3.1.2指数函数

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.[知识链接]1.函数y＝a x(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减.2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.[预习导引]1.函数y＝a x与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.2.形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.3.形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：0.7-0.70.3；(1)1.9－π与1.9－3；(2)23(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.0.7-0.70.3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.267 9＜0.3，所以23(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较. 跟踪演练1 已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析 因为函数y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因为1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c ＞a ＞b . 要点二 指数型函数的单调性 例2 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y ＝2213-⎛⎫⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a 的大小；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪演练2 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解 函数y ＝222-+xx的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数y ＝222-+x x的单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞).要点三 指数函数的综合应用 例3 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数.(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明. (3)求f (x )的值域.(1)证明 由题知f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x(3－x ＋1)·3x＝1－3x1＋3x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.(2)解 f (x )在定义域上是增函数.证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)－f (x 1)＝32x－132x ＋1－31x－131x ＋1＝(1－232x ＋1)－(1－231x ＋1)＝2·(32x －31x)(31x ＋1)(32x＋1). ∵x 1＜x 2，∴32x －31x ＞0,31x＋1＞0，32x ＋1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)＞f (x 1)， ∴f (x )为R 上的增函数. (3)解 f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，∵3x ＞0⇒3x ＋1＞1⇒0＜23x ＋1＜2⇒－2＜－23x ＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1， 即f (x )的值域为(－1,1).规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪演练3 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解 依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )， 即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ，∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立.由此得到a －1a ＝0， 即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明 设0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e 12x +xe 12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e 12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1)答案 A解析 定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数.又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)是增函数， ∴选A.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析 原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数， 所以21.8＞21.5＞21.44， 即y 1＞y 3＞y 2，故选D.4.某种细菌在培养过程中，每20 min 分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个. 答案 512解析 3 h ＝9×20 min ，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个. 5.已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数，定义域为R ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2.指数函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，在f (x )的单调区间[m ，n ]上，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .。

《3.1.2指数函数》教案一．教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B 版）第三章第一节第二课《指数函数》。

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质之后系统学习的第一个函数，为今后进一步熟悉函数的性质和应用，进一步研究等比数列的性质打下坚实的基础.因此本节课的内容是至关重要的.它对知识起到了承上启下的作用。

二.学情分析根据这几年的教学我发现学生在后面学习中一遇到指对数问题就发蒙,原因是什么呢？问题就出在学生刚刚学完函数的性质，应用又是初中比较熟悉的一次二次函数。

一下子出现了一个非常陌生的函数而且需要记很多性质。

学生感觉很吃力，也就没有了兴趣，当然就学不好了。

三.教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。

3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.四.教学重点与难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

五：教法：探究式教学法 通过学生自主探索、合作学习，让学生成为学习的主人，加深对所得结论的理解六.教学过程： （一）预习检测1：老师想和大家订一个合同：接下来的一个月（30天），老师每天给你10万元，而你第一302天只需给我2分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍。

你想和老师订这个合同吗？ 请思考：（1）你的总收入是多少？ 学生回答： （2）你的支出呢？第1天支出： 学生回答： 分221= 第2天支出： 学生回答： 分422= ......第30天支出： 学生回答：请写出你每天支出钱数随时间（单位：天）变化的函数关系并画出函数图象：301,,2*≤≤∈=x N x y x2：《庄子天下篇》庄子曰：一尺之锤，日取其半，万世不竭. 请思考：第一天剩余长度：学生回答：21211=⎪⎭⎫ ⎝⎛第二天剩余长度：学生回答：41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛......第x 天剩余长度y 是多少？并画出函数图象：*,21N x y x∈⎪⎭⎫⎝⎛=（二）自主学习 1．指数函数的定义⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：万元30010101010=++++①x y 2=（∈x *N ）和xy )21(=（∈x *N ）这两个解析式有什么共同特征？学生回答：两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

张喜林制3.1.2 指数函数教材知识检索考点知识清单1．指数函数一般地，函数)10(=/>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 ，值域是指数函数)10(=/>=a a a y x 且的图象如图3 -1 -2 -1.2．指数函数)10(=/>=a a a y x 且具有的性质(l)定义域为 ，值域为 ．(2)函数图象在x 轴的 且都通过点 (3)当1>a 时，这个函数是 当10<<a 时，这个函数是要点核心解读1．关于指数函数的定义中约定0>a 且1=/a 的问题在指数函数)10(=/>=a a a y x且中约定”且“10≠>a a 有两个主要目的： (1)使函数的定义域是R ； (2)使函数具有单调性，事实上，如果a<0，如,2-=a 则,41,21)2(=-=x y x对 ,61都没有意义；如果a=0，则x y 0= 对x≤0都没有意义；如果a=l ，则,11==x y 它的定义域、值域、对应法则已经“定型”，没有必要对其再研究．2． 关于指数函数的图象和性质(1)在学习指数函数x a y =时，应当想图象，抓特征，说性质，做到数形结合．(2)理解并掌握指数函数的数值变化规律．如0,1>>x a 时，时0,10;1<<<>x a a x ,1,1>>a a x<<<<0;100x a x 时，0,1><x a 时，.10<<x a(3)解决与指数函数有关的问题应考虑其单调性． (4)图象特征的口诀记忆(如图3-1-2 -2).多个图象像束花，(0，1)这点把它扎．撇增捺减无例外，底互倒时y 轴夹.1=x 为判底线，交点纵标看小大．重视数形结合法，横轴上面图象察．3．指数函数结构形式的认识(1)函数xy 32⋅=不是指数函数．(2)指数函数必须满足xa 的系数为1，指数是系数为l 的x 的一次单项式，定义域为R.如：函数k a y a y a y x x x +===+,,21（a>0且a≠1，k≠0）都不是指数函数，同样，,x a y =定义域为R的真子集的函数也不是指数函数．4．指数不等式(1)当a>l 时，⋅>⇔>)()()()(x g x f a ax g x f (2)当O<a<l 时，⋅<⇔>)()()()(x g x f a ax g x f典例分类剖析考点1指数函数的判断[例1] 给出下列函数：;4)1(x y = ;)2(4x y = ;3)3(x y -= ;)4()4(x y -= ;)5(x y π= ;2)6(2x y = ;)7(x x y = ⋅=/>-=)121()12()8(a a a y x 且 是指数函数的是( )．)5)(3)(1.(A )8)(5)(2.(B )8)(5)(1.(C )6)(4)(2.(D[试解] 做后再看答案，发挥母题功能） [解析] (2)的未知数在底数位置； (3)是指数函数x y 3=与-1的乘积；(4)底数为-4，这与条件a>0且a ≠1矛盾； （6）指数为2，不是变量x ； (7)中底数是未知数． [答案] C[点拨] 由题目可获取以下主要信息： (1)自变量都是x ；(2)式子右边的底数或指数位置含有常数或参数．解答本题可先观察函数式的整体结构，再根据定义加以判断．母题迁移 1．函数xy 12=是否为指数函数？ 考点2定义域、值域问题[例2] (1)求下列函数的定义域：;22x y -=① 2415-=-x y ②(2)求122+=x xy 的值域．[解析] ,0,0,0)1(22=∴≤∴≥-x x x ① ∴ 函数的定义域是{0}.,22,024)5(25=/∴=/---x x ②⋅=/∴=/-∴211,1102x x ∴ 函数的定义域是}211|{=/∈x R x (2)函数的定义域为R ．,211121121122x x x x x y +-=+-+=+= 又,01211,11210,121,02<+-<-<+<>+>x x xxx xxy 212,121110+=∴<+-<∴的值域为(0，1).[点拨] (2)中求值域容易漏掉)(0211x f xa y =⋅>+的定义域即是f(x)的定义域， 母题迁移 2．求下列函数的值域：;2)1(1xy -= xy -=15)2(； ⋅-=xy )21(1)3(考点3比较大小问题[例3] 比较下列各组数的大小：;9.08.0)1(4.05.0与 ;)21(,8,4)2(5.148.09.0- .4.03.0)3(3.0.4.0与[解析] 比较大小题，可考虑函数的单调性，或与特殊值比较，以确定大小，4.05.04.05.05.05.09.08.0,9.09.0,9.08.0)1(<∴<<又,2)21(,28,24)2(5.15.144.148.08.19.0===-又x y 2=在R 上为增函数，48.05.19.08)21(4>>∴- (3)函数x y 3.0=是R上的减函数，函数3.0x y =在),0[+∞上是增函数，,4.03.0,3.03.03.03.03.04.0<<∴34.04.03.0α<∴[点拨] (1)题为“搭桥”法，即当两个数不好比较大小时，可找到一个与题中两个数都能比较大小的数，从而利用“桥梁”解决问题(2)题为单调性法，可用单调性比较几个数的大小．(3)题引入 中间数,3.03.0使这两个数一个比它大，而另一个比它小．母题迁移3．已知,2.1,8.0,8.08.09.07.0===c b a 则a 、b 、c 的大小关系为 。

3.1.2 指数函数1．下列函数中，指数函数的个数为 ( )①y ＝(12)x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝(12)2x －1. A ．0个 B ．1个C ．3个D ．4个2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1，0<b <13．当x ∈[－2，2)时，y ＝3－x －1的值域是( )A ．(－89，8] B ．[－89，8] C ．(19，9) D ．[19，9] 4．指数函数y ＝(a －1)x 与y ＝(1a )x 具有不同的单调性，则M ＝(a －1)13，N ＝(1a)3与1的大小关系是( )A ．M >1>NB ．1>M >NC ．M <1<ND ．M <N <15．已知指数函数的图象过点M (3，8)，那么f (－4)＝________．6．(1)若0.2m >1>0.2n ，则________>0>________(填m 或n )．(2)若(14)x <23x ＋1，则x 的取值范围是________． 7．画出函数y ＝2|x |的图象，其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．8．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．参考答案1.解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确．答案：B2.解析：由图象知，函数y ＝a x 单调递减，故0<a <1；函数y ＝b x 单调递增，故b >1. 答案：C3.解析：函数y ＝3－x －1为减函数，故x ∈[－2，2)时，y ∈(－89，8]． 答案：A4.解析：由已知得a >2，故a －1>1a. ∴M >1>N .答案：A5.解析：设指数函数是y ＝a x (a >0，a ≠1)，则有8＝a 3，∴a ＝2，∴y ＝2x .从而f (－4)＝2－4＝116. 答案：1166.解析：(1)由0.2m >1＝0.20>0.2n ，得n >0>m .(2)(14)x ＝2－2x <23x ＋1， ∴3x ＋1>－2x ，x >－15. 答案：(1)n m (2)x >－157.解：当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；当x <0时，y ＝2|x |＝2－x ＝(12)x . ∴函数y ＝2|x |的图象如图所示.由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．8.解：(1)函数图象过点(2，12)， 所以a 2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0). 由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2. 所以函数的值域为(0，2]．。

《指数函数》教案教学目标1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念；2.掌握指数函数的图象及性质；3.初步学会运用指数函数来解决问题.4.通过了解指数函数的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；通过展示函数图象，用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.教学重难点1.指数函数的定义:一般地，函数y＝a x (a>0，a≠1，x∈R)叫做指数函数.2.指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的图象过定点(0，1).3.指数函数y＝a x (a>0，a≠1，x∈R)，当a>1时，在(－∞，＋∞)上是单调增函数当0<a<1时在(－∞，＋∞)上是单调减函数.教学过程[问题情境]印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍. 直到摆满棋盘上64格”，国王说:“你的要求不高，会如愿以偿的”.于是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想，共需要多少粒麦子？探究点一指数函数的概念问题1某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为y，则y与x的函数关系是什么呢？答：x＝0，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝2×2＝4；x＝3，y＝22×2＝8，…，y＝2x.问题2一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%.这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系是怎样的？答：设最初的质量为1，时间变化量用x表示，剩留量用y表示，则经过x年，y＝0.84x.问题3在上述两问题关系式中，如果用字母a代替2和0.84，那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式？答：表示成y＝a x的形式.小结：指数函数的定义:一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈R)叫做指数函数.问题4 指数函数的定义中为什么规定了a>0且a≠1?答：将a 如数轴所示分为:a<0，a ＝0，0<a<1，a ＝1和a>1五部分进行讨论:(1)如果a<0，比如y ＝(－4)x ，这时对于x ＝14，x ＝12等，在实数范围内函数值不存在； (2)如果a ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧当x>0时，a x ＝0，当x≤0时，a x 无意义； (3)如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是个常值函数，没有研究的必要；(4)如果0<a<1或a>1即a>0且a≠1，x 可以是任意实数.例1 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1) y ＝2x ＋2； (2)y ＝(－2)x ； (3)y ＝－2x ； (4)y ＝πx ； (5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x (a>1，且a≠2).解：只有(4)，(6)是指数函数，因为它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b>0且b≠1，所以是.小结：根据指数函数的定义， a 是一个常数，a x 的系数为1，且a ＞0，a≠1.指数位置是x ，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数.跟踪训练1 指出下列函数哪些是指数函数:(1)y ＝4x ； (2)y ＝x 4； (3)y ＝(－4)x ； (4)y ＝x x ； (5)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a>12，且a≠1. 解：(1)、(5)为指数函数； (2)自变量在底数上，所以不是；(3)底数－4<0，所以不是； (4)底数x 不是常数，所以不是.探究点二 指数函数的图象与性质导引为了研究指数函数的图象，我们来看下面两组指数函数的图象，第一组y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象；第二组y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象. 问题1 图象分别在哪几个象限？这说明了什么？答：图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}.问题2 图象有什么特征？猜想图象的上升、下降与底数a 有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？答：它们的图象都在x 轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x 轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数.问题3 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？答：不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0，1).问题4 函数图象有什么关系？可否利用y ＝2x 或y ＝3x 的图象画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 或y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象？答：通过图象看出y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象关于y 轴对称，y ＝3x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象也关于y 轴对称.所以能利用y ＝2x 或y ＝3x 的图象通过对称性画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 或y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象. 问题5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y ＝a x 的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)答：定义域为R ，值域为{y|y>0}，过(0，1)点，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数.小结：指数函数的图象与性质:例2 已知指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)的图象过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.解：将点(3，π)，代入f(x)＝a x ，得到f(3)＝π，即a 3＝π，解得:a ＝π13 ，于是f(x)＝πx3，所以f(0)＝π0＝1，f(1)＝π ＝3π，f(－3)＝π－1＝1π. 小结：要求指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)的解析式，只需要求出 a 的值，要求a 的值，只需一个已知条件即可.跟踪训练2 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1，2)，求a ，b 的值.解：由于函数y ＝(2b －3)a x 是指数函数，所以2b －3＝1，即b ＝2.将点(1，2)代入y ＝a x ，得a ＝2. a>1 0<a<1图象性质 (1)定义域:R(2)值域:(0，＋∞)(3)过点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1(4)在R 上是增函数(4)在R 上是减函数例3 求下列函数的定义域与值域:(1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋1. 解：(1)令x －4≠0，得x≠4.∴定义域为{x|x ∈R ，且x≠4}.∵1x －4≠0， ∴21x －4≠1，∴y ＝21x －4的值域为{y|y>0，且y≠1}. (2)定义域为x ∈R.∵|x|≥0，∴y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|＝⎝⎛⎭⎫32|x|≥⎝⎛⎭⎫320＝1，故y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|的值域为{y|y≥1}. (3)定义域为x ∈R.由y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，且2x >0，∴y>1.故y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为{y|y>1}.小结：函数y ＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.求与指数函数有关的函数的值域时，要利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域:(1)y ＝0.31x －1 ；(2)y ＝35x －1. 解：(1)由x －1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}.由1x －1≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}. (2)由5x －1≥0得x≥15，所以函数定义域为{x|x≥15}. 由5x －1≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列各函数中，是指数函数的是( D ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x －1 D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x解析：只有y ＝(13)x 符合指数函数y ＝a x (a ＞0且a≠1)的形式. 2.函数f(x)＝1－2x 的定义域是( A ) A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，＋∞)解析：由1－2x ≥0得2x ≤1，根据y ＝2x 的图象可得x≤0，选A.3.函数f(x)＝xa x |x|(a>1)的图象的大致形状是 ( )解析：当x>0时，f(x)＝a x，由于a>1，函数是增函数；当x<0时，f(x)＝－a x，与f(x)＝a x(x<0)关于x轴对称，只有选项C符合.课堂小结：1.判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a>0且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.2.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的性质分底数a>1，0<a<1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.3.由于指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的定义域是R，即x∈R，所以函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.4.求函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)的值域的方法如下:(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝a t的单调性求y＝a t在t∈M上的值域.。