2018-2019学年冀教版数学八年级上册 15.4二次根式混合运算习题

冀教新版八年级上学期《15.4 二次根式的混合运算》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．下列运算正确的是（）A．2+＝2B．﹣＝3C．×＝4D．÷＝3 2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．下列各式正确的是（）A．±＝3B．＝C．＝3D．＝±24．下列计算：①×＝2；②＝﹣2；③＝；④﹣＝；⑤（+）（﹣）＝﹣1．其中结果正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．计算：（4﹣3）÷2的结果是（）A．2﹣B．1﹣C．D．6．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+xy+y2的值为（）A．10B．8C．6D．47．已知x＝﹣6，则代数式x2+5x﹣6的值为（）A．2+3B．5﹣5C．3﹣2D．5﹣78．当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为（）A．B．5C．4D．39．已知x＝，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A．0B．C．D．2﹣10．如图，已知钓鱼竿AC的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为3m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则BB′的长为（）A．m B．2m C．m D．2m 二．解答题（共40小题）11．计算下列各题：（1）（2）12．计算：（1）（﹣1）2018+（2）13．计算下列各题：（1）÷×；（2）（﹣1）2+；（3）（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0．14．计算（1）3﹣9﹣（2﹣）﹣|2﹣5|（2）（﹣1）101+（π﹣3）0+（）﹣1﹣15．计算：（1）；（2）（）；（3）；（4）（1+）（）﹣（2）2；（5）（）×﹣（）（）．16．（1）计算：4×（2）计算：6+﹣+（2018﹣π）0 17．﹣÷×﹣（+）23（﹣）22 18．耐心算一算（1）（2）（）×（3）﹣+（4）（）（）（5）2×﹣（6）（﹣1）2016﹣（2﹣）0+19．计算（1）（）×（2）（）（）+2（3）2（4）|2|﹣﹣﹣83×（﹣0.125）3 20．计算下列各题（1）（﹣）×（2）÷+（﹣1）2（3）（）﹣2+（﹣1）2015（+1）2016﹣（）0 21．计算下列各题：（1）（2）22．计算题（1）3﹣﹣（2）（3）（）2+（4）（）2+（）﹣1+|﹣2|﹣23．计算：（1）+|﹣7|+（）0+（）﹣1（2）（+2）（﹣2）+（+1）2﹣24．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．25．已知：x＝，y＝．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．26．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣27．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．28．已知实数a，b满足（﹣）＝（3+5），求代数式的值．29．已知x＝﹣1，求x2+3x﹣1的值．30．完成下列各题（1）计算：﹣3x2y•（2）计算：×（﹣）（3）已知x＝，y＝，求代数式x2+y2﹣2xy的值．31．（1）先化简，再求值：（x+2﹣），其中x＝2﹣4；（2）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．32．计算（1）先化简，再求值+÷，其中a＝+1．（2）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．33．已知x＝，y＝，求+的值．34．（1）计算：2﹣6+3（2）已知x＝+1，y＝﹣1，求代数式的值．35．（1）计算：﹣4+2÷；（2）已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣xy+y2的值．36．计算：（1）（2﹣）2016（2+）2017﹣2|﹣|﹣（﹣）0（2）已知x＝，y＝，求+的值．37．化简求值：﹣a2，其中a＝5．38．解答下列各题（1）计算：3﹣（+）+；（2）当a＝+，b＝﹣时，求代数式a2﹣ab+b2的值．39．（1）计算：（）﹣（）+2（2）已知：x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣2的值．40．若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值．41．已知＝，且x为奇数，求（1+x）•的值．42．（1）计算：﹣||﹣（2﹣π）0+（﹣1）2017（2）先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣）+6，其中a＝﹣1 43．（1）计算：﹣（）2+（π+）0﹣+|﹣2|（2）已知a＝（+），b＝（﹣），求a2﹣ab+b2的值．44．已知一个三角形的三边长分别为：5，，x，求这个三角形的周长（要求结果化简）．45．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝a，CA＝b，AB＝c，设AD＝x，CD＝h，p＝，△ABC的面积为S，求证：（1）x＝（2）h＝（3）S＝．46．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：OA1＝1；OA2＝＝；S1＝×1×1＝；OA3＝＝；S2＝××1＝；OA4＝＝；S3＝××1＝；（1）推算出OA10＝．（2）若一个三角形的面积是．则它是第个三角形．（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．47．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？48．已知x、y、a满足：＝，求长度分别为x、y、a的三条线段组成的三角形的面积．49．小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长，宽为，她又想设计一个面积相等的圆，请你帮助小静求出圆的半径．50．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2，s1＝；OA32＝12+（）2＝3，S2＝；…OA42＝12+（）2＝4，S3＝；…（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OA n2＝，S n＝．（2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？（3）求出S12+S22+S32+…+S92的值．冀教新版八年级上学期《15.4 二次根式的混合运算》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列运算正确的是（）A．2+＝2B．﹣＝3C．×＝4D．÷＝3【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝3，所以A选项错误；B、与﹣不能合并，所以B选项错误；C、原式＝＝4，所以C选项正确；D、原式＝＝，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；B、原式＝2﹣＝，所以B选项正确；C、1与不能合并，所以C选项错误；D、原式＝6＝6，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．下列各式正确的是（）A．±＝3B．＝C．＝3D．＝±2【分析】根据二次根式的性质对A、D进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．【解答】解：A、±＝±3，所以A选项错误；B、与不能合并，所以B选项错误；C、÷＝＝3，所以C选项正确；D、＝2，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．下列计算：①×＝2；②＝﹣2；③＝；④﹣＝；⑤（+）（﹣）＝﹣1．其中结果正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次根式的乘法法则对①进行判断；根据二次根式的性质对②进行判断；利用分母有理化对③进行判断；根据二次根式的加减法对④进行判断；根据平方差公式对⑤进行判断．【解答】解：×＝＝2，所以①正确；＝2，所以②错误；＝，所以③正确；﹣＝3﹣2＝，所以④正确；（+）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，所以⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．计算：（4﹣3）÷2的结果是（）A．2﹣B．1﹣C．D．【分析】根据二次根式除法的计算法则计算即可求解．【解答】解：（4﹣3）÷2＝4÷2﹣3÷2＝2﹣．故选：A．【点评】考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．6．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+xy+y2的值为（）A．10B．8C．6D．4【分析】根据x＝+1，y＝﹣1，可以求得x+y和xy的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，xy＝2，∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝＝12﹣2＝10，故选：A．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．7．已知x＝﹣6，则代数式x2+5x﹣6的值为（）A．2+3B．5﹣5C．3﹣2D．5﹣7【分析】直接把x的值代入进而求出答案．【解答】解：∵x＝﹣6，∴x2+5x﹣6＝（x+6）（x﹣1）＝（﹣6+6）×（﹣6﹣1）＝×（﹣7）＝5﹣7．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用公式是解题关键．8．当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为（）A．B．5C．4D．3【分析】根据完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：当x＝+1时，∴x﹣1＝，∴原式＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1＝3+1＝4故选：C．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．9．已知x＝，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A．0B．C．D．2﹣【分析】将x的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算可得．【解答】解：当x＝时，原式＝（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）+＝（7+4）（7﹣4）+4﹣3+＝49﹣48+1+＝2+，故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式及二次根式的运算法则．10．如图，已知钓鱼竿AC的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为3m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则BB′的长为（）A．m B．2m C．m D．2m【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故选：B．【点评】此题考查了二次根式的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．二．解答题（共40小题）11．计算下列各题：（1）（2）【分析】（1）先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得；（2）将原式变形为[（+2）（﹣2）]2017•（2﹣），进一步计算可得．【解答】解：（1）原式＝×2+×2＝+＝；（2）原式＝（+2）2017•（）2017•（2﹣）＝[（+2）（﹣2）]2017•（2﹣）＝（5﹣4）2017•（2﹣）＝1×（2﹣）＝2﹣．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．12．计算：（1）（﹣1）2018+（2）【分析】（1）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式计算可得；（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式计算可得．【解答】解：（1）原式＝1+3﹣+4﹣3＝4﹣3+1＝2；（2）原式＝4﹣2+3﹣4+＝2﹣1+2＝4﹣1．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．13．计算下列各题：（1）÷×；（2）（﹣1）2+；（3）（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）利用完全平方公式计算；（3）根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义和零指数幂的意义运算；【解答】解：（1）原式＝＝3；（2）原式＝3﹣2+1+2＝4；（3）原式＝+﹣1+1＝3+＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．14．计算（1）3﹣9﹣（2﹣）﹣|2﹣5|（2）（﹣1）101+（π﹣3）0+（）﹣1﹣【分析】（1）根据二次根式的乘法、加减法和绝对值可以解答本题；（2）根据零指数幂、负整数指数幂可以解答本题．【解答】解：（1）3﹣9﹣（2﹣）﹣|2﹣5|＝12﹣3﹣2+9﹣（5﹣2）＝12﹣3﹣2+9﹣5+2＝9+4；（2）（﹣1）101+（π﹣3）0+（）﹣1﹣＝（﹣1）+1+2﹣（）＝（﹣1）+1+2﹣+1＝3﹣．【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．15．计算：（1）；（2）（）；（3）；（4）（1+）（）﹣（2）2；（5）（）×﹣（）（）．【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的除法法则运算；（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（4）利用平方差公式和完全平方公式计算；（5）根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝﹣2+3＝2；（2）原式＝﹣＝3﹣2＝1；（3）原式＝6﹣4+3﹣5＝﹣；（4）原式＝（1+）（1﹣）﹣（12﹣4+1）＝﹣2﹣13+4；（5）原式＝+﹣（3﹣1）＝6+3﹣2＝7．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．（1）计算：4×（2）计算：6+﹣+（2018﹣π）0【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义计算，然后化简二次根式后合并即可；（2）根据平方差公式和零指数幂的意义计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1+1＝2；（2）原式＝2+4﹣3﹣3+1＝2﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17．﹣÷×﹣（+）23（﹣）22【分析】先根据二次根式的乘除法则和积的乘方进行计算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式＝﹣﹣[（+）（﹣）]22•（+）＝﹣﹣（3﹣2）•（+）＝﹣﹣﹣＝﹣﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．耐心算一算（1）（2）（）×（3）﹣+（4）（）（）（5）2×﹣（6）（﹣1）2016﹣（2﹣）0+【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘法法则运算；（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（4）利用平方差公式计算；（5）利用二次根式的乘除法则运算；（6）利用乘方的意义和零指数幂的意义计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣＝；（2）原式＝﹣＝6﹣1＝5；（3）原式＝3﹣+＝2+；（4）原式＝2﹣3＝﹣1；（5）原式＝2﹣（+）＝2﹣2﹣2＝﹣2；（6）原式＝1﹣1+5＝5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19．计算（1）（）×（2）（）（）+2（3）2（4）|2|﹣﹣﹣83×（﹣0.125）3【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；（2）利用平方差公式计算；（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（4）根据二次根式的性质、绝对值的意义和乘方的意义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣＝3﹣1＝2；（2）原式＝5﹣7+2＝0；（3）原式＝2+3﹣＝；（4）原式＝3﹣2﹣+1﹣+（8×）3＝2﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．计算下列各题（1）（﹣）×（2）÷+（﹣1）2（3）（）﹣2+（﹣1）2015（+1）2016﹣（）0【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；（2）根据二次根式的除法法则和完全平方公式运算；（3）根据零指数幂、负整数指数幂和积的乘方法则运算．【解答】解：（1）原式＝﹣＝6﹣1＝5；（2）原式＝+2﹣2+1＝2+2﹣2+1＝3；（3）原式＝4+[（﹣1）（+1）]2015•（+1）﹣1＝4+（2﹣1）2015（+1）﹣1＝4++1﹣1＝5+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21．计算下列各题：（1）（2）【分析】（1）直接化简二次根式进而利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；（2）利用积的乘方运算法则以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）＝（6﹣6+4）÷2+2+＝5﹣+2+＝7；（2）＝[（2﹣3）×（2+3）]2017×（2+3）﹣4×﹣（﹣1）＝﹣2﹣3﹣﹣+1＝﹣4﹣2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．22．计算题（1）3﹣﹣（2）（3）（）2+（4）（）2+（）﹣1+|﹣2|﹣【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的除法法则运算即可；（3）根据完全公式计算；（4）利用二次根式的性质、绝对值的意义和负整数指数幂的意义计算．【解答】解：（1）原式＝9﹣5﹣＝；（2）原式＝+＝+；（3）原式＝6﹣4+2+3＝8﹣；（4）原式＝4++2﹣﹣2＝4﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23．计算：（1）+|﹣7|+（）0+（）﹣1（2）（+2）（﹣2）+（+1）2﹣【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝3+7+1+2＝3+10；（2）原式＝3﹣4+2+2+1﹣＝2+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．24．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．【解答】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，∴（1）x2y﹣xy2，＝xy（x﹣y），＝1×，＝4；（2）x2﹣xy+y2，＝（x+y）2﹣3xy，＝62﹣3×1，＝36﹣3，＝33．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．25．已知：x＝，y＝．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．【分析】先将x，y分母有理化，再将其代入到原式＝（x﹣y）2﹣xy，计算可得．【解答】解：x＝＝＝＝11+2，y＝＝＝＝11﹣2，∴原式＝（x﹣y）2﹣xy＝（11+2﹣11+2）2﹣（11+2）×（11﹣2）＝（4）2﹣（121﹣120）＝480﹣1＝479．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．26．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣【分析】由已知等式得出（﹣2）2+（﹣2）2＝0，由非负数的性质得出a，b的值，再代入计算可得．【解答】解：2a+b+5＝4（+），2a﹣2﹣4+4+b﹣1﹣4+4＝0，则（﹣2）2+（﹣2）2＝0，∴＝2，＝2，解得：a＝3，b＝5，原式＝﹣＝+＝+＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及非负数的性质．27．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．【解答】解：∵x＝＝3﹣2，∴x﹣2＝1﹣2＜0，则原式＝x﹣1+＝x﹣1﹣1＝x﹣2＝1﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．28．已知实数a，b满足（﹣）＝（3+5），求代数式的值．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵（﹣）＝（3+5），∴a﹣4﹣5b＝0，∴（﹣5）（+）＝0，∴＝5，∴原式＝＝．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．29．已知x＝﹣1，求x2+3x﹣1的值．【分析】根据x＝﹣1，可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x＝﹣1，∴x2+3x﹣1＝＝2﹣2+1+3﹣3﹣1＝﹣1+．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．30．完成下列各题（1）计算：﹣3x2y•（2）计算：×（﹣）（3）已知x＝，y＝，求代数式x2+y2﹣2xy的值．【分析】（1）约分即可；（2）利用二次根式的乘法法则运算；（3）先计算出x﹣y，再利用完全平方公式得到x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）原式＝﹣；（2）原式＝﹣＝3﹣6＝﹣3；（3）∵x＝，y＝，∴x﹣y＝，∴x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（）2＝2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．31．（1）先化简，再求值：（x+2﹣），其中x＝2﹣4；（2）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．【分析】（1）根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题；（2）根据a＝+1，b＝﹣1，可以求得所求式子的值．【解答】（1）解：（x+2﹣）＝＝＝＝﹣x﹣4，当x＝2﹣4时，原式＝﹣2+4﹣4＝﹣2；（2）∵a＝+1，b＝﹣1，∴ab＝2，a+b＝2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×2＝4．【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．32．计算（1）先化简，再求值+÷，其中a＝+1．（2）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）根据x的值，可以求得题目中所求式子的值．【解答】解：（1）原式＝+•＝+＝，当a＝+1时，原式＝＝1+；（2）∵x＝2﹣，∴x2＝（2﹣）2＝7﹣4，∴（7+4）x2+（2+）x+＝（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+＝1+1+＝2+．【点评】本题考查分式与二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确分式与二次根式化简求值的方法．33．已知x＝，y＝，求+的值．【分析】直接求出x+y，xy的值，进而将原式化简得出答案．【解答】解：∵x＝，y＝，∴x+y＝+＝；x•y＝•＝，∴+＝＝＝12．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将原式变形是解题关键．34．（1）计算：2﹣6+3（2）已知x＝+1，y＝﹣1，求代数式的值．【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并即可；（2）先化简，再代入求出即可．【解答】解：（1）原式＝4﹣2+12＝14；（2）＝＝，当x＝+1，y＝﹣1，＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算和求值，能正确根据运算法则进行化简和计算是解此题的关键．35．（1）计算：﹣4+2÷；（2）已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣xy+y2的值．【分析】（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可；（2）先计算x+y与xy，再利用完全平方公式得到x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+2＝+4＝5；（2）∵x＝2+，y＝2﹣，∴x+y＝4，xy＝4﹣3＝1，∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝16﹣3×1＝13．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．36．计算：（1）（2﹣）2016（2+）2017﹣2|﹣|﹣（﹣）0（2）已知x＝，y＝，求+的值．【分析】（1）根据二次根式的运算法则以及零指数幂的意义即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝[（2﹣）（2+）]2016（2+）﹣﹣1＝2+﹣﹣1＝1（2）当x＝，y＝时，原式＝＝＝3【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．37．化简求值：﹣a2，其中a＝5．【分析】直接化简二次根式进而合并同类二次根式，再把a的值代入求出答案．【解答】解：﹣a2，＝•3﹣a2•+6a•＝2a﹣a+3a＝4a，当a＝5时，原式＝4×5＝20．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．38．解答下列各题（1）计算：3﹣（+）+；（2）当a＝+，b＝﹣时，求代数式a2﹣ab+b2的值．【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）将a、b的值代入原式，根据完全平方公式和平方差公式计算可得．【解答】解：（1）原式＝3﹣2﹣+3＝；（2）当a＝+，b＝﹣时，原式＝（+）2﹣（+）（﹣）+（﹣）2＝5+2﹣（3﹣2）+5﹣2＝9．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与运算法则．39．（1）计算：（）﹣（）+2（2）已知：x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣2的值．【分析】（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接把x的值代入进而求出答案．【解答】解：（1）（）﹣（）+2＝（2﹣）﹣﹣+3÷5＝﹣+＝﹣；（2）把x＝﹣1，代入x2+2x﹣2，则原式＝（﹣1）2+2（﹣1）﹣2＝3﹣2+1+2﹣2﹣2＝0．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．40．若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值．【分析】根据二次根式的性质即可求出x与y的值，然后利用二次根式的运算法则即可化简原式．【解答】解：由题意可知：x＝，y＝3原式＝（2x+2）﹣（x+5）＝x﹣3＝﹣3＝﹣【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．41．已知＝，且x为奇数，求（1+x）•的值．【分析】根据＝，且x为奇数，可以求得x的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵＝，∴解得，6≤x＜9，∵x为奇数，∴x＝7，∴（1+x）•＝（1+x）＝（1+x）＝＝＝＝2．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法．42．（1）计算：﹣||﹣（2﹣π）0+（﹣1）2017（2）先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣）+6，其中a＝﹣1【分析】（1）根据实数运算法则解答；（2）先去括号，然后合并同类项进行化简，然后代入求值．【解答】解：（1）原式＝3﹣2﹣×1＝﹣﹣1＝﹣1；（2）原式＝2a2﹣6﹣a2+a+6＝a2+a当a＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+（﹣1）＝5﹣3．【点评】考查了二次根式的化简求值，零指数幂．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．43．（1）计算：﹣（）2+（π+）0﹣+|﹣2|（2）已知a＝（+），b＝（﹣），求a2﹣ab+b2的值．【分析】（1）先化简二次根式、去括号、去绝对值，然后计算加减法；（2）先求得a2﹣ab+b2中每一单项式的值，然后代入求值．【解答】解：（1）原式＝﹣3+1﹣3+2﹣＝﹣3；（2）∵a＝（+），b＝（﹣），∴a2＝＝，b2＝＝，ab＝＝∴a2﹣ab+b2＝﹣+＝＝．【点评】考查了二次根式的化简求值，零指数幂．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．44．已知一个三角形的三边长分别为：5，，x，求这个三角形的周长（要求结果化简）．【分析】根据题目中的数据可以求得该三角形的周长；【解答】解：∵这个三角形的三边长分别为：5，，x，∴这个三角形的周长是：5++＝++＝++＝．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式的意义．45．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝a，CA＝b，AB＝c，设AD＝x，CD＝h，p＝，△ABC的面积为S，求证：（1）x＝（2）h＝（3）S＝．【分析】（1）由股定理可得CA2﹣AD2＝CD2＝BC2﹣DB2，即b2﹣x2＝a2﹣（c﹣x）2，据此可得；（2）根据（1）及勾股定理得h2＝CD2＝CA2﹣AD2＝b2﹣x2＝，据此可得；（3）利用平方差公式知（2bc）2﹣（b2+c2﹣a2）2＝（a+b+c）（b+c﹣a）（a+c﹣b）（a+b﹣c）＝16p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），根据（2）的结果知h＝，继而可得答案．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝a，CA＝b，AB＝c，AD＝x，∴在Rt△ADC和Rt△BDC中，由勾股定理可得：CA2﹣AD2＝CD2＝BC2﹣DB2，∴b2﹣x2＝a2﹣（c﹣x）2，∴x＝；（2）在Rt△ADC中，由（1）及勾股定理可得h2＝CD2＝CA2﹣AD2＝b2﹣x2＝，∴h＝；（3）∵（2bc）2﹣（b2+c2﹣a2）2＝[（b+c）2﹣a2][a2﹣（b+c）2]＝（a+b+c）（b+c﹣a）（a+c﹣b）（a+b﹣c）＝16p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），由（2）可得h＝，∴S＝hc＝．【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及二次根式的性质、三角形的面积公式等知识点．46．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：OA1＝1；OA2＝＝；S1＝×1×1＝；OA3＝＝；S2＝××1＝；OA4＝＝；S3＝××1＝；（1）推算出OA10＝．（2）若一个三角形的面积是．则它是第20个三角形．（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．【分析】（1）根据题中给出的规律即可得出结论；（2）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；（3）利用已知可得OA n2，注意观察数据的变化；（4）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．【解答】解：（1））∵OA n2＝n，∴OA10＝．故答案为：；（2）若一个三角形的面积是，∵S n＝＝，∴＝2＝，∴它是第20个三角形．故答案为：20；（3）结合已知数据，可得：OA n2＝n；S n＝；（4）S12+S22+S23+…+S2100＝++++…+＝＝【点评】本题考查了二次根式的应用以及勾股定理的应用，涉及到数据的规律性，综合性较强，希望同学们能认真的分析总结数据的特点．47．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【分析】（1）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可；（2）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可．【解答】解：（1）∵a+b≥2 （a、b均为正实数），∴a+b＝9，则a+b≥2，即≤；故答案为：；（2）由（1）得：m+≥2，即m+≥2，当m＝时，m＝1（负数舍去），故m+有最小值，最小值是2．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2 （a、b均为正实数）求出是解题关键．48．已知x、y、a满足：＝，求长度分别为x、y、a的三条线段组成的三角形的面积．【分析】直接利用二次根式的性质得出x+y＝8，进而得出：，进而得出答案．【解答】解：根据二次根式的意义，得，解得：x+y＝8，∴+＝0，根据非负数得：，解得：，∴可以组成直角三角形，面积为：×3×4＝6．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确应用二次根式的性质是解题关键．49．小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长，宽为，她又想设计一个面积相等的圆，请你帮助小静求出圆的半径．【分析】设圆的半径为R，根据圆的面积公式和矩形面积公式得到πR2＝•，再根据二次根式的性质化简后利用平方根的定义求解．【解答】解：设圆的半径为R，根据题意得πR2＝•，即πR2＝2π••，解得R1＝，R2＝﹣（舍去），所以所求圆的半径为cm．【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．50．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2，s1＝；OA32＝12+（）2＝3，S2＝；…OA42＝12+（）2＝4，S3＝；…（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OA n2＝n，S n＝．（2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？（3）求出S12+S22+S32+…+S92的值．【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；（2）利用（1）的规律代入S n＝2求出n即可；（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA1＝，OA2＝，OA3＝…OA n＝，所以OA n2＝n．S n＝•1•＝故：。

15.4 二次根式的混合运算知识点 1 二次根式的混合运算1．(1)计算12＋6×12时，先算________法，再算______法，过程为：原式＝________＋________＝________．(2)计算(18－8)×2时，先算________里面的，再算________法；也可利用________律，先算________法，再算________法，结果是________．2．下列计算错误的是( )A.43÷121＝2 7 B ．(8＋3)×3＝2 6＋3 C ．(4 2－3 6)÷2 2＝2－32 3D ．(5＋7)(5－7)＝－2 3．下列计算正确的是( ) A ．(10－2)2＝10－2＝8B ．(3＋2)(－3＋2)＝2－3＝－1C ．(2＋5)×7＝7×7＝7D ．(11－2 7)(11＋7)＝(11)2－2 7×7＝－3 4．2017·聊城 计算⎝⎛⎭⎫515－2 45÷(－5)的结果为( )A ．5B ．－5C ．7D ．－7 5．2017·青岛 计算：⎝⎛⎭⎫24＋16×6＝________．6．计算2×(2＋2)－8的结果是________．7．2018·滦南县一模计算：50－182＝________．8．若一个梯形的上底为50 cm，下底为72 cm，高为96 cm，则该梯形的面积为________．9．计算：(1)(5＋6)(5 2－2 3)＝________；(2)(3－2)2×(3＋2)2＝________．10．计算：(1)32－(2＋2)2；(2)(2 3－5 2)(12＋50)；(3)48÷3－12×12＋24；(4)12×(3－1)2＋12－1＋3－⎝⎛⎭⎫22－1.知识点 2 二次根式的化简求值11．若a －b ＝2－1，ab ＝2，则代数式(a －1)(b ＋1)的值为( ) A ．2 2＋2 B ．2 2－2 C ．2 2 D ．212．已知a ＝3＋2 2，b ＝3－2 2，则a 2b －ab 2＝________. 13．已知x ＝2－1，y ＝2＋1，求x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2的值．14．若(2 3－3 2)2＝m －6n (m ，n 为有理数)，则m ，n 的值分别为( ) A ．m ＝30，n ＝6 B ．m ＝30，n ＝12 C ．m ＝30，n ＝－12 D ．m ＝12，n ＝－12 15．若a ＝5＋2 6，b ＝2 6－5，则a ，b 的关系为( ) A ．互为相反数 B ．互为倒数 C ．积为－1 D ．绝对值相等16．已知a －3＋2－b ＝0，则1a ＋6b的值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D.4 3317．已知m ＋3n 的值为2 3，则27－2m －6n 的值是________． 18．计算：(1＋2)2019×(1－2)2018＝________．19．若a 是11的小数部分，则a (a ＋6)＝________________________.20．对于正实数a ，b 作新定义：a *b ＝a －a ＋b ，在此定义下，若9*x ＝55，则x 的值为________．21．先化简，再求值：a －2a 2－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2a －3a －1，其中a ＝ 2.22．已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x －1＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a －1)＋7的值．23．如图15－4－1，正方形的面积为48 cm 2，它的四个角均是面积为3 cm 2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积．(结果保留根号)图15－4－124．在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如53，23，23＋1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5 3＝5×33×3＝5 33；(一)23＝2×33×3＝63；(二)23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝3－1.(三)以上这种化简的步骤叫做分母有理化．我们还可以用以下方法化简：23＋1＝（3）2－123＋1＝（3－1）（3＋1）3＋1＝3－1.(四)(1)请用不同的方法化简25＋3：参照(三)式得25＋3＝_______________________________________________；参照(四)式得25＋3＝______________________________________________________.(2)化简：13＋1＋15＋3＋17＋5＋…＋12019＋2017.教师详解详析1．(1)乘 加 2 33 3 3(2)括号 乘 分配 乘 减 22．D [解析]43÷121＝43×21＝28＝2 7，故A 选项正确；(8＋3)×3＝24＋3＝2 6＋3，故B 选项正确；(4 2－3 6)÷2 2＝2－32 3，故C 选项正确；(5＋7)(5－7)＝5－49＝－44，故D 选项错误．3．B4．A [解析] 原式＝(5－6 5)÷(－5)＝(－5 5)÷(－5)＝5. 5．13 [解析] 原式＝⎝⎛⎭⎫2 6＋66×6＝13 66×6＝13.6．2 [解析] 原式＝2 2＋2－2 2＝2. 7．2 [解析] 原式＝5 2－3 22＝2 22＝2.8．44 3 cm 2 [解析] （72＋50）×962＝（6 2＋5 2）×4 62＝44 3(cm 2)．9．(1)19 2 (2)1 10．解：(1)32－(2＋2)2 ＝4 2－(4＋4 2＋2) ＝4 2－(6＋4 2) ＝－6.(2)(2 3－5 2)(12＋50) ＝(2 3－5 2)(2 3＋5 2) ＝(2 3)2－(5 2)2＝12－50 ＝－38.(3)原式＝4－6＋2 6＝4＋ 6. (4)原式＝4－2 32＋2＋1＋3－ 2＝2－3＋2＋1＋3－ 2 ＝3.11．B [解析] (a －1)(b ＋1)＝ab ＋(a －b)－1＝2＋2－1－1＝2 2－2.故选B . 12．4 2 [解析] 由已知得ab ＝1，a －b ＝4 2，所以a 2b －ab 2＝ab(a －b)＝1×4 2＝4 2.13．解：原式＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －yx ＋y .当x ＝2－1，y ＝2＋1时，原式＝2－1－2－12－1＋2＋1＝－22 2＝－22.14．B [解析] 因为(2 3－3 2)2＝(2 3)2－2×2 3×3 2＋(3 2)2＝30－12 6，所以m ＝30，n ＝12.15．C [解析] 因为ab ＝(5＋2 6)(2 6－5)＝－1，所以a ，b 的积为－1.故选C .16．D [解析] ∵a －3＋2－b ＝0， ∴a －3＝0，2－b ＝0，解得a ＝3，b ＝2， ∴1a ＋6b ＝13＋62＝33＋3＝4 33.17．－3 [解析] ∵m ＋3n ＝2 3，∴27－2m －6n ＝3 3－2(m ＋3n)＝3 3－2×2 3＝－ 3.18.2＋1 [解析] 原式＝[(1＋2)×(1－2)]2018×(1＋2)＝(－1)2018×(1＋2)＝2＋1.19．2 [解析] 因为3<11<4，所以a ＝11－3.则a(a ＋6)＝(11－3)×(11＋3)＝11－9＝2. 20．6121．解：原式＝a －2a 2－1÷a －1－（2a －3）a －1＝a －2a 2－1÷－（a －2）a －1＝a －2（a ＋1）（a －1）·a －1－（a －2）＝－1a ＋1.当a ＝2时，原式＝－12＋1＝－2＋1. 22．解：将⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3代入3x －1＝y ＋a ，得2 3－1＝3＋a ， ∴a ＝3－1，∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝a 2＋6＝(3－1)2＋6＝10－2 3.23．解：设大正方形的边长为x cm ，小正方形的边长为y cm ， 则x 2＝48，y 2＝3，解得x ＝4 3，y ＝3(负值不合题意，已舍去)．则这个长方体的底面边长为x －2y ＝4 3－2 3＝2 3(cm )，高为 3 cm ， 则长方体盒子的体积为(2 3)2×3＝12 3(cm 3)． 答：这个长方体盒子的体积为12 3 cm 3. 24．解：(1)2（5－3）（5＋3）（5－3）＝5－ 3（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－ 3 (2)原式＝3－1（3＋1）（3－1）＋ 5－3（5＋3）（5－3）＋7－5（7＋5）（7－5）＋…＋（2019－2017）（2019＋2017）（2019－2017）＝ 3－12＋5－32＋7－52＋…＋ 2019－20172＝2019－12.。

章节测试题1.【题文】进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；(一)；(二).(三)以上这种化简的步骤叫做分母有理化．我们还可以用以下方法化简：.(四)(1)请用不同的方法化简：参照(三)式得＝____________________；参照(四)式得＝____________________．(2)化简：＋＋＋…＋.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：(2)原式2.【题文】计算：(1) ÷2；(2)；(3) ×××；(4)(2＋)2017×(2－)2018.【答案】(1) ；(2) ；(3) 4；(4) 2－. 【分析】根据二次根式混合运算顺序进行运算即可.【解答】解：原式原式原式＝原式3.【题文】计算：(1) ÷2；(2)；(3) ×××；(4)(2＋)2017×(2－)2018.【答案】(1) ；(2) ；(3) 4；(4) 2－. 【分析】根据二次根式混合运算顺序进行运算即可.【解答】解：原式原式原式＝原式4.【题文】计算：(1)( ＋2)2；(2)(2－)2.【答案】(1) 9＋4；(2) 14－4.【分析】根据完全平方公式进行运算即可.【解答】解：原式原式5.【题文】计算：(1) ＋ (2＋)；(2) ÷＋×－.【答案】(1) 4＋5；(2) 4－.【分析】根据二次根式混合运算顺序进行运算即可. 【解答】解：原式原式方法总结：二次根式的乘法：6.【题文】计算：(1) (＋1)2－＋(－2)2；(2)((－)×＋|－2|－()－1；(3)【答案】(1)7;(2) ;(3)3.【分析】（1）根据完全平方公式、二次根式的性质、乘方的运算分别计算各项，再把所得的结果合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则、绝对值、负整数指数幂分别计算各项，再把所得的结果合并即可；（3）把括号内的每一个二次根式化为最简二次根式化简后合并，再计算除法即可.【解答】解：（1）原式＝3＋2－2＋4＝7.（2）原式＝－＋2－－2＝－2－＝－3.（3）原式＝(4 －＋)÷2＝6 ÷2＝3.7.【题文】阅读下面问题：；。

二次根式的混合运算 一、选择题 1.下列计算正确的是（ ） A. 23x x x += B.111235+= C.2323+=D.()()12121---=2．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )． A ．ab 与2abB mn 与n m 11+C ．22n m +与22n m -D ．2398b a 与4329b a3．b a -与a b -的关系是( )．A ．互为倒数B ．互为相反数C ．相等D ．乘积是有理式4. 224315223⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭的值是（ ）A. 1633303-B.233033-C. 223033-D. 203303-5.一个三角形的三边长分别是8cm ， 18cm ，32cm ，则此三角形的周长为（ ）A. 92B. 82C. 72cmD. 62二、填空题6．当a=______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并．7．若27+=a ，27-=b ，那么a ＋b=______，ab=______．8.如图是一个简单的数值运算程序，当输入x 2________.9. ()()20162016223223-+=___________.三、解答题 计算下列各题：10．⋅-121).2218( 11．).4818)(122(+-12．.6)1242764810(÷+- 13．⋅+⋅-22122114．已知,23,23-=+=y x 求(1)x2－xy ＋y2；(2)x3y ＋xy3的值．15.如果:①()211f -=;②()322f -=;③()43233f --==； ④()5252422f --==；…，回答下列问题：(1)利用你观察到的规律求()f n ; (2)计算：()()()()()2201721232016f f f f ++++⎡⎤⎣⎦参考答案 1.D 解析A 中，两个二次根式的被开方数不同，不能合并，故A 错误；B 中，1123322323236++=+=，故B 错误；C 中，有理数与无理数不能合并，故C 错误；D 中，()()()()()221212212121211---=-+--=--=-=，故D 正确.2．D ． 3．B ．4.A 解析原式22423153152223=⨯-⨯⨯+⨯16434833043330334316343330330.33=-+=-+⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭5.A 解析周长为8183222324292++=++=.6．6． 7．.3,728.36解析由运算程序得232462636⨯+=+=.9.1解析原式()()()()20162016220162232232291 1.⎡⎤⎡⎤-+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦10．⋅6611．.1862--12．.21513．⋅-4114．(1)9； (2)10．15.思想建立(1)要求f(n)就需要仔细观察前四个式子的规律:分母均为2，分子是两个二次根式相减，且其被开方数是连续的整数；(2)根据(1)式的规律进行计算即可.解:(1)1()n nf n +-.(2)原式)12201712132201720162=⋅+)11201712016.==-=。

二次根式的混合运算 1．下列式子运算正确的是( ) A ．321-=B ．842=C ．133=D ．1142323+=+-2．(江西中考)化简()3313--的结果是( ) A ．3 B ．－3 C ．3D ．3- 3．(2011·广东中山中考)计算()3482273-÷=___________．4．已知53,153x y xy +=+=-，则x y +=___________．5．先化简，再求值：211a a a a a ⎛⎫=÷ ⎪--⎝⎭，其中21a =+．6．如图15–4–1所示，一个长方形被分割成四部分，其中图形①②③都是正方形，且正方形①②的面积分别为4和3，求图中阴影部分的面积．图15–4–1参考答案 1．D 解析：因为A 项中的32-已是最简形式，不能再进行运算，故错误．B 项中的84222=⨯=，故错误．C 项中的1333=，故错误．而D 项中11232342323+=-++=+-，故正确．2．A 解析：()()233133333333⎡⎤--=--=-+=⎢⎥⎣⎦．3．6 解析：()()1113482273348227348227333-÷=-⨯=⨯-⨯11348227316293423 6.33=⨯-⨯=-=⨯-⨯=4．823+ 解析：因为()()2253x y +=+， 所以2532158215x y xy ++=++=+，又因为153xy =-，所以()8215215382152152382 3.x y +=+--=+-+=+5．解：原式=211.1111a a a a a a a a a ⎛⎫-÷=⨯= ⎪----⎝⎭当21a =+时，原式22112==+-． 6．解：∵①②正方形的面积为4和3，∴正方形①②的边长分别为2，3，正方形③的边长为2323(323232=．()2323222322323324346236310.S ∴==⨯⨯=-+阴影答：阴影部分的面积为6310．。

二次根式的混合运算 1．计算：⋅--+⨯2818)212(22.已知322,322a b =+=-，求a2b-ab2的值.3.先化简，再求值336436y x x xy y xy x y y ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中3,272x y ==.4.化简：(1);1525 (2);3366÷ (3);211311÷ (4).125.02121÷5．当24,24+=-=y x 时，求222y xy x +-和xy2＋x2y 的值．6．观察规律：,32321,23231,12121-=+-=+-=+……并求值． (1)=+2271_______；(2)=+10111_______；(3)=++11n n _______．7.化简：（1)459;⑵81125144⨯;(3)()52121016b a a >8．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：__________________．9.（综合应用题）若△ABC 的三边长分别为A.B.c ，化简()2a b c a b c --+-+. 10.化简:(1) ()2240m m m -<(2)221444412x x x x x ⎫-+++->⎪⎝⎭ 11.2a b ±化简，如果你能找到两个数m ，n ，使22m n a +=且mn b =2a b ± 成2a b ±.例如：(()22252632263222332+=++=++=，∴()25263232+=+=+.请你依照上面材料解下列问题: (1)526-； (2)423+.12．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：a 与a ，63+与63-互为有理化因式．试写下列各式的有理化因式：(1)25与______； (2)y x 2-与______； (3)mn 与______； (4)32+与______； (5)223+与______； (6)3223-与______．参考答案 1．2． 2.解:322,322a b =+=-，()()()223223221,3223224 2.1424 2.ab a b a b ab ab a b ∴=+-=-=+-+=∴-=-=⨯= 3.解:原式()6346xy xy xy xy =+-+()63461xy xy =+--=，当32x =，y ＝27时，原式3927222=-⨯=-4.5．.112;2222222=+=+-y x xy y xy x 6．.1)3(;1011)2(;722)1(n n -+--7.解:(1)44949759939===；(2)8112581255955155144124144⨯⨯⨯⨯⨯===； (3)54222212112111(0)161616b b b b b a a a a ⋅==＞.8．0．9.解：因为A.B.c 是△ABC 的三边长，所以a-b-c<0，a-b+c>0．所以原式=b+c-a+a-b+c=2c.10.思想建立 由于化简形如2a 的二次根式比较复杂，其结果等于a 还是等于a 的相反数，要由a的符号决定，因此将根号内的完全平方式开出根号时，一般先加上绝对值符号，然后再根据a 的符号进一步化简，这里用a 进行过渡，可以避免发生错误.解:(1)()224222244m m m m m m m m -=-=--==-(2)11,2,2,20.2x x x x -∴-∴-∴+＞＞＜＜ 22224444(2)(2)x x x x x x ∴-++++=-++[]22(2)(2)x x x x =-++=--+-+222x x x -+--=- 11.思想建立：要化简526-，423-，就需要将被开方数526-，423-分别写成一个数的平方的形式，参照材料给的方法将其转化即可.解:(1)()()()()()22252632263222332,-+-=+-⨯=-()252632∴-=-(2)()22423312331231-=++=++⨯⨯ )()2231423313 1.=-+12．(1)2； (2)y x 2-； (3)mn ； (4)32-； (5)223-； (6)3223+(答案)不唯一．。

初中数学冀教版八年级上册第十五章15.4二次根式的混合运算练习题一、选择题1.下列计算正确的是A. B.C. D.2.下列运算正确的是A. B. C. D.3.下面计算正确的是A. B. C. D.4.下列计算错误的是A. B.C. D.5.下列计算结果正确的是A. B. C. D.6.下列运算正确的是A. B. C. D.7.如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为A. B. C. D.8.的整数部分是x，小数部分是y，则的值为A. B. C. D. 29.计算的结果是A. 1B.C.D.10.如果一个长方形的长和宽分别为，，那么这个长方形的面积是A. B. C. 1 D. 2二、填空题11.计算的结果是______．12.计算：______．13.已知，，则的值为______．14.计算：______．三、解答题15.已知长方形的长，宽．求长方形的周长；求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．16.先化简，再求值：，其中，．17.计算：；；；．18.在学习二次根式时，思思同学发现一个这样的规律；；假设说思发现的规律是正确的，请你写出后面连续的两个等式；用字母表示思思发现的规律；请你给出这个结论的一般性的证明．答案和解析1.【答案】B【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误；，B正确；，C错误；，D错误；故选：B．根据二次根式的混合运算法则计算，判断即可．本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：A、原式，所以A选项错误；B、原式，所以B选项错误；C、原式，所以C选项错误；D、原式，所以D选项正确．故选：D．根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3.【答案】B【解析】解：A、4与不能合并，所以A选项错误；B、原式，所以B选项的计算正确；C、原式，所以C选项错误；D、原式，所以D选项错误．故选：B．利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4.【答案】B【解析】解：A、原式，所以A选项的计算正确；B、原式，所以B选项的计算错误；C、原式，所以C选项的计算正确；D、原式，所以D选项的计算正确．故选：B．根据二次根式的乘法法则对A、进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【解答】解：A、原式，所以A选项错误；B、原式，所以B选项正确；C、原式，所以C选项错误；D、原式，所以D选项错误．故选：B．6.【答案】C【解析】解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、，所以B选项错误；C、，所以C选项正确；D、，所以，D选项错误．故选：C．利用二次根式的加减法对A进行判断；利用二次根式的性质对B进行判断；利用二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的乘法法则对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7.【答案】C【解析】解：由题意可得两正方形的边长分别为：，，故图中空白部分的面积为：．故选：C．直接根据题意表示出正方形的边长，进而得出答案．此题主要考查了二次根式的应用，正确表示出正方形边长是解题关键．8.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，得出x，y的值是解题关键．因为的整数部分为3，小数部分为，所以，，代入计算即可．【解答】解：的整数部分为3，小数部分为，，，，故选D．9.【答案】C【解析】略10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了应用二次根式的乘法来进行长方形面积的计算，根据长方形的面积将a 与b进行相乘，再进行二次根式的化简即可．【解答】解：长方形的长和宽分别为，，长方形的面积．故选D．11.【答案】【解析】解：原式．故答案为．先分母有理化，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．12.【答案】【解析】解：原式．故答案为：．直接利用积的乘方运算法则化简得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．13.【答案】8【解析】解：，故答案为8．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式是解题的关键．14.【答案】4【解析】解：原式，故答案为：4．先化简括号内的二次根式，再合并括号内的同类二次根式，最后计算乘法即可得．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．15.【答案】解：，．长方形的周长；正方形的周长，，．【解析】首先化简，．代入周长计算公式解决问题；求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积计算方法是解决问题的关键．16.【答案】解：原式，当时，原式．【解析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．本题考查了整式的混合运算化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．17.【答案】解：原式原式原式原式【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；利用完全平方公式计算；利用二次根式的除法法则运算；先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18.【答案】解：；；的整数；的整数．【解析】利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式；写出第个等式即可；根据二次根式的性质进行证明．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。

15.4 二次根式混合运算当堂检测1.计算(2-3)的结果是()A.-B.-C.D.解析:原式=(8-9)=-=-.故选B.2.已知x=2+,y=-2,则x与y的关系是()A.x=yB.x=-yC.xy=1D.xy=-1解析:xy=(2+)(-2)=3-4=-1.故选D.3.化简(-2)2015·(+2)2016的结果为()A.-1B.-2C.+2D.--2解析:原式=[(-2)·(+2)]2015·(+2)=(3-4)2015·(+2)=--2.故选D.4.已知a=3+,b=3-,则代数式-的值是()A.24B.±2C.2D.2解析:∵a=3+,b=3-,∴a+b=6,ab=4,∴--=2.故选C.5.化简-的结果是()A.-B.2-C.3-2D.2-解析:原式=-=2-.故选D.6.下列运算正确的是()A.(5-2)-B.(2+)2=9+2C.(-)=1D.()=解析:A.原式=---,所以A选项正确;B.原式=4+5+4=9+4,所以B选项错误;C.原式=(-)·--=2-,所以C选项错误;D.原式=·----,所以D选项错误.故选A.7.计算.(1)-;(2)-5+6;(3)-.解析:(1)(2)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;(3)根据二次根式的乘法法则运算.解:(1)原式=2+4-=5.(2)原式=4-=3.(3)原式=-=20-3=17.8.计算:-(-)+.解析:先进行二次根式的化简和乘法运算,然后合并.解:原式=+1+3-3=4-.9.已知a是4的小数部分,求代数式----的值.解:∵4,∴6<4<7, ∴a=4-6,∴a-1<0,∴--------=a-1+---=a-1-=4-6-1--=4-7--=4-7---7.课后检测1.若a=,b=-,则ab的值为()A.2mB.2mnC.m+nD.m-n2.计算(2-2)()的结果是()A.32B.16C.8D.43.()(-)的值等于 ()A.2B.-2C.D.4.已知x=2-,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是()A.0B.C.2+D.2-5.下列计算正确的是()A.2+3=5B.()·=10C.(3+2)(3-2)=-3D.()2=()2+()2=2+6=126.规定a※b=-,则※的值是()A.5-2B.3-2C.-D.7.计算2-6-3-(-1)2的值为()A.-4-4B.-4C.2-4D.-38.-的值是()A.-3B.3-C.2-D.-9.下列计算正确的是()A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3B.(2)(-)=2x-yC.(3-)2=32-()2=6D.()(-)=110.的结果估计在()A.10到11之间B.9到10之间C.8到9之间D.7到8之间11.计算.(1)---.;(2)(5-6);(3)(+1)(2-);(4)(2-3)2.12.已知a=-1,b=+1,分别求下列各式的值:(1)a2+b2;(2).13.若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.(1)3与是关于1的平衡数,5-与是关于1的平衡数;(2)若(m+ × 1-)=-5+3,判断m+与5-是否是关于1的平衡数,并说明理由.答案与解析1.D(解析:∵a=,b=-,∴ab=()(-)=()2-()2=m-n.故选D.)2.C(解析:原式=(2-2)(2+2)=(2-2)(2+2)=(2)2-(2)2=20-12=8.故选C.)3.B(解析:原式=3-5=-2.故选B.)4.C(解析:把x=2-代入代数式(7+4)x2+(2+)x+得(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+4-3+=49-48+1+=2 +.故选C.)5.C(解析:A.2与3不能合并,所以A选项错误;B.原式=,所以B选项错误;C.原式=9-12=-3,所以C选项正确;D.原式=2+4+6=8+4,所以D选项错误.故选C.)6.A(解析:根据规定,原式=-=(-)2=5-2.故选A.)7.B(解析:原式=4-2-4-(3-2+1)=4-2-4-3+2-1=-4.故选B.)8.A(解析:原式=-=4-3-3.故选A.)9.D(解析:A.(3-2)(3+2)=9-8=1,所以A选项错误;B.(2)(-)=2x-2-y=2x--y,所以B选项错误;C.(3-)2=9-6+3=12-6,所以C选项错误;D.()(-)=x+1-x=1,所以D选项正确.故选D.)10.D(解析:原式==4+,∵9<10<16,∴3<<4,∴7<4+<8.故选D.)11.解:(1)原式=4--=3. (2)原式=5-6=20+2-6=22-2. (3)原式=(+1) (-1)=(2-1)=. (4)原式=12-12+18=30-12.12.解:当a=-1,b=+1时,(1)原式=(-1)2+(+1)2=4-2+4+2=8. (2)=4.原式=--13.解:(1)-1-3+(2)不是.理由如下:∵ m+ × 1-)=m-m+-3,又∵ m+ × 1-)=-5+3,∴m-m+-3=-5+3,∴m-m=-2+2,即m(1-)=-2(1- ,∴m=-2.∴ m+)+(5-)=(-2+)+(5- =3,∴-2+与5-不是关于1的平衡数.。

15.4 二次根式的混合运算专题一 二次根式与乘法公式1.计算：=______.2.计算：．3.已知，，求的值.专题二 二次根式与新定义运算4.对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下：， 如：_____. 5.用“”定义一种新运算：对任意实数，都有，如：的值.专题三 二次根式与其他知识的综合应用6.已知长方形的长为cm ，宽为cm ，则长方形的面积为______cm ².7.已知，求的值.20132014(2(233a =b =33a b ab -a b 、0)a b a b *=+>32*==6(54)**=⊗a b 、a b ⊗=(0)a b >>53⊗=(164)(259)⊗⊗⊗a =2121a a a -+-8.先化简，再求值：，其中状元笔记：【知识要点】1.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序同有理数的混合运算顺序一样，也应先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的.（2）有理数、整式的运算法则、运算律在这里同样适用.【温馨提示】1.注意利用整式运算中的法则和乘法公式解决二次根式的混合运算.2.注意有些问题需先化简，再求值（有时已知和所求的式子都需要化简）.【方法技巧】运用类比和转化的数学思想与方法是解题的关键.参考答案2222211()()b a ab b a a ab a a b-+÷++-a =b =1.解析：原式===.2.解：原式==8=8.3.解：∵，，∴，. ∴原式=4.1 解析：∵，∴，∴．5.解：∵，，∴，∴.6.2 解析：=(cm²).7. 解：，=.8. 解：原式==．当原式===．220132013(2(2(22013(2(2⎡⎤⎣⎦(233⎡⎤⎣⎦3⎡⎤⎣⎦1a==1b==1ab=a b+=2a b-= ()()ab a b a b+-12=⨯=0)a b a b*=+>543*==6(54)63**=*1=1642⊗==2592⊗=02-222==⊗(164)(259)0⊗⊗⊗=⋅2220182-=-=21a==-<12a=+2(1)1aa--2(1)1aa-=--1(1)aa a--11aa=-+2123=+=2()()()()b a b a a a ba ab a b ab+-+⋅⋅-+1ab-a=b=1。