1-1集合的基本概念和运算-板块1.题库
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集合与运算的基本概念与性质一、集合的基本概念1.集合的定义:集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
2.集合的表示方法:用大括号{}括起来,里面列出集合中的元素,如集合A={1,2,3}。
3.集合的元素:集合中的每一个对象称为集合的元素。
4.空集:不含有任何元素的集合,用符号∅表示。
5.集合的性质:a.确定性:集合中的元素是确定的,不存在模糊不清的情况。
b.互异性:集合中的元素是互不相同的。
c.无序性:集合中的元素排列顺序不影响集合的本质。
二、集合的运算1.并集:两个集合A和B的并集,记作A∪B,包含所有属于A或属于B的元素。
2.交集:两个集合A和B的交集,记作A∩B,包含所有同时属于A和属于B的元素。
3.补集:对于全集U,集合A的补集,记作A’,包含所有不属于A的元素。
4.运算法则:a.交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩Ab.结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)c.分配律:A(B∪C)=(AB)∪(AC),A(B∩C)=(AB)∩(AC)三、集合的其他概念1.子集:如果集合A的所有元素都是集合B的元素,那么集合A是集合B的子集,记作A⊆B。
2.超集:如果集合A包含集合B的所有元素,那么集合A是集合B的超集,记作A⊇B。
3.真子集:如果集合A是集合B的子集,并且A不等于B,那么A是B的真子集,记作A⊊B。
4.空集的特殊性质:空集是任何集合的子集,也是任何集合的超集。
四、整数的运算1.加法:两个整数相加,得到它们的和。
2.减法:一个整数减去另一个整数,得到它们的差。
3.乘法:两个整数相乘,得到它们的积。
4.除法:一个整数除以另一个整数(不为0),得到它们的商。
5.幂运算:一个整数的n次幂,表示这个整数连乘n次。
五、实数的运算1.加法:两个实数相加,得到它们的和。
2.减法:一个实数减去另一个实数,得到它们的差。
3.乘法:两个实数相乘,得到它们的积。
4.除法:一个实数除以另一个实数(不为0),得到它们的商。
集合的基本概念与运算方法在数学中,集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义:集合通常用大写字母表示,集合内的元素用逗号分隔,并放在大括号中。
例如,集合A可以表示为:A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素:一个集合由若干个元素组成,元素是集合的基本单位。
例如,集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集:若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B,则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如,集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合:若两个集合A和B拥有相同的元素,则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集:若A和B为两个集合,他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如,集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集:若A和B为两个集合,他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如,集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集:设U为全集,若A为一个集合,则相对于全集U,A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如,集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集:若A和B为两个集合,他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如,集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集:若两个集合A和B的交集为空集,则称它们为互斥集。
高一数学同步测试(1)—集合的概念与运算一、选择题:1.集合{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是 ( )A .32B .31C .16D .152.如果集合A={x |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是( )A .0B .0 或1C .1D .不能确定 3.设集合{}32|≤=x x M ,a x sin 11+=其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ,则下列关系中正确的是( )A .a ≠⊂MB .M a ∉C .{}M a ∈D .{}a ≠⊂M4.设集合A={x |1<x <2},B={x |x <a }满足A≠B,则实数a 的取值范围是 ( )A .[)+∞,2B .(]1,∞-C .[)+∞,1D .(]2,∞-5.满足{1,2,3} ≠⊂M ≠⊂{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是( )A .8B .7C .6D .56.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A C I ∪B C I = ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,1,4}D .{0,1,2,3,4}7.集合A={a 2,a +1,-1},B={2a -1,| a -2 |, 3a 2+4},A∩B={-1},则a 的值是( ) A .-1 B .0 或1 C .2 D .0 8.已知集合M={(x ,y )|4x +y =6},P={(x ,y )|3x +2y =7},则M∩P 等于 ( )A .(1,2)B .{1}∪{2}C .{1,2}D .{(1,2)}9.设集合A={x |x ∈Z 且-10≤x ≤-1},B={x |x ∈Z 且|x |≤5 },则A∪B 中元素的个数为 ( ) A .11B .10C .16D .1510.已知全集I =N ,集合A ={x |x =2n ,n ∈N},B ={x |x =4n ,n ∈N},则 ( )A .I =A∪BB .I =AC I ∪B C .I =A∪B C ID .I =A C I ∪B C I11.设集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则 ( )A .M =NB .N M ⊂C .N M ⊃D .M ∩=N12.集合A={x |x =2n +1,n∈Z}, B={y |y =4k ±1,k ∈Z},则A 与B 的关系为( )A .A ≠⊂B B .A ≠⊃B C .A=BD .A≠B二、填空题:13.设集合U ={(x ,y )|y =3x -1},A ={(x ,y )|12--x y =3},则C U A = . 14.集合M={a |a-56∈N,且a ∈Z},用列举法表示集合M=_____ ___. 15.设含有10个元素的集合的全部子集数为S ,其中由3个元素组成的子集数为T ,则T/S的值为 .16.设A={x |x 2+x -6=0},B={x |mx +1=0},且A∪B=A,则m 的取值范围是 . 三、解答题:17.已知集合A ={x |-1<x <3},A ∩B =∅,A ∪B =R ,求集合B .18.已知集合A ={x |1≤x <4},B ={x |x <a };若A B ,求实数a 的取值集合.19.已知集合A={-3,4},B={x |x 2-2px +q =0},B≠φ,且B ⊆A ,求实数p ,q 的值.20.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0} ,A∩B=B,求实数a的值.21.已知集合A={x∈R|x2-2x-8=0},B={x∈R|x2+ax+a2-12=0},B A,求实数a的取值集合.22.集合A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x +6=0},C ={x |x 2+2x -8=0}.(1)若A ∩B =A ∪B ,求a 的值; (2)若∅A ∩B ,A ∩C =∅,求a 的值.参考答案一、选择题:ABDAC CDDCC BC二、填空题:13.{(1,2)},14.{}4,3,2,1-,128 ,16.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,31.三、解答题:17.解析:由A ∩B =∅及A ∪B =R 知全集为R ,C R A =B ,故B =C R A ={x |x ≤-1或x ≥3}.18.解析: 将数集A 表示在数轴上(如图),要满足A B ,表示数a 的点必须在4或4的右边,所求a 的取值集合为{a |a ≥4}.19.解析:若B={}⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=∆=++∴⊆-93044069,32q p q p q p A B 则 若B ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=∆=+-∴⊆=1640440816,},4{2q p q p q p A B 则 ,若B={-3,4}则A B ⊆则⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+-=++122116493.12210816069q p q p q p q p q p q p 或或 20.解析:A={0,-4} 又.A B B B A ⊆∴=⋂(1)若B=φ,则0)]1()1[(4:,001)1(22222<--+<∆=-+++a a a x a x 于是的,.1-<∴a(2)若B={0},把x =0代入方程得a =.1±当a =1时,B={}⎩⎨⎧-=∴=-=≠∴≠-==.1},0{,1.1},0{4,0,1a B a a B a 时当时当 (3)若B={-4}时,把x =-4代入得a =1或a =7. 当a =1时,B={0,-4}≠{-4},∴a ≠1.当a =7时,B={-4,-12}≠{-4}, ∴a ≠7.(4)若B={0,-4},则a =1 ,当a =1时,B={0,-4}, ∴a=1综上所述:a .11=-≤a 或 21.解析: A ={-2,4},∵B ⊆A ,∴B =∅,{-2},{4},{-2,4}若B =∅,则a 2-4(a 2-12)<0,a 2>16,a >4或a <-4若B ={-2},则(-2)2-2a +a 2-12=0且Δ=a 2-4(a 2-12)=0,解得a =4.若B ={4},则42+4a +a 2-12=0且Δ=a 2-4(a 2-12)=0,此时a 无解; 若B ={-2,4},则⎩⎨⎧⨯-=--=-4212242a a∴a =-2综上知,所求实数a 的集合为{a |a <-4或a =-2或a ≥4}. 22.解析: 由已知,得B ={2,3},C ={2,-4}.(1)∵A ∩B =A ∪B ,∴A =B于是2,3是一元二次方程x 2-ax +a 2-19=0的两个根,由韦达定理知:⎩⎨⎧-=⨯=+1932322a a解之得a =5. (2)由A ∩B ∅A ⇒∩≠B ,又A ∩C =∅,得3∈A ,2∉A ,-4∉A ,由3∈A ,得32-3a +a 2-19=0,解得a =5或a =-2当a =5时,A ={x |x 2-5x +6=0}={2,3},与2∉A 矛盾;当a =-2时,A ={x |x 2+2x -15=0}={3,-5},符合题意. ∴a =-2.。
1 集合的概念与运算(一)目标: 1.理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法.重点: 1.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用.基本知识点:知识点1、集合的概念(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{}Λ,2,1,0=N(2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N (3)整数集:全体整数的集合记作Z , {}Λ,,,210±±=Z(4)有理数集:全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q(5)实数集:全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0(2)非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z *知识点3、元素与集合关系(隶属)(1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A(2)不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉注意:“∈”的开口方向,不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可(2)互异性:集合中的元素没有重复(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)知识点5、集合与元素的表示:集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1:1、下列各组对象能确定一个集合吗?(1)所有很大的实数 (不确定)(2)好心的人 (不确定)(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)2、设a,b 是非零实数,那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,-x,|x |,332,x x -所组成的集合,最多含( A )(A )2个元素 (B )3个元素 (C )4个元素 (D )5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a +b 2(a ∈Z, b ∈Z )的数,求证:(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ,y ∈G ,则x +y ∈G ,而x1不一定属于集合G 证明(1):在a +b 2(a ∈Z, b ∈Z )中,令a=x ∈N,b=0,则x= x +0*2= a +b 2∈G,即x ∈G证明(2):∵x ∈G ,y ∈G ,∴x= a +b 2(a ∈Z, b ∈Z ),y= c +d 2(c ∈Z, d ∈Z )∴x+y=( a +b 2)+( c +d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ,又∵211b a x +==2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数, ∴211b a x +==2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法:(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合例如,由方程012=-x 的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1}注:(1)有些集合亦可如下表示:从51到100的所有整数组成的集合:{51,52,53, (100)所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…}(2)a 与{a}不同:a 表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素(2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式:{x ∈A| P (x )}含义:在集合A 中满足条件P (x )的x 的集合例如,不等式23>-x 的解集可以表示为:}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为:}|{是直角三角形x x注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分如:{直角三角形};{大于104的实数}(2)错误表示法:{实数集};{全体实数}(3)、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考:何时用列举法?何时用描述法?⑴有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法如:集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描述法 如:集合}1|),{(2+=x y y x ;集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗?答:不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合,集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2:1、用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2,-4,-6,-8,-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1,3,5,15}②{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}{(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}注:防止把{(1,2)}写成{1,2}或{x=1,y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1,1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {(0,8)(2,5),(4,2)}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}3、关于x 的方程ax +b=0,当a,b 满足条件____时,解集是有限集;当a,b 满足条件_____时,解集是无限集4、用描述法表示下列集合:(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升:1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+,其中a R ∈, ⑴若3A -∈,求实数a 的值;⑵当a 为何值时,集合A 的表示不正确。
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C,…表示,元素常用小写字母a、b、c,…表示。
2.集合中元素的属性(1)确定性:一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合,绝无模棱两可的情况。
(2)互异性:集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能出现一次。
(3)无序性:集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系(1)元素a是集合A中的元素,记做a∈A,读作“a属于集合A”;(2)元素a不是集合A中的元素,记做a∉A,读作“a不属于集合A”。
4.集合相等如果构成两个集合的元素一样,就称这两个集合相等,与元素的排列顺序无关。
二集合的分类1.有限集:集合中元素的个数是可数的,只含有一个元素的集合叫单元素集合;2.无限集:集合中元素的个数是不可数的;3.空集:不含有任何元素的集合,记做∅.三集合的表示方法1.常用数集(1)自然数集:又称为非负整数集,记做N;(2)正整数集:自然数集内排除0的集合,记做N+或N※;(3)整数集:全体整数的集合,记做Z(4)有理数集:全体有理数的集合,记做Q(5)实数集:全体实数的集合,记做R3.集合的表示方法(1)自然语言法:用文字叙述的形式描述集合。
如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。
(2)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法,一般适用于元素个数不多的有限集,简单、明了,能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项:①元素间用逗号隔开;②元素不能重复;③元素之间不用考虑先后顺序;④元素较多且有规律的集合的表示:{0,1,2,3,…,100}表示不大于100的自然数构成的集合。
(3)描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,一般形式是{x∈I | p(x)}.注意事项:①写清楚该集合中元素的代号;②说明该集合中元素的性质;③不能出现未被说明的字母;④多层描述时,应当准确使用“且”、“或”;⑤所有描述的内容都要写在集合符号内;⑥语句力求简明、准确。
重难点01 集合概念与运算1.集合的有关概念(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。
(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∉A。
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法。
(4)五个特定的集合:集合非负整数集(或自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N+Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA⊂B或B⊃A 相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A=B 空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⊂B且B≠∅3.集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪B A∪B={x|x∈A,或x∈B}集合的交集 A ∩ BA ∩B ={x |x ∈A ,且x ∈B }集合的补集若全集为U ,则集合A 的补集为∁U A∁U A ={x |x ∈U ,且x ∉A }4.集合基本运算的性质 (1)A ∩A =A ,A ∩∅=∅。
(2)A ∪A =A ,A ∪∅=A 。
(3)A ∩(∁U A )=∅,A ∪(∁U A )=U ,∁U (∁U A )=A 。
(4)A ⊆B ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )=∅。
2023年高考中仍将与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算,也可能考查集合的并集、补集运算,依然放在前2题位置,难度为基础题.(建议用时:20分钟)一、单选题1.设集合{1,3,5,7}A =,{|25}B x x =≤≤,则A B =( )(A ){1,3}(B ){3,5}(C ){5,7}(D ){1,7}2.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则C U B A =( )A. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,73.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,集合{}2,3,5,6A =,集合{}1,3,4,6,7B =,则集合UAB =A .{}2,5B .{}3,6C .{}2,5,6D .{}2,3,5,6,8 4.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A . [0,2] B .(1,3) C . [1,3) D . (1,4)5.设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<,集合{|13}B x x =<<,则A BA .{|13}x x -<<B .{|11}x x -<<C .{|12}x x <<D .{|23}x x <<6.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ,则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,4 7.设集合}034|{2<+-=x x x A ,}032|{>-=x x B ,则B A = A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.3(,3)28.已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x y -∈A },则B 中所含元素的个数为A .3B .6C .8D .109.已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且(){4}UA B =,{1,2}B =,则UAB =A .{3}B .{4}C .{3,4}D .∅10.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=.若{}1AB =,则B =A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,5 11.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ⋂=( )A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<12.已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =A .{}|0x x ≤B .{}|24x x ≤≤C . {}|024x x x ≤<>或D .{}|024x x x <≤≥或13.集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______.14.已知集合A ={x |y =x 2},B ={y |y =x 2},C ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B =________,A ∩C =________。
高一数学同步测试(1)—集合的概念与运算一、选择题:1.集合{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是 ( )A .32B .31C .16D .152.如果集合A={x |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是( ) A .0 B .0 或1 C .1 D .不能确定 3.设集合{}32|≤=x x M ,a x sin 11+=其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ,则下列关系中正确的是( )A .a ≠⊂MB .M a ∉C .{}M a ∈D .{}a ≠⊂M4.设集合A={x |1<x <2},B={x |x <a }满足A ≠B ,则实数a 的取值范围是 ( )A .[)+∞,2B .(]1,∞-C .[)+∞,1D .(]2,∞-5.满足{1,2,3} ≠⊂M ≠⊂{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是( )A .8B .7C .6D .56.设全集I={0,1,2,3,4},集合A ={0,1,2,3},集合B ={2,3,4},则A C I ∪B C I = ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,1,4}D .{0,1,2,3,4}7.集合A={a 2,a +1,-1},B={2a -1,| a -2 |, 3a 2+4},A ∩B={-1},则a 的值是( ) A .-1 B .0 或1 C .2 D .0 8.已知集合M={(x ,y )|4x +y =6},P={(x ,y )|3x +2y =7},则M ∩P 等于 ( )A .(1,2)B .{1}∪{2}C .{1,2}D .{(1,2)} 9.设集合A={x |x ∈Z 且-10≤x ≤-1},B={x |x ∈Z 且|x |≤5 },则A ∪B 中元素的个数为 ( ) A .11B .10C .16D .1510.已知全集I =N ,集合A ={x |x =2n ,n ∈N},B ={x |x =4n ,n ∈N},则 ( )A .I =A ∪BB .I =AC I ∪BC .I =A ∪B C ID .I =A C I ∪B C I11.设集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则( )A .M =NB .N M ⊂C .N M ⊃D .M ∩=N12.集合A={x |x =2n +1,n ∈Z}, B={y |y =4k ±1,k ∈Z},则A 与B 的关系为( )A .A ≠⊂B B .A ≠⊃B C .A=B D .A ≠B二、填空题:13.设集合U ={(x ,y )|y =3x -1},A ={(x ,y )|12--x y =3},则C U A = .14.集合M={a |a-56∈N ,且a ∈Z},用列举法表示集合M=_____ ___.15.设含有10个元素的集合的全部子集数为S ,其中由3个元素组成的子集数为T ,则T/S的值为 .16.设A={x |x 2+x -6=0},B={x |mx +1=0},且A ∪B=A ,则m 的取值范围是 . 三、解答题:17.已知集合A ={x |-1<x <3},A ∩B =∅,A ∪B =R ,求集合B .18.已知集合A ={x |1≤x <4},B ={x |x <a };若A B ,求实数a 的取值集合.19.已知集合A={-3,4},B={x |x 2-2px +q =0},B ≠φ,且B ⊆A ,求实数p ,q 的值.20.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0} ,A∩B=B,求实数a的值.21.已知集合A={x∈R|x2-2x-8=0},B={x∈R|x2+ax+a2-12=0},B A,求实数a的取值集合.22.集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若A∩B=A∪B,求a的值;(2)若∅A∩B,A∩C=∅,求a的值.参考答案一、选择题:ABDAC CDDCC BC二、填空题:13.{(1,2)},14.{}4,3,2,1-,15.15/128 ,16.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,31. 三、解答题:17.解析:由A ∩B =∅及A ∪B =R 知全集为R ,C R A =B ,故B =C R A ={x |x ≤-1或x ≥3}.18.解析: 将数集A 表示在数轴上(如图),要满足A B ,表示数a 的点必须在4或4的右边,所求a 的取值集合为{a |a ≥4}.19.解析:若B={}⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=∆=++∴⊆-9344069,32q p q p q p A B 则 若B ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=∆=+-∴⊆=164440816,},4{2q p q p q p A B 则 , 若B={-3,4}则A B ⊆则⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+-=++122116493.12210816069q p q p q p q p q p q p 或或 20.解析:A={0,-4} 又.A B B B A ⊆∴=⋂(1)若B=φ,则0)]1()1[(4:,001)1(22222<--+<∆=-+++a a a x a x 于是的,.1-<∴a(2)若B={0},把x =0代入方程得a =.1±当a =1时,B={}⎩⎨⎧-=∴=-=≠∴≠-==.1},0{,1.1},0{4,0,1a B a a B a 时当时当 (3)若B={-4}时,把x =-4代入得a =1或a =7.当a =1时,B={0,-4}≠{-4},∴a ≠1.当a =7时,B={-4,-12}≠{-4}, ∴a ≠7.(4)若B={0,-4},则a =1 ,当a =1时,B={0,-4}, ∴a=1综上所述:a .11=-≤a 或 21.解析: A ={-2,4},∵B ⊆A ,∴B =∅,{-2},{4},{-2,4}若B =∅,则a 2-4(a 2-12)<0,a 2>16,a >4或a <-4若B ={-2},则(-2)2-2a +a 2-12=0且Δ=a 2-4(a 2-12)=0,解得a =4.若B ={4},则42+4a +a 2-12=0且Δ=a 2-4(a 2-12)=0,此时a 无解; 若B ={-2,4},则⎩⎨⎧⨯-=--=-4212242a a∴a =-2综上知,所求实数a 的集合为{a |a <-4或a =-2或a ≥4}. 22.解析: 由已知,得B ={2,3},C ={2,-4}.(1)∵A ∩B =A ∪B ,∴A =B于是2,3是一元二次方程x 2-ax +a 2-19=0的两个根,由韦达定理知:⎩⎨⎧-=⨯=+1932322a a解之得a =5.(2)由A ∩B∅A ⇒∩≠B ,又A ∩C =∅,得3∈A ,2∉A ,-4∉A ,由3∈A ,得32-3a +a 2-19=0,解得a =5或a =-2当a =5时,A ={x |x 2-5x +6=0}={2,3},与2∉A 矛盾;当a =-2时,A ={x |x 2+2x -15=0}={3,-5},符合题意. ∴a =-2.。
集合的概念与运算
数学中,把具有一样属性的事物的全体称为集合。
集合概念用来指称集合体,是由很多对象有机聚合构成的集合体。
集合体与其构成局部之间是整体与局部的关系。
数学中,把具有一样属性的事物的全体称为集合。
集合概念用来指称集合体,是由很多对象有机聚合构成的集合体。
集合体与其构成局部之间是整体与局部的关系。
集合的概念数学中,把具有一样属性的事物的全体称为集合。
在某一思维对象领域,思维对象可以有两种不同的存在方式。
一种是同类分子有机结合构成的集合体,另一种是具有一样属性对象组成的类。
集合的根本运算
交集、并集、相对补集、确定补集、子集。
〔1〕交集:集合论中,设A,B是两个集合,由全部属于集合A 且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B。
〔2〕并集:给定两个集合A,B,把他们全部的元素合并在一起组成的集合,叫做集合A与集合B的并集,记作A∪B,读作A并B。
集合的基本概念与运算在数学领域中,集合是一种包含对象的集合体。
这些对象可以是数字、字母、符号、单词、人或任何其他事物。
集合的概念和运算是数学中重要的基础,本文将介绍集合的基本概念以及常见的集合运算。
一、集合的基本概念集合是由一组对象组成的,并且这些对象是无序的。
用大写字母表示集合,例如A、B、C等,而用小写字母表示集合中的元素,例如a、b、c等。
如果元素a属于集合A,我们可以表示为a∈A。
如果元素x不属于集合A,我们可以表示为x∉A。
在确定一个集合的时候,我们可以列举其中的元素,也可以使用描述集合中元素的特征或性质。
例如,可以表示“大于0的整数”为集合A,可以表示“A={x|x>0, x∈Z}”。
这样即可定义出集合A。
二、集合的基本运算1. 并集运算当我们希望将两个或多个集合合并成一个新的集合时,我们可以使用并集运算。
用符号∪表示并集。
对于集合A和集合B,A∪B表示包含所有属于集合A或属于集合B的元素的新集合。
例如,如果A={1,2,3},B={3,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集运算交集运算是指将两个集合中共有的元素组成一个新集合。
用符号∩表示交集。
对于集合A和集合B,A∩B表示包含所有既属于集合A又属于集合B的元素的新集合。
例如,如果A={1,2,3},B={3,4,5},则A∩B={3}。
3. 差集运算差集运算是指从一个集合中减去另一个集合中的元素。
用符号\表示差集运算。
对于集合A和集合B,A\B表示包含属于集合A但不属于集合B的元素的新集合。
例如,如果A={1,2,3,4},B={3,4,5},则A\B={1,2}。
4. 补集运算在集合理论中,我们还可以定义补集运算。
对于给定的全集U和集合A,A的补集表示U中所有不属于A的元素。
用符号A'或A表示补集。
例如,如果U为全集,A为集合A。
则A'表示U中所有不属于集合A的元素的集合。
三、集合的扩展运算除了基本的集合运算外,还存在集合的扩展运算。
专题1.1集合一、集合的概念和表示【思维导图】【考点总结】一、集合的含义1、元素与集合的概念(1)元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.(2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.(3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.(4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.2、元素与集合的关系3(1)列举法:①定义:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法;②形式:A={a1,a2,a3,…,a n}.(2)描述法:①定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法;②写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.二、集合间的基本关系【思维导图】【考点总结】一、子集的相关概念(1)Venn 图①定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图,这种表示集合的方法叫做图示法.②适用范围:元素个数较少的集合.③使用方法:把元素写在封闭曲线的内部.(2)子集、真子集、集合相等的概念①子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )②集合相等如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B ),且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A ),此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .③真子集的概念定义符号表示图形表示真子集如果集合A ⊆B ,但存在元素x ∈B ,且x ∉A ,称集合A 是集合B 的真子集AB (或BA )④空集定义:不含任何元素的集合叫做空集.用符号表示为:∅.规定:空集是任何集合的子集.二、集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A ⊆A .(2)对于集合A ,B ,C ,①若A ⊆B ,且B ⊆C ,则A ⊆C ;②若AB 且BC ,则AC .③若A B 且A ≠B ,则AB .三、集合的基本运算【思维导图】【考点总结】一、并集、交集1、并集(1)文字语言:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.(2)符号语言:A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)图形语言:如图所示.2、交集(1)文字语言:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.(2)符号语言:A∩B={x|x∈A且x∈B}.(3)图形语言:如图所示.二、补集及综合应用补集的概念(1)全集:①定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.②记法:全集通常记作U .(2)补集文字语言对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,记作∁U A 符号语言∁U A ={x |x ∈U 且x ∉A }图形语言【常用结论】1.三种集合运用的性质(1)并集的性质:A ∪∅=A ;A ∪A =A ;A ∪B =B ∪A ;A ∪B =A ⇔B ⊆A .(2)交集的性质:A ∩∅=∅;A ∩A =A ;A ∩B =B ∩A ;A ∩B =A ⇔A ⊆B .(3)补集的性质:A ∪(∁U A )=U ;A ∩(∁U A )=∅;∁U (∁U A )=A ;∁U (A ∩B )=(∁U A )∪(∁U B );∁U (A ∪B )=(∁U A )∩(∁U B ).2.集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集.(2)任何一个集合是它本身的子集,即A ⊆A .空集只有一个子集,即它本身.(3)集合的子集和真子集具有传递性:若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C ;若A B 且BC ,则AC .(4)含有n 个元素的集合有2n 个子集,有2n -1个非空子集,有2n -1个真子集,有2n-2个非空真子集.1.若全集{0,1,2,3,4,5}U =,集合{0,1,2},{2,3,4}A B ==,则()UA B =ð()A .{0,1}B .{1,2,3}C .{0}D .{0,1,2,5}【答案】D【解析】由题得{0,1,5}U B =ð,又{0,1,2}A =,所以(){0,1,2,5}=UA B ð.故选:D.2.设13{|}{|}34M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤,都是{|01}x x ≤≤的子集,如果b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的长度,则集合M N ⋂的长度的最小值是()A .13B .14C .16D .112【答案】D【解析】由题意1013m m ≤≤+≤,即203m ≤≤,3014n n ≤-≤≤,即314n ≤≤,由于M 的长度是13,N 的长度是34,13133412+=,13111212-=,所以M N ⋂长度不小于112.则首先有01m n =⎧⎨=⎩或113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,当01m n =⎧⎨=⎩时,11{|}43MN x x =≤≤,M N ⋂的长度为1113412-=,当113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时,23,34m n ==,则23{|}34MN x x =≤≤,M N ⋂的长度是3214312-=.故选:D .3.已知集合{P =正奇数}和集合{|}M x x a b a P b P ==⊕∈∈,,,若M P ⊆,则M 中的运算“⊕”是()A .加法B .除法C .乘法D .减法【答案】C【解析】若3,1a b ==,则4a b +=P ∉,2a b P -=∉,13b P a =∉,因此排除ABD .故选:C .4.下面有四个命题:(1)集合N 中最小的数是1;(2)0是自然数;(3){}123,,是不大于3的自然数组成的集合;(4)N,N a b ∈∈,则a b +不小于2.其中正确的命题的个数是()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】A【解析】对于(1),集合N 中最小的数是0,故错误,对于(2),0是自然数,故正确,对于(3),不大于3的自然数还包括0,故错误,对于(4),当1,0a b ==,则2a b +<,故错误,故选:A5.已知集合|,Z 44k M x x k ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,集合,Z 84k N x x k ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭,则M N =()A .∅B .MC .ND .Z【答案】B【解析】由题意,()21|Z 8k M x x k π⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭,()2,Z 8k N x x k π⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,因为()()21,Z k k +∈表示所有偶数,()2Z k k -∈能表示所有整数,故M N M⋂=故选:B6.以实数x x x -,,)个元素.A .0B .1C .2D .3【答案】C【解析】解:当0x >时,||0,0x x x =>=-<,此时集合中共有2个元素;当0x =时,||0x x x =-==,此时集合中共有1个元素;当0x <时,||0x x -==,0x <,此时集合中共有2个元素;综上所述,以实数x x x -,,2个元素.故选:C.7.已知集合(){}10A x x x =-=,{}21B x x ==,则A B ⋃=()A .{}1,0,1-B .{}1,0C .{}1,1-D .{}1【答案】A由已知得{}0,1A =,{}1,1B =-,则{}1,0,1A B =-U .故选:A.8.设集合{}2,M x x n n ==∈Z ,{}21,N x x n n ==+∈Z ,{}4,P x x n n ==∈Z ,则()A .M P ÜB .P MÜC .N P ⋂≠∅D .MN ≠∅【答案】B【解析】因为{}2M x x n n ==∈Z ,,{}21N x x n n ==+∈Z ,,{}4P x x n n ==∈Z ,,所以M P P M N P MN ≠=∅=∅,,,Ü.故选:B9.已知集合11{|,N}{|,N}623n M x x m m N x x n ==+∈==-∈,,则,M N 的关系为()A .M N =B .N M ÖC .M N ÜD .N M⊆【答案】C【解析】解:因为321{|,N}6m M x x m ⋅+==∈,32311{|,N}66n n N x x n --+===∈,所以M N Ü.故选:C .10.集合{|32,Z}M x x k k ==-∈,{|31,Z}P y y n n ==+∈,{|61,Z}S z z m m ==+∈之间的关系是()A .S 真包含于P 真包含于MB .S P =真包含于MC .S 真包含于P M =D .M P =真包含于S【答案】C【解析】解:{|32,Z}M x x k k ==-∈,{|31,Z}P y y n n ==+∈,{|61,Z}S y y m m ==+∈,{}8,5,2,1,4,7,10,13,16M ∴=⋯---⋯,{}8,5,2,1,4,7,10,13,16P =⋯---⋯,{}1,7,13,19,25,S =⋯⋯,S ∴真包含于P M =,故选:C .11.已知6{N |N}6M x x=∈∈-,则集合M 的子集的个数是()A .8B .16C .32D .64【答案】B 【解析】解:因为6N 6x∈-,所以61,2,3,6x -=,又N x ∈,所以0,3,4,5x =,所以集合{}0,3,4,5M =,所以集合M 的子集个数为4216=个.故选:B .12.设,A B 是两个集合,有下列四个结论:①若A B Ø,则对任意x A ∈,有x B ∉;②若A B Ø,则集合A 中的元素个数多于集合B 中的元素个数;③若A B Ø,则B A Ø;④若A B Ø,则一定存在x A ∈,有x B ∉.其中正确结论的个数为()A .4B .3C .2D .1【答案】D【解析】解:对于①,不一定,比如{}{}1,2,4,1,2,3A B ==,故①错误;②若A B Ø,不一定,比如{}{}1,2,4,1,2,3,5,6A B ==,故②错误;③若B A Ü,则A B Ø,但B A Ø不成立,故③错误;④若A B Ø,则一定存在x A ∈,有x B ∉,故④正确.所以正确结论的个数为1个,故选:D.13.设全集{}2,1,1,2U =--,集合{}1,2A =-,{}2320B x x x =-+=,则()U B A =ð()A .{}1B .{}2-C .{}2,1-D .∅【答案】B 【解析】{}{}23201,2B x x x =-+==,集合{}1,2A =-,所以{}1,1,2A B ⋃=-,全集{}2,1,1,2U =--,(){}2U A B =-ð.故选:B14.若全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}2,3,4A =,{}1,3,5B =,则()UA B =ð()A .{}1,2,3,4,5B .{}3,5C .{}2,4D .{}2,3,4,5,6【答案】C【解析】由题意,{}U 2,4,6B =ð,故(){}U2,4A B =ð故选:C15.以下六个写法中:①{}{}00,1,2∈;②{}1,2∅⊆;③{}0∅∈;④{}{}0,1,22,0,1=;⑤0∈∅;正确的个数有()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】对于①:是集合与集合的关系,应该是{}{}00,1,2⊆,∴①不对;对于②:空集是任何集合的子集,{}1,2∅⊆,∴②对;对于③:∅是一个集合,是集合与集合的关系,{}0∅⊆,∴③不对;对于④:根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=,∴④对;对于⑤:∅是空集,表示没有任何元素,应该是0∉∅,∴⑤不对;正确的是:②④.故选:B .16.已知集合(][),23,A =-∞-+∞,则()R Z=A ð()A .{}1,0,1,2,3-B .{}1,0,1,2-C .{}2,1,0,1,2,3--D .{}2,1,0,1,2--【答案】B【解析】因为(][),23,A =-∞-+∞,所以()R =2,3A -ð,所以()(){}R Z 2,3Z 1,0,1,2A =-=-ð.故选:B.17.集合{}0,1,2,4,8A =,{}2xB x A =∈,将集合A ,B 分别用如图中的两个圆表示,则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是()A .B .C .D .【答案】B【解析】解:∵{}0,1,2,4,8A =,{}2xB x A =∈,∴{}0,1,2,3B =,则{}0,1,2A B =,{}0,1,2,3,4,8A B =,选项A 中阴影部分表示的集合为A B ,即{}0,1,2,故A 错误;选项B 中阴影部分表示的集合由属于A 但不属于B 的元素构成,即{}R 4,8A B =ð,故B 正确;选项C 中阴影部分表示的集合由属于B 但不属于A 的元素构成,即{}R 3B A =ð,有1个元素,故C 错误;选项D 中阴影部分表示的集合由属于A B 但不属于A B 的元素构成,即{}3,4,8,故D 错误.18.如图,已知集合A={-8,1},B={-8,-5,0,1,3},则Venn 图中阴影部分表示的集合为()A .{-5,0,3}B .{-5,1,3}C .{0,3}D .{1,3}【答案】A 因为集合A={-8,1},B={-8,-5,0,1,3},Venn 图中阴影部分表示的集合为∁BA={-5,0,3}.故选:A.19.设全集{}*5U x N x =∈≤,集合{}1,2M =,{}2,3,4N =,则图中阴影部分表示的集合是()A .{}2B .{}3,4C .{}2,3D .{}2,3,4【答案】B 【解析】解:由Venn 图中阴影部分可知对应集合为N ()UM ð全集*{|5}{1U x N x =∈≤=,2,3,4,5},集合{1M =,2},{2N =,3,4},U M ð={}3,4,5,N ()UM ð={}3,4.故选:B .20.设全集U =R ,集合{}2A x x =>,{}06B x x =<≤,则集合()U A B =ð()A .{}02x x <<B .{}02x x ≤<C .{}02x x <≤D .{}02x x ≤≤【解析】【分析】{}2A x x =>,{}2U A x x ∴=≤ð,而{}06B x x =<≤(){}02U A B x x ∴⋂=<≤ð.故选:C.。
第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念,也是高中数学的起始单元,是整个高中数学的基础.它的基础性体现在:集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中,很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础,也是支撑现代数学大厦的基石之一,本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§1.1 集合的概念与运算【基础知识】一.集合的有关概念1.集合:具有某些共同属性的对象的全体,称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2.集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.3.集合的分类:无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系:二.集合的运算1.交集、并集、补集和差集差集:记A 、B 是两个集合,则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x .B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾!所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++∈R }, {(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是.【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集,N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图).考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=,解出得2x = 所以,当211a <=-时, MN =∅. ………… ③ 令 2y =,代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =.所以,当3a > 时, M N =∅. ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当13a ≤≤,即[13a ∈ 时, M N ≠∅.故填[1+.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意. 综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性. 【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10-7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中"退到最简",从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍,若按每横排4人编队,最后差3人;若按每横排3人编队,最后差2人;若按每横排2人编队,最后差1人,求这支游行队伍的人数最少是多少?〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数,那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队,最后差3人”,从它的反面去考虑,可理解为多1人,同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”,显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地,即15-n 是12的倍数,再由总人数不少于1000人的条件,即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ,则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1,即15-n 是4、3、2的公倍数,于是可令)(1215+∈=-N m m n ,由此可得:5112+=m n ①要使游行队伍人数最少,则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数,应为 2.于是可令)(25+∈+=N p q m ,由此可得:512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ,25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ,4116≥p . 取17=p 代入②式,得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解,对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语,可以根据补集思想方法,从词义气反面(反义词)考虑,对原命题做部分或全部的否定,用这种方法转化命题,常常能起到化繁为简、化难为易的作用,使之寻求到解题思想或方法,实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15,B A ,都是{1,2,3,…,n }真子集,A B φ=,且A B ={1,2,3,…,n }.证明:A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设,{1,2,3,…,n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一.假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,…,n }的真子集B A ,,使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ,则3∉A ,否则1+3=22,与假设矛盾,所以3∈B .同样6∉B ,所以6∈A ,这时10∉A ,,即10∈B .因n ≥15,而15或者在A 中,或者在B 中,但当15∈A 时,因1∈A ,1+15=24,矛盾;当15∈B 时,因10∈B ,于是有10+15=25,仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合,而集合又是数学的基础.因此,深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上,20x y ≤<,10≤≤x 所围成图形的面积为31,则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ,N={}b mx y y x +=|),(,若对于所有的R m ∈,均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A .[26,26-] B.(26,26-)C.(332,332-) D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005个数是( )A .43273767575+++ B .43272767575+++ C .43274707171+++ D .43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A∪B={a 1,a 2,a 3},当且仅当A≠B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N },则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995},A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A,则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数,集合M={1,2,…,2n }.求最小的正整数k ,使得对于M 的任何一个k 元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ={a |a =22x y -,,x y Z ∈},求证:⑴21k -∈A (k Z ∈); ⑵42 ()k A k Z -∉∈.11.(2006年江苏)设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭,21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭.若A B ≠∅,求实数a 的取值范围.12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质:①P 中的元素有正数,有负数;②P 中的元素有奇数,有偶数;③-1∉P ;④若x ,y ∈P ,则x +y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合:①若a ∈S ,b ∈S ,则a +b ∈S ,S ab ∈;②对任一个有理数r ,三个关系r ∈S ,-r ∈S ,r =0有且仅有一个成立.证明:S 是由全体正有理数组成的集合.2.321,,S S S 为非空集合,对于1,2,3的任意一个排列k j i ,,,若j i S y S x ∈∈,,则k S y x ∈-(1)证明:三个集合中至少有两个相等.(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素?3.已知集合:}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问(1)当a 取何值时,C B A )(为含有两个元素的集合?(2)当a 取何值时,C B A )(为含有三个元素的集合?4.已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P {不小于3的正整数},定义P上的函数如下:若P n ∈,定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数,例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为M.证明:.99,19M M ∉∈6.为了搞好学校的工作,全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议,且任何两个班级都至少有一条建议相同,但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个.【参考答案】A 组1.解: N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称,由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得,N M 的图形在第一象限的面积为A =613121=-.因此N M 的图形面积为32. 所以选B.2.解:由M=P,从而1,0==a a b ,即0,1==b a ,故.1=+b a 从而选C. 3. 解:M N ≠∅相当于点(0,b )在椭圆2223x y +=上或它的内部221,322b b ∴≤∴-≤≤.故选A. 4.解: 用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数,将集合M 中的每个数乘以47,得 32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈=M '中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47,便得M 中的数.74707171432+++故选C. 5.解:A=φ时,有1种可能;A 为一元集时,B 必须含有其余2元,共有6种可能;A 为二元集时,B 必须含有另一元.共有12种可能;A 为三元集时,B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.6.解:被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使7k +2能被57整除,则可设7k +2=57n . 即57256227778n n n n k n -+--===+.即n -2应为7的倍数. 设n =7m +2代入,得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85-(14-1)-2=70. 7.解:依题意可得{13}A x x =<<,设1()2x f x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤, (1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.8.解:由于1995=15⨯133,所以,只要n >133,就有15n >1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取,还可取1至8这8个数,即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.另一方面,把k 与15k 配对,(k 不是15的倍数,且1≤k ≤133)共得133—8=125对,每对数中至多能取1个数为A 的元素,这说明所求数≤1870,综上可知应填1870.9.解:考虑M 的n +2元子集P={n -l,n ,n +1,…,2n }.P 中任何4个不同元素之和不小于(n -1)+n +( n +1)+( n +2)=4 n +2,所以k ≥n +3.将M 的元配为n 对,B i =(i ,2 n +1-i ),1≤i ≤n . 对M 的任一n +3元子集A,必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、I 2、I 3两两不同).又将M 的元配为n -1对,C I (i ,2n -i ),1≤i ≤n -1.对M 的任一n +3元子集A,必有一对4i C 同属于A,这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素,这4个元素互不相同,且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k = n +310.10.解: ⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -=22(1)k k --,∴21k -∈A ;⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -=22x y -即()()2(21)x y x y k -+=- (*) 由于x y -与x y +具有相同的奇偶性,所以(*)式左边有且仅有两种可能:奇数或4的倍数,另一方面,(*)式右边只能被4除余2的数,故(*)式不能成立.由此,42()k A k Z -∉∈.11.解:{}13A x x =-≤<,()(){}30B x x a x a =--<. 当0a >时,{}03B x a x a =<<<,由AB ≠∅得03a <<; 当0a <时,{}30B x a x a =<<<,由A B ≠∅得1a >-; 当0a =时,{}20B x x =<=∅,与AB ≠∅不符. 综上所述,()()1,00,3a ∈-.12.解:由④若x ,y ∈P ,则x +y ∈P 可知,若x ∈P ,则)( N k P kx ∈∈(1)由①可设x ,y ∈P ,且x >0,y <0,则-y x =|y |x (|y |∈N )故x y ,-y x ∈P ,由④,0=(-y x )+x y ∈P .(2)2∉P .若2∈P ,则P 中的负数全为偶数,不然的话,当-(12+k )∈P (N k ∈)时,-1=(-12-k )+k 2∈P ,与③矛盾.于是,由②知P 中必有正奇数.设),( 12,2N n m P n m ∈∈--,我们取适当正整数q ,使12|2|->-⋅n m q ,则负奇数P n qm ∈-+-)12(2.前后矛盾B 组1.证明:设任意的r ∈Q ,r ≠0,由②知r ∈S ,或-r ∈S 之一成立.再由①,若r ∈S ,则S r ∈2;若-r ∈S ,则S r r r ∈-⋅-=)()(2.总之,S r ∈2.取r =1,则1∈S .再由①,2=1+1∈S ,3=1+2∈S ,…,可知全体正整数都属于S .设S q p ∈,,由①S pq ∈,又由前证知S q ∈21,所以21qpq q p ⋅=∈S .因此,S 含有全体正有理数.再由①知,0及全体负有理数不属于S .即S 是由全体正有理数组成的集合.2.证明:(1)若j i S y S x ∈∈,,则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,,所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立.否则,设321,,S S S 中的最小正元素为a ,不妨设1S a ∈,设b 为32,S S 中最小的非负元素,不妨设,2S b ∈则b -a ∈3S .若b >0,则0≤b -a <b ,与b 的取法矛盾.所以b =0.任取,1S x ∈因0∈2S ,故x -0=x ∈3S .所以⊆1S 3S ,同理3S 1S ⊆.所以1S =3S .(2)可能.例如1S =2S ={奇数},3S ={偶数}显然满足条件,1S 和2S 与3S 都无公共元素.3.解:C B A )(=)()(C B C A .C A 与C B 分别为方程组(Ⅰ)⎩⎨⎧=+=+1122y x y ax (Ⅱ)⎩⎨⎧=+=+1122y x ay x 的解集.由(Ⅰ)解得(y x ,)=(0,1)=(212a a +,2211aa +-);由(Ⅱ)解得 (y x ,)=(1,0),(2211a a +-,212a a +) (1)使C B A )(恰有两个元素的情况只有两种可能: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+011112222aa a a 由①解得a =0;由②解得a =1.故a =0或1时,C B A )(恰有两个元素.(2)使C B A )(恰有三个元素的情况是:212a a +=2211aa +- 解得21±-=a ,故当21±-=a 时,C B A )(恰有三个元素.4.解: (1)设1212,min P A P B d P P ∈∈=(即集合A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值), 则称d 为A 与B 的距离.⑵解法一:∵A 中点的集合为圆22(2)(2)1,x y +++=圆心为(2,2)M --,令(,)P x y 是双曲线上的任一点,则2MP =22(2)(2)x y +++=224()8x y x y ++++=2()24()x y xy x y +-+++8=2()4()28x y x y ++++令t x y =+,则2MP =22428(2)24t t t ++=++当2t =-时,即102xy x y =-⎧⎨+=-⎩有解,∴min 26MP =∴261d =- 解法二:如图,P 是双曲线上的任一点, Q 为圆22(2)(2)1x y +++=上任一点,圆心为M .显然,P M MP +Q Q ≥(当P M 、Q 、三点共线时取等号)∴min 1d MP =-.5.解:记!18=n 时,由于1,2,……18都是n 的约数,故此时.19)(=n f 从而.19M ∈若存在P n ∈,使99)(=n f ,则对于小于99的正整数k ,均有n k |,从而n n |11,|9,但是1)11,9(=,由整数理论中的性质9×11=99是n 的一个约数,这是一个矛盾!从而.99M ∉6.证明:假设该校共有m 个班级,他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
第一讲 集合的概念及其运算集合论是德国数学家康托尔在19世纪末创立的,集合语言是现代数学的基本语言,是表达数学知识、进行数学交流的重要工具。
同时集合是高中数学的基本知识,为历年高考必考内容之一,主要考查对集合基本概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.一、 考纲解读1.考试内容:(1)集合的含义与表示;(2)集合间的基本关系;(3)集合的基本运算。
2.考试要求:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系,全集与空集的含义;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。
能用韦恩(V enn )图表达集合的关系及运算;(3)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。
理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个集合的并集与交集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定集合子集的补集。
二、知识网络三、知识讲解:1.集合的有关概念(1)某些指定的对象集在一起就构成一个集合,简称集。
其中的每一个对象叫集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征。
确定性:集合的元素必须是确定的,任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素。
互异性:集合中任意两个元素都是不同的,也就是同一个元素在一个集合中不能重复出现。
无序性:集合与组成它的元素顺序无关。
如集合}{c b a ,,与}{b a c ,,是同一个集合。
(2)元素与集合的关系:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ,记作a A ∈;如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A ,记作a A ∉。
任一元素a 与集合A 的关系是a A ∈与a A ∉二者必居其一。
(3)集合的分类:根据集合中元素的个数可将集合分为有限集、无限集和空集。
不含任何元素的集合叫做空集,用符号Φ表示。
空集的性质:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
集合的基本概念与运算集合是数学中一个基本的概念,简单地说,集合是由元素构成的一种集合结构。
在数学中,集合和集合运算能够被应用到各种各样的领域,比如计算机科学、物理学、经济学等。
本文将深入探讨集合的基本概念和运算。
一、基本概念在集合的讨论中,我们需要先了解一些基本概念。
首先,元素是指集合中的一个个体。
例如,{1, 2, 3}中的1、2、3就是元素。
其次,集合可以用花括号{}来表示,例如{1, 2, 3}就是一个集合。
注意,集合中的元素是无序的,也就是说{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是等价的。
另外,集合中的元素必须是不同的,例如{1, 1, 2}就不是一个合法的集合,因为其中有重复的元素。
集合的大小可以用“|S|”来表示,其中S是集合的名字。
比如{1, 2, 3}的大小是3。
二、集合运算在集合的讨论中,我们需要介绍一些集合运算。
这些集合运算包括并集、交集、补集等。
并集对于两个集合A、B,它们的并集是指由它们中的所有元素组成的集合,用“∪”表示。
例如,如果A={1, 2},B={2, 3},则它们的并集是{1, 2, 3},即A∪B={1, 2, 3}。
需要注意的是,如果两个集合的元素有重复,重复的元素只会出现一次。
交集对于两个集合A、B,它们的交集是指它们中共同包含的元素所组成的集合,用“∩”表示。
例如,如果A={1, 2},B={2, 3},则它们的交集是{2},即A∩B={2}。
补集对于一个集合A和它的一个父集合U,A的补集是指U中不包含A中所有元素的集合,用“A'”表示。
例如,如果U={1, 2, 3},A={1, 2},则A的补集是{3},即A'={3}。
三、常用集合运算规则对于集合的运算,还有一些常用的规则。
结合律对于任意三个集合A、B、C,它们的并集和交集都满足结合律。
即(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
交换律对于任意两个集合A、B,它们的并集和交集都满足交换律。
1作业1集合的概念及运算知识点第一篇:1作业1集合的概念及运算知识点作业1集合的概念及运算知识点(一)、集合有关概念1.集合的概念:一般的,我们把元素,把叫做集合。
2.集合的中元素的三个特性:元素的,(2)元素的(3)元素的3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用大写拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法:列举法与描述法。
1)列举法:把集合,并用表示集合的方法叫做列举法。
2)描述法:用集合所含元素的来表示集合的方法。
具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中。
如:{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}。
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:正整数集整数集有理数集实数集(二)、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集:一般地,对于两个集合A与B,如果我们就说这两个集合具有包含关系,称集合A为集合B的子集,记做,读作。
注意:① 任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A ;②A⊆B有两种可能(1)A是B的一部分,(2)A与B是同一集合。
③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C2.“相等”关系:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称两个集合是相等的,记为A=B。
用子集的概念描述就是:如果,且那么集合A与集合B相等。
3.真子集:如果那就说集合A是集合B的真子集,记作(或)4.空集:的集合叫做空集,记为规定: 空集是的子集,空集是的真子集。
注:含有n个元素的集合,有个子集,个真子集,有个非空真子集。
三、集合的运算1并集:①定义:一般地,由所有的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集.记作:(读作),即A Y B ={x|}.②图示:③性质:,,。
2.交集:①定义:一般地,由所有的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集.记作:(读作),即A I B ={x|}.②图示:③性质:,,。
(一) 知识内容1.子集:对于两个集合,A B ,如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素,我们就说集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆(或B A ⊇),读作 “A 包含于B ”(或“B 包含A ”).规定:∅是任意集合的子集.2.真子集:如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈,但x A ∉,我们称集合A 是集合B 的真子集, 记作A B (或B A ).∅是任意非空集合的真子集.3.相等:如果集合A 是集合B 的子集(A B ⊆),且集合B 是集合A 的子集(B A ⊇),此时,集合A 与集合中的元素是一样的,我们说集合A 与集合B 相等,记作A =B .(二)典例分析【例1】用适当的符号填空⑴ {1}___2{|320}x x x -+=⑵ {1,2}___2{|320}x x x -+=⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N⑷ ∅___2{R |20}x x ∈+=【例2】用适当的符号填空:⑴ ___{0}∅⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+=⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+=⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z⑺ {(2,3)}___{(3,2)}【例3】若集合{|1}X x x =>-,下列关系式中成立的为( )A .0X ⊆B .{}0X ∈C .X ∅∈D .{}0X ⊆【例4】用适当的符号填空 ⑴{}()(){}3______|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤ ⑵{}25_______|23x x +≤+, ⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R 【例5】下列说法中,正确的是( )板块二:集合间的基本关系A.任何一个集合必有两个子集;B.若,A B=∅则,A B中至少有一个为∅C.任何集合必有一个真子集;D.若S为全集,且,=则A B SA B S==【例6】已知集合2A a a d a dB a aq aq=++=,其中0{,,2},{,,}=,则q等于___.a≠,且A B【例7】求集合{,}a b的子集的个数,真子集的个数,非空真子集的个数,并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数.【例8】若全集{}A=,则集合A的真子集共有.U=且{}20,1,2,3UA.3个B.5个C.7个D.8个【例9】{,,}a b c d e f,求满足条件的A的个数.a b c A{,,,,,}【例10】若集合{}=,则C的非空子集的个数≤,{|=∈N|6,A x x x=是非质数},C A BB x x为.【例11】求满足条件{1,2}A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数【例12】设{|13},{|}=-<<=>,若A B,则a的取值范围是______A x xB x x a【例13】已知{25}⊆,求m的取值范围.=+≤≤-,B AA x xB x m x m=-≤≤,{121}【例14】求集合{1,2,3,,100}M=的所有子集的元素之和的和(规定空集的元素和为零).帮助学生分析此题时,可按以下步骤:① 集合M 的所有子集的情况 ② 所有子集的元素之和 ③ 元素之和的和 ④ 空集的元素和为零 此题可适当拓展:如果{1,2,3,,}M n =(+N n ∈),则M 的子集共有2n 个.所有子集的元素和之和为221(1)2(12...)22(1)22n n n n n n n n -+⨯⨯+++=⋅=⋅+(可作为公式熟记),可由此让学生注意到补集的情形.。
(一)知识内容1.相关概念:⑴ 并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B 的并集, 记作AB (读作“A 并B ”),即{|,AB x x A =∈或}x B ∈.⑵ 交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集, 记作AB (读作“A 交B ”),即{|,AB x x A =∈且}x B ∈.⑶ 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U .补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,记作UA ,即{|,UA x x U =∈且}x A ∉.(二)典例分析【例1】已知全集{1,2,3,,10}U =,{1,2,3,4,5}A =,{4,5,6,7,8}B =,{3,5,7,9}C =求:AB ,A B ,()U AB ,UA B ,()A B C【例2】若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ,则有( )A .MN M = B .MN N = C .MN M = D .MN =∅【例3】已知全集{(,)|R ,R}I x y x y =∈∈,{(1,1)}P =,表示I P .【例4】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3A B =-,求实数a 的值.【例5】设集合{|(3)()0,R}A x x x a a =--=∈,{|(4)(1)0}B x x x =--=,求,A B A B .板块三:集合的基本运算【例6】若集合{1,1}A =-,{|1}B x mx ==,且AB A =,则m 的值为( )A .1B .1-C .1或1-D .1或1-或0【例7】下列表述中错误的是( )A .若AB ⊆,则A B A = B .若AB B =,则A B ⊆C .()()A B AA B D .()()()UU UA B A B =【例8】若{}{}21,4,,1,A x B x ==且AB B =,则x = .【例9】若U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( )⑴若A B =∅,则()()U UA B U =⑵若AB U =,则()()UUA B =∅⑶若A B =∅,则A B ==∅A .0个B .1个C .2个D .3个【例10】设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=,则集合AB =( )A .0B .{}0C .∅D .{}1,0,1-【例11】已知全集是R ,{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤,求R()AB ,R ()A B【例12】设全集U R =,{}2|10M m mx x =--=方程有实数根,{}2|0N n x x n =-+=方程有实数根,求()UM N .【例13】已知{}2|43,M y y x x x ==-+∈R ,{}2|28,N y y x x x ==-++∈R ,则__________MN =.【例14】若{}|1,I x x x =-∈Z ≥,则I N = .【例15】设集合{}{}{}1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===,则A B =()C 【例16】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ,2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ,则AB 等于( )A .∅B .{1,3}-C .RD .[1,3]-【例17】若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ,则有.A .MN M = B .MN N = C .MN M = D .MN =∅【例18】集合{}22|190A x x ax a =-+-=,{}2|560B x x x =-+=,{}2|280C x x x =+-=满足A B ≠∅,A C =∅,求实数a 的值.【例19】已知{(,)|,}I x y x y =∈R ,3(,)|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭,{}(,)|1B x y y x =≠+,则()I A B 等于( )A .∅B .{(2,3)}C .(2,3)D .{2,3}【例20】设2{|20}A x x ax b =-+=,2{|6(2)50}B x x a x b =++++=,若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,求A B .【例21】设U R =,集合{}2|320A x x x =++=,{}2|(1)0B x x m x m =+++=;若()U A B =∅,求m 的值.【例22】设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭,{}(,)4N x y y x =≠-, 那么()()U U M N 等于________________.【例23】设全集{|20I x x =≤且x 为质数}.若{3,5},{7,19}IIAB AB ==,且{2,17}I IAB =,求集合,A B .结合集合的运算性质: ⑴ 交换律:,A B BA AB BA ==;⑵ 结合律:()()A B C A B C =;()()A B C A B C =;⑶ 分配律:()()()A B C A B A C =;()()()A B C A B A C =; ⑷ 吸收律:();()A A B A A A B A ==; ⑸ 对偶律:();()I I II I IA B AB A B AB ==(德·摩根定律). 【例24】若{}{}{},,|,A a b B x x A M A ==⊆=,求B M .【例25】已知全集I 中有15个元素,集合MN 中有3个元素,I IMN 中有5个元素,IMN 中有4个元素.则集合N 中元素的个数( )A .3B .4C .5D .615453INM【例26】50名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人,2项测验成绩均不及格的有4人,2项测验成绩都及格的人数是( ) A .35 B .25 C .28 D .15【例27】某班有学生55人,其中体育爱好者43人,音乐爱好者34人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.【例28】已知{|2820,,}A x x m n m n ==+∈Z ,{|1218,,}B x x m n m n ==+∈Z ,则AB 中最小的正整数是 _________.【例29】设I =R ,集合2{|4430}A x x ax a =+-+=,22{|(1)0}B x x a x a =+-+=,2{|220}C x x ax a =+-=.若,,A B C 中至少有一个不是空集,求实数a 的取值范围.【例30】若集合2{|20}M x x x =-->,{|10}T x mx =+<,且M T ⊇.求实数m 的取值范围.<教师备案>1.对于集合需要注意:①集合本身是一个不加定义的概念;空集虽空,但空有所为; ②元素的三个特性:确定性:集合中的元素是确定的,不能模棱两可互异性:集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个 无序性:集合中的元素是无次序关系的. 数学中一些常用的数集及其记法:全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作*N 或+N ; 全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ; 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ; 全体实数组成的集合称为实数集,记作R . 2.拓展讲解:⑴由于()(())I A B C A B I =,记集合A 的元素个数为Card(A ),则Card()Card()Card()Card()AB A B AB =+-Card()Card()Card(())I AB I A B =-如果推广到三个有限集,,A B C ,则有Card()Card()Card()Card()Card()Card()Card()ABC A B C AB BC CA =++---Card()ABC +⑵ 利用以上的结论还可解决与自然数相关的计数问题,比如:从1到100的所有自然数中,能被2整除但不能被5整除的自然数有多少个? 记A ={1~100中能被2整除的自然数},B ={1~100中能被5整除的自然数},则AB ={1~100中能被5整除且又能被2整除的自然数},IAB ={1~100中只能被2整除不能被5整除的自然数}, IAB ={1~100中不能被2整除但能被5整除的自然数}.经计算发现:Card()50A =,Card()20B =,Card()10A B =; ∴Card()50201060A B =+-=. 因此Card()Card()Card()501040IAB A A B =-=-=.即1到100的所有自然数中,能被2整除但不能被5整除的自然数有40个.。
内容
基本要求 集合的含义
会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系; 集合的表示 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题; 理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常
用数集,方程或不等式的解集等
集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义,及子集的概念.在具体情景中,
了解空集和全集的含义;
理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与
并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集
的补集
集合的基本运算
掌握有关的术语和符号,会用它们表达集合之间的关系和运算.能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.
(一)知识内容 举例:⑴ 120-的所有合数 ⑵ 北京在户人口
⑶ 学而思学员 ⑷ 所有的正方形
这些小例中有哪些共同特征?
1.集合的相关定义
例题精讲
高考要求
知识框架 集合的基本概念和运算
⑴ 集合的含义:一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示;集合用大写字母,,,A B C 表示.
⑶ 不含任何元素的集合叫做空集,记作∅.
2.元素与集合间关系:属于∈;不属于∉.
3.集合表示法
⑴ 列举法:把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法.
例如:{1,2,3,
4,5},{1,2,3,4,5,}
⑵描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{x |描述特点}
例如:大于3的所有整数表示为:{Z |3}x x ∈>
方程2250x x --=的所有实数根表示为:{R x ∈|2250x x --=}
(二)典例分析:
【例1】用“∈”或“∉”填空:
⑴ 若2{|340}A x x x =--=,则1-___A ;4-___A ;
⑵ 0___∅;
⑶ 0___{0}.
【例2】用符号“∈”或“∉”填空
⑴0______N , 5______N ,16______N
⑵1______,π_______,e ______2
-R Q Q Q ð(e 是个无理数) ⑶2323-++________{}
|6,,x x a b a b =+∈∈Q Q
【例3】用列举法表示下列集合
⑴ 方程2260x x +-=的根;
⑵ 不大于8且大于3的所有整数;
⑶ 函数32y x =+与1y x
=的交点组成的集合.
板块一:集合的概念与表示
【例4】已知集合8|6A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎭⎩N N ,试用列举法表示集合A .
【例5】下列命题正确的有( )
⑴很小的实数可以构成集合; ⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合; ⑶3611,,,,0.5242
-这些数组成的集合有5个元素; ⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集.
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
【例6】用列举法表示集合:10,1M m m m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭Z Z 【例7】直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为( )
A .{}(,)|1,1,2,2x y x y x y ≠≠≠≠
B .1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩或22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠⎪⎩⎭
C .1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩且22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠-⎪⎩⎭
D .{}2222(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y x y -+--++≠ 【例8】下面有四个命题:
⑴集合N 中最小的数是1;
⑵若a -不属于N ,则a 属于N ; ⑶若,a b ∈∈N N ,则a b +的最小值为2; ⑷212x x +=的解可表示为{}1,1; 其中正确命题的个数为( )
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
【例9】方程组221
9x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是( )
A .()5,4
B .()5,4-
C .(){}5,4-
D .(){}5,4-.
【例10】已知2()(R ,R)f x x ax b a b =++∈∈,{|(),R}A x x f x x ==∈,
{|[()],R}B x x f f x x ==∈.当{1,3}A =-时,用列举法表示集合B .。