2023-2024学年厦门市一中高一数学（下）6月考试卷满分为150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数5i12iz =+，则在复平面内表示复数z 的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线AC 与1BC 的所成角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312533224344151254424142435414335132123233314232353442据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.55D ．0.64．已知等腰ABC 中，2π3A =，则BC 在BA 上的投影向量为（）A ．32BA B ．32BA -C ．3BAD ．3BA - 5．已知平面向量,a b 满足()()2,,1,1a b k a b +=-= ．若//a b r r，则k =（）A ．－2B ．12-C ．12D ．26．厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点.甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（）A ．14B ．13C ．23D ．347．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，且该球的球心在底面ABCD 上，则棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）AB ．CD ．8．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚A 测得山顶B 的仰角为45︒，他沿着坡角为15︒的斜坡向上走了100米后到达C ，在C 处测得山顶B 的仰角为60 ．设山高为BD ，若,,,A B C D 在同一铅垂面，且在该铅垂面上,A C 位于直线BD 的同侧，则BD =（）A．-B．C．-D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（）A ．甲企业：均值为5，中位数为8B ．乙企业：众数为6，中位数为6C ．丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D ．丁企业：均值为5，方差为610．已知复数122,(0)z z z ≠，下列命题中正确的是（）A ．若21z ∈R ，则1z ∈RB ．若12z z ∈R ，则12z z ∈R C ．若1222z z z =，则114z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．满足下列条件的四面体存在的是（）A ．15条棱长均为1B ．1条棱长为1，其余5C ．24条棱长均为1D ．2条棱长为1，其余4三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．一个母线长为2的圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面积为．13．已知甲、乙两人三分球投篮命中率分别为0.4和0.5，则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的概率为．14．厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为x ，方差为2x s ，所有教师评分样本的半均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若24,5x y x y s s s ==，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，E 是1DD 的中点(1)求证：1//BD 平面AEC ；(2)求证：平面AEC ⊥平面1BDD ．16．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券、游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为6获胜(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；(2)一名同学先玩了游戏一，接下来该同学应该先玩游戏三还是先玩游戏二能使获得书券的概率更大？17．如图，在三棱锥V ABC -，VAB 和ABC 均是边长为4的等边三角形，VC =(1)求二面角V AB C --的余弦值并证明：AB VC ⊥：(2)已知平面α满足//,//VA AC αα，且α 平面VBC l =，求直线l 与平面ABC 所成角的正弦值．18．在ABC 中，3,1BC AB AC =-=．M 为边BC 上一点，1,BM D =为边AB 上一点，AM 交CD 于P ．(1)若3,2AC AD ==，求cos APC ∠；(2)若35,22BD CD ==，求APD △和MPC 的面积之差．19．定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为1A ，终点为2A 的空间向量记作12A A，其大小称为12A A 的模，记作1212,A A A A 等于12,A A 两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作0．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量,,a b c，均有3a a a a ++= a b b a +=+ ，00a a a +=+=，()()a b c a b c a b c ++=++=++ ；对任意实数λ和空间向量a，均有a a λλ= ；对任意三点123,,A A A ，均有122313A A A A A A += 等．已知体积为()1,2,,24i V i = 的三棱锥()1,2,,24i P ABC i -= 的底面均为ABC ，在ABC中，AB Q =是ABC 内一点，120AQB ∠=．记241i i V V ==∑．(1)若(),,30,1,2,,24i AQ CQ AB AC ACQ P i ⊥⊥∠==到平面ABC 的距离均为1，求V ；(2)若Q 是ABC 的重心，且对任意1,2,,24i = ，均有i i i AP BP CP i ++=．（i ）求V 的最大值；（ii ）当V 最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组()(),1,2,24,,,1,2,,5j j j a a a j = 满足对任意1,2,,5,1,2,,24j i ==，均有,j ia =，且对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有1224,,10j i j i i a a ==∑求证：12,,j i j i a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．（参考公式：121,ni n i x x x x ==+++∑ 224211112,300n ni ii i i i i ji x xx y i ==≤<=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑∑）1．A【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义，即可判断选项.【详解】()5ii 12i 2i 12iz ==-=++，对应的点在第一象限.故选：A 2．C【分析】利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形11A BC 为等边三角形，故11A C 与1BC 的夹角为60o ，从而得出异面直线的夹角为3π.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，11//AC A C ，异面直线AC 与1BC 的所成角即为11A C 与1BC 所成的角，而三角形11A BC 为等边三角形，故11A C 与1BC 的夹角为60o ，所以异面直线AC 与1BC 的所成角为3π.故选：C【点睛】熟悉正方体的特点，以及求异面直线夹角通常转化为共面直线夹角来解决,注意几何图形的特点.3．B【分析】找出代表事件“一年内至少有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知，代表事件“一年内至少有1台设备需要维修”的数组有：412、451、312、151、142、414、132、123、314，共9组，因此，所求概率为90.4520P ==.故选：B.4．A【分析】由投影向量的概况结合正弦定理可求.【详解】由题意可得()1ππ26B C A ==-=，由正弦定理可得2πππsin sin sin 366BC AB AC ==，可得3AB AC BC ==，BC 在BA上的投影为cosBC B BC = ，所以BC 在BA32BA BC BA BA BA⋅⋅= ，即BC 在BA 上的投影向量为32BA.故选：A ．5．D【分析】根据向量的运算性质，判断()()//a b a b +-，即可求解.【详解】由//a b r r知，()()//a b a b +- ，则2k =.故选：D 6．C【分析】先求出甲乙在相同站点下车的概率，再求甲乙在不同站点下车的概率.【详解】令事件A 为甲乙在相同站点下车，则1111111()3333333P A =⨯+⨯+⨯=则甲乙在不同站点下车的概率为21()3P A -=故选：C7．C【分析】利用棱台及其外接球的特征结合台体体积公式计算即可.【详解】设球心为O ，球O 的半径为R ，棱台高为h ，则24π32πR =，所以R =由于O 在底面ABCD 上，底面ABCD 为正方形，易得正方形ABCD 的边长为24R =，面积为16；设底面1111D C B A 的外接圆半径为r ，则222r R h =-=，易得正方形1111D C B A 的边长为22r =，面积为4；所以正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()1286164164633V =⨯++⨯⨯=.故选:C ．8．B【分析】根据条件，结合图形，利用三角形的性质，再根据正弦定理列式，即可求解.【详解】由题意可知，45BAD ∠=，15CAD ∠= ，60BCM = ∠，在ABC 中，12015135,30,15ACB BAC ABC ∠=+=∠=∠= ，100AC =，2AB BD=由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，即2100sin135sin15=，()62sin15sin 6045=-= 505062sin15BD == 米.，故选：B 9．ABD【分析】根据每个企业所给数字特征，找出满足数字特征但不达标的一个特例即可判断ABD ，对C 中满足条件的数据分析，确定工作时长数据达标.【详解】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A 正确；乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B 正确；丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8，设7天的工作时间为：4,5,5,8,a,b,c ()48a b c ≤≤≤≤,13,139b c a c b ++=∴≤-≤,9,4c b ==与众数矛盾，8c =，为使众数为5，5b =成立，故丙企业达标，故C 错误；丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为0,5,5,5,5,6,9，故D 正确.故选：ABD 10．BC【分析】举例说明判断AD ；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC.【详解】对于A ，取1i z =，211z =-∈R ，而1z ∉R ，A 错误；对于B ，设22111222112222i,i,,,,R,0z x y z x y x y x y x y =+=+∈+≠，111112212122112222222222222222i (i)(i)i i (i)(i)z x y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y x y ++-+-===++++++，由12z z ∈R ，得21120x y x y -=，121122121221121212(i)(i)()i z z x y x y x x y y x y x y x x y y =-+=+--=+∈R ，B 正确；对于C ，由1222z z z =及已知得20z a =>，设1i,,R z c d c d =+∈，12(i)2z z a c d a =+=，解得224c d +=，则2211(i)(i)4z z c d c d c d =+-=+=，C 正确；对于D ，取12i,i z z ==-，21211z z z ==，而12z z ≠，D 错误.故选：BC 11．BCD【分析】对于选项A 和B ，作图，设棱AD a =，取其对棱BC 的中点E ，在ADE V 中利用三边关系列式子，求出a 的范围，从而判断四面体是否存在.对于选项C 和D ，分两种情况讨论，①当长为a 的两条棱为相对棱时，取BC 的中点E ，在ADE V 中利用三边关系列式子，求出a 的范围；②当长为a 的两条棱有公共顶点时，取BC 的中点E ，在ADE V 中利用三边关系列式子，求出a 的范围；从而判断四面体是否存在.【详解】选项A ：设四面体有1条棱长为a ，5条棱长为1，如图1，四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，AD a =，取BC 的中点E ，连接AE ，DE，则AE DE ==由三角形的三边关系知，AE DE AD AE DE -<<+，所以0AD <<a ∈，故A 错误；选项B ：与选项A 同理可得，当四面体有1条棱长为a ，5因为()0,3a ∈，所以B 正确；选项C ：设四面体有2条棱长为a ，4条棱长为1，分两种情况：①当长为a 的两条棱为相对棱时，如图2，不妨设为BC AD a ==，1AB AC BD CD ====，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE DE ==，由三角形的三边关系知，AE DE AD AE DE -<<+，所以0a <<0a <<②当长为a 的两条棱有公共顶点时，如图3，不妨设BD CD a ==，1AB BC AC AD ====取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则DE =，AE =，由三角形的三边关系知，AD AE DE AD AE -<<+，所以11<+a <综上可知，a∈.，所以C正确；选项D：与选项C同理可得，当四面体有2条棱长为a，4a∈，因为1∈，所以D正确.故选：BCD.12．2π【分析】利用圆锥的侧面积与底面积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2l=，且22rl rππ=，所以1r=，侧面积为2π．故答案为：2π13．0.37##37100【分析】采取正难则反的原则，求出其对立事件，即二人两球都没有投中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可．【详解】设甲两个三分球都投中的事件为A，乙两个三分球都投中的事件为B，至少有一人两球都投中的事件为C，则()0.16P A=，()0.84P A=，()0.25P B=，(0.75P B=，()()1P C P AB=-由题可知事件A与事件B互相独立，所以()()1P C P AB=-10.840.75=-⨯0.37=,所以至少有一人两球都投中的概率为0.37，故答案为：0.3714．160【分析】假设在样本中，学生、教师的人数分别为,(1200,,)m n n m m n≤<<∈N，利用平均数公式可得出z x=，利用方差公式结合已知条件可得出160yxy xSSm nS s+=，令xysts=得220064000m m-+≥，由0∆≥结合已知条件可求得m 的取值范围，从而可得答案.【详解】假设在样本中，学生、教师的人数分别为,(1200,,)m n n m m n ≤<<∈N ，记样本中所有学生的评分为,(1,2,3,,)i x i m = ，所有教师的评分为(),1,2,3,,j y j n =⋯，由x y =得mx nyz x y m n+===+，所以()()222111200m ni j i j s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()2222111142002005m ni j x y x y i j x x y y ms ns s s ==⎡⎤=-+-=+=⎢⎥⎣⎦∑∑，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令xys t s =，则21600mt t n -+=，256004256004(200)0mn m m ∆=-=--≥，即220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤<<且200m n +=，得100m >，所以160m ≥.所以总样本中学生样本的个数至少为160.故答案为：160.15．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设BD 交AC 于O ，连结OE ，可得1//OE BD ，即可证得1//BD 平面AEC ；（2）通过证明1DD AC ⊥，BD AC ⊥即可得AC ⊥平面1BDD ，进而可得平面AEC ⊥平面1BDD .【详解】（1）如图，连结BD ，BD 交AC 于O ，连结OE ，因为底面ABCD 是菱形，所以O 为BD 中点，又E 是1DD 的中点，所以1//OE BD ，因为OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC ，所以1//BD 平面AEC.（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，因为1,DD BD ⊂平面1BDD ，且1DD BD D =I ，所以AC ⊥平面1BDD ，又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面1BDD .16．(1)游戏一获胜的概率为25，游戏二获胜的概率为425(2)先玩游戏三【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，再比较两者大小即得答案.【详解】（1）设事件A =“游戏一获胜”，事件B =“游戏二获胜”，事件C =“游戏三获胜”，游戏一取出一个球的样本空间为{}11,2,3,4,5Ω=，则1()5n Ω=，因为{}4,5A =，所以()2n A =，所以()1()2()5n A P A n ==Ω，所以游戏一获胜的概率为25；游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间为2{(,),{1,2,3,4,5}}x y x y Ω=∈∣，则2()25n Ω=，因为{}(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)B =，所以()4n B =，所以()2()4()25n B P B n ==Ω，所以游戏二获胜的概率为425.（2）游戏三不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：第二次第一次123451⨯()1,2()1,3()1,4()1,52()2,1⨯()2,3()2,4()2,53()3,1()3,2⨯()3,4()3,54()4,1()4,2()4,3⨯()4,55()5,1()5,2()5,3()5,4⨯则3()20n Ω=，()()()(){}1,5,5,12,4,4,2C =，()4n C =，所以()3())1(5n C P C n ==Ω，设M =“先玩游戏二，获得书券”，N =“先玩游戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC =⋃⋃，且,ABC ABC ABC 互斥，,,A B C 相互独立，所以()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC =⋃⋃=++() ()[1()][1()] () ()() () ()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =-+-+24434124152555255525562552=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，又N ACB ACB ACB =⋃⋃，且,ACB ACB ACB 互斥，,,A C B 独立，所以()()()()()P N P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB =⋃⋃=++() ()[1()][1()] () ()() () ()P A P C P B P A P C P B P A P C P B =-+-+212131421462552555255525625=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为()()P N P M >，所以接下来该同学应该先玩游戏三能使获得书券的概率更大.17．(1)16，证明见解析(2)6【分析】（1）用定义法作出二面角V AB C --的平面角，解三形即可得二面角V AB C --的余弦值；取AB 中点为D ，可证得AB ⊥平面VCD ，从而可得AB VC ⊥；（2）由面面平行的判定定理和性质定理可得//VC l ，从而直线l 与平面ABC 所成的角等于直线VC 与平面ABC 所成的角，用几何法作出直线VC 与平面ABC 所成的角，再解三角形即可得答案.【详解】（1）如图，取AB 中点为D ，连结,CD VD ，因为VAB 和ABC 均是等边三角形，所以,CD AB VD AB ⊥⊥，所以VDC ∠即是二面角V ABC --的平面角，因为VAB 和ABC 均是边长为4的等边三角形，D 是AB 中点，所以CD VD ==VCD 中，由余弦定理，得2222221cos 26VD CD VCVDC VD CD+-+-∠===⋅，即二面角V AB C --的余弦值为16；证明：因为,CD AB VD AB ⊥⊥，,CD VD ⊂平面VCD ，且CD VD D = ，所以AB ⊥平面VCD ，又VC ⊂平面VCD ，所以AB VC ⊥.（2）因为//,//VA AC αα，VA VC V ⋂=，且,VA VC ⊂平面VAC ，所以平面//α平面VAC ，又平面α 平面VBC l =，平面VAC 平面VBC VC =，所以//VC l ，所以直线l 与平面ABC 所成的角等于直线VC 与平面ABC 所成的角，过点V 作VO CD ⊥于O ，由（1）知AB ⊥平面VCD ，又VO ⊂平面VCD ，所以VO AB ⊥，又因为AB CD D = ，,AB CD ⊂平面ABC ，所以VO ⊥平面ABC ，所以VCD ∠是直线VC 与平面ABC 所成的角.因为CD VD ==VC =VCD中，12cos VCVCD CD ∠==π0,2VCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以sin 6VCD ∠=，所以直线l 与平面ABC 所成角的正弦值为216.18．(1)2121-(2)146【分析】（1）以,BA BC为基底表示出向量,AP CP ，再由向量夹角的余弦公式计算即可；（2）先解三角形求出AB ，再利用APD MPC ABM BCD S S S S -=- 求解即可.【详解】（1）如图，因为1,3AB AC AC -==，所以4AB =，因为D 为边AB 上一点，2AD =，所以D 为AB 中点，又3BC AC ==，所以CD AB ⊥，所以2cos 3BD ABC BC ∠==，则2cos 4383BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠=⨯⨯= ，设,,,R AP AM CP CD λμλμ==∈，首先有()()1133BP BA AP BA AM BA BM BA BA BC BA BA BC λλλλλ⎛⎫=+=+=+-=+-=-+ ⎪⎝⎭，再有()()1122BP BC CP BC CD BC BD BC BC BA BC BA BC μμμμμ⎛⎫=+=+=+-=+-=+- ⎪⎝⎭ ，因为,BA BC 不共线，所以1213μλλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以()333131555355AP AM BM BA BC BA BA BC ⎛⎫==-=-=-+ ⎪⎝⎭，()444124555255CP CD BD BC BA BC BA BC ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ ，则AP =，45CP = 2261446144416892525252525255AP CP BA BA BC BC ⋅=-+⋅-=-⨯+⨯-⨯=- ，所以45cos 21AP CP APC AP CP-⋅∠==- .（2）如图，在BCD △中，由余弦定理得，2225cos 29BD BC CD DBC BD BC +-∠==⋅，所以5cos 9ABC ∠=，设AC x =，则1AB x =+，在ABC 中，由余弦定理得，22222(1)95cos 22(1)39BA BC AC x x ABC BA BC x +-++-∠===⋅+⨯，解得5x =，所以5,6AC AB ==，又0πABC <∠<，所以sin 9ABC ∠==，所以ABM的面积12sin 23ABM S AB BM ABM =⋅⋅∠=，BCD △的面积1sin 2BCD S BD BC ABM =⋅⋅∠=，设四边形BDPM 的面积为S ，则APD △和MPC 的面积之差()()146APD MPC ABM BCD ABM BCD S S S S S S S S -=---=-=.19．(1)V =（i）；（ii ）证明见解析【分析】（1）由三棱锥的体积公式结合图形和题意计算即可；（2）（i ）由Q 是ABC的重心，得到34QAB S S AQ BQ ==⋅ ，再由余弦定理和基本不等式得到2AQ BQ ==，然后由Q 是ABC 的重心知，0AQ BQ CQ ++=进而得到3i i i AP BP CP QP ++= ，最后结合题意求出结果即可；（ii ）由（i）知i V =，结合题意可得2421120i i S ==∑；再假设2,,j i j i a a =对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立，可得24552222116124125iiii i i i i s s s s =====+≥=∑∑∑∑，二者互相矛盾，可得证.【详解】（1）如图，在ACQ 中，1sin 2AQ AC ACQ AC ∠==．因为,AC AB AQ CQ ⊥⊥，所以30QAB ACQ ∠=∠= ，所以在ABQ 中，18030QBA AQB QAB QAB ∠=-∠-∠==∠ ，所以在ABQ 中，122cos ABAQ BQ QAB===∠，所以4AC =，所以ABC的面积为12S AB AC =⋅=所以13i i P ABC V Sd →==241i i V V ===∑（2）（i ）因为Q 是ABC 的重心，所以ABC 的面积为3334QAB S S AQ BQ ==⋅ ，在ABQ 中，由余弦定理得，2222cos AB AQ BQ AQ BQ AQB =+-⋅∠，即2212AQ BQ AQ BQ ++⋅=，由基本不等式知，22123AQ BQ AQ BQ AQ BQ ++⋅=≥⋅，所以4AQ BQ ⋅≤，故33S £2AQ BQ ==时成立，又由Q 是ABC 的重心知，0AQ BQ CQ ++=，所以3i i i i i i AP BP CP AQ QP BQ QP CQ QP QP ++=+++++= ，所以()1,2,,243i i QP i == ，所以()1131,2,,24333i i P ABC V S d S QP i i →=⋅≤⋅= ，所以242411333i i i V V i ===≤=∑∑2AQ BQ ==，且i QP ⊥平面ABC 时成立，所以V 的最大值为1003（ii ）由（i ）知，3i V =，所以对任意1,2,,5,1,2,,24j i == ，均有,31i j i V a i=，故2,1j i a =，记1,2,5,i i i i S a a a =+++ ，则()121512221,2,5,,,52j j i i i i j ij i S a a a aa ≤<≤=+++=+∑ ，所以21115224242,,111202j j ij i j i i i S a a ≤<≤===+∑∑∑，由于任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有1221,,40j i j i i a a ==∑，所以121224,,1150j i j i i j i a a =≤<≤=∑∑，所以2421120i i S ==∑．假设12,,j i j i a a =对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．则对于1,2,,5i = ，均有()()2221,2,5,1,525i i i iiS a a a a =+++== ，所以24552222116124125iiiii i i i s s s s =====+≥=∑∑∑∑，与2421120i i S ==∑矛盾，所以假设不成立，即12,,j i j i a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是能根据题意证明2421120i i S ==∑和24552222116124125iiiii i i i s s s s=====+≥=∑∑∑∑矛盾.。
