第六章 相关分析

三、Spearman秩相关系数的实例
[例6-5] 表6-5列出了某次男子蓝球比赛前10名的名次和平均投蓝命中率，试检验它们 之间的关联关系（ 0 . 05 ）。
解：分别将10届奥运会的400米、1500米成绩列出秩次，并计算，如表6-6所示。 8 2 n 10 d 30 ,
i
i 1
三、线性相关系数的计算 公式
在实际工作中，我们通常只计算样本相关系数。其公式为：r
2 2

L
2 式6-1中： L xx ( x x ) x ( x ) n ，是变量的离均差平方和； 2 2 2 L y y ( y y ) y ( y ) n ，是变量的离均差平方和； L xy ( x x )( y y ) xy x y n ，是变量X、Y的离均差积和。
i 1
(Ri R ) (S i S )
i 1
n
2
n
2
如果在没有打结时（ x i 或
yi
r 中出现秩次相同时叫打结）， s 也可用下面公式计算：
6 d i2
n
n ( n 1) 注意： 1 r s 1 Spearman秩相关系数的基本思想是利用两变量秩次排列的一致性来描述其关联程度， 如果 r s 1 表示两变量秩次排列完全一致，即完全正关联（正相关）；如果 r s 1 表 示两变量的秩次排列完全相反，即完全负关联（负相关）。
函数关系
函数关系反映着现象之间存在着严格的依存关系，在这种关系中，对于变量X的每一 个数值，都可以通过对应法则 Y f ( X ) 使变量Y有一个确定的值与相对应（反之亦然）， 此时称变量X和Y有函数关系。例如，圆面积S对于圆半径R的依存关系可用一个确定的对 S 应法则（函数式） R 2 反映出来。 两个变量如果有函数关系，知道其中一个变量的值，另外一个变量的值就会被确定。
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第6章 相关分析
在体育科研中，经常需要分析两种现象或事 物之间的关系。例如百米跑成绩与跳远成绩间有 无关系？如果有，其关系如何？百米跑成绩提高 0.01秒，跳远成绩将会受到何种影响呢？对于这 类变量间关系的研究就属于相关与回归问题。
6.1线性相关分析
一、变量间的两种关系
在统计学中，事物或现象之间的关系是通过变量间的关系反映出来的。变量间的关 系分为确定性关系和非确定性关系两类。确定性关系即函数关系，非确定性关系即相关 关系。
L xx L yy
［例6-2］ 32名大学女生的身高（厘米）与体重（公斤）数据如表6-3所示，求身高与体重的 相关系数。 解：用SPSS软件计算。
［例6-2］ 32名大学女生的身高（厘米）与体重（公斤）数据如表6-3所示，求身高与体重的 相关系数。 解：用SPSS软件计算。
相关系数的计算
（计算过程）
x y 2 7 7 9 4 2.2 8 L xy x
xy
n 32
y n 293 . 68
2
L
xx

x
L
xy
2


( x)
2
n 530 . 82
0 .5 9 5
L
yy

y
2

(
y)
n 4 5 9 .3 2
r
2 9 3 .6 8 5 3 0 .8 2 4 5 9 .3 2
r 0 .0 5
［例6-4］用查表法对相关系数 r 进行检验时，自由度n 32 2 30，查附7表得r 0 .05 ，两变量存在线性相关关系。 r 0 . 595 r
0 . 05
0 . 349
6.2等级相关分析
一、公式
设X和Y至少是两个用定序尺度度量的变量，要研究它们所代表的二元变量X和Y , 是否存在关联关系，从总体中随机抽取n对观察值，记为 ( x 1 , y 1 )、 （ x 2 , y 2 ） , ( x n , y n ) 。将 n对观察值中所有 x i 在X样本中由小到大编秩（首先将n对观察值由小到大排序，每 一序号即为相应的的秩次），所有 y i 在Y样本中由小到大编秩；如果数值相同时取平 均秩次。记 x i 的秩为 、y i 的秩为 则Spearman等级相关系数定义为： n （ ( R i R ）S i S ) i 1 rs
1、负相关 若两个变量间，当X增加（或减少）时，Y却具有减少（或增加）的趋势时，称 为负相关，此时，1 r 0 ；若此时所有点都在同一条直线上， 1，称为完全负相 r 关。如图6-3所示。
3、完全无关 当两个变量X与Y之间，Y值的变化不受X值变化的影响时（反之亦然），我们称 X与Y完全无关，此时必有 r 0 。 但须注意的是X与Y完全无关（零相关）时，两个变量无任何关系，必定有 r 0 但反过来 r 0 只表示与之间无直线相关关系，并不能保证两变量间无其他非线性关 系。如图6-4所示。
6
n
r
0 . 05
s
1
n ( n 1)
i 1 2
d
2 i
1
6 30 10 (10
2
1)
0 . 818
拒绝 H 0
,查书后附表8的Spearman等级相关系数界值表得 r 0 .05 2 0 . 648 ，则 ，表明名次与投蓝命中率之间存在秩关联（等级相关）关系。
1 1 2 2 n n
图6-1 散点图
考察相关性最简单而直观的办法是在XOY直角坐标系上画出散点图，通过散点图 ( 可以看出两个变量间是否存在线性关系。 x , y )， （ x , y ） ， ， ( x , y ) 这n对观察值分别代 表n个点，在直角坐标系XOY上将其点画出，便构成了一幅散点图，如图6-1所示。
r s r 0 .05
2
[例6-5] 某次男子蓝球比赛前10名的名次和平均投蓝命中率，试检验它们之间的关联关系。 解：用SPSS软件计算。
[例6-5] 某次男子蓝球比赛前10名的名次和平均投蓝命中率，试检验它们之间的关联关系。 解：用SPSS软件计算。
二、线性相关系数的意义
散点图
为了考察两个连续型随机变量X和Y之间是否存在某种程度的线性关系，可以对 同一观察单位同时测量X和Y的数值，从而得到一对观察值。从总体中随机抽取n对观 察值，记为 ( x , y )， （ x , y ） ， ， ( x , y ) ，这就是讨论两个连续型变量线性相关的样本。
检验方法
相关系数的显著性检验有t-检验和查r界值表两种方法。 1、t-检验法 r n 2 在 成立条件下，检验统计量t～t(n-2)，其中： t 1 r 选定显著性水平 ，查书后附表2的值表得到双侧临界值 t 2 ( n 2 ) ，若 t t 2 ，则拒 绝 H 0 ，表明两变量间存在线性相关关系；若 t t 2 ，则接受 H 0 ，表明两变量间不存在 线性相关关系。 ［例6-3］ 试对［例6-1］计算得到的相关系数 r 进行显著性检验（ 0 . 0 5 ）。
1 1 2 2 n n
线性相关系数的意义
对于两个连续型变量来说，描述两个变量之间直线关系的密切程度和相关方向的 统计指标叫相关系数。统计上也称为Pearson 积矩相关系数。 样本线性相关系数一般用表示、总体相关系数一般用 表示。 相关系数没有单位，其取值范围为 1 r 1 ，若变量间的直线关系越密切，则 r 越接近于1；当变量之间的直线关系越不密切，r 越接近0。 1、正相关 若两个变量同时趋于同一方向变化，即当X增加（或减少）时，Y也相应具有增 加（或减少）的趋势时，则称为正相关，此时 0 r 1；若此时所有点都在同一条直线 r 上， 1 ，称为完全正相关。如图6-2所示。
2
［例6-4］ 试对［例6-2］计算得到的相关系数进行显著性检验（
0 . 05 ）。
2、查表法 为了给使用者提供方便，统计学家根据t分布表求出 r 的不同显著性水平下的临 界值，列成相关系数界值表（附表7），使用者对相关系数进行显著性检验时，只须 r 根据选定的显著性水平，在相应自由度下直接查表获得临界值 r ，通过 r 与 r 的 比较获得检验结果。判断方法如下： 若 r r ，p ( H 0 ) ，表明两变量间不存在线性相关关系； 若 r r ，p ( H 0 ) ，表明两变量间存在线性相关关系。 ［例6-3］用查表法对相关系数 r 进行检验时，自由度 n n 2 14 ，查附表7得 r 0 .0 5 0 .4 9 7 ，两变量不存在线性相关关系。 r 0 . 30
2
rs 1
i 1
二、Spearman等级相关系数的检验
在抽样过程中由于抽样误差的存在，计算出的Spearman秩相关系数也需要进行检 验，其原理同Pearson积矩相关系数。
H
0
:X和Y不存在关联关系； H 1 :X和Y存在关联关系。
对于 n 100 ，在 H 0 成立条件下可查书后附表8的等级相关系数界值表（Spearman秩相 关系数界值表）进行判断。 若 r s r 2 ，则拒绝 H 0 ，认为两个等级变量存在关联关系；若 r s r 2 ，则接 受 H 0 ，认为两个等级变量不存在关联关系。 注意：查表时，n为样本量。 u 当 n 100 时，可利用 r s 的极限分布进行检验， r s n 1 ～ N ( 0 , 1 ) 进行判断。
计算相关系数的实例
［例6-1］ 为讨论父子身高间线性相关程度，某教师在大学一年级中随机抽取了16名男生， 分别调查了他们及他们父亲的身高数据（cm），如表6-1所示，计算父子间身高的相关 系数。
解：用EXCEL软件计算，如表6-2所示。
［例6-2］ 32名大学女生的身高（厘米）与体重（公斤）数据如表6-3所示，求身高与体重的 相关系数。 解：用EXCEL软件计算，如表6-3所示。 2 2 y 8 9 8 6 0 .3 8 y 1 6 9 1 .4 0 x 5 2 5 2 . 90 x 862810 .77