2018届东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高三第一次模拟考试数学(理)(解析版)

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）

2018届高三第一次联合模拟考试

数学试题（理科）

1. 复数的模为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意得，所以.故选C.

2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.

3. 从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B，则，

，所以.故选B.

4. 已知，则( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意知，.故选B.

5. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( )

A. B. 2 C. D.

【答案】A

【解析】由题意可知，此双曲线的渐近线方程为，则渐近线过点，即，

，所以.故选A.

6. 展开式中的常数项是( )

A. B. C. 8 D.

【答案】B

【解析】由展开式的第项，得展开式的通项为

或，则当或，即或时，为展开式的常数项，即

.故选B.

7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( )

A. B. C. 1 D. 3

【答案】D

【解析】由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上底，下底，高分别为1，2，2的直角梯形，一条长为的侧棱垂直于底面，其体积为，解得.

故选C.

8. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由已知函数，则，解得，所以，令

（），解得，当时，有.故选A.

9. 辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入

，，则输出的值为( )

A. 148

B. 37

C. 333

D. 0

【答案】B

【解析】由题意得，，则；

，则；

，则；

，则；

，则；

，则余数.

故选B.

10. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥

，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题意知，设半球的半径为，正方形的边长为，顶点在底面的身影是半球的球

心，取的中点，连接，如图所示，则，所以四棱锥的侧面积为

，，所以该半球的体积为.故选D.

点睛：此题主要考查立体几何中简单组体的表面积和体积的计算，这里涉及到正四棱锥的侧面积和半球的体积的计算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题的突破口在于把空间组合体问题转化为平面图形问题，由于四棱锥侧面积涉及到斜高，而半球的体积涉及到其半径，所以在选截面图时要能把斜高和半径联系起来的平面图，再根据平面图形的特点来解决问题.

11. 已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意，可设交点的坐标分别为，联立直线与抛物线方程消去得

，则，，，由，即

，解得.故选C.

12. 在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为

，，不妨设，由，所以，整理得

，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.

点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.

13. 在中，，，，则______________.

【答案】1

【解析】由题意，根据余弦定理得，即，解得，或

（舍去）.故填1.

14. 若满足约束条件，则的最大值为______________.

【答案】

【解析】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），，，表示可行域内点

与的连线的斜率，，因此最大值为．

考点：简单线性规划的非线性运用．

15. 甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：

①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；

③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科.

可以判断乙教的学科是______________.

【答案】C

【解析】由乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A学科，则乙不教A学科；又乙不教B学科，所以乙教C学科，而在哈尔滨工作的教师不教C学科，故乙在沈阳教C学科.故填C.

16. 已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：

①；②；③；④；

其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)

【答案】①③

【解析】由已知得，不妨令，由，当时，有总成立，所以在上单调递增，且，而是函数的极值点，所以

，即，所以，即命题①成立，则命题②错；因为，所以

，故③正确，而④错.所以填①③.

点睛：此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题①②.

17. 已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可根据数列通项与前项和的关系进行整理化简，可以发现数列是以首项为3，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，根据其特点，利用裂项相消求和法进行即可.