高等数学10-5

第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。

定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。

二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。

习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而0l n ()1x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y +≥+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y +<+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（3）2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而04xy ≤≤.从而2≤≤故2d DD σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而d Dσσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积），由σ=4得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤故229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而2π24πσ=⋅=所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）222(,{(,)|};Da D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3D a a σ=⎰⎰（2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f(x ，y)为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f(x ，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r→时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x =≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y xσ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y xσ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y=2x 与曲线2y x =的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线2y x =与x=2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x ≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y yσ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d (,)d yy y f x y x⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y⎰⎰;(3)1320d (,)d y y f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y-⎰⎰;(5)123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x-+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以22242d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D：1e,0ln.x y x≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：01,e e,yy x≤≤≤≤所以e ln1e100ed(,)d d(,)dyxx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：201,0,x y x≤≤≤≤D2：113,0(3).2x y x≤≤≤≤-所以2113213(3)200010d(,)d d(,)d d(,)dy x xy f x y x x f x y y x f x y y--=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D为：0π,sin sin.2xx y x≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;y y x-≤≤-≤≤D2：01,arcsinπarcsin.y y x y≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D1与D2两部分组成，其中 D1：01,02,y x y ≤≤≤≤ D2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤-所以()123323012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax 所围； （2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()d d Dx y x y+⎰⎰其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()d d D x y x y+⎰⎰，其中D1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cos πππcos 344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y-=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x ≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）d ,x y ⎰⎰D 是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4)cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx Dx xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()xx x y y y y yD xx y y x y y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图10-13所示.图10-13 D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxx x y x y x y xx --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x xx x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224sin (1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d xx x ⎰求不出来，故应改变积分次序。

第10章课后习题详解 曲线积分与曲面积分例题分析★★1. 计算ds y x L⎰+)(，其中L 为连接)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 的闭折线。

知识点：第一类曲线积分.思路: L 由三段直线段组成，故要分段积分.解： 如图L OA =AB +BO +则=+⎰ds y x L)(⎰+OA(⎰+AB⎰+BOds y x ))(10,0:≤≤=x y OA ，dx dx y ds ='+=2)(1，2121)0()(1021==+=+∴⎰⎰x dx x ds y x OA10,1:≤≤-=x x y AB ，dx dx y ds 2)(12='+=， 2221)(1010==⋅=+∴⎰⎰x dx ds y x AB注：利用被积函数定义在AB 上，故总有1),(=+=y x y x f10,0:≤≤=y x BO ，dy dy x ds ='+=2)(12121)0()(1021==+=+∴⎰⎰y dy y ds y x BO2121221)(+=++=+⎰ds y x L. 注：1)⎰⎰+=+BAABds y x ds y x )()(，⎰⎰+=+OBBOds y x ds y x )()(对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大. 2)对AB 段的积分可化为对x 的定积分，也可化为对y 的定积分，但OA 段，OB 段则只能化为对x （或对y ）的定积分.★★2.计算⎰L yds ，其中L 为圆周4)2(222a a y x =-+.知识点：第一类曲线积分.思路: L 为圆周用极坐标表示较简单.解：L 的极坐标方程：πθθ≤≤=0,sin a rθθθθθad d a a d r r ds =+='+=2222)cos ()sin ()(θθ2sin sin a r y ==∴22020222212212sin 2sin a a d aad a yds Lππθθθθππ=⋅⋅==⋅=⎰⎰⎰.★3. 计算曲线积分⎰Γ++ds z y x 2221，其中Γ为曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,应于t 从0到2的一段弧.知识点：第一类曲线积分.思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：dt e dt e t e t e dt z y x ds t t t t 3 )sin ()cos ()()()(222222=+'+'='+'+'=∴原式=dt e dt e e tt t-⎰⎰=+⋅2222t 2331e 1)1(2323220---=-=e e t . ★★★1. 计算曲线积分⎰Γ++ds xz z x 22，其中Γ为球面2222R z y x =++与平面0=++z y x 的交线。

高等数学科学出版社答案【篇一：第一章习题答案科学教育出版社高数答案(惠院)】txt>习题1-11．求下列函数的自然定义域：x3(1)y?? 21?xx?1arccos； (3) y?解：(1)解不等式组?(2) y?arctan1x3x?1?(4) y??. ?3 , x?1?x30得函数定义域为[?3,?1)?(?1,1)?(1,??); 21x03x20(2)解不等式组?得函数定义域为[?;x?0x?1??1??1?(3)解不等式组?得函数定义域为[?5,?2)?(3,6]; 52??x?x?6?0(4)解不等式x?1?0得函数定义域为[1,??).2．已知函数f(x)定义域为[0,1]，求ff(cosx),f(x?c)?f(x?c) (c?0)义域．解：因为f(x)定义域为[0,1]220xc11当?时，得函数f(x?c)?f(x?c)定义域为：（1）若c?，x??c,1?c?；（2）0?x?c?12?若c?3．设f(x)?1?x?a?1,a?0,求函数值f(2a),f(1)． x2?|x?a|?1?a?x?1，则 x2?|x?a|?的定111，x?；（3）若c?，x??． 222解：因为f(x)?f(2a)?1?a?1??0 ,a1,1??a?1f(1)?1??1??，2 ,0a1． 12?a?14a2?a?2a24. 证明下列不等式:(1) 对任何x?r有 |x?1|?|x?2|?1;1(2) 对任何n?z?有 (1?1)n?1?(1?1)n;n?1n(3) 对任何n?z?及实数a?1有 an?1?a?1.n证明：（1）由三角不等式得|x?1|?|x?2|?|x?1?(x?2)|?1 （2）要证(1?1)n?1?(1?1)n，即要证1?1?n?1n1n?1(1?得证。

111)?(??))11 ?1?n?1n?1（3）令h?a?1，则h?0，由bernouli不等式，有a?(1?h)?1?nh?1?n(a?1)n1n1n所以a?1。

习题10-11. 指出下列方程的阶数：(1)4620x y y x y '''''-+=． (2)22d d 0d d Q Q Q L R t c t++=． (3)2d cos d ρρθθ+=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =．(2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =．(3)20y y y '''++=， x y x e -=．(4)22d 0.4d s t=-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；(3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=；(4)是，代入，212d d 0.4,0.4d d s s t C t t=-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t += 的通解.解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足222d 0d x k x t+=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解.4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t+=的通解,求满足初始条件 x | t =0 =2, x '| t =0 =0的特解.解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠习题10-21. 求下列微分方程的通解：(1)()2310y y x '++=； (2) 2+'=x yy ；(3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2d d d d x xy y y x y y +=+；(5) 22d d d d y y y x xy x x+=； (6) d d y x yx x y -=+； (7) 22d d y y x xy x=+； (8) )2(tan 212y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得()231d =d y y x x+-两端分别积分：()34111=+34y x C,+-这就是方程通解 .(2)这是可分离变量方程，分离变量得2d =2d y x y x-两端分别积分：122+ln2y x C ,--=⋅即12+202x y C (C ln C )--==⋅这就是方程通解 .(3)这是可分离变量方程，分离变量得d d cos y cos xy x sin y sin x=两端分别积分：ln sin y ln sin x lnC,-=--即sin x sin y Ce =这就是方程通解 .(4)这是可分离变量方程，分离变量得21d =d 11y y x y x --两端分别积分：21111+22ln(y )ln(x )lnC,-=-即221+1y C(x )=- 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d u u x u-=两端分别积分：ln u u x C -=+即ln y yx C x x-=+ 这就是方程通解 .(6)这是齐次方程，化简得1d d 1yy x yx x -=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x =+代入原方程并整理21d d 12u u x u u +=--，两端分别积分：211ln 1222u u x C ---=+即222ln 10y y x C x x--++= 这就是方程通解 .(7)这是齐次方程，化简得2d d 1y y x yx x ⎛⎫⎪⎝⎭=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x =+代入原方程并整理1d d u u x u +=-，两端分别积分：ln u u x C +=-+ 即ln 0y y x C x x++-= 这就是方程通解 .(8)这是特殊方程，用换元法，令,2y x u +=则d 1d 1,d 2d y u x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入原方程并整理 2cos ud d u x =，两端分别积分：11sin 224u u x C +=+即42sin(24)40y x x y C -++-=这就是方程通解 .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 3sin y y x '=， (0)1y =；(2) 222(1)(1)x y y x +'=+， (0)0y =； (3) d tan d y y y x x x =+，(1)6y π=；(4) 222d d 2x yx xy y y xy=-+-，(0)1y =． 解 (1)分离变量：31d sin d y x x y =． 两端分别积分：31d sin d y x x y =⎰⎰． 解得：21cos 2x C y -=-+． 将(0)1y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为212cos 1x y=-． (2)分离变量：2221d d 1(1)xy x y x =++． 两端分别积分：211arctan d 2(1)y x C x =-⋅++．将(0)0y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为2111arctan d 2(1)2y x x =-⋅++．(3) 这是齐次方程,令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理1d d .tan u x u= 两边积分得,ln sin ln C x u +=即.sin x Ce u =变量回代得所求通解.sinx Ce xy=由(1)6y π=代入通解，得612C e π-=，故所求初值问题的解为61sin .2x y e e x π-=3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设曲线方程为：()y f x =由题意可得方程: 2002y yy x x-'==--,且(1)2y =，解分离变量方程得：xy C =,由(1)2y =得2C =，故所求曲线为：2xy =.4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t 的变化规律.解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =建立该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dtdT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT-=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=). 从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=习题10-31. 求下列微分方程的通解：(1) cos sin x y y x e '+=； (2) 2x y y e '-=；(3) 2(1)x x y x y e '=-+； (4) 22d (2)d 0y x x x y y y +--=；(5) ()1y x e y '-=； (6) 3(1)2(1)2x y y x y -'=+- 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中()sin ,P x x =cos ()x Q x e =． 首先求出Pd sin d cos x x x x ==-⎰⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos cos x x Ce xe =+．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),2P x =-1()2x Q x e =．首先求出Pd 2x x -=⎰ (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰24xx Ce =+． (3) 这是一阶线性非齐次方程，其中1()1,P x x =-21()x Q x e x =．首先求出Pd ln x x x =-⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰2x xe e C x x=⋅+．(4)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程212d 1d y xx y y-+⋅=， 于是，212()yP y y -=()1Q y =． 首先求出1Pd 2ln y y y=--⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为112ln 2ln 1d y y yyx eey C +--⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 11122221d yyy y e e y C Cy e y y -⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰.(5)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d d y xx e y--=-， 于是，()1P y =-()y Q y e -=-．首先求出Pd y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为()d y y y xe e e y C --=-⋅+⎰12y y e Ce -=+.(6)令,1-=x yu 则d d (1),d d y u u x x x=+-代入原方程并整理 22d d .31u xu u x =-- 两边积分得,ln ln )3ln(2C x u +-=-变量回代得所求通解223.(1)y Cx x-=-2. 求解下列初值问题：(1) 2(2)d d 0y x y x x y -+=，1x y e ==； (2)sin x y y x '+=，()1y π=； (3) 2y y x y '=-，(2)1y =； (4) 5y y x y '-=，(0)1y =.解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得2d (12)0d y x y x x -+⋅=， 其通解为2(12)1d 2=x xx xy Ce Cx e --⎰=，将初始条件1x y e ==代入上式，可得1C =，故所求特解为12=x y x e ．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x =1()sin Q x x x =．首先求出Pd ln x x =⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos C xx-=将初始条件()1y π=代入上式，可得1C π=-，故所求特解为1cos x y xπ--=．(3)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d 1d x x y y y-=-， 于是，1()P y y=-()Q y y =-．首先求出Pd ln y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为1()d x y y y C y ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭⎰2Cy y =-.将初始条件(2)1y =代入上式，可得3C =，故所求特解为23x y y =-．(4) 这是伯努利方程，以5y 除方程的两端,得54d ,d y y y x x ---=即44d()1,4d y y x x ----= 令4,z y -=则上述方程变为 d 44.d zz x x+=- 解此线性微分方程(过程略)，可得414x z x Ce -=-++，得所求通解为4441()4x y z x Ce -==-++，将初始条件(0)1y =代入上式，可得34C =，故所求特解为44413()44x y z x e -==-++．3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：(1) d 11d y x x y-=-； (2)d 4d y y x x x -=. 解 (1)令y x u -=则d d 1,d d y u x x=+原方程化为 d 1d u x u=-. 分离变量,得d d u u x =-， 两端积分得22u x C =-+ 以y x u -=代入上式,得通解2()2y x x C -=-+.(2)这是伯努利方程，其中214,(),()2n P x Q x x x==-=，则有公式得通解 1(1)()d (1)()d 12()(1)d n P x x n P x x nyy e Q x n e x C ----⎛⎫⎰⎰==-+ ⎪⎝⎭⎰ 2ln 22ln 1(d )2x x e x e x C -=⋅⋅+⎰21().2x C x =+ 4. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和. 解：由题意可得方程d 2d yx y x=+， 这是一阶非齐次线性方程，其中()1,P x =-()2Q x x =，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰22x x Ce -=--+.习题10-41. 求下列微分方程的通解：(1) sin 2y x x ''=-； (2) 2cos x y e x '''=-；(3) -20x y y '''= ； (4) 4x y y x '''+=； (5) 2=2()y y '''； (6)31y y ''=解：(1) 21cos ,y x x C '=--+3121sin ,3y x x C x C =--++(2) 211sin 2x y e x C ''=-+,2121cos ,4x y e x C x C '=+++2212311sin .82x y e x C x C x C =++++(3) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程20xp p '-=．分离变量，得12d d p x p x=. 两边积分得: 21p C x =再积分一次即得原方程的通解为 31213y C x C =+．(4) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程4xp p x '+=．整理，得4pp x'+=， 这是一阶非齐次线性方程，解得12C p x x=+再积分一次即得原方程的通解为 212ln y C x x C =++．(5)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py py''=,原方程化为 2d 2d ppp y=． 分离变量得d 2d py p=．两边积分得： 211y p C e =．再由211d d y yC e x=，解得212y e C x C -=+． (6)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py p y''=,原方程化为3d d y p p y =．得22112211C y p C y y -=-+=．解得：d d y x =可解得通解为：221121()C y C x C -=+．2. 求解下列初值问题：(1) 12cos y x x '''=+,(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==；(2) 21,x y x y '''+=10,x y==11x y ='=；(3) 2()yy y '''=，(0)(0)1y y '==. 解 (1)相继积分三次得出:216sin y x x C ''=++，3122cos y x x C x C '=-++，4212311sin 22y x x C x C x C =-+++，以(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==代入后可得出1231,2,1C C C ===-，于是所求特解为4211sin 2122y y x x x x ==-++-． (2)令,y p '=代入方程并整理,有211.p p x x'+=这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得11(ln )p y C x x'==+由条件11x y ='=得11,C =所以1(1ln )y x x'=+两端再积分,得221ln (ln ).2y x x C =++又由条件10,x y ==得20,C =于是所求初值问题的解为21ln (ln ).2y x x =+(3)令,y p '=由d d py p y''=代入方程并化简得d .d p y p y= 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p y Cy '== 再分离变量,得d d ,yx Cy= 由初始条件(0)(0)1y y '==得出1,C = 从而得d d ,yx y= 再两边积分,得1x y C e =, (0)1y =，得11,C =从而所求特解为x y e =.3. 已知平面曲线()y f x =的曲率为32(1)y y '''+,求具有常曲率(0)K K >的曲线方程.解：由题意得方程32(0)(1)y K K y ''=>'+，令(),y p x '=代入方程,有32(1)p K p '=+ 即32d d .(1)p K x p =+解之，得1121Kx C p =++ 32d d .(1)p K x p =+习题10-51.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1) 22,;x x e x e (2) ,()ax bx e e a b ≠；(3) 1cos2x +，2sin x ； (4) cos ,x sin x .解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.2. 验证1y x =与2x y e =是方程(1)0x y xy y '''--+=的线性无关解，并写出其通解.解：当1y x =，11y '=，10y ''=，代入满足方程；当2x y e =，2x y e '=，2x y e ''=，代入也满足方程；另外，1y x =，2x y e =是线性无关的（由定义可知），方程的通解为：112212x y C y C y C x C e =+=+. 3. 求下列微分方程的通解：(1) 230y y y '''--=； (2) 280y y y '''--=； (3) 440y y y '''++=； (4) 690y y y '''-+=； (5) 250y y y '''++=； (6) 160y y ''+= ; (7) x y y x e ''+=+ ；(8) 4sin y y x ''+=.解：(1) 特征方程2230r r --=的根为：121=3r r =-，,通解为312x x y C e C e -=+； (2) 特征方程2280r r --=的根为：1224r r =-=，,通解为2412x x y C e C e -=+； (3) 特征方程2440r r ++=的根为：122r r ==-,通解为2212x x y C e C xe --=+； (4) 特征方程2690r r -+=的根为：123r r ==,通解为3312x x y C e C xe =+；(5) 特征方程2250r r ++=的根为：1,212r i =-±,通解为12(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+； (6) 特征方程2160r +=的根为：1,24r i =±,通解为12cos4sin 4y C x C x =+； (7) 特征方程210r +=的根为：12r r i ==±,齐次通解为12cos sin y C x C x =+； ()x f x x e =+可以看成是1()f x x =与2()x f x e =之和．所以分别求方程y y x ''+=与方程x y y e ''+=的特解． 容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．按例9的方法可求得方程x y y e ''+=的一个特解为：212x y e =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x e +．故原方程的通解为y y Y =+=12x x e +12cos sin C x C x ++.(8) ()4sin f x x =为(cos sin )αxe A ωx B ωx +型的函数，且0α=，1ω=，αωi i +=是特征方程210r +=的根，所以取1k =．设特解为()cos sin y x C x D x =+．()cos sin cos sin y C x D x x D x C x '=++-．2cos 2sin (cos sin )y D x C x x C x D x ''=--+．代入原方程，得 2cos 2sin 4sin D x C x x -=．比较两端sin x 与cos x 的系数，得2,0C D =-=，故原方程的特解为2cos y x x =-． 而对应齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+.于是原方程的通解为y y Y =+2cos x x =-＋12cos sin C x C x +． 4. 求解下列初值问题：(1) 20,y y y '''++=y |x =0=4、y '| x =0=-2；(2) 20y y y '''-+=,(0)(0)1y y '==解：(1) 特征方程2210r r ++=的根为：121r r ==-,通解为12x x y C e C xe --=+；代入初值条件00|4|2x x y y =='==-、，得124,2C C ==，方程特解为42x x y e xe --=+.(2) 特征方程2210r r -+=的根为：121r r ==,通解为12x x y C e C xe =+；代入初值条件(0)(0)1y y '==，得121,0C C ==，方程特解为x y e =.5. 求下列微分方程的一个特解：(1) 2331y y y x '''--=+； (2) 94y y x '''+=-；(3) 2x y y y e '''-+=； (4) 9cos 21y y x x ''+=++.解：(1) 因为()31f x x =+，且y 的系数30q =-≠，设特解为y Ax B *=+． 则()y A '*=，()0y ''*=，代入原方程，得23()31A Ax B x --+=+，使两端x 同次幂的系数相等：11,2A B =-=,所求的特解为12y x *=-+．(2) 因为()4f x x =-，且y 的系数0q =，设特解为()y x Ax B *=+． 则()2y Ax B '*=+，()2y A ''*=，代入原方程，使两端x 同次幂的系数相等得，137,1881A B -==,所求的特解为21371881y x x *=-．(3) 1α=是特征方程2210r r -+=的重根，取2k =，所以可设原方程的特解为2x y Bx e =，则22224x x x x x y Bxe Bx e y Be Bxe Bx e '''=+=++，，代入原方程得解得12B =，故方程有一特解为212x y Bx e =.(4) ()cos 21f x x x =++可以看成是1()21f x x =+与2()cos f x x =之和． 所以分别求方程921y y x ''+=+与方程9cos y y x ''+=的特解． 容易求得方程921y y x ''+=+的一个特解为：12199y x =+．另求得方程9cos y y x ''+=的一个特解为：21cos 8y x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝211cos 998x x ++．习题10-61. 求下列函数的一阶与二阶差分：(1) y t =3t 2-t 3； (2) y t =e 2t ； (3) y t =ln t ； (4) y t =t 2·3t .解：(1) ()()()2323231133+32t y t t t t t t ∆=+-+--=-+［］,()22()3+326t t y y t t t ∆=∆∆=∆-+=-；(2) 2(1)222e e e (1)t t t t y e +∆=-=-,()22222222()e (1)(1)(e )e (1)t t t t t y y e e e ∆=∆∆=∆-=-⋅∆=-，(3) ln(1)ln t y t t ∆=+-,()2()ln(1)ln ln(2)2ln(1)ln t t y y t t t t t ∆=∆∆=∆+-=+-++(4) ()()21221333263t t t t y t t t t +∆=+-=++,()()()()22122()326332(1)693263t t t t t y y t t t t t t +∆=∆∆=∆++=+++-++()2342430t t t =++2. 将差分方程Δ2y t +2Δy t =0表示成不含差分的形式.解：因为1t t t y y y +∆=-，21()t t t t Δy ΔΔy Δy Δy +==-212t t t y y y ++=-+， 故220t t y y ∆+∆=可化为211222()0t t t t t t t y y y y y y y ++++-++-=-= 3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶：(1) y t +5-y t +2+y t －1=0; (2) Δ2y t -2y t =t ； (3) Δ3y t +y t =1； (4) 2Δy t =3t -2y t ； (5) Δ2y t =y t +2-2y t +1+y t .解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7； (2) 是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为212t t t y y y t ++--=，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(3)是差分方程.由于Δ3y t 32133t t t t y y y y +++=-+-，方程变为321331t t t y y y +++-+=，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(4) 将原方程变形为2(y t +1-y t )= 3t -2y t ，即2y t +1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.(5) 不是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为00=，所以不是差分方程.4. 验证y t =C (-2)t 是差分方程y t +1+2y t =0的通解.解：112(2)2(2)0t t t t y y C C +++=-+-=，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.习题10-71. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解： (1) y t +1-2y t =0； (2) y t +1+3y t =0； (3) 3y t +1-2y t =0.解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为 y t =C 2t . (2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为 y t =C (-3)t . (2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为23λ=-，于是原方程的通解为()2.3tt y C =-2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) y t +1-3y t =0，且y 0=3； (2) y t +1+y t =0，且y 0=-2.解 (1)特征方程为30λ-=,特征根为3λ=，于是原方程的通解为 3.tt y C = 将初始条件y 0=3代入，得出C =3，故所求解为13.t t y +=(2)特征方程为10λ+=,特征根为1λ=-，于是原方程的通解为(1).t t y C =- 将初始条件y 0=-2代入，得出C =-2，故所求解为2(1).t t y =-- 3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解： (1) y t +1+2y t =3； (2) y t +1-y t =-3； (3) y t +1-2y t =3t 2； (4) y t +1-y t =t +1; (5) 11522tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭； (6) y t +1+2y t =t 2+4t .解 (1) 由于a =-2，k =3，令y *t =A (待定系数)，代入方程得A +2A =3，从而A =1，即y *t =1，故原方程的通解为y t =C (-2)t +1.(2) 由于a =1，k =-3，令y *t =At (待定系数)，代入方程得A =-3，即y *t =-3t ，故原方程的通解为y t =-3t+C .(3) 设y *t =A 0+A 1t +A 2t 2为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得A 0=-9，A 1=-6，A 2=-3.从而*2963t y t t =-+--,故原方程的通解为29632.t t y t t C =-+--+(4) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得0112A A ==,从而*1(1)2t y t t =+,故原方程的通解为1(1).2t y t t C =++(5) 由15122a kb ===，，，令原方程有一个特解为*5·()2t t y A =，解得35A =.于是原方程的通解为()351·().522tt t y C =+ (6)设f 1(t )= t 2，f 2(t )= 4t ，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )= t 2，因a =-2≠1，可令特解y *t 1= A 0+A 1t +A 2t 2；对于f 2(t )= 4t ，因a =-2≠4，可令y *t 2=B4t故原方程的特解可设为y *t = A 0+A 1t +A 2t 2 +B4t ，代入原方程，得0121211,27934A A AB =-=-==-，，，于是21121 42793t t y t t *-=-+-+-，故所求通解为21121 4(2).2793t t t y t t C -=-+-+-+- 4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) y t +1-y t =3+2t ，且y 0=5； (2) 2y t +1+y t =3+t ，且y 0=1; (3) y t +1-y t =2t -1，且y 0=2.解 (1) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得012,1A A ==,从而*(2)t y t t =+,故原方程的通解为(2).t y t t C =++又有初始条件y 0=5，可知5C =，故特解为(2) 5.t y t t =++(2) 由于12a =-,设y *t =A 0+A 1t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,可得0171,93A A ==,故原方程的通解为171().392t t y t C =++-又有初始条件y 0=1，可知29C =，故特解为1721().3992t t y t =++⋅-(3) 由a =1可知，对应的齐次方程的通解为y t =C .设f 1(t )=2t ，f 2(t )=-1，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )=2t ，因a =1≠3，可令y *t 1=A 2t ；对于f 2(t )=-1，因a =1，可令y *t 2=Bt .故原方程的特解可设为y *t =A 2t +Bt ，代入原方程，得11A B ==-，,故所求通解为2t t y C t =+-又有初始条件y 0=2，可知1C =,故特解为12t t y t =+-.5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记y t 为第t 个月后还需偿还的债务，a 为每月的还款额，写出y t 所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.解 先对问题的进行分析， 第1个月后还需偿还的贷款为y 1= y 0 (1+1%)-a;第2个月后还需偿还的贷款为y 2=y 1(1+1%)-a ;……第t +1个月后还需偿还的贷款为y t +1=y t (1+1%)-a ，即y t +1-1.01y t =-a .这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y *t =A ，代入得到100A a =，于是有通解(1.01)100t t y C a =+.代入初始条件y 0=25000，及12(1.01)1000t y C a =+=得1210025000(1.01)1000C a C a +=⎧⎨+=⎩， 从上面的等式解得1212250001.011001.01100a ⋅=⋅-.6. 设某产品在时期t 的价格、供给量与需求量分别为P t ，S t 与Q t (t =0，1，2，…).并满足关系：(1)S t =2P t +1，(2)Q t =-4P t －1+5，(3) Q t =S t .求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程P t +1+2P t =2.若已知P 0，求上述差分方程的解. 解 由题意可得2P t +1=-4P t －1+5，即2P t+1=-4P t +4，得差分方程P t +1+2P t =2，容易求得方程的特解为：*23y =，方程的通解为：2(2)3t y C =+-,00,t y p ==当时，023C p =-所以,故所求差分方程的解为022()(2).33t y p =+--7. 设C t 为t 时期的消费，y t 为t 时期的国民收入，I =1为投资(各期相同)，设有关系式C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，其中a ，b 为正常数，且a <1，若基期(即初始时期)的国民收入y 0为已知，试求C t ，y t表示为t 的函数关系式.解 由C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，得11t t y ay b -=+－，又因为a <1，故可设特解为*y A =，代入得11b A a +=-，所以方程的通解为11t b y Ca a +=+-，00,t y y ==当时，011bC y a +=--所以,故所求差分方程的解为011()11t t b b y y a a a ++=-+--，从而01()11t t b a bC y a a a++=-+--.复习题10 （A ）1. 通解为y =C e -x +x 的微分方程是 . 解 方程是一阶的，e1xy C -'=-+，方程为1y x y '=-+.2. 通解为y =C 1e x +C 2e 2x 的微分方程是 .解 易见这是二阶常系数方程的解，特征根为121,2r r ==,特征方程为2320r r -+= 所以微分方程为320y y y '''-+=.3. 微分方程x d y -(x 2e －x +y )d x =0的通解是 . 解 方程可化为e x yy x x-'-=，通解为x y xe Cx -=-+. 4. 微分方程xy ′+y =0满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 分离变量得d d y xy x=-，通解为xy C =，初始条件y (1)=1特解为1xy .= 5. 设非齐次线性微分方程y ′+P (x )y =Q (x )有两个不同的解y 1(x )与y 2(x )，C 是任意常数，则该方程的通解是 .A C ［y 1(x )+y 2(x )］BC ［y 1(x )-y 2(x )］C y 1(x )+C ［y 1(x )-y 2(x )］D y 1(x )+C ［y 1(x )+y 2(x )］解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解()()12Y C y x y x =-［］，非齐次特解为：()()12=y*y x y*y x =或者，所以选择C.6. 微分方程y ″+4y =sin2x 的一个特解形式是 .A C cos2x +D (sin2x )B D (sin2x )C x ［C cos2x +D (sin2x )］ D x ·D (sin2x )解 因为0α=，2ω=，2i i αω+=是特征方程240r +=的根，所以取1k =．设特解为 ()cos 2sin 2y x C x D x =+．选择C.7. 解下列一阶微分方程： (1) (1+y 2)d x =xy (x +1)d y ； (2) x (y ′+1)+sin(x +y )=0；(3) (cos )d cos d y yx y x x y x x+=； (4) xy ′+2y =sin x ；(5) tan y d x =(sin y -x )d y ； (6) (y -2xy 2)d x =x d y .解 (1)分离变量()21d d 11y y x x x y =++，积分得211ln(1)ln ln()221x y C x ++=+， 化简得22(1)()1x C y x +=+； (2)令d d ,1d d y uu x y x x =+=-则，原方程化为d d d sin 0,d sin u u x x u x u x+==-即，积分得 ln(csc cot )ln ln u u x C -=-+，化简并整理得通解：1cos()sin()x y Cx y x-+=+.(3) (1cos )d d d ,,d d d cosy yy y y u x x u x u y x x x xx+===+原方程可化为令则，原方程化为d cos d x u u x =，积分得sin ln ||,u x C =+方程通解为sin ln ||.yx C x=+(4)这是一阶线性非齐次方程，2sin (),()x P x Q x x x==，所以方程通解为()d d 21(d )sin cos P x P x y e Qe x C x x x C x-⎰⎰=+=-+⎰(5) )设()x x y =，方程化为d sin cot cos d tan x y xx y y y y-==-+，这是一阶线性非齐次方程，()cot ,()cos P y y Q y y ==，所以方程通解为d d 211(d )sin sin 2P y P yx e Qe y C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰(6)方程可化22d ?22d y y xy yy x x x-==-，这是伯努利方程，其中1(),()2,2P x Q x n x =-=-=，所以方程通解为2(1)()d (1)()d 1()(1)d ,n P x xn P x x nx C ye Q x n e x C x ----+⎛⎫⎰⎰=-+= ⎪⎝⎭⎰即 2x y x Cy -=.8. 解下列二阶微分方程：(1) (1+x )y ″+y ′=ln(1+x )； (2) y ″+3y ′+2y =2x 2+x +1； (3) y ″+2y ′-3y =2e x ； (4) y ″+y =x +cos x .解 (1)易见不显含y ，令(),=,y p x y p ''''=则代入方程得()()1ln 1x p p x '++=+，即()ln 111x pp x x +'+=++，所以11()((1)ln(1))1p x C x x x x =+++-+ 1ln(1)1C x x x -=+++，两边积分12()d =(+2)ln(1)2y p x x x C x x C =++-+⎰. (2)这是二阶常系数非齐次方程，由=20,p ≠设特解为2y Ax Bx C *=++，带入方程并对比两端x 的系数，得5131,,24A B C ==-=，故非齐次特解为2513*24y x x =-+ ；齐次通解为212x x y C e C e --=+，从而方程通解为221251324x x y C e C e x x --=++-+.(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为1α=是特征方程2230r r +-=的单根，所以取1k =．设特解为x y Bx e =，代入原方程后，解得12B =，故方程的一个特解为：12x y xe =.所求的通解为31212x x x y C e C e xe =++.(4) ()cos f x x x =+可以看成是1()f x x =与2()cos f x x =之和．所以分别考察方程y y x ''+=与方程cos y y x ''+=的特解．容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．容易求得方程cos y y x ''+=的一个特解为：21sin 2y x x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x sin x +． 又原方程所对应的齐次方程40y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+， 故原方程的通解为1212y C cos x C sin x x x sin x =+++. 9. 解下列差分方程： (1) y t +1+4y t =2t 2+t -1； (2) y t +1-y t =t ·2t +3.解 (1) 由于a =4，令 y *t =A 0+A 1t +A 2t 2 (待定系数)，代入方程得23612*125255t y t t =-++，故原方程的通解为23612(4)125255t t y t t C =-+++-. (2) 分别求y t +1-y t =t ·2t 和y t +1-y t =3的特解，对y t +1-y t =t ·2t ，由a =3，b =2，可设原方程有一特解为y *t =(A 0+A 1t )2t ，代入原方程，可解得*(2)2tt y t =-+；对y t +1-y t =3，由a =1，可设原方程有一特解为y *t =Bt ，代入原方程，可解得*3t y t =；故原方程的通解为(2)23tt y C t t =+-++（B ）1. 设曲线y =f (x )过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2x ln(1+x 2)，则f (x )= .解 易得微分方程 ()22ln 1y x x '=+，直接积分得 ()()()2222ln 1d =ln 1d 1y x x x x x =+++⎰⎰，利用分部积分法()222(1)ln 1y x x x C =++-+，过点(0，-1)，代入可得1C =-，所以f (x )= ()222(1)ln 1 1.x x x ++--2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以y t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则y t 满足的差分方程是 .解 易见 1(10.01)3t t y y +=++，所以差分方程为11.13t t y y --=.3. 微分方程33d d 2y y y x x x =-满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 令,,y u y xu x ==则所以d d d d y uu x x x =+，带入方程得，3d 1,d 2u x u x =-求解得2ln ,ux C -=+即2ln ,x x C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入条件y (1)=1，可得1C =，化简得y =4. 差分方程2y t +1+10y t =5t 的通解是 .解 由51a =-≠，设特解为*t y Bt A =+，代入得55,7212A B =-=，所以通解为 55(5)7212t t y C t =--+. 5. 设三个线性无关函数y 1，y 2，y 3都是二阶线性非齐次微分方程y ″+Py ′+Qy =f (x )的解，C 1，C 2是独立的任意常数，则该方程的通解是 .A C 1y 1+C 2y 2+y 3B C 1y 1+C 2y 2-(C 1+C 2)y 3 C C 1y 1+C 2y 2-(1-C 1+C 2)y 3 D C 1y 1+C 2y 2+(1-C 1-C 2)y 3解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，121323,y y y y y y ---，是齐次方程y ″+Py ′+Qy =0的解，而且是线性无关的，所以齐次通解为：1122123C y C y (C C )y ++--，非齐次特解为：()()()123==y*y x y*y x y*y x =或或，所以选择D.6. 设f (x )=g 1(x )·g 2(x )，其中g 1(x )，g 2(x )在(-∞，+∞)内满足条件g 1′(x )=g 2(x )， g 1(x )=g 2′(x )，且g 1(0)=0，g 1(x )+g 2(x )=2e x .(1) 求f (x )所满足的一阶微分方程； (2) 求出f (x )的表达式.解 (1) 1212()()()()()f x g x g x g x g x '''=+2221()()g x g x =+ 21212[()()]2()()g x g x g x g x =+-2(2)2()x e f x =-故f (x )所满足的一阶微分方程为：2()2()4x f x f x e '-=.(2) 2d 2d 2()(4d )x xx f x e e e x C -⎰⎰=+⎰24(4d )x x e e x C -=+⎰24()xx ee C -=+22x xe Ce-=+由g 1(0)=0，则f (0)=g 1(0)·g 2(0)=0，代入上式得：1C =- 所以f (x )的表达式为：22()x x f x e e -=-.7. 设连续函数f (x )满足210()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰，且f (0)=1，求f (x ).解 设0()()d ,xy F x f u u ==⎰显然()y f x '=，又,00;u xt u t ===令当时，1u x t ==当时，；且d d u x t =，11()d =()d ()()d xf u u f tx x t f x x f tx t y ⋅===⎰⎰⎰则，所以21()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰可化为微分方程22(1)x y y e x '-=-，这是一阶线性非齐次方程，解得2d d 21(d )2P x P xx x y e Qe x C Ce e -⎰⎰=+=-⎰，22()2x x y f x Ce xe '==-，又因为f (0)=1，可得21C =，所以22()x x f x e xe =-.8. 在xOy 坐标平面中，连续曲线L 过点M (1，0)，其上任意点P (x ，y )(x ≠0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数a >0).(1) 求L 的方程；(2) 当L 与直线y =ax 所围成平面图形的面积为4时，确定a 的值.解 (1)由题意可得方程yy ax x'-=，这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x=-()Q x ax =，所以d d 2(d )P x P x y e Qe x C Cx ax -⎰⎰=+=+⎰，又曲线L 过点M (1，0)，故C a =-，所以曲线方程为y = ax 2 –ax.(2)由定积分的知识可知，围成面积()222230014 d ()433x x a S ax ax ax x ax ax ===-+=-==⎰，故3a =.9. 验证函数36931()3!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程y ″+y ′+y =e x；利用所得结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.解 25831(),2!5!8!(31)!n x x x x y x n -'=+++++-∞<<+∞- 4732(),4!7!(32)!n x xx y x x n -''=+++++-∞<<+∞-231(),2!3!!n x x x x y y y x e x n "+'+=++++++=-∞<<+∞所以是微分方程的解，下面我们来求微分方程y ″+y ′+y =e x 的通解，这是常系数二阶0y y y "+'+=的通解为：212()x Y e C C-=+，故y ″+y ′+y =e x 通解为 2121()3x x y Y ye C C e -=+=++，令369321211()3!6!9!(3)!3x n x x x x x y e C x C e n -=++++++=++，下面确定系数，令0x =，得1113C =+，即123C =，两边同时求导得25831212122!5!8!(31)!111()223n x xx x x x y n e C Ce --'=+++++-=---++再令0x =，得1211023C -++=，即20C =，所以3369320211cos (3)!3!6!9!(3)!33xn n x n x x x x x e x e n n ∞-==++++++=+∑.。

第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解: L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是2cos I ππθ-=⎰4cos (1d ππθθ-==+⎰．（2）(1)Lx y ds ++⎰ ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ===，故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ==． 故10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0d s =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ （3）⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ==．于是201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt ==，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222LBB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s =++⎰⎰⎰⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。