3.1.2指数函数

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.[知识链接]1.函数y＝a x(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减.2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.[预习导引]1.函数y＝a x与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.2.形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.3.形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：0.7-0.70.3；(1)1.9－π与1.9－3；(2)23(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.0.7-0.70.3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.267 9＜0.3，所以23(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较. 跟踪演练1 已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析 因为函数y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因为1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c ＞a ＞b . 要点二 指数型函数的单调性 例2 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y ＝2213-⎛⎫⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a 的大小；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪演练2 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解 函数y ＝222-+xx的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数y ＝222-+x x的单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞).要点三 指数函数的综合应用 例3 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数.(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明. (3)求f (x )的值域.(1)证明 由题知f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x(3－x ＋1)·3x＝1－3x1＋3x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.(2)解 f (x )在定义域上是增函数.证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)－f (x 1)＝32x－132x ＋1－31x－131x ＋1＝(1－232x ＋1)－(1－231x ＋1)＝2·(32x －31x)(31x ＋1)(32x＋1). ∵x 1＜x 2，∴32x －31x ＞0,31x＋1＞0，32x ＋1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)＞f (x 1)， ∴f (x )为R 上的增函数. (3)解 f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，∵3x ＞0⇒3x ＋1＞1⇒0＜23x ＋1＜2⇒－2＜－23x ＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1， 即f (x )的值域为(－1,1).规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪演练3 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解 依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )， 即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ，∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立.由此得到a －1a ＝0， 即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明 设0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e 12x +xe 12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e 12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1)答案 A解析 定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数.又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)是增函数， ∴选A.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析 原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数， 所以21.8＞21.5＞21.44， 即y 1＞y 3＞y 2，故选D.4.某种细菌在培养过程中，每20 min 分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个. 答案 512解析 3 h ＝9×20 min ，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个. 5.已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数，定义域为R ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2.指数函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，在f (x )的单调区间[m ，n ]上，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .。

《3.1.2指数函数》教案一．教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B 版）第三章第一节第二课《指数函数》。

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质之后系统学习的第一个函数，为今后进一步熟悉函数的性质和应用，进一步研究等比数列的性质打下坚实的基础.因此本节课的内容是至关重要的.它对知识起到了承上启下的作用。

二.学情分析根据这几年的教学我发现学生在后面学习中一遇到指对数问题就发蒙,原因是什么呢？问题就出在学生刚刚学完函数的性质，应用又是初中比较熟悉的一次二次函数。

一下子出现了一个非常陌生的函数而且需要记很多性质。

学生感觉很吃力，也就没有了兴趣，当然就学不好了。

三.教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。

3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.四.教学重点与难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

五：教法：探究式教学法 通过学生自主探索、合作学习，让学生成为学习的主人，加深对所得结论的理解六.教学过程： （一）预习检测1：老师想和大家订一个合同：接下来的一个月（30天），老师每天给你10万元，而你第一302天只需给我2分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍。

你想和老师订这个合同吗？ 请思考：（1）你的总收入是多少？ 学生回答： （2）你的支出呢？第1天支出： 学生回答： 分221= 第2天支出： 学生回答： 分422= ......第30天支出： 学生回答：请写出你每天支出钱数随时间（单位：天）变化的函数关系并画出函数图象：301,,2*≤≤∈=x N x y x2：《庄子天下篇》庄子曰：一尺之锤，日取其半，万世不竭. 请思考：第一天剩余长度：学生回答：21211=⎪⎭⎫ ⎝⎛第二天剩余长度：学生回答：41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛......第x 天剩余长度y 是多少？并画出函数图象：*,21N x y x∈⎪⎭⎫⎝⎛=（二）自主学习 1．指数函数的定义⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：万元30010101010=++++①x y 2=（∈x *N ）和xy )21(=（∈x *N ）这两个解析式有什么共同特征？学生回答：两个函数中，底数是常数，指数是自变量。