCD的对角线互相垂直平分”的性质推知OE是△BDE 的边BD上的中垂线，结合角平分线的性质可知△DEB为等腰三角形；（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”．根据平行四边形ABCD的对角线相互平分知OD=OB，结合角平分线的性质推知OE是BD的中垂线，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直．试题解析：（1）连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且BO=OD.又∵E是AC延长线上的一点，∴EO是△BDE的边BD的中垂线，∠DEB的角平分线，∴△DEB是等腰三角形，∴BE=DE；（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”，它是真命题，理由如下：∵平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，∴BO=OD.又∵BE=DE∴EO⊥BD，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．。

变教为导逆向思维——“互逆命题”教学案例郭明娜【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2014(000)007【总页数】3页(P22-24)【作者】郭明娜【作者单位】210008 江苏省南京外国语学校【正文语种】中文一、教学背景(一) 教学设计意图本节课是一节概念新授课，教学重点是互逆命题的概念、认识反例及其作用、探究互逆命题之间的关系.学习本节课前，学生已经知道一个命题由“条件”和“结论”两部分组成，会将一个命题改写成“如果……那么……”的形式，由此得出命题的条件和结论.在此基础上引入互逆命题的概念，让学生思考每个命题是否都有逆命题，能否写出原命题的逆命题，主动思考互逆命题之间条件和结论的关系，并判断其是真是假，通过这样的逆向思考和训练，可以帮助学生主动发现新知识，深化对概念的认识和理解，了解互逆命题之间的关系，同时可以锻炼学生的逆向思维能力.互逆命题的概念教学是本节课的重要环节，对于此概念的引入，教师并没有采取直接告知的方式，告诉学生什么是互逆命题，而是通过练习，让学生观察、分析一组命题的条件和结论之间的关系，通过思考两个命题的条件和结论之间的关系，引导学生主动回忆相关知识，发现互逆命题之间的联系，为概念的引入做好准备.反例在数学发展史上具有非常重要的作用，有一些重要的反例推动了数学的发展.例如, 公元前500年以前人们认为“万物皆数”, 这里的数是指有理数，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现，若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数, 这一反例的发现, 使人们认识到数轴上除有理数外, 还有无理数的存在.因此, 有时判断一个命题是假命题，只需构造一个反例.对于反例及其作用，在教学时利用练习中的命题自然过渡，通过设问的方式，提示学生主动思考并构造出一个满足命题条件，但不满足命题结论的反例.在学生对反例有了直观的认识后，再次通过具体的练习，让学生在辨识、思考中认识反例，理解反例的作用.探究互逆命题之间的真假关系是本节课最后一个教学重点，由此可以检验学生之前所学内容是否扎实有效.首先引入一组原命题与逆命题均为真命题的命题，抛出问题:“原命题为真，逆命题一定为真吗？”通过这个颇具开放型的问题的探讨，一方面培养学生大胆猜想、仔细论证的能力，另一方面也引导学生深入思考本节课所学知识之间的关系.最后设计活动“分别试举四种不同的命题，并说明其为真假命题的理由”.要求学生以小组为单位，讨论、交流并汇报结果.此环节有利于调动学生参与课堂的积极性，学生主动参与小组交流、全班汇报、互相纠错、互相补充，在积极参与问题解决的过程中，列举出一些生活、数学中的实例，获得了成就感，同时加强了思维的灵活性、深刻性，开拓了解题思路.(二) 教学目标1. 了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.2. 通过具体的实例理解反例的作用，会利用反例判断一个命题是假命题.3. 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，不断发展合乎逻辑的思考、有条理表达的能力.二、教学过程(一) 问题情境问题1 说出下列两个命题的条件和结论：(1) 同位角相等，两直线平行.(2) 两直线平行，同位角相等.问题2 这两个命题有什么联系和区别？生：第一个命题的条件恰好是第二个命题的结论，第一个命题的结论恰好是第二个命题的条件．问题3 这两个命题有什么共性？生：都是真命题．说明: 通过问题串的形式，一方面帮助学生回忆命题的相关概念以及构成，在已有认知经验的基础之上，同时引发学生主动思考，通过主动回答问题，参与课堂互动，帮助学生在潜意识中积累对于互逆命题的初步认识．(二) 新知探究1. 互逆命题的概念在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．讨论探究如何理解互逆命题中的“互逆”二字？你还能再举出一组互逆命题的例子吗？说明: 通过概念教学后的主动反思、及时反馈，教师可以获知学生对于此概念的理解程度；通过举例的活动探究式学习，学生可以在已有知识的基础上，在思考中逐步建构并发展数学概念，在举例的过程中深化对概念的理解，最终达到真正理解并掌握概念的目的．例1 说出下列命题的条件和结论并写出它的逆命题．(1) 同位角相等.生：相等的角是同位角.(2) 等腰三角形的两个底角相等.生1：有两个底角相等的三角形是等腰三角形.师：你们也是这样想的吗？有没有不同意见？学生开始“骚动”，然后同座位之间开始交流.师：大家可以小组讨论一下.生2：这个命题的结论是等腰三角形，条件中并没有等腰三角形.生3：底角是在等腰三角形的前提下才具备的，因此逆命题的条件中不能出现底角. 生4：我认为正确的逆命题应该是“有两个角相等的三角形为等腰三角形”.说明: 有意设置命题(2)，希望学生通过犯错、纠错的过程，学会正确运用所学知识解决问题.在课堂上，这个问题大大激发了学生的参与兴趣以及求知欲，教师在学生开始骚动时，并非及时制止或者给出正确答案，而是因势利导，以此创造学生活动的机会，通过主动参与积极思考，让学生自主诊断，发现问题，解决问题，有助于形成正确的思维方式，并有效防止以后犯类似的错误.总结：写出一个命题的逆命题的步骤方法：(1)分清原命题的条件、结论.(2)将条件和结论互换．练习说出下列命题的逆命题，并与同学交流.(1) 直角三角形的两个锐角互余.(2) 轴对称图形是等腰三角形.师：大家能再试举几组互逆命题的例子吗？每一个命题都有逆命题吗?学生总结：任何一个命题都由条件和结论两部分构成，交换它们的条件和结论就可以得到它的逆命题，因此它们都有逆命题.2. 反例及其作用例2 试说明命题“如果a>b,那么a2>b2”是假命题.师：你是怎么想的？生：举反例a=1,b=-3，它们符合命题的条件(a>b)，但不符合命题的结论(a2>b2)，所以原命题是假命题.练习举反例说明下列命题是假命题.(1) 如果|a|=|b|，那么 a=b.(2) 任何数的平方都大于0.(3) 两个锐角的和是钝角.(4) 一个角的补角一定大于这个角.生： (1) a=1,b=-1. (2) 0.(3) 30°，20°. (4) 120°角.说明: 学生积极参与，踊跃发言，教师趁机介绍相关数学史.相关知识链接： (1) 公元1640年，法国著名数学家费尔马发现：对于一切自然数n，22n+1都是质数.可是，到了1732年，数学家欧拉发现：225+1=232+1=4 294 967 297=641×6 700 417,这说明225+1是一个合数，从而否定了费尔马的猜想．(2) 举反例是数学发展的“功臣”，公元前500年，希帕索斯发现边长为1的正方形对角线的长度不是有理数，这就举出了“一切量都可用有理数来表示”的一个反例，正是这个反例导致了第一次数学危机，数学向前发展了一大步，产生了无理数. 说明: 对数学史的介绍大大激发了学生的学习兴趣，使学生对于通过反例说明一个命题是假命题逐步加深认识，逐渐由感性认识上升到理性认识，并学会自觉应用. 3. 探究互逆命题之间的真假关系(1) 如果a2=b2，那么a=b. ( )如果a=b，那么a2=b2. ( )(2) 如果x=1，那么x2=1. ( )如果x2=1，那么x=1. ( )(3) 如果x2=1，那么x=1. ( )如果x=1，那么x2=1. ( )(4) 质数都是奇数. ( )奇数都是质数. ( )结论：互逆命题之间无必然的真假关系．(三) 应用与提升试举四种不同的命题(如表1)，并说明其真假的理由．小组交流.表1原命题逆命题1真真2真假3假真4假假说明：通过设置此题，创造机会让学生参与到课堂中来，提高学生的课堂参与度，创造活动、开放的课堂.这是一个结论开放的探究式问题，学生通过思考、交流给出了很多精彩答案，课堂参与度高.有学生举例：命题“若原命题是真命题，则逆命题也是真命题”，此命题与逆命题都是假命题.这种绕口令似的说法诙谐幽默，活学活用了本节课所学的知识，真正体现了学生主动参与、主动学习及创造的过程.(四) 小结说说本节课你的收获：1. 互逆命题.2. 通过举反例说明一个命题是假命题.3. 互逆命题之间无必然的真假关系.三、教学反思1. 本节课按“互逆命题—反例—互逆命题的真假”这一主线展开，各个环节之间紧密相连又环环相扣.在整个教学过程中，小组讨论交流、数学活动贯穿始终，这些活动既有客观上的主线活动，将教学内容串联起来，使本节课拾级而上，纵向发展；又有一部分活动，将课堂教学横向展开，不断地将本节课引向深入.2. 互逆命题的思想是数学研究领域中非常重要的思想，在教学时教师应告诉学生，今后在学习任何一个数学命题时，都可以有意识地思考两个问题：原命题的逆命题是什么？原命题和它的逆命题是真命题还是假命题？教师在平时的教学过程中也可以运用这种互逆的思想，对学生进行逆向思维训练，锻炼学生的数学思维能力.例如，鼓励学生尝试改变某些题目的条件和结论，自行将题目进行改编，尝试变式训练，深入思考.教师如果在平时经常进行逆向思维教学，对于开拓学生的解题思路，掌握逆向思维方式，克服定向思维的局限，都会起到积极作用.3. 反例教学具有直观、形象、生动、易懂等特点，决定了它在初中数学中具有重要的作用.有些数学问题正面思考很难解决时，可以尝试“正难则反”的思路，尝试列举反例，常能茅塞顿开，获得意外的成功.学生利用反例可以克服思维局限，及时发现和纠正学习中的错误，提升思维品质和解题能力.教师借助反例教学能使学生及时防错、纠错，大大提高解题效率，提升学习能力.4. 数学教学是教师思维与学生思维相互沟通、交流、碰撞的过程，课堂教学过程中需要关注学生是否已经掌握所学知识，也要关注学生主动学习并参与的过程. 在学习过程中，教师应变教为导，引导学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流.让学生在数学活动过程中感悟并获得数学知识与思想方法，在知识的发生、发展与运用过程中，深刻理解相关知识，真正成为活动的主人，体验学习数学的乐趣，发展数学思维能力.参考文献【相关文献】[1] 马复．初中数学教学策略[M].北京师范大学出版社, 2011.[2] 王书合. 原命题与逆否命题“不”一定等价[J].中学数学, 2003, 5.[3] 潘勇, 邹莉莉. 数学教学设计应关注什么——以“多边形及其内角和”为例[J].上海中学数学, 2014,4.[4] 孙莉. 数学课堂教学中教师主导作用的发挥[J].上海中学数学, 2013, 3.[5] 曾盛. 拓展思维空间激活创新思维[J].上海中学数学, 2011, 10.。