《三角形的中位线》ppt

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三角形中位线课件.ppt

B
F
C
探究活动
1、三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？
设计方案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
例求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE与DF互相平分.
A
B
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点， N是AB的中点．求证∠1＝∠2．
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. 猜想四边形EFGH的形状并证明。
A E H
答：四边形EFGH为平行四边形。
65 度，为什么？ ①若∠ ADE=65°，则∠ B= ③ 若AC=4cm,BC=6cm ，AB=8cm ， 9cm 则△DEF的周长=______ BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？ E ②若 12 ④ 若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____
3 个平行四边形 ⑤ 图中有_____ 6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
1 ∴DE∥BC且DE= 2 BC
B B A E D E
C
D
F
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
E
C
D
B
∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE) 1 DE// BC 2
用途
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半

三角形中位线ppt

01
总结了中位线定理在各种几何问题中的应用，包括平行四边形
、矩形、菱形和梯形等。
中位线定理在代数中的应用
02
讲解了中位线定理在代数问题中的应用，包括线性方程组、矩
阵和多项式等。
中位线定理的推广和变式
03
探讨了中位线定理的推广和变式，包括中位线定理的推广定理
和各种变式，如梯形中位线定理等。
数学学习的个人建议
THANKS
要点二
利用中位线定理解决立体几何问题
例如在四面体ABCD中，E、F、G分别为AB、AC、AD 的中点，求证$EG \perp BF$。由中位线定理可知$EG = \frac{1}{2}BC$，进而由勾股定理可知$\angle EGF = 90^{\circ}$，即$EG \perp BF$。
中位线定理的应用拓展
中位线定理的推广
设D、E、F为$\bigtriangleup ABC$三边的中点
中位线定理在现代数学中的应用
例如在微积分学中，可以利用中位线定理证明一些与面积和长度有关的定理，如Green公式、Gauss-Bonnet 积分公式等。此外，在代数学和线性代数中，中位线定理也有广泛的应用。
05
总结与展望
三角形中位线的性质
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
三角形中位线的平方等于两边平方和减去底边平方的1/4.
三角形中位线定理
三角形中位线定理是指一个三角形任意两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半。
三角形中位线定理可以用于证明一些关于三角形中位线的问题，例如两个三角形相似或者一个四边形是平行四边形等结论。
本课程主要内容总结
三角形的定义和分类
总结了三角形的定义、分类和常用性质。

三角形的中位线课件(共22张PPT)

D
A E F
C
DF//BC DE// 1 BC
2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
D E
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF F ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形
菱形
A
什么叫三角形的中位线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别.
D B A F C
E
结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.A
D E
B
C
三角形的中位线与第三边有什么关系?
正方形
（4）顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
（5）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是什么？
菱形
平行四边形
平行四边形
于但得什它到么是的顺呢否四次？特边连殊形接的一四平定边行是形四平各边行边形四中取边点决形所，
菱形
菱形
矩形
正方形
（ 6 ）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？（ 7 ）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？（8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？
例1、如图，在四边形中，E、F、G、H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点。四边形 EFGH是平行四边形吗？为什么？

三角形中位线定理PPT教学课件

三角形的中位线定理
2021/01/21
1
什么叫三角形的中位线？
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
如图： D、E分别是AB、AC边的中点， DE就是△ABC的中位线。
A
一个三角形共有几条中位线？ D
E
答：三条
2021/01/21
B
F
C
2
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
CB
边形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中
AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平
行四边形。
A
H
D
E
G B
F
2021/01/21
C
5
任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。
2021/01/21
6
例2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形。
已知：E、F、G、H分别是矩形ABCD中 AB、BC、CD、DA边的中点。求证：EFGH是菱形。
A
H
D
2021/01/21
E G
B
F
C
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
D H
O
G
C
2021/01/21
8
例4：已知如图：在△ABC中，AB、BC、
CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求证：
∠EDG＝ ∠EFG。
分析：EF是△ABC的中位线
EF 1 AC

三角形中位线ppt课件

如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
AEF
D
B
MN
C
22
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半
3、两条平行线间的距离一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离
⑤ 图中有__3___个平行四边形 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
C
探究活动
1、三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？
10
设计方案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
2
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
3
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关；（2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点
18
如图，l1 // l2 ，线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、
CD、EF的长短相等吗？为什么？

三角形的中位线ppt课件

3 三角形的中位线
第六章平行四边形
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容； 2.经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力．重点：探索并证明三角形中位线定理．
新知探究你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
课堂小结
1.三角形中位线定理：连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半． 2.我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题，又可以用平行四边形知识研究三角形的问题.
谢谢观看
新知探究
①△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形. ②将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形.
新知探究
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，
能否用平行四边形研究三角形呢？
如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE.
在△ABC中，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且DE=
1 2
BC
.Hale Waihona Puke ADEB
C
知识训练 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D，E，F分别是BC， AC，AB的中点，则四边形AEDF的周长为____1_8___；Rt△ABC的中位线分别是___D_E_，__D__F__；斜边上的中线是___C_F___，其长为___5___.
像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
看一看，量一量，猜一猜：
A
DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？

三角形的中位线.ppt

第六章平行四边形
3 三角形的中位线
第六章平行四边形
3 三角形的中位线
教学目标
1、知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 2、理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。 3、通过对问题的探索及进一步变式，发展演绎推理能力及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．
F
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
A 几何表示： ∵ DE是△ABC的中位线
E
D C B BC
1 ∴ DE∥BC,DE= 2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 求证:DE∥BC,DE= 2 BC
A D E
F
B
C
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
中位线定理的证明
已知：如图6-20（1），DE是△ABC的中位线.
A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？
若把“中点”改为“四等分点”, 如图,D、F、H与E、G、I分别是△ABC边AB、AC的四等分点即AD=DF=FH=HB, AE=EG=GI=IC,则DE与FG、 FG与BC、DE与BC之间有何关系?
A D F I H C E G
B
1、作业本：教科书P152 习题6.6 2、《资评》P168-170 1、2
A D F
E
G
I
H B C
两边中点的______ 线段叫做三角形的中连接三角形________
位线。
对边中点的线段顶点与它_________ 在三角形中，连接一个_____

《三角形的中位线》PPT教学课件

知识点 1 三角形的中位线性质
知1－导
什么叫三角形的中位线？连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线. 如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就是△ABC的中位线。一个三角形共有几条中位线？答：三条知1－导A源自思考：三角形的中位线与三角形的
中线有什么区别与联系？
D
E
区别：中位线：中点--------中点
1 2
BD，
∴EH＝FG，同理可得EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（来自教材）
知1－练
5 【中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两
点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，
并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC
＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( B )
知1－导
2. 如图，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中心顺时针旋转180°，使点A和点C重合.四边形 DBCF是平行四边形吗？由此发现DE与BC的位置关系和数量关系与上面的发现是否相同？
知1－导
通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半.
现在，我们来证明这个结论.
∴AE＝
1 2
AD，BF＝
1 2
BC，∴AE
＝∥BF.
∴四边形ABFE是平行四边形，∴MB＝ME.
同理，四边形EFCD是平行四边形，∴NC＝NE.
∴MN是△EBC的中位线．∴MN ＝∥
1 2
BC.
（来自《点拨》）
知2－讲
总结
(1)证明两直线平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形的性质；④利用三角形的中位线定理．

《三角形的中位线定理》PPT课件 (共28张PPT)

6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
探究活动
1、三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？
设计方案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
A、B两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？
（4）顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么？
菱形
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证(1)四边形EFGH是平行四边形。
(2)请增加一个条件使得四边形ADFE为菱形。 (3)请增加一个条件使得四边形ADFE为矩形。
A
H D E G F C
四边形BCFD是平行四边形吗?说说你的理由!
F
已知：如图：在△ABC中，D是AB的中点， E是AC的中点。 1 求证： DE∥BC, DE= BC.
A
E B D C
2
分析:
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
F
得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 B两点的距离是多少？为什么？
M 20 C
A
40
N
B
A
E
F
C
D
H G
B
在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 11 。

三角形中位线定理完整ppt课件

是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、
BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
H
注：1.有中点连 D 线而无三角形，
E
要作辅助线产生
三角形
B
精选ppt
F
2.有三角形而无
G
中位线，要连接
两边中点得中位
9
线
连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形。
精选ppt
10
例：已知 ABCD中，AC、BD相交于点O，E、 F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
D H
O
G
C
精选ppt
11
A
D
F
B
精选ppt
E6 C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
A
C
精选ppt
B
7
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
C
B
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个
顶点和对边中点的连线。
精选ppt
8
例：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形
ＢＣ∵AB=CD,AD= BC
∴…是平行四边形
ＢＣ ∵OA=OC,OB=
O
OD ∴…是平行四
Ｂ边形
Ｃ∵AB∥DC，AB=DC
∴…是平行四边形
3
精选ppt
Ａ
Ｂ
2
例题：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、

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练一练：
• 1.已知三角形的三边长分别为6、8、10，顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？
• 2.如果⊿ABC的三边长分别为a,b,c, AB,BC,AC各边中点分别是D，E，F，则 ⊿DEF的周长是多少？
• 3.取任意一张三角形纸片，你能否把它剪成四个全等的三角形？怎么剪？
A D B F E C
A E C
（1）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪
痕的位置有什么要求？
（2）若要使△ADE与梯形DBCE能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？（3）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角
D A E F
形作怎样的图形变换？
B C
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC 即DE=1/2BC
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言表述：
E
C
D
B
∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE)
1 DE// BC 2 适用范围
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
∵D、 E分别为AB、AC的中点 D E
∴DE为△ABC的中位线
同理DF、EF也为△ ABC的中位线三角形有三条中位线
B 注意
F
C 三角形的中位线和三角形的中线不同三角形的中位线与第三边有什么关系?
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
B
证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于 F，自A作BC的平行线交FE于G ∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF ∴AG=FC，GE=EF
A
D
∴△AEG≌△CEF
G E
又∵AB∥GF，AG∥BF ∴四边形ABFG是平行四边形 ∴BF=AG=FC，AB=GF 又∵D为AB中点，E为GF中点，
B
F
C
∴DB∥=EF
B
C
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2 证明二：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF B ∵DE=EF,AE=EC, ∠AED= ∠CEF
∴⊿ADE≌⊿CFE ∴∠ADE=∠F，AD=CF， ∴AB∥CF 又∵BD=AD=CF, ∴四边形BCFD是平行四边形
D
A E F
C
DF//BC DE// 1 BC
2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
D E
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF F ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形
A
分析：填表
次序
所得三角形周长得三角形面积所
1
2
3
……
n
A１
C
２
C１ B２
1 2 1 4
a s
1 4 1 16
a s
1 8 1 64
a s
…… ……
1 n 2 1 n 4
a
s
B
A２ B１
C
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平例1、已知：如图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别
是 AB、BC、CD、DA的中点. 行四边形求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：如图，连接AC E
练一练
3、为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选
一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出
DE=15m，就能求出池塘BC的长吗？
C
B
E D
A
练一练
1.已知: 如图,DE,EF是⊿ABC的两条中位线.求证: 四边形BFED是平行四边形.
A A
D
B F
( 第 1题 )
E
C B
D
F
O
• 4.如图，三角形ADE的面积与三角形ABC的面积之比是多少？
练一练
D。 B
A
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
。E C 图1 则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm，
B
则DE=
cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F
D。 4
分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，。F BC=10cm，则△DEF的周长= 3 5 。 12 cm A C E 图2 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长的关系？面积呢？
想一想
B、C两点被池塘隔开如何测量B、C两点距离？
C
B
想一想
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选
一点A,再分别找出线段AB能求出池塘BC的长，你知道为什么吗？
C
B
E D
A
合作学习
剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片. B D
（2）顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_______？
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点所得的四边形是________？
矩形
想一想
（ 4 ）顺次连结正方形各边中点所得的四边形是 ___________ ？正方形
1 DE // BC 求证： 2
证明：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE 得到⊿CFE，⊿ADE≌⊿CFE. A D E
∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
F
DF//BC
DE//
1 BC 2
∵EF是△ABC的中位线 1 EF// AC B F 2 1 同理得： GH// AC 2 GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
A H D G C
温馨提示：
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
想一想
（ 1）顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 _________？平行四边形
E C
( 第 2题 )
2.如图,DE是⊿ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE 和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.
探索研究：
已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得 △A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……， 1 则（１）第３次连接所得 1 s a 64 8 △A3B3C3的周长＝＿＿＿＿ ,面积＝＿＿＿＿ 1 （２）第n次连接所得 1 n a n s 2 4 △AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿