2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)解答题 第四周 星期三

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）理科数学参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =I ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆I 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++== 【考点】复数的模【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取300 60181000⨯=件，故答案为18．【考点】分层抽样【点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．4．右图是一个算法流程图，若输入x的值为116，则输出y的值是▲．【答案】2-【解析】由题意得212log216y=+=-，故答案为2-．【考点】条件结构的流程图【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．5．若π1tan(),46α-=则tanα=▲．【答案】75【解析】ππ1tan tan1ππ7446tan tan1ππ44511tan tan644αααα⎛⎫-++⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+===⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦---⎪⎝⎭.故答案为75.【考点】两角和的正切公式【点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数2()6f x x x +-D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【解析】 由260x x +-…，即260x x --„，得23x -剟，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是()()325549--=--.【考点】几何概型【点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设1010P ⎛ ⎝⎭，则，1010Q ⎛- ⎝⎭，()1F，)2F ，则S ==【考点】双曲线渐近线、准线【点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx=可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立． 【考点】基本不等式求最值【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 11．已知函数31()2e ex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【解析】 因为()()312ex f x x x f x -=-++=-，所以函数()f x 是奇函数，因为()2232e e 320x x f x x x -'=-++-+厖，所以()f x 在R 上单调递增，又()()2120f a f a -+„，即()()221f a f a -„，所以221a a -„，即2210a a +-„，解得112a-剟，故实数a 的取值范围为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【考点】利用函数性质解不等式【点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1OA u u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan α=7，OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n += ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得2sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720+==，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤则点P 的横坐标的取值范围是 ． 【答案】[52,1]-【解析】设(),P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r„，易得250x y -+„，由2225050x y x y -+⎧⎨+=⎩„，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩， 由250x y -+„得P 点在圆左边弧»AB 上，结合限制条件5252x -剟P 横坐标的取值范围为52,1⎡⎤-⎣⎦.【考点】直线与圆、线性规划【点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以//EF AB . 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD I 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥.又AB AD ⊥，BC AB B =I ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值3-．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=b ，a ∥b ，所以33sin x x =． F EDC BA若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠． 于是3tan 3x =-．又，所以5π6x =． （2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b ． 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=u u u r u u u r u u u r111OB OC λλλ+++u u u r u u u r ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）4737．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b =因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：()0011x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：()0011x y x y -=--. ② 由①②，解得2001,x x x y y -=-=，所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0x =0y =220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P的坐标为,77⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ， 所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥. 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处. 因为107AC =40AM =，所以()224010730MC =-=，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的焦点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥， 1Q 为垂足， 则 11PQ ⊥平面 ABCD ，故1112PQ =，从而 11116sin AP M PQ AC==∠.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为1116cm PQ =.（2）如图所示，O ，1O 是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥. 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥. 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作1GK E G ⊥，K 为垂足， 则132GK OO ==. 因为 14EG =，11 62E G =， 所以KG1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1EGG α=∠，ENG β=∠，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠. 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是()()sin sin sin sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=∠4247352523555⎛⎫⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 记EN 与水面的交点为2P ，过 2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故2212P Q =，从而EP2=2220sin P NEGQ =∠.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm .【考点】正、余弦定理【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()32333a a f x x ax b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭. 当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()23127039a b a a-=-„，即3a …. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -+. 列表如下故()f x 的极值点是12,x x .从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（2）由（129. 设23()=9t g t t+，则22223227()=99t g t t t -'-=.当t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g t '>，从而()g t 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.因为3a >，所以>((>g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而()()32321211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++=()()()()2222121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++= 346420279a ab ab--+=. 记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以()213=9h a a a-+，3a >. 因为()223=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为()76=2h -，于是()()6h a h …，故6a „.因此a 的取值范围为(]36，.【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，所以PCA CBA =∠∠， 因为AB 为半圆O 的直径，所以90ACB =o ∠，因为AP PC ⊥，所以90APC =o ∠，所以PAC CAB ∠=∠.CAB（2）由（1）知APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，所以2·AC AP AB = 【考点】圆的性质、相似三角形【点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）；（2）228x y +=．【解析】（1）因为0110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，所以011002100210⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB .（2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=.【考点】矩阵乘法、线性变换【点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2222x sy s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l的的距离2224s d -+==，当s =min 5d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l【考点】参数方程与普通方程的互化【点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【解析】证明：由柯西不等式可得：()()()22222ac bd a bcd +++„，因为224a b +=，2216c d +=，所以()264ac bd +„，因此8ac bd +„.【考点】柯西不等式【点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1=3，120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（27 【解析】在平面ABCD 内，过点A 作AE AD ⊥，交BC 于点E . 因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AE ⊥，1AA AD ⊥.如图，以{}1,,AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -.因为2AB AD ==，13AA 120BAD ∠=o.则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),3),(3,13)A B D E A C -. (1) (13,1,3A B =--u u u r ，13,1,3AC =u u u u r，则1111113,1,33,1,31cos ,77A B AC A B AC A B AC --⋅⋅===-u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r .因此异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为17. zxyE BCADB A 1D 1C 1(2)平面1A DA 的一个法向量为)3,0,0AE =u u u r.设(),,x y z =m 为平面1BA D 的一个法向量，又11,A B =-u u u r，()BD =u u u r ，则100A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m即030y y -=+=⎪⎩. 不妨取3x =，则y =2z =，所以()2=m 为平面1BA D 的一个法向量，从而23cos ,4||||AE AE AE ⋅⋅===u u u ru u u r u u ur mm m ，设二面角1B A D A --的大小为θ，则3cos 4θ=. 因为[]0,θ∈π，所以sin 4θ==. 因此二面角1B A D A --.【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析． 【解析】（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n mn n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k n m nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。

一、填空题：（每小题5分，共70分）1. 设全集U={n|1≤n≤10，n∈N*}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B= .2. 已知i为虚数单位，则2-i1i+= .【解析】因为2-i1i+=(2-i)(1-i)(1i)(1-i)+=1-3i2，所以2-i1i+=.3. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为.【解析】由4个顶点到中心的距离小于该正方形的边长，故满足条件的概率为2 5.4. 函数f(x)=(x-3)e x的单调增区间是.【解析】因为f(x)=(x-3)e x，则f'(x)=e x(x-2)，令f'(x)>0，得x>2，所以f(x)的单调增区间为(2，+∞).5. 执行如图所示的流程图，如果输入的t∈，则输出的S的取值范围为.【解析】由流程图可知是求分段函数的值，且S=22-2[-20)-3[02]t t t t ∈∈⎧⎨⎩，，，，，，其值域为(-2，6]∪=. 6. 在三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则12V V = .【解析】如图，由图知V 1=D A B E V =A B D E V ，V 2=P A B C V =A P B C V ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，则12V V =1··31··3BDEPBC S hS h .又BD E PBC S S =14，所以12VV =14.7. 若命题“∀x ∈R ，ax 2-ax-2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是.8. 观察下列等式：2cos π4，2cos π8，2cos π16，…则可知第n (n ∈N *)个等式：= .【解析】2cos 1π2n +9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5tan B=2226-ac a c b +，则sin B 的值是 .【解析】因为cos B=222-2a c b ac +，所以5tan B=2226-ac a c b +=62cos ac ac B =3cos B ，所以5sin B=3，所以sin B=35.10. 已知椭圆x 2+3y 2=9的左焦点为F 1，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点，若点D 是线段PF 1的中点，则△F 1OD 的周长为 . 【解析】由椭圆x 2+3y 2=9，可得a=3，.如图，连接PF 2，因为点D 是线段PF1的中点，所以OD12PF 2.由椭圆的定义可知PF 1+PF 2=2a ，所以DF 1+DO=a=3.所以△F 1OD 的周长为a+c=311. 已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n}满足a n+2-a n=d(d为常数，且d≠0，n∈N*)，a1=1，a2=2，且a1a2，a2a3，a3a4成等差数列，则S20= .12. 已知实数x，y满足202xyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，设z=max{3x-y，4x-2y}，则z的取值范围是.(max{a，b}表示a，b两数中的较大数)【解析】设z1=3x-y，z2=4x-2y，则z=max{z1，z2}，易得z1∈，z2∈，则z∈.13.设函数f(x)=(x-2)2(x+b)e x，若x=2是f(x)的一个极大值点，则实数b的取值范围为.【解析】由条件得f(x)=e x，则f'(x)=e x，易知f'(2)=0恒成立，满足题意.记g(x)=x3+(b-1)x2+(-4-2b)x+4，则g'(x)=3x2+2(b-1)x+(-4-2b)，又x=2是f(x)的一个极大值点，所以g'(2)<0，所以2b+4<0，解得b<-2.14. 若x，y，z均为正实数，且x2+y2+z2=1，则2(1)2zxyz+的最小值为.【解析】由x，y，z均为正实数，且x2+y2+z2=1，可得1-z2=x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取得等号，则2(1)2zxyz+≥22(1)(1-)zz z+=1(1-)zz z+=123-(1)-1zz++3+2.当且仅当1+z=21z+，即z=1，3+2二、解答题15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量A B=(6，1)，B C=(x，y)，C D=(-2，-3)，且AD∥B C.(1) 求x与y之间的关系式；(2) 若A C⊥B D，求四边形ABCD的面积.(2) 由题意得A C=A B+B C=(x+6，y+1)，B D=B C+C D=(x-2，y-3)，因为A C⊥B D，所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0，即x2+y2+4x-2y-15=0. ②由①②得2-1xy=⎧⎨=⎩，或-63.xy=⎧⎨=⎩，当2-1xy=⎧⎨=⎩，时，A C=(8，0)，B D=(0，-4)，则S四边形ABCD=12|A C||B D|=16.当-63xy=⎧⎨=⎩，时，A C=(0，4)，B D=(-8，0)，则S四边形ABCD=12|A C||B D|=16.所以四边形ABCD的面积为16.16. (本小题满分14分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=2AB，且点P为DD1的中点.(1) 求证：BD1∥平面PAC；(2) 求证：平面PB1A⊥平面PAC.(2) 连接B1O，设AA1=2AB=2a，在△PB1O中，B1P2=3a2，PO2=a2+12a2=32a2，B1O2=92a2，所以PO2+B1P2=B1O2，所以PB1⊥PO.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，所以AC⊥BD，B1B⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.因为BD∩BB1=B，所以AC⊥平面BB1D1D，因为B1P⊂平面BB1D1D，所以B1P⊥AC.又PO∩AC=O，所以PB1⊥平面PAC.因为PB1⊂平面PB1A，所以平面PB1A⊥平面PAC.17．(本小题满分14分)为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2 m，内部划分为不同区域种植不同花草.如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个△OAB的顶点O为圆心，A在圆周上，B在半径OQ上，设计要求∠ABO=120°.(1) 请设置一个变量x，写出该蝶形区域的面积S关于x的函数表达式；(2) 问：当x为多少时，该蝶形区域面积S最大?所以当x=30°时，蝶形区域面积最大.18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：3x+2y-8=0，圆M：(x-3)2+(y-2)2=1.(1) 设A，B分别为直线l与圆M上的点，求线段AB长的取值范围；(2) 求证：存在无穷多个圆N(异于圆M)，满足对每一个圆N，过直线l上任一点P均可作圆M与圆N的切线，切点分别为T M，T N，且PT M=PT N.【解析】(1) 易得圆心M(3，2)到直线l：3x+2y-8=0的距离1=r，故直线l与圆M相离，从而AB≥-1，所以线段AB长的取值范围是1+⎫∞⎪⎪⎣⎭，.(2) 设圆N：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0，a≠3，b≠2，且r≠1)，由PT M=PT N，设P(x，y)，得PM2-1=PN2-r2，即(x-3)2+(y-2)2-1=(x-a)2+(y-b)2-r2，整理得2(a-3)x+2(b-2)y+r2+12-a2-b2=0.又点P在直线l上，所以3x+2y-8=0，所以2y=8-3x，从而2(a-3)x+(b-2)(8-3x)+r2+12-a2-b2=0，整理得(2a-3b)x+r2-a2-b2+8b-4=0.因为上式对任意的x∈R恒成立，所以2222-30--8-40 a br a b b=⎧⎨+=⎩，，解得22231316-40(3)93b a r a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+>≠⎪⎩，，所以圆N 的方程为(x-a )2+22-3y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=139a 2-163a+4，即证. 19.已知函数()(1)xf x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值. 【解析】①当0a ≤时，()'0f x >，函数()f x 在R 上单调递增；………………………………6分 ②当0a >时，由()'e 0xf x a =-=得ln x a =，∴(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增．综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． ……………………………………9分 （3）由（2）知，当0a <时，函数()f x 在R 上单调递增，∴()f x b ≥不可能恒成立； ………………………………………………………………10分设()()222ln 0g a a a a a =->，∴ ()()'42ln 32ln g a a a a a a a a =-+=-，由于0a >，令()'0g a =，得3ln 2a =，32e a =， 当320,e a ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()'0g a >，()g a 单调递增；32e ,a ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()'0g a >，()g a 单调递减．∴()3max e 2g a =，即ab 的最大值为3e 2，此时33221e ,e 2a b ==． ………………………………………………………………… 16分20.（1）设,a b均为正数，求证：1<（2）设数列{}n a 和{}n b 的各项均为正数，*n N ∀∈，两个数列同时满足下列三个条件： ①{}n b是等比数列；②1nn n a a b +=；③1n b +=.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. 【解析】（1）因为,a b 均为正数，所以222222221681281 1.44a ab b a ab a b a b +++==+>++ 而222222(4)5(4)4844()0a b a b a ab b a b +-+=-+-=--≤，所以25,≤故1<≤解：（2）因为数列{}n a 和{}n b的各项均为正数，且1n b +=所以由（1）知*11).n b n N +<≤∈因为{}n b 是等比数列，所以11n n b b q -=⋅（其中q 是公比）. 若1,q >则当11log qn >+n b > 若01,q <<则当111log q n b >+时，1n b <均与*11).n b n N +<≤∈不符，故1q =. 于是1,n b b =从而11,n n n n a a b +==即{}n a1为公比的等比数列.11,>则123,a a a <<，但由11,2,3)n b n +==即11,2,3)b n ==解得na 至多取得2个值，于是123,,,a a a 中至少有两个相等，与123,a a a <<矛盾.附加题（理）21.A 选修4-1 几何证明选讲已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切，点E 在边AB 上，且AE=AD.求证：O ，E ，C ，D 四点共圆. 【解析】因为AD=AE ，所以∠AED=12(180°-∠A ).因为四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 所以180°-∠A=∠BCD.又∠BCD=2∠DCO ，所以∠AED=∠DCO ， 所以O ，E ，C ，D 四点共圆.21.B选修4-2矩阵与变换已知变换T：xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→''xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2x yy+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A-1.【解析】由xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→''xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1201xy⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得A=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦.设A-1=a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则AA-1=1201a bc d⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=22a cb dc d++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以21201a cb dcd+=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，解得1-21abcd=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，所以A-1=1-201⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.C选修4-4坐标系与参数方程已知直线l：cossinx t my tαα=+⎧⎨=⎩，(t为参数)恒经过椭圆C：5cos3sinxyϕϕ=⎧⎨=⎩，(φ为参数)的右焦点F.(1) 求m的值；(2) 设直线l与椭圆C交于A，B两点，求FA·FB的最大值与最小值.当sin α=±1时，FA·FB取最小值81 25.21.D 选修4-5 不等式选讲已知关于x 的不等式x 2-ax+b<0的解集为(1，2)，其中a ，b ∈R ，求函数f (x )=(a-(b-.【解析】因为不等式x 2-ax+b<0的解集为(1，2)，所以可得a=3，b=2，又函数f (x )=(a-(b-由柯西不等式可得2≤(22+12)·=5，x=195∈时取等号.所以当x=195时，函数f (x )22. 如图，已知抛物线C ：x 2=2py (p>0)，其焦点F 到准线的距离为2，点A ，B 是抛物线C 上的定点，它们到焦点F 的距离均为2，且点A 位于第一象限.(1) 求抛物线C 的方程及点A ，B 的坐标.(2) 若点Q (x 0，y 0)是抛物线C 异于A ，B 的一动点，分别以点A ，B ，Q 为切点作抛物线C 的三条切线l 1，l 2，l 3.若l 1与l 2，l 1与l 3，l 2与l 3分别相交于点D ，E ，H ，设△ABQ ，△DEH 的面积为S △ABQ ，S △DEH ，记λ=ABQDEH S S ，问：λ是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.点Q 到直线AB 的距离QAB d =20|4-|4x ，点D 到直线l 3的距离3Dl d=2，所以S △ABQ =12·AB ·QAB d =20|4-|2x ，S △DEH =12·EH ·3Dl d =20|4-|4x ， 所以λ=ABQ DEH S S =2，为定值.23. 已知数列{a n }满足a n+1=211n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭a n +12n (n ∈N *)，且a 1=1. (1) 求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2) 利用“∀x>0，ln(1+x )<x ”证明a n <234e (其中e 是自然对数的底数).、 (2) 当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n+1=211n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭a n +12n ≤211n n ⎛+ +⎝+112n +⎫⎪⎭a n (n ≥2)， 两边取对数并利用已知不等式ln(1+x )<x 得ln a n+1≤ln211112n n n +⎛⎫++ ⎪+⎝⎭+ln a n <ln a n +21n n ++112n +，故ln a n+1-ln a n <21n n ++112n +(n ≥2)，求和可得ln a n -lna 2<123⨯+134⨯+…+1(-1)n n +312+412+…+12n =12⎛ ⎝-13⎫⎪⎭+11-34⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+11--1n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭+312×-211-211-2n =12-1n +212-12n <34.。

2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析)2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an }满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 1 ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立；a2+3=1无解．综上，a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18 件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2 ．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，=2﹣=﹣2，所以y=2+log2故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）等比数列{an }的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=，S6=，则a8= 32 ．【分析】设等比数列{an }的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30 ．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））=﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n ∈R），则m+n= 3 ．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x+y+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y），则有x2+y2=50，=（﹣12﹣x0，﹣y）•（﹣x，6﹣y）=（12+x）x﹣y（6﹣y）=12x+6y+x2+y2≤20，化为：12x0﹣6y+30≤0，即2x0﹣y+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y的关系式．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8 ．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y2=x2﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y=，∴y02=x2﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an }满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{an}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{an}为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{an }首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），=2an +2an+2an，=2×3an，∴等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）证明：当n≥4时，因为数列{an }是P（3）数列，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，①因为数列{an }是“P（2）数列”，所以an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，②则an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，③，②+③﹣①，得2an =4an﹣1+4an+1﹣6an，即2an=an﹣1+an+1，（n≥4），因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4（a3+d）﹣a3﹣（a3+2d）﹣（a3+3d）=a3﹣d，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{an}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣+≥0，解得a≥3，所以b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y），则=，即x0=2y，y=x，∴x=y，y=，∴，即x02+y2=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X ）＜．【分析】（1）法一：设事件Ai 表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P （），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n 个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X 的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）解法一：设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P （）===．解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==．证明：（2）∵X 的所有可能取值为，…，，第31页（共32页）P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X ）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第32页（共32页）。

高考定位高考对本内容的考查主要有:（1）两角和（差）的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考£构成中档题；（2）正弦定理和余弦定理以及解三角形问B级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状廊判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应性较码，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一崔焦，不可轻视.-明考向扣fit的H6J-Als4-5-野止弦定理,z .. ACA3 口门6 A3 /— 得鬲帀=—F ，即尹直》〃=5返 sinT 5 2真題感悟考点整合真题感悟4 TT(2016-江苏卷)在厶ABC 中，AC=6, cos B=§, C=~^.(1)求A3的长；(2)由(1)得：sinB=丰，cos B=彳，sin C=cos C=¥， 则 sin A = sin(B+C) = sin Bcos C+cos Bsin^2 A = —cos(B + C)=—(cos Bcos C —sin Bsin C)=—需，TT , TT 7A /2—\/6=cos Acos 石+sin Asirr^= ----------- -------由符号看象限.I •三角函数公式「八、，土99sin a(1)同角关系：sirra +cos~ar =1, — =tan a . cos or_L TT补型诱导公式：对于“亍土a ，k"的三角函数值”与“a 的三角函数值”的关系可按下而口诀记忆：奇变偶不变,⑶两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(«±^) = sin a cos /3 ±cos ar sin 0 ；cos(a±0)=cos a cos 0 +sin a sin 0 ；(4)二倍角公式：sin 2a =2sin a cos a , cos 2a = cos?a — sin 2a =2cos 2a —1 = 1—2sin 2a .考点整合2 2tan a ± tan 0⑴二 sinA sinB b c sinC sin A + sin B+sin C=2R(R'ABC 外接2•正、余弦定理.三角形而积公式王形：a = 2Rsin A, b=2Rsin B, c = 2/?sin C ： sinA =為,bc云,sin C=云;a \ b \ c = sinA : sin 3 ： sin C.(2)a 2=b 2+c 2—2bccos A, kr=cr+c 1—2accos B, c 2= cr + b 1 — 2abcos C ；+、人b 2+c 2—a 2 c^+c 2 — ^2推 论：cos A= ------ 石二 - ，cos B= ---- 恳二 - ，cos C=变形：b 1+c 1—cr = 2bccos A, a 2+c 2—b 2 = 2accos B, a 2 + hr —c 2 = 2abcos C.g 111△ABC亍㊁"sin C=qacsin B = 2^csin A.热点聚焦题塑突破研热点析角度3.cosa 丿sin z TT aTT a = 2tan 亍 / 、TT 则"a+d _M M(3)(2016-苏北四市模拟)已知cos?才+ £・cos/ 、TT<3 a|r、一a ， a u 3 ,2 •贝U sin 2a =7T 7T cos 了-cos a sin 5715 + cos asirry.兀sinl a + 亏sin a 一〒a .2+ 1 2^1热点一三角恒等变换及应用 【例1】(1)(2015-重庆卷改编)若tan a 为锐4/ 、7Tcos aI o /3祚>0,⑵Ta 为锐角,cos 7Toc + 石为锐角，••• sinl a +7Tsin 2 a + 可<上丿71 =2叫“ +石肿/ 、(、 2 a — z o=sin 2 a + yj71•c 叫2yJ 43 24a+T =2X 5X 5=257T6, 24 25-z \7Tf( 、 n ■ ( 、 冗 6 • COS 可_ a i=cos N + a 、b , • sin(3)cos ■11n zr! ■11XI n n -1 s-2 -3 + a 2<n -1 s 即-4 - -+ a 21 2-T a € a 7T ・ cos 2 a + 可=X0丿SIa / 7T 、 /H13， 2 J ,• • 2 a + q € a 4 7TTT , -ya = siJ T7T 3、 nn( X71+ T CO S3 ' - cos 2a +可 l 3/•sin 2 7Tsm 1 3 2-2【训练1】(1)已知sin 2a =3,则3TT探究提高1•解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所 求角”用“已知角"表示G (1)当已知角有两个时，“所求角” 一般表示为“两个已知 务角”的和或差的形式；'^当“已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”的和 矗的关系，然后应用诱导公式把> “所求角”变成“已知二^题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的 缩小，避免产生增解.E < （2）（2016-南京、盐城模拟）sin （TT -a ） =—专且 aE IT ,• TT | a :n k +2j = -------------衣2广©）（2015•江苏卷）已知 tan a =—2, tan （«+/?）=y,则 Uin 0sin/ 、 11 7T Y a +才丿 r / "2 1 + cos 2 a +万L解析（1）法一 以a 一 sin2 a) = g.|(1 - sin 2 a) = |.迈.——1 ---- C?12 一 2 cos a7T +4ja一 2sin a cos a)J5(2)sin( n - a) = sin a = - y 3 7T-- cos 由 cos cos a + 1得 cos 2a = -\ji~ sin 2 a =a =cos -y a v 2 ■ 2,a2 2 a a a = 2cosp~ ~ 1 >■z>sin £71 3 7T迈、~T=-f［明0曉［微题型1］三角形基本量的求解【例2-1 ］ （1）（2016-全国I 【卷）AABC 的内角4、B 、C 的对边分45ij 为 a 、b 、c, 若 cos4=p cosa= 1,贝lj b=016•四川卷）在厶ABC 中，角A, B, C 所对的边分别是a, b.(3) V tan a = - 2, -e . tan(a + /?)热点二正、余弦定理的应用2-r-a 2=~,求 tan B.… cos A , cos B5,45⑴解析 在厶ABC 中由cosA = w ，cos C = 3 12可得 sin A =弓，sin C =不，sin B = sin(A + C)63sin Acos C + cos A • sin C = 由正弦定理得/?asin B _ 21sin A 13*2113 ⑵①证明根据正弦定理，可设命=為=骯=心＞0），则a = ksin A, b=ksin B, c=ksin C.代入号厶+竿纟=空呼中,"誥+器1=詈焉，变形可得sin Asin B=sin Acos B+c6^4sinB=sin(A + B)•在△ ABC 中，由 4+B+C=TT ,in(4十B) = sin(TT —C) = sin C•所以sin Asin B = sin C.②解由已知，b 2+c 2-a 2=lbc 9根据余弦定理，有b 2+c 2—ci 2 3 . i ------ r 4 cosA= ------ 2^ ------ =yWr 以 sin A=^/l —cos\4=§.4由（1）, sin Asin B = sin Acos B + cos Asin B, “ 所以fsinB=£COS B+|sin B.Ssr 5探究提高1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边 的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦 或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显 払 则考虑两个定理都有可能用到. 故伽吐池关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一函数、统一结构”.ft[微题型21求解三角形屮的最值问题【例2-2] (2016-苏、锡、常、镇调研)已知a, b, c 分别为△43C的内角4, B, C的对边，且c/cos C+ \)3asin C—b—c=0.⑴求4;(2)若a = 2,求面积的最大值.所以羽sin Asin C —cos Asin C —sin C=().孩易罪 sin CH(),所以羽sin A —cosA = 1,=£.又由⑴得 B+C=^-=^C=^—^ OVBV 警B ^inC ,由正弦2 4 —河T 以 解(1)由acos C+\/3tzsin C —b —c =0及正弦定理得 sin Acos C+p3sin AsinC —sin B —sin C=0・ 因为 B = TT — Asin A -寻—C,"罗sinBcos a . IT TT 77T .. TT •易知一石<23—石<飞~,故当2B —石 取得最大=2吋， S^ARC 取得最大值，最大值为羽.1 1 4 4TT所以 SsBc=qbcsin A=^X 击sin BX 萨sin C • sin g 4A /3 . P .厂 4羽._ . |2TT 」 =-j 一sin B • sin C=—• sin 3 • sin[ ----------------- B =法二 由⑴知A=y,又G = 2,由余弦定理得22=b 2+c 2—2bccos 即b 2+c 2—bc=4=>/?c+4=b 2+c 2^2bc=>bc所以 S3Bc=*"csin3 =了 时，sin2B-* I 6 /其4,当且仅当b=c=2时，等号成立.探究提高求解三角形中的最值问题常用如下方法:(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角缽数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借［微题型3］求解三角形中的实际问题【例2 —3】(2016-无锡高三期末)在一个直角边长为10 m的等腰直角三角形力〃C的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P, Q, 7?三点分别在的三条边上，且要使的面积最小，现有两种设计方案：：直角顶点。

周练14+4·锁定128分强化训练(3)【强化训练】锁定128分强化训练(3)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知集合M={x|-1<x<1}，N={x|x2<2，x∈Z}，则M∩N=.2.已知复数3i1-2ia是纯虚数，则实数a=.3.已知命题p的否定是“对所有正数x，x>x+1”，则命题p可写为.4.从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和为偶数的概率是.5.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y=.(第5题)6.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为.(第6题)7.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线26x-23y=1的右焦点重合，则p的值为.8.设等比数列{a n}的公比q=12，前n项和为S n，则44Sa=.9.设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是.10. 设D 为不等式组02-0-30x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，所表示的平面区域，则区域D 上的点与点B (1，0)之间的距离的最小值为 .11. 已知正方形ABCD 的边长为2，DEu u u r =2EC uuu r ，DF uuu r=12(DC u u u r +DB u u u r)，则BE u u u r ·DF u u u r = .12. 已知函数f (x )=2|x|+cos x-π，则不等式(x-2)f (x )>0的解集是 .13. 已知圆O ：x 2+y 2=r 2(r>0)及圆上的点A (0，-r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC=BC ，则直线l 的斜率为 .14. 在△ABC 中，若sin A=13sin B sin C ，cos A=13cos B cos C ，则tan A+tan B+tan C 的值为 .题号 1234567答案题号 8 9 10 11 12 13 14 答案二、解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B=45.(1) 若c=2a，求sin A的值；(2) 若C=π4+B，求sin A的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点.(1) 求证：平面BDC1⊥平面BDC；(2) 平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.(第16题)17. (本小题满分14分)已知数列{a n}满足a n+1=21nnaa+，a1=1.(1) 求证：数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2) 求数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和Sn，并求证：11S+21S+…+1nS>1nn+.18.(本小题满分16分)某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π m3，底面半径都是r m.如果制造底面的材料费用为a元/m2，制造侧面的材料费用为b元/m2，其中ba>1，设计时材料的厚度忽略不计.(1) 试将制造每个容器的成本y(单位：元)表示成底面半径r(单位：m)的函数；(2) 若要求底面半径r满足1≤r≤3(单位：m)，则如何设计容器的尺寸，使其成本最低?【强化训练答案】锁定128分强化训练(3)一、填空题1. {0}2. 6【解析】因为3i1-2ia+=-6(23)i5a a++，所以当a=6时，复数3i1-2ia+为纯虚数.3.∃x0∈(0，+∞)x0+1【解析】因为p是非p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可.4. 13 【解析】从1，2，3，6中一次随机取2个数，有(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种，其中(1，3)，(2，6)两种情况的和为偶数，所以所求概率P=13.5. 9 【解析】由众数的定义知x=5，由乙班的平均分为81，得16×(78+70+y+81+81+80+92)=81，解得y=4，故x+y=9.6. 7 【解析】第一次循环，S=1+3，i=5；第二次循环，S=1+3+5，i=7，结束循环，输出i=7.7. 6 【解析】双曲线26x -23y =1的右焦点F (3，0)是抛物线y 2=2px 的焦点，所以2p=3，p=6.8. 15 【解析】S 4=41(1-)1-a q q ，a 4=a 1q 3，所以44S a =431-(1-)q q q =15.9. 2 【解析】对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l 可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上，正确命题的个数为2.10.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1，0)到直线2x-y=0的距离最小，=，故最小距离为.(第10题)11.-10 3【解析】如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，E223⎛⎫⎪⎝⎭，，D(2，2).由DFu u u r=12(DCu u u r+DBu u u r)知F为BC 的中点，故BEu u u r=223⎛⎫⎪⎝⎭，，DFu u u r=(-1，-2)，所以BEu u u r·DFu u u r=-2-43=-103.(第11题)12.ππ-22⎛⎫⎪⎝⎭，∪(2，+∞)【解析】由题意知函数f(x)为偶函数，且fπ-2⎛⎫⎪⎝⎭=fπ2⎛⎫⎪⎝⎭=0.当x≥0时，f(x)=2x+cos x-π，此时f'(x)=2-sin x>0恒成立，于是f(x)在[0，+∞)上单调递增.根据f(x)为偶函数可知，f(x)在(-∞，0]上单调递减.由(x-2)f(x)>0，得-20()0xf x>⎧⎨>⎩，或-20()0xf x<⎧⎨<⎩，，即x>2或-π2<x<π2.13.【解析】易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx-r，联立直线与圆的方程，解得B2222(-1)11kr k rk k⎛⎫⎪++⎝⎭，.又点C的坐标为rk⎛⎫⎪⎝⎭，，由OC=BC，得2rk⎛⎫⎪⎝⎭=221krk⎛+⎝-2rk⎫⎪⎭+222(-1)1k rk⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，解得.14. 196【解析】依题意得cos A-sin A=13cos B cos C-13sin B sin C，即cos A-sin A=13cos(B+C)，即cos A-sin A=-13cos A，所以tan A=14.又易得tan A=tan B tan C，而tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C，所以tan A+tan B+tan C=tan2A=196.二、解答题15.(1) 由余弦定理知b2=a2+c2-2ac cos B=95a2，即b= a.由正弦定理得sinB=sin A，因为cos B=45，B∈(0，π)，所以sin B=35，所以sinA=.(2) 因为cos B=45，B∈(0，π)，所以sin B=35，而sinA=sin(B+C)=sinπ24B⎛⎫+⎪⎝⎭=(sin 2B+cos 2B).又sin 2B=2sin B cos B=2425，cos2B=1-2sin2B=725，所以sinA=.16. (1) 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1.因为DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，所以∠CDC 1=90°，即DC 1⊥DC.又DC ∩BC=C ， 所以DC 1⊥平面BDC. 又DC 1⊂平面BDC 1， 所以平面BDC 1⊥平面BDC.(2) 设棱锥B -DACC 1的体积为V 1，AC=1.由题意得V 1=13×122+×1×1=12.又三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积 V=1， 所以(V-V 1)∶V 1=1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.17. (1) 因为a n+1=21n n a a +，所以11n a +=21n n a a +，化简得11n a +=2+1n a ，即11n a +-1n a =2，故数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列.(2) 由(1)知1n a =2n-1，所以S n =(12-1)2n n +=n 2.11S +21S +…+1n S =211+212+…+21n>112⨯+123⨯+…+1(1)n n +=11-2⎛⎫ ⎪⎝⎭+11-23⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+1n ⎛⎝-11n ⎫⎪+⎭=1-11n +=1n n +.18. (1) 设每个容器的高为h m ，则圆柱的体积为V=πr 2h=π，即r 2h=1.所以制造成本为y=2πrhb+πr 2a=22b r a r ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π(r>0). (2) 由(1)知y'=2π2-b ar r ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令y'=0，得当r 变化时，y ，y'的变化情况如下表：(i)当，即ba ≥27时，函数y 在[1，3]上单调递减，所以当r=3时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3 m .(ii) 当13，即1<b a <27时，函数y 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增，所以当y m .综上，当b a ≥27时，应将底面半径设计成3 m ；当1<ba <27时，应将底面半径设计m .。

星期六 (解答题综合练) 2017年____月____日1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋c ＝2b .(1)求证：B ≤π2；(2)当AB→·BC →＝－2，b ＝23时，求△ABC 的面积. (1)证明 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－12（a ＋c ）22ac ＝12（a －c ）22ac≥0，且0＜B ＜π. ∴B ≤π2(当且仅当a ＝c 时取得等号).(2)解 ∵AB→·BC →＝－2，∴ac cos B ＝2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12，∴a 2＋c 2＝16，又a ＋c ＝2b ＝26，∴ac ＝4，∴cos B ＝12，由(1)知0＜B ≤π2，∴sin B ＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝ 3.2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点.(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)求证：CF ∥平面BAE .证明 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 又AC ⊥CD ，且AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面P AC ⊥平面PCD .(2)取AE 中点G ，连接FG ，BG .因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝12AD .在△ACD 中，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD .在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB ＝60°，从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC .综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF ∥BG . 又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE .3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 到两个焦点的距离的和为23，P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－23.设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)若OA →·OB →＝4tan ∠AOB(O 为坐标原点)，求|y 1－y 2|的值； (2)当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在点Q ，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义知a ＝3，设P (x ，y )， 则有y x ＋3·y x －3＝－23，则y 2x 2－3＝－23， 又点P 在椭圆上，则（3－x 2）b 23（x 2－3）＝－b 23＝－23， ∴b 2＝2，∴椭圆C 的方程是x 23＋y 22＝1. ∵OA →·OB →＝4tan ∠AOB， ∴|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝4tan ∠AOB ， ∴|OA→|·|OB →|sin ∠AOB ＝4， ∴S △AOB ＝12|OA →|·|OB→|sin ∠AOB ＝2，又c ＝a 2－b 2＝1，又S △AOB ＝12|y 1－y 2|×1，故|y 1－y 2|＝4.(2)假设存在一点Q (m ，0)，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角， 依题意可知直线l 斜率存在且不为零，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 23＋y 22＝1消去y 得 (3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1·x 2＝3k 2－63k 2＋2. ∵直线QA ，QB 的倾斜角互为补角，∴k QA ＋k QB ＝0，即y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0， 又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入上式可得2x 1x 2＋2m －(m ＋1)(x 1＋x 2)＝0，∴2×3k 2－63k 2＋2＋2m －(m ＋1)×6k 23k 2＋2＝0，即2m －6＝0， ∴m ＝3，∴存在Q (3，0)使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角.4.如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x ＞1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围.解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知知观察者离墙x 米，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x ，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255， 当且仅当x ＝52＞1时，等号成立. 又因为tan θ在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， 所以当观察者离墙52米时，视角θ最大.(2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan ()∠ACD －∠BCD ＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎨⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4， 又因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4].5.设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1.(1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值.(1)解 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，∴b 1＝－1.(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①，∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②，②－①得b n ＋3＝b n ，∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n )＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数， ∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列.(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1 当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 3…b n (*)，当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *).∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ，∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1，T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2，T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝34T 3，……T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3＝34(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )，∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n }(n ∈N *)是等比数列，首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝34，记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ，①当n ＝3k (k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k 1－34＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴34≤S n ＜3；②当n ＝3k －1(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k ＝3－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ∴0≤S n ＜3；③当n ＝3k －2(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ＝3－143·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴－12≤S n ＜3.综上得－12≤S n ＜3，故p ≤－12且q ≥3，∴q －p 的最小值为72.6.已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数).(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0，1)上的单调性，并写出相应的单调区间.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1x ，所以f (1)＝2，且f ′(1)＝2.所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)，即：y ＝2x .(2)由题意得f ′(x )＝2x －(1＋2a )＋a x＝2x 2－（1＋2a ）x ＋a x＝（2x －1）（x －a ）x(x ＞0)， 由f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝a ，①当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或12＜x ＜1由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜12，所以函数f (x )的单调增区间是(0，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12， ②当a ＝12时，f ′(x )＝（2x －1）22x ≥0，且仅当x ＝12时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )在区间(0，1)上是单调增函数.③当12＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12或a ＜x ＜1，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜a ，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(a ，1)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ， ④当a ≥1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜1，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。

星期四 (数列问题) 2017年____月____日在正项数列{a n }(n ∈N *)中，S n 为{a n }的前n 项和，若点(a n ，S n )在函数y ＝c 2－x c －1的图象上，其中c 为正常数，且c ≠1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数M ，使得当n ＞M 时，a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1＞a 101恒成立？若存在，求出使结论成立的c 的取值范围和相应的M 的最小值；(3)若存在一个等差数列{b n }，对任意n ∈N *，都有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＋b n a 1＝3n －53n －1成立，求{b n }的通项公式及c 的值.解 (1)S n ＝c 2－a n c －1，n ≥2时， S n －S n －1＝c 2－a n c －1－c 2－a n －1c －1. a n ＝a n －1－a n c －1，(c －1)a n ＝a n －1－a n ，ca n ＝a n －1，a n a n －1＝1c， ∴{a n }是等比数列.将(a 1，S 1)代入y ＝c 2－x c －1中，得a 1＝c ， 故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －2. (2)由a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1＞a 101得c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2n －3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 99， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n （n －2）＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 99. 若1c ＞1，即0＜c ＜1时，n (n －2)＞99，得n ＞11或n ＜－9(舍去). 若1c ＜1，即c ＞1时，n (n －2)＜99，得－9＜n ＜11.不符合n ＞M 时，a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1＞a 101恒成立， 故舍去，∴c 的取值范围是(0，1)，相应的M 的最小值为11.(3)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －2.由{b n }为等差数列，设b n ＝b 1＋(n －1)d . b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＋b n a 1＝3n －53n －1(n ∈N *).① 当n ＝1时，b 1c ＝3－53－1＝13.②当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －2a 2＋b n －1a 1＝3n －1－53(n －1)－1.③注意到b 2－b 1＝b 3－b 2＝…＝b n －b n －1＝d ，① －③得b 1a n ＋d (a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)＝3n －3n －1－53，② 将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －2代入上式， 得b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －2＋c 2d c －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －1＝2×3n －1－53， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1c －c 2d c －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －1＋c 2d c －1＝2×3n －1－53.④ ∵④式对一切n (n ≥2)恒成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧1c ＝3，b 1c －c 2d c －1＝2，⑤c 2d c －1＝－53.解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝13，b 1＝1，d ＝10，故b n ＝10n －9，c ＝13.。

2017年江苏高考理科数学试题答案解析1. 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++==3.18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．5.75 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32．7.59 【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--. 8.【答案】【解析】右准线方程为x ==，渐近线为y =，则P，Q，1(F，2F，则S ==.9.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=.10.【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立.11.1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()e x xf x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e322e e 0xxx x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.14.115.【解析】（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC.（2）∵BC ⊥BD ，平面ABD I 平面BCD=BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面ABC ，BC AB B =I ，∴AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =.（2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()13x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为23-.17.【解析】（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c =②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，则000,0x y >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得02001x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴2220020(1)33y x y -=，∴2200169,77x y ==，故点P 的坐标是4737(,)77. 18.【解析】（1）记玻璃棒与1CC 交点为H ，则2230CH AH AC =-=，3sin 4HAC ∠=，没入水中的部分为1216sin HAC =∠(cm).19.【解析】当{an}为等差数列时，∵1112n k n k n n n k n a a a a a ka --+-++++++++=L L ， ∴111(21)n k n k n n n n k n a a a a a a k a --+-+++++++++=+L L ， ∴(21)(21)2n k n kna a k k a -+++=+，∴2n k n k n a a a -++=.（2）21124n n n n n a a a a a --+++++=（2n >，n ∈Z ），3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=（2n >，n ∈Z ），∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{an}是等差数列.20. 【解析】（1）因为2()32f x x ax b '=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3ax =-，所以()03af -=，所以3239a b a =+， 因为24120a b ∆=->，所以3a >.（2）26345-39813b a a a =-+，23459(27)813y t t t a =-+=>因为135278t =<，所以min (27)0y y >=，所以b ²>3a.21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。

星期一 （三角与立体几何问题) 2017年____月____日1。

在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝（sin B －sin C ，sin C －sin A ），b ＝（sin B ＋sin C ，sin A ）,且a⊥b.(1）求角B 的大小；(2)若b ＝c ·cos A ，△ABC 的外接圆的半径为1，求△ABC 的面积。

解 （1）因为a⊥b ，所以sin 2B －sin 2C ＋sin A （sin C －sin A )＝0,即sin A sin C ＝sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ，由正弦定理得ac ＝a 2＋c 2－b 2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝错误!， 因为B ∈(0，π)，所以B ＝错误!.（2)因为c ·cos A ＝b ，所以错误!＝cos A ＝错误!，即b 2＝c 2－a 2，又ac ＝a 2＋c 2－b 2,b ＝2R sin B ＝错误!，解得a ＝1，c ＝2.所以S △ABC ＝错误!ac sin B ＝错误!.2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F分别是CD和PC的中点。

求证:（1)PA⊥底面ABCD；（2)BE∥平面PAD;（3)平面BEF⊥平面PCD.证明（1）因为平面PAD∩平面ABCD＝AD。

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD。

(2）因为AB∥CD，CD＝2AB,E为CD的中点，所以AB∥DE,且AB＝DE。

所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD。

（3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形。

所以BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A,所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，从而CD⊥PD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.由EF,BE在平面BEF内,且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF。

周练14+4·锁定128分强化训练(2)【强化训练】锁定128分强化训练(2)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知集合A={-1，1，2，4}，B={-1，0，2}，那么A∪B=.2.已知i为虚数单位，那么复数3i1i++=.3.若同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是.4.若函数f(x)=sinπ-3xω⎛⎫⎪⎝⎭(ω>0)的最小正周期为π2，则fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=.5.某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要采用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽出人.(第5题)6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的S=.(第6题)7. 已知曲线y=ln x 的切线过原点，那么此切线的斜率为 .8. 在△ABC 中，BD u u u r=2DC u u u r ，若AD u u u r =m AB u u u r+nAC u u u r ，则mn 的值为 .9. 设x ，y 满足约束条件--1x y a x y +≥⎧⎨≤⎩，，且z=x+ay 的最小值为7，则实数a= .10.已知数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且b n=1nnaa+，若b 10·b11=2，则a21=.11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x-a)2+(y+2a-1)2=2(-1≤a≤1)，直线l：y=x+b(b∈R).若动圆C总在直线l的下方且它们至多有1个交点，则实数b的最小值是.12.若log4(3a+4b)=log2ab，则a+b的最小值是.13.设函数f(x)=22-0.x x xx x⎧+<⎨≥⎩，，，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是.14.已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设AM=e·AB，则该椭圆的离心率e=.题号1 2 3 4 5 6 7答案题号8 9 10 11 12 13 14答案二、解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m=(5a-4c，4b)与n=(cos B，-cos C)互相垂直.(1) 求cos B的值；10，求△ABC的面积S.(2) 若c=5，b=16. (本小题满分14分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AD=AA1=1，AB=2，点E是AB的中点.(1) 求三棱锥C-DD1E的体积；(2) 求证：D1E⊥A1D.(第16题)17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=x3+ax+b的图象关于坐标原点对称，且与x轴相切.(1) 求实数a，b的值.(2) 是否存在正实数m，n，使函数g(x)=3-|f(x)|在区间[m，n]上的值域仍为[m，n]?若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：9x 2+y 2=m 2(m>0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，记线段AB 的中点为M.(1) 求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(2) 若直线l 过点3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，延长OM 与椭圆C 交于点P.问：四边形OAPB 能否为平行四边形?若能，求出直线l 的斜率；若不能，请说明理由.【强化训练答案】锁定128分强化训练(2)一、 填空题 1. {-1，0，1，2，4}2. 2-i 【解析】3i 1i ++=(3i)(1-i)(1i)(1-i)++=4-2i2=2-i .3. 19 【解析】同时抛掷两枚骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”是事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)，共4个，故P (A )=436=19.4. 0 【解析】由f (x )=sin π3x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭(ω>0)的最小正周期为π2，得2πω=π2，所以ω=4，所以f π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin ππ4-33⎛⎫⨯⎪⎝⎭=0.5. 15 【解析】月工资收入落在(30，35](单位：百元)内的频率为1-(0.02+0.04+0.05+0.05+0.01)×5=1-0.85=0.15，则0.15÷5=0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01=2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽出320×100=15(人).6. 21 【解析】初始值i=1，第一次循环：i=3，S=9；第二次循环：i=5，S=13；第三次循环：i=7，S=17；第四次循环：i=9，S=21，此时不满足条件“i<8”，停止循环，输出S 的值为21.7. 1e 【解析】y=ln x 的定义域为(0，+∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k=f'(x 0)=01x ，所以切线方程为y-y 0=01x (x-x 0).又切线过点(0，0)，代入切线方程得y 0=1，则x 0=e ，所以k=f'(x 0)=01x =1e .8. 12 【解析】因为AD u u u r =AC u u u r +CD u u u r =AC u u u r +13CB u u u r ，而CB u u u r =AB u u u r -AC u u ur ，所以AD u u u r=13AB u u u r +23AC u u u r ，所以m=13，n=23，则m n =12.9. 3 【解析】联立方程--1x y a x y +=⎧⎨=⎩，，解得-1212a x a y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，，代入x+ay=7中，解得a=3或-5.当a=-5时，z=x+ay 的最大值是7；当a=3时，z=x+ay 的最小值是7.10. 1 024 【解析】因为b 1=21a a =a 2，b 2=32a a ，所以a 3=b 2a 2=b 1b 2.因为b 3=43a a ，所以a 4=b 1b 2b 3，…，a n =b 1b 2b 3·…·b n-1，所以a 21=b 1b 2b 3·…·b 20=(b 10b 11)10=210=1 024.11. 6 【解析】依题意，圆心C (a ，1-2a )(-1≤a ≤1)的轨迹为线段y=1-2x (-1≤x ≤1)，当且仅当a=-1，且2=2时，实数b 的值最小，此时b=2或b=6，当b=2时不满足题意，舍去，故b=6. 12. 7+43 【解析】因为log 4(3a+4b )=log 2ab ，所以log 4(3a+4b )=log 4(ab )，即3a+4b=ab ，且3400a b ab +>⎧⎨>⎩，，即a>0，b>0，所以4a +3b =1(a>0，b>0)，a+b=(a+b )43a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=7+4b a +3a b ≥7+243·b a a b =7+43，当且仅当4b a =3a b 时取等号. 13. (-∞，2] 【解析】作出f (x )的图象如图所示，由图象知当满足f (f (a ))≤2时，f (a )≥-2，而满足f (a )≥-2时，a ≤2.(第13题)14.【解析】由题意知A ，B 两点的坐标分别为-0a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(0，a )，设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由AM=e ·AB ，得00(-1).a x e e y ea ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(*)因为点M 在椭圆上，所以202x a +202y b =1，将(*)式代入，得22(-1)e e +222e a b =1，整理得e 2+e-1=0，解得e=.二、 解答题 15. (1) 因为m ⊥n ，所以(5a-4c )cos B-4b cos C=0， 所以(5sin A-4sin C )cos B=4sin B cos C ，所以5sin A cos B=4(sin B cos C+cos B sin C )=4sin(B+C )=4sin A.因为sin A ≠0，所以cos B=45.(2) 由余弦定理得10=25+a 2-2×5×a×45，化简得a 2-8a+15=0，解得a=3或a=5. 又c=5，sin B=35，S=12ca sin B ， 故S=12×5×3×35=92或S=12×5×5×35=152.16. (1) 由长方体性质可得DD 1⊥平面DEC ， 所以DD 1是三棱锥D 1-DCE 的高.又点E 是AB 的中点，AD=AA 1=1，AB=2，所以DE=CE=，又DE 2+EC 2=CD 2，所以∠DEC=90°.所以1CDD E V 三棱锥=1D DECV 三棱锥=13DD 1×12DE×CE=13.(2) 连接AD 1，因为四边形A 1ADD 1是正方形， 所以AD 1⊥A 1D.又AE ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1， 所以AE ⊥A 1D.又AD 1∩AE=A ，AD 1⊂平面AD 1E ，AE ⊂平面AD 1E ， 所以A 1D ⊥平面AD 1E.因为D 1E ⊂平面AD 1E ，所以D 1E ⊥A 1D.17. (1) 因为函数f (x )=x 3+ax+b 的图象关于坐标原点对称，所以f (-x )=-f (x )， 即-x 3-ax+b=-(x 3+ax+b )，于是b=0.设函数f (x )=x 3+ax 的图象与x 轴切于点T (t ，0)，则f (t )=0，且f'(t )=0， 即t 3+at=0，且3t 2+a=0，解得t=a=0.(2) 由(1)知f (x )=x 3，所以g (x )=3-|f (x )|=33303-0.x x x x ⎧+<⎨≥⎩，，，假设存在m ，n 满足题意，因为n>m>0，且g (x )=3-x 3在区间[m ，n ]上单调递减，所以333-3-m n n m ⎧=⎨=⎩，，两式相减得m 2+mn+n 2=1，可得0≤m<n ≤1，这与n=3-m 3∈[2，3]矛盾， 所以不存在正实数m ，n 满足题意.18. (1) 设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).则222112222299x y m x y m ⎧+=⎨+=⎩，，两式相减得9(x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0，整理得12121212(-)()(-)()y y y y x x x x ++=-9， 即k OM ·k=-9，得证.(2) 四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，l 不过原点且与椭圆C 有两个交点，则k>0，k ≠3， 由(1)得直线OM 的方程为y=-9k x ，设点P 的横坐标为x P ，由2229-9y x k x y m ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，，得x P将点3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的坐标代入l 的方程y=kx+b ，得b=(3-)3k m ，因此x M =2(-3)3(9)k k m k +. 当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分时四边形OAPB 为平行四边形，即x P =2x M ，2×2(-3)3(9)k k mk +， 解得k 1=4，k 2=4+，所以当l 的斜率为4或4时，四边形OAPB 为平行四边形.。

星期日 (40分附加题部分)2017年____月____日选做部分请同学从下面所给的四题中选定两题作答1.选修4－1：几何证明选讲如图，圆O 的直径AB ＝10，C 为圆上一点，BC ＝6，过点C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长.解 因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以∠ACB ＝90°，AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.因为直线l 为圆O 的切线，所以∠DCA ＝∠CBA .又AD ⊥l ，所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ，所以AB AC ＝AC AD ＝BC DC.又因为AB ＝10，BC ＝6，AC ＝8， 所以AD ＝AC 2AB ＝325，DC ＝AC ·BC AB ＝245. 由DC 2＝DE ·DA 得DE ＝DC 2DA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2452325＝185. 2.选修4－2：矩阵与变换设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1. 解 设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12. 3.选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程.解 设直线l 的方程为θ＝θ0(ρ∈R )，A (0，0)，B (ρ1，θ0)，则AB ＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.又AB ＝3，故sin θ0＝±32. 解得θ0＝π3＋2k π或θ0＝－π3＋2k π，k ∈Z . 所以直线l 的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R ). 4.选修4－5：不等式选讲已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4).证明 ∵a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)＝a 5(a －b )－(a －b )b 5＝(a －b )(a 5－b 5)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4).又a ≥0，b ≥0，所以a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0，即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4).必做部分1.某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47. (1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望. 解 (1)先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法， 所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12种不同的阵容.(2)ξ的取值可能是0，2，3，4，5，7. P (ξ＝0)＝64343，P (ξ＝2)＝96343，P (ξ＝3)＝48343， P (ξ＝4)＝36343，P (ξ＝5)＝72343，P (ξ＝7)＝27343. ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3. 2.已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)过点(2，1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A ′，连接A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.解 (1)将点(2，1)代入抛物线C 的方程得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16＞0，x 1·x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14， 于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)， 所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1， 当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0，1).。

周练14+4·锁定128分强化训练(1)【强化训练】锁定128分强化训练(1)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，B={1，3，4}，则A∩(∁UB)=.2.某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280.现采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是.3.若a+b i=512i(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab=.4.若在区间[20，80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50，75]内的概率为.5.函数f(x)=lg(-x2+x+2)的定义域为.6.已知x，y满足约束条件2-301-0x yxx y+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，，，则z=3x-2y的最小值是.7.执行如图所示的流程图，如果输入的N的值为6，那么输出的p的值是.(第7题)8.若函数f(x)=A sinπ-6xω⎛⎫⎪⎝⎭(A>0，ω>0)的图象如图所示，则函数f(x)在(0，π)内的零点为.(第8题)9.若函数f(x)=ln x-f'(-1)x2+3x-4，则f'(1)=.10. 如果将直线l ：x+2y+c=0向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得直线l'与圆C ：x 2+y 2+2x-4y=0相切，则实数c 的值构成的集合为 .11. 设函数f (x )=1000-10x x x >⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g (x )=x 2f (x-1)，则函数g (x )的单调减区间是 .12. 已知正数x ，y 满足2xy=2-23x yx y +，那么y 的最大值为 .13. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，且BE=λBC ，DF=μDC.若AE u u u r ·AF u u ur =1，CE u u u r ·CF u u ur =-23，则λ+μ= .14. 已知两个等比数列{a n }，{b n }满足a 1=a (a>0)，b 1-a 1=1，b 2-a 2=2，b 3-a 3=3，若数列{a n }唯一，则实数a 的值为 .题号 1234567答案题号 8 9 10 11 12 13 14 答案二、 解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a=3，cos A=6，B=A+π2. (1) 求b 的值； (2) 求△ABC 的面积.16. (本小题满分14分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点. (1) 求证：MN ⊥CD ；(2) 若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD.(第16题)17. (本小题满分14分)请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用).它的上部是底面圆半径为5 m 的圆锥，下部是底面圆半径为5 m 的圆柱，且该仓库的总高度为5 m .经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m 2，1百元/m 2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问：当θ为多少时，该仓库的侧面总造价(单位：百元)最少?并求出此时圆锥的高度.(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为e=2，椭圆上的点P与两个焦点F1，F2构成的三角形的最大面积为1.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点Q为直线x+y-2=0上的任意一点，过点Q作椭圆C的两条切线QD，QE，切点分别为D，E，试证明动直线DE恒过一定点，并求出该定点的坐标.【强化训练答案】第二部分抢分周计划(一) 周练14+4·锁定128分强化训练锁定128分强化训练(1)一、填空题1. {2，5}2. 14【解析】考查分层抽样.高三年级的人数是280400320280++×50=14.3.-2【解析】a+b i=512i+=1-2i，所以a=1，b=-2，ab=-2.4.512【解析】选择区间长度度量，则所求概率为75-5080-20=512.5. (-1，2)【解析】由题知-x2+x+2>0，解得-1<x<2.6.-7【解析】画出可行域，找截距的最小值，数形结合求解.7. 105【解析】由流程图可得p=1×3×5×7=105.8.x=π6【解析】由题图可知A=1，2T=2π3+π3=π，所以T=2π，所以ω=1，所以f(x)=sinπ-6x⎛⎫⎪⎝⎭.令f(x)=0，得x=π6+kπ，又x∈(0，π)，所以x=π6.9. 8【解析】因为f'(x)=1x-2f'(-1)x+3，所以f'(-1)=-1+2f'(-1)+3，解得f'(-1)=-2，所以f'(1)=1+4+3=8.10. {-3，-13}【解析】易得直线l'：(x+1)+2(y+2)+c=0，即x+2y+c+5=0，圆C：(x+1)2+(y-2)2=5的圆心(-1，2)到直线l'：x+2y+c+5=0的距离，解得c=-3或c=-13.11.[0，1)【解析】由题意知g(x)=22101-1x xxx x⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，作出函数图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第11题)12.13【解析】由2xy=2-23x yx y+，得2x+3y=2-2x yxy=1y-12x，所以1y-3y=2x+12x≥2122xx⋅=2，从而3y2+2y-1≤0，解得0<y≤13.13.56【解析】如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，-1)，B(-3，0)，C(0，1)，D(3，0)，由题意得CEu u u r=(1-λ)CBu u u r=(3λ-3，λ-1)，CFu u u r=(1-μ)CDu u u r=(3-3μ，μ-1).因为CEu u u r·CFu u u r=-23，所以3(λ-1)·(1-μ)+(λ-1)·(μ-1)=-23，即(λ-1)(μ-1)=13.因为AEu u u r=ACu u u r+CEu u u r=(3λ-3，λ+1)，AFu u u r=ACu u u r+CFu u u r=(3-3μ，μ+1)，又AEu u u r·AFu u u r=1，所以(λ+1)(μ+1)=2.由1(-1)(-1)3(1)(1)2λμλμ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，，整理得λ+μ=56.(第13题)14.13【解析】设数列{a n}的公比为q(q≠0)，由b1=a+1，b2=aq+2，b3=aq2+3成等比数列，得(aq+2)2=(a+1)(aq2+3)，即aq2-4aq+3a-1=0.因为a>0，所以Δ=4a2+4a>0，故方程aq2-4aq+3a-1=0有两个不同的实数解，其中一解必为q=0，从而a=13，此时，另一解为q=4.故实数a的值为13.二、解答题15. (1) 在△ABC中，cosA=，由题意知sin=.因为B=A+π2，所以sin B=sinπ2A⎛⎫+⎪⎝⎭=cosA=.由正弦定理可得b=sinsina BA=33⨯=.(2) 由B=A+π2，得cos B=cosπ2A⎛⎫+⎪⎝⎭=-sinA=-.由A+B+C=π，得C=π-(A+B)，所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=×⎛⎝⎭+×=13，因此△ABC的面积S=12ab sin C=12×3×32×13=322.16. (1) 如图，取PD的中点E，连接AE，NE.(第16题) 因为N是PC的中点，E为PD的中点，所以NE∥CD，且NE=12CD.而AM∥CD，且AM=12AB=12CD，所以NE AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.又AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD. 因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.因为AE∥MN，所以MN⊥CD.(2) 因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD.又∠PDA=45°，所以△PAD为等腰直角三角形.因为E为PD的中点，所以AE⊥PD.由(1)知CD⊥AE，PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD.又AE∥MN，所以MN⊥平面PCD.17. 设该仓库的侧面总造价为y (单位：百元)，则由题意可得y=[2π×5×5(1-tan θ)]×1+12⎛⎝×2π×5×5cos θ⎫⎪⎭×4=50π2-sin 1cos θθ⎛⎫+⎪⎝⎭，由y'=50π·22sin -1cos θθ=0，得sin θ=12，θ∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以θ=π6，当θ变化时，y ，y'的变化情况如下表：所以当θ=π6时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为 m .18. (1) 当点P 为短轴的端点时，△PF 1F 2的面积最大，于是有22221212c a a b c c b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎪⎩，，解得a 2=2，b 2=c 2=1，所以椭圆C 的方程为22x +y 2=1.(2) 设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，当直线QD 的斜率存在时，设切线QD 的方程为y-y 1=k (x-x 1)，由1122-(-)22y y k x x x y =⎧⎨+=⎩，，得(1+2k 2)x 2-4k (kx 1-y 1)x+2k 221x +221y -4kx 1y 1-2=0，从而Δ=16k 2(kx 1-y 1)2-4(1+2k 2)(2k221x +221y -4kx 1y 1-2)=0，解得k=-112x y，因此QD的方程为y-y1=-112xy(x-x1)，整理得2y1y+x1x=21x+221y.又点D(x1，y1)在22x+y2=1上，所以21x+221y=2，所以QD的方程为x1x+2y1y-2=0.同理，当直线QE的斜率存在时，QE的方程为x2x+2y2y-2=0. 又Q(x0，y0)在直线QD，QE上，所以x1x0+2y1y0-2=0，x2x0+2y2y0-2=0，所以直线DE的方程为x0x+2y0y-2=0.①又点Q(x0，y0)在直线x+y-2=0上，所以y0=2-x0，代入①得x0x+2(2-x0)y-2=0，即(x-2y)x0+2(2y-1)=0.令-202-10x yy=⎧⎨=⎩，，得112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，，即直线DE恒过一定点，且该定点的坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，.易知当直线QD或QE的斜率不存在时，同时满足切线方程，所以直线DE恒过一定点，且该定点坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，.11。