最新中考数学精选三角形和圆

圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。

（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。

（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。

5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。

7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线 ，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--三角形的外接圆与外心1．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．2．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊙DC交DC的延长线于点E．（1）求证：⊙1=⊙BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．3．如图，在⊙ABC中，⊙B=45°，⊙ACB=60°，AB=3 √2，点D为BA延长线上的一点，且⊙D=⊙ACB，⊙O为⊙ACD的外接圆．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径．4．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）.（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点⊙DEF，使⊙DEF ⊙⊙ABC，且相似比为2⊙1；（2）求⊙ABC中AC边上的高；（3）若⊙ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为5．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线和⊙ABC的外接圆相交于点D，连接BE（1）若⊙CBD＝35°，求⊙BAC及⊙BEC的度数（2）求证：DE＝DB6．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的⊙ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）.（1）在如图的方格纸中把⊙ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出⊙A1B1C1（⊙ABC与⊙A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）.（2）利用方格纸标出⊙A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是，⊙P的半径=.（保留根号）7．如图，在边长为1的正方形网格中，⊙ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．（1）①在图中标出⊙ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；②将⊙ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到⊙A′B′C，画出旋转后的⊙A′B′C；（2）求⊙ABC旋转过程中点A经过的路径长．8．如图，在等腰直角⊙ABC中，⊙ACB=90°，AC=BC= √2（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）̂的长（2）在（1）所作的圆中，圆心角⊙BOC=°，圆的半径为，劣弧BC为．9．八上教材给出了命题“如果△ABC≅△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，那么AD=A′D′”的证明，由此进一步思考……（问题提出）（1）在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，如果BC= B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，AD=A′D′，那么△ABC和△A′B′C′全等吗？（i）小红的思考如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A′B′C′，作法如下：①作△ABC的外接圆O②过点A作AA′//BC，与O交于点A′③连接A′B′（点B′与C重合），A′C′（点C′与B重合），得到△A′B′C′请说明小红所作的△A′B′C′≅△ABC.（ii）小明的思考如图，对于满足条件的△ABC，△A′B′C′和高AD，A′D′；小明将△A′B′C′通过图形的变换，使边C′B′与BC重合，A′B′，AB相交于点M，连接A′A，易证A′A//BC接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.如图，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，（AD<A′D′），且∠BAC=∠B′A′C′，ADA′D′=BCB′C′，求证：△ABC∼△A′B′C′ .10．如图，⊙ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当⊙CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．11．如图，点P为抛物线L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）（其中a为常数，且a＜0）的顶点，L与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线，与L交于点A，过点A作x轴的垂线，与射线OP交于点B，连接OA（1）a＝﹣2时，点P的坐标是，点B的坐标是；（2）是否存在a的值，使OA＝OB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由（3）若⊙OAB的外心N的坐标为（p，q），则①当点N在⊙OAB内部时，求a的取值范围；②用a表示外心N的横坐标p和纵坐标q，并求p与q的关系式（不写q的取值范围）．12．如图，⊙ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在⊙ACB的内部作⊙ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊙AC于点H，连接BF．̂的长；（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求AG（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．13．如图，⊙O为⊙ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊙CD交AD 于E，连接BD.（1）求证：⊙ACE⊙⊙BCD.（2）若CD＝2，BD＝3 √2，求⊙O的半径.（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO.（用含有a，b的代数式表示）14．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线.与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan⊙CAO＝3，sin⊙CBO＝√22（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设D为抛物线对称轴上一点.①当⊙BCD的外接圆的圆心在⊙BCD的边上时，求点D的坐标；②若⊙BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围.15．如图，抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B两点（点B在点A的左边），与y轴交于点C，且OA=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是直线AC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE=OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为(t，0)，0<t<3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值.16．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是⊙ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI．若IB平分⊙ABC，EB=EI．（1）求证：AE平分⊙BAC；（2）若BA= √5，OI⊙AD于I，求CD的长．答案解析部分1．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作弦AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以OA为半径画圆即为所求图形.如图.（2）解：过O作OE⊙AB于D，交弧AB于E，连接OB，∴BD=12AB，又∵AB=16cm，∴BD=8cm，又∵ED=4cm，设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，在Rt⊙BOD中，∴（x-4）2+82=x2，∴x=10，故答案为：10cm.2．【答案】（1）证明：∵BD=BA，∴⊙BDA=⊙BAD，∵⊙1=⊙BDA，∴⊙1=⊙BAD；（2）证明：连接BO，∵⊙ABC=90°，又∵⊙BAD+⊙BCD=180°，∴⊙BCO+⊙BCD=180°，∵OB=OC，∴⊙BCO=⊙CBO，∴⊙CBO+⊙BCD=180°，∴OB⊙DE，∵BE⊙DE，∴EB⊙OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．3．【答案】（1）解：过点A作AE⊙BC，垂足为E，∴⊙AEB=⊙AEC=90°，在Rt⊙ABE中，∵sinB= AE AB，∴AE=ABsinB=3 √2sin45°=3 √2× √22=3，∵⊙B=45°，∴⊙BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt⊙ACE中，∵tan⊙ACB= AE EC，∴EC=AEtan∠ACB=3tan60∘=√3= √3，∴BC=BE+EC=3+ √3（2）解：连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，由（1）得，在Rt⊙ACE中，∵⊙EAC=30°，EC= √3，∴AC=2 √3，∵⊙D=⊙M=60°，∴sin60°= ACAM=2√3AM= √32，解得：AM=4，∴⊙O的半径为24．【答案】（1）解：如图所示：⊙DEF即为所求；（2）解：设AC边上的高为x，由题意可得：12×1×2=12x×√10解得x= √105（3）（2，6）5．【答案】（1）解：在外接圆中，∵⊙CBD=35°，∵⊙CAD=35°，∵点E是⊙ABC的内心，∴⊙BAC=2⊙CAD=70°，∴⊙EBC+⊙ECB=（180°-70°）÷2=55°，∴⊙BEC=180°-55°=125°（2）证明：∵E是⊙ABC的内心，∴⊙BAD=⊙CAD，⊙EBA=⊙EBC，∵⊙DEB=⊙BAD+⊙EBA，⊙DBE=⊙EBC+⊙CBD，⊙CBD=⊙CAD，∴⊙DEB=⊙DBE，∴DE=DB.6．【答案】（1）如图，⊙A1B1C1为所作；（2）（3，1）；√107．【答案】（1）解：①如图，点D为所作，D点坐标为（3，2）；②如图，⊙A'B'C为所作；（2）解：CA =√22+42=2√5，所以⊙ABC旋转过程中点A经过的路径长＝90×π×2√5180=√5π8．【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；（2）90；1；12π9．【答案】（1）解：（i ）∵AA ′//BC ，∴∠A ′AB =∠ABC ， ∵∠A ′AB =∠A ′B ′C ′ ， ∴∠A ′B ′C ′=∠ABC ，又∵∠B ′A ′C ′=∠BAC ， B ′C ′=BC ， ∴△A ′B ′C ′≅△ABC ，（ii ）根据相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质解题：①AM CM =MA ′MC；②△A ′MC ′∼△AMC ；③∠A ′B ′C ′=∠ABC ；（拓展延伸）（2）解：如图，在 A ′D ′ 上截取 A ′E =AD ，过点 E 作 FG//B ′C ′ ，分别交 A ′B ′ ， A ′C ′ 于 F ， G ，∵FG//B ′C ′ ，∴∠A ′EG =∠A ′D ′C ′ ， △A ′FG ∼△A ′B ′C ′ ， ∵A ′D ′ 是 △A ′B ′C ′ 的高， ∴A ′D ′⊥B ′C ′ ，∴∠A ′EG =∠A ′D ′C ′=90° ，∴A ′E ⊥FG ，即 A ′E 是 △A ′FG 的高，又∵△A ′FG ∼△A ′B ′C ′ ， A ′E ， A ′D ′ 分别是 △A ′FG ， △A ′B ′C ′ 的高，∴A ′EA ′D ′=FGB ′C ′，又 AD A ′D ′=BCB ′C ′ ， A ′E =AD ，∴FG B ′C ′=BCB ′C′ ， ∴FG =BC ，在 △ABC 和 △A ′FG 中， AD ， A ′E 分别是 △ABC 和 △A ′FG 的高， BC =FG ， ∠BAC =∠FA ′G ， AD =A ′E ， 由（1）可知 △A ′FG ≅△ABC ， ∴△ABC ∼△A ′B ′C ′ .10．【答案】（1）解：四边形DEFG 是平行四边形．∵点D 、E 、F 、G 分别是CA 、OA 、OB 、CB 的中点， ∴DG⊙AB ，DG= 12 AB ，EF⊙AB ，EF= 12 AB ，∴DG⊙EF ，DG=EF ，∴四边形DEFG 是平行四边形； （2）32；75°或15°11．【答案】（1）（3，2）；（6，4）（2）解：不存在a 的值使OA ＝OB ，理由如下：∵抛物线L ：y ＝a （x ﹣2）（x ﹣4）＝ax 2﹣6ax+8a ＝a （x ﹣3）2﹣a ∴顶点P （3，﹣a ），C （0，8a ）∴直线OP 解析式为：y ＝﹣ a3 x∴A （6，8a ）∴y B ＝﹣ a3 ×6＝﹣2a∵a≠0∴|y A |≠y B ，即x 轴不平分AB ∴OA≠OB（3）解：①∵⊙OAB 的外心N 在其内部 ∴⊙OAB 是锐角三角形∴⊙AOB ＜90° ∴OA 2+OB 2＞AB 2∵A （6，8a ），B （6，﹣2a ） ∴62+（8a ）2+62+（﹣2a ）2＞（8a+2a ）2 解得：﹣ 32＜a ＜0②∵外心N 在AB 的垂直平分线上，AB⊙x 轴 ∴q ＝ −2a+8a 2＝3a∴N （p ，3a ），a ＝ q3∵ON ＝AN ，即ON 2＝AN 2∴p 2+（3a ）2＝（6﹣p ）2+（8a ﹣3a ）2 整理得：p ＝ 34a 2+3把a ＝ q3 代入得：p ＝ 427q 2+312．【答案】（1）解：连接OG ．∵⊙AOG=2⊙ACF=60°，OA=4，∴AĜ 的长= 60⋅π⋅4180 = 43π （2）解：结论：BF 是⊙O 的切线．理由：连接OB ．∵AC 是直径，∴⊙CBA=90°，∵BC=BA ，OC=OA，∴OB⊙AC，∵FH⊙AC，∴OB⊙FH，在Rt⊙CFH中，∵⊙FCH=30°，∴FH= 12CF，∵CA=CF，∴FH= 12AC=OC=OA=OB，∴四边形BOHF是平行四边形，∵⊙FHO=90°，∴四边形BOHF是矩形，∴⊙OBF=90°，∴OB⊙BF，∴BF是⊙O的切线．13．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴⊙ACB＝90°，∵CE⊙CD，∴⊙ECD＝90°，∴⊙ACE＝90°﹣⊙ECB＝⊙BCD，在⊙ACE和⊙BCD中，{∠ACE=∠BCDAC=BC∠CAE=∠CBD，∴⊙ACE⊙⊙BCD（ASA）（2）解：∵⊙ACE⊙⊙BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊙CD，∴⊙ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3 √2，∴DE＝2 √2，AE＝3 √2，∴AD＝5 √2，∵AB为⊙O直径，∴⊙ADB＝90°，∴AB＝√AD2+BD2＝2 √17，∴⊙O的半径为√17（3）解：法一：过O作OH⊙AD于H，如图：∵⊙ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝√2a，CF＝√22a，∵F为DE的中点，∴CF＝DF＝12DE＝√22a，∵⊙ACE⊙⊙BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝√2a+b，∵OH⊙AD，⊙ADB＝90°，∴OH⊙BD，∵AO＝OB，∴OH＝12OB＝12b，DH＝12AD＝√22a+ 12b，OH＝12BD＝12b，∴HF＝DH﹣DF＝（√22a+ 12b）﹣√22a＝12b，在Rt⊙OHF中，FO＝√OH2+HF2＝√22b，∴CF+FO＝√22a+ √22b.法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：由（1）得⊙ACE⊙⊙BCD，∴BD＝AE＝DH，∵AB为直径，∴⊙ADB＝⊙BDH＝90°，∴⊙BDH为等腰直角三角形，∵BD＝b，∴BH＝√2b，∵⊙ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝√2a，CF＝√22a＝DF＝EF，而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F为AH中点，∵O为AB中点，∴FO＝12BD＝√22b，∴CF+FO＝√22a+ √22b.14．【答案】（1）解：由题意可知，⊙COA=90°，∴tan∠CAO=OCOA=3，sin∠CBO=√22∴OC=3OA，⊙CBO=45°，∴OC=OB，∵抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，∴C（0，n），抛物线对称轴为x=−−4m2m=2，∴OC=n，∴OA=13n，OB=n，∴A（13n，0），B（n，0），∴n+13n2=2，∴n=3，∴C（0，3），B（3，0），A（1，0），∴把A（1，0）代入抛物线解析式得：m−4m+3=0，∴m=1，∴抛物线解析式为y=x2−4x+3；（2）解：①当⊙BCD的外接圆圆心在⊙BCD边上时，⊙BCD是直角三角形，∵D为抛物线对称轴上的一点，∴设D（2，a）∵C（0，3）B（3，0），∴CD2=(2−0)2+(a−3)2=a2−6a+13，BD2=(2−3)2+(a−0)2=a2+1，BC2= (3−0)2+(0−3)2=18，当C为直角顶点时，DC2+BC2=BD2即a2−6a+13+18=a2+1，解得a=5，∴D（2，5）；当D为直角顶点时，DC2+BD2=BC2即a2−6a+13+a2+1=18，解得a=3±√172，∴D（2，3+√172）或（0，3−√172）；当B为直角顶点时，BC2+BD2=CD2即a2−6a+13=18+a2+1，解得a=-1，∴D（2，-1）；∴综上所述：D（2，5）或D（2，3+√172）或（0，3−√172）或D（2，-1）；②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，⊙BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置，∴3+√172<n<5或−1<n<3−√172.15．【答案】（1）解：在 y =ax 2−2ax −3a(a >0) 中，令y ＝0，得： ax 2−2ax −3a =0 ， 解得：x 1＝3，x 2＝−1， ∴B （−1，0），A （3，0）， ∴OA ＝3， ∵OA ＝OC ， ∴OC ＝3， ∴C （0，−3）， ∴−3a ＝−3， ∴a ＝1，∴抛物线解析式为： y =x 2−2x −3 （2）解：设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ， ∵A （3，0），C （0，−3）， ∴{3k ＋b ＝0b ＝−3 ，解得： {k ＝1b ＝−3 ， ∴直线AC 解析式为：y ＝x−3， 设M 点坐标为（m ，m 2−2m−3）， ∵PM⊙x 轴， ∴P （m ，m−3），∴PM ＝m−3−（m 2−2m−3）＝−m 2＋3m ，∵OA＝OC，⊙AOC＝90°，∴CA＝√2OA，∴CP＝√2m，∵⊙PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴⊙PCM＝⊙NCM，∵PM⊙y轴，∴⊙NCM＝⊙PMC，∴⊙PCM＝⊙PMC，∴PC＝PM，∴√2m=−m2＋3m，解得：m1＝0（舍去），m2＝3− √2，∴当m＝3− √2时，m−3＝− √2，∴P（3−√2，−√2）；（3）解：作⊙OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊙y轴于H，∵EF⊙x轴，∴⊙AFE＝90°，∴⊙FAE＋⊙FEA＝90°，∵⊙AEF的内心为I，∴AI，EI分别平分⊙FAE，⊙FEA，∴⊙IAE＝12⊙FAE，⊙IEA＝12⊙FEA，∴⊙IAE＋⊙IEA＝12（⊙FAE＋⊙FEA）＝45°，∴⊙AIE＝135°在⊙AIO和⊙AIE中，{OA＝EA∠OAI＝∠EAIAI＝AI，∴⊙AIO⊙⊙AIE（SAS），∴⊙AIO＝⊙AIE＝135°，∵⊙M是⊙OAI的外接圆，∴⊙OMA＝2×（180°−⊙AIO）＝90°，∴OM＝AM＝√22OA＝3√22，∴MI＝OM＝3√22，∴⊙MOA＝⊙MOH＝45°，∵MH⊙y轴，∴⊙HOM＝⊙HMO＝45°，∴OH＝HM＝√22OM＝32，∴CH＝OH＋OC＝32＋3＝92，∴CM＝√HM2+CH2=3√102，∵CI≥CM−MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为3√102−3√2 2.16．【答案】（1）证明：∵EB=EI，∴⊙EBI=⊙EIB，∵IB平分⊙ABC，∴⊙ABI=⊙DBI，又⊙EBI=⊙EBD+⊙DBI，⊙EIB=⊙ABI+⊙BAI，∴⊙EBD=⊙BAI，又⊙EBD=⊙CAD，∴⊙BAI=⊙CAD，即AE平分⊙BAC（2）解：∵OI⊙AD，AB为圆O直径，∴⊙OIA=⊙E=90°，∴OI⊙BE，∴⊙OIB=⊙EBI∵EB=EI，∴⊙EBI=⊙EIB，∴⊙OIB=⊙DIB，∵IB平分⊙ABC，∴⊙ABI=⊙DBI，在⊙BDI和⊙BOI中{∠DIB=∠OIB BI=BI∠DBI=∠OBI∴⊙BDI⊙⊙BOI（ASA），∴AO=BO=BD= √5，∴AB=2AO=2 √5又AI=EI=EB，∴在Rt⊙ABE中，由勾股定理可得AB2=BE2+AE2，即（2 √5）2=（2AI）2+AI2，解得AI=2，∴OI=ID= 12BE=12AI=1，∴AD=AI+DI=2+1=3，在Rt⊙ACD中，由勾股定理可得AC2=AD2﹣CD2，在Rt⊙ABC中，由勾股定理可得AC2=AB2﹣BC2，即{AC2=9−CD2AC2=(2√5)2−(CD+√5)2，解得CD= 3√55。

中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。

2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

等于这条弧所对的圆周角。

即∠PCA=∠PBC 。

3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。

5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。

练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。

中考数学直角三角形内切圆答题技巧 中考数学直角三角形内切圆答题技巧我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现假设有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。

：在Rt⊿ABC中，⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB 于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点，假设AC=4,BC=3，求⊙O1与⊙O2的半径。

解：连接O1 A, O1 D, O1 E, O1 C, O1 O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1 G,过C作CIAB交AB于I,交O1 O2于J设⊙O1与⊙O2的半径为r∵⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点O1 DAC , O1 EAB, O2 GAB, O2 FBCS⊿AO1C=ACO1D=2r S⊿BO2C=BCO2F=1.5rS⊿AO1G+S⊿O2GB =AGO1E+GBO2G=r(AG+ GB)=2.5r又∵CIAB交AB于I,交O1 O2于JCJ+ O2G = CJ+JI=CI CI==2.4S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G =O1 O2CJ+O1 O2O2G=O1 O2CI=2.4r即S⊿ABC=S⊿AO1C+S⊿BO2C+S⊿AO1G+S⊿O2GB+S⊿CO1O2+ S⊿O1 O2G==68.4r=6 , r=现推广到一般情况在Rt⊿ABC中C=90，⊙O1,⊙O2⊙On(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1切AC、AB,⊙On切BC、AB, 假设AC=b,BC=a,求⊙O1，⊙O2,⊙On的半径。

解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1，⊙O2,⊙On的半径为r S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)=br+ar+r+2(n-1)r又∵S⊿ABC =abr=。

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1．如图，⊙O内切于⊙ABC，切点为D，E，F，若⊙B=50°，⊙C=60°，连接OE，OF，DE，DF，⊙EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°2．下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．平行四边形的对角线互相垂直C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形3．如图，已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形，⊙B=⊙ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12。

则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．如图，⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8B．10C．12D．14 5．下列四个命题中，正确的个数是（）①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．在⊙ABC 中，O 为内心，⊙A=80°，则⊙BOC=（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）A ．2 ﹣2B ．2﹣C ﹣1D 8．有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）A ．2B ．32CD ．10．如图，在 ABC ∆ 中， 60BAC ∠=︒ 其周长为20，⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆，其半径为 ，则 BIC ∆ 的外接圆半径为（ ）A ．7B ．C ．2D 二、填空题11．在⊙ABC 中，⊙C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 ()68C ， ，点 I 是 ABC 的内心，将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后， I 的对应点 I ' 的坐标是 ．14．从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆，则这个圆的半径是 cm ．15．若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r = ．三、解答题16．如图，在⊙ABC 中，⊙C=90°，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，若BD=6，AD=4，求⊙O 的半径r ．17．如图⊙ABC 内接于圆O ，I 是⊙ABC 的内心，AI 的延长线交圆O 于点D ．（1）求证：BD=DI ；（2）若OI⊙AD ，求AB AC BC+的值．18．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．19．如图，⊙ABC中，⊙C=90°，⊙O是⊙ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．20．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D，连接BD，过点D作直线DM，使⊙BDM=⊙DAC．（⊙）求证：直线DM是⊙O的切线；（⊙）求证：DE2=DF•DA．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．13．【答案】(64)-，14．【答案】115．【答案】1或1 216．【答案】解：连接EO，FO，∵⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊙BC，OF⊙AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，又∵⊙C=90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO=FO，∴矩形OECF是正方形，设EO=x，则EC=CF=x，在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故（x+6）2+（x+4）2=102，解得：x=2，即⊙O的半径r=2．17．【答案】（1）证明：∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ，⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ，⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD ， ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ，∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ；（2）解：连接OA 、OD 、BD 和BI ，∵OA=OD ，OI⊙AD∴AI=ID ，∵I 为⊙ABC 内心，∴⊙BAD=⊙BCD ，∴弧BD=弧CD ，∵弧CD=弧CD ，∴⊙BCD=⊙BAD ，∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI ， =12（⊙BAC+⊙ACB ）， ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12（⊙BAC+⊙ABC ）， ∴⊙DIB=⊙DBI ，∴BD=ID=AI ，BD DC ∧∧=，故OD⊙BC ，记垂足为E ，则有BE=12BC ，作IG⊙AB于G，又⊙DBE=⊙IAG，而BD=AI，∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG，于是，AG=BE=12BC，但AG=12（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴AB ACBC=2．18．【答案】解：连接IE，IF，∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴⊙AEI=⊙AFI=90°，∵⊙A=70°，∴⊙EIF=110°，∴⊙FDE=55°．答：⊙FDE的度数为55°．19．【答案】（1）解：∵⊙O是⊙ABC的内切圆，∴OD⊙BC，OE⊙AC，又⊙C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形.（2）解：∵⊙C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= =10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ， ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4， 则CE=2，即⊙O 的半径为2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x = ，则 2AD = ，故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= ， 由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21．【答案】解：（⊙）如图所示，连接OD ， ∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAD=⊙CAD ，∴BD = CD ，∴OD⊙BC ，又∵⊙BDM=⊙DAC ，⊙DAC=⊙DBC ， ∴⊙BDM=⊙DBC ，∴BC⊙DM ，∴OD⊙DM ，∴直线DM 是⊙O 的切线；（⊙）如图所示，连接BE ，∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ，⊙ABE=⊙CBE ， ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ，即⊙BED=⊙EBD，∴DB=DE，∵⊙DBF=⊙DAB，⊙BDF=⊙ADB，∴⊙DBF⊙⊙DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。

2023年中考数学专题练习--圆与三角形问题的综合一、综合题1．如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是 AB 的中点，点 D 在 AC 上， AC ， BD 相交于点 E ，点 F 是 BD 上的一点，且 BF AD = ．（1）求证： CF CD ⊥ ；（2）连接 AF ，若 2CAF ABF ∠=∠ ．①求证： AC AF = ；②当 ACF ∆ 的面积为 12 时，求 AC 的长．2．如图，已知 AB 是 O 的直径，C ，D 是 O 上的点， //OC BD ，交 AD 于点E ，连结 BC .（1）求证： AE ED = ；（2）若 6AB = ， 30ABC ∠=︒ ，求图中阴影部分的面积.3．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且AC ＝CF ，∠CBF ＝∠CFB ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为．4．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．5．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．6．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．7．如图，点 P 在 x 轴上，以点 P 为圆心的圆，交 x 轴于 D 、 C 两点，交 y 轴于 A 、 B 两点， AB =， 3OC = .（1）求圆心 P 的坐标；（2）将 ADC 绕点 P 旋转 180︒ ，得到 ECD .请在图中画出线段 ED 、 EC ，判断四边形 ACED 的形状，请说明理由，并直接写出点 E 坐标.（3）设点 F 为 DBE 上一个动点，连接线段 CF 与 DE 相交于点 G ，点 M 为 CG 的中点，过点 G 作 GH DC ⊥ 于 H ，连接 HM 、 EM .在点 F 的运动过程中 HME ∠ 的大小是否变化？若不变，求出 HME ∠ 的度数；若变化，请说明理由.8．如图，在 ABC 中， AB AC = ，以 AB 为直径的 O 分别与 BC ， AC 交于点 D 、 E ．过点 D 作 DF AC ⊥ 交 AC 于点 F ．（1）求证： DF 是 O 的切线；（2）若 O 的半径为5， 22.5CDF ∠=︒ ，求阴影部分的面积．9．如图，点O 是Rt ABC 的斜边AB 上一点，⊙O 与边AB 交于点A ，D ，与AC 交于点E ，点F 是弧DE 的中点，边BC 经过点F ，连接AF ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AF=8，求AC 的长.10．如图，A 、B 是 O 上的两点， 120AOB ∠=︒ ，点D 为劣弧 AB 的中点.（1）求证：四边形AOBD 是菱形；（2）延长线段BO 至点P ，交 O 于另一点C ，且BP=3OB ，求证：AP 是 O 的切线. 11．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点C ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝6，DE ＝4，求⊙O 的半径．12．如图，△ABC 内接与⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于AC 点E ，交PC 于点F ，连接AF.（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长.13．如图，已知等边△ABC ，AB ＝12．以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）求FG 的长；（3）求△FDG 的面积．14．如图， AB 为 O 的直径，点P 为 AB 延长线上的一点，过点P 作 O 的切线 PE ，切点为M ，过 A B 、 两点分别作 PE 的垂线 ,AC BD ，垂足分别为 ,C D ，连接 AM ．求证：（1）AM 平分 CAB ∠ ；（2）若 4,30AB APE =∠= ，求 BM 的长．15．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝3.（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．16．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D.（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝43，求AD的长.17．在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．19．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．20．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵AB 是直径，90ACB ∴∠=︒ ． C 是 AB 的中点，AC BC ∴= ．CD CD = ，CBF CAD ∴∠=∠ ．又 BF AD = ，∴()CBF CAD SAS ≅ ，BCF ACD ∴∠=∠ ，BCF FCE ACD FCE ∴∠+∠=∠+∠ ，90FCD ACB ∴∠=∠=︒ ，即 CF CD ⊥（2）解：①设 ABF α∠= ，则 ACD ABF α∠=∠= ， 2CAF α∠= ． 90FCD ∠=︒ ，90ACF α∴∠=︒- ，∴ 在 ACF 中， ()180********AFC ACF CAF ααα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒- ． ACF AFC ∴∠=∠ ，AC AF ∴= ．②过点 A 作 AG CF ⊥ 于点 G ，过点 B 作 BH CF ⊥ 交 CF 的延长线于点 H ，则 90BHC CGA ∠=∠=︒ ，90CAG GCA ∴∠+∠=︒ ．90BCH GCA ∠+∠=︒ ，BCH CAG ∴∠=∠ ．又 CB CA = ，()BCH CAG AAS ∴≅ ，CH AG ∴= ， BH CG = ．由（1）可知 CF CD = ，又 90FCD ∠=︒ ，45CFD CDF ∴∠=∠=︒ ，45BFH CFD ∴∠=∠=︒ ．90BHF ∠=︒ ，45HBF BFH ∴∠=∠=︒ ，BH HF ∴= ，HF CG ∴= ，AC AF = ， AG CF ⊥ ，2CF CG ∴= ，3AG CH CG ∴== ．设 CG x = ，则 2CF x = ， 3AG x = ， 则 11231222ACF S CF AG x x ∆=⋅=⨯⋅= ， 解得： 12x = ， 22x =- （舍去）． 2CG ∴= ， 6AG = ．∴在 Rt AGC 中， AC == ． 2．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ， 又∵OC 为半径，∴AE=ED ；（2）解：连接CD ，OD ，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，∵OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD=30°，∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，∴∠AOD=120°，∵AB=6，∴BD=3，，∵OA=OB，AE=ED，∴OE＝12BD＝32，∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=212031336022π⨯-⨯ = 34π- .3．【答案】（1）证明：∵∠CBF＝∠CFB ∴CB＝CF 又∵AC＝CF∴CB＝AC＝CF∴以C为圆心AC长为半径的⊙C过A、B、F∴∠ABF＝90°∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：连接DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点∴∠AOD＝60°又∵OA＝OD∴△AOD是等边三角形∴∠OAD＝60°，AB=10在Rt△ABF中，∠ABF＝90°,∠BAF＝60°, AB=10∴BF ＝ .tan AB BAF ∠=2605253606S ππ⨯⨯==（3）5 ＜r ＜ 54．【答案】（1）解：连接OC ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分∠BAE ，∴∠OAC=∠CAE ，∴∠OCA=∠CAE ，∴OC ∥AE ，∴∠OCD=∠E ，∵AE ⊥DE ，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°， ∴OC ⊥CD ，∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径，∴CD 是圆O 的切线（2）解：在Rt △AED 中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt △OCD 中，∵∠D=30°， ∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC ，∴DB=OB=OC= 13AD=4，DO=8，∴ ，∴S △OCD = 2CD OC ⋅ = 42，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S 扇形OBC = 16 ×π×OC 2= 83π ，∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC∴S 阴影= 83π ，∴阴影部分的面积为 83π ．5．【答案】（1）解：BC ∥MD ．理由：∵∠M=∠D ，∠M=∠C ，∠D=∠CBM ， ∴∠M=∠D=∠C=∠CBM ， ∴BC ∥MD ；（2）解：∵AE=16，BE=4，∴OB= 1642=10，∴OE=10﹣4=6，连接OC，∵CD⊥AB，∴CE= 12CD，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，∴CD=2CE=16；（3）解：如图2，∵∠M= 12∠BOD，∠M=∠D，∴∠D= 12∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D= 13×90°=30°．6．【答案】（1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°﹣30°=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形，∴∠P=60°（2）解：如图，连接BC．∵AB是直径，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°．又∵△PAC是等边三角形，∴．7．【答案】（1）解：连接AP，设半径为r，则PO=3-r，∵AB ，AB⊥CD，∴在Rt△AOP 中，AP2=AO2+OP2，∴r2=（）2+（3-r）2，解得r=2∴PO=1∴圆心P点坐标为（1，0）；（2）解：连接AP，延长AP交⊙P于点E，连接ED、EC. 如图所示，线段ED、EC即为所求作.四边形ACED是矩形.理由如下：∵△ECD由ADC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACED是平行四边形.∵CD是⊙P的直径，∴∠CAD＝90°.∴平行四边形ACED是矩形.过点E作EH⊥CD，垂足为H，如图所示.在△EHP和△AOP中，∵∠EHP＝∠AOP=90°，∠HPE＝∠OPA，EP＝AP，∴△EHP≌△AOP.∴MH＝OA＝，PH＝PO＝1.∴OH＝2.∴点M的坐标为（2，）.∠的大小不变.（3）解：在旋转过程中HME∵四边形ACED是矩形，∴∠DEC＝90°.⊥，∵GH DC∴∠GHC＝90°.∴∠GHC＝∠GEC＝90°.∵点M是GC的中点，∴HM＝GM＝ME＝CM.∴点E、G、H、C在以点M为圆心，CM为半径的圆上，如图所示.∴HME ∠ ＝2∠HCE.∵∠ODA ＝90°，OD ＝1，OA ＝，∴tan ∠ODA ＝OAOD= . ∴∠ODA ＝60°. ∴∠HCE ＝∠ODA ＝60°. ∴HME ∠ ＝120°. ∴在旋转过程中 HME ∠ 的大小不变，始终等于120°. 8．【答案】（1）证明：连接 OD AD ， ．∵AB 是 O 的直径， ∴90ADB ∠=︒ ，∵90AB AC ADB =∠=︒， ， ∴BD CD = ， ∵AO BO = ，∴OD 是 ABC 的中位线， ∴OD AC ， ∵DF AC ⊥ ， ∴半径 OD DF ⊥ ， ∴DF 是 O 的切线（2）解：连接 OE ． ∵22.5DF AC CDF ︒⊥∠=， ， ∴67.5C ︒∠= ， ∵AB AC = ， ∴67.5C B ︒∠=∠= ， ∴45BAC ∠=︒ ， ∵OA OE = ， ∴90AOE ∠=︒ ， ∴252542AOEAOE S S Sπ=-=-阴影扇形 9．【答案】（1）证明：连接OF ，∵OA=OF ， ∴∠OAF=∠OFA ， ∵点F 是弧DE 的中点， ∴∠DAF=∠CAF ， ∴∠OFA=∠CAF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠OFB=∠C=90o ， 即OF ⊥BC ， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：连接DF ， ∵AD 为⊙O 的直径， ∴∠AFD=90o ， ∴∠AFD=∠C ， 又∠DAF=∠CAF ，∴△DAF ∽△FAC ，∴AD AFAF AC = ， ∴1088AC= ， ∴AC=6.4．10．【答案】（1）证明：连接OD.D 是劣弧 AB 的中点， 120AOB ∠=︒ 60AOD DOB ∴∠=∠=︒ 又∵OA=OD ，OD=OB∴△AOD 和△DOB 都是等边三角形 ∴AD=AO=OB=BD ∴四边形AOBD 是菱形 （2）解：连接AC. ∵BP=3OB ，OA=OC=OB ∴PC=OC=OA12060AOB AOC ∠=︒∴∠=︒ OAC ∴ 为等边三角形∴PC=AC=OC ∴∠CAP=∠CPA 又∠ACO=∠CPA+∠CAP30CAP ∴∠=︒90PAO OAC CAP ∴∠=∠+∠=︒又OA 是半径PA 是 O 的切线11．【答案】（1）证明：连接OD ，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAD=∠DAB∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA∴∠EAD=∠ODA，∴AE∥OD∵DE⊥AC，∴∠DEA=90º，∴∠ODE=90º又∵OD是半径（或D是半径的外端点），∴DE是⊙O的切线。

中考数学圆与三角形在数学的世界里，圆与三角形是两个最基本的几何形状。

它们不仅具有独特的美丽和规律，而且在解决各种实际问题时也扮演着至关重要的角色。

在中考数学中，圆与三角形的概念和性质是必须掌握的重点内容。

我们来探讨圆的世界。

圆是一个没有起点和终点的闭合曲线，它把平面上所有的点均匀地分散在各个方向。

圆的特性使其在许多实际问题中都有应用，例如在物理学中的转动问题，或者在日常生活中看到的圆形钟表等。

在中考数学中，我们需要掌握圆的基本性质，如圆心、半径、直径、圆周率等，同时还需要掌握与圆有关的定理和公式，如垂径定理、圆周角定理等。

接下来，我们进入三角形的世界。

三角形是一种由三条直线段围成的封闭图形，这三条直线的端点被称为三角形的顶点。

三角形具有稳定性，这一特性使其在工程和建筑设计中得到广泛应用。

在中考数学中，我们需要了解三角形的分类，如等腰等边、直角等，同时还需要掌握与三角形有关的性质和定理，如三角形的内角和定理、勾股定理等。

在掌握圆与三角形的基本概念和性质后，我们还需要学会如何运用这些知识来解决实际问题。

这需要我们具备一些基本的数学技能，如代数运算、几何证明、函数分析等。

在中考数学中，这类问题的解决通常需要综合运用我们所学的各种数学知识。

圆与三角形是中考数学中非常重要的内容，它们不仅涉及到许多基础概念和性质，而且还提供了解决各种实际问题的方法。

通过深入理解圆与三角形的性质和定理，我们可以更好地理解这两个形状的世界，并且能够更好地运用它们来解决生活中的各种问题。

因此，我们应该用心去探索和学习这一部分内容，以期在中考数学中取得优异的成绩。

三角形的稳定性：在几何中，三角形是一种基本的图形，它具有很强的稳定性。

在现实生活中，我们也可以看到很多应用三角形的实例，比如自行车框架，屋顶等。

三角形的稳定性在于它的三个边长确定后，这个三角形的形状和大小就固定了，不会因为任何外部力量的改变而改变。

三角形的内角和：在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题十三几何证明之三角形全等与圆综合1、已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．3、已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．4、已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．5、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．6、如图，在△ABC中，A B＝AC，△O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与△O交于点F，延长BA到点G，使得△BGF＝△GBC，连接FG．（1）求证：FG是△O的切线；（2）若△O的径为4．△当OD＝3，求AD的长度；△当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．（1）证明：连接AF，△BF为△O的直径，△△BAF＝90°，△F AG＝90°，△△BGF+△AFG＝90°，△AB＝AC，△△ABC＝△ACB，△△ACB＝△AFB，△BGF＝△ABC，△△BGF＝△AFB，△△AFB+△AFG＝90°，即△OFG＝90°，又△OF为半径，△FG是△O的切线；（2）解：△连接CF，则△ACF＝△ABF，△AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，△△ABO△△ACO（SSS），△△ABO＝△BAO＝△CAO＝△ACO，△△CAO＝△ACF，△AO△CF，△＝，△半径是4，OD＝3，△DF＝1，BD＝7，△＝＝3，即CD＝AD，△△ABD＝△FCD，△ADB＝△FDC，△△ADB△△FDC，△＝，△AD•CD＝BD•DF，△AD•CD＝7，即AD2＝7，△AD＝（取正值）；△△△ODC为直角三角形，△DCO不可能等于90°，△存在△ODC＝90°或△COD＝90°，当△ODC＝90°时，△△ACO＝△ACF，△OD＝DF＝2，BD＝6，△AD＝CD，△AD•CD＝AD2＝12，△AD＝2，AC＝4，△S△ABC＝×4×6＝12；当△COD＝90°时，△OB＝OC＝4，△△OBC是等腰直角三角形，△BC＝4，延长AO交BC于点M，则AM△BC，△MO＝2，△AM＝4+2，△S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，△△ABC的面积为12或8+8．7、如图I，四边形ADBC内接于△O，E为BD延长线上一点，AD平分△EDC，（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，若CD为直径，过A点的圆的切线交BD延长线于E，若DE＝1，AE＝2．求△O的半径．（1）证明：△四边形ADBC内接于△O，△△EDA＝△ACB，由圆周角定理得，△CDA＝△ABC，△AD平分△EDC，△△EDA＝△CDA，△△ABC＝△ACB，△AB＝AC；（2）解：连接AO并延长交BC于H，AM△CD于M，△AB＝AC，△AH△BC，又AH△AE，△AE△BC，△CD为△O的直径，△△DBC＝90°，△△E＝△DBC＝90°，△四边形AEBH为矩形，△BH＝AE＝2，△BC＝4，△AD平分△EDC，△E＝90°，AM△CD，△DE＝DM＝1，AE＝AM＝2，在Rt△ABE和Rt△ACM中，△Rt△ABE△Rt△ACM（HL），△BE＝CM，设BE＝x，CD＝x+2，在Rt△BDC中，x2+42＝（x+2）2，解得，x＝3，△CD＝5，△△O的半径为2.5．8、如图，AB为△O的直径，弦CD△AB，垂足为F，CG△AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．（1）求证：CG是△O的切线；（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和所围成的弓形的面积．解：（1）证明：连接OC．△CD△AB，CG△AE，CG＝CF，△△CAG＝△BAC，△AFC＝△G＝90°，△OA＝OC，△△ACO＝△BAC．△△CAG＝△ACO，△OC△AG，△△OCG＝180°﹣△G＝90°，△CG是△O的切线；（2）过点O作OM△AE，垂足为M，则AM＝ME＝AE＝1，△OMG＝△OCG＝△G＝90°．△四边形OCGM为矩形，△OC＝MG＝ME+EG＝2．在Rt△AGC和Rt△AFC中△Rt△AGC△Rt△AFC（HL），△AF＝AG＝AE+EG＝3，△OF＝AF﹣OA＝1，在Rt△COF中，△cos△COF＝＝．△△COF＝60°，CF＝OC•sin△COF＝2×＝，△S弓形BC＝﹣×2×＝π﹣．9、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作△Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交△Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）求证：△BDE＝△ADP；（3）设DE＝x，DF＝y．请求出y关于x的函数解析式．解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入y＝kx+4，得：4k+4＝0，解得：k＝﹣1，则直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）由已知得：OB＝OC，△BOD＝△COD＝90°，又△OD＝OD，△△BOD△△COD（SAS），△△BDO＝△CDO，△△CDO＝△ADP，△△BDE＝△ADP；（3）如图2，连结PE，△△ADP是△DPE的一个外角，△△ADP＝△DEP+△DPE，△△BDE是△ABD的一个外角，△△BDE＝△ABD+△OAB，△△ADP＝△BDE，△DEP＝△ABD，△△DPE＝△OAB，△OA＝OB＝4，△AOB＝90°，△△OAB＝45°，△△DPE＝45°，△△DFE＝△DPE＝45°，△DF是△Q的直径，△△DEF＝90°，△△DEF是等腰直角三角形，△DF＝DE，即y＝x．10、如图1，在△ABC中，△ACB＝90°，△ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆△O与CB交于点D．（1）求证：AC是△O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求△O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP△AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：△BE△EF，△△BEF＝90°，△BF是圆O的直径，△OB＝OE，△△OBE＝△OEB，△BE平分△ABC，△△CBE＝△OBE，△△OEB＝△CBE，△OE△BC，△△AEO＝△C＝90°，△AC△OE，△AC是△O的切线；（2）解：△△ACB＝90°，△EC△BC，△BE平分△ABC，EH△AB，△EH＝EC，△BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，△Rt△BHE△Rt△BCE（HL），△BH＝BC＝9，△BE△EF，△△BEF＝90°＝△BHE，BF是圆O的直径，△BE＝＝＝3，△△EBH＝△FBE，△△BEH△△BFE，△＝，即＝，解得：BF＝10，△△O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，△EH△AB，△OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos△EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos△EOA＝＝，△OA＝OE＝，△AE＝＝＝，△AC＝AE+EC＝+3＝，，△AB＝OB+OA＝5+＝，△ACB＝90°，△△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，△CP＝＝＝．11、△ABC内接于△O，弦BD与AC相交于点E，连接BO，且AC△BD．（1）如图1，求证：△OBC＝△ABD；（2）如图2，作CG△AB于G，交BD于F，若△BAC＝△ABO+30°，求证：BO＝BF；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OF与AB相交于点M，与BC相交于点N，若NC：MA＝5：3，且S△BMN＝16，求线段AE的长．解：（1）延长BO交△O于点K，连接CK，则BK为△O的直径，△△BCK＝90°，△△OBC+△K＝90°，△AC△BD，△△AEB＝90°，△△ABE+△A＝90°，△，△△A＝△K△△OBC＝△ABD；（2）作OH△BC于H，则BC＝2BH，△△K+△KBC＝90°，△△BAC+△KBC＝90°，△△ABO+30°+△KBC＝90°，△△ABC＝60°△BC＝2BG，△BG＝BH，且△ABD＝△OBC，△BGF＝△BHO＝90°，△△BFG△△BOH（AAS）△BO＝BF；（3）作OH△BC于H，△△BFG△△BOH，△BF＝BO，△△MFB＝△BON，且BF＝BO，△ABD＝△OBN，△△BFM△△BON（ASA）△BM＝BN，且△ABC＝60°，△△MBN为等边三角形，△S△BMN＝BM2＝16，△BM＝BN＝8，△NC：MA＝5：3，△设NC＝5x，AM＝3x，△BC＝8+5x，BH＝＝BG，CG＝BG＝•（）△GM＝HN＝8﹣＝，△△MNB＝60°，△OH＝HN＝•（），△△OBC＝△ABD＝△ACG，△tan△OBC＝tan△ACG，△，△＝，△x＝1，△AM＝3，CN＝5，HN＝GM＝，OH＝，BH＝△OB＝＝＝7，△sin△OBH＝sin△ABD，△△AE＝＝．12、如图1，AB为△O的直径，BC为△O的切线，过点B作OC的垂线与△O的另一交点为点E，连接CE．（1）求证：CE为△O的切线；（2）如图2，过点C作BC的垂线交AE的延长线于点F，若BC＝AB，求的值．解：（1）证明：如图，连接OE，设OC与BE的交点为M△OB＝OE△OBM＝△OEM△BE△OC△△BMO＝△EMO△△BOC＝△EOC△在△OBC和△OEC中△△OBC△△OEC（SAS）△△OEC＝△OBC△BC为△O的切线△OB△BC△△OBC＝90°△△OEC＝90°△CE为△O的切线；（2）△AB为△O的直径，△△BEA＝90°△OB△BC△AF△OC△AB△BC，CF△BC△AO△CF△四边形AOCF为平行四边形△AF＝OC△BC＝AB△设BC＝AB＝2k，则OB＝OA＝k 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝k△AF＝k△△ABE+△CBE＝90°，△CBE+△BCO＝90°△△ABE＝△BCO△sin△ABE＝sin△BCO△＝sin△BCO＝＝△＝sin△ABE＝△AE＝×2k＝△EF＝AF﹣AE＝△＝．。

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.（1）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，则BC 边上的伴随圆的半径为.（2）如图②，ABC 中，5AB AC ==，6BC =，直接写出它的所有伴随圆的半径.（3）如图③，ABC 中90ACB ∠=︒，点E 在边AB 上，2AE BE =，D 为AC 的中点，且90CED ∠=︒.①求证：CED 的外接圆是ABC 的AC 边上的伴随圆；②DE CE 的值为▲.2．定义：有两边之比为1的三角形叫做智慧三角形．（1）如图1，在智慧三角形ABC 中，2AB BC AD ==，为BC 边上的中线，求AD AC的值；（2）如图2，ABC 是O 的内接三角形，AC 为直径，过AB 的中点D 作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交O 于点E ，连结BE 交AC 于点G ．①求证：ABE 是智慧三角形；②如图3，在（2）的条件下，当53AF FG =：：时，则EG EF ＝▲．（直接写出结果）3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．（1）如图1，点C 是弧BD 的中点，DAB ∠是弧BD 所对的圆周角，AD AB >，连接AC 、DC CB 、，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形．（2）如图2，ABC 与DEF 是偏等三角形，其中A D AC DF BC EF ∠=∠==，，，猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以ABC 与DEF 为例说明)；（3）如图3，ABC 内接于63045O AC A C ∠∠==︒=︒ ，，，，若点D 在O 上，且ADC 与ABC 是偏等三角形，AD CD >，求AD 的值．4．如图1，已知ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，38A ∠=︒，D 为 AB 上一点.图1图2（1）当点D 为 AB 的中点时，连接DB ，DC ，求ABC ∠和ABD ∠的大小；（2）如图2，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，且DP AC ，连接DC ，OC ，求OCD ∠的大小.5．定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形.（1）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AD AB ＞，点C 是弧BD 的中点，连接AC ，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形.（2）如图2，ABC 与ABD 是偏等三角形，AD BC =，30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，求AB 的长.（3）如图3，ABC 内接于O ，8AC =，30A ∠=︒，45C ∠=︒，若点D 在O 上，且ADC 与ABC是偏等三角形，AD CD ＞，求AD 的值.6．如图1，△ABC 是⊙O 内接三角形将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE=DC ；（2）如图2，过点B 作BF ∥CD 分别交AC 、AD 于点M 、N ，交⊙O 于点F ，连结AF ．求证：AN·DE=AF·BM ：（3）在(2)的条件下，若13AB AC =时，求BF BC的值．7．如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1，AD ABC 是的中线，则ABD 和ACD 就是互补三角形.（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”）①互补三角形一定不全等.命题②互补三角形的面积相等.命题（2）如图2，ABC 和ADE 为互补三角形，AB AE AC AD AF ＝，＝，是ABC 的中线.求证：12AF DE ＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若B E D ，，三点共线，连结CE ，CD ，四边形ABEC 为圆内接四边形.当120BAE ∠ ＝时，求BD AF CD -的值.8．如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠ABC=2∠ACB ，点D 平分 AC ，连接AD ，BD ，CD ．（1）求证：AB=CD ．（2）过点D 作DG ∥AB ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，交⊙O 于点G ．①若AD=a ，BC=b ，求线段EF 的长(用含a ，b 的代数式表示)．②若∠ABC=72°，求证：FG 2=EF·DF ．9．已知钝角三角形ABC 内接于O E D ，、分别为AC BC 、的中点，连接DE .（1）如图1，当点A D O 、、在同一条直线上时，求证：12DE AC =.（2）如图2，当A D O 、、不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当2AB AC AG +=时.①求证：DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交O 于点H ，连接AH .求证：AH FG .10．如图，在1111⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的111A B C ；（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的22A B C ；（3）在（2）的案件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，O 为底边BC 的中点，AB 切O 于点D ，连接OD ，O 交BC 于点M ，N .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）42B ∠=︒，①若4OD =，求劣弧DM 的长；②如图2，连接DM ，若4DM =，直接写出OD 的长.（参考数据：sin24︒取0.4，cos24︒取0.9，tan 24︒取0.45）12．如图，ABC 是O 的内接三角形，CD 为O 的直径，过点A 的直线交CD 的延长线于点E ，连接AD ，且AD DE =，DAB ACD ∠=∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若2DE =，=60B ∠︒，75BAC ∠=︒，求AB 和BC 的长度．13．如图，ABC 为O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，PAC B ∠=∠，AD 为O 的直径，过C 作CG AD ⊥交AD 于E ，交AB 于F ，交O 于G ．（1）判断直线PA 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2AG AF AB =⋅；（3）若O 的直径为10．AC =AB =AE FG ⋅的值．14．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，求图中阴影部分的面积.15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作O 交斜边AB 于点D ，点M 是 CD中点，过点M 作直线ME AB ⊥于点E ，交AC 于点F.（1）证明：EF 是O 的切线；（2）若ME =.16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 是AB 上任意一点，以D 为圆心，DB 为半径作D ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，过点F 作FG AC ⊥，垂足为G .（1）判断直线FG 与D 的位置关系并证明.（2）若2AE =，3BC =，2BF CG=，求D 的半径.17．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若ABC 是“准互余三角形”，9060C A ∠>︒∠=︒，，则B ∠=.（2）如图（1），AB 是半圆的直径，106AB BC C ==，，是半圆上的点，D 是 AC 上的点，BD 交AC 于点E.①若D 是 AC 的中点，则图中共有▲个“准互余三角形”；②当DEC 是“准互余三角形”时，求CE 的长；③如图（2）所示，若F 是 BC 上的点（不与B C 、重合），G 为射线AF 上一点，且满足2CBG CAB ∠=∠.当ABG 是“准互余三角形”时，求AG 的长.18．已知，锐角三角形ABC 内接于⊙O.（1）如图1，当点A 是 BAC的中点时，①求证：AO BC ⊥.②若BC ＝8，AB =，求⊙O 的半径.（2）如图2，当AB AC >时，连接BO 并延长，交边AC 于点D.若45A ∠= ，23OD OB =，求AD DC.19．如图1，ABC 是圆内接等腰三角形，其中AB AC =，点P 在 BC上运动（点P 与点A 在弦BC 的两侧），连接PA PB PC ，，，设αBAC ∠=，PB PC y PA+=，小明为探究y 随α的变化情况，经历了如下过程：（1）若点P 在 BC 的中点处，α90=︒时，y 的值是；（2）小明探究α变化获得了一部分数据，并以表中各组对应值为点的坐标在如图2平面直角坐标系中进行描点，并画出函数图象.从图象或表格中可知，y 随着α的变化情况是；y 的取值范围是.α…25°50°75°100°125°150°170°…y …0.430.85 1.221.53 1.55 1.93 1.99…（3）从变化趋势上看，当α=▲时，PB PC PA +=.并证明你的结论.20．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD BC ⊥于点D ，直径AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：AEB AFD ∠=∠；（2）若10AB =，5BF =，求AD 的长；（3）若点G 是AB 的中点，当点O 在DG 上时，探究BF 与FD 存在的数量关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）2（2）解：ABC 的伴随圆的半径分为83或209或12049.（3）解：①证明：如图（4）连接OE 、OB ，∵CED 为直角三角形，∴CED 的外接圆圆心O 在CD 中点上，设O 的半径为r ，则2DC r =，3OA r =，∴23AD AO =，∵2EA BE =，∴23EA AB =，∴AD EA AO AB =，∴PD OB ，∴12∠=∠，3=4∠∠，∵OE OD =，∴32∠=∠，∴14∠=∠，在BCO 和BEO 中O =O ∠1=∠4O =O ，∴BCO BEO ≌，∴90BEO BCO ∠=∠=︒，∴AB 是O 的切线.∴CED 的外接圆是ABC 某一条边上的伴随圆；②222．【答案】（1）解：AD 是BC 的中线，2AB BC ==，，12BD BC ∴==，22BD AB AB BC ∴==，B B ∠=∠ ，ABD CBA ∴~ ，2AD BD AC AB ∴==；（2）解：①如图，连结OE ，设ABE α∠=，22AOE ABE α∴∠=∠=，OA OE = ，()11802902OAE αα∴∠=︒-=- ，DE OA ⊥ ，90AED OAE ∴∠+∠=︒，9090AED α∴∠+︒-=︒，AED ABE a ∴∠=∠=，EAD BAE ∠=∠ ，ADE AEB ∴ ∽，AE AD AB AE ∴=，2AE AD AB ∴=⋅，D 是AB 的中点，12AD AB ∴=，2212AE AB ∴=，AB ∴=，即1AE AB =：，ABE ∴ 是智慧三角形；②83．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC=CD ，BAC DAC ∠=∠．又∵AC=AC ，∴ACB 与ACD 是偏等三角形（2）解：互补；如图，在线段DE 上取点G ，使DG=AB ，连接FG．由题意可知在ABC 和DGF 中AB DG A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABC DGF ≅ ，∴B DGF ∠=∠，BC GF =．∵BC EF =，∴GF EF =，∴E FGE ∠=∠．∵180DGF FGE ∠+∠=︒，∴180B E ∠+∠=︒，即另一组等边的对角互补．（3）解：分类讨论：①当BC=CD时，如图，∵BC=CD ，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠>∠，∴AD>CD 符合题意，∴AD=AC=6；②当AB=CD 时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB=CD ，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠>∠，∴AD CD >，符合题意．设CE=x ，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即6x =+，∴1)x =，∴1)9AE DE ===-∴(9AD ==-=．综上可知AD 的值为6或-．4．【答案】（1）解：如图1，连接OD ，图1∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∵38BAC ∠=︒，∴9052ABC BAC ∠=︒-∠=︒.∵D 为 AB 的中点，∴ AD AD =.∴1180902AOD BOD ∠=∠=⨯︒=︒.∴1452ABD AOD ∠=∠=︒.（2）解：如图2，连接OD ，图2∵OA OC =，OC OD =，∴38OAC OCA ∠=∠=︒，OCD ODC ∠=∠.设OCD ODC x ∠=∠=︒.∴()38ACD OCA OCD x ∠=∠+∠=+︒.∵DP 为O 的切线，∴OD DP ⊥.∴()9090CDP ODC x ∠=︒-∠=-︒.∵DP AC ，∴CDP ACD ∠=∠.即9038x x -=+，解得：26x =.∴26OCD ∠=︒.5．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC CD =，BAC DAC ∠=∠，又∵AC AC =，∴ACB 与ACD 是偏等三角形；（2）解：作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，∵30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，∴4DE =，6CF =，∴AF ==，BE ==，∵设EF x =，∴AE x =，BF x =，∵AD BC =，∴2224)6)x x +=+，∴1033x =，∴3AB AE EF BF =++=；（3）解：①当BC CD =时，如图，∵BC CD =，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒，∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞符合题意，∴8AD AC ==；②当AB CD =时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB CD =，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞，符合题意，设CE x =，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即8x =+，∴1)x =，∴12AE DE ==-，∴AD ==综上可知AD 的值为8或6．【答案】（1）证明：∵将△ABC 绕点A 逆时针转至△AED∴BC=DE ，∠BAC=∠EAD ∴ BCCD =所以BC=CD∴DE=CD（2）解：∵∠F=∠ACB∠AMF=∠BMC∴△AMF ∽△BMC ∴AM AF BM BC=由题间可知BC=DEAC=AD∵BF ∥CD ∴AM AN AC AD=∴AM=AN∴AN AF AD DE=即AN·DE=AF·BM（3）解：设AB 为a ，则AC 为3a 由△CDE ∽△CAD 可得，CD CE CA CD=即CD 2=3a·2a=6a 2∵CD>0∴a∵AC=AD∴ AC AD=∵BF ∥CD ∴ BCFD =∴ AB AF=∴AB=AF∴∠ABF=∠AFB=∠ACB ∴△ABM ∽△ACB ∴AB AM BM AC AB BC==即3a AM a a ==∴AM=13a BM=63a 根据据对称轴可知FN=63a 由△AMN ∽△ACD 可得∴AM MN AC CD=即133a a =∴MN=9∴a∴79BF CD ==7．【答案】（1）假命题；真命题（2）证明：延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连结CG ，又∵F 为BC 的中点，∴12AF CG =∵∠BAC ＋∠DAE ＝∠BAC ＋∠CAG ＝180°，∴∠DAE ＝∠CAG ，∵AB ＝AE ，AB ＝AG ，∴AG ＝AE ，∵AD ＝AC ，∴△ADE ≌△ACG （SAS ），∴DE ＝CG ，∴12AF DE =（3）解：∵∠BAC ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAE ＋∠DAC ＝180°，∵∠BAE ＝120°∴∠DAC ＝60°∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BE =，∠ACB ＝∠AEB ＝30°，∴BC 是AD 的垂直平分线∴BD ＝AB ∴1152ABC DBC ABE ∠=∠=∠=︒，∴∠AEC ＝∠ABC ＝15°，∴∠DEC ＝45°，∵∠ACE ＝180°－∠ABE ＝150°，∠ACD ＝60°∴∠DCE ＝90°，∴∠EDC ＝45°＝∠DEC ，∴DC ＝CE ，设AF a =，由（2）知，22DE AF a ==，∴CE DC ==，∵BE =，BE=BD+DE ，BD=AB ，∴)3112BD DE a +===∴162a aBD AF CD --=8．【答案】（1）证明：∵点D 平分 AC ，∴ AD CD=∴12ABD CBD ABC ∠=∠=∠.∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠CBD ．∴ AB CD=，∴AB=CD.（2）解：①∵ AD CD=∴∠ADB ＝∠DBC ，∴AD ∥BC ．又∵DG ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．由（1）得 AB CDAD ==∴AB ＝AD ．∴四边形ABFD 是菱形．∴AB ＝BF ＝DF ＝AD ＝a ．∴CF ＝b －a ．∵DG ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ．∴EF CF AB BC=，∴2ab a EF b-=.②连接CG ．∵∠ABC ＝72°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ACB ＝36°，∵DG ∥AB ，∴∠BDG ＝∠ABD ＝36°．∵∠BCG ＝∠BDG ，∠DGC ＝∠DBC ，∴∠BCG ＝∠DGC ，∴FC ＝FG ．∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝108°．∵在菱形ABFD 中，∠ADG ＝∠ABC ＝72°，∴∠FDC ＝36°，∴∠ACB ＝∠FDC ．又∵∠DFC ＝∠CFE ，∴△CDF ∽△ECF ，∴FC DF EF FC=，∴2FC EF DF =⋅，∴2FG EF DF =⋅.9．【答案】（1）证明：∵D 是BC 的中点，点A D O 、、在同一条直线上，∴OD BC ⊥，∴ AB AC =，∴AB AC =，∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴DE 是ABC 的中位线，∴12DE AB =，∴12DE AC =.（2）证明：①∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴22AB DE AC AE ==，，∵2AB AC AG +=，∴222DE AE AG +=，∴DE AE AG +=，∵AE EG AG +=，∴DE EG =，∴DEG 是等腰三角形.②延长HO 交O 于点N ，连接OB OC BN CN ，，，，∵DE EG =，∴EDG EGD ∠=∠，∴2AED EDG EGD EGD ∠=∠+∠=∠，∴12EGD AED ∠=∠，∵DE AB ，∴180BAC AED ∠+∠=︒，∵180BAC BNC ∠+∠=︒，∴AED BNC ∠=∠，∵HO BC ⊥，∴2BOC COH ∠=∠，∵2BOC BNC ∠=∠，∴COH BNC ∠=∠，∵1122CAH COH BNC ∠=∠=∠，∴CAH EGD ∠=∠，∴AH FG .10．【答案】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）解：如图，设C 点为原点，则A （-3，-2），B （-1，-4），A 点绕C 点顺时针旋转90°后A 2的坐标为（-2，3），B 点绕C 点顺时针旋转90°后B 2的坐标为（-4，1），连接相应顶点，22A B C 即为所求；（3）解：勾股定理可得BC ==，∴B ，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90π1717π1802︒⨯=︒．11．【答案】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于点E ，连接OA ，如图，AB AC = ，O 为底边BC 的中点，AO ∴为BAC ∠的平分线，OD AB ⊥ ，OE AC ⊥，OD OE ∴=，OD 为O 的半径，OE ∴为O 的半径，∴直线AC 到圆心O 的距离等于圆的半径，AC ∴是O 的切线（2）解：①∵AB 切O 于点D ，∴90ODB ∠=︒，∵42B ∠=︒，∴48BOD ∠=︒，∵4OD =，∴劣弧DM 的长为4841618015ππ⨯⨯=；②过点O 作OF DM ⊥于点F ，如图，OF DM ⊥ ，122DF MF DM ∴===，OD OM = ，OF DM ⊥，OF ∴为DOM ∠的平分线，1242DOF BOD ∴∠=∠=︒.在Rt ODF 中，sin DF DOF OD ∠=，2sin 24OD ∴︒=，225sin 240.4OD ∴=≈=︒.12．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，90CAO OAD ∴∠+∠=︒，OA OC = ，CAO ACD ∴∠=∠，DAE ACD ∠=∠ ，DAE CAO ∴∠=∠，90DAE OAD ∴∠+∠=︒，90OAE ∴∠=︒，OA 是O 的半径，AE ∴是O 的切线；（2）解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，60B ∠=︒ ，30BAF ∴∠=︒，75BAC ∠=︒ ，45FAC ∴∠=︒，AFC ∴ 是等腰直角三角形，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，2AD DE == ，60ADC ∠=︒，AC ∴=，在Rt AFC 中，AF CF ==，3BF AF ∴==2AB BF ∴==，BC BF CF =+=．13．【答案】（1）解：PA 与O 相切，理由：连接CD ，AD 为O 的直径，90ACD ∴∠=︒，90D CAD ∴∠+∠=︒，B D ∠=∠ ，PAC B ∠=∠，PAC D ∴∠=∠，90PAC CAD ∴∠+∠=︒，即DA PA ⊥，点A 在圆上，PA ∴与O 相切．（2）证明：如图2，连接BG ，AD 为O 的直径，CG AD ⊥，∴ AC AG =，AGF ABG ∴∠=∠，GAF BAG ∠=∠ ，AGF ∴ ∽ABG ，AG ∴：AB AF =：AG ，2AG AF AB ∴=⋅；（3）解：如图3，连接BD ，AD 是直径，90ABD ∴∠=︒，2AG AF AB =⋅ ，AG AC ==AB =2AG AF AB∴==CG AD ⊥ ，90AEF ABD ∴∠=∠=︒，EAF BAD ∠=∠ ，AEF ∴ ∽ABD ，AE AF AB AD ∴=，510=，解得：2AE =，1EF ∴=，4EG == ，413FG EG EF ∴=-=-=，236AE FG ∴⋅=⨯=．14．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒，∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ，∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒，∴OB BD ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线BD 与O 相切；（2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∵AB =∴433602AB sin AEB sin AE AE ∠=︒===，∴8AE =，∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴3303OB tan ADB tan BD ∠=︒==，∴3BD =，∴图中阴影部分的面积2160π48π423603OBD BOES S ⨯=-=⨯⨯= 扇形.15．【答案】（1）证明：连接OM 、BM∵点M 是弧CD 中点，∴DBM OBM∠=∠∵OB OM=∴OMB BMO∠=∠∴DBM BMO∠=∠∴BE OM（2）解：连接CD 交OM 于点N 、连接OD∵BC 是直径，∴CD BD ⊥，∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45B ∠=︒，∴BDC ∆也是等腰直角三角形，∴BD CD =，OD CD ⊥.∵OM EF ⊥，EF BE ⊥，CD BD ⊥，∴四边形MNDE 是矩形，∴DN EM =，∵ME =DN =∵OM CD ⊥，∴2CD DN ==∴4BC =∴2OD OB ==，∵OBDBOD S S S ∆=-阴影扇形∴90π4122π23602S ⋅=-⨯⨯=-阴影16．【答案】（1）解：直线FG 是D 的切线；证明：连接DF ，如图所示：∵在ABC 中，AB AC =，∴B C ∠=∠.∵DB DF =，∴DBF DFB ∠=∠，∴DFB C ∠=∠，∴DF AC ，∴180DFG AGF ∠+∠=︒，∵FG AC ⊥于点G ，∴90AGF ∠=︒，∴90DFG ∠=︒，∴DF FG ⊥，∵DF 是D 的半径，∴直线FG 是D 的切线.（2）解：连接EF ，如图所示：∵BE 是D 的直径，∴90BFE ∠=︒，∵90FGC ∠=︒，∴BFE FGC ∠=∠，∵B C ∠=∠，∴BFE CGF ∽，∴BF BE CG CF =，∵2BF CG =，∴2BE CF =，设D 的半径为x ，则2BE x =，BD CF x ==，∵DF AC ，∴BF BD CF AD=，∵2AE =，∴2AD x =+，∴2BF x x x =+，∴22x BF x =+，∴222222x x x BC BF FC x x x +=+=+=++.∵3BC =，∴22232x x x +=+，解得：2x =或32x =-（舍去），经检验，2x =是原方程的根，∴D 的半径为2.17．【答案】（1）15°（2）解：①1；②由题意AB 是半圆的直径，106AB BC ==，，∴∠ACB=90°，∴8AC ==，根据题意△DEC 是“准互余三角形”时分两种情况：当∠D+2∠DCE=90°时，∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴∠CAB+2∠ABE=90°，又∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CBA=2∠CBD ，即BD 平分∠ABC ，过E 作EF AB ⊥于F （如图（1）），∴EF=CE ，∵∠BCE=∠BFE ，∠CBE=∠FBE ，∴CBE FBE ∆≅∆（AAS ），∴BC=BF ，由勾股定理即知：222AF EF AE +=，∴()()222AB BF CE AC CE -+=-，即()()2221068CE CE -+=-，解得CE=3；当2∠D+∠DCE=90°时（如备用图），∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴2∠CAB+∠ABE=90°，连接AD ，∵∠DAC=∠CBE ，∴ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即86AD CE BE -=，∵2∠CAB+∠ABE=90°，又∠DAB+∠ABE=90°，∴∠DAE=∠CAB ，∴ADE ABC ~ ，∴84105AD AC AE AB ===，又∵ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即AD BC AE BE =，故645BE =，∴152BE =∴由勾股定理得92CE ==；③如图将ABC 沿AB 翻折得到ABM ，∵2CBG CAB ∠=∠，∴CBG CAM ∠=∠，∵∠CAB+∠CBA=90°，∴∠MAB+∠MBA=90°，∴∠CAM+∠CBM=180°，∴∠CBM+∠CBG=180°，∴M 、B ，G 三点共线，∵ABG 是“准互余三角形”，∴2∠CAB+∠G=90°或∠CAB+2∠G=90°，∵∠CAM+∠G=90°，∵∠CAB<∠BAM ，∴290CAB G ∠+∠≠︒，故∠CAB+2∠G=90°，∴∠CAM+∠G=∠CAB+2∠G ，∴∠BAM =∠G ，又∠M =∠M ，∴AMB GMA ∆~∆，∴AM MB MG AM =，即868MG =，解得：323MG =，由勾股定理得：403AG =；18．【答案】（1）解：①证明：连接OB ，OC ，设AB 与BC 交于点P ，∵点A 是 BAC的中点，∴ AB AC=，∴AB ＝AC ，又∵OB ＝OC ，∴AO 是BC 的垂直平分线，∴AO ⊥BC ；②∵AB ＝AC ，AP ⊥BC ，∴BP ＝CP ＝4，∴AP 8=，∵BO 2＝OP 2＋BP 2，∴BO 2＝（8−OB ）2＋16，∴BO ＝5，∴⊙O 的半径为5；（2）解：延长BD 交⊙O 于点H ，连接CH ，CO ，AH ，∵23OD OB =，∴设BO ＝3a ＝OC ＝OH ，OD ＝2a ，∴DH ＝a ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°，∴CD=，CH=，∵BH 是直径，故∠BAH=90°，∵∠BAC ＝∠BHC ＝45°∴∠CAH=90°-∠BAC ＝45°=∠CHD又∵∠ACH ＝∠DCH ，∴△ACH ∽△HCD ，∴AC CH CH CD=，=，∴AC∴AD ＝AC−CD，∴ADCD＝513AD CD ==.19．【答案】（1（2）y 随着α的增大而增大；0＜y ＜2（3）解：60°；当α60=︒时，PB PC PA +=，证明如下：如图所示，延长BP 到D ，使得PD CP =，连接CD，∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴180120BPC BAC ∠=︒-∠=︒，∴18060CPD BPC ∠=︒-∠=︒，∴CPD 是等边三角形，∴60CP CD PD PCD ∠===︒，，∵α60BAC AB AC ∠==︒=，，∴ABC 是等边三角形，∴60AC BC ACB ∠==︒，，∴ACB BCP DCP BCP ∠∠∠∠+=+，即BCD ACP ∠=∠，∴()SAS BCD ACP ≌，∴AP BD =，∵BD BP PD BP CP =+=+，∴AP BP CP =+，∴当α60=︒时，PB PC PA +=.20．【答案】（1）证明：∵AE 是⊙O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∴90BAE AEB ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴90AFD DAF ∠+∠=︒，∵AE 平分∠BAD ，即BAE ∠=，∴AEB AFD ∠=∠；（2）解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴AEB BFE ∠=∠，∴5BE BF ==，∴在Rt ABE 中，AE ==如图，过点B 作BH EF ⊥于点H ，∴1122ABE S AB BE AE BH =⋅=⋅ ，即105BH ⨯=，解得：BH =∴在Rt BHE 中，EH ==，∴EF =，AF AE EF =-=，∵BFH AFD ∠=∠，BHF ADF ∠=∠，∴BHF ADF ∽，∴BF BH AF AD =AD=，解得：6AD =；（3）解：BF =，理由如下：∵G 是AB 的中点，O 是AE 的中点，∴OG BE ，∴OG AB ⊥，∴AD BD =，∵AD BC ⊥，∴ABD 是等腰直角三角形，∴45ABD ∠=︒，过点F 作FP AB ⊥于点P ，∵AF 平分∠BAD ，∴FD FP =，∵45ABD ∠=︒，∴BF ==．。

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点17 圆考点总结一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．八、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．九、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=12ππ2l r rl⋅=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021秋•临河区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（）A．70°B．120°C．140°D．110°【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵BC＝CD，∴BĈ=CD̂，∵∠DAB＝40°，∴∠BAC=12∠DAB＝20°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，故选：D．2．（2021•河北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC 和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组{y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y ﹣x ＝18°，在△ANM 中，∠NAM +∠ANM ＝180°﹣108°，∴x +2y ＝72°，{y −x =18°2y +x =72°， 解得{x =12°y =30°， ∴∠BAC ＝4x ＝48°．故选：B ．3．（2021•桥东区二模）如图，点O 为△ABC 的内心，∠B ＝58°，BC ＜AB ，点M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且∠MON ＝122°．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：OM ＝ON ；乙：四边形OMBN 的面积是定值；丙：当MN ⊥BC 时，△MON 的周长取得最小值．则下列说法正确的是（ ）A ．只有甲正确B ．只有丙错误C ．乙、丙都正确D ．甲、乙、丙都正确【分析】过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，根据三角形内心可得OD ＝OE ，然后证明△DON ≌△EOM ，可得ON ＝OM ；连接OB ，根据△DON ≌△EOM ，可得四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，根据点D 的位置固定，可得四边形OMBN 的面积是定值；过点O 作OF ⊥MN 于点F ，根据ON ＝OM ，∠MON ＝122°，可得∠ONM ＝29°，MN ＝2NF ＝2ON cos29°，所以△MON 的周长＝2ON （cos29°+1），可得当ON 最小时，即当ON ⊥BC 时，△MON 的周长最小值，进而可得结论．【解答】解：如图，过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，∵点O 为△ABC 的内心，∴OB 是∠ABC 的平分线，∴OD ＝OE ，∵∠B ＝58°，∴∠DOE ＝122°，∵∠MON ＝122°，∴∠DON ＝∠EOM ，在△DON 和△EOM 中，{∠DON =∠EOMOD =OE ∠NDO =∠MEO，∴△DON ≌△EOM （ASA ），∴ON ＝OM ，所以甲的判断正确；连接OB ，∵△DON ≌△EOM ，∴四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，∵点D 的位置固定，∴四边形OMBN 的面积是定值，所以乙的判断正确；如图，过点O 作OF ⊥MN 于点F ，∵ON ＝OM ，∠MON ＝122°，∴∠ONM ＝29°，∴MN＝2NF＝2ON cos∠ONM＝2ON cos29°，∴△MON的周长＝MN+2ON＝2ON cos29°+2ON＝2ON（cos29°+1），∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，此时，MN不垂直于BC，所以丙的判断错误．综上所述：说法正确的是甲、乙．故选：B．4．（2021•开平区一模）如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．【解答】解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，则△ABC的外接圆圆心是点G，故选：C．5．（2021•河北模拟）已知：直线AB及AB外一点P．如图求作：经过点P，且垂直AB的直线，作法：①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，交直线AB于点C，D．②分别以点C、D为圆心，适当的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧交于点Q．③过点P、Q作直线．直线PQ即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（）A．这两个适当的长相等B．①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离C．②中“适当的长”指大于线段CD的长D．②中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离【分析】利用基本作图进行判断．【解答】解：①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；②中“适当的长”指大于线段CD的长的一半．故选：B．6．（2021•河北模拟）有一题目：已知△ABC外接圆的半径为2，BC＝2√3，求∠A的度数．嘉嘉这样求解：如图，作直径CD，点A在BDĈ上，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，在Rt△BCD中，∵sin D=BCCD=2√34=√32，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°．琪琪说：“嘉嘉的答案不全，∠A还有一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．嘉嘉的答案没有遗漏B．嘉嘉的结果错误，∠A＝30°C．琪琪的说法错误D．琪琪的说法正确，还有一个答案为120°【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（2021•桥东区二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆的有关定义进行解答．【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．故选：B．8．（2021•桥东区二模）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．π【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出AD=12OA=12，求出△AOB的面积=12OB•AD=14，即可得出答案． 【解答】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD ⊥OB 于D ，如图所示： ∴∠AOB =360°12=30°， ∵AD ⊥OB ，∴AD =12OA =12，∴△AOB 的面积=12OB ×AD =12×1×12=14，∴正十二边形的面积＝12×14=3， ∴⊙O 的面积≈正十二边形的面积＝3，故选：A ．9．（2021•顺平县二模）如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D 、E 、F 、G 四点中有一点是△ABC 的外心，该点到线段AB 的距离是（ ）A ．√32B ．√2C ．12D ．1【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到△ABC 为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答．【解答】解：∵每个小三角形都是正三角形，∴AM ＝AN ，MB ＝BN ，∴AB ⊥MN ，∴△ABC 为直角三角形，∵G 是AN 的中点，GE ∥BC ，∴点E 是△ABC 斜边的中点，∴△ABC 的外心是斜边的中点，即点E ，∴E 到AB 的距离1，故选：D ．10．（2021•河北模拟）如图，取正六边形ABCDEF 的各边中点并依次连接，得到正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，再取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边中点并依次连接，得到正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，则正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45 【分析】如图，设AF 1＝FF 1＝a ，求出AF ，F 2E 2（用a 表示），可得结论．【解答】解：如图，设AF 1＝FF 1＝a ，∵∠A ＝120°，AA 1＝AF 1＝a ，∴A 1F 1=√3a ，∴A 1F 2＝F 2F 1=√32a ，∵∠F 2F 1E 2＝120°，∴F 2E 2=√3F 2F 1=32a ，∴A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比=32a ：2a ＝3：4，故选：C ．二．填空题（共5小题）11．（2021•开平区一模）正多边形的外角为120度，边长为m ，则这个正多边形的面积是√34m 2 ． 【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．【解答】解：正多边形的边数是：360÷120＝3．等边三角形的边长为2cm ，所以正六边形的面积=12×m ×m ×√32=√34m 2． 故答案为：√34m 2． 12．（2021•路南区二模）如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，连结GF 、FE ，当∠D ＝60°时，∠GFE ＝ 30 °．【分析】先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠GAD ＝∠D ＝60°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠GAD ＝∠D ＝60°，∴∠GFE =12∠GAE =12×60°＝30°．故答案为30．13．（2021•长安区二模）如图，正方形ABCD 和正六边形AEFCGH 均内接于⊙O ，连接HD ；若线段HD 恰好是⊙O 的一个内接正n 边形的一条边，则n ＝ 12 ．【分析】连接OH 、OD 、OA ，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O 的内接正四边形与内接六三角形的中心角得到∠HOA ＝60°，∠DOA ＝90°，∠DOH ＝∠DOA ﹣∠HOA ＝90°﹣60°＝30°，然后计算n ．【解答】解：连接OH 、OD 、OA ，如图，∵正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，∴∠HOA=360°6=60°，∠DOA=360°4=90°，∠DOH＝∠DOA﹣∠HOA＝90°﹣60°＝30°，∴n=360°30°=12，即HD恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为12．14．（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是√552，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是√552−√5，最大值是√552+√5．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最值．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴BC=12AB=32，由勾股定理得，OC =√OB 2−BC 2=√552，由勾股定理得，OD =√22+12=√5，当点D 在直线OC 上时，点D 到AB 的距离的最小或最大，∴点D 到AB 的距离的最小值为√552−√5，点D 到AB 的距离的最大值为√552+√5， 故答案为：√552；√552−√5；√552+√5．15．（2021•石家庄一模）如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝ 140 °．【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA ＝∠BAE ＝70°，求出∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF ＝∠FCB ＝20°，由三角形内角和定理可得出答案．【解答】解：∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED =12（180°﹣40°）＝70°，∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°，∴∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，∵点F 为△ADE 的外心，∴AF ＝EF ，AF ＝DF ，∴点F 在AE 的垂直平分线上，同理点B 在AE 的垂直平分线上，∴∠ABF ＝∠EBF ，∴∠EBF =12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°．故答案为：140．三．解答题（共3小题）16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB 内有一点P ，PC ⊥OA ，垂足为C ，以P 为圆心PC 为半径画14⊙P ，与OB 交于点E ， （1）过点D 作PD 的垂线与OB 交于点M ，连接PM ，过圆心P 作PN ⊥PM 交OA 于点N ，求证△PMN 是等腰直角三角形．（2）若PC ＝2，∠DPE ＝15°，计算扇形PEC 的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接MN ．证明△DPM ≌△CPN （ASA ），推出PM ＝PN ，可得结论．（2）利用扇形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：连接MN ．∵PM ⊥PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠CPD ＝90°，∴∠CPD ＝∠MPN ，∴∠DPM ＝∠CPN ，∵DM ⊥PD ，PC ⊥OA ，∴∠PDM ＝∠PCN ＝90°，在△PDM 和△PCN 中，{∠PDM =∠PCNPD =PC ∠DPM =∠CPN，∴△DPM ≌△CPN （ASA ），∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形．（2）解：∵∠DPE ＝15°，∴∠CPE ＝90°﹣15°＝75°，∴S 扇形PEC =75×π×22360=5π6．17．（2021•滦州市一模）如图，AM ∥BN ，AB ⊥BN ，点C 在射线BN 上且∠ACB ＝50°，BQ ⊥AC于点Q ，点P 是线段QA 上任意一点，延长BP 交AM 于点D ，AB ＝6．（1）若点P 为AC 中点，求证：△APD ≌△CPB ；（2）当△PBC 为等腰三角形时，求∠PBC 的度数；（3）直接写出△PBC 的外心运动的路径长．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法：ASA即可得到结论；（2）分三种情况：当PC＝PB时，当BC＝BP时，当BC＝BP时，分别计算即可；（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ＝x，AQ＝y，设△PBC外心运动路径长为h，外心一定在直线l1上，根据三角函数可得答案．【解答】解（1）∵P为AC中点，∴PA＝PC，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BPC＝∠APD，∴△APD≌△CPB（ASA）．（2）当PC＝PB时，∠PBC＝∠ACB＝50°，当CP＝CB时，∠PBC＝∠CPB=180°−50°2=65°，当BC＝BP时，∠PBC＝108﹣2x50＝80°，综上：∠PBC＝50°或65°或80°．（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ ＝x ，AQ ＝y ，∴EF =x+y 2−x 2=y 2，设△PBC 外心运动路径长为h ，外心一定在直线l 1上，∵∠CFT ＝∠CAB ＝40°，∴cos40°＝（y 2）÷h =AB AC =AQ AB =y 6， ∴y 2÷h ＝y ÷6， ∴h ＝3，故△PBC 的外心运动的路径长为3．18．（2021•南皮县一模）如图，射线AM ⊥AB ，O 是AM 上的一点，以O 为圆心，OA 长为半径，在AM 上方作半圆AOC ，BE 与半圆相切于点D ，交AM 于点E ，EF ⊥BO 于点F ．（1）求证：BA ＝BD ；（2）若∠ABE ＝60°，①判断点F 与半圆AOC 所在圆的位置关系，并说明理由；②若AB =√3，直接写出阴影部分的面积．【分析】（1）由切线长定理可得出答案；（2）①证明△OBA≌△OEF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝OA，则可得出答案；②连接OD，则OD⊥BE，由直角三角形的性质求出OD的长，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵AM⊥AB，∴BA是半圆的切线，切点为A，又∵BE与半圆相切于点D，∴BA＝BD；（2）解：①点F在半圆AOC所在的圆上，理由如下：∵∠ABE＝60°，∴∠BEA＝30°，又∵OBA＝∠OBE=12∠ABE＝30°，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE，又∵∠AOB＝∠FOE，∠A＝∠F＝90°，∴△OBA≌△OEF（AAS），∴OF＝OA，∴点F在半圆AOC所在的圆上；②连接OD，则OD⊥BE，∵OB＝OE，∴DE＝BD＝AB=√3，∵∠OBA＝30°，∴OD＝OA＝AB•tan30°=√3×√33=1，2 360=√32−π6．∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COD=12×√3×1−60π×1。

第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

中考数学专题复习《圆与三角形的综合（圆的综合问题）》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图 O 是ABC 的外接圆 AB 是O 的直径 FH 是O 的切线 切点为F FH BC ∥ 连接AF 交BC 于E 连接BF ．(1)证明：AF 平分BAC ∠(2)若ABC ∠的平分线BD 交AF 于点D 4EF = 6DE = 求tan EBF ∠的值．2．如图① OA 是O 的半径 点P 是OA 上一动点 过P 作弦BD ⊥弦AC 垂足为E连结AB BC CD DA ．(1)求证：BAO CAD ∠=∠．(2)当OA CD ∥时 求证：AC BC =．(3)如图① 在（2）的条件下 连结OC ．①若ABC 的面积为12 4cos 5ADB求APD △的面积． ①当P 是OA 的中点时 求BD AC 的值．3．如图 ABC 内接于O AB ，是①O 的直径 过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D BE CD ⊥ EB 的延长线交O 于F CF ，交AB 于点G BCF BCD ∠=∠.(1)求证：BE BG =(2)若1BE = 求O 的半径．4．如图 O 是ABC 的外接圆 AB 是O 的直径 BD 是O 的切线 连接AD 交O 于点E 交BC 边于点F 若点C 是AE 的中点．(1)求证：ACF BCA ∽△△(2)若1CF = 2BF = 求DB 的长．5．如图1 锐角ABC 内接于O 点E 是AB 的中点 连结EO 并延长交BC 于D 点F 在AC 上 连结AD DF BAD CDF ∠=∠．(1)求证：DF AB ．(2)当9AB = 4AF FD ==时①求tan CDF ∠的值①求BC 的长．(3)如图2 延长AD 交O 于点G 若::1:4:3GC CA AB = 求BED DFC S S△△的值．6．如图 AB 为O 的直径 弦CD AB ⊥于点E 连接AC BC ．(1)求证：CAB BCD ∠=∠(2)若4AB = 2BC = 求CD 的长．7．如图 四边形ABCD 内接于O BC 为O 的直径 O 的切线AP 与CB 的延长线交于点P ．(1)求证：PAB ACB ∠=∠(2)若12AB = 4cos 5ADB求PB 的长．8．在Rt ABC 中 90BCA ∠=︒ CA CB = 点D 是ABC 外一动点（点B 点D 位于AC 两侧） 连接CD AD ．(1)如图1 点O 是AB 的中点 连接OC OD 当AOD △为等边三角形时 ADC ∠的度数是______(2)如图2 连接BD 当135ADC ∠=︒时 探究线段BD CD DA 之间的数量关系 并说明理由(3)如图3 O 是ABC 的外接圆 点D 在AC 上 点E 为AB 上一点 连接CE DE 当1AE = 7BE =时 直接写出CDE 面积的最大值及此时线段BD 的长．9．如图 AB 为O 的直径 AB AC = BC 交O 于点DAC 交O 于点E 45BAC ∠=︒．(1)求EBC ∠的大小(2)若O 的半径为2 求图中阴影部分的面积．10．如图 点C 是弧AB 的中点 直线EF 与O 相切于点C 直线AO 与切线EF 相交于点E 与O 相交于另一点D 连接AB CD ．(1)求证：AB EF ∥(2)若3DEF D ∠=∠ 求DAB ∠的度数．11．如图1 BC 是O 的直径 点A 在O 上 AD ①BC 垂足为D AE AC = CE 分别交AD AB 于点F G ．(1)求证：FA FG =(2)如图2 若点E 与点A 在直径BC 的两侧 AB CE 的延长线交于点G AD 的延长线交CG 于点F ．①问（1）中的结论还成立吗？如果成立 请证明 如果不成立 请说明理由①若2tan3BAD∠=求cos BCE∠．12．如图1四边形ABCD内接于O连结BD AC交于点G点E是AB上一点连结CE交BD于点F且满足ACD ACF∠=∠．(1)求证：ACE ABD∠=∠(2)若点C是BD的中点①求证：CE CD=②若34CFCD=3tan4BDC∠=时求EFFD的值．(3)如图2当点F是BG的中点时若2AB=3AC=求CG的值．13．如图 四边形OABC 中90OAB OCB ∠=∠=︒ BA BC =．以O 为圆心 以OA 为半径作O ．(1)求证：BC 是O 的切线(2)连接BO 形延长交O 于点D 延长AO 交O 于点E 与BC 的延长线交于点F ①补全图形①若AD AC = 求证：OF OB =．14．如图 在ABC 中 AB AC = AO BC ⊥于点O OE AB ⊥于点E 以点O 为圆心 OE 为半径作圆O 交AO 于点F ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若60AOE =︒∠ 3OE = 在BC 边上是否存在一点P 使PF PE +有最小值 如果存在请求出PF PE +的最小值．15．如图1 在O 中 P 是直径AB 上的动点 过点P 作弦CD （点C 在点D 的左边） 过点C 作弦CE AB ⊥ 垂足为点F 连接BC 已知BE ED =．(1)求证：FP FB =．(2)当点P 在半径OB 上时 且OP FB = 求FPFC 的值．(3)连接BD 若55OA OP ==． ①求BD 的长．①如图2 延长PC 至点G 使得CG CP = 连接BG 求BCG 的面积．参考答案：1．（1）解：连接OF 如图所示：FH 是O 的切线OF FH ∴⊥①FH BC ∥OF BC ∴⊥BF CF ∴=BAF CAF ∴∠=∠AF ∴平分BAC ∠（2）解：如图作出ABC ∠的平分线BD 交AF 于点DABD CBD ∠=∠ BAF CAF CBF ∠=∠=∠ 且FBD CBD CBF ∠=∠+∠ BDF ABD BAF ∠=∠+∠FBD BDF ∴∠=∠4610BF DF EF DE ∴==+=+= AB 是O 的直径90AFB ∴∠=42tan 105EF EBF BF ∴∠===．2．（1）解：延长AO 交圆O 与F 连接BF ．①90ABF ∠=︒①BD AC ⊥与E①90AED ABF ∠=∠=︒又AOE AFB ∠=∠①ABF AED ∽①BAF EAD ∠=∠即BAO CAD ∠=∠．（2）连接CF①AF 是O 的直径①90ACF ∠=︒①90AFC FAC ∠+∠=︒①OA CD ∥①FAC ACD ∠=∠①BD AC ⊥与E①90AED ∠=︒①90CDE ACD ∠+∠=︒①AFC CDE ∠=∠又①AFC CBA ∠=∠ CDE CAB ∠=∠①CBA CAB ∠=∠①AC BC =．（3）①①4cos 5ADB①45DE AD = ①45DE AD =①2235AE AD DE AD =- ①ACB ADB①45CE BC = 设4CE a = 则5BC a AC == ①223BE BC CE a -①5BC AC a ==①AE AC EC a =-=①53AD a = 43DE a = ①OP CD ①14OE AE DE CE == ①13PE a = 53PD a = ①211552236APD SPD AE a a a =⋅=⨯⨯= ①11531222ABC S AC BE a a =⋅=⨯⨯= 解得：22415a = ①25524466153APD S a ==⨯=． ①过点O 作OH AC ⊥于H①22AC AH CH ==①PE AC ⊥①PE OH ∥①P 是OA 的中点①E 是AH 的中点设AE k = 则2AH k = 4AC k= 3CE k = 4BC AC k ==①BE①ADB ACB ∠=∠ AED BEC∠=∠①AED BEC ∽ ①AEDEBE CE =①AE CEDE BE ⋅===①BD =①74BD AC k ==故BDAC3．（1）证明：如图 连接OC①CD 是①O 的切线①OC CD ⊥①90OCB BCD ∠+∠=︒①OC OB =①OCB OBC ∠=∠①BCF BCD ∠=∠①90BCF OBC ∠+∠=︒①90BGC ∠=︒ 即BG CF ⊥①BCF BCD ∠=∠，BE CF ⊥①BE BG =（2）解：①AB 是O 的直径 CF AB ⊥①BC BF =①BC BF =①BCF F ∠=∠①BE CD ⊥ BCF BCD ∠=∠①30BCF BCD F ∠=∠=∠=︒①60OBC ∠=︒①1BE =①2BC =①60OB OC OBC =∠=︒，①OBC △为等边三角形①2OB BC ==即O 的半径为2.4．（1）解：①AB 是O 的直径①090ACB FCA ∠=∠=①点C 是AE 的中点①AC EC =①CAE CBA ∠=∠①ACF BCA ∽△△（2）ACF BCA ∵∽△△2AC CF CB =⋅∴1CF = 2BF =23AC CF CB =⋅=∴AC ∴090ACB ∠=AB ∴==1sin 2CA ABC AB ∴∠=== 30CAE CBA =︒∠=∠∴903060BAC ∴∠=︒-︒=︒603030BAD ∴∠=︒-︒=︒BD 是O 的切线 90ABD ∴∠=︒tan D B B BA D A ∠==∴2DB ∴=5．（1）证明：①点E 是AB 的中点 且DE 过圆心①AB DE ⊥①AD BD =①B BAD ∠=∠有①BAD CDF ∠=∠①B CDF ∠=∠①DF AB ． （2）①DFAB ①CDF CBA △△∽①DF CF BA CA=即：494CF CF=+ 解得：165CF = 又①AF FD =①CAD FDA ∠=∠①DF AB①FDA BAD CDF ∠=∠=∠①CAD CDF ∠=∠又C C ∠=∠①CDF CAD ∽ ①=CD CA CF CD①2161657645525CD CF AC ⎛⎫=⋅=⨯+= ⎪⎝⎭ ①245CD = ①CDF CBA △△∽①DC DF BC BA= 即24459BC = ①545BC = ①5424655BD BC DC =-=-= ①1922AE AB == 在ADE 中222293762DE AD AE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①3772tan tan 92DE CDF EAD AE ∠=∠=== 综上 17tan CDF ∠ 545BC =． （3）①::1:4:3GC CA AB =①它们所对圆心角度数比为1:4:3．根据同弧所对圆周角为原心角的一半 可知它们所对的圆周角度数比为1:4:3 即1::1:4:3B C ∠∠∠=设1∠=α 则4B α∠= 3C α∠=则14ADB C α∠=∠+∠=①AD BD =①4BAD B α∠=∠=①4ADB BAD B α∠=∠=∠=①ADB 为等边三角形①460α=︒①15α=︒①345C α∠==︒过点E 作EM BC ⊥交BC 于M 过点A 作⊥AP BC 交BC 于P 过点F 作FN BC ⊥交BC 于N设2BD m =①=60B ∠︒ 90BED ∠=︒①1cos6022BE BD m m =⋅︒=⨯= sin sin 60EM BE B m m =⋅=⋅︒==①211222BED S EM BD m =⋅=⋅=同理sin 2sin 602AP AB B m m =⋅=⨯︒== ①45C PAC ∠=∠=︒①PC AP == ①12PD BD m ==①)1CD PC PD m =-=①45C NFC ∠=∠=︒设FN CN n ==①DF AB60FDN B ∠=∠=︒ ①3tan 60FN DN ==︒ 又①CD DN NC =+ 即)331m n =+ 解得：()233n m = ①)()211953313322DFC S DC FN m m -=⋅=⨯⨯= ①2253332953BED DFC S m S -+△△． 6．（1）证明：①直径AB CD ⊥①BC BD =．①A BCD ∠=∠（2）解：连接OC①直径AB CD ⊥①CE ED =．①直径4AB =①2CO OB ==①2BC =①OCB 是等边三角形①60COE ∠=︒①30OCE ∠=︒ ①112OE OC == 在Rt COE △中①CE①2CD CE ==7．（1）证明：如图 连接OA①AP 为O 的切线①OA AP ⊥①90OAP ∠=︒①90OAB PAB ∠+∠=︒①OA OB =①OAB OBA ∠=∠①90OBA PAB①BC 为O 的直径①90ACB OBA ∠+∠=︒①PAB ACB ∠=∠（2）由（1）知PAB ACB ∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠ ①ACB PAB ADB ∠=∠=∠ ①4cos cos cos 5ACB PAB ADB ∠=∠=∠= 在Rt ABC 中 3tan 4AB ACB AC ∠== ①12AB =①16AC =①2220BC AB AC +=①10OB =过B 作BF AP ⊥于F①ADB FAB ∠=∠ 4cos 5ADB①4cos 5FAB ∠=①3sin 5FAB ∠= ①在Rt ABF 中 36sin 5BF AB FAB =⋅∠=①OA AP BF AP ⊥⊥，，①BF OA ∥ ①PBF POA ∽①BF PB OA PO ①3651010PB PB =+①1807PB = 故PB 的长为1807． 8．（1）解：90BCA ∠=︒ BC AC = 点O 是AB 的中点 90COA ︒∴∠= 12CO AB OA == AOD 是等边三角形OD OA ∴= 60ODA DOA ∠=∠=︒OC OD ∴= 906030COD COA DOA ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ()()11180180307522ODC COD ∴∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒ 7560135ADC ODC ODA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：135︒（2）解：线段BD CD DA 之间的数量关系为：BD DA =+ 理由如下： 过点C 作CH CD ⊥交AD 的延长线于点H 如图2所示：则180********CDH ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒ DCH ∴△是等腰直角三角形CH CD ∴= HD90BCA ∠=︒ACH BCD ∴∠=∠()ACH BCD SAS ∴≌BD AH HD DA AD ∴==+=+ （3）解：连接OC 如图3所示：90BCA ∠=︒ BC AC =ACB ∴是等腰直角三角形45ABC ∴∠=︒ O 是ABC 的外接圆O ∴是AB 的中点OC AB ∴⊥ ()()111174222OC OA AB AE BE ===+=⨯+= 413OE OA AE ∴=-=-=在Rt COE △中 由勾股定理得：2222435CE OC OE ++ CE 是定值∴点D 到CE 的距离最大时 CDE 面积的面积最大 AB 是O 的直径过点O 作ON CE ⊥于N 延长ON 与O 的交点恰好是点D 时 点D 到CE 的距离最大 CDE 面积的面积最大1122OCE S OC OE CE ON =⋅=⋅431255OC OE ON CE ⋅⨯∴===4OD OC ==128455DN OD ON ∴=-=-=此时 在直角CNO 中 222212164()55CN OC ON =-=-=在直角CND △中 222216885()()55CD CN DN +=+=在直角ABD △中 222228BD AB AD AD =-=- 由（2）知 8581022BD CD AD AD AD =+==2228108()AD AD ∴-=+610AD ∴=8108106101410BD AD ∴+=即CDE 面积的面积最大值为4 此时 1410BD ．9．（1）解：①AB 为O 的直径①90AEB ∠=︒又①45BAC ∠=︒①=45ABE ∠︒．又①AB AC =①67.5ABC C ∠=∠=︒①22.5EBC ∠=︒．（2）解：连接OE 如图所示：①45ABE BAE ∠=∠=︒①AE BE =①OA OB =①OE AB ⊥①2OA OB OE ===①OBE OBE S S S =-阴影扇形29021223602π⨯⨯=-⨯⨯2π=-．10．（1）证明：连接OC 如图①直线EF 与O 相切于点C①OC EF ⊥．①点C 是AB 的中点①OC AB ⊥．①AB EF ∥．（2）解：①OC EF ⊥①90OCE ∠=︒．①90DEF EOC ∠+∠=︒．①2EOC D ∠=∠ 3DEF D ∠=∠①590D ∠=︒．①18D ∠=︒．①331854DEF D ∠=∠=⨯︒=︒．①AB EF ∥①54DAB DEF ∠=∠=︒．11．（1）证明：BC 为直径90BAC ∴∠=︒90ACE AGC ∴∠+∠=︒AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒90ABD DAB ∴∠+∠=︒①AE AC =ACE ABD ∴∠=∠DAB AGC ∴∠=∠FA FG ∴=（2）解：①（1）中的结论成立理由如下： BC 为直径90BAC ∴∠=︒即：=90GAC ∠︒90ACG AGC ∴∠+∠=︒AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒90ABD DAB ∴∠+∠=︒①AE AC =ACG ABD ∴∠=∠DAB AGC ∴∠=∠FA FG ∴=①如图2 过点G 作GM BC ⊥交CB 的延长线于点M90GMB ADB ∴∠=∠=︒又ABD GBM ∠=∠GBM ABD ∴∽ ∴BMMGBD DA = ∴BM BDMG DA =90BAD ABD ∠+∠=︒90BAD DAC ∠+∠=︒ABD DAC ∴∠=∠ACE ABD ∠=∠DAC ACE ∴∠=∠AF CF ∴=又AF GF =CF GF ∴=∴点F 为CG 的中点2tan 3BD BAD AD ∠== ∴23BMBD MG DA ==90ADB ADC ∠=∠=︒ABD CAD ∴∽ ①23BDAD AD CD ==设2BD x = 则3AD x =①233x x x CD= 解得：92CD x =AD BC ⊥ GM BC ⊥AD GM ∴∥①点D 为CM 的中点29CM CD x ∴==92DM CD x ∴== BM DM BD ∴=-52x = ①23BM MG = 32MG BM ∴=154x = CG ∴22MG CM +()221594x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭394x = cos BCE ∴∠CM CG =． 9394xx = 1213=． 12．（1）①ACD ACF ∠=∠ ACD ABD ∠=∠ ①ACE ABD ∠=∠（2）①①点C 是BD 的中点①BAC DAC ∠=∠ BC DC =①BAC DAC DBC ∠=∠=∠①BEC BAC ACE ∠=∠+∠ ABC ABD DBC ∠=∠+∠ ①BEC ABC ∠=∠①CE BC =①CE CD =②延长CE 交O 于点P 连接PB 连接CO 交BD 于点M由①得BAC DAC DBC ∠=∠=∠ BC DC = ①CM BD ⊥ ①12DM BM BD ==①BAC BPC ∠=∠①DBC DPC ∠=∠①BCF PCB ∠=∠①CBF CPB ∽ ①CB CF CP CB = ①34CF CD = 设3CF k = 4DC CE CB k === 则EF k = ①434k k CP k= 则163PC k = ①43PE PC CF EF k =--=①在Rt CMD 中 3tan 4CM BDC DM ∠== 设BDC ∠的对边为3CM m = 则4DM m = ①由勾股定理得5CD m = ①44cos 55DM m BDC CD m ∠=== ①4cos 5DM BDC DC ∠==①165DM k = 由12DM BM BD == ①3225BD DM k ==①BPF CDF ∠=∠ PBF DCF ∠=∠ ①BPF CDF ∽ ①PF BF DF CF= 设DF y = 由4733PF PE EF k k k =+=+= 325BF BD DF k y =-=- ①732353k k y y k-= 解得15y k = 275y k = ①155EF k DF k ==或5775EF k DF k == 综上可知EF DF 的值为15或57（3）过F 作FH AB ∥ 交AC 于点H同理FHG CHF ∽ ①FH HC HG FH= ①点F 是BG 的中点则设AH HG a == ①FH HC HG FH = 即131a a -= 整理得2310a a -+= 解得：135a +=（舍去） 235a -=①325CG a =-13．（1）证明：如图 连接BO90OAB OCB ∠=∠=︒ BA BC = BO BO =①()Rt Rt HL ABO CBO ≌①AO CO =CO ∴是O 的半径又①90BCO ∠=︒①BC 是O 的切线（2）①解：依照题意画出图形 如图所示①证明：①Rt Rt ABO CBO ≌ ①AOB BOC ∠=∠①AOD COD ∠=∠①AD AC =①AOC AOD ∠=∠①120AOC AOD COD ∠=∠=∠=︒ ①60AOB BOC ∠=∠=︒①90BCO ∠=︒①30OBC ∠=︒①60AOB OBC F ∠=∠+∠=︒①30F OBC ∠=︒=∠①OB OF =．⊥与点D如图14．（1）证明：过点O作OD AC⊥=AO BCAB AC∠∴平分BACAO⊥OE AB⊥OD AC∴=OD OEOE是圆的半径OD∴是圆的半径这样AC经过半径OD的外端且垂直于半径OD∴是O的切线AC（2）解：在BC边上存在一点P使PF PE+有最小值．延长AO交O于点G连接EG交BC于点P连接PF则此时PF PE+最小连接EF过点E作EH AO⊥于点H如图∠=︒OE OFAOE60=∴为等边三角形OEF∴===3EF OE OF⊥EH OF1322OH HF OF ∴=== 39322GH OG OH ∴=+=+= 在Rt EHO 中sin EH AOE OE ∠=EH OE ∴=在Rt EHG △中EG BC FG ⊥ OG OF = PG PF ∴=PE PF PE PG EG ∴+=+==∴在BC 边上存在一点P 使PF PE +有最小值．PF PE +的最小值为 15．（1）①BE ED = ①BCE DCE ∠=①CE AB ⊥①90CFP CFB ∠=∠=︒ 在CPF 和CBF 中 DCE BCE CF CFCFP CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA CPF CBF ≌ ①FP FB =．（2）由（1）得 FP FB = ①OP FB =①OP FB FP ==设3OA a =①OP FB FP a === ①2OF OP PF a =+= 连接OE①在Rt OFE △中 ()()225FE OE OF a - ①AB 为O 的直径 CE AB ⊥ ①5CF EF a == ①55FP FC a ==（3）①连接OE 如图①AB 为O 的直径 CE AB ⊥ ①CB BE =①BE ED =①BE ED CB == ①CB BE BE BD +=+ ①CE BD =①CE BD =①55OA OP == ①1OP =①FP FB = 5FP FB OP ++= ①2FP FB ==①3OF =在Rt OFE △中 FE =①4FE =①12CF FE CE == ①8CE = ①8BD = ①①CG CP = FP FB = ①点F 点C 是线段PB GO 的中点 ①CF 为PGB △的中位线 ①12CF GB = 12CF GB ∥ ①4CF = ①8GB = ①CF AB ⊥ ①BG AB ⊥ ①BCG 中BG 边上的高等于BF 的长①BCG 的面积为：1182822BG BF ⨯=⨯⨯=．。

2023年中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合1．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的△O交BC于点E，过点C作CG△AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP△AB交AB 于点P，△EAD＝△DEB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）求证：CE＝EP；（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．2．已知：AB是△O的直径，BD是△O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE△AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为△O的切线．3．如图，AB是△O的直径，C是弧AB的中点，延长AC至D，使CD＝AC，连接DB.E是OB的中点，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交△O于点H，连接BH.（1）求证：BD是△O的切线；（2）△O 的直径为2，求BH 的长.4．如图，在 O 中，半径 OA ⊥ 弦 BC 于点 H ，点 D 在优弧 BC 上.（1）若 50AOB ∠=︒ ，求 ADC ∠ 的度数；（2）8BC = ， 2AH = ，求 O 的半径.5．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连结BD ，△BAD=105°，△DBC=75°.（1）求证：BD=CD ；（2）若圆O 的半径为3，求 BC 的长.6．如图，在△ABC 中，△C = 90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接OD ，点E 在BC 上， B E=DE ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若BC =6，求线段DE 的长；（3）若△B =30°，AB =8，求阴影部分的面积（结果保留 π ）．7．如图在Rt△ABC 中，△C=90°，BD 平分△ABC ，过D 作DE△BD 交AB 于点E ，经过B ，D ，E 三点作△O ．（1）求证：AC与△O相切于D点；（2）若AD=15，AE=9，求△O的半径．8．如图，△I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．（1）若△B＝50°，△C＝70°，求△DFE的度数．（2）若△DFE＝50°，求△A的度数．（3）连接DE，直接判断△DFE的形状为．9．如图，△O是△ABC的外接圆，BC为△O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE 并延长交△O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为△O的切线．10．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB△CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：△ACO＝△BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．11．如图，直线PA 与O 相切于点A ，弦AB OP ⊥于点C ，OP 与O 相交于点D ．30APO ∠=︒，4OP =．（1）求弦AB 的长；（2）求阴影部分的周长．12．如图，AB 是△O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 相交于点E ，连接AC 、AD ，AC ＝AD ．（1）求证：AB△CD ．（2）若AB ＝12，BE ＝2，求CD 的长．13．如图，ABC 内接于O ，AC 是O 的直径，点D 是O 上一点，连接CD 、AD ，过点B 作BE AD ⊥，交DA 的延长线于点E ，AB 平分CAE ∠.（1）求证：BE 是O 的切线；（2）若30ACB ∠=︒，O 的半径为6，求BE 的长.14．如图，在半径为5的扇形AOB 中，△AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD△BC ，OE△AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC=6时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．15．已知AB 是△O 的直径，BD 为△O 的切线，切点为B ．过△O 上的点C 作CD AB ，交BD 点D ．连接AC ，BC ．（1）如图①，若DC 为△O 的切线，切点为C ．求△BCD 和△DBC 的大小； （2）如图②，当CD 与△O 交于点E 时，连接BE ．若△EBD ＝30°，求△BCD 和△DBC 的大小．16．如图，AB 是△O 的直径，AC 与△O 交于点C ，△BAC 的平分线交△O 于点D ，DE△AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若直径AB ＝10，弦AC ＝6，求DE 的长．17．如图,在 Rt ABC ∆ 中, 90C ∠= , 在 AC ，上取一点 D ,以 AD 为直径作 O ,与 AB 相交于点 E ,作线段 BE 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 N ,连接 EN .（1）求证: EN 是 O 的切线;（2）若 3,4AC BC == ， O 的半径为 1 .求线段 EN 与线段 AE 的长.18．如图， ,,A B C 是 O 上的三个点， AB AC = ，点D 在 O 上运动（不与点 ,,A B C 重合），连接 DA ， DB ， DC ．（1）如图1，当点D 在 BC 上时，求证： ADB ADC ∠=∠ ；（2）如图2，当点D 在 AB 上时，求证： 180ADB ADC ∠+∠=︒ ； （3）如图2，已知 O 的半径为 254 ， 12BC = ，求 AB 的长． 19．如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 切O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC OP 交O 于点C ，点E 是AB 的中点，且106AB BC ＝，＝.（1）PC 与O 有怎样的位置关系？为什么？（2）求CE 的长.20．如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的△O 上的四个点，C 是劣弧 BD 的中点，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C作△O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH 的面积．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OE，∵OE＝OD，∴△OED＝△ADE，∵AD是直径，∴△AED＝90°，∴△EAD+△ADE＝90°，又∵△DEB＝△EAD，∴△DEB+△OED＝90°，∴△BEO＝90°，∴OE△BC，∴BC是△O的切线．（2）证明：∵△BEO＝△ACB＝90°，∴AC△OE，∴△CAE＝△OEA，∵OA＝OE，∴△EAO＝△AEO，∴△CAE＝△EAO，∴AE为△CAB的角平分线，又∵EP△AB，△ACB＝90°，∴CE＝EP；（3）解：连接PF，∵CG＝12，AC＝15，∴AG＝＝＝9，∵△CAE＝△EAP，∴△AEC＝△AFG＝△CFE，∴CF＝CE，∵CE＝EP，∴CF＝PE，∵CG△AB，EP△AB，∴CF△EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CE＝PE，∴四边形CFPE是菱形，∴CF＝EP＝CE＝PF，∵△CAE＝△EAP，△EPA＝△ACE＝90°，CE＝EP，∴△ACE△△APE（AAS），∴AP＝AC＝15，∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，∵PF2＝FG2+GP2，∴CF2＝（12﹣CF）2+36，∴CF＝152，∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝152×6＝45．【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出直径定理得出△AED＝90°，△DEB＝△EAD，由余角的性质得出△DEB+△OED＝90°，进而得出△BEO＝90°，即可得出结论；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可证AE为△CAB的角平分线，由角平分线的性质得出CE＝EP；（3）连接PF，先证出四边形CFPE是菱形，可得出CF＝EP＝CE＝PF，由AAS可证△ACE△△APE，可得AP＝AC＝15，由勾股定理求出CF的长，即可求解。

圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。

圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。

模型1、切线长模型图1 图21）切线长模型（标准类）条件：如图1，P为O外一点，P A，PB是O的切线，切点分别为A，B。

结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切线长模型（拓展类）条件：如图2，AD，CD，BC是O的切线，切点分别为A，E，B。

结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；切O于A B､60,O的半径为C ．点A 、B 都在以P O 为直径的圆上D ．P C 为B P A △的边A B 上的中线例3．（2023·河南信阳·二模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现M A 、M B 分别切O于点A 、B ，直径C D 所在的直线经过点M ，连接A B ．(1)小倩发现O M 垂直平分A B ，请说明理由；(2)若O的半径为3c m ，①当M D=______时，四边形A C B M为菱形；②当M D =______时，四边形A O B M 为正方形．模型2. 燕尾模型条件：OA ，OB 是O的半径，OC =OD 。

结论：①△AOC ≌△BOD ；②△P AD ≌△PBC ；例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O 为圆心的两个圆中，大圆的半径,O A O B 分别交小圆于点C ，D ，连结,,,A B C D A D B C ，下列选项中不一定正确的是（ ）A ．A CB D= B ．A B C D ∥ C ．2A BC D= D ．A DB C=例2．（2022·河南焦作·统考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，O A为半径作大圆O，连接O A交小圆O于点B，过B作B C O A，交大圆O于点C，连接O C，交小圆O于点D，连接A D，则A D是小圆O的切线．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________．证明：例3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．模型3. 蝴蝶模型条件：OA，OE是O的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。

中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是AB中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．2．如图，半径为6的⊙O与Rt⊙ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，⊙B=90°，连结OD，AD．（1）若⊙ACB=20°，求AD的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分⊙BDO．3．如图，已知⊙O的半径为5，⊙ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，.过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊙BD，垂足为D.（1）求证：⊙BAD+⊙C＝90°（2）求线段AD的长.于点E，连接AC、OC、BC. 4．如图，AB为O的直径，CD是弦，且AB CD（1）求证： ACO BCD ∠=∠ . （2）若 6EB = ， 20CD = ，求O 的直径.5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，⊙CAB ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作⊙A ，交BC 边于点E ，交AC 于点F ，连接DE ．（1）求证：DE 与⊙A 相切；（2）若⊙ABC ＝60°，AB ＝6，求阴影部分的面积．6．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF⊙BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF ；（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由． （2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长．7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC⊙BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE=ED ；（2）若AB=10，⊙CBD=36°，求 AC 的长．8．如图，在 Rt ABC 中， 90C ︒∠= ，点O 在 AC 上，以 OA 为半径的半圆O 交 AB 于点D ，交 AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线 DF ，交 BC 于点F.（1）求证： BF DF = ；（2）若 4AC = ， 3BC = ， 1CF = ，求半圆O 的半径长.9．如图，在 Rt ABC 中， 90ACB ︒∠= ，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O ，与 BC 交于点M ，与 AB 的另一个交点为E ，过M 作 MN AB ⊥ ，垂足为N.（1）求证： MN 是 O 的切线；（2）若O 的直径为5， 3sin 5B =，求 ED 的长. 10．如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 切线；（2）若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．11．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，⊙C ＝120°，点E 在弧AD 上，连接OA 、OD 、OE 、AE 、DE.（1）求⊙AED 的度数；（2）当⊙DOE ＝90°时，AE 恰好为⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值.12．如图，AD 为⊙ABC 外接圆的直径，AD⊙BC ，垂足为点F ，⊙ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD ．（1）求证：BD=CD ；（2）请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ．（1）若⊙CBD=39°，求⊙BAD 的度数； （2）求证：⊙1=⊙2．14．如图，在ABC 中， AB AC = ，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点D ，过点D 的直线 EF 交 AC 于点F ，交 AB 的延长线于点E ，且 2BAC BDE ∠=∠ .（1）求证： DF 是⊙O 的切线；（2）当 2,3CF BE == 时，求 AF 的长.15．如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE⊙OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．16．如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是圆 O 的切线， BC 交圆 O 于点D ，点E 是 AC 的中点，连接 OD .（1）求证： OD DE ⊥（2）求证： ,,,O A E D 四点共圆（3）ABC ∆ 满足什么条件时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切？并说明理由.17．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6 ，0)与点B(0，－2 )，点D 在劣弧 OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且⊙COD ＝⊙CBO.（1）求⊙M 的半径； （2）求证：BD 平分⊙ABO ；（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标.18．如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD⊙AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由； （2）①求证：CF=OC ；②若半圆O 的半径为12，求阴影部分的周长．19．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A （4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，⊙ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A，B，D三点的⊙M交于点E，DE平分⊙ADC，连结AE，BD．显然⊙DCE，⊙DEF，⊙DAE是半直角三角形．（1）求证：⊙ABC是半直角三角形；（2）求证：⊙DEC=⊙DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），①求AE的长；②记BC与AD的交点为F，求ΔACF与ΔBCA的面积之比．20．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求⊙PCD的周长；（2）若⊙P=50°，求⊙DOC．答案解析部分1．【答案】（1）解：如图，连接OC，AE，过点A作AM⊙CE，垂足为M，∵PC是⊙O的切线，∴⊙CAB＝⊙DCB，又∵CA＝CD，∴⊙CAB＝⊙CDB，∴⊙DCB＝⊙CDB，∴BC＝BD，又∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝90°，∴⊙CAB+⊙CBA＝90°，∵⊙CBA＝2⊙CDB＝2⊙CAB，∴⊙CBA＝90°× 23＝60°，∵OC＝OB，∴⊙OBC是正三角形，∴BC＝OB；（2）解：连接AE，过点A作AM⊙CE，垂足为M，∵E是AB中点，∴AE＝BE＝4，⊙ACE＝⊙BCE＝12⊙ACB＝12×90°＝45°，在Rt⊙AEM中，AE＝4，⊙AEM＝⊙CBA＝60°，∴EM＝12AE＝2，AM＝3AE＝2 3，在Rt⊙ACM中，AM＝2 3，⊙ACM＝45°，∴CM＝AM＝2 3，∴CE＝EM+CM＝2+2 3，答：CE 的长为2+23 ．2．【答案】（1）解：连结OA ，∵⊙ACB ＝20°， ∴⊙AOD ＝40°， ∴180n rAD π=， 406180π⨯⨯=43π=． （2）证明：∵AB 切⊙O 于点A ， ∴OA⊙AB ， ∵⊙B ＝90°， ∴OA⊙BC ， ∴⊙OAD ＝⊙ADB ， ∵OA=OD ， ∴⊙OAD ＝⊙ODA ， ∴⊙ADB ＝⊙ODA ， ∴AD 平分⊙BDO ．3．【答案】（1）证明：∵BD 为⊙O 的切线，∴⊙C ＝⊙ABD ， ∵AD⊙BD ， ∴⊙ADB ＝90°， ∴⊙BAD+⊙ABD ＝90°， ∴⊙C+⊙BAD ＝90°（2）解：连接OB ，过O 作OE⊙AB 于E ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝4， 由勾股定理得：OE ＝ 22OB BE -＝ 2254-＝3，∵BD 为⊙O 的切线， ∴OB⊙BD ， ∴⊙OBD ＝90°， ∵⊙ADB ＝90°， ∴AD⊙OB ， ∴⊙DAB ＝⊙ABO ， ∵⊙D ＝⊙OEB ＝90°， ∴⊙OEB⊙⊙BDA ， ∴BE OBAD AB = ， ∴458AD = ， ∴AD ＝325； 则线段AD 的长为325. 4．【答案】（1）证明：∵AB CD ⊥ ，∴BC BD = ， ∴BCD BAC ∠=∠ ， ∵OA OC = ， ∴OAC ACO ∠=∠ ， ∴ACO BCD ∠=∠ （2）解：设O 的半径为 r ，∴OC r = ， 6OE OB EB r =-=- ，∵AB CD ⊥ ， ∴11201022CE DE CD ===⨯= ， 在 Rt OCE 中， 222OE CE OC += ， 即， 222(6)10r r -+= ， 解得， 343r = ， 所以直径为683. 5．【答案】（1）证明：连接AE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD⊙BC ， ∴⊙DAE ＝⊙AEB ，∵AE ＝AB ，∴⊙AEB ＝⊙ABC ，∴⊙DAE ＝⊙ABC ， ∴⊙AED⊙⊙BAC （AAS ）， ∴⊙DEA ＝⊙CAB ，∵⊙CAB ＝90°，∴⊙DEA ＝90°，∴DE⊙AE ， ∵AE 是⊙A 的半径，∴DE 与⊙A 相切 （2）解：∵⊙ABC ＝60°，AB ＝AE ＝6，∴⊙ABE 是等边三角形，∴AE ＝BE ，⊙EAB ＝60°， ∵⊙CAB ＝90°，∴⊙CAE ＝90°﹣⊙EAB ＝90°﹣60°＝30°， ⊙ACB ＝90°﹣⊙B ＝90°﹣60°＝30°， ∴⊙CAE ＝⊙ACB ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝BE ，∴S ⊙ABC 12= AB•AC 16631832=⨯⨯= ， ∴S ⊙ACE 12=S ⊙ABC 1183932=⨯=，∵⊙CAE ＝30°，AE ＝6，∴S 扇形AEF 2230πAE 30π6360360⨯⨯=== 3π ，∴S 阴影＝S ⊙ACE ﹣S 扇形AEF ＝93 3π ．6．【答案】（1）解：证明：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 直径， ∴⊙BCA=90°， ∵OF⊙BC ，∴⊙AEO=90°，⊙1=⊙2，⊙B=⊙3， ∴OF⊙AC ， ∵OC=OA ， ∴⊙B=⊙1， ∴⊙3=⊙2，在⊙OAF 和⊙OCF 中，32OA OCOF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴⊙OAF⊙⊙OCF （SAS ）， ∴⊙OAF=⊙OCF ， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴⊙OCF=90°， ∴⊙OAF=90°， ∴FA⊙OA ，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：∵⊙O 的半径为4，AF=3，⊙OAF=90°， ∴OF=22AF OA += 2234+=5∵FA⊙OA ，OF⊙AC ，∴AC=2AE，⊙OAF的面积= 12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE= 125，∴AC=2AE= 245．7．【答案】（1）证明: ∵AB是⊙O的直径，∴⊙ADB=90°，∵OC⊙BD，∴⊙AEO=⊙ADB=90°，即OC⊙AD，∴AE=ED（2）解: ∵OC⊙AD，∴AC CD=，∴⊙ABC=⊙CBD=36°，∴⊙AOC=2⊙ABC=2×36°=72°，∴7252180ACππ⨯==8．【答案】（1）证明：连接OD，∵DF和半圆相切，∴OD⊙DF，∴⊙BDF+⊙ADO=90°，∵⊙ADO=⊙OAD，∴⊙OAD+⊙BDF=90°，又⊙C=90°，∴⊙OAD+⊙B=90°，∴⊙BDF=⊙B，∴BF=DF；（2）解：过F 作FG⊙BD 于G ，则GF 垂直平分BD ， ∵1CF = ， ∴BF=DF=2，∵4AC = ， 3BC = ，⊙C=90°， ∴AB=22345+= ，∴cos⊙B= BC BG AB BF = = 35， ∴325BG = ，解得：BG= 65=DG ， ∴AD=AB-BD=135， 过点O 作OH⊙AD 于H ， ∴AH=DH=12 AD= 1310 ， ∵cos⊙BAC= 45AC AH AB AO == ， ∴AO=138， 即半圆O 的半径长为138. 9．【答案】（1）证明：连接 OM ，OC OM = ， OCM OMC ∴∠=∠ .在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，12CD AB BD ∴== ， DCB DBC ∴∠=∠ ，OMC DBC ∴∠=∠ ， //OM BD ∴ ，MN BD ⊥ ， MN OM ∴⊥ ，MN ∴ 是 O 的切线.（2）解：连接 ,DM CE ，易知 ,DM BC CE AB ⊥⊥ ， 由（1）可知 5BD CD == ，故M 为 BC 的中点，3sin 5B = ，4cos 5B ∴=， 在 Rt BMD 中， cos 4BM BD B =⋅= ，28BC BM ∴== .在 Rt CEB 中， 32cos 5BE BC B =⋅=， 327555ED BE BD ∴=-=-= . 10．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，∵AE⊙CD ，∴⊙DAE+⊙ADE=90°． ∵DA 平分⊙BDE ， ∴⊙ADE=⊙ADO ， 又∵OA=OD ， ∴⊙OAD=⊙ADO ， ∴⊙DAE+⊙OAD=90°， ∴OA⊙AE ， ∴AE 是⊙O 切线；（2）解：如图，取CD 中点F ，连接OF ，∴OF⊙CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt⊙OFD中，OF=AE=4，∴2222435OD OF DF=+=+=，在Rt⊙AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴22224225AD AE DE=++=∴AD的长是511．【答案】（1）解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴⊙BAD+⊙C=180°，∵⊙C=120°，∴⊙BAD=60°，∵AB=AD，∴⊙ABD是等边三角形，∴⊙ABD=60°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴⊙AED+⊙ABD=180°，∴⊙AED=120°；（2）解：连接OA，∵⊙ABD=60°，∴⊙AOD=2⊙ABD=120°，∵⊙DOE=90°，∴⊙AOE=⊙AOD﹣⊙DOE=30°，∴360=1230n=.12．【答案】（1）证明：∵AD为直径，AD⊙BC，∴BD CD = ∴BD=CD（2）解：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．理由：由（1）知：BD CD = ，∴⊙BAD=⊙CBD ，又∵BE 平分⊙ABC ，∴⊙CBE=⊙ABE ，∵⊙DBE=⊙CBD+⊙CBE ，⊙DEB=⊙BAD+⊙ABE ，⊙CBE=⊙ABE ， ∴⊙DBE=⊙DEB ， ∴DB=DE ． 由（1）知：BD=CD ∴DB=DE=DC ．∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上13．【答案】（1）解：∵BC=DC ，∴⊙CBD=⊙CDB=39°，∵⊙BAC=⊙CDB=39°，⊙CAD=⊙CBD=39°， ∴⊙BAD=⊙BAC+⊙CAD=39°+39°=78° （2）证明：∵EC=BC ， ∴⊙CEB=⊙CBE ，而⊙CEB=⊙2+⊙BAE ，⊙CBE=⊙1+⊙CBD ， ∴⊙2+⊙BAE=⊙1+⊙CBD ， ∵⊙BAE=⊙BDC=⊙CBD ， ∴⊙1=⊙214．【答案】（1）证明：如图，连接 OD ， AD ，∵AB 是直径， ∴90ADB ∠=︒ .∴AD BC ⊥ . ∵AB AC = ， ∴2BAC BAD ∠=∠ ， ∴2BAC BDE ∠=∠ ， ∴BDE BAD ∠=∠ . ∵OA OD = ， ∴BAD ADO ∠=∠ . ∵90ADO ODB ∠+∠=︒ ， ∴90BDE ODB ∠+∠=︒ . ∴90ODE ∠=︒ ，即 DF OD ⊥ . 又 OD 是 O 的半径， ∴DF 是O 的切线.（2）解：∵,AB AC AD BC =⊥ ， ∴BD CD = . ∵BO AO = ， ∴//OD AC . ∴EOD EAF ∽ ， ∴OD EOAF EA= . 设 OD x = ，∵2CF = ， 3BE = ，∴OA OB x == ， 22AF AC CF x =-=- ， 3EO x =+ ， 23EA x =+ . ∴32223x x x x +=-+ .解得 6x = .经检验 6x = 是所列分式方程的解. ∴2210AF x =-= .15．【答案】（1）解：证明：连接OD ，如图：∵OE=OD ，∴⊙OED=⊙ODE ， ∵DE⊙OA ，∴⊙OED=⊙AOC ，⊙ODE=⊙AOD ， ∴⊙AOC=⊙AOD. 在⊙AOD 和⊙AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴⊙AOD⊙⊙AOC ， ∴⊙ADO=⊙ACO. ∵AC 与⊙O 相切于点C ， ∴⊙ADO=⊙ACO=90°， 又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）解：∵CE=6， ∴OE=OD=OC=3.在Rt⊙ODB 中，BD=4，OD=3， ∴222BD OD BO += ， ∴BO=5， ∴BC=BO+OC=8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切， ∴AD=AC.在Rt⊙ACB 中， 222AC BC AB += ， 即： 2228(4)AC AC +=+ ， 解得：AC=6；16．【答案】（1）证明:如图所示,连接AD,∵AC 是圆 O 的切线，∴⊙BAE=90° ∴⊙BAD+⊙DAE=90°, ∵AB 是圆 O 的直径， ∴⊙ADB=⊙ADC=90°. ∵点 E 是 AC 的中点， ∴AE=DE. ∴⊙DAE=⊙ADE, ∴⊙BAD+⊙ADE =90°. ∵OD=OA, ∴⊙BAD=⊙ODA. ∴⊙ODA+⊙ADE =90°. 即⊙ODE=90°. ∴OD DE ⊥ .（2）解：证明:如图所示,连接OE,取OE 的中点P,连接PA,PD. 由(1)可知⊙OAE=ODE=90°, ∵点P 是OE 的中点, ∴PA=PO=PE=PD, ∴,,,O A E D 四点共圆.（3）解：当 ABC ∆ 是等腰直角三角形时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切. 理由如下:如图所示：设⊙P 为经过 ,,,O A E D 的圆. ∵ABC ∆ 是等腰直角三角形,∴AB=AC,⊙B=⊙C=45°. ∵OB=OD, ∴⊙B=⊙ODB=45°.∵O,E 分别为AB,AC 的中点， ∴OE⊙BC.∴⊙POD=⊙ODB=45°. ∵PO=PD ，∴⊙PDO=⊙POD=45°.∴⊙PDB=⊙PDO+⊙ODB =45°+45°=90°. 即PD⊙BC ， ∴BC 与圆P 相切.即当 ABC ∆ 是等腰直角三角形时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切17．【答案】（1）解：∵点A 为（6 ，0），点B 为（0，－ 2 ） ∴OA= 6OB=2∴根据Rt⊙AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB= 2 .（2）证明：根据同弧所对的圆周角相等可得：⊙ABD=⊙COD ∵⊙COD=⊙CBO ∴⊙ABD=⊙CBO ∴BD 平分⊙ABO （3）解：如图，由（2）中的角平分线可得⊙ABE⊙⊙HBE ∴BH=BA=22∴OH=2 2 － 2 =2在Rt⊙AOB 中，3OAOB=∴⊙ABO=60° ∴⊙CBO=30° 在Rt⊙HBE 中，HE=2633=∴点E 的坐标为（ 263 ， 2 ）18．【答案】（1）解：结论：DE 是⊙O 的切线．理由：∵四边形OABC是平行四边形，又∵OA=OC，∴四边形OABC是菱形，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴⊙ABO，⊙BCO都是等边三角形，∴⊙AOB=⊙BOC=⊙COF=60°，∵OB=OF，∴OG⊙BF，∵AF是直径，CD⊙AD，∴⊙ABF=⊙DBG=⊙D=⊙BGC=90°，∴四边形BDCG是矩形，∴⊙OCD=90°，∴DE是⊙O的切线．（2）①证明由（1）可知：⊙COF=60°，OC=OF，∴⊙OCF是等边三角形，∴CF=OC．②解：在Rt⊙OCE中，∵OC=12，⊙COE=60°，⊙OCE=90°，∴OE=2OC=24，EC=12 3，∵OF=12，∴EF=12，∴CF的长= 6012180π⋅=4π，∴阴影部分的周长为4π+12+12 3．19．【答案】（1）证明：∵⊙ADC=90°，DE平分⊙ADC，∴⊙ADE=⊙CDE=12⊙ADC=90°=45°，∴⊙ABE=⊙ADE=45°，∴⊙ABC是半直角三角形.（2）证明：∵四边形ABDE 是⊙M 的内接四边形， ∴⊙DEA+⊙DBA=180°，DB=DA ， ∴⊙DBA=⊙DAB ，又∵⊙DEC+⊙DEB=180°，⊙DEB=⊙DAB ， ∴⊙DBA=⊙DEB ， ∴⊙DEC+⊙DBA=180°， ∴⊙DEA=⊙DEC.（3）解：①∵点D 的坐标为（0,8），∴OM=8-R ，又∵ OM 2+OA 2=MA 2，∴ （8-R ）2+42=R 2，∴R=5 ，∴⊙M 的半径为5 ，连接ME,MA ，∴⊙EMA=90°，∴EA 2=MA 2+ME 2=25+25=50，∴2，②由（1）知⊙ADE=⊙CDE ，由（2）知⊙DEA=⊙DEC ，又∵DE=DE ，∴⊙CDE⊙⊙ADE （ASA ），∴CD=AD ，又∵OD=8，OA=OB=4，∴5又∵S⊙ABD=12.AB.OD=12.AD.h ，∴45=1655，∴ACF BCAS S =ACFABFACFS SS+ =121122AF CDAF h AF CD ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯ 45165455+ =59.20．【答案】（1）解：连接OE ，∵PA 、PB 与圆O 相切， ∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE ，BD=DE ，⊙PCD 的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12.（2）解：∵PA PB 与圆O 相切， ∴⊙OAP=⊙OBP=90°⊙P=50°，∴⊙AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在Rt⊙AOC 和Rt⊙EOC 中，OA OEOC OC =⎧⎨=⎩∴Rt⊙AOC⊙Rt⊙EOC （HL ）， ∴⊙AOC=⊙COE ， 同理：⊙DOE=⊙BOD ， ∴⊙COD=12⊙AOB=65°．。

2023年中考数学专题专练--圆与三角形的综合应用一、综合题1．如图，等边△ABC 内接于△O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM△BP 交PA 的延长线于点M ．（1）求△APC 和△BPC 的度数． （2）求证：△ACM△△BCP ．（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM 的面积2．如图， AB 是O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点E ，G 是 AC 上一点， AG ， DC 的延长线交于点F.（1）求证： FGC AGD ∠=∠ .（2）当 DG 平分 AGC ∠ ， 45ADG ∠=︒ ， 6AF =，求弦 DC 的长.3．如图，△ABD 是O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是O 外一点且△DBC=△A ，连接OE延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若 O 的半径为6，BC=8，求弦BD 的长．4．如图，四边形 ABCD 内接于△O ， AC 是△O 的直径， E 是 AB 上一点，30AEO DAC ∠=∠=︒ ，连接 BD .（1）求证： OAE CDB ≌ ；（2）连接 DE ，若 DE AB ⊥ ， 2OA = ，求 BC 的长.5．如图，在ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使得 FBC DCE ∠=∠ .（1）求证： D F ∠=∠ ；（2）请用无刻度直尺与圆规在AD 上求作一点P ，使 BPC D ∠=∠ .（保留作图痕迹，不写作法）6．如图：△ABC 是△O 的内接三角形，△ACB=45°，△AOC=150°，过点C 作△O 的切线交AB 的延长线于点D ．（1）求证：CD=CB；（2）如果△O的半径为2，求AB的长．7．如图，AB是△O的直径，弦EF△AB于点C，点D是AB延长线上一点，△A＝30°，△D＝30°．（1）求证：FD是△O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若△O的半径为2，求MF的长．8．如图，△ABC内接于△O，△B＝60°，CD是△O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB＝4+ 3，BC＝2 3，求△O的半径．OC BD，交AD于点E，9．如图，已知AB是O的直径，,C D是O上的点，//连结BC.（1）求证： AE ED = ；（2）若 10,36AB CBD =∠=︒ ，求扇形 OAC 的面积.10．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连结BD ，△BAD=105°，△DBC=75°．（1）求证：BD=CD ； （2）若圆O 的半径为3，求的长．11．如图，ABC 的外角 BAM ∠ 的平分线与它的外接圆相交于点E ，连接 BE ， CE ，过点E 作 //EF BC ，交 CM 于点D求证：（1）BE CE = ； （2）EF 为△O 的切线．12．如图，△O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA ，BE△DC 交DC 的延长线于点E ．（1）求证：△1=△BAD ； （2）求证：BE 是△O 的切线．13．如图， AB 、 AC 是O 的两条弦，且 AB AC = ，点 D 是弧BC 的中点，连接并延长 BD 、 CD ，分别交 AC 、 AB 的延长线于点 E 、 F .（1）求证： DF DE = ； （2）若 BD 6= ， CE 8= ，求O 的半径.14．如图，AB 为△O 的直径，点C 在△O 上，延长BC 至点D ，使DC=CB ，延长DA 与△O 的另一个交点为E ，连接AC ，CE ．（1）求证：△B=△D ；（2）若AB=4，BC ﹣AC=2，求CE 的长．15．如图，AB 是△O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，弦AF 与弦CD 相交于点G ，且AG CG =，过点C 作BF 的垂线交BF 的延长线于点H ．（1）判断CH 与△O 的位置关系并说明理由； （2）若24FH BF ==，，求弧CD 的长．16．已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作△O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ．（1）求证：EF是△O的切线；（2）若△O的半径为3，△EAC=60°，求AD的长．17．如图，AB为△O的直径，点E在△O上，C为BE的中点，过点C作直线CD△AE于D，连接AC、BC.（1）试判断直线CD与△O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝2，AC 6，求AB的长.18．如图，点O是矩形ABCD中AB边上的一点，以O为圆心，OB为半径作圆，△O交CD边于点E，且恰好过点D，连接BD，过点E作EF△BD.（1）若△BOD＝120°，①求△CEF的度数.②求证：EF是△O的切线.（2）若CF＝2，FB＝3，求OD的长.19．已知△O中，弦AB=AC，点P是△BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：△ACP+△ACQ=180°；（2）如图②，若△BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．（3）若△BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．⊥于点F，连接20．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF ABOF，且1AF=．（1）求证：DF是O的切线；（2）求线段OF的长度．答案解析部分1．【答案】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴△BAC=△ABC=60°， 由同弧所对的圆周角相等可得：△APC=△ABC=60°，△BPC=△BAC=60°。