最新北师大版八年级上册数学专训2 列方程组解应用题的六种常见类型

专训2列方程组解应用题的六种常见类型名师点金：1.利用二元一次方程组解应用题的主要环节是寻找题目中的等量关系，然后根据等量关系和所设的未知数列方程组．2．在实际问题中，一般涉及几个未知量，可直接设要求的未知量，也可间接设未知量，再求出要求的未知量，如何设元应从实际出发，遵循“直(接)难则间(接)”的原则．行程问题1．如图，一列快车长70 m，一列慢车长80 m，若两车同向而行，快车从追上慢车车尾到完全超过慢车所用的时间为20 s；若两车相向而行，则两车从相遇到完全离开所用的时间为4 s．求两车的速度．(第1题)2.小明从学校到县城参加运动会，如果他每时走4 km，那么走完预定时间离县城还有0.5 km；如果他每时走5 km，那么比预定时间早0.5 h就可到达县城，问学校到县城的距离是多少千米？工程问题3.甲、乙两工人同时接受一批生产任务，开始工作时，甲先花去2.5 h改装机器，以提高工作效率，因此前4 h结束时统计甲比乙少做400个零件，继续工作4 h后，全天总计甲反而比乙多做4 200个零件．问：这一天甲、乙各做了多少个零件？营销问题4．【2015·湘西州】湘西自治州风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产．若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元．(1)请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格；(2)该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需多少元？积分问题5．某次知识竞赛有20道必答题，每一道题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一道题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲、乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1道题，其余均答对．(1)甲队必答题答对的有多少道题？答错或不答的有多少道题？(2)抢答赛中，乙队抢答对了第1道题，又抢到了第2道题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了！”小汪说：“小黄的话不一定对！”请你举一例说明“小黄的话”有何不对．增长率问题6．某旅行社2015年1～5月份接待前往以福鼎太姥山、屏南白水洋、福安白云山为主要景点的宁德世界地质公园的游客5 000人.2016年比2015年同期增加40%，其中外地游客增加50%，本地游客增加10%.2015年1～5月份该旅行社接待外地游客和本地游客各多少人？图形问题7．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，如图，则10个塑料凳整齐地叠放在一起的高度是________．(第7题)8．【2015·吉林】根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．(第8题)答案1．解：设快车的速度为x m /s ，慢车的速度为y m /s ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x －20y ＝70＋80，4x ＋4y ＝70＋80.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22.5，y ＝15.所以快车的速度为22.5 m /s ，慢车的速度为15 m /s .2．解：设预定时间为x h ，学校到县城的距离为y km .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝y －0.5，5（x －0.5）＝y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝12.5. 所以学校到县城的距离为12.5 km .3．解：设甲改装机器后每时生产x 个零件，乙每时生产y 个零件．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（4－2.5）x ＝4y －400，（4＋4－2.5）x ＝（4＋4）y ＋4 200. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 000，y ＝850. 则(4＋4－2.5)x ＝11 000，(4＋4)y ＝6 800.所以这一天甲、乙各做了11 000个和6 800个零件．4．解：(1)设每盒豆腐乳x 元，每盒猕猴桃果汁y 元，由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝180，x ＋3y ＝165.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝45. 所以每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格分别为30元、45元．(2)4×30＋2×45＝210(元)．所以该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需210元．5．解：(1)设甲队必答题答对的有x 道题，答错或不答的有y 道题，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x －5y ＝170，x ＋y ＝20. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝2. 则甲队必答题答对的有18道题，答错或不答的有2道题．(2)甲队现在得分为170分，乙队现在得分为19×10－5＋10＝195(分)．若第2道题乙队抢答错误，则乙队得分为195－20＝175(分)．若第3道题甲队抢答正确，则甲队最后得分为170＋10＝180(分)，甲队获胜．所以“小黄的话”不一定对．点拨：(2)问答案不唯一．6．解：设2015年1～5月份该旅行社接待外地游客x 人，本地游客y 人．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5 000，（1＋50%）x ＋（1＋10%）y ＝5 000× （1＋40%）.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 750，y ＝1 250. 所以2015年1～5月份该旅行社接待外地游客3 750人，本地游客1 250人．点拨：解题关键是读懂题意，准确设出未知数，根据题目所给条件列方程组求解．7．50 cm8．解：设梅花鹿高x m ，长颈鹿高y m ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＝y ，y ＝3x ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝5.5. 所以梅花鹿和长颈鹿现在的高度分别为1.5 m ，5.5 m .。

八年级上册期末复习专题：二元一次方程组实际应用专练（二）1．现由A、B两种货车运输救助物资，已知3辆A车和1辆B车每次可运救助物资15吨，4辆A车和3辆B车每次可运救助物资25吨．（1）1辆A车和1辆B车一次分别可运多少吨？（2）若用A，B两种货车一次运完35吨救助物资（货车均装满），该如何安排A、B两种货车的数量？请写出所有的安排方案．2．某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，B品牌的化妆品6套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，B品牌的化妆品2套，需要450元．（1）求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别为多少元？（2）若销售1套A品牌的化妆品可获利30元，销售1套B品牌的化妆品可获利20元，根据市场需求，化妆品店老板决定，购进B品牌化妆品的数量比购进A品牌化妆品数量的2倍还多4套，且B品牌化妆品最多可购进40套，这样化妆品全部售出后，可使总的获利不少于1200元，问有几种进货方案？如何进货？3．某体育文化用品商店购进篮球和排球共200个，进价和售价如下表全部销售完后共获利润2600元．篮球排球类别价格进价（元/个）80 50售价（元/个）95 60（1）求商店购进篮球和排球各多少个？（2）王老师在元旦节这天到该体育文化用品商店为学校买篮球和排球各若干个（两种球都买了），商店在他的这笔交易中获利100元王老师有哪几种购买方案．4．工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图①），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图②），裁剪后边角料不再利用．（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？5．5G网络，是最新一代蜂窝移动通信技术，其数据传输速率远高于以前的蜂窝网络，最高可达10Gbit/s，比4G快100倍．5G手机也成为生活、工作不可缺少的移动设备，某电商公司销售两种5G手机，已知售出5部A型手机，3部B型手机的销售额为51000元；售出3部A型手机，2部B型手机的销售额为31500元．（1）求A型手机和B型手机的售价分别是多少元；（2）该电商公司在3月实行“满减促销”活动，活动方案为：单部手机满3000元减500元，满5000元减1500元（每部手机只能参加最高满减活动），结果3月A型手机的销量是B型手机的，4月该电商公司加大促销活动力度，每部A型手机按照3月满减后的售价再降a%，销量比3月增加2a%；每部B型手机按照满减后的售价再降a%，销量比3月销量增加a%，结果4月的销售总额比3月的销售总额多a%，求a的值．6．河大附中初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人．（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？（2）若租一辆A需要100元，一辆B需120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．7．某大学组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，该校美术社团计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘创作后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知美术社团从批发市场花4800元购买了黑、白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表所示：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫25 45白色文化衫20 35（1）美术社团购进黑、白文化衫各多少件？（要求列方程组解答）（2）这批文化衫手绘创作后全部售出，求美术社团这次义卖活动所获利润．8．深圳市某小区为了以崭新的面貌迎接“创文”工作，决定请甲、乙两个装饰公司对小区外墙进行装饰维护．若由甲、乙两个公司合作，需8天完成，小区需支付费用12.8万元；若由甲公司单独做4天后，剩下的由乙公司来做，还需10天才能完成，小区需支付费用12.4万元．问：甲、乙两个装饰公司平均每天收取的费用分别是多少万元？9．为保护环境的需要，电动汽车已经成为未来汽车生产和销售的大趋势，市场上各种品牌的电动汽车如雨后春笋般涌现出来．某电动汽车经销商负责销售某种品牌的A型和B型电动汽车，今年9月份共售出该品牌汽车的A型和B型电动汽车共413台，受国庆黄金周的影响，10月份该经销商售出这两种型号的汽车达到510台，其中A型和B型汽车的销量分别比9月份增长25%和20%．（1）今年10月份，该经销商销售的A型和B型汽车分别是多少台？（2）该品牌电动汽车生产厂家为了占领市场提高销量，决定对该经销商采取销售奖励活动，若A型电动汽车每台售价为10万元，B型电动汽车每台售价为12万元，奖励办法是：每销售一台A型电动汽车按每台汽车售价的a%给予奖励，每销售一台B型汽车按每台汽车售价的（a+0.2）%给予奖励，奖励办法出台后的11月份，A型汽车的销量比10月份增加了10a%，而B型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比10月份减少了20a%，如果11月份该经销商共获得奖励金额为355680元，求a的值．【参考学习：我们以后会学到这样的运算：①a（b+c）＝ab+ac，即单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式的每一项，再把所得结果相加；②（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．此题在解方程时要用到这样的运算哦！】10．某电器超市销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的空调，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售款A种型号B种型号第一周4台5台20500元第二周5台10台33500元（1）求A、B两种型号的空调的销售单价；（2）求近两周的销售利润．11．某电器商场销售进价分别为120元、190元的A、B两种型号的电风扇，如下表所示是近二周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周 5 6 2310第二周8 9 3540 （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由．12．为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远．13．现有36卷相同的布料做工作服，每卷布料可制作成上衣25件，或者制作成裤子40件，一件上衣和两件裤子组成一套，问，用多少卷布料制作上衣，多少卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套？14．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料调价前每瓶各多少元？15．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费＝180×0.6+220×二档电价+100×三档电价＝352元，李先生家5月份用电460度，交费316元．阶梯电量电价一档0﹣180度0.6元/度二档181﹣400度二档电价三档400度及以上三档电价请解答下列问题（1）若王先生家5月用电160度，则电费多少元？（2）求二档电价和三档电价分别为多少？（3）若何女士家5月用电600度，则电费多少元？16．在2月份“抗疫”期间，某药店销售A、B两种型号的口罩，已知销售800只A型和450只B型的利润为210元，销售400只A型和600只B型的利润为180元．求每只A型口罩和B型口罩的销售利润．17．某校的大学生自愿者参与服务工作，计划组织全校自愿者统一乘车去某地．若单独调配36座客车若干辆，则空出6个座位．若只调配22座客车若干辆，则用车数量将增加3辆，并有12人没有座位．（1）计划调配36座客车多少辆？该大学共有多少名自愿者？（列方程组解答）（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？18．新冠肺炎疫情期间，佩戴口罩是做好个人防护的重要举措．小明家先后两次在同一电商平台以相同的单价免邮购买了A、B两种型号的口罩．第一次购买20个A型口罩，30个B型口罩，共花费190元；第二次购买30个A型口罩，20个B型口罩，共花费160元．（1）求A、B两种型号口罩的单价；（2）“五一”期间，该电商平台举行促销活动，小明发现同样花费160元购买B型口罩，以活动价购买可以比原价多买8个，求“五一”期间B型口罩的活动价．19．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．（1）求x、y的值；（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？20．“元旦”期间，某校组织开展“班级歌咏比赛”，甲、乙班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不够100人）报名统一购买服装参加演出．下面是某服装厂给出的演出服装的价格表购买服装的套数1～50 51～100 ≥101每套服装的价格/元70 60 50如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元（1）如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么比各自购买服装总共可以节省多少钱？（2）甲、乙班各有多少学生报名参加比赛？（3）如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加演出，请你为两班设计一种省钱的购买服装方案．参考答案1．解：（1）设1辆A车一次可运x吨，1辆B车一次可运y吨，依题意，得：，解得：．答：1辆A车一次可运4吨，1辆B车一次可运3吨．（2）设应安排m辆A车，n辆B车，依题意，得：4m+3n＝35，∴n＝．又∵m，n均为正整数，∴，，．∴共有3种安排方案，方案1：安排2辆A车，9辆B车；方案2：安排5辆A车，5辆B 车；方案3：安排8辆A车，1辆B车．2．解：（1）设A品牌的化妆品每套进价为x元，B品牌的化妆品每套进价为y元，根据题意得：，解得：．答：A品牌的化妆品每套进价为100元，B品牌的化妆品每套进价为75元．（2）设购进A品牌化妆品m套，则购进B品牌化妆品（2m+4）套，根据题意得：，解得：16≤m≤18，∴共有3种进货方案：①购进A品牌化妆品16套，购进B品牌化妆品36套；②购进A 品牌化妆品17套，购进B品牌化妆品38套；③购进A品牌化妆品18套，购进B品牌化妆品40套．3．解：（1）设商店购进篮球x个，排球y个，依题意，得：，解得：．答：商店购进篮球120个，排球80个．（2）设王老师购买篮球m个，排球n个，依题意，得：（95﹣80）m+（60﹣50）n＝100，∴n＝10﹣m．∵m，n均为正整数，∴m为偶数，∴当m＝2时，n＝7；当m＝4时，n＝4；当m＝6时，n＝1．答：王老师共有3种购买方案，方案1：购进篮球2个，排球7个；方案2：购进篮球4个，排球4个；方案3：购进篮球6个，排球1个．4．解：（1）设甲种规格的纸板有x个，乙种规格的纸板有y个，依题意，得：，解得：．答：甲种规格的纸板有1000个，乙种规格的纸板有1600个．（2）1600×3÷2＝2400（个）．答：一共能生产2400个巧克力包装盒．5．解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．由题意，得，解得：，答：A型手机和B型手机的售价分别是7500元和4500元；（2）设3月B型手机的销量是m部，则A型手机的销量是m部，根据题意得，[（7500﹣1500）×（1﹣a%）][m（1+2a%）]+[（4500﹣500）×（1﹣a%）][m•（1+a%）]＝[m（7500﹣1500）+m（4500﹣500）]（1+a%），解得：a＝30或a＝0（不合题意舍去），答：a的值为30．6．解：（1）设A、B型车每辆可分别载学生x，y人，可得：，解得：，答：A、B型车每辆可分别载学生30人，40人；（2）设租用A型a辆，B型b辆，可得：30a+40b＝350，因为a，b为正整数，所以方程的解为：，方案一：A型1辆，B型8辆，费用：100×1+120×8＝1060元；方案二：A型5辆，B型5辆，费用：100×5+120×5＝1100元；方案三：A型9辆，B型2辆，费用：100×9+120×2＝1140元；所以租用1辆A型8辆B型车花费最少为1060元．7．解：（1）设美术社团购进黑文化衫x件，白文化衫y件，依题意，得：，解得：．答：美术社团购进黑文化衫160件，白文化衫40件．（2）（45﹣25）×160+（35﹣20）×40＝3800（元）．答：美术社团这次义卖活动共获得3800元利润．8．解：设甲装饰公司平均每天收取的费用为x万元，乙装饰公司平均每天收取的费用为y 万元，依题意，得：，解得：．答：甲装饰公司平均每天收取的费用为0.6万元，乙装饰公司平均每天收取的费用为1万元．9．解：（1）设9月份，该经销商销售的A型和B型汽车分别是x台和y台，根据题意得，，解得：，∴（1+25）%x＝360，（1+20）%y＝150，答：今年10月份，该经销商销售的A型和B型汽车分别是360台和150台；（2）由题意得，10×360（1+10a%）×a%+12×150（1﹣20a%）×（a+0.2）%＝35.568，解得：a＝0.6，答a的值为0.6．10．解：（1）设A型号空调的销售单价为x元，B型号空调的销售单价为y元，依题意可得：，解得：，答：A型号空调的销售单价为2500元，B型号空调的销售单价为2100元．（2）由（1）题知A型号空调的销售单价为2500元，B型号空调的销售单价为2100元，则销售总利润为：（2500﹣2000）（4+5）+（2100﹣1700）（5+10）＝10500（元）；答：近两周的销售利润为10500元．11．解：（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y 元，依题意，得：，解得：．答：A种型号的电风扇的销售单价为150元，B种型号的电风扇的销售单价为260元．（2）设再次购进A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台，依题意，得：，解得：．答：该商场能实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标，采购方案为：购进9台A 种型号的电风扇、111台B种型号的电风扇．12．解：设平路有x千米，坡路有y千米，由题意可知，解得，答：平路有千米，坡路有千米．13．解：设用x卷布料制作上衣，y卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套，依题意，得：，解得：．答：用16卷布料制作上衣，20卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套．14．解：设碳酸饮料在调价前每瓶的价格为x元，果汁饮料调价前每瓶的价格为y元，根据题意得：，解得：．答：调价前碳酸饮料每瓶的价格为3元，果汁饮料每瓶的价格为4元．15．解：（1）160×0.6＝96（元）．答：王先生家5月份应交电费96元．（2）设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度，依题意，得：，解得：．答：二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度．（3）180×0.6+220×0.7+（600﹣400）×0.9＝442（元）．答：何女士家5月份应交电费442元．16．解：设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：，解得，答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元．17．解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名自愿者，则根据题意得，解得：答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有210名自愿者．（2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据题意得：36m+22n＝210，∴又∵m、n为正整数∴，答：需调配36座新能源客车4辆，22座新能源客车3辆．18．解：（1）设A、B两种型号口罩的单价分别是x元，y元，由题意可得，解得：，答：A、B两种型号口罩的单价分别是2元，5元，（2）设五一”期间B型口罩的活动价为a元，由题意可得：a（）＝160，∴a＝4，答：五一”期间B型口罩的活动价为4元．19．解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．20．解：（1）由题意，得：6580﹣102×50＝1480（元）．即甲、乙两班联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1480元．（2）设甲班有x名，乙班y名学生准备参加演出．由题意，得：，解得：．所以，甲班有56名，乙班46名学生准备参加演出．（3）∵甲班有5人不能参加演出，∴甲班有56﹣5＝51（人）参加演出．方案①若甲、乙两班联合购买服装，则需要60×（46+51）＝5820（元），方案②甲乙各自购买服装可以节约51×60+46×70＝6280（元），方案③甲、乙两班联合购买101套服装，只需50×101＝5050（元），∵5050元＜5820元＜6280元，因此，最省钱的购买服装方案是甲、乙两班联合购买101套服装．。

专题11二元一次方程实际应用的三种考法类型一、方案问题
类型二、销售利润问题
例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；
(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
类型三、小题压轴
课后训练。

二元一次方程常见题型例1 关于x，y的二元一次方程2（n﹣3）x2|m|﹣|n|+3（m﹣2）y3|n|﹣4|m|＝2，求m+n．练1、如果（m﹣3）x+2y|m﹣2|+8＝0是关于x，y的二元一次方程，试求m的值．练2、已知关于x，y的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5．（1）当m为何值时，它是一元一次方程？（2）当m为何值时．它是二元一次方程？例2 方程x+y＝4与2x﹣3y＝3的公共解是（）A．B．C．D．练1、已知：|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，则y x的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2例3 已知是关于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝7的一个解，则a的值为（）A．5B．C．﹣D．﹣5练1、若，是二元一次方程y＝kx﹣5的一个解，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3练2、已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求a+b的值．例4 已知，关于x、y二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝13，求a的值．练1、已知关于x，y的方程组的解也满足方程4x﹣3y＝21，求k的值．练4、已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y互为相反数，求k的值．练2、若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＝4，求m的值．例5已知关于x，y的方程组和的解相同，求（3a+b）2020的值．练1、已知关于x、y的方程组与有相同的解，求a、b的值．练2、关于x、y的方程组和的解相同，求a、b的值．练3、若方程组与方程组的解相同，求m，n的值．例6解方程组时，由于粗心，小天看错了方程组中的a，得到解为，小轩看错了方程组中的b，得到解为，求方程组正确的解．练1、甲、乙两同学同时解方程组，甲看错了a，求得解为，乙看错了b，求得解为，求原方程组的解．练2、解方程组时，一同学把c看错而得到，而正确的解是，求a、b、c的值．例7 一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装102瓶，2大盒、3小盒共装72瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？练1、列方程组解应用题现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？1、已知和都是方程ax+b﹣y＝0的解，则a的值是（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝2D．a＝﹣22、已知方程组的解满足x＝y，则k的值为（）A．1B．2C．3D．43、已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b的值．4、已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程5x﹣3y＝60，求m的值？5、已知方程（2m﹣4）x m+3+（n+3）y|n|﹣2＝6是关于x，y的二元一次方程，试求m，n的值．6、某养牛场2头大牛和1头小牛一天约用饲料40kg；4头大牛和3头小牛一天约用饲料90kg；1头大牛和1头小牛一天约用饲料各多少kg？1、如果|2x﹣y﹣2|+（2x+y+10）2＝0，那么（）A．B．C．D．2、解下列二元一次方程组：（1）（2）3、已知方程组与方程组的解相同．求（2a+b）2020的值．4、已知2020（x+y）2与|y﹣1|的值互为相反数，试求：（1）求x、y值；（2）求的平方根．5、在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为；乙看错了方程组中的b而得到解为．（1）求正确的a、b值；（2）求原方程组的解．6、疫情初期，武汉物资告急，全国一心，各地纷纷运送物资到武汉．已知3辆大货车与2辆小货车可以一次运货17吨，5辆大货车与4辆小货车可以一次运货29吨，则2辆大货车与3辆小货车可以一次运货多少吨？。

北师大版八年级数学上册第五章 二元一次方程组 专题复习练习题专题一、二元一次方程组的解法一、课堂例题讲解1、选择适当的方法解二元一次方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3m －2n ＝－13，①5m ＋8n ＝1；② 解：由①，得2n ＝3m ＋13.③ 把③代入②，得5m ＋4(3m ＋13)＝1. 解得m ＝－3.把m ＝－3代入③，得2n ＝3×(－3)＋13. 解得n ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝6，①2x ＋3y ＝1.② 解：①×2，得10x ＋8y ＝12.③ ②×5，得10x ＋15y ＝5.④ ④－③，得7y ＝－7.解得y ＝－1. 把y ＝－1代入②，得 2x ＋3×(－1)＝1.解得x ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －52，①4x ＋3y ＝65；②解：把①代入②，得2(y －5)＋3y ＝65，解得y ＝15.把y ＝15代入①，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15.(4)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝19，①8x －3y ＝67.② 解：①×3，得9x ＋15y ＝57.③ ②×5，得40x －15y ＝335.④ ③＋④，得49x ＝392.解得x ＝8. 把x ＝8代入①，得3×8＋5y ＝19. 解得y ＝－1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－1.2、用整体思想解方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧x －3y 3－13＝1，①2x －x －3y 4＝5.②解：由①，得x －3y ＝4.③把③代入②，得2x －1＝5，解得x ＝3. 把x ＝3代入③，得3－3y ＝4，解得y ＝－13.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－13.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3＝0，①3（x －y ）＝7＋y.②解：由①，得x －y ＝3.③把③代入②，得3×3＝7＋y ，解得y ＝2.把y ＝2代入③，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2.二、课堂巩固训练选择适当的方法解二元一次方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝19，①4x －9y ＝－7；② 解：①×3＋②，得10x ＝50. 解得x ＝5.把x ＝5代入①，得y ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －4（x －2y ）＝5，①x －2y ＝1.② 解：将②代入①，得3x －4×1＝5.解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得3－2y ＝1.解得y ＝1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.三、课后作业训练1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝－4，m －2n ＝1的解为(A)A.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝－2B.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝2C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝－2D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝2 2．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，3x －y ＝3，则x y ＝1．3．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＋2，①x －2y ＝8；②解：把①代入②，得3y ＋2－2y ＝8， 解得y ＝6.把y ＝6代入①，得x ＝20.则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝6.(2)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝6，①3x －y ＝2.② 解：①＋②，得8x ＝8， 解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝1.则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.4．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，①x ＋4y ＝13；② 解：②×2－①，得5y ＝10， 解得y ＝2.把y ＝2代入②，得x ＝5.则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧0.3x －y ＝1，0.2x －0.5y ＝19；解：方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －10y ＝10，①2x －5y ＝190.②②×2－①，得x ＝370. 把x ＝370代入②，得y ＝110.则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝370，y ＝110.(3)⎩⎪⎨⎪⎧3（x －1）＝y ＋5，x ＋22＝y －13＋1.解：方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①3x －2y ＝－2.②①－②，得y ＝10. 把y ＝10代入①，得x ＝6.则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝10.5．先阅读，再解方程组．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，4（x ＋y ）－5（x －y ）＝2. 设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ， 则原方程组变为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 3＝6，4a －5b ＝2，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝36，4a －5b ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝1.请用这种方法解下面的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5（x ＋y ）－3（x －y ）＝16，3（x ＋y ）－5（x －y ）＝0. 解：设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则原方程组变为⎩⎪⎨⎪⎧5m －3n ＝16，3m －5n ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.专题二、利用二元一次方程组确定一次函数表达式的实际应用一、课堂例题讲解【例】 小明从家去体育场锻炼，同时，妈妈从体育场以50米/分的速度回家，小明到体育场后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以250米/分的速度折回接妈妈，并一同回家．如图是两人离家的距离y(米)与小明出发的时间x(分)之间的函数图象．(注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A ，C ，D 三点在一条直线上) (1)求线段BC 的函数表达式；(2)求点D 坐标，并说明点D 的实际意义．解：(1)因为45×50＝2 250(米)，3 000－2 250＝750(米)， 所以点C 的坐标为(45，750)．设线段BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 把(30，3 000)，(45，750)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝3 000，45k ＋b ＝750，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－150，b ＝7 500. 所以线段BC 的函数表达式为y ＝－150x ＋7 500(30≤x≤45)． (2)设直线AC 的函数表达式为y ＝k 1x ＋b 1， 把(0，3 000)，(45，750)代入y ＝k 1x ＋b 1，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3 000，45k 1＋b 1＝750，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－50，b 1＝3 000. 所以直线AC 的函数表达式为y ＝－50x ＋3 000. 因为750÷250＝3(分钟)，45＋3＝48， 所以点E 的坐标为(48，0)．所以直线ED 的函数表达式y ＝250(x －48)＝250x －12 000.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－50x ＋3 000，y ＝250x －12 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝500.所以点D 的坐标为(50，500)．点D 的实际意义：小明将在50分钟时离家500米的地方接到妈妈． 二、课堂巩固练习【跟踪训练1】 如图所示是一辆汽车行驶时油箱剩余油量y(升)关于加满油后已行驶的路程x(千米)的函数图象．求：(1)y 关于x 的函数关系式； (2)加满油时油箱中的油量．解：(1)设y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ＋b.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧400k ＋b ＝30，650k ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.1，b ＝70.所以y 关于x 的函数关系式是y ＝－0.1x ＋70. (2)当x ＝0时，y ＝－0.1×0＋70＝70. 答：加满油时油箱中的油量为70升．【跟踪训练2】 永州市是一个降水丰富的地区，今年4月初，某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨，下表是该水库4月1日～4月4日的水位变化情况：(1)请建立该水库水位y 与日期x 之间的函数模型； (2)请用求出的函数表达式预测该水库今年4月6日的水位；(3)你能用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位吗？为什么？ 解：(1)水库的水位y 随日期x 的变化是均匀的， 所以水位y 是日期x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，把(1，20)和(2，20.5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝20，2k ＋b ＝20.5.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝19.5. 所以y ＝0.5x ＋19.5.(2)当x ＝6时，y ＝3＋19.5＝22.5.所以预测该水库今年4月6日的水位为22.5米． (3)不能，理由如下： 因为12月远远大于4月，所以所建立的函数模型远离已知数据，作预测是不可靠的． 三、课后作业训练1．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y 1(单位：分钟)是关于x 的一次函数，其关系如下表：则y 1关于x 的函数表达式为y 1＝2x ＋2．2．甲、乙两列火车分别从A ，B 两城同时匀速驶出，甲车开往B 城，乙车开往A 城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距B 城的路程s 甲(千米)、s 乙(千米)与行驶时间t(时)的函数图象的一部分．(1)分别求出s 甲，s 乙与t 的函数关系式(不必写出t 的取值范围)； (2)求A ，B 两城之间的距离，及t 为何值时两车相遇？解：(1)设s 甲与t 的函数关系式是s 甲＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝420，3k ＋t ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－180，t ＝600.故s 甲与t 的函数关系式是s 甲＝－180t ＋600. 设s 乙与t 的函数关系式是s 乙＝at ， 则120＝a×1，得a ＝120.故s 乙与t 的函数关系式是s 乙＝120t. (2)将t ＝0代入s 甲＝－180t ＋600，得 s 甲＝－180×0＋600，得s 甲＝600. 令－180t ＋600＝120t ，解得t ＝2.答：A ，B 两城之间的距离是600千米，t 为2时两车相遇．3．随着生活质量的提高，人们健康意识逐渐增强，安装净水设备的百姓家庭越来越多．某厂家从去年开始投入生产净水器，生产净水器的总量y(台)与今年的生产天数x(天)的关系如图所示．今年生产90天后，厂家改进了技术，平均每天的生产数量达到30台．(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)已知该厂家去年平均每天的生产数量与今年前90天平均每天的生产数量相同，求厂家去年生产的天数．解：(1)当0≤x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧1 500＝30k ＋b ，2 100＝60k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝20，b ＝900. 则y ＝20x ＋900.当x ＞90时，由题意，得y ＝30x.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋900（0≤x≤90），30x （x ＞90）. (2)因为x ＝0时，y ＝900，所以去年的生产总量为900台．今年前90天平均每天的生产量为：(2 700－900)÷90＝20(台)，900÷20＝45(天)．答：厂家去年生产的天数为45天．4．“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m 米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图，请结合图象，解答下列问题：(1)a ＝10，b ＝15，m ＝200；(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；(3)在(2)的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？解：(2)线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝200x －1 500.线段OD 所在直线的函数表达式为y ＝120x.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝200x －1 500，y ＝120x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝2 250.所以3 000－2 250＝750(米)．答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．(3)根据题意，得|200x－1 500－120x|＝100，解得x1＝17.5，x2＝20.17．5－15＝2.5(分钟)，20－15＝5(分钟)．答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，2.5分钟和5分钟时与小军相距100米。

专训2 根据方程组中方程的特征巧解方程组名师点金：1.解二元一次方程组的常用方法是代入法和加减法，这两种方法有着不同的适用范围．2．解二元一次方程组除以上两种方法外，还有一些特殊解法．如：整体代入法、整体加减法、设辅助元法、换元法等，因此解方程组时不要急于求解，要先观察方程组的特点，因题而异，灵活选择方法，才能事半功倍．用整体代入法解方程组1．用代入消元法解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ＝12，①3x －2y ＝5.②2．解方程组：⎩⎨⎧23（2x ＋y ）＝4，①34x ＋56（2x ＋y ）＝8.②用整体加减法解方程组3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2（x ＋y ）＝－1，①3y －4（x ＋y ）＝5.②反复运用加减法解方程组4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2 017x －2 018y ＝2 016，①2 016x －2 015y ＝2 017.②用设辅助元法解方程组5．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3，①4x －3y ＝3.②6．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧＝，①＝，②x ＋y ＋z ＝60.③用换元法解方程组7．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，2（x ＋y ）－3x ＋3y ＝24.答案1．解：由②，得2y ＝3x －5，③将③代入①，得4x ＋4(3x －5)＝12，解得x ＝2.把x ＝2代入③，得y ＝12. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12.2．解：由①，得2x ＋y ＝6.③将③代入②，得34x ＋56×6＝8， 解得x ＝4.把x ＝4代入③，得2×4＋y ＝6，解得y ＝－2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 点拨：解题时要根据方程组的结构特点选择适当的代入方法，本题中，通过“整体”消元法达到简化解题过程的目的．3．解：①＋②并化简，得x ＋y ＝4.③分别把③代入①和②，得x ＝－3，y ＝7，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝7. 4．解：由①－②，得x －3y ＝－1.③由①＋②并化简，得x －y ＝1.④由③④组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－1，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 5．解：设x ＝2k ，则y ＝3k ，并代入②式，得k ＝－3.所以x ＝－6，y ＝－9.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－9. 点拨：方程缺少常数项或是关于两未知数成比例式时，可设辅助元解之．6．解：设x ＝3k ，则y ＝2k ，z ＝k ，代入③，得3k ＋2k ＋k ＝60，解得k ＝10，则x ＝30，y ＝20，z ＝10.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝20，z ＝10.7．解：令u ＝x ＋y ，v ＝x －y ，则原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧3u ＋2v ＝36，①2u －3v ＝24，②①×3＋②×2，得13u ＝156， 解得u ＝12.将u ＝12代入②，解得v ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，x －y ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝6. 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝6.。

专项集训二实数、一次函数与二元一次方程组(满分120分,时间90分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.下列四个数中最小的数是( )A.1B.0C.−√5D. -12.下列方程组中，属于二元一次方程组的是( )A.{x+5y=2,xy=7B.{2x+1y=1,3x−4y=0C.{3x=5y,x4+y3=43D.{x−2y=8,x+3z=123.下列图中分别给出了变量y与x之间的对应关系，则y与x不是函数关系的是( )4.已知两个变量x和y则y与x 之间的函数关系式可能是( )A. y=xB. y=2x+1C.y=x²+x+1D.y=3x 5.下列计算不正确的是( )Λ.3√5−√5=2√5B.√2×√3=√6C.√74=√72D.√3+√6=√3+6=√9=36.如果关于x，y的方程组{x+2y=m,x−y=4m的解是二元一次方程3x+2y=14的一组解，那么m的值是( )A.1B.-1C.2D.-27.下列说法:①π的相反数是-π;②若||x|=√6,则x=√6;③若a为实数，则a的倒数是1a;④若√x2=−x,则x<0.其中是真命题的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为( )9.已知密文和明文的对应规则为：明文a、b对应的密文为ma−nb√na+mb..例如，明文1、2对应的密文是-3，4.若密文是1，7时，则对应的明文是( )A.—1,1B.1,3C.3,1D.−110.张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱中有油25升，途中加y/升油若干升，加油前后汽车都以100千米/时的速度匀速行驶.已知油箱中的剩余油量y(升)与行驶时间t(时)之间的关系如图所示，则下列说法错误的是( )A.加油前油箱中的剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关系式是.y=−8t+25B.途中加油21升C.汽车加油后还可行驶4小时D.汽车到达乙地时油箱中还剩油 6 升二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.下列各数:−|−√5|,−(−√16),+(−1),√−83,0,(1−√8)∘,其中负实数有个.12.已知一次函数 y=mx+3中，y随x的增大而减小，写出符合题意的m的一个值 .13.若||m−n|+(m+2n−3)²=0,,则m+n的值是 .14.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简||a−√5|+√a2−2√5= .15.如图,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,正方形 OCDE 的顶点C,E,D分别在边OA,OB,AB上,则点 D的坐标为 .16.已知方程组{ax+5y=15,①4x−by=−2,②由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为{x=−3,y=−1.乙看错了方程②中的b得到方程组的解为{x=5,y=4.若按正确的a、b计算，则原方程组的解为 .17.某市出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米需付7元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收2元(不足1千米按1千米计).小王乘该市出租车从甲地到乙地共支付车费19元，那么小王乘车路程的最大值是 .18..一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小 270，则原三位数为 .三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(8分)求下列各数的平方根和算术平方根、立方根：(1)64(平方根和算术平方根)；(2)2581(平方根和算术平方根)；(3)(5³)².(立方根).20.(8分)解方程组:(1){2x+3y=5, 4x−2y=1;(2){x+z−3=0,①2x−y+2z=2,②. x−y−z=−3.③21.(10分)某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y(厘米)与观察时间x(天)的关系，并画出如图所示的图象(AC 是线段，直线CD平行于x轴).(1)该植物从观察时起，多少天以后停止长高?(2)求AC的函数表达式，并求该植物最高增长多少厘米.22.(10分)如果我们规定“*”所表示的运算为：A∗B=XΛ+B +Y(A+1)(B+1).已知1×2=3,2×3=4,,求(-3)※(-2)的值.リ23.(10分)阅读材料:一次函数.y=kx+b(k≠0),当自变量x增加1时，函数值y增加：k k(x+1)+b−(kx+b)=k;当自变量x增加2时，函数值y增加：k(x+2)+b−(kx+b)=2k;当自变量x增加3时，函数值y增加：k(x+3)+b−(kx+b)=3k;……归纳：①一次函数中常数k的意义是自变量x增加1时，函数y的变化值；②反之，若函数值y随自变量x 均匀变化，则y与x是一次函数关系.根据上述材料解答：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2014个图中共有多少枚棋子?24.(12分)楚水中学组织七年级学生到大纵湖开展综合实践活动.原计划租用45 座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满.已知45 座客车每日租金为每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元，试问：(1)七年级人数是多少?原计划租用45 座客车多少辆?(2)若租用同一种车，且每位同学都有座位，怎样租用合算?专项集训二 实数、一次函数与二元一次方程组1. C2. C3. B4. B5. D6. C7. A8. D9. C 10. C11.3 12.答案不唯一,m<0的任意实数,如-2,- √7等13.2 14. - √5 15.(2,2) 16 {x =14,y =295 17.9 千米18.635 19.解(1)平方根是±8,算术平方根是8;(2)平方根是 ±59,算术平方根是 59; (3)25.20.解(1)①×2,得4x+6y=10. ③③-②,得8y=9 解得 y =98,把 y =98代入①得 2x +3×98=5. 解得 x =1316.故该方程组的解为 {x =1316,y =98.(2)②-③得:x+3z=5④, ④-①得:2z=2,即z=1, 把z=1代入④得:x=2,把z=1,x=2代入③得:y=4,则该方程组的解为 {x =2,y =4,z =1.21.解(1)根据题目图象可知，该植物从观察时起50天后停止长高；(2)设AC 的函数表达式是.y=kx+b,则 {b =6,30k +b =12,解得 {k =15b =6.所以AC 的函数表达式是 y =15x +6(0≤x ≤50). 当x=50时, y =15×50+6=16. 16-6=10.所以该植物最高增长10 厘米.22.解 根据题意，得 {X3+Y 6=3,X5+Y 12=4,解得 {X =75,Y =−132. 所以 (−3)∗(−2)=75−5+−132(−3+1)(−2+1)=−81.23.解因为相邻两个图形棋子个数依次增加3，即棋子个数与图形个数均匀变化，所以棋子个数y 与图形个数x 是一次函数关系.设 y =kx +b,,因为x 增加1,y 增加3,所以k=3.所以y=3x+b把(1,4)代入y=3x+b,解得b=1.所以y=3x+1.当x=2014时,y=3×2014+1=6043.所以第2014个图形中有6043枚棋子.24.解(1)设七年级人数为x，原计划租用45座客车y辆.根据题意，得{45y+15=x,60(y−1)=x.解得{x=240,y=5.所以七年级有240人，原计划租用45座客车5辆.(2)租用6辆45座客车的租金为(6×220=1320(元).租用4辆60座客车的租金为4×300=1200(元).所以租用4辆60座客车更合算.。

二元一次方程组知识总结及训练◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n ）的值．【分析】由方程组的解的定义可知21x y =⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21x y =⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程．例2 （2008，长沙市）“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．例3 （2006，海南）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 （2004，昆明市）为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+12x+1=11.8； （2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解． 【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3． 由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得x=2.4．则3x=7.2，x+1=2.2．答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得：30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩答：每辆A 型汽车每次运土石10t ，每辆B 型汽车每次运土石15t ．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．◆强化训练一、填空题1．若2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____．2．在式子3m+5n －k 中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．3．若方程组026ax y x by +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=-⎩，则a+b=_______．4．已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x ，y ，其和x+y=1，则k_____． 5．已知x ，y ，t 满足方程组23532x t y t x=-⎧⎨-=⎩，则x 和y 之间应满足的关系式是_______．6．（2008，宜宾）若方程组2x y b x by a +=⎧⎨-=⎩的解是10x y =⎧⎨=⎩，那么│a －b │=_____． 7．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．8．（2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：00用电每千瓦时0.55元（“峰电”价），21：00至次日8：00•用电每千瓦时0.30元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，•五月份用电量为300kW ·h ，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW ·h ．二、选择题9．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知x ay b=⎧⎨=⎩是方程组||223xx y=⎧⎨+=⎩的解，则a+b的值等于（）A．1 B．5 C．1或5 D．0 11．已知│2x－y－3│+（2x+y+11）2=0，则（）A．21xy=⎧⎨=⎩B．3xy=⎧⎨=-⎩C．15xy=-⎧⎨=-⎩D．27xy=-⎧⎨=-⎩12．在解方程组278ax bycx y-=⎧⎨+=⎩时，一同学把c看错而得到22xy=-⎧⎨=⎩，正确的解应是32xy=⎧⎨=⎩，那么a，b，c的值是（）A．不能确定B．a=4，b=5，c=－2C．a，b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7，c=213．（2008，河北）如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，•每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A．20g B．25g C．15g D．30g14．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货，则可列方程组（）A．452710327x yx y+=⎧⎨-=⎩B．452710320x yx y-=⎧⎨+=⎩C．452710320x yx y+=⎧⎨+=⎩D．427510203x yx y-=⎧⎨-=⎩15．七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，•这时男女同学之比为5：3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）A．39名B．43名C．47名D．55名16．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，•捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组．（）A．272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C．273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D．2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩17．甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则ah相遇；若同向而行，则bh甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度为（）A．a bb+倍B．ba b+倍C．b ab a+-倍D．b ab a-+倍18．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，•信封个数分别为（）A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150三、解答题19．解下列方程组：（1）（2008，天津市）35821x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）（2005，南充市）271132x yyx-=⎧⎪⎨--=⎪⎩20．（2008，山东省）为迎接2008年奥运会，•某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，•已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，•生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，•如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？21．（2008，重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A，B，C三地现在分别有赈灾物资00t，100t，80t，需要全部运往四川重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t．（1）求这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60t，A地运往D县的赈灾物资为xt（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t．则A，B•两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案：（3）已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如表所示：为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？22．（2003，常州市）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？。

北师大版八年级上册数学知识点一、内容简述北师大版八年级上册数学知识点涵盖了代数、几何、函数等多个数学分支的核心内容。

主要内容包括实数的基本性质，代数式的运算与化简，一次方程与不等式的解法，二次方程的概念与求解方法，图形的性质与证明等。

还涉及函数及其图像的基础概念，以及坐标系的运用等知识点。

这些知识点是学生进行数学运算和问题解决的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力具有重要的作用。

在学习过程中，学生将通过掌握这些知识点，为后续的数学学习奠定坚实的基础。

1. 介绍北师大版八年级上册数学教材的基本情况。

北师大版八年级上册数学教材是一套系统性、科学性的教学资料，主要针对八年级学生的数学学习需求进行设计和编排。

该教材注重知识的连贯性和系统性，同时融入了大量的实际案例和生活情境，旨在帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

教材内容丰富，涵盖了代数、几何、函数等多个数学领域的基础知识和核心概念。

其基本情况包括教材的篇章结构、知识点分布以及特色教学方法等，为后续详细阐述知识点提供了背景和基础。

2. 强调掌握数学知识点的重要性，为后续学习奠定基础。

掌握数学知识点是学习数学的基础，特别是在八年级上册这个阶段，数学知识点的学习显得尤为重要。

这一阶段的学习为后续学习奠定基石，对于后续的数学课程学习具有至关重要的意义。

只有掌握了扎实的基础知识和基本技能，学生才能更好地理解和掌握更高层次的数学知识。

学生需要认真对待八年级上册数学课程中的每一个知识点，不断加深对它们的理解和掌握程度，以便为未来的数学学习打下坚实的基础。

通过学习这些知识点，学生的数学思维能力和解决问题的能力也会得到提高，从而为其后续学习和未来的职业发展奠定坚实的基础。

二、数与代数数的认识：复习并扩展对有理数和无理数的理解，包括整数的性质，分数的运算，以及实数的概念。

理解数的绝对值，比例和百分数等概念。

代数表达式与等式：学习代数式的概念，包括代数式的加减乘除运算，以及代数式的简化。

专题5.4求解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】代入消元法解二元一次方程组代入消元法：（1）定义：将其中一个方程组中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程组，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.（2）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：步骤具体做法目的注意事项（1）变形选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为x=ax+b（或x=ay+b）（a,b 是常数,a≠0）的形式一般选未知数系数比较简单的方程变形（2）代入把y=ax+B（或x=ay+b）代入另一个没有变形的方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程变形后的方程只能代入另一个方程（或另一个方程变形后的方程）（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号（4）回代把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或x=ay+b）的形式，其中a,b 为常数,a≠0.用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程求解，否则只能得到一个恒等式，并不能求出方程组的解.【知识点2】加减消元法解二元一次方程组1.加减消元法的定义通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤步骤具体做法目的注意事项（1）变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数.使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数.给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘（2）代入两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程把两个方程相加（减）时，一定要把两个方程两边分别相加（减）.（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值（4）回代把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程求出另一个未知数的值回代时选择系数较简单的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：1.两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑用加减消元法.2.如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系.3.用加减法时，一般选择系数比较简单（同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系）的未知数作为消元对象.【考点目录】【考点1】代入消元法解二元一次方程组；【考点2】加减消元法解二元一次方程组；【考点3】同解方程组；【考点4】整体思想解二元一次方程组；【考点5】求解二元一次方程组——错题复原问题；【考点6】求解二元一次方程组——参数问题；【考点7】构造二元一次方程组求解。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯八年级上册期末考点集训：解方程、实数运算、函数实际应用（一）一．解二元一次方程组1．解方程组（1）（2）2．用适当的方法解下列方程组（1）（2）3．解方程组：（1）；（2）；4．解方程组（1）（2）5．解方程组：（1）（2）二．实数混合运算6．计算：（1）×+（2）2﹣6+7．（1）（2）8．计算：（1）﹣|2﹣|﹣（2）（1﹣2）（1+2）﹣（﹣1）29．计算（1）3﹣（+）（2）÷﹣×+10．计算：（1）4+﹣+4；（2）（﹣2）2++6．三．一次函数实际应用11．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙．（2）求m的值．（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．12．端午节期间，小刚一家乘车去离家380km的某地游玩，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的三段函数图象如图所示：（1）汽车在OA段与BC段哪段行驶的速度较快？（2）求线段AB对应的函数解析式；（3）小刚一家出发1.5小时时离目的地多远？13．一客车一出租车分别从甲乙两地相向而行同时出发，设客车离甲地距离为y1千米，出租车离甲地距离为y2千米，两车行驶的时间为小时，y1、y2关于的函数图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的关系式；（2）求经过多少小时，两车之间的距离为120千米？14．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步，然后改为步行，到达图书馆恰好用45min：小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．（1）家与图书馆之间的路程为m，小东从图书馆到家所用的时间为．（2）求小玲步行时y与x之间的函数关系式．（3）求两人相遇的时间．15．已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．参考答案1．解：（1），①﹣②×4得：11y＝﹣11，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入②得：x＝2，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①×2﹣②得：3y＝9，解得：y＝3，把y＝3代入①得：x＝5，则方程组的解为．2．解：（1），①×2﹣②得：7x＝35，解得：x＝5，把x＝5代入①得：y＝0，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①×2+②得：11x＝22，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝3，则方程组的解为．3．解：（1），由①，可得：x＝3y+1③，③代入②，可得：2（3y+1）﹣y＝17，解得y＝3，把y＝3代入③，解得x＝10，∴原方程组的解是．（2）由，可得：，①×2+②×7，可得30x＝50，解得x＝，把x＝代入①，解得y＝﹣，∴原方程组的解是．4．解：（1）①×3+②，得23x＝46，解得：x＝2，把x＝2代入①得：12+3y＝﹣3，解得：y＝﹣5，所以原方程组的解是：；（2）①×3﹣②×2，得11x＝11∴x＝1把x＝1代入①，得5﹣2y＝1解得y＝2所以原方程组的解是：．5．解：（1），①×2+②得：7x＝﹣7，解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入②得：y＝﹣，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①×2﹣②得：9x＝12，解得：x＝，把x＝代入①得：y＝﹣，则方程组的解为．6．解：（1）原式＝+4＝3+4＝7；（2）原式＝4﹣6+4＝2．7．解：（1）原式＝12﹣3+﹣1；（2）原式＝2﹣3＝2﹣3．8．解：（1）原式＝5﹣2++3＝6+；（2）原式＝1﹣（2）2﹣（3﹣2+1）＝1﹣12﹣4+2＝﹣15+2．9．解：（1）原式＝3﹣2﹣＝；（2）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+．10．解：（1）原式＝4+3﹣2+4＝7+2；（2）原式＝3﹣4+4+2+2＝7．11．解：（1）由图可得，，解得，，答：甲的速度是60km/h乙的速度是80km/h；（2）m＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70，即m的值是70；（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）＝，若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5﹣＝（小时）两车相遇，即若甲车没有故障停车，可以提前小时两车相遇．12．解：（1）OA段汽车行驶的速度为：80÷1＝80（km/h），BC段汽车行驶的速度为：（380﹣320）÷1＝60（km/h），60km/h＜80km/h，故汽车在OA段行驶的速度较快；（2）设AB段图象的函数表达式为y＝kx+b．∵A（1，80），B（3，320）在AB上，∴，解得：，∴y＝120x﹣40（1≤x≤3）；（3）当x＝1.5时，y＝120×1.5﹣40＝140，380﹣140＝240（km）．故小刚一家出发1.5小时时离目的地240km远，13．解：（1）设y1＝k1x，由图可知，函数图象经过点（10，600），∴10k1＝600，解得：k1＝60，∴y1＝60x（0≤x≤10），设y2＝k2x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则，解得，∴y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（2）两车相遇前，两车之间的距离为120千米，60x+100x+120＝600，解得x＝3；两车相遇后，两车之间的距离为120千米，60x+100x﹣120＝600，解得x＝4.5，综上所述，经过3小时或4.5小时，两车之间的距离为120千米．14．解：（1）由图可得，家与图书馆之间的路程为6000m，小东从图书馆到家所用的时间为：（min），故答案为：6000，20min；（2）设小玲步行时y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，，解得，即小玲步行时y与x之间的函数关系式是y＝100x+1500；（3）当0≤x≤15时，小玲的速度为3000÷15＝200（m/min），令200x+300x＝6000，得x＝12，∵12＜15，∴两人在第12min相遇，答：两人相遇的时间是第12min．15．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

实质问题与二元一次方程组题型概括种类一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，假如甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；假如乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式 2】两地相距 280 千米，一艘船在此间航行，顺水用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。

种类二：列二元一次方程组解决——工程问题【变式】小明家准备装饰一套新住宅，若甲、乙两个装饰企业合作 6 周达成需工钱 5.2 万元；若甲企业独自做 4 周后，剩下的由乙企业来做，还需9周达成，需工钱万元.若只选一个企业独自达成，从节俭开销的角度考虑，小明家应选甲企业仍是乙企业？请你说明原因.种类三：列二元一次方程组解决——商品销售收益问题【变式 1】（2011 湖南衡阳）李大叔昨年承包了 10 亩地栽种甲、乙两种蔬菜，共赢利 18000 元，此中甲种蔬菜每亩赢利 2000 元，乙种蔬菜每亩赢利 1500 元，李大叔昨年甲、乙两种蔬菜各样植了多少亩？【变式 2】某商场用36 万元购进A、B 两种商品，销售完后共赢利 6 万元，其进价和售价以下表：A B进价（元 / 件）12001000售价（元 / 件）13801200（注：赢利 = 售价—进价）求该商场购进A、B 两种商品各多少件；种类四：列二元一次方程组解决——银行积蓄问题【变式 1】李明以两种形式分别积蓄了2000 元和 1000 元，一年后所有拿出，扣除利息所得税可得利息元 . 已知两种积蓄年利率的和为 3.24%，问这两种积蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额× 20%）法二：也可用二元一次方程组解。

【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹办上高中的花费，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 . 第一种，一年期整存整取，共频频存了 3 次，每次存款数都同样，这类存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整存整取，这类存款银行年利率为 2.70%. 三年后同时拿出共得利息 303.75 元( 不计利息税 ) ，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？种类五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完好盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，能够正好制成一批完好的盒子？【变式 2】某工厂有工人60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每日生产螺栓14 个或螺母 20 个，应分派多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母恰巧配套。