新版北师大数学九下教案： 二次函数1

课题：2.1 二次函数教学目标：1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.3. 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作交流体验学习的乐趣.教学重、难点：重点：理解二次函数的概念．难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、复习回顾，创景导入1、温故知新（多媒体出示复习回顾问题）①回顾我们学过的知识，想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系？②到目前为止我们学过了哪些函数？它们的关系式分别是怎样的？处理方式：先由学生独立思考，然后找学生口答上述问题，师生共同补充.2、情境引入问题①现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题②很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”．【教师板书课题：2.1 二次函数】设计意图：复习旧知识，为学习新知识奠定基础，设问质疑引出新知识，使学生产生强烈的求知欲望，充分调动了学生的学习积极性和主动性．二、合作探究，获取新知活动内容1：（多媒体出示）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.问题1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？问题2：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？问题3：如果果园橙子树的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.处理方式:分步按顺序依次完成上述三个问题：找学生口答，然后师生共同补充；处理完这三个问题后，教师可继续提问：在上述问题中，增种多少棵橙子树，可以使果园的总产量最多？并引导学生合作探究.教师要鼓励学生大胆猜想，用自己的方法去解决问题，对学生的做法给予指导和肯定.再出基础上出示下表让学生填写，进而验证自己的猜想.设计意图：让学生数学活动过程中初步感受到这种“新”的函数在表现形式和函数值的增减性上与以前所学函数的差异，以及在解决最大值问题中的作用．活动内容2：（多媒体出示）设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）.处理方式：先让学生自主独立探求，尝试写出y与x之间的函数表达式．在独立自主探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导：⑴银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；⑵利息＝本金×利率×期数（时间）．设计意图：让学生通过解决实际生活中的数学问题，进一步了解掌握用函数表达式反应变量的变化过程．三、归纳总结，生成新知活动内容1：二次函数定义一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成2y ax bx c =++(其中a ,b , c 是常数，0a ≠)的形式，则称y 是x 的二次函数(quadratic funcion) ．其中x 是自变量，a 为二次项系数，2ax 叫做二次项，b 为一次项系数，bx 叫做一次项，c 为常数项．活动内容2：概念理解1、函数2y ax bx c =++ (其中a ，b ，c 是常数)当a ，b ，c 满足什么条件时 (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？2、下列函数中，哪些是二次函数？ 2(1)y x =； 21(2)y x= ； 2(3)21y x x =-- ； (4)(1)y x x ＝－ ； 2(5)(1)(1)(1)y x x x ＝－－＋－ 2(6)y ax bx c =++3、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：2(1)1y x ＝＋ ； 2(2)3712y x x ＝＋－； (3)2(1)y x x ＝－4.用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？处理方式：先让学生自主独立思考，尝试解答，然后找学生口答；师生共同纠错．设计意图：进一步加深对二次函数概念的理解与认识，学会运用概念解决一些简单的数学问题．同时对二次函数的特征及注意事项进行强调：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自 变量x 的整式；（2）a ，b ，c 为常数，且0a ≠；（3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；（4）自变量x 的取值范围是任意实数．活动内容3：应用提升例 已知函数22(2)21m y m x x -=++-是二次函数，求m 的值．处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后找学生板演，学生评析，老师纠正并对二次项系数20m +≠重点做强调.四、回顾反思，提炼升华活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈提高（多媒体出示）活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．1．函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 2．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．22(3)S x π=+B ．9S x π=+C ．22(3)S x π=+ D ．24129S x x π=++ 3．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．4．下列函数中，二次函数是（ ）A ．261y x =+B ．61y x =+C ．61y x =+D ．261y x=+ 5．若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 ．6．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课堂延伸（多媒体出示）基础作业：课本 P30 习题2.1 第1题，第3题，第4题．拓展作业：助学P210 自主评价第1——6题．板书设计：百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的教学难点。

本节内容主要介绍二次函数的定义、性质以及图象。

通过学习，使学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。

但在二次函数的图象和性质方面，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握二次函数的知识。

三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征。

2.能够运用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。

2.二次函数图象的特征。

3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引发学生对二次函数的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.数形结合法：通过二次函数图象的展示，使学生直观地理解二次函数的性质。

3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质和图象的课件，以便进行直观展示。

2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，以便进行课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如抛物线跳跃游戏，引发学生对二次函数的兴趣。

引导学生思考：抛物线的形状是由什么因素决定的？2.呈现（15分钟）利用课件展示二次函数的定义和性质，让学生直观地了解二次函数的基本概念和图象特征。

同时，通过举例说明二次函数在实际生活中的应用。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个二次函数，分析其图象特征，并总结出二次函数的性质。

然后，进行小组间的分享和交流。

4.巩固（10分钟）针对刚才的学习内容，进行一些相关的练习题，检查学生对二次函数知识的掌握程度。

北师大版数学九年级下册《1 二次函数》说课稿2一. 教材分析北师大版数学九年级下册《1 二次函数》这一章节是在学生已经掌握了函数基本概念和一次函数的基础上，引入了二次函数的知识。

二次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。

本章通过讲解二次函数的定义、性质、图像以及二次方程的解法等方面，使学生能够理解和掌握二次函数的基本概念和运算法则，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，对于一次函数的知识也有一定的掌握。

但是，二次函数相对于一次函数来说，概念更加抽象，运算更加复杂，对学生来说是一个较大的挑战。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答疑惑。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握二次函数的定义、性质、图像以及二次方程的解法，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义、性质、图像以及二次方程的解法。

2.教学难点：二次函数的图像理解以及二次方程的解法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法，引导学生主动探索、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，辅助学生理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一次函数的知识，引出二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：学生自主探究二次函数的定义和性质，理解二次函数的概念。

3.教师讲解：教师讲解二次函数的图像特点，以及二次方程的解法。

4.合作交流：学生分组讨论，分享学习心得，解答彼此疑惑。

5.巩固练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固所学知识。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，加深对二次函数的理解。

第1节二次函数1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.【重点】1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【难点】列二次函数关系式表示简单变量之间的关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.导入一:课件出示:观察下面的函数关系式:(1)y=2x+5;(2)y=x2+5.这两个函数关系式有什么相同点和不同点?【师生活动】复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.【学生活动】学生独立思考后小组交流,观察新函数的特征,尝试给新函数下定义.[设计意图]通过与一次函数的对比,让学生初步感知二次函数的特征,让学生类比一次函数的概念构建出二次函数的概念.导入二:课件出示:赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.问题请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?[设计意图]通过视频,让学生再次了解赵州桥,在对学生进行爱国主义教育的同时,引出本节课的课题,激发了学生的好奇心和探求新知的欲望.结合课本给出的引例、做一做和想一想中的问题,设出未知数,列出关于x的函数关系式.课件出示:【引例】某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.师要求同学们认真分析题目,回答以下问题:(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.【学生活动】独立思考,代表回答:(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.【师生活动】观察关系式y=-5x2+100x+60000中的y是不是x的函数,并对比所学的函数,感受它们的相同点和不同点:根据函数的定义,y是x的函数,自变量x的最高次数是2,所以通过类比,猜想此函数为二次函数.[设计意图]利用学生熟悉的身边情境,小梯度地设计问题,逐步引导学生分析题目,列出关系式,提高学生分析问题的能力,同时培养学生的建模能力.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y (元)的表达式.【师生活动】师生共同回忆与存款有关的知识:1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.2.利息=本金×利率×期数(时间).3.本息和=本金+利息.【学生活动】根据上面的提示,独立完成后,小组交流,得出关系式,代表展示.解:y =100(x +1)2=100x 2+200x +100.观察y =100x 2+200x +100与y =-5x 2+100x +60000的相同点.【学生活动】通过观察,寻找它们的相同点,并与同伴相互交流,统一答案.【教师点评】自变量的最高次数都是2.[设计意图]通过对生活中熟悉情境的分析,让学生初步感知函数的模型思想,尝试归纳二次函问题1已知矩形的周长为40cm ,它的面积可能是100cm 2吗?可能是75cm 2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?【师生活动】师生先复习一元二次方程及其解法,然后由学生先独立解决,再小组交流,最后代表展示.解:(1)设其中一边长为x cm ,则x =-x 2+20x =100,解得x 1=x 2=10.x =-x 2+20x =75,解得x 1=5,x 2=15.这个矩形的面积与其一边长的关系为S =x =-x 2+20x.【教师点评】只要和为20的两数都可以作为该矩形的长和宽,所以其面积还可以为64,51,36,….问题2两数的和是20,设其中一个数是x ,你能写出这两数之积y 的表达式吗?【学生活动】学生独立解答,同伴交流.解:y =x (20-x )=-x 2+20x.[设计意图]在几何和代数的背景中再次体会函数的模型,为下一步归纳总结二次函数的定义奠定良好的基础.二、二次函数的定义【对比观察】让学生再一次观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000;(2)y=100x2+200x+100;(3)y=-x2+20x.【学生活动】观察思考后,小组交流想法,组长发言:共同特点是:①这些式子都是最高次数为2的函数;②表达式右边都是关于x的整式.【教师引导】类比一次函数与反比例函数的表达式,归纳出二次函数的定义及一般形式.【师生总结】二次函数的定义.一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.【师生活动】探讨a≠0的原因.[设计意图]让学生通过观察、思考、分析等数学活动,从不同实际背景的实例中抽象出二次函数的概念,使之经历概念的形成过程,培养其抽象思维和归纳概括的能力,感受从特殊到一般的数学思想方法,从而突破本节课的难点.[知识拓展]理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是整式;④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.【思考】二次函数的表达式y=ax2+bx+c中的a≠0,系数b,c可以等于0吗?【学生活动】学生思考并交流,得出结论:系数b,c可以等于0.【教师点评】1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).(二)二次函数自变量的取值范围【议一议】本节课的上述问题中,自变量能取哪些值?学生讨论各题的取值范围.【教师点评】自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.[设计意图]通过对二次函数一般形式的了解,进一步加深了学生对二次函数概念的理解,是对数学符号语言应用能力的提升,同时强调了易错点.1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数,a≠0)的函数.2.理解二次函数概念的注意事项:(1)常数a≠0;(2)自变量x的最高次数为2;(3)等号的右边是整式;(4)要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是()A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+不是二次函数,故D错误.故选C.2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.a=1,b=-3,c=5B.a=1,b=3,c=5C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.3.已知二次函数y=x2+3x-5,当x=2时,y=.解析:当x=2时,y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.4.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.1二次函数二次函数的定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的形式,则称y是x的二次函数.一、教材作业【必做题】1.教材第30页随堂练习第1,2题.2.教材第30页习题2.1第1,2题.【选做题】教材第31页习题2.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.已知函数:①y=3x-1;②y=3x2-1;③y=3x3+2x2;④y=2x2-2x+1.其中二次函数的个数为()A.1B.2C.3D.42.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是()A.3B.5C.-3或5D.3或-53.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是.4.一个边长为2cm的正方形,将它的边长增加x cm后,增加的面积为y cm2,写出y与x的函数关系式:.5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利y元,每件衬衫降价x元,请你写出y与x之间的关系式.【能力提升】6.某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产品增加x倍,两年后产品的年产量y 与x的函数关系是()A.y=20(1-x)2B.y=20+2xC.y=20(1+x)2D.y=20+20x2+20x7.已知y=(m-1)是关于x的二次函数,则m的值是.8.已知函数y =(m 2-m )x 2+(m -1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数,求m 的值;(2)若这个函数是二次函数,则m 的值应怎样?【拓展探究】9.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y 元,镜子的宽度是x m .(边框厚度忽略不计)(1)求y 与x 之间的关系式;(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.【答案与解析】1.B (解析:①y =3x -1为一次函数;②y =3x 2-1为二次函数;③y =3x 3+2x 2自变量最高次数为3,不是二次函数;④y =2x 2-2x +1为二次函数.故是二次函数的有2个.)2.D (解析:根据题意,得x 2+2x -7=8,即x 2+2x -15=0,解得x =3或x =-5.)3.a ≠-1(解析:根据二次函数的定义可得a +1≠0,即a ≠-1.)4.y =x 2+4x (解析:原边长为2cm 的正方形面积为2×2=4(cm 2),边长增加x cm 后边长变为(x +2)cm ,则面积变为(x +2)2cm 2,故y =(x +2)2-4=x 2+4x.)5.解:降价x 元后的销量为(20+2x )件,单件的利润为(40-x )元,故可得利润y =(40-x )(20+2x )=2(40-x )(10+x )=-2x 2+60x +800(0<x <40).6.C (解析:∵某工厂一种产品的年产量是20件,每一年都比上一年的产品增加x 倍,∴一年后产品的年产量是20(1+x ),∴两年后产品的年产量y 与x 的函数关系是y =20(1+x )2.)7.-3(解析:∵y =(m -1)是关于x 的二次函数,∴m 2+2m -1=2,解得m =1或m =-3.∵m -1≠0,∴m ≠1,∴m =-3.故填-3.)8.解:(1)根据一次函数的定义,得m 2-m =0,解得m =0或m =1.又∵m -1≠0,即m ≠1,∴当m =0时,这个函数是一次函数.(2)根据二次函数的定义,得m 2-m ≠0,解得m 1≠0,m 2≠1,∴当m ≠0且m ≠1时,这个函数是二次函数.9.解:(1)y =(2x +2x +x +x )×30+45+2x 2×120=240x 2+180x +45,所以y 与x 之间的关系式为y =240x 2+180x +45.(2)由题意可列方程为240x 2+180x +45=195,整理得8x 2+6x -5=0,即(2x -1)(4x +5)=0,解得x 1=0.5,x 2=-1.25(舍去).∴x =0.5,2x =1.答:镜子的长和宽分别是1m 和0.5m .本节课是二次函数概念的基本认识,知识比较简单,所以学生接受起来比较容易,学生通过自主探究基本上可以掌握本节课的重点知识.本节课的难点是通过实际应用问题认识二次函数的概念,所以在教学时,始终坚持以应用意识为主线,强调观察与思考,分析与归纳.在课堂上,从实际出发提出问题,引导学生从不同的角度分析问题,提出解决方案,并且互相交流,在学习数学的同时培养合作交流的意识.对于少部分基础不太好的学生,进行分层教学,多多引导他们运用类比的思想方法探究二次函数的概念,收到了非常好的效果.对于少部分基础不太好的学生估计不足,对他们的学习状况过于乐观,他们对于函数概念的理解比原来想象的要差,所以在复习回顾这个环节上还应加大力度.要在课前布置复习作业,要求学生复习函数的概念以及正比例函数、一次函数和反比例函数的相关内容,为新课学习做好知识储备.随堂练习(教材第30页)1.解:y=-+3x2与s=1+t+5t2是二次函数.2.解:(1)y=π(1+x)2-π·12=πx2+2πx.(2)当x=1时,y=π·12+2π·1=3π(cm2).当x=时,y=π·()2+2π·=2π(1+)(cm2).当x=2时,y=π·22+2π·2=8π(cm2).习题2.1(教材第30页)1.从左到右依次填:4.9,19.6,44.1,78.4,122.5.2.答案不唯一,如:篮球运动员投篮时,篮球出手后的高度与运行的时间之间是二次函数关系.3.解:(1)根据题意列式为S=2x2+4x(x+0.5)=6x2+2x.(2)y=5(6x2+2x)=30x2+10x.4.解:y=(x-20)t=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400.1.对于本节课知识的学习,学生可以采用自主探究加合作交流的方法,利用“由一般到特殊”的方法去探究新知.2.利用类比一次函数、反比例函数概念的方法得出二次函数的概念及关系式,要重点把握二次函数概念的几个注意事项.在运用二次函数关系式表示数量关系时,要找出题目中的等量关系,这是解决问题的关键.已知函数y=(m2+m).(1)当函数是二次函数时,求m的值;(2)当函数是一次函数时,求m的值.〔解析〕(1)这个函数是二次函数的条件是m2-2m+2=2并且m2+m≠0.(2)这个函数是一次函数的条件是m2-2m+2=1并且m2+m≠0.解:(1)依题意,得m2-2m+2=2,解得m=2或m=0.又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1,因此m=2.(2)依题意,得m2-2m+2=1,解得m1=m2=1.又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.因此m=1.[解题策略]本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式.。

北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.1《二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图象。

二次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。

通过学习二次函数，学生可以更好地理解函数的概念，提高解决问题的能力。

本节课的内容分为三个部分：二次函数的定义，二次函数的图象，二次函数的性质。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的代数基础。

但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步掌握二次函数的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的知识，培养学生的动手能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义，二次函数的图象，二次函数的性质。

2.教学难点：二次函数的图象和性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的动手能力和思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学模型等教学手段，直观地展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解知识。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：让学生自主探究二次函数的定义，通过小组合作，共同完成探究任务。

3.课堂讲解：讲解二次函数的图象和性质，通过多媒体课件和教学模型，直观地展示二次函数的图象和性质。

4.巩固练习：布置一些练习题，让学生运用所学的知识解决问题，巩固所学的内容。

5.课堂小结：对所学的内容进行小结，帮助学生梳理知识体系。

2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案一. 教材分析《二次函数》是北师大版数学九年级下册第2.1节的内容。

本节课主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像，培养学生利用二次函数解决实际问题的能力。

教材通过引入二次函数的概念，让学生从图像和解析式两个方面理解二次函数的性质，为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。

但在二次函数方面，学生可能对函数图像的解读、对称性、顶点坐标的求解等方面存在困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义，理解二次函数的图像特征，掌握二次函数的性质。

2.能够从实际问题中识别二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力、数学表达能力及合作交流能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义及其图像特征。

2.二次函数的性质，包括对称性、顶点坐标、开口方向等。

3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。

2.利用数形结合的方法，让学生直观地理解二次函数的图像特征。

3.采用合作交流的学习方式，培养学生的主体参与意识。

4.运用启发式教学，激发学生的思维，引导学生发现和总结二次函数的性质。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入二次函数的概念。

2.制作二次函数图像的课件，用于展示二次函数的图像特征。

3.准备一些关于二次函数性质的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。

例如：抛物线与x轴的交点问题。

2.呈现（15分钟）展示二次函数图像的课件，让学生直观地了解二次函数的图像特征，如顶点、开口方向等。

同时，引导学生观察图像，发现二次函数的性质。

北师大版数学九年级下册《1 二次函数》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《1 二次函数》是学生在学习了一次函数和正比例函数的基础上，进一步对二次函数进行探究。

教材从实际问题出发，引入二次函数的概念，并通过图形、表格等形式展示二次函数的性质，使学生能够从直观上感受二次函数的特点。

教材还配备了丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一次函数和正比例函数的知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。

但九年级学生的抽象思维能力仍需培养，因此，在教学过程中，需要通过具体实例和图形，帮助学生建立二次函数的概念，理解二次函数的性质。

同时，学生对数学知识的应用能力有待提高，因此在教学过程中，应注重引导学生将所学知识运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生研究函数问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的概念、图象和性质。

2.难点：二次函数的性质及其应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入二次函数，激发学生兴趣。

2.直观教学法：利用图形、表格等直观展示二次函数的性质。

3.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳二次函数的性质。

4.实践操作法：让学生动手实践，解决实际问题。

六. 教学准备1.教师准备：熟练掌握二次函数的相关知识，准备教学课件、图形、表格等教学资源。

2.学生准备：预习九年级下册《1 二次函数》相关内容，了解一次函数和正比例函数的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。

学生通过讨论，得出需要研究二次函数的结论。

2.呈现（10分钟）教师利用课件、图形、表格等形式，呈现二次函数的概念、图象和性质。

北师大版数学九年级下册《1 二次函数》教学设计1一. 教材分析北师大版数学九年级下册《1 二次函数》是学生在初中阶段最后一节数学课,主要介绍二次函数的图像和性质。

本节内容在数学知识体系中具有重要的地位,是学生学习高中数学的基石。

本节课的内容包括:二次函数的一般式、顶点式、开口方向、对称轴、顶点、增减性、极值等概念,以及二次函数的图像特征。

这些概念和性质对于学生理解和掌握二次函数具有重要的意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前,已经学习了二次方程和一次函数的知识,对于函数的概念和性质有一定的了解。

但是,二次函数的图像和性质比较抽象,需要通过具体实例和图形来帮助学生理解和掌握。

此外,学生的数学思维能力和逻辑表达能力参差不齐,需要教师针对不同学生的实际情况进行引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能:使学生掌握二次函数的一般式、顶点式、开口方向、对称轴、顶点、增减性、极值等概念,理解二次函数的图像特征。

2.过程与方法:通过具体实例和图形,帮助学生理解和掌握二次函数的图像和性质。

3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的数学思维能力和逻辑表达能力。

四. 教学重难点1.二次函数的一般式、顶点式、开口方向、对称轴、顶点、增减性、极值等概念。

2.二次函数的图像特征。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生自主探究和发现二次函数的图像和性质。

2.利用多媒体辅助教学,展示二次函数的图像和实例,帮助学生理解和掌握。

3.分层次教学,针对不同学生的实际情况进行引导和帮助,使学生在课堂上得到充分的学习和提高。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学PPT。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程导入(5分钟)教师通过提问方式引导学生回忆一次函数和二次方程的知识,让学生思考二次函数的一般式和顶点式,引出本节课的主题。

呈现(15分钟)教师通过PPT展示二次函数的一般式和顶点式,让学生观察和分析二次函数的图像特征,如开口方向、对称轴、顶点、增减性、极值等。

北师大版九年级数学下册1.2.1北师大版九年级数学下册2.1二次函数教案课题第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质授课人教学目标知识技能经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．数学思考由函数y＝x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力，发展学生的求同存异思维．问题解决掌握利用描点法作二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．情感态度经历探索发现抛物线的性质的过程，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心．教学重点能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．教学难点猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾(1)一般地，形如__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__的函数叫做二次函数.(2)下列函数中，哪些是二次函数？①y＝2x；②y＝2x＋1；③y＝2x2＋x；④y＝2x2＋1；⑤y＝－x2；⑥y＝x2.(3)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？(4)回顾反比例函数图象的具体画法(观看课件).学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】1.请大家回忆我们的老朋友——一次函数和反比例函数，它们的图象有什么特点？今天我们就来结识一位新朋友——二次函数，探究它的图象是什么样的，它有哪些性质．先请各小组展示你们搜集到的有关抛物线的图片，并向大家简单介绍它的背景.图2－2－4通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线产生感性认识，以激发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活，感受到数学的应用价值. (续表)活动二：实践探究交流新知【探究1】师：你会用描点法画二次函数y＝x2的图象吗？观察y＝x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下面的步骤.(1)列表：x …－3－2－10 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 9 …(2)描点：在直角坐标系中描点.(3)连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象.图2－2－6师生共同总结作二次函数图让学生根据函数图象的画法自主探究二次函数图象的形状，在学生作图的过程中，由于取值的不同，作图结果各有不同，教师展示几种不同的作图，让学生进行判断，可以加深对二次函数图象形状的记忆和理解.象应注意的问题：(1)列表时，选取的自变量的值，应以0为中心，左边取－1，－2，－3，右边对应取1，2，3(取互为相反数的一对数)，不要一边多，一边少，不对称；(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错；(3)一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线，连线时必须用光滑的曲线连接各点，不能用折线连接．(续表)活动二：实践探究交流新知【探究2】探究y＝x2的图象与性质：对于二次函数y＝x2的图象，如图2－2－7.图2－2－7(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？(4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是多少？你是如何知道的？(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．二次函数y＝x2的性质总结列表如下：在探究二次函数y＝±x2的图象与性质的问题上，不再按课本上的问题一一罗列给学生，而是给学生一个开放的空间，一个交流的平台，让函数表达式y＝x2图象抛物线开口方向开口向上对称轴y轴(或直线x＝0) 顶点(0，0)增减性当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大最值当x＝0时，y有最小值，最小值是0【探究3】二次函数y＝x2与y＝－x2图象及性质的比较：函数表达式y＝x2与y＝－x2相同点1.图象相同：都是抛物线；2．顶点相同：都是(0，0)；学生通过小组讨论与交流相互学习，共同提高.3．对称轴相同：都关于y轴对称不同点1.图象开口方向不同：y＝x2开口向上，y＝－x2的图象开口向下；2．增减性不同：在y＝x2的图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y＝－x2的图象中正好相反；3.最值不同：在y＝x2中，y有最小值，即当x＝0时，y最小＝0；在y＝－x2中，y 有最大值，即当x＝0时，y最大＝0联系两图象不仅关于x轴成轴对称，而且关于原点成中心对称.(续表)活动【应用举例】例1已知点A(1，a)在抛物此例题着重考查了二次三：开放训练体现应用线y＝x2上．(1)求点A的坐标；(2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．函数图象上点的坐标与二次函数表达式之间的关系.【拓展提升】例2二次函数y＝－x2和一次函数y＝x－1在同一直角坐标系中的大致图象为()图2－2－8例3若a＞1，点(－a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，判断y1，y2，y3的大小关系．学生经过探究，已经基本探寻到了二次函数y＝±x2的图象和性质，本题的设计是使学生通过对比，简化探究过程，进一步认识和巩固所学知识．活动四：课【当堂检测】课本P34习题2.2中T1、T2当堂检测，及时反馈学习效果．【板书设计】提纲挈领，重堂总结反思第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质一、二次函数y＝x2的图象与性质二、二次函数y＝－x2的图象与性质三、应用点突出．【教学反思】①[授课流程反思]通过大量的抛物线图片，让学生感受到抛物线的美与实用，学生兴趣相当高，感性认识充分，激起了学生的学习欲望与积极性，因而学生很投入．②[讲授效果反思]教学中，利用小组合作学习与交流的方式，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更有利于教师发现学生分析问题和解决问题的独到见解以及思维误区，以便更好地指导今后的反思，更进一步提升.教学．课堂上把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学的首位，帮助学生形成积极主动的求知态度.③师生互动反思_________________________ _______________________________________________ ______________________④[习题反思]好题题号错题题号第 8 页。

2.1二次函数一、教学目标1、通过三个问题情境列函数关系式，在教师的引导下归纳总结二次函数的定义及表达式和注意事项；2、根据二次函数的定义会判断函数是不是二次函数，并会举出符合条件的二次函数的例子；3、根据二次函数的定义，会求出二次函数式中字母的值；二、课时安排1课时三、教学重点根据二次函数的定义会判断函数是不是二次函数四、教学难点根据二次函数的定义，会求出二次函数式中字母的值；五、教学过程（一）导入新课某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子。

（二）讲授新课(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？自变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离，橙子树接受阳光的多少等；因变量：橙子的个数，橙子的质量等。

(2)假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ 果园共有（100+x ）棵树,平均每棵树结（600-5x ）个橙子(3)如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式.2(100)(6005):510060000y x y x x y x x =+-=-++与的关系式为：；化简，得想一想：在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。

你能根据表格中的数据做出猜测吗？自己试一试。

银行的储蓄利率是随时间变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式。

y=100(x+1)²=100x²+200x+100想一想（1）已知矩形的周长为40cm,它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？当矩形为正方形且边长为10cm时，面积是100cm2;当矩形的长和宽分别是15cm和5cm时，面积是75cm2;还有很多其他可能。

3.发现并归纳出两个变量之间的关系；说出二次函数的表达式及其限制条件的必要性；
三、课堂训练
1.考查能否判断一个函数解析式是不是二次函数，使学生掌握二次函数的解析式特点
2.能根据一些具有实际意义的问题，确定二次函数表达式；能辨析、区分一个函数是不是二次函数；
3.结合例子说出表达式及自变量的范围并解决变式练习
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动预设学生活动设计意图一、情境引入
展示实际生活中的有关
抛物线的图片，概括性的介
绍本章
学生观看图片，发表观后
感受
学生初步感知二次函数，引出本章，并为后续学习做铺垫。

二、探究新知
㈠、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系：1.正方体的棱长是x.表面积是y,写出y关于x的函数关系式；
2.n边形的对角线条数d与教师给出问题，学生观察、思考、
分析、小组讨论，列函数解析式
学生经历列函数
解析式的过程，
总结三个解析式
的共同特点，得
到二次函数的概
念。