席位公平分配的最短路径算法

关于求最短路径问题的经典算法郑发0、序言问题描述给定一个赋权图（或赋权有向图，如在单行道的交通网络中）G ，对每一条边),(j i v v e =，对应权ijw e w =)(，又给定G 中的两个节点s v ，t v ，设P 是G 中从s v ，到t v 的一条路，定义路P 的权为P 中所有边的权之和，计为∑∈=Pe e w P w )()(，求一条从sv 到t v 的最短路，即求从s v 到t v 的一条权最小的路0P ，使)(min )(0P w P w P=。

1、Dijkstra 算法Dijkstra 算法是一种求单源最短路的算法，即从一个点开始到所有其他点的最短路。

其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。

当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。

不过根据这个原理，用Dijkstra 求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。

Dijkstra 算法的基本思路假设每个点都有一对标号（j d ，j P ），其中j d 是从起源点S 到点j 的最短路径的长度 (从顶点到其本身的最短路径是零路(没有弧的路)，其长度等于零)；j P 则是从S 到j 的最短路径中j 点的前一点。

求解从起源点S 到点j 的最短路径算法的基本过程如下：1）初始化。

起源点设置为： 1、s d =0，S p 为空；2、所有其他点: j d =∞，j P =？；3、标记起源点s ，记s k =,其他所有点设为未标记的。

2) 检验从所有已标记的点k 到其直接连接的未标记的点j 的距离，并设置：],min[kj k j jl d d d+=式中，kj l 是从点k 到j 的直接连接距离。

3) 选取下一个点。

从所有未标记的结点中，选取j d 中最小的一个i ：],min[j d d j i 所有未标记的点=点i 就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。

最短路径算法是图论中的一个重要问题，它用于求取两个顶点之间连接的最短路径。

在现实世界中，我们经常需要找到最短路径，比如在地图导航中，我们希望找到两个地点之间最短的驾车路线，或者在网络通信中，我们需要找到两个节点之间最快的传输路径。

因此，研究图论中的最短路径算法对我们生活和工作都具有重要意义。

在图论中，最短路径算法主要有两种基本思想：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra于1959年提出的一种贪心算法。

它主要用于解决单源最短路径问题，即给定一个起始顶点，求出该顶点到其他所有顶点的最短路径。

Dijkstra算法的基本思想是通过不断找到当前距离起始顶点最近的顶点来更新顶点之间的距离，直到所有顶点都被标记为已访问。

具体步骤如下：1.初始化距离数组，将起始顶点到其他顶点的距离都设置为无穷大，将起始顶点设为本身的距离为0。

2.选取一个未被访问的顶点，计算起始顶点到该顶点的距离。

如果此距离小于当前记录在距离数组中的距离，则更新距离数组。

3.标记该顶点为已访问。

4.重复2和3步骤，直到所有顶点都被标记为已访问。

Floyd-Warshall算法是由美国计算机科学家Robert Floyd和Stephen Warshall于1962年提出的一种动态规划算法。

它用于解决所有顶点间最短路径问题，即求出任意两个顶点之间的最短路径。

Floyd-Warshall算法的基本思想是通过递推关系，不断更新所有顶点对之间的最短路径。

具体步骤如下：1.初始化距离矩阵，将没有直接连接的顶点对的距离设为无穷大，将所有直接连接的顶点对的距离设为边的权值。

2.通过三重循环，尝试将每个顶点作为中转顶点，更新其他顶点对之间的最短路径。

如果通过中转顶点可以获得更短的路径，则更新路径。

3.重复2步骤，直到所有顶点对之间的最短路径都被找到。

Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法都是基于图的邻接矩阵或邻接表来进行计算的。

最短路径算法的原理和方法最短路径算法是一类解决图中节点最短路径问题的算法，例如在网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径，或者在地图中找到从一个地点到另一个地点的最短路线。

最短路径问题可以用图论来描述，即在有向或无向的图中，根据边的权重找到连接两个顶点的最短路径。

最短路径算法可以分为以下几种：1. Dijkstra 算法Dijkstra 算法是最常用的找到单源最短路径的算法，它适用于没有负权边的有向无环图或仅含正权边的图。

算法步骤：（1）初始化，将起点到所有其他顶点的距离初始化为正无穷，将起点到自己的距离初始化为0。

（2）选择一个起点，将其距离设为0。

（3）将起点加入已知最短路径集合。

（4）遍历与起点相邻的所有顶点，将它们到起点的距离更新为起点到它们的距离。

（5）从未加入已知最短路径集合中的顶点中选择最小距离的顶点，将它加入已知最短路径集合中。

（6）重复步骤4和步骤5直到所有顶点都被加入已知最短路径集合中。

2. Bellman-Ford 算法Bellman-Ford 算法是一种解决有负权边的单源最短路径问题的算法。

算法步骤：（1）初始化，将起点到所有其他顶点的距离初始化为正无穷，将起点到自己的距离初始化为0。

（2）遍历每条边，将该边起点的距离加上该边的权重，如果得到的距离比该边终点的距离小，则更新该终点的距离为该距离。

（3）重复步骤2 V-1 次，其中V 是图中的顶点数。

（4）检查是否存在负环，即在V-1 次迭代后，仍然可以更新顶点的距离。

如果存在负环，算法无法执行。

3. Floyd-Warshall 算法Floyd-Warshall 算法是一种解决所有顶点对之间的最短路径问题的算法。

算法步骤：（1）初始化，将每个顶点到其他顶点的距离初始化为边权，如果两个顶点之间没有边相连，则初始化为正无穷。

（2）依次加入每个顶点，如果通过加入该顶点可以得到更短的路径，则更新路径。

（3）输出结果，即每个顶点对之间的最短路径。

最短路径计算
最短路径计算是指在一个有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的路径中，经过的边的权重之和最小的路径。

常见的最短路径算法有迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）、弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）、贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）等。

迪杰斯特拉算法是一种单源最短路径算法，可以求解从指定起点到其他所有顶点的最短路径。

算法的基本思想是，先将所有顶点的距离初始化为无穷大，再将起点的距离设为0。

然后，依次从距离最小的顶点开始，更新其他相邻顶点的距离，直到所有顶点的最短路径长度确定。

弗洛伊德算法是一种多源最短路径算法，可以求解任意两个顶点之间的最短路径。

算法的基本思想是，不断迭代更新每对顶点之间的最短路径长度，最后得到所有顶点之间的最短路径。

贝尔曼-福特算法是一种适用于带有负权边的图的最短路径算法，可以求解从指定起点到其他所有顶点的最短路径。

算法的基本思想是，先将所有顶点的距离初始化为无穷大，再将起点的距离设为0。

然后，依次对所有边进行松弛操作，即通过更新边的终点的距离，逐步缩小最短路径的范围。

最短路径计算在实际应用中有广泛的用途，例如在网络路由、地图导航、货物配送等领域都有重要的应用。

迪杰斯特拉算法最短路径迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种用于计算图中最短路径的算法。

它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉（Edsger Wybe Dijkstra）于1956年提出的，并且被广泛应用于网络路由和地图导航等领域。

迪杰斯特拉算法可以解决的问题是，给定一个带有非负权重的有向图和一个起始节点，找出从起始节点到其他所有节点的最短路径。

该算法采用了贪心的策略，即每次选择当前离起始节点最近的节点进行扩展，直到扩展到目标节点为止。

算法的具体步骤如下：1.初始化：将起始节点的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。

2.创建一个优先队列（通常是最小堆），用于存储待扩展的节点。

将起始节点加入队列。

3.循环以下步骤直到队列为空：-从队列中取出距离起始节点最近的节点，记为当前节点。

-如果当前节点已被访问过，则跳过该节点。

-更新与当前节点相邻节点的距离。

如果经过当前节点到达某个相邻节点的路径比之前计算的路径短，则更新这个节点的距离。

-将未访问过的相邻节点加入队列。

4.循环结束后，所有节点的最短路径已被计算出。

迪杰斯特拉算法的核心思想是不断扩展距离起始节点最近的节点，通过更新节点的距离，逐步获取最短路径。

算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数量。

这是因为每次循环需要查找距离起始节点最近的节点，而在最坏情况下，这个操作需要遍历所有节点。

以下是一个简单的例子来说明迪杰斯特拉算法的使用：假设有一个有向图，如下所示：```A ->B (1)A -> C (4)B ->C (2)B -> D (5)C ->D (1)C -> E (3)D ->E (4)```起始节点为A，我们希望找到到达其他节点的最短路径。

首先，初始化距离：A到A的距离为0，A到B/C/D/E的距离均为无穷大。

然后，将A加入优先队列。

从队列中取出A，更新A的邻居节点的距离。

算法最短路径最短路径算法是一种在图中寻找两个节点之间最短路径的方法。

它在许多实际应用中都有广泛的应用，比如导航系统、网络路由和物流规划等。

本文将介绍几种常见的最短路径算法，并对它们的原理和应用进行详细解析。

一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。

它通过不断更新起始节点到其他节点的距离，逐步找到最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化起始节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。

2. 选择距离起始节点最近的节点，并标记为已访问。

3. 更新与该节点相邻节点的距离，如果经过该节点到达相邻节点的距离更短，则更新距离。

4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被访问过或者没有可更新的节点。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。

它适用于没有负权边的图，可以求解单源最短路径问题。

二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种可以处理带有负权边的图的最短路径算法。

它通过对所有边进行松弛操作，逐步逼近最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化起始节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。

2. 对所有边进行V-1次松弛操作，其中V为节点的数量。

3. 检查是否存在负权环，如果存在，则说明图中存在无穷小的最短路径，算法结束。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。

它适用于解决单源最短路径问题，并且可以处理带有负权边的图。

三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种可以求解任意两个节点之间最短路径的算法。

它通过动态规划的思想，逐步更新节点之间的距离。

具体步骤如下：1. 初始化节点之间的距离矩阵，如果两个节点之间有直接边，则距离为边的权重，否则为无穷大。

2. 对于每一个节点k，遍历所有节点对(i, j)，如果经过节点k的路径比直接路径更短，则更新距离矩阵中的值。

3. 重复步骤2，直到所有节点对的距离都被更新。

最短路径法过程一、引言最短路径法是一种在图论中常用的算法，用于寻找两个顶点之间的最短路径。

该方法有广泛的应用，例如在网络路由中、GPS导航系统中等。

本文将介绍最短路径法的过程，帮助读者理解和应用该算法。

二、问题描述最短路径问题是在给定的图中，寻找两个顶点之间的最短路径。

在图中，顶点表示位置，边表示路径，每条边都有一个权重，表示两个顶点之间的距离或成本。

最短路径算法的目标是找到一条路径，使得路径上所有边的权重之和最小。

三、算法概述最短路径算法有多种不同的实现方法，其中最著名的是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

以下将介绍Dijkstra算法的过程。

1. 初始化：将起始顶点的距离设为0，其他顶点的距离设为无穷大。

将起始顶点标记为当前顶点。

2. 选择：从当前顶点出发，计算到达相邻顶点的距离，并更新最短距离。

3. 标记：将已计算出最短距离的顶点标记为已访问。

4. 更新：选择一个未访问的顶点中距离最小的顶点作为新的当前顶点，并重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问过。

5. 输出：最终得到起始顶点到其他所有顶点的最短距离。

四、具体实例为了更好地理解最短路径算法的过程，我们以一个简单的图为例进行说明。

假设有如下图所示的无向图，其中顶点A、B、C、D、E、F分别表示不同的位置，边上的数字表示边的权重。

3A ------- B/ \ / \1 52 4/ \ / \C------- D ------- E\ / /2 6 3\ / /\ F-------/我们以顶点A为起始点，要求到达其他顶点的最短路径。

1. 初始化：将顶点A的距离设为0，其他顶点的距离设为无穷大。

2. 选择：从起始点A开始，计算到达相邻顶点的距离，并更新最短距离。

- 计算A到达B的距离为3，更新B的最短距离为3。

- 计算A到达C的距离为1，更新C的最短距离为1。

3. 标记：将已计算出最短距离的顶点标记为已访问。

- 将顶点A标记为已访问。

最短路径算法介绍最短路径算法是计算两个节点之间最短路径的一组算法。

在计算网络最短路径、交通路线规划、导航系统以及优化其他经济和工业流程等很多领域都有广泛的应用。

最短路径算法的目标是找出网络中连接起始节点与目标节点的最短路径。

在网络中，起始节点和目标节点被称为源节点和目标节点。

网络包含节点（也称为顶点）和连接节点的边。

每一条边上都有一个权重，这个权重表示了通过这条边所需要的代价或距离等值。

最短路径算法是通过这些权重来查找最短路径的。

最短路径算法的核心思想是通过规定一些规则或算法来查找网络上的最短路径。

最常用的最短路径算法是Dijkstra算法和A*算法。

Dijkstra算法是一个基于贪心算法的最短路径算法，它的特点是时间复杂度较低，适用于稠密图。

而A*算法是通过启发式搜索来计算最短路径的，它适用于稀疏图和高维空间搜索（如机器人路径规划）。

Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始依次计算到各个节点的最短距离，直到计算出目标节点的最短路径。

Dijkstra算法的优点是保证了每个节点被计算后，所有可能的最短路径都被计算过，从而保证了最终计算出的路径是最短路径。

Dijkstra算法的缺点是需要存储所有节点的距离，因此对于大规模图，存储距离的开销非常大。

A*算法是一种启发式搜索算法。

它是在Dijkstra算法的基础上引入了启发式函数，利用这个函数来评估节点到目标节点的距离，从而优先扩展距离目标节点更近的节点。

A*算法的重点是设计合适的启发函数，这个函数应该尽可能地准确地评估节点到目标节点的距离。

与Dijkstra算法相比，A*算法可以大大减少计算开销，从而提高算法的效率。

最短路径算法在实际的应用中非常重要。

在网络最短路径问题中，最短路径算法可以用于计算网络拓扑的特征，如网络直径、网络中心性等。

在地图导航和交通规划中，最短路径算法可以用于找到最短的路径以及计算交通拥堵等。

在机器人路径规划中，最短路径算法可以用于确定机器人行走的最短路径以及防止机器人撞到障碍物等。

最短路径算法-回复什么是最短路径算法？最短路径算法是一种用于寻找图中两个顶点之间最短路径的算法。

在计算机科学中，最短路径问题是一个经典的问题，其解决方法可以应用于许多实际应用中，如网络路由、物流运输、导航系统等。

最短路径算法的目标是找到两个顶点之间的最短路径，其中路径的长度可以根据需要定义为路径上边的数量、权重之和等。

有哪些常见的最短路径算法？在图论中，最短路径算法有许多种不同的实现方式。

下面介绍几种常见的最短路径算法：1.迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）：迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，用于求解带权重（非负）的图中两个节点之间的最短路径。

该算法基于每次选择当前路径中权重最小的节点来生成路径。

迪杰斯特拉算法在计算时间复杂度为O(V^2)，其中V为图中顶点的个数。

2.弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）：弗洛伊德算法是一种动态规划算法，用于求解任意两个顶点之间的最短路径。

该算法通过对图中所有的顶点进行迭代，并更新每一对顶点之间的最短路径。

弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为图中顶点的个数。

3.贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）：贝尔曼-福特算法是一种用于求解带有负权重的图中两个节点之间最短路径的算法。

该算法通过对图中所有的边进行松弛操作来生成最短路径。

贝尔曼-福特算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为图中顶点的个数，E为图中边的个数。

这些算法如何工作？迪杰斯特拉算法从一个起始节点开始，将所有顶点分为两个集合：已知最短路径的顶点集合和未知最短路径的顶点集合。

迪杰斯特拉算法通过每次选择权重最小的边，并将其连接的顶点加入已知最短路径的集合。

同时，算法会对每个未知最短路径的顶点进行更新，以找到到达该顶点的更短路径。

最终，迪杰斯特拉算法会得到起始节点到所有其他节点的最短路径。

弗洛伊德算法通过一个二维矩阵来存储任意两个顶点之间的最短路径长度。

最短路径寻址算法
最短路径寻址算法通常用于解决网络路由问题，它的目标是在一个网络中找到从源节点到目标节点的最短路径。

常见的最短路径寻址算法包括Dijkstra 算法和Bellman-Ford算法。

1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，它从源节点开始，逐个扩展到相邻节点，直到找到目标节点或所有节点都被访问过。

Dijkstra
算法使用贪心策略，每次选择当前距离源节点最近的节点作为扩展节点，直到找到目标节点。

Dijkstra算法适用于稀疏图和不含负权边的图。

2. Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种多源最短路径算法，它
可以处理带有负权边的图。

Bellman-Ford算法从源节点开始，通过多次遍
历边来更新节点之间的距离，直到所有节点的距离都不再发生变化。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是节点数，E是边数。

除了以上两种算法外，还有许多其他的最短路径寻址算法，如Floyd-Warshall算法、Johnson算法等。

这些算法在不同的场景和问题中都有应用，选择合适的算法取决于具体的问题和数据结构。

图的最短路径算法的实现在图论中，最短路径问题是一个经典的问题，它是寻找图中两个节点之间的最短路径的问题。

这个问题在很多实际应用中都有重要的应用，比如说网络路由、自动化路径规划等等。

什么是最短路径最短路径是从图中一个节点到另一个节点所经过的边的权值和最小的路线。

通俗地说，就是要找到图中两个节点之间的“最小耗费”。

最短路径的长度可以用标明了边权值的图的路径长度来表示。

在有向图或者无向图中，起点到终点的最短路径可能不止一条，这时可以比较这些路径的长度来获取最短路径。

最短路径算法根据实际应用，在最短路径问题中，有很多性质的图都可以使用不同的算法来求解最短路径。

比如说，对于稠密的图，最好使用邻接矩阵。

对于一些规模较大的图，可以采用分布式算法。

下面我们来介绍两种比较常见的最短路径算法。

1. Dijkstra算法Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家 Edsger W. Dijkstra 在1956年所提出的，用于求带权有向图或者无向图的单源最短路径问题。

Dijkstra算法的基本思想是采用贪心策略，每次找到权值最小的一个顶点，然后以它为中心，分别考察从它出发能到达的各个顶点，并更新它们到源点的距离。

Dijkstra算法的具体实现过程如下：•初始化一个空的有序队列和一个距离集合。

将起点加入有序队列，其距离设为0，其他节点的距离设为∞。

•从队列中选取距离最近的节点，更新它的邻居节点的距离，并将它们加入到队列中。

标记它们的最短路径已经找到。

•重复上述步骤，直到队列为空。

使用Dijkstra算法可以计算一个具有负权重的有向图或者无向图的单源最短路径问题。

但由于元素在队列中的排序是依赖于距离的，所以使用Dijkstra算法的时候不能处理带有负数权值的边。

2. Floyd算法Floyd算法又称为插点法，它是典型的动态规划算法，用于寻找给定加权图中多源点之间最短路径。

Floyd算法的基本思路是采用动态规划的思想，建立一个二维数组dist[][], dist[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径的距离。

最短路径算法(dijkstra)讲解最短路径算法是计算机科学中一个非常重要且广泛应用的算法,它用于求解网络中节点到节点的最短路径。

本文将介绍 Dijkstra 最短路径算法的基本原理和步骤,并对其进行拓展。

Dijkstra 算法的基本原理是:从起点开始,依次将每个未连接的节点加入已连接的队列中,直到所有节点都被加入队列,并且队列为空。

然后从最后一个节点开始,依次取出队列中的节点,计算每个节点到起点的最短距离,并将这些距离累加到一个距离数组中。

最后,返回距离数组中的最小距离,即最短路径。

下面是 Dijkstra 算法的基本步骤:1. 初始化:- 将起点标记为已连接节点。

- 将起点到所有其他节点的距离设为无穷大。

- 将起点加入到距离队列中。

2. 处理队列:- 从距离队列中取出一个节点,并将其加入到连接表中。

- 计算该节点到起点的最短距离。

- 如果该距离小于当前最小距离,则更新最小距离。

- 将该节点标记为已连接节点。

3. 处理连接表:- 如果所有节点都被标记为已连接节点,则返回起点。

- 如果某个节点没有被标记为已连接节点,且该节点到其他节点的最短距离小于当前最小距离,则更新最小距离。

- 将该节点加入到距离队列中。

下面是针对 Dijkstra 算法的拓展:1. 时间复杂度分析:- Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(nlogn)。

- 在最坏情况下,当所有节点的权重都为0时,Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2)。

2. 非最坏情况下的改进:- 当节点的权重都较小时,Dijkstra 算法使用的是贪心算法,其性能可能会退化为 O(n^2)。

- 针对这种情况,可以使用启发式算法,如 A* 算法或贪心算法,来改进Dijkstra 算法的性能。

3. 扩展应用场景:- Dijkstra 算法可以用于求解单源最短路径问题、单源最短路径问题和无后效性问题。

- Dijkstra 算法还可以用于求解网络中的最小生成树问题和最小生成树问题。

在计算机科学中，位置最短路径算法是指用于找到图中从一个起始节点到另一个节点的最短路径的算法。

这种算法通常用于网络路由、地理信息系统、交通规划等领域。

其中最著名的算法包括Dijkstra算法和A*算法。

1. **Dijkstra算法**：
Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的算法，它基于贪心策略，逐步找到从起始节点到其他节点的最短路径。

该算法维护一个距离表，记录从起始节点到其他节点的当前已知最短路径长度，并通过逐步更新这些距离来找到最短路径。

Dijkstra算法对于没有负权边的图非常有效，但是对于大规模网络来说，时间复杂度较高。

2. **A*算法**：
A*算法结合了Dijkstra算法的思想和启发式搜索，它在寻找最短路径时利用了节点之间的真实距离信息（启发函数），这使得A*算法在实际应用中更加高效。

A*算法被广泛应用于游戏开发、机器人路径规划以及地图导航等领域。

这两种算法都可以用于寻找图中的位置最短路径，但在不同的应用场景下可能会有不同的性能表现和适用性。

选择哪种算法取决于具体的问题需求以及图的特征。

最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。

如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。

那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。

在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。

在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。

最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。

一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。

首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。

（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。

例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。

Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。

执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。

在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。

例1中，s=1。

因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。

最短路径选择算法在计算机科学中，最短路径选择算法是解决图论中路径选择问题的一种常用算法。

路径选择问题是指如何在一个加权图中找到两个节点之间的最短路径。

最短路径选择算法可以应用于很多实际问题，比如交通网络中的导航系统、电信网络中的路由选择等。

最短路径选择算法的核心思想是通过计算图中各个节点之间的距离，找到两个节点之间的最短路径。

常用的最短路径选择算法有Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法和Bellman-Ford算法等。

Dijkstra算法是最常用的最短路径选择算法之一。

它的基本思想是通过逐步扩展，从起始节点逐步找到所有节点之间的最短路径。

具体实现时，Dijkstra算法维护一个距离数组，记录从起始节点到各个节点的当前最短距离。

然后，在每一次迭代中，选择当前距离最小的节点作为中间节点，更新与其相邻节点的距离。

通过不断更新距离数组，最终可以得到起始节点到其他所有节点的最短路径。

Floyd-Warshall算法则是一种更为通用的最短路径选择算法。

它通过动态规划的思想，逐步计算图中任意两个节点之间的最短路径。

具体实现时，Floyd-Warshall算法维护一个距离矩阵，记录任意两个节点之间的当前最短距离。

然后，通过不断更新距离矩阵，最终可以得到任意两个节点之间的最短路径。

Bellman-Ford算法是一种用于处理带有负权边的最短路径选择问题的算法。

与Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法不同，Bellman-Ford算法可以处理负权边，但是不能处理带有负环的图。

具体实现时，Bellman-Ford算法通过进行多次迭代，逐步更新距离数组，直到没有距离变化为止。

通过这种方式，Bellman-Ford算法可以找到起始节点到其他所有节点的最短路径。

除了上述三种常用的最短路径选择算法，还有很多其他的算法也可以用于解决路径选择问题。

例如，A*算法是一种启发式搜索算法，可以在图中找到最短路径。

最短路径法实际中有关最短路径问题都是以带权图为主；首先假设有以下图论模型:在带权图G=（V，E）中，若顶点 Vi,Vj是图G的两个顶点，从顶点Vi到Vj的路径长度定义为路径上各条边的权值之和。

从顶点Vi到Vj可能有多条路径，其中路径长度最小的一条路径称为顶点Vi到Vj的最短路径。

对于非带权图，只要人为的把每条边加上权值1，即可当作带权图一样处理了。

最短路径问题可以分为两类：一是：求从某个顶点（源点）到其它顶点（终点）的最短路径；二是：另一类是求图中每一对顶点间的最短路径。

其中以第一类问题比较多；比如常见的连连看游戏中对两个相同的元素之间进行连线就属于这类问题；解决图论相关问题的第一步就是对图进行数据表示：采用的方法是利用邻接矩阵，存放任意两点间的数据（如距离、费用、时间等）；详细介绍请查看百度百科最短路径相关算法有：宽度优先搜索，启发式搜索，等代价搜索法，宽度搜索+剪枝，动态规划法；下面我们采用最常见的实际应用来讲述这些算法的应用：例子：假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图红色数字所示。

某人想从城市A出发游览各城市一遍，而所用旅费最少，试编程输出结果。

一：宽度优先搜索应该来说宽度优先搜索并不是解决最短路径的优秀算法；只是为其他的算法做一个铺垫；算法流程如下：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其旅费；2、再次由AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然由AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，由AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其旅费；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、ABEC、ABED、……、AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其旅费；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其旅费；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中旅费最少的那个就是题目的解了。