3扭转
- 格式：pdf
- 大小：2.51 MB
- 文档页数：37
下载文档原格式
合集下载
材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
第三章 扭转
46
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
材料力学-3-扭转(包含连接件)
3.5 圆轴扭转时的强度条件
3.5 圆轴扭转时的强度条件
为了让杆件正常工作，要对杆中的最大切应力加以限制
强度条件：
max
M x max [ ] （[ ]——许用切应力） Wp
危险截面在哪儿？
危险点在哪儿？
三类强度计算问题 强度校核 截面尺寸设计 确定许可荷载
M x max max [ ] Wp M x max Wp [ ] M x max Wp [ ]
D 2 d 2
32 D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
(
d ) D
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
（4）应力分布
M x IP
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重 量轻，结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
（3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
D 2 0
D 4
32
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
对于空心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
3.5 圆轴扭转时的强度条件
例题3
√
解：
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者 形成一个整体，同时产生扭转变形。因此，在里、外层交 界处二者具有相同的切应变。 剪切弹性模量（G1＝2G2）
G
3.5 圆轴扭转时的强度条件
例题4
3
如图所示的传动机构中，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将一 半传递给铅垂C轴，另一半传递给水平H轴。已知输入功率P1＝ 14kW, 水平轴（E和H）转速n1= n2= 120 r/min；锥齿轮A和D的齿数 分别为z1=36, z3=12；各轴的直径分别为d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm。 求：各轴横截面上的最大切应力。
材料力学3-扭转详解
a
'
d
b
'
c
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1、实验：
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
4.78
T 图(kN· m)
9.56 Tmax = 9.56 kN· m 在BC段内
§3-3 关于切应力的若干重要性质
薄壁圆筒轴的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力 (壁厚 1、实验：
t
1 r0 , r0：为平均半径） 10
2
d
T dA.r0 r0 td r0 t 2
2 A 0
2
T 2 2r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律 l
为扭转角
r0 l
r0 l
即
做薄壁圆筒的扭转试验可得
T T—— 2 2r0 t r0 l
3
C
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
材料力学3扭转
P M 0 = 159.2 ( N ⋅ m ) n P M 0 = 117.1 ( N ⋅ m ) n P M 0 = 9550 ( N ⋅ m ) n P M 0 = 7024 ( N ⋅ m ) n
(P — kW) (P —马力，PS) 马力， 马力
(2) 若转速 的单位为 rpm (转/分） 若转速n的单位为 转分
30
例题7 两根长度相等，材料相同， 例题 、两根长度相等，材料相同，横截面积相等的 等截面杆；一根杆的横截面为矩形， 等截面杆；一根杆的横截面为矩形，矩形的长短边之 比为h/b=1.5，另一根杆的横截面为圆形；若两杆截 比为h/b=1.5，另一根杆的横截面为圆形； h/b=1.5 面上的扭矩相等， 面上的扭矩相等，试求两杆截面上的最大剪应力之比 和单位扭角之比。 和单位扭角之比。 解：由两杆横截面积相等，可求出圆截面直径 由两杆横截面积相等，
Φ=∫
L 0
T dx GI P
1）若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
TL Φ= GI P
(单位：rad)
2）若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆
Ti ⋅ Li Φ=∑ (单位：rad) i =1 G i ⋅ I Pi
n
21
2 、刚度计算
ϕ max dΦ T = = dx max GI P T 180 = ⋅ GI P π ≤ [ϕ ]
例1、传动轴如图所示，转速 ＝300rpm,主动轮输入功率 、传动轴如图所示，转速n＝ , PA=500kW,从动轮功率分别为 B＝150kW， PC＝150kW， ,从动轮功率分别为P ， ， PD＝200kW，试作轴的扭矩图。 200kW，试作轴的扭矩图。
PA 500 = 9550 × = 15.9kN ⋅ m 解： M A = 9550 n 300
(P — kW) (P —马力，PS) 马力， 马力
(2) 若转速 的单位为 rpm (转/分） 若转速n的单位为 转分
30
例题7 两根长度相等，材料相同， 例题 、两根长度相等，材料相同，横截面积相等的 等截面杆；一根杆的横截面为矩形， 等截面杆；一根杆的横截面为矩形，矩形的长短边之 比为h/b=1.5，另一根杆的横截面为圆形；若两杆截 比为h/b=1.5，另一根杆的横截面为圆形； h/b=1.5 面上的扭矩相等， 面上的扭矩相等，试求两杆截面上的最大剪应力之比 和单位扭角之比。 和单位扭角之比。 解：由两杆横截面积相等，可求出圆截面直径 由两杆横截面积相等，
Φ=∫
L 0
T dx GI P
1）若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
TL Φ= GI P
(单位：rad)
2）若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆
Ti ⋅ Li Φ=∑ (单位：rad) i =1 G i ⋅ I Pi
n
21
2 、刚度计算
ϕ max dΦ T = = dx max GI P T 180 = ⋅ GI P π ≤ [ϕ ]
例1、传动轴如图所示，转速 ＝300rpm,主动轮输入功率 、传动轴如图所示，转速n＝ , PA=500kW,从动轮功率分别为 B＝150kW， PC＝150kW， ,从动轮功率分别为P ， ， PD＝200kW，试作轴的扭矩图。 200kW，试作轴的扭矩图。
PA 500 = 9550 × = 15.9kN ⋅ m 解： M A = 9550 n 300
3 扭转
扭转的刚度条件
——限定θ的最大值不得超过规定的许用值[θ]，即
max
Tmax [ ] GI p
（3-14）
工程中习惯用度 ⁄ 米（° ⁄ m）作为[θ]的单位，弧度换
算成度
max
Tmax 180 [ ] GI p
（3-15）
——圆轴扭转的刚度条件。
33
3 扭转（续）
17
3 扭转（续）
圆轴扭转的平面假设
——圆轴的各横截面在扭转变形后保持为平面，且
形状、大小及间距都不变。 它相当于把圆轴的各横 截面看成是刚性平面，扭转变形就是这些刚性平面
绕轴线转过不同的角度。
推论： （1）横截面上各点均发生切应变，因而必然有切应 力存在，且为与半径方向垂直的圆周方向的切应力；
（2）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长
15
3 扭转（续）
3.4 圆轴扭转时的应力
1、 变形几何关系
变形前的纵向线用虚线表示
16
3 扭转（续）
在圆轴表面上作圆周线和纵向线。在扭转力偶矩Me 的作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象。
圆轴扭转时实验现象
（1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线之间 的距离不变，仅发生相对的转动； （2）纵向线仍为直线，只是倾斜了一个角度γ，圆轴 表面上的方格变为菱形。
得到
T d dx 0 GI p l
l
若扭矩T和抗扭刚度 GI p 在l段内为常数时，则有
Tl GI p
（3-13）
31
3 扭转（续）
2、圆轴扭转时的刚度条件 轴在单位长度上的扭转角为
d T dx GI p
单位是弧度 ⁄ 米（rad ⁄ m）。
——限定θ的最大值不得超过规定的许用值[θ]，即
max
Tmax [ ] GI p
（3-14）
工程中习惯用度 ⁄ 米（° ⁄ m）作为[θ]的单位，弧度换
算成度
max
Tmax 180 [ ] GI p
（3-15）
——圆轴扭转的刚度条件。
33
3 扭转（续）
17
3 扭转（续）
圆轴扭转的平面假设
——圆轴的各横截面在扭转变形后保持为平面，且
形状、大小及间距都不变。 它相当于把圆轴的各横 截面看成是刚性平面，扭转变形就是这些刚性平面
绕轴线转过不同的角度。
推论： （1）横截面上各点均发生切应变，因而必然有切应 力存在，且为与半径方向垂直的圆周方向的切应力；
（2）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长
15
3 扭转（续）
3.4 圆轴扭转时的应力
1、 变形几何关系
变形前的纵向线用虚线表示
16
3 扭转（续）
在圆轴表面上作圆周线和纵向线。在扭转力偶矩Me 的作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象。
圆轴扭转时实验现象
（1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线之间 的距离不变，仅发生相对的转动； （2）纵向线仍为直线，只是倾斜了一个角度γ，圆轴 表面上的方格变为菱形。
得到
T d dx 0 GI p l
l
若扭矩T和抗扭刚度 GI p 在l段内为常数时，则有
Tl GI p
（3-13）
31
3 扭转（续）
2、圆轴扭转时的刚度条件 轴在单位长度上的扭转角为
d T dx GI p
单位是弧度 ⁄ 米（rad ⁄ m）。
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
建筑力学-3 扭转应力及强度
Oρ
切应力的计算公式
τ
T =
ρ
IP
τmax
(b)
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
τ
T =
ρ
IP
IP —— 截面对圆心的极惯性矩，与圆截面的尺寸有 关，单位为 mm4。
Tτ R
Oρ
τmax
τmax
对于一个指定截面，扭矩T与极惯性矩 IP 是定
值，ρmax = R 时，切应力 τ 取得最大值，即
(2) 两相邻横截面之间的距离也保持不变。
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
为进一步弄清圆轴横截面上应力的分布情况，用相邻两截面截取受扭
圆轴一微段dx，如图a所示。
由于横截面的间距保持不变，未发生轴向变形， 故横截面上没有正应力；
圆轴横截面上的半径Oa ，受扭后其位置转至Ob ，
τmax
TR =
IP
令
WP =
IP R
τmax
=
T WP
式中WP与圆截面的尺寸有关，称为抗扭截面系数，是反映圆轴抗扭 的几何量，单位为 mm3。
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
实心圆、空心圆的极惯性矩和抗扭截面系数
截面形状
有关尺寸
极惯性矩
抗扭截面系数
实心圆形 空心圆形
d
πD4
如果将这部分材料移至截面外围，使其成 为空心轴，如图所示，这样便提高了材料的利用 率。因此，空心轴较实心轴合理。
τmax
τmax τmax
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
实验三 扭转实验指导书
扭转实验指导书（试验三）实验三扭转实验在实际工程机械中，有很多传动是在扭转情况下工作。
设计扭转轴所用的许用剪应力，是根据材料在扭转破坏试验时，所测出的扭转剪切屈服极限τS或剪切强度极限τb 而求得的。
在扭转试验时，即使韧性极好的金属也能在扭转时发生断裂，由于扭转断裂后外形无明显变化，从而可以精确地计算应力和应变情况。
一、试验目的1、测定低碳钢材料的扭转时剪切屈服极限τs，剪切强度极限τb。
2、测定铸铁材料的扭转时剪切强度极限τb。
3、观察两种材料扭转时现象，断后断口情况，进行比较。
二、试验设备1、NJ—50B型扭转试验机2、游标卡尺三、扭转试样根据国家标准，扭转试样一般采用圆形截面试样，与拉伸试样相似。
不同的是两端加持部分被磨出两平行平面，以便装夹。
本次试验也用低碳钢与铸铁材料两种材料作为塑性材料和脆性材料的代表。
图3—1 扭转试样四、扭转试验机扭转试验机用于实施扭转试验以测定材料的抗扭力学性能。
本次扭转试验采用NJ-50B型扭转试验机。
见图3-2。
图2—3 NJ-50B型扭转试验机1、构造原理由加力装置和测力装置组成。
加力装置由机座及装于其导轨上的溜板和加力机构组成，溜板可沿导轨（即试样轴线方向）自由移动以保证试样只受扭矩而不受轴向力的作用，加力机构由直流电机经两级蜗杆传动减速后，驱动加力夹头转动从而对试样施加扭矩，加力夹头上安装有360°分度环以显示试样产生的扭角。
测力装置为游砣重力平衡式，来自加力夹头的扭矩T通过试样传给测力夹头，加头受力后经过传感器反映到测力表盘的指针上。
当需要变换测力量程时，转动量程选择旋钮。
2、扭转试验机操作规程1）试验前检查设备情况，加油润滑。
2）估算所测材料断裂时的最大扭矩，选择量程。
3）根据试样大小决定夹块的大小。
4）装夹试样：将试样一端夹入被动夹头，另一端夹入主动夹头。
5）主动针定在零点，将被动指针转至与主动指针重合。
6）选定主动夹头的转速，根据需要选好旋转方向。
材料力学3扭转
A
( dA) T
dφ
ρ ρ
r
A ρ G ρ dx dA T
G d dx
ρ
A
dA T
2
A
ρ dA I p
2
结论
d dx
T GI p
代入物理关系中得到
T IP
式中：T — 横截面上的扭矩
— 求应力的点到圆心的距离
Ip —横截面对圆心的 极惯性矩
(Torsion)
切应力与半径成正比，切应力与扭矩同向的顺流。
(Torsion)
2. max的计算(Calculation of max)
max
T max Ip
T Ip
T Wt
dA
T O
max
max
Wt Ip
ρ ρ
r
ρ dA
max
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
薄壁圆筒：壁厚
1 10
（r r0 0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
1.实验前 （1）画纵向线,圆周线; （2）施加一对外力偶.
(Torsion)
x Me
Me
dx
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是 绕轴线作了相对转动； （2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
Tmax Wt
Wt Tmax [ ]
[ ]
(Determine the required dimensions)
Tmax Wt [ ] 确定许可载荷 (Determine the allowable load)
材料力学——3扭转
A
O
A
O B
m
m
6
§ 3–2
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
输入功率：P(kW)
M 转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟M 作功：
W 60 P 1000 60000 P
W M 2n 1 2nM
W W'
P M 9549 N m n
T Ip
24
T Ip
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
25
I p A dA
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
A0：平均半径所作圆的面积。
18
与 的关系：
L R R L
T=m
T ( 2 A 0t)
许用切应力 []=30M Pa, 试校核其强度。 m m 解：①求扭矩及扭矩图 A T B D3 =135 C D2=75 D1=70
TBC
P m 9.55 n
150 9.55 15.4 60 1.55(kN m)
m
x
3 ②计算并校核切应力强度 T 1.55 10 23MPa [ ] max Wt 0.073 16
T Ip
知：当
材料力学 03章1-3扭转
Tn1
TB
1210
Tn 2
x
Tn
-1590
A
B
C
19 TA 9549 1210 Nm 150 同样 TB =2800Nm, TC =1590Nm
Tn
-2800
x
-1590
接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！
关于应力的三个问题：
存在什么应力 应力如何分布 应力如何计算 TK 先研究一个比较简单的问题 TK A
MA A
MD D x
PA 60kW , PB 10kW P C 20kW , P D 30kW
试画轴的扭矩图。
1面 MB
3面
T3
MD D x
解：求外力偶矩
B MB B
P 由M 9549 解得： n M A 1910 N m M B 318 N m M C 637 N m M D 955 N m
Me
Pk t Pk Pk M t
Me
e
Me
n r / min(转 / 分）；
rad /（弧度 9549 Pk 2 n n M e 9549 60 n
2. 扭矩
横截面上的内力偶矩
确定方法：截面法 符号：T 由静平衡确定其大小 正负规定：右手法则
TK
y
dy o dx
a
,
b
c x
TK
（ dy)
与
( dx)
,
z
d
组成一力偶，由力偶平衡得：
( dy)dx ( dx)dy 0
,
,
剪应力互等定理 ：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成 对出现，且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。
TB
1210
Tn 2
x
Tn
-1590
A
B
C
19 TA 9549 1210 Nm 150 同样 TB =2800Nm, TC =1590Nm
Tn
-2800
x
-1590
接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！
关于应力的三个问题：
存在什么应力 应力如何分布 应力如何计算 TK 先研究一个比较简单的问题 TK A
MA A
MD D x
PA 60kW , PB 10kW P C 20kW , P D 30kW
试画轴的扭矩图。
1面 MB
3面
T3
MD D x
解：求外力偶矩
B MB B
P 由M 9549 解得： n M A 1910 N m M B 318 N m M C 637 N m M D 955 N m
Me
Pk t Pk Pk M t
Me
e
Me
n r / min(转 / 分）；
rad /（弧度 9549 Pk 2 n n M e 9549 60 n
2. 扭矩
横截面上的内力偶矩
确定方法：截面法 符号：T 由静平衡确定其大小 正负规定：右手法则
TK
y
dy o dx
a
,
b
c x
TK
（ dy)
与
( dx)
,
z
d
组成一力偶，由力偶平衡得：
( dy)dx ( dx)dy 0
,
,
剪应力互等定理 ：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成 对出现，且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学第3章 扭转幻灯片PPT
对于承受几个外力偶矩作用的轴，其不同横截面上的扭 矩不尽一样。为了表示扭矩的大小和正负随截面位置的变化， 可用扭矩图来形象描述之。
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件
第三章 扭转
三、剪切胡克定律
d a
p
d c a b
q
Me
c d’ b
Me
q q
γ
a’ d’ c’
p p
c’ b’
Me
a’ b’
Me
p
q
:直角的改变量 切应变 γ :直角的改变量
φ
圆筒两端面的相对扭转角
p
d’ c’ a’ b’
q
γ
r ϕ = l
对于线弹性材料, 对于线弹性材料, 或者对于
φ
τ
≤τ p 时,有
d’
§3-2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力 二、切应力互等定理 三、剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转应力
1、变形观察 2、横截面上扭转应力分布规律的分析 3、扭转应力的大小
1、变形观察
p q
a b
（1）圆周线不变 大小、 （大小、间距都 Me 不变）。 不变）。 纵向线倾斜， （2）纵向线倾斜， 倾斜角相同。 倾斜角相同。 （3）表面矩形变 成平行四边形。 成平行四边形。 Me
T =−M −M +M 3 2 3 1 = 6.37kN⋅ m
4.78
6.37
9.56
M =15.9 kN⋅m 1
M =4.78 kN⋅m 2
M1 2
B
1
2 M 3
M 1
A
3
M 4
D
M =4.78 kN⋅m 3
C
2 2
3 3
M4 =6.37 kN⋅m
M 2
B
1
M 3
C
M 4
A
M 1
D
3
1
2
若将主动轮A和从动轮 调换 若将主动轮 和从动轮D调换， 和从动轮 调换， 求轴的扭矩图。 求轴的扭矩图。
3扭转学生版
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
，沿周向大小不变，方向与
该截面的扭矩方向一致。
4 ． 与 的关系：
´
a
b
dy
´
c
d
dx
L R
RL
材料力学 第三章 扭 转
5 ．薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r T
r AdA r 2 r T
材料力学 第三章 扭 转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
三、切应变 剪切胡克定律
材料力学 第三章 扭 转
T=m
T ( 2A 0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学 第三章 扭 转
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg
d
dx
距圆心为 任一点处的与 到圆心的距离成正比。 d —— 扭转角沿长度方向 dx 变化率。
材料力学 第三章 扭 转
2. 物理关系：
虎克定律： G
代入上式得：
dx GI p
GIp —抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。
三、刚度条件
m ax
T GI p
(rad/m)
或
m ax
T GI p
180
(/m)
[ ]称为许用单位扭转角。
材料力学 第三章 扭 转
，沿周向大小不变，方向与
该截面的扭矩方向一致。
4 ． 与 的关系：
´
a
b
dy
´
c
d
dx
L R
RL
材料力学 第三章 扭 转
5 ．薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r T
r AdA r 2 r T
材料力学 第三章 扭 转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
三、切应变 剪切胡克定律
材料力学 第三章 扭 转
T=m
T ( 2A 0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学 第三章 扭 转
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg
d
dx
距圆心为 任一点处的与 到圆心的距离成正比。 d —— 扭转角沿长度方向 dx 变化率。
材料力学 第三章 扭 转
2. 物理关系：
虎克定律： G
代入上式得：
dx GI p
GIp —抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。
三、刚度条件
m ax
T GI p
(rad/m)
或
m ax
T GI p
180
(/m)
[ ]称为许用单位扭转角。
材料力学 第三章 扭 转
§3扭转试验
§3 扭 转 试 验1、概述工程中有许多承受扭转变形的构件，了解材料在扭转变形时的力学性能，对于构件的合理设计和选材是十分重要的。
扭转变形是构件的基本变形之一，因此扭转实验也是材料力学基本实验之一。
2、实验目的1、测定低碳钢的扭转屈服强度s τ及抗扭强度b τ。
2、测定铸铁的抗扭强度b τ。
3、观察、比较低碳钢和铸铁在扭转时的变形和破坏现象，分析其破坏原因。
3、实验原理对一确定形状试件两端施加一对大小为e M 的外力偶，试件便处于扭转受力状态，此时试件中的单元体处于如图3.1所示的纯剪应力状态。
图3.1纯剪应力状态对单元体进行平衡分析可知，在与试样轴线成045角的螺旋面上，分别承受主应力τσ=1，τσ-=3的作用，这样就出现了在同一个试件的不同截面上τσσ=-=压拉的情形。
这样对于判断材料各极限强度的关系提供了一个很好的条件。
图3.2为低碳钢Q235扭转实验扭矩T 和扭转角φ的关系曲线，图3.3为铸铁HT200图3.2低碳钢Q235扭转φ-T 曲线 图3. 3铸铁HT200扭转φ-T 曲线试件的扭转实验扭矩T 和扭转角φ的关系曲线。
图3.4为低碳钢和铸铁扭转破坏断口形式由图3.2低碳钢扭转φ-T 曲线可以看出，低碳钢Q235的扭转φ-T 曲线类似于拉伸的L F ∆-曲线，有明显的弹性阶段、流动屈服阶段及强化阶段。
在弹性阶段，根据扭矩平衡原理，由剪应力产生的合力矩需与外加扭矩相等，可得剪应力沿半径方向的分布ρτ为：PI T ρτρ*= 在弹性阶段剪应力的变化如图3.5所示在弹性阶段剪应力沿圆半径方向呈线性分布，据此可得PP W T I r T ==*max τ 当外缘剪应力增加到一定程度后，试件的边缘产生流动现象，试件承受的扭矩瞬间下降，应力重新分布至整个截面上的应力均匀一致，称之为屈服阶段，在屈服阶段剪应力的变化如图3.5 低碳钢扭转试件弹性阶段应力分布变化图3.4低碳钢和铸铁扭转破坏断口形式图3.6所示称达到均匀一致时的剪应力为剪切屈服强度（s τ），其对应的扭矩为屈服扭矩，习惯上将屈服段的最低点定义为屈服扭矩，同样根据扭矩平衡原理可得：Ps P s s W T I T 434*3==ρτ 应力均匀分布后，试件可承受更大的扭矩，试件整个截面上的应力均匀增加，直至试件剪切断裂，如图3.4所示，最大剪应力对应的扭矩为最大扭矩，定义最大剪应力为剪切强度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
109mm
3.82kN· m
7.64kN· m
按刚度条件
jmax
Tmax 180o j GI p π
32Tmax 180o d2 4 Gπ j π
117mm
d max d1 , d2 117mm
MeB 1 MeC
（5）计算jBD
T
B
1
C
2
3 D A 446N· m
350N· m
T3 M eD 446 Nm
700N· m
计算扭矩的法则：
① 任一截面扭矩=S[ 截面一侧外力偶矩的代数值 ]
外力偶矩代数值符号： 离开该截面者为正，指向该截面者为负
第三章 扭转
MeB 1 MeC
2 MeA 3 MeD
M eB M eC 350 Nm M eA 1146 Nm M eD 446 Nm T1 M eB 350 Nm T2 M eC M eB 700 Nm T3 M eD 446 Nm
强度和刚度条件
Tmax Tmax max Ip Wt
强度条件 max
＃强度（或刚度）校核 ＃设计截面 ＃计算许可载荷 ( o/m )
j 刚度条件 j max
其中
jmax
Tmax 180o GI p π
( rad/m)
第三章 扭转
例2 已知传动轴，n=300r/min。主动轮输入功率PA=400kW,从动
一、切应力 的推导
第三章 扭转
Me
p q
Me
j
试验现象：
p
q dx
① 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变 ② 纵向线仍然保持为直线且相互平行，只是相比于 变形前倾斜了一个角度 g 圆轴扭转的平面假设：
圆轴的横截面像刚性平面绕轴线转动
# 截面保持平面 # 直径保持直线
第三章 扭转
切应力的推导:
# 物理方程
如果 <p，剪切胡克定律成立
dj Gg G dx
max
# 静力学关系
截面全部切应力对轴心取矩等 于截面上的扭矩 T
Me
dA
T
A dA T
T G dj dx
2 A dA
dA
记
I p 2dA
A
横截面相对于形心的 极惯性矩
3.82kN· m
7.64kN· m
Tmax 7.64kN m
MeB 1 MeC
2
MeA 第三章 扭转 MeD 3
（4）设计轴径
按强度条件
B 1 C 2
max
Tmax 16Tmax [ ] 3 πd1 Wt
T
A
3
D
5.10kN· m
16Tmax d1 π[ ]
3
单元体的各个侧面上只有切应力没 有正应力，这种的情况称为纯剪切
横截面
dy
x
z
dx
在相互垂直的两个平面上，切应力成对出现，且数 值相等，垂直于两个平面交线，方向均指向或背离 该交线。这称为切应力互等定理。
第三章 扭转
三、切应变 剪切胡克定律
切应变 g
在切应力的作用下，因单元体 的相对侧面发生微小错动，使 原来相互垂直的两个棱边的夹 角发生了微小的改变，这个改 变量g 称为切应变。 切应变的单位为弧度，也是量纲为一的量
p q Me
g
j
Me
p q
g
rj g l
第三章 扭转
剪切胡克定律（此处）
实验表明：当切应力不超过材料 的剪切比例极限p 时，切应力与 切应变之间成正比关系，这个关 系称为剪切胡克定律。 引入比例因子 G
p
g
Gg
O
g
G：切变模量； 单位：GPa； 材料的另一个弹性常数 G 需要由试验测定
Wt
Ip R
O
# 实心圆截面 取微面积
dA 2π d
2
D
D πD3 Wt I p / 2 16
Ip
D /2
0
4 π D 2π d 32
πD 4 Ip 32
πD3 Wt 16
第三章 扭转
# 空心圆截面
I p d
D 2
2
π 2π d ( D 4 d 4 ) 32
T Me 0
T Me
n
Me
n
n
Me
T
n T — 扭矩
x
T
n
取右段呢？
第三章 扭转
Me
n
n
Me
T
n T — 扭矩
x
T
n
取右段呢？
扭矩的正负号规定
按右手法则， 四指沿扭矩 T 的转向，
拇指离开截面时为正，指向截面时为负
负
正
第三章 扭转
扭矩图
表示扭矩沿பைடு நூலகம்线变化规律的图形，称为扭矩图
T
B
1
C
2
A
3
D
446N· m
350N· m
700N· m
计算扭矩的法则： ② 扭矩图突变： 集中外力偶矩作用处，扭矩图发生突变， 突变值等于外力偶矩值
第三章 扭转
§3.3
纯
剪
切
p q
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵向线和 圆周线划分；两端施以大小相 等方向相反一对力偶矩
试验现象：
例1 传动轴如图示，主动轮 A 输入功率为 PA = 36kW，从动轮
B、C、D 输出功率分别为 PB = PC = 11kW，PD = 14kW，轴的
转速为 n = 300 r/min，试画出轴的扭矩图。
MeB MeC
MeA MeD
B
C A
D
第三章 扭转
PA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW，n=300r/min
2
O
π Wt ( D4 d 4 ) D / 2 16 D
Ip
令 d / D
d D
πD 4 Ip (1 4 ) 32 πD 3 Wt (1 4 ) 16
I p mm4 ; Wt mm3
第三章 扭转
§3.5
圆轴扭转时的变形
扭转变形 —— 扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角
j AB
B截面相对于A截面 的扭转角
# 如果在AB区间内 T / GI p const. # 如果AB区间内 T / GI p 分段为常数
j AB
Tl GI p
j AB
Ti li GI p
注意：Ti 应是代数值，有 号
i
" " 是代数和
第三章 扭转
§3.6
注意到 max
§3.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
扭矩和扭矩图
传递功率：P (kW)
Me ?
转速：n (r/min)
P M e
PkW M e Nm 9549 nr/min
2πn P 1000 M e 60
第三章 扭转
二、扭矩和扭矩图
求横截面的内力 — 截面法
Me
n
Me
Mx 0
MeB
1 T1
C
2
A
D
(设正)
MeC T2
MeB
(设正)
T1 M eB 350 Nm (负扭矩)
BC段 CA段
T1 M eB 0 T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 700 Nm (负扭矩)
第三章 扭转
MeB 1 MeC
2
MeA
3
MeD
从圆轴内切取一个楔形体 放大后
Me
dx
Me
g
# 变形几何关系
dd dj
dd g dx
dj
dx
O1
R
a b d
O2
dj g dx
dj j 式中： dx
单位长度扭转角 （常数）
dj g dx
dj
g
d
c
g
A B
g D
C
c
D
C
第三章 扭转
MeA
MeD
B
PA 400 9549 12.74 kN m n 300 P 120 M eB M eC 9549 B 9549 3.82 kN m n 300 P 160 M eD 9549 D 9549 5.09 kN m n 300 M eA 9549
x
350N· m 700N· m
Tmax=700 N· m
思考：将主动轮A和从动轮D交换位置，扭矩图将发生什么变化？
主动轮在什么位置比较适宜？
第三章 扭转
MeB 1 MeC
2 MeA 3 MeD
M eB M eC 350 Nm M eA 1146 Nm M eD 446 Nm T1 M eB 350 Nm T2 M eC M eB 700 Nm
第三章 扭转
dj T G dx
A
dA
2
I p 2dA
A
dj T j dx GI p
dj G dx
圆截面上最大切应力
GIp 抗扭刚度
max
T Ip
记： Wt
Ip R
O R
max