幂等矩阵的性质及应用(定稿)
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幂等矩阵的最小多项式概述及解释说明1. 引言1.1 概述幂等矩阵是线性代数中的一个重要概念,其最小多项式是对于一个给定的矩阵,满足多项式在这个矩阵上取值为零的最低次数的多项式。
在实际应用中,幂等矩阵在线性变换、图论、密码学等领域发挥着关键作用。
因此,对于幂等矩阵及其最小多项式的深入理解和求解方法的探究具有重要意义。
1.2 文章结构本文分为五个部分进行讨论。
首先,在引言部分,我们将对文章主题进行概述,并介绍文章的结构与目标。
接下来,在“幂等矩阵的最小多项式概述”部分,我们将详细介绍幂等矩阵和最小多项式的定义,并引入幂等矩阵的最小多项式概念。
然后,在“幂等矩阵的性质与特征”部分,我们将讨论幂等矩阵的一些特点和性质,并探讨特征值和特征向量与幂等矩阵之间的关系,以及在线性变换中幂等矩阵的应用举例。
接着,在“幂等矩阵的求解方法”部分,我们将总结一般情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法,并专门介绍方阵和非方阵情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法。
最后,在“结论及展望”部分,我们将对本文的研究成果进行总结,并提出存在的问题与未来的展望。
1.3 目的本文旨在全面概述和解释幂等矩阵的最小多项式相关内容,探讨幂等矩阵的性质与特征,介绍不同情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法,并对研究成果进行总结。
通过本文的学习和理解,读者可以对幂等矩阵及其最小多项式有更深刻的认识,并能够应用所学知识解决实际问题。
此外,文章还将指出一些存在的问题,并提出未来进一步研究和探索的方向,为相关领域中进一步深入研究奠定基础。
2. 幂等矩阵的最小多项式概述2.1 幂等矩阵定义幂等矩阵是指满足AA=A的方阵。
换句话说,幂等矩阵乘以自己得到的结果与原矩阵相等。
幂等矩阵在线性代数和矩阵理论中有着重要的应用。
2.2 最小多项式定义对于一个方阵A,其最小多项式可以通过以下方式定义:首先找到所有使得p(A)=0成立的次数最低的多项式p(x),其中p(x)≠0是一个非零多项式。
0引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵,不仅在高等代数中有着重要的应用,在其它课程中,如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中,线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质,同时给出了一些相关的应用。
1主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1:若n阶方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1:幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。
证明:设A为任意一个幂等矩阵。
由A2=A,可得λ2=λ其中λ为A的特征值。
于是有λ=1或0,命题得证。
推论:可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明:设A为一可逆的幂等矩阵。
由A2=A可得A2A-1=AA-1即A=E。
此时有λE-E=0即λ=1其中,λ为A的特征值。
命题得证。
定理2:任意的幂等矩阵A都相似于对角阵,即存在可逆阵P,使得:P-1AP=Er0 00 (),其中r=R(A)。
证明:A为任意幂等矩阵,J为其Jordan标准型,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=J=J10⋱0J s (),其中J i=λi1…0⋱┋⋱1 0λi ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟。
由此可得J2=J。
于是有,J i2=J i。
此时,J i只能为数量矩阵λi E。
又因为A2=A,所以λi=0或1,且r=R(A)。
命题得证。
定理3:幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域,特征值为0的特征子空间为其零(核)空间。
证明:(i)A为一n阶幂等矩阵。
α为其特征值1对应的特征向量。
则有,Aα=α。
由此可得α属于A的值域。
反之,对于任意一个A的值域中的向量α,总能找到一个向量β,使得Aβ=α,于是有Aα=A2β=β,即α=β。
综上可知,幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
(ii)A为一n阶幂等矩阵。
线性代数中的幂等矩阵与幂等算子线性代数是研究向量空间与线性变换的数学分支。
在线性代数中,存在一类特殊的矩阵和算子,称为幂等矩阵和幂等算子。
本文将介绍幂等矩阵和幂等算子的定义、性质以及应用。
一、幂等矩阵的定义和性质在线性代数中,幂等矩阵是指矩阵和自身相乘后仍然保持不变的矩阵。
具体地,对于一个n×n的矩阵A,如果满足A^2=A,那么A就是一个幂等矩阵。
幂等矩阵有以下性质:1. 幂等矩阵的特征值只能是0或1。
设A是一个幂等矩阵,λ是A 的特征值,那么有A^2x=Ax=λx。
将A^2x=Ax代入到Ax=λx中可得A(Ax)=λ(Ax),即A^2x=λ^2x,由于A是幂等矩阵,即A^2=A,所以有λ^2x=λx,即(λ^2-λ)x=0。
因为x不为0,所以必然有(λ^2-λ)=0,即特征值λ满足λ(λ-1)=0,所以λ=0或λ=1。
2. 幂等矩阵的秩等于其迹。
设A是一个幂等矩阵,根据特征值的性质,A的特征值只能是0或1。
设A的特征值1的个数为r,那么0的个数为n-r,由于特征值的个数等于矩阵的秩,所以A的秩为r。
又因为迹等于特征值之和,所以A的迹为r×1+(n-r)×0=r。
3. 幂等矩阵具有不变子空间。
设A是一个幂等矩阵,对于任意非零向量x,由A^2x=Ax可知Ax在不变子空间中。
不变子空间是线性代数中一个重要的概念,表示矩阵作用下保持不变的向量组成的空间。
幂等矩阵的不变子空间是其所有特征值为1对应的特征向量张成的空间。
二、幂等算子的定义和性质幂等算子是指线性变换与自身复合后仍然保持不变的线性变换。
可以看出,幂等算子的定义与幂等矩阵的定义是相似的。
幂等算子的定义如下:对于一个向量空间V上的线性变换T,如果满足T^2=T,那么T就是一个幂等算子。
幂等算子也有一些类似于幂等矩阵的性质:1. 幂等算子的特征值只能是0或1。
与幂等矩阵类似,设T是一个幂等算子,λ是T的特征值,那么有T^2v=Tv=λv。
幂等变换和幂等矩阵的性质中文摘要:本文在已有文献资料的基础上,对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。
关键词:幂等变换,幂等矩阵,性质正文:(一)定义及说明定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换,且2σσ=,则称σ为V 上的幂等变换。
定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵,若2A A =,则称A 为V 上的幂等矩阵。
因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构,即()()n n n L V P P ⨯≅。
所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =.(二)幂等变换的一个性质及其推广[1]定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换,且2σσ=,则有(1)()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈(2)()Im()V Ker σσ=⊕(3)若τ是V 的一个线性变换,则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=将幂等变换的定义加以推广:设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换,且n σσ=,则称σ为V 上的幂等变换。
对于满足n σσ=的线性变换有类似性质定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换,且n σσ=(2n ≥),则有(1)()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈,Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈(2)()Im()V Ker σσ=⊕(3)若τ是V 的一个线性变换,则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--=证明:已知n σσ=(1):(),()0Ker ασσα∀∈=即122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒===1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈反之,1()n ασα-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈, 由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-=⇒1()n ασα--∈()Ker σ因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ从而()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得()11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴====α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈反之,{}11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈,有 2(())Im()n ασσασ-=∈因此{}1()|n V ξσξξ-=∈⊆Im()σ从而Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈(2):由(1),,V ααασασα∀∈∈n-1n-1有=(-())+()()Ker σ+Im()σV ∴⊆()Ker σ+Im()σ从而V =()Ker σ+Im()σ又设β∀∈()Ker σIm()σ由β∈()Ker σ()0σβ⇒=又由β∈Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈122()(())(0)0n n n βσβσσβσ---⇒====即()Ker σIm()σ={}0∴()Im()V Ker σσ=⊕(3):""⇒假设()Ker σ,Im()σ都在τ之下不变V α∀∈,由(2),存在唯一的β∈()Ker σ,唯一的γ∈Im()σ,使得αβγ=+ 则由假设,()τβ∈()Ker σ,()τγ∈Im()σ122()((()))(0)0n n n στβσστβσ---∴===,11()(())()n n στγστγτγ--==(由(1)) 111()()()0()()n n n σταστβστγτγτγ---⇒=+=+=又122()(())(0)0n n n σβσσβσ---===,1()n σγγ-=(由(1))1111()()(())(())n n n n τσατσβγτσβτσγ----⇒=+=+(0)()()ττγτγ=+=11()()n n στατσα--∴=由α的任意性,11n n σττσ--=""⇐若11n n σττσ--=,α∀∈()Ker σ即()0σα=,且由(1),V β∃∈使得1()n αβσβ-=- 1(())(())n σταστβσβ-⇒=- =11()()()()()()n n n στβστσβστβσστβστβστβ---=-=-=()()στβστβ-=0 ∴()τα∈()Ker σ即()Ker σ在τ之下保持不变Im()ασ∀∈,由(1),1()n ασα-= 11(())(())()n n στατσατα--∴==即1(())()n στατα-=由(1),Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ ∴()τα∈Im()σ即Im()σ也在τ之下保持不变 证毕定理1是定理2当n=2时的情形,当然也成立。
㊀[收稿日期]2019G05G21;㊀[修改日期]2019G10G15㊀[基金项目]国家自然科学基金项目(11701306);宁夏高等学校科学技术研究项目(N G Y 2018G109);宁夏师范学院本科教学项目(N J 201939)㊀[作者简介]冯福存(1977-),女,硕士,副教授,从事矩阵理论及其应用研究.E m a i l :n x f f c @163.c o m第36卷第1期大㊀学㊀数㊀学V o l .36,ɴ.12020年2月C O L L E G E MA T H E MA T I C S F e b .2020幂等矩阵的性质及其推广冯福存,㊀常莉红(宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原756000)㊀㊀[摘㊀要]首先对幂等矩阵的简单性质进行了归纳总结,接着论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系㊁幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质.最后讨论了幂等矩阵的两种分解形式.[关键词]幂等矩阵;特征值;实对称矩阵;矩阵分解[中图分类号]O 151.21㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]1672G1454(2020)01G0090G051㊀引㊀㊀言幂等矩阵是一类常见的比较特殊的矩阵,在矩阵理论中具有重要的地位和作用,它的很多优良的性质,对解决矩阵问题大有益处.幂等矩阵及其相关性质具有鲜明的背景㊁丰富的理论,在概率统计㊁模糊数学及信息与计算科学等领域都有重要应用.由于幂等矩阵自身的特殊性,其相关性质和内容的讨论至今仍然是一个热点.但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的,因此,在前人已有的研究基础[1-3]上对幂等矩阵的性质做了一些有益的补充和推广.2㊀基本性质定义1[1]㊀设A 是n 阶矩阵,如果A 2=A ,则称A 为幂等矩阵.由定义1和文献[4]可知λ2-λ=0为幂等矩阵的一个零化多项式,从而幂等矩阵的最小多项式m λ=λ或m λ=λ-1或m λ=λ(λ-1),由最小多项式和特征值的关系可得:性质1[3]㊀幂等矩阵的特征值只能为0或1.由幂等矩阵的定义简单验证可得:性质2[3]㊀如果A 是幂等矩阵,则A T ,A k ,E -A 均为幂等矩阵.性质3㊀如果A 为可逆的幂等矩阵,则A -1也为可逆的幂等矩阵.证㊀由A 可逆,可得A ʂ0,A -1=1Aʂ0,即A -1也可逆.由幂等矩阵的定义得(A -1)2=(A2)-1=A -1.其实,不妨设A 的逆矩阵为A -1,对A 2=A 的两边同时左乘A -1,可得A =E .即可逆的幂等矩阵是单位矩阵.性质4㊀A 和B 是幂等矩阵的充要条件是T =A O O B æèççöø÷÷是幂等矩阵.证T 2=A O O B æèççöø÷÷A O O B æèççöø÷÷=A 2O O B 2æèççöø÷÷.则T 2=T 当且仅当A 2=A ,B 2=B .性质2和性质3从矩阵的运算出发推出幂等矩阵的一些简单性质.可以类似的推理,易证如果A ,B 是幂等矩阵,但λA (λʂ0,1),A +B ,A B 一般不再是幂等矩阵.幂等矩阵还具有那些重要性质和特征呢?幂等矩阵A 的伴随矩阵A ∗是否也是幂等矩阵?下文做一些推导.3㊀幂等矩阵性质的拓广幂等矩阵的特征值只能是0或1,不能由此认为特征值皆是0或1的矩阵是幂等矩阵,可见下例.例1A =111011000æèççççöø÷÷÷÷,求A 的特征值,并判断A 是否为幂等矩阵.解㊀λE -A =(λ-1)2λ,得A 的特征值为λ1=1,λ2=0,但是A 2=122011000æèççççöø÷÷÷÷ʂA .为了让特征值皆为0或1的矩阵是幂等矩阵,需加强条件,可得如下结论:定理1㊀特征值皆为0或1的矩阵A 是幂等矩阵的充分必要条件是A 可对角化.证㊀充分性.A 可对角化,则存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =B ,其中B 为主对角线元素皆为0或1的对角阵,故B 2=B ,且A 2=(P B P -1)2=P B 2P -1=P B P -1=A .即A 是幂等矩阵.必要性.A 是幂等矩阵,则A 的特征多项式为f (λ)=λ(λ-1),又m λf (λ),说明A 的初等因子都是一次的,所以A 的J o r d a n 标准形为对角矩阵,从而A 可对角化.由定理1的证明可知幂等矩阵相似于对角矩阵,而相似矩阵有相同的秩和迹,又幂等矩阵特征值只能为0或1,则对角阵中1的个数就等于所有1的和.另外实对称矩阵一定能对角化,从而可进一步得如下结论:推论1㊀若A 是n 阶幂等矩阵,则r (A )=t r (A ).推论2㊀特征值皆为0或1的实对称矩阵是幂等矩阵.推论3㊀n 阶幂等矩阵按相似关系分类只需按其特征值1的个数r (0ɤr ɤn )分类.共有n +1类.注㊀由定理1及其推论,需要注意的是幂等矩阵不一定是对称矩阵.例如,不妨设a =a 1,a 2, ,a n ()T ,b =b 1,b 2, ,b n ()T ,则当b T a =1时,A =a b T 是幂等矩阵,这是因为A 2=(a b T )(a b T )=a (b T a )b T =a b T =A ,但是A T =(a b T )T =b a T ʂa b T =A .只有当a =b 时或a ,b 中有一个是零向量时A T =A 才成立.定理2㊀n 阶矩阵A 是幂等矩阵的充要条件是r (A )+r (E -A )=n .证㊀必要性.如果A 是幂等矩阵,则E -A 也是幂等矩阵,由推论1可知r (A )+r (E -A )=t r (A )+t r (E -A )=t r (A +E -A )=t r (E )=n .充分性.设A 有r 个非零特征值,由A 的J o r d a n 矩阵知r (A )ȡr .因为E -A 有n -r 个特征值为1和r 个其它特征值,故E -A 至少有n -r 个非零特征值,所以r (E -A )ȡn -r .又因为r (A )+r (E -A )=n ,19第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广故有r (A )=r ,r (E -A )=n -r .设A 的J o r d a n 矩阵为T -1A T =J 1O O J 0æèççöø÷÷(1)其中J 1的主对角线元素恰好是A 的r 个非零特征值,J 0有n -r 个特征值为0.因为r (J 1)=r ,r (J 1)+r (J 0)=r (A )=r ,所以r (J 0)=0,因此J 0=O .由(1)式可得E -A 的J o r d a n 矩阵为T -1(E -A )T =E r -J 1O O E n -r -J 0æèççöø÷÷=E r -J 1O O E n -r æèççöø÷÷.因为r (E -A )=n -r ,所以r (E r -J 1)=0,因此J 1=E r .于是A (E -A )=T E r O O O æèççöø÷÷T -1T O O O E n -r æèççöø÷÷T -1=O .即A 2=A .定理3㊀设A 为n 阶幂等矩阵,则其伴随矩阵A ∗也是幂等矩阵.证㊀因为A ∗依据A 的秩,分3种情况讨论.(i )A 为n 阶可逆矩阵.由性质2可知A ∗=E ,显然为幂等矩阵.(i i )r (A )=n -1.此时A =0,㊀A A ∗=A ∗A =A E =O ,将A 按列分块,不妨设A =(α1,α2, ,αn ),则α1,α2, ,αn 是矩阵方程A ∗X =O 的解,不妨设αi 1,αi 2, ,αi n -1是α1,α2, ,αn 的极大线性无关组,则A ∗αi k =0αi k (k =1,2, .n -1),说明0是A ∗的n -1重特征根.又r (A ∗)=1,则A ∗存在一个非零特征值,不妨设为λ,设该特征值所对应的特征向量为β,即A ∗(β)=λβ,(2)又A ∗2(β)=A ∗(λβ)=λ2β,(3)(3)式减去(2)式,可得(A ∗2-A ∗)(β)=λ(λ-1)β,(4)将(4)式两边左乘A 得A (A ∗2-A ∗)(β)=0=0β.可知A ∗的特征值只能为0或1,故λ=1.则αi 1,αi 2, ,αi n -1,β线性无关,且是对应于特征值0和1的特征向量,令P =(αi 1,αi 2, ,αi n -1,β),则P -1A ∗P =O n -1001æèççöø÷÷.得A ∗=P O n -1001æèççöø÷÷P -1,易得A ∗2=A ∗,故A ∗是幂等矩阵.(Ⅲ)r (A )ɤn -2.由文献[5]可知此时A ∗=O ,显然为幂等矩阵.在定理3第(i i )部分证明的过程中,(2)式两边左乘A 可得λA β=0,因为λʂ0,所以A β=0=0β,说明β是A 的属于特征值0的特征向量.由此可得:推论4㊀若n 阶幂等矩阵A 的秩为n -1,则A 的属于特征值0的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值1的特征向量;A 的属于特征值1的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值0的特征向量.定义2[6]㊀设A ɪℂn ˑn ,若存在矩阵X ɪℂn ˑn ,使得A X A =A ,㊀X A X =X ,㊀A X =X A 成立,则称A 群可逆,X 为A 的群逆,记为A g .定理4[7]㊀方阵A 是群逆阵的充分必要条件是r (A 2)=r (A ).29大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第36卷定理5㊀幂等矩阵的群逆是存在的,并且等于它本身.证㊀设幂等矩阵为A ,则A 2=A ,由定理4可知A 的群逆存在.利用群逆定义A X =X A 和A X A =A 可得A X =A ,又X A X =X ,可得X A =X ,故X =A .4㊀幂等矩阵的分解矩阵的分解是矩阵理论中的一个重要课题,文[8]中总结了在向量组的正交化过程中,可得任意可逆的n 阶实矩阵M 都可以分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R 的乘积:M =Q R .文[9]中得出任意n 阶矩阵A 都可以分解成一个可逆阵与一个幂等矩阵的乘积.受此启发,给出了幂等矩阵的两种分解形式,进一步加强了幂等矩阵与实对称矩阵及满秩矩阵的联系,增强了幂等矩阵的应用背景.定理6㊀设A 是实幂等矩阵,则A 可分解为两个实对称矩阵的乘积.证㊀由性质1和定理1可知,存在可逆矩阵T ,使得T -1A T =E r O O O æèççöø÷÷,故A =T E r O O O æèççöø÷÷T -1=T E r O O O æèççöø÷÷T T (T T )-1T -1=S 1S 2,(5)其中S 1=T E r O O O æèççöø÷÷T T ,㊀S 2=(T T )-1T -1=(T -1)T T -1.显然,S 1和S 2都是实对称矩阵.如果将(5)式如下分解A =T E r O O O æèççöø÷÷T -1=T E r O æèççöø÷÷E r O ()T -1=B C .其中B =T E r O æèççöø÷÷,㊀C =E r O ()T -1.则可得幂等矩阵的满秩分解的结论:定理7㊀任一秩为r 的n 阶幂等矩阵A 可分解成A =B C ,其中B 为秩为r 的列满秩矩阵,C 为秩为r 的行满秩矩阵,且C B =E r .一般的,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A =H L ,可得L H 是满秩矩阵,当r 较小时,利用特征多项式的降阶公式[10]能给计算带来很大的方便.定理7告诉我们对与低秩的幂等矩阵A 进行满秩分解A =B C ,则C B =E r ,由降阶公式可得幂等矩阵的特征值只能为0或1.另外,结合定理1的推论2可得,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A =H L ,若L H =E r ,且A 为对称矩阵,则A 为幂等矩阵.5结㊀㊀论主要论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系,得到了秩为n -1的n 阶幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质.最后给出了将幂等矩阵分解为两个对称矩阵的乘积及将幂等矩阵进行满秩分解的方法.[参㊀考㊀文㊀献][1]㊀龚和林,舒情.关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广[J ].大学数学,2009,25(6):126-129.39第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广49大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第36卷[2]㊀左可正.每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2008,28(4):19-21.[3]㊀张慧.对幂等矩阵的研究[J].陕西科技大学学报,2012,30(6):139-142.[4]㊀冯福存.矩阵的最小多项式的求解及其应用[J].宁夏师范学院学报,2017,38(6):28-32.[5]㊀北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,2005:173-203.[6]㊀武玲玲.幂等矩阵线性组合群逆的研究[D].南宁:广西民族大学,2011:2-3.[7]㊀M e y e rC D.M a t r i xa n a l y s i sa n da p p l i e dl i n e a ra l g e b r a[M].P h i l a d e l p h i a:S o c i e t y f o rI n d u s t r i a la n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s(S I AM)2000.[8]㊀董庆华,王成伟.幂等矩阵的相似标准型与分解形式[J].大庆师范学院学报,2010,30(6):43-45.[9]㊀刘小川,何美.幂等矩阵与秩幂等矩阵的充要条件[J].山西大同大学学报,2011,27(1):9-11.[10]㊀张跃辉.矩阵理论与应用[M].北京:科学出版社,2011:89-93.P r o p e r t i e s a n dG e n e r a l i z a t i o no f I d e m p o t e n tM a t r i xF E N GF uGc u n,㊀C HA N GL iGh o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a nN i n g x i a756000,C h i n a)A b s t r a c t:F i r s t l y,t h e s i m p l e p r o p e r t i e so f i d e m p o t e n tm a t r i c e sa r es u m m a r i z e d,t h e nt h ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o n so f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d t h e r a n g e o f t h e i r e i g e n v a l u e s a r e p r o v e d,a n d t h e r e l a t i o n s b e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d r e a l s y m m e t r i cm a t r i c e s,t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n sb e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n de i g e n v e c t o r so f t h e i r a d j o i n tm a t r i c e s, a n dt h e p r o p e r t i e s o fi d e m p o t e n t m a t r i c e si n g r o u p i n v e r s e s a r e d i s c u s s e d.F i n a l l y,t w o d e c o m p o s i t i o n f o r m s o f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a r e d i s c u s s e d.K e y w o r d s:i d e m p o t e n tm a t r i x;e i g e n v a l u e s;r e a l s y m m e t r i cm a t r i x;m a t r i xd e c o m p o s i t i o n。
关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航(导师:谢涛)(湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002)1.引言在高等代数中,矩阵是代数学的一个重要研究对象,也是数学研究中不可缺少的工具。
我们把满足2A A =的矩阵A 叫做幂等矩阵,把满足2σσ=的线性变换σ叫做幂等变换。
文【1,2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。
本文试图通过引入k 次幂等矩阵和k 次幂等变换的概念,来推广幂等矩阵和幂等变换,并讨论它们的性质。
同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性,文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n 阶k 次幂等矩阵的定义,并总结出相关的一些性质。
而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果,都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b ,其中的系数矩阵A 往往是一个幂等矩阵。
为此,也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。
1.幂等矩阵定义1.1 任何一个满足幂等关系2A A =的矩阵A 称为幂等矩阵。
显然,n 阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。
关于幂等矩阵,目前已有一些结论,我们选择其中一些性质列举如下:1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值;1.1.2所有的幂等矩阵(单位矩阵除外)都是奇异矩阵;1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等,即()()Rank P Tr P =;1.1.4若P 为幂等矩阵,则'P 也为幂等矩阵;1.1.5若P 为幂等矩阵,则I P -也为幂等矩阵()()Rank I P n Rank P -=-所有对称的幂等矩阵(单位矩阵除外)都是半正定的;1.1.6令n ⨯n 幂等矩阵P 的秩为r,则P 有r 个特征1和n r -个特征值0;1.1.7所有的幂等矩阵P 都可对角化的:|000A r I U AU -⎛⎫= ⎪⎝⎭; 1.1.8一个对称的幂等矩阵P 可以表示为T P LL =,其中L 满足T LL I =;1.1.9设有全矩阵()n n I I ⨯=,则1C I n=是一个幂等矩阵; 1.1.10若方阵B 是幂等矩阵,则T B 和B E -也是幂等矩阵;1.1.11若n 阶方阵A 为幂等矩阵,则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n 。
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文(设计)题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix 院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级 A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛,因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结,接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵,然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵,性质,幂等性,线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵 C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵 A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间,即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域,即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域 dim V 线性空间V 的维数1T - 线性变换T 的逆变换 TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明:若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵,设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r = 均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1],据命题1和命题2知, 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫⎪λ⎝⎭ ,由20001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ~0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫ ⎪⎝⎭02若A ~1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ~1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭,1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪⎪⎝⎭,由2n n J J = ,有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠.因此,若A 是幂等矩阵,则A 的若尔当标准型如下:1200000n r J λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵,当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ,使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵,且A 可逆,则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵,则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式 ***[2]()AB B A =.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是,*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或(-1)从而A 可对角化,且其若尔当标准型为 000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或(-1).又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵,则()()N A R E A =-,其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明:由2A A = 有()0A E A -=,立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000r r rE E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000r r E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有:222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======.▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献,并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵)6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -= .10){}()()0N A N E A -= .11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵)6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -= .10){}()()0N A N E A -= .11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=,故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2-=⇒-=.E A Aa A A a()()0()0由a的任意性得2A A=.1)⇔8)必要性: 由2A A=知()()=-.N A R E A于是有dim()dim()=-N A R E A即有rank rank()n A E A-=-亦即rank rank()+-=.A E A n充分性: 由rank rank()+-=易知:A E A ndim()dim()=- (*)N A R E A又对()∀∈,有a N AAa=则有-=-=.E A a a Aa a()由()()a R E A∈--∈-知()E A a R E A即有()()⊂-.N A R E A据(*)式知=-.N A R E A()()=.再由6)得2A A8)⇔9)必要性: 由rank rank()+-=.即知:A E A n+-=.dim()dim()R A R E A n又对n∀∈,有a R=+-,()a Aa E A a而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+--- n =.故有dim[()()]0R A R E A -= .于是, {}()()0R A R E A -= .充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性:同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的,于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+= . 其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+== .即221212O ΛΛ+ΛΛ=.因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有r a n k ()r a n k ()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=--- . 证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=--- 以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间,与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地,与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换.由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==. 2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知,对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =.据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s = .定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈,AB BA =,{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,i c u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈ 若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件,则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u=且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-. 将它们相加得212AB B B u-=--. 又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u=-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=-121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v=-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-. 又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u -=-.结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v=--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v v λ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3i eπε= 满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--. 从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u=-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v=-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v =-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++ 112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑪ A B -可逆.⑫ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑪⇒⑫对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑪⇐⑫对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+ 220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑪ A B -可逆.⑫ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵,1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数,所以111,0r r n λλλλ+====== ,故结论成立. ▌ 推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了.定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又1m i i A E ==∑.则 11rank rank()m mi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
本科毕业论文论文题目:幂零矩阵的性质与应用****:**学号:**********专业:数学与应用数学班级:数学1002班****:***完成日期:年月日幂零矩阵的性质与应用内容摘要在高等数学中,矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵,在矩阵理论中具有举足轻重的地位,实际应用方面也有重要的意义。
幂零矩阵具有很多好的性质,本文将深入挖掘这些性质,并且用不同的方法去分析论证这些性质。
同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质,讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件,并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性,并通过例子说明其在实际中的应用。
关键词:幂零矩阵线性变换逆矩阵若尔当标准型特征值迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstractMatrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words:Nilpotent matrix Linear transformation Inverse matrix Jordan canonical form Characteristic T race.目录一、预备知识 (1)(一)概念 (1)(二)引理 (2)二、幂零矩阵的性质 (3)(一)幂零矩阵的特性 (3)(二)矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (4)(三)幂零矩阵和若尔当块 (5)(四)幂零矩阵的其他性质 (7)三、幂零矩阵的应用 (10)(一)幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (10)1.可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (10)2.求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (11)(二)幂零矩阵在其他方面的应用 (13)结论 (14)参考文献 (15)随着科学技术的迅速发展,古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要,矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
幂等矩阵的例子
1. 嘿,你看单位矩阵不就是个幂等矩阵的典型例子嘛!就像一个永远坚守岗位,每次操作都不改变的忠诚卫士。
2. 零矩阵也是哦!它就像一个安安静静,啥也不影响的小透明,不管怎么和它作用,结果还是它自己呢!
3. 再想想,全是 1 的矩阵也是幂等矩阵呀!就如同一个充满热情,始终保
持一成不变的热血家伙。
4. 还有那种对角线上有些元素是 1,其他都是 0 的矩阵呢,这不也是幂等矩阵嘛,多特别呀!就像人群中有自己独特标志的人一样。
5. 你们想想上次我们碰到的那个矩阵,它居然也是幂等矩阵呢,真是神奇呀!
6. 难道你们不觉得幂等矩阵很有意思吗?就像生活中那些总是保持着某种特性的事物一样让人着迷。
7. 还有一种特殊的矩阵,经过计算发现它也是幂等矩阵呀,这就好像在一堆普通石头中突然发现了宝石一样惊喜。
8. 哎呀,这么多幂等矩阵的例子,是不是让你们对它们有了更深刻的认识呢!总之,幂等矩阵真的是很神奇的存在呀!。
对称幂等矩阵
对称幂等矩阵是一类常见的矩阵,其具有对称性和幂等性。
在线性代数中,对称幂等矩阵被广泛研究,其应用领域涉及到统计学、物理学、工程学等多个领域。
一、什么是对称幂等矩阵
对称幂等矩阵最基本的定义是,它是一个方阵S,它满足S的自乘结果等于S自己:S^2=S。
此外,它还具有对称性,也就是说,矩阵的元素以主对角线为对称轴,左右对称。
二、对称幂等矩阵的性质
1. 对称幂等矩阵的秩等于它的迹;
2. 对称幂等矩阵的特征值只有0和1两个值;
3. 对称幂等矩阵的特征向量构成的空间与矩阵的像有相同的维数,而且是矩阵的不变子空间;
4. 对称幂等矩阵是正交投影算子,它将任意向量投影到它的像上。
三、对称幂等矩阵的应用
1. 在统计学中,对称幂等矩阵用于协方差矩阵的分解。
协方差矩阵是一个对称幂等矩阵,可以表示一个随机向量的方差和协方差的关系;
2. 在物理学中,对称幂等矩阵用于描述对称性问题。
对于具有对称性的物理问题,可以通过对称幂等矩阵来描述对称操作;
3. 在工程学中,对称幂等矩阵用于表示网络中的传递函数。
对称幂等矩阵表示一个从输入到输出的映射关系。
四、总结
通过对对称幂等矩阵的定义、性质以及应用领域的介绍,我们可以看到对称幂等矩阵是一类非常有用的矩阵,它在各个应用领域中都有非常广泛的应用。
同时,对称幂等矩阵也是线性代数重要的内容之
一。
通过学习对称幂等矩阵,我们可以更好地理解线性代数的知识体系,进一步提高自己的数学能力。
矩阵的幂开题报告PPT矩阵的幂开题报告PPT一、引言矩阵是线性代数中的重要概念,广泛应用于各个领域。
在数学和计算机科学中,矩阵的幂是一个重要的概念,它在解决线性方程组、图论、网络分析等问题中起到了关键作用。
本次开题报告将介绍矩阵的幂及其应用,并计划设计一份相关的PPT展示。
二、矩阵的幂矩阵的幂是指将一个矩阵连乘多次的操作。
对于一个n阶方阵A,它的k次幂表示将矩阵A连乘k次,记作A^k。
矩阵的幂运算可以通过迭代或分解方法进行计算。
1. 迭代法迭代法是通过不断迭代计算A的幂,直到达到所需的幂次。
初始时,令B等于单位矩阵I,然后通过B = B * A不断更新B的值,直到达到所需的幂次k。
2. 分解法分解法是通过对矩阵进行分解,将幂运算转化为更简单的计算。
常用的分解方法有特征值分解、奇异值分解和Jordan标准型分解等。
这些分解方法可以将矩阵表示为一些特殊形式的矩阵,从而简化幂运算的计算。
三、矩阵幂的应用矩阵的幂在各个领域都有广泛的应用,下面将介绍其中几个重要的应用。
1. 解线性方程组矩阵的幂在解线性方程组中起到了关键作用。
通过将线性方程组转化为矩阵形式,可以使用矩阵的幂来求解未知变量。
例如,对于一个线性方程组Ax = b,其中A为系数矩阵,x为未知变量向量,b为常数向量,可以使用矩阵的幂来求解x = A^(-1) * b。
2. 图论在图论中,矩阵的幂可以用来表示图的邻接矩阵的幂。
邻接矩阵表示了图中各个节点之间的连接关系。
通过计算邻接矩阵的幂,可以得到节点之间的路径长度,从而用于分析图的结构和性质。
3. 网络分析在网络分析中,矩阵的幂可以用于计算网页排名、社交网络中的信息传播等问题。
例如,PageRank算法就是通过计算网页之间的链接关系矩阵的幂来确定网页的重要性。
四、PPT设计计划针对矩阵的幂及其应用,我们计划设计一份相关的PPT展示。
以下是我们的设计计划:1. 引言部分:介绍矩阵的基本概念和幂运算的定义。
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文(设计)题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛,因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结,接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵,然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵,性质,幂等性,线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间,即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域,即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域dim V 线性空间V 的维数 1T - 线性变换T 的逆变换TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明:若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵,设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r =均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1],据命题1和命题2知, 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,由200001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭ ,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ~0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫⎪⎝⎭02若A ~1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ~1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭,1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,由2n n J J = ,有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠. 因此,若A 是幂等矩阵,则A 的若尔当标准型如下:12000000n r J λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵,当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ,使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵,且A 可逆,则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵,则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式***[2]()AB B A=.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是,*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或(-1)从而A 可对角化,且其若尔当标准型为000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或(-1).又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵,则()()N A R E A =-,其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明:由2A A = 有()0A E A -=,立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000rr r E E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000rr E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌ 性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有:222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======. ▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献,并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=,故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2()()0()0E A Aa A A a -=⇒-=.由a 的任意性得 2A A =.1)⇔8)必要性: 由2A A =知 ()()N A R E A =-.于是有 dim ()dim ()N A R E A =-即有 rank rank()n A E A -=-亦即 rank rank()A E A n +-=.充分性: 由rank rank()A E A n +-= 易知:dim ()dim ()N A R E A =- (*) 又对()a N A ∀∈,有0Aa =则有()E A a a Aa a -=-=.由()()E A a R E A -∈-知()a R E A ∈-即有 ()()N A R E A ⊂-.据(*)式知()()N A R E A =-.再由6)得2A A =.8)⇔9)必要性: 由rank rank()A E A n +-=.即知:dim ()dim ()R A R E A n +-=.又对n a R ∀∈,有()a Aa E A a =+-,而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+---n =.故有dim[()()]0R A R E A -=. 于是, {}()()0R A R E A -=.充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性:同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的,于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+=.其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+==.即221212O ΛΛ+ΛΛ=. 因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有rank()rank()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=---.证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=---以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间,与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地,与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换. 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==.2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知, 对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =. 据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s =.定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈,AB BA =,{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,ic u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件,则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u =且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-.将它们相加得212AB B B u-=--.又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u =-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=- 121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v =-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-.又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u-=-. 结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v =--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v vλ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3ieπε=满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--.从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u =-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v =-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v=-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑴⇒⑵对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑴⇐⑵对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵,1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1 rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数, 所以111,0r r n λλλλ+======,故结论成立. ▌推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了. 定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A E ==∑.则 11rank rank()mmi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。