第七课时二次函数在闭区间上最值问题研究

函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题一、二次函数的三种形式1、一般式：()()20=++≠f x ax bx c a2、顶点式：若二次函数的顶点为(),h k ，则其解析式为()()()20=-+≠f x a x h k a 3、两根式：若相应一元二次方程20++=ax bx c 的两个根为1x ，2x ，则其解析式为()()()()120=--≠f x a x x x x a二、二次函数在闭区间上的最值二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.设()()20=++≠f x ax bx c a ，求()f x 在[],∈x m n 上的最大值与最小值。

将()f x 配方，得顶点为24,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭b ac b a a ，对称轴为2=-b x a （1）当[],2-∈bm n a时， ()f x 的最小值为2424-⎛⎫-=⎪⎝⎭b ac bf a a ， ()f x 的最大值为()f m 与()f n 中的较大值； （2）[],2-∉bm n a时， 若2-<bm a，由()f x 在[],m n 上是增函数，则()f x 的最小值为()f m ，最大值为()f n ；若2->bn a，由()f x 在[],m n 上是减函数，则()f x 的最小值为()f n ，最大值为()f m ；三、二次函数在闭区间上的最值类型1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

浅谈二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上取得最值时的x，只能是其图像的顶点的横坐标或所给区间的端点，因此影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。

在这三大因素中最容易确定的是开口方向，而对所给区间与对称轴位置的讨论时解决问题的关键。

本文以实例说明具体的求解方法，供读者参考。

1.所给区间确定，对称轴位置也确定如果给定区间确定了，其对称轴的位置也确定了，只需要先考虑其对称轴的横坐标是否在给定区间内。

对称轴的横坐标在给定区间内时，其一个最大值在顶点处获得，另一个最大值在顶点横坐标较远的端点处获得。

当对称轴的横坐标不在给定区间内时，可以利用函数的单调性来确定其最大值。

2．所给区间变化，对称轴位置确定如果给定的区间是变化的，对称轴的位置是确定的，那么就需要讨论区间变化时对称轴的横坐标是否包含在内。

分类标准是:对称轴的横坐标包含在变化区间内；对称轴的横坐标不包括在变化区间内。

观察前两个问题的解法，为什么最大值有时在两种情况下讨论，有时在三种情况下讨论？其实这些问题只要仔细思考就能轻松解决。

不难观察到，二次函数在闭区间上的最大值总是取在闭区间的末端或二次函数的顶点。

在第一个例子中，这个二次函数有一个向上的开口。

在闭区间内，其最小值可在区间两端或二次函数的顶点处获得。

有三种可能，所以分三种情况讨论。

而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只能是一个封闭区间的两个端点，其中端点远离对称轴，将根据区间中点到左右端点的距离分两种情况讨论。

按照这种理解，就不难解释为什么要这样讨论第二个例子了。

3．所给区间确定。

对称轴位置变化如果给定区间一定，但对称轴的位置发生变化，则必须分类讨论给定对称轴位置的变化。

对称轴的横坐标在给定区间内变化；对称轴的横坐标在给定区间之外变化。

如果对称轴的横坐标只能在给定区间内变化，则只需考虑离终点的距离。

总结：一元二次函数的区间极大值问题的核心是讨论函数对称轴与给定区间的相对位置关系。

第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题 一．知识点介绍1.区间的概念设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；②在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；③实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的全体分别表示为[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。

我们把以上区间记为A ，若x 是A 中的一个数，就说x 属于A ，记作x ∈A 。

否则就说x 不属于A ，记作x ∉A 。

2. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在x ∈[α,β]上的最值： 当a>0时，有三种情况：从上述a>0的三种情况可得结论：（1）若[,]2baαβ-∈，则当2b x a =-时，2min4()24b ac b y f a a-=-=，它的最大值为()f α与()f β中较大的一个。

(2) 若[,]2baαβ-∉，则最大值为()f α与()f β中较大的一个，另一个即为最小值。

当a<0可作同样处理。

二．例题讲解：类型一“轴定区间定”例1：已知f(x)=x 2-x+2，当x 在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。

(1) x ∈[-1,0] (2) x ∈[0,1] (3) x ∈[1,2]变式1：求y =的最值。

变式2：已知0≤x≤1，求y =的最值。

变式3：求函数y x =+的最小值。

类型二“轴变区间定”例2：求函数f(x)=2x 2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值。

二次函数在闭区间上的最值(详解)二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。

设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。

分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。

当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。

2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a<m，由f(x)在[m,n]上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是max{f(-b/2a),f(n)}；若n<-b/2a，由f(x)在[m,n]上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是min{f(-b/2a),f(n)}。

当a<0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。

2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。

例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。

含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。

通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。

本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。

引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。

一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。

如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。

这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。

2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。

驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。

对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。

令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。

这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。

3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。

根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。

二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。

1. 观察函数的开口方向。

由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。

2. 求导。

对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。

令f'(x) = 0，解得x = -b/2。

这个x值就是函数的驻点。

3. 比较端点值和驻点值。

在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。

闭区间上二次函数的最值问题二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又丰富．作为最基本的初等函数，例题：已知函数f(x)＝x 2－ax ＋1，求函数f(x)在区间[－1，1]上的最值．变式1已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，1]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．变式2求二次函数f(x)＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)在区间⎣⎡⎦⎤－32，2上的最大值．串讲1已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________________．串讲2若f(x)＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g(a)． (1)求g(a)的解析式；(2)求能使g(a)＝12的a 值，并求出当a 取此值时，f(x)的最大值．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，证明M －m的值与b 无关．已知a 为实数，函数f(x)＝x 2＋|x －a|＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小值；(2)若a ＞0，g (x )＝f (x )＋a |x |，求g (x )的最小值．答案：(1)f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34＋a ，a ≥12，a 2＋1，－12＜a ＜12，34－a ，a ≤－12.(2)g (x )min＝⎩⎨⎧a ＋1，a ≥1，－a 2＋6a ＋34，13≤a ＜1，2a 2＋1，0＜a ＜13.解析：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －a ＋1，x ≥a ，x 2－x ＋a ＋1，x ＜a ，①当a ≤－12时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递减， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ；2分 ②当－12＜a ＜12时，f (x )在(－∞，a )上单调递减，(a ，＋∞)上单调递减，f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1；4分③当a ≥12时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递减，⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a ；6分综上：f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34＋a ，a ≥12，a 2＋1，－12＜a ＜12，34－a ，a ≤－12.7分(2)g (x )＝x 2＋|x －a |＋1＋a |x |＝⎩⎨⎧x 2＋（a ＋1）x －a ＋1，x ≥a ，x 2＋（a －1）x ＋a ＋1，0＜x ＜a ，x 2－（a ＋1）x ＋a ＋1，x ≤0.①当a ＋12≤a 时，即a ≥1时，－a ＋12＜0且1－a 2≤0，g (x )在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递减，g (x )min ＝g (0)＝a ＋1；9分 ②当a ＋12＞a 时，即0＜a ＜1时，－a ＋12＜0且1－a 2＞0，(ⅰ)当1－a 2≤a ，即13≤a ＜1时，g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1－a 2上单调递减，⎝⎛⎭⎫1－a 2，＋∞上单调 递减，所以g (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1－a 2＝－a 2＋6a ＋34；11分(ⅱ)当1－a 2＞a ，即0＜a ＜13时，g (x )在(－∞，a )上单调递减，(a ，＋∞)上单调递减，所以g (x )min ＝f (a )＝2a 2＋1；13分综上：g (x )min＝⎩⎨⎧a ＋1，a ≥1，－a 2＋6a ＋34，13≤a ＜1，2a 2＋1，0＜a ＜13.14分例题1答案：f(x)min ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.解法1函数f(x)＝x 2－ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24＋1，对称轴为x ＝a 2，①当a2＜－1时，即a ＜－2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2＋a ，f(x)max ＝f(1)＝2－a ；②当－1≤a 2＜0时，即－2≤a＜0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1上单调递增，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24，f(x)max ＝f(1)＝2－a ；③当0≤a 2＜1时，即0≤a＜2时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1上单调递增，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24，f(x)max ＝f(－1)＝2＋a ；④当a2≥1时，即a≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，f(x)min ＝f(1)＝2－a ，f(x)max＝f(－1)＝2＋a.综上，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.解法2函数f(x)＝x 2－ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24＋1，对称轴为x ＝a 2，先求最小值．①当a2＜－1时，即a ＜－2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2＋a ；②当－1≤a 2≤1时，即－2≤a≤2时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24；③当a2≥1时，即a≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，f(x)min ＝f(1)＝2－a.再求最大值，因为抛物线开口向上，则最高点必为曲线一端点，所以f(x)max ＝max {f(－1)，f(1)}＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.综上，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0. 变式联想变式1答案：[－3，1]．解法1研究函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在x∈[－1，1]时的最小值，f(x)＝x 2－2ax ＋2＝(x －a)2＋2－a 2，对称轴为x ＝a.①当a≤－1时，f(x)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)min ＝f(－1)＝2a ＋3，要使得f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a ，即2a ＋3≥a，所以－3≤a≤－1.②当－1＜a ＜1时，f(x)在[－1，1]上的最小值为f(x)min ＝f(a)＝2－a 2，要使得f(x)≥a恒成立，只需f(x)min ≥a ，即2－a 2≥a ，所以－1＜a ＜1.③当a≥1时，f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝3－2a ，要使得f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a ，即3－2a≥a，所以a ＝1.综上，实数a 的取值范围是[－3，1]．解法2不等式f(x)≥a 可化为a(1＋2x)≤x 2＋2①当－1≤x＜－12时，不等式化为a≥x 2＋22x ＋1，令g(x)＝x 2＋22x ＋1，则g′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋1′＝2（x 2＋x －2）（2x ＋1）2＜0，g(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12上单调递减，所以g(x)max ＝g(－1)＝－3，则a≥－3.②当x ＝－12时，0≤14＋2恒成立，则a∈R.③当－12<x ≤1时，不等式化为a ≤x 2＋22x ＋1，令g (x )＝x 2＋22x ＋1，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋1′＝2（x 2＋x －2）（2x ＋1）2＜0，g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1，则a ≤1.综上，实数a 的取值范围是[－3，1]． 变式2答案：f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（2a －1）24a－3，a ＜－1，－34a －32，－1≤a＜25且a≠0，8a －5，a ≥25. 解析：f(x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a －12a 2－（2a －1）24a －3，对称轴为x ＝ －2a －12a， (1)当a ＞0时， ①当－2a －12a ≤14，即a≥25时，f(x)max ＝f(2)＝8a －5； ②当－2a －12a ＞14，即0＜a ＜25时，f(x)max ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34a －32. (2)当a ＜0时，－2a －12a＜0， ①当－2a －12a ≤－32时，即－1≤a＜0时，f(x)max ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34a －32； ②当－32＜－2a －12a＜0时，即a ＜－1时，f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a －12a ＝－（2a －1）24a －3.综上，f(x)max＝⎩⎪⎨⎪⎧－（2a －1）24a－3，a ＜－1，－34a －32，－1≤a＜25且a≠0，8a －5，a ≥25. 说明：二次函数在闭区间的最值问题一般分为含参和不含参两种类型，对于不含参的定轴、定区间问题，根据轴与区间的位置关系，结合图象，确定函数的单调性即可求得最值；对于定轴、动区间，动轴、定区间，动轴、动区间的含参最值问题，常常抓住对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分类讨论时要做到不重、不漏；不过有时直接研究函数在区间端点处的取值以回避繁琐的分类讨论显得更快捷．总之，数形结合，灵活处理是解决此类问题的关键所在．串讲激活串讲1 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0. 解法1讨论对称轴与区间的位置关系，求出f(x)的最大值f(x)max ，解不等式f(x)max <0；解法2因为抛物线开口向上，所以最大值在区间端点处取得．则要使得任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，解得－22＜m ＜0.串讲2答案：(1)g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－4a （a ＞2），－a22－2a －1（－2≤a≤2），1（a ＜－2）；(2)5.解析：(1)f(x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－a 22－2a －1，令t ＝cos x ∈[－1，1]．当a 2＜－1，即a ＜－2时，f(x)在cos x ＝－1时取得最小值，即g(a)＝1；当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，f(x)在cos x ＝a 2时取得最小值，即g(a)＝－a 22－2a －1；当a2＞1，即a ＞2时，f(x)在cos x ＝1时取得最小值，即g(a)＝1－4a.综上，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－4a （a ＞2），－a22－2a －1（－2≤a≤2），1（a ＜－2）.(2)由g(a)＝12，得1－4a ＝12或－a 22－2a －1＝12，当1－4a ＝12，a ＝18，与a ＞2矛盾，舍去；当－a 22－2a －1＝12，得a ＝－3(舍去)或a ＝－1∈[－2，2]所以f(x)＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋12，当cos x ＝1时，f(x)max ＝5. 新题在线答案：M －m ＝⎩⎪⎨⎪⎧|1＋a|，a ＜－2，或a ＞0，a 24，－2≤a≤－1，1＋a ＋a 24，－1＜a≤0.M －m 的值与b 无关．解析：函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象是开口朝上且以直线x ＝－a 2为对称轴的抛物线．①当－a 2＞1或－a2＜0，即a ＜－2，或a ＞0时，函数f(x)在区间[0，1]上单调，此时M －m ＝|f(1)－f(0)|＝|1＋a|，故M －m 的值与b 无关；②当12≤－a 2≤1，即－2≤a≤－1时，函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，且f(0)＞f(1)，此时M －m ＝f(0)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a24，故M －m 的值与b 无关；③当0≤－a 2＜12，即－1＜a≤0时，函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，且f(0)＜f(1)，此时M －m ＝f(1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1＋a ＋a 24，故M －m 的值与b 无关．综上，M －m 的值与b 无关．。

二次函数在闭区间上的最值问题湖北省荆州中学 鄢先进二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。

影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。

本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。

类型一 定轴定区间例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =-变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。

分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数，min ()(2)0f x f ∴==变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值.分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。

max ()(3)3f x f ∴==例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]-41，上的最大值为5，求实数a 的值。

解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。

很明显，其顶点横坐标在区间[]-41，内。

x①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。

当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去图1 图2②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去综上可知：函数f x ()在区间[]-41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。

专题07二次函数的最值问题考点1：定轴动区间；考点2：动轴定区间。

1．在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0解：抛物线的对称轴是直线x ＝1，则当x ＝1时，y ＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x ＝3时，y ＝9﹣6﹣3＝0是最大值．答案：A ．2．（易错题）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，答案：D．3．（易错题）当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．0或2D ．﹣1或2解：当y ＝1时，有x 2﹣2x +1＝1，解得：x 1＝0，x 2＝2．题型01定轴动区间∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，答案：D．4．已知函数y＝﹣3（x﹣2）2+4，当x＝2时，函数取得最大值为4．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），又∵a＝﹣3＜0，∴抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，∴x＝2时，函数有最大值为4．答案：2，4．5．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为43或﹣4．解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a=43，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．答案：（1）﹣1；（2）43或−4．7．（易错题）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数=(+12)2+34在区间[0，32]上的最小值．（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．如图1所示：当x＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．答案：﹣7．（2）=(+12)2+34，其对称轴为直线=−12，顶点坐标(−12，34)，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间[0，32]内，如图2所示：当x＝0时，函数y有最小值m=1．（3）将二次函数配方得：y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x＝t﹣2时，函数取得最小值：m=(−4)2−8=2−8+8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x＝2时，函数取得最小值：y min＝﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x＝t﹣1时，函数取得最小值：m=(−3)2−8=2−6+1综上讨论，得m=2−8+8(＞4)−8(3≤≤4)2−6+1(＜3)．8．（易错题）已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x ≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．解：（1）∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a ＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x ＝3时，y 最大值＝4，∵当1≤x ≤3时，y 随着x 的增大而增大，∴当x ＝1时，y 最小值＝0，∵当3＜x ≤4时，y 随着x 的增大而减小，∴当x ＝4时，y 最小值＝3．∴当1≤x ≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而增大，当x ＝t +3时，m ＝﹣（t +3）2+6（t +3）﹣5＝﹣t 2+4，当x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9，∴﹣6t +9＝3，解得t ＝1（不合题意，舍去），②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m ＝4，i ）当0≤t ≤32时，在x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝t 2﹣6t +9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3−3，t2＝3+3（不合题意，舍去）；ii）当32＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1=3，t2=−3（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3−3或3．9．已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣1解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值=4a−24=4oK1)−424=2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．答案：C．10．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣aB．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2aC．当k＝4时，函数y的最小值为﹣aD．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a题型02动轴定区间解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），∴二次函数的对称轴是：=1+22=rr2=2r2，∵a＞0，∴y有最小值，当=2r2时y最小，即=o2r2−p(2r2−−p=−24，当k＝2时，函数y的最小值为=−224=−；当k＝4时，函数y的最小值为=−424=−4，答案：A．11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值154C．最小值5D．最小值154解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：4a−24=4×1×6−324×1=154．答案：D．12．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．32B．2C．32或2D．−32或2解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，解得：m=−32；②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，解得：m=32＜2（舍）；③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，解得：m=2或m=−2＜−1（舍），∴m的值为−32或2，答案：D．13．（易错题）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是32或−解：对称轴：x=−22=−k，分三种情况讨论：①当﹣k＜﹣1时，即k＞1时，此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，＝（﹣1）2+2k×（﹣1）+1＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，y小k=32，②当﹣1≤﹣k≤2时，即﹣2≤k≤1，对称轴在﹣1≤x≤2内，此时函数在﹣1≤x≤﹣k，y随x的增大而减小，在﹣k≤x≤2时，y随x的增大而增大，＝（﹣k）2+2k•（﹣k）+1＝﹣1，∴当x＝﹣k时，y有最小值，y小k2﹣2k2+2＝0，k2﹣2＝0，k=±2，∵﹣2≤k≤1，∴k=−2，③当﹣k＞2时，即k＜﹣2，此时﹣1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y有最小值，y＝22+2k×2+1＝﹣1，小k=−32（舍），综上所述，k的值可能是32或−2，答案：32或−2．14．已知y＝﹣x（x+3﹣a）是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是a≤5．解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的左边，函数方能在这个区域取得最大值，x=K32＜1，即a＜5，第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为x＝1，∴K32=1，即a＝5综合上所述a≤5．答案：a≤5．15．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2hx+h，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是14．解：二次函数y＝x2﹣2hx+h图象的对称轴为直线x＝h．当h≤﹣1时，x＝﹣1时y取最小值，此时n＝1+2h+h＝1+3h≤﹣2；当﹣1＜h＜1时，x＝h时y取最小值，此时n＝h2﹣2h2+h＝﹣h2+h＝﹣（h−12）2+14≤14；当h≥1时，x＝1时y取最小值，此时n＝1﹣2h+h＝1﹣h≤0．综上所述：n的最大值为14．答案：14．16．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为1或2．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值方程无解．（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，＝1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1．（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1或2．答案：1或2．17．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m=−3−10或m=−3+10（舍去）．综上所述，m＝﹣2或−3−10．18．（易错题）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得，b1＝4，b2＝﹣4，∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=−2，①当−2＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1=−7（舍去），b2=7；②当b≤−2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=−2，y=34b2为最小值，∴34b2＝21，解得，b1＝﹣27（舍去），b2＝27（舍去）；③当−2＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；∴b=7时，解析式为：y＝x2+7x+7b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+7x+7或y＝x2﹣4x+16．。

中考热点，二次函数区间范围的最值问题二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。

二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。

中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，导致解题失误或错误。

类型1 求解自变量在不同区间里二次函数最值1．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．【解析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣2≤x≤1的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值．∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．2．（2019•新华区校级自主招生）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2【解析】：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）.其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，∴1≤m≤2．故选：C．3．（2019•郑州模拟）二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．【解析】：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．4．（2019•邯郸模拟）对于题目“二次函数y＝3/4（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m ＝﹣2，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜2m﹣3时，即m＞3，y的最小值是当x＝2m﹣3时的函数值，此时3/4（2m﹣3﹣m）2+m＝1，因为方程无解，故m值不存在；②当2m﹣3≤m≤2m时，即0≤m≤3时，二次函数有最小值1，此时，m＝1，③当m＞2m时，即m＜0，y的最小值是当x＝2m时的函数值，此时，3/4（2m﹣m）2+m＝1，解得m＝﹣2或m＝2/3，∵m＜0，∴m＝﹣2,所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．类型2 二次函数区间最值解决实际问题利用二次函数解决实际问题，最常见的为利润问题和费用最低等问题，首先根据题中常见的等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值，注意要考虑自变量在实际问题中的取值范围。

一、 知识要点：一班函数求最值，二次函数求最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a ac b a 2442，、对称轴为x b a=-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。

二、 题型：求最值，含参求最值，已知最值求参数（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。

二次函数在闭区间上的最值一．知识点精讲1 二次函数的三种形式（1）一般式 c bx ax x f ++=2)(； （2）交点式))(()(21x x x x a x f --=； （3）顶点式k h x a x f +-=2)()( 2．二次函数的基本性质（1）开口方向 0>a 时，开口向上， 0<a 时，开口向上，（2）对称轴方程ab x 2-= （3）02=++c bx ax 根的判别式 ac b 42-=∆（4）02=++c bx ax 的求根公式 aac b b x 2422,1-±-=（5）02=++c bx ax 两根和，两根积 a b x x -=+21 ac x x =21 3 解决二次函数问题的常用方法——数形结合法二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。

结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。

因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。

4 二次函数c bx ax x f ++=2)(在区间［p ，q ］上的值域求法方法：讨论或分析对称轴和区间的位置关系。

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。

二 典型例题1 求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最小值 解析：二次函数的对称轴为1=x ，（1）当11<+m 时，即0<m ，12m in +=m y（2）当1>m 时，1)1(2m in +-=m y （3）当10≤≤m 时，1m in =y变式1：求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最大值 解析：（1）当21≤m 时，1)1(2m ax +-=m y （2）当21>m 时，12max +=m y变式2 求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最小值 解析：二次函数的对称轴为a x =， （1）当1-<a 时， 12m in +=a y （2）当1>a 时，1)1(2m in +-=a y （3）当10≤≤a 时，1m in =y变式3：求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最大值 解析：（1）当0≤a 时， a y 24m ax -=（2）当0>a 时，a y 24m ax +=二次函数是个筐，什么东西都能往里装变式4求124)(1+-=+x xx f ，]2,1[-∈x 的值域解析：xt 2=]4,21[∈t ，22)1(12)(-=+-=t t t t g ，当1=t 时，即0=x ，0)(m in =t g 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]9,0[∈y变式5 求1log log )(222++=x x x f ]2,81(∈x 的值域 注意：22)(log log x x a a =解析：x t 2log =，]1,3(-∈t ，43)21(1)(22++=++=t t t t g ，当21-=t 时，即22=x 时，43)(min =t g 当3-=t 时，即81=x ，7)(m ax =t g ，∴]7,43()(∈t g 即]9,0[∈y 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]7,43[∈y变式6 （2009福建理）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。

二次函数值域问题探讨摘要：二次函数的值域问题是高中数学的重点问题之一，也是高考的热门考点之一，学生能否透彻的理解这一问题，对学生学好数学，掌握数形结合的重要思想，有着很大的帮助。

本文针对这一问题，从数形结合入手，逐步扩展，帮助学生理解掌握这一知识要点，让其能够运用这一方法解决一些二次函数与其他函数复合的问题。

关键词：二次函数的图象、对称轴、最值、复合正文：“函数”是中学数学的十分重要的内容，其思想、方法、观点贯穿着整一个高中阶段，因而学好函数，对学好高中数学有着决定性的意义。

在新教材中，二次函数的权重再一次增加，一方面，高中常见的复合函数大部分是与二次函数进行复合，另一方面，解析几何的很多问题可以转化成二次函数的问题进行求解。

所以，正确的理解二次函数的图象与性质，对我们进一步学好高中数学有着举足轻重的作用。

现在，让我们一起来来揭开二次函数神秘的面纱，把握其本质。

一、二次函数的定义与图象特征类似于f(x)=ax2+bx+c（a≠0）的函数我们称之为二次函数。

通过描点作图画或计算机作图我们可知二次函数的图象是一条抛物线，它的开口方向由a决定，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下，对称轴为。

知道这一特点之后，作图时，我们可先画出其对称轴，根据需要再描出它与x轴（或y轴）的交点，结合其开口方向就可画出二次函数的大致图象，例如我们要画y=x2-4x+3的图象，从前面的知识中，我们可知函数的对称轴为x＝2，开口向上，与x轴交点的横坐标分别为：1，3(y=0时，x的值)从而画出它的大致图象(如右图)。

从图中可知，它的单调区间为：(－∞，2],[ 2,+ ∞)其中(－∞，2]为单调减区间，[ 2,+ ∞)为单调增区间。

由此可见，其单调性由开口方向与对称轴决定。

二、二次函数在闭区间的值域二次函数在闭区间的值域与其函数图象对称轴及开口方向有密切联系。

要求二次函数f(x)=ax2+bx+c （a≠0）在区间[a,b]的值域，(不妨设a>0)我们首先要判断其图象对称轴是否在区间[a,b]内，若在，我们根据前面所讲画图可知，该函数在[a, ]单调递减，在[ ,b]单调递增，故我们只需计算f(x)在x=a,x=b,x=时的值，三者中的最大即为该函数在区间[a,b]的最大值，最小值即为该函数在区间[a,b]的最小，从而值域可求。

含参二次函数在闭区间上最值问题的解题策
略
含参二次函数在闭区间上最值问题是高中数学中比较常见的一类
应用题型，解题需要一定的技巧和策略。

以下是解决这类问题的步骤
和方法：
一、列出含参二次函数的解析式
在解决含参二次函数在闭区间上最值问题前，首先要列出函数的
解析式。

一般来说，含参二次函数可表示为 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）。

其中，a、b、c为常数，x为自变量，f(x)为函数值。

二、确定闭区间
在这一步骤中，需要根据问题描述，确定函数所在的闭区间，常
见的闭区间如[0,1]，[1,2]等，不同的闭区间对所求的解有直接影响。

三、确定函数的最值
确定函数的最值是整个求解过程中最重要的一步，需要按照以下
几个步骤来处理：
1. 求出函数的极值点
通过求导数并将函数的导数等于0来计算函数的极值点。

即
f'(x)=2ax+b=0。

解出x的值，即可得到函数的极值点。

2. 判断极值点是否在所求的闭区间内
将极值点带入原函数来计算函数值，判断函数的最值是否在所求
的闭区间内。

3. 比较区间端点和极值点的函数值
求出闭区间端点的函数值f(a)和f(b)，并将它们与极值点的函
数值进行比较。

找出函数值最大或最小的点，即为所求的最值。

四、解答问题
最后，将求得的函数最值带入题目中，解答出最终问题。

总结：在解决含参二次函数在闭区间上最值的问题时，需要先列
出含参二次函数的解析式，确定闭区间，进而求出函数的最值，最后将所求的函数最值带入题目中进行解答。

中考热点，二次函数区间范围的最值问题二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。

二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。

中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，导致解题失误或错误。

类型1 求解自变量在不同区间里二次函数最值1．（20192019•大兴区一模）已知二次函数•大兴区一模）已知二次函数y＝x 2﹣2x+3+3，当自变量，当自变量x满足﹣满足﹣11≤x≤2时，函数y的最大值是 ．【解析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣在﹣22≤x≤1的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值．∵二次函数y＝x2﹣2x+3+3＝（＝（x﹣1）2+2+2，，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣＝﹣11时，二次函数有最大值为：（﹣（﹣11﹣1）2+2+2＝＝6，故答案为6． 2．（20192019•新华区校级自主招生）已知函数•新华区校级自主招生）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间在闭区间[0[0[0，，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2【解析】：∵二次函数y＝x＝（x﹣1）2+2+2，，2﹣2x+3+3＝（∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）.其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，在闭区间[0[0[0，，m]上有最大值3，最小值2，∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间∴1≤m≤2．故选：C．2019•郑州模拟）二次函数•郑州模拟）二次函数y＝x3．（2019在﹣22≤x≤3的范围内有最小值﹣2﹣4x+a在﹣3，则a＝ ．【解析】：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，的范围内有最小值﹣33，在﹣22≤x≤3的范围内有最小值﹣∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣＝﹣33，∴a＝1，故答案为1．3/4（（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤•邯郸模拟）对于题目“二次函数y＝3/42019•邯郸模拟）对于题目“二次函数4．（2019x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m ＝﹣22，则（ ）＝﹣A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．二次函数的对称轴为直线x ＝m ，①m ＜2m ﹣3时，即m ＞3，y 的最小值是当x ＝2m ﹣3时的函数值， 此时3/43/4（（2m ﹣3﹣m ）2+m ＝1，因为方程无解，故m 值不存在；②当2m ﹣3≤m ≤2m 时，即0≤m ≤3时，二次函数有最小值1，此时，m ＝1，③当m ＞2m 时，即m ＜0，y 的最小值是当x ＝2m 时的函数值，此时，此时，3/43/43/4（（2m ﹣m ）2+m ＝1，解得m ＝﹣＝﹣22或m ＝2/32/3，，∵m ＜0，∴m ＝﹣＝﹣2,2,2,所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C ．类型2 二次函数区间最值解决实际问题利用二次函数解决实际问题，最常见的为利润问题和费用最低等问题，首先根据题中常见的等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值，注意要考虑自变量在实际问题中的取值范围。