第04节 三角函数的图象与性质
A 基础巩固训练
1. 函数
，
的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由周期公式知：
2. 设函数()f x =sin()A x ωϕ+(0,A ≠0,ω>)22
ϕππ-<<的图象关于直线23x π=对称,
它的最
小正周期为π，则（ ）
A ．()f x 的图象过点1
(0)2
, B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()f x 的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】根据题意可知，2ω=，根据题中所给的ϕ角的范围，结合图像关于直线23
x π
=对称,可知6
π
ϕ=
，故可以得到()sin(2)6
f x A x π
=+
，而A 的值不确定，所以(0)f 的值不确
定，所以A 项不正确，当2[
,
]123
x ππ
∈时，32[,]632
x π
ππ
+
∈，函数不是单调的，所以B 项不对，而()06
f A π
=≠，所以,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
不是函数的对称中心，故D 不对，而又5()012f π=，
所以5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的对称中心，故选C ．
3. 已知函数()2sin(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<的图象过点，则()f x 的图象的一个对称
中心是 A ．(,0)3
π
-
B ．(,0)6
π
-
C ．(,0)6π
D ．(,0)4π
【答案】B
【解析】因为函数()2sin(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<
的图象过点，所以
3sin 2)0(==ϕf ，且2
π
ϕ<
，则3
π
ϕ=
；令03
2=+
π
x ，即6
π
-
=x ，即()f x 的图象
的一个对称中心是(,0)6
π
-
.
4.【2017山东，文7
】函数2cos2y x x =+ 最小正周期为 A.
π2 B. 2π3
C.π
D. 2π 【答案】C
【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛
⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
,所以其周期2ππ2T ==,故选C. 5. 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，则2cos[()]3
y a b x π
=+- 的最小正周期是（ ）
A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．2π 【答案】A
【解析】∵函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴0,120b a a =-+=， ∴10,3b a ==
，∴12cos()33
y x π=-，∴2613
T ππ==．
B 能力提升训练 1. 函数()2
sin 1
x
f x x =
+的图象大致为（ ）
【答案】A
【解析】根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除,C D 两项，在(0,)π上，函数值是正值，所以B 不对，故只能选A ．
2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
π
=x 对称的是 （ ） A ．s i n (2)3π=-y x B ．s i n (2)6π
=-y x
C ．s i n (2)6π=+y x
D ．s i n ()23
π
=+x y
【答案】B
【解析】s i n (2)3π
=-y x 最小正周期为π，但图象不关于直线3π=x 对称；s i n (2)6
π=-y x 最小正周期为π，且图象关于直线3π=
x 对称；s i n (2)6
π
=+y x 最小正周期为π，但图象不关于直线3π=x 对称；s i n ()23π=+x y 最小正周期为4π，且图象关于直线3
π
=x 对称；因此选B ．
3. 若函数()2sin()3
f x x π
ω=+，且()2,()0f f αβ=-=，αβ-的最小值是2π，则()
f x 的单调递增区间是（ ）
A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈
B ．[,]()36k k k Z ππ
ππ-+∈ C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ D ．5[2,2]()66
k k k Z ππππ-+∈ 【答案】D
【解析】由()2,()0f f αβ=-=，αβ-的最小值是
2π可知,242
T T π
π=∴=，所以1ω=，所以()2sin 3f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，由22()2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，得
522()636
k x k k Z πππ
ππ-
≤+≤+∈，所以函数的单调递增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
，故选D ． 4. 函数)6
2sin(π
-
=x y 的图像与函数)3
cos(π
-
=x y 的图像（ ）
A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心
B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴
C ．既有相同的对称轴但也有相同的对称中心
D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 【答案】A
【解析】当
,3x k k Z π
π=+∈时,cos 13x π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭-=± ,因此)3cos(π-=x y 的对称轴是
