基于单层小波变换的自适应压缩感知图像处理

小波变换在压缩感知领域的应用近年来，随着数字图像和视频的广泛应用，对数据的高效压缩和传输需求日益增长。

在这个背景下，小波变换作为一种重要的信号分析工具，被广泛应用于图像和视频的压缩感知领域。

本文将探讨小波变换在压缩感知领域的应用，并介绍其原理和优势。

压缩感知是一种新兴的信号处理理论，其核心思想是通过对信号进行稀疏表示，从而实现信号的高效压缩和重构。

而小波变换作为一种多分辨率分析工具，能够将信号在时域和频域上进行分解，从而实现对信号的稀疏表示。

因此，小波变换在压缩感知领域具有重要的应用价值。

首先，小波变换能够将信号分解为不同尺度和频率的子带，从而实现对信号的多分辨率分析。

这种多分辨率的特性使得小波变换能够更好地捕捉信号的局部特征，从而提高信号的稀疏性。

在压缩感知中，信号的稀疏性是实现高效压缩和重构的关键。

通过对信号进行小波变换，可以将信号分解为少量的稀疏系数，从而实现对信号的高效表示和传输。

其次，小波变换具有良好的时频局部化特性，能够更好地适应信号的时变性。

在压缩感知领域，信号的时变性是一个重要的特征，传统的压缩方法往往无法充分利用信号的时变特性。

而小波变换能够将信号分解为不同频率和时域上的子带，从而更好地适应信号的时变特性。

这种时频局部化的特性使得小波变换在压缩感知领域具有更好的性能和适应性。

此外，小波变换还能够实现对图像和视频的局部特征提取和分析。

在压缩感知中，对信号的局部特征提取是实现高效压缩和重构的关键。

通过对图像和视频进行小波变换，可以将信号分解为不同频率和空间上的子带，从而实现对信号的局部特征提取。

这种局部特征提取的能力使得小波变换在压缩感知领域具有更好的性能和适应性。

综上所述，小波变换在压缩感知领域具有重要的应用价值。

通过对信号进行小波变换，可以实现对信号的稀疏表示、时频局部化和局部特征提取，从而实现对信号的高效压缩和重构。

小波变换在压缩感知领域的应用已经取得了一系列重要的研究成果，并在实际应用中得到了广泛的应用。

2010年8月Journal on Communications August 2010 第31卷第8A期通信学报V ol.31No.8A 基于单层小波变换的压缩感知图像处理岑翼刚1，陈晓方2，岑丽辉2，陈世明3(1.北京交通大学信息科学研究所，北京 100044；2.中南大学信息科学与工程学院，湖南长沙 410083；3. 华东交通大学电气与电子工程学院，江西南昌 330013)摘 要：根据图像小波变换系数层的特点，提出了基于单层小波变换的压缩感知算法，保留图像低频系数，只对高频系数进行测量。

重构时，利用正交匹配追踪算法（OMP）对高频系数进行恢复，再进行小波反变换重构图像。

仿真结果表明，与原有压缩感知算法相比，重构图像质量得到极大提升，在相同的测量点数下，PSNR平均提高2～4dB。

关键词：压缩感知；图像处理；单层小波变换；图像编码中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2010)8A-0052-04Compressed sensing based on the single layerwavelet transform for image processingCEN Yi-gang1, CHEN Xiao-fang2,CEN Li-hui2, CHEN Shi-ming3(1. Institute of Information Science, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;2. Institute of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;3. School of Electrical & Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)Abstract: According to the properties of wavelet transform sub-bands, an improved compressed sensing algorithm based on the single layer wavelet transform was proposed, which only measured the high-pass wavelet coefficients of the image but preserving the low-pass wavelet coefficients. For the reconstruction, by using the orthogonal matching pursuit (OMP) algorithm, high-pass wavelet coefficients could be recovered by the measurements. Then the image could be recon-structed by the inverse wavelet transform. Compared with the original compressed sensing algorithm, simulation results demonstrated that the proposed algorithm improved the quality of the recovered image significantly. For the same meas-urement number, the PSNR of the proposed algorithm was improved about 2~4dB.Key words: compressed sensing; image processing; single layer wavelet transform; image coding1引言信息技术的飞速发展使得人们对信息的需求量剧增，信号从模拟到数字的转换一直都严格遵守着奈奎斯特采样定理，它指出，采样速率必须达到信号带宽的2倍以上才能精确重构信号。

基于压缩感知的图像处理基于压缩感知的图像处理一、压缩感知在过去的几十年里，人们获取数据的能力不断提高，需要处理的数据量也越来越大，因此信号的带宽也越来越大，所以对信号处理的速度和采样速率的要求也随之提高。

众所周知，奈奎斯特采样定理要求采样率不得低于信号带宽的两倍，这对目前的信号处理能力提出了巨大的挑战。

所以人们试图找到一种新的信号处理技术。

近年来提出了一种新的信号处理理论——压缩感知理论。

压缩感知理论表明：如果信号是稀疏的或者是可压缩的，就可以通过一个测量矩阵将其投影到一个低维的空间上，得到的低维信号成为测量信号，然后将这个测量信号进行传输，在接收端通过接收到的信号和已知的测量矩阵来重构出原始的信号。

理论上指出任何信号经过一定处理后都可以转化为稀疏信号，这也为压缩感知理论在各个领域的广泛使用提供了保障。

1、压缩感知理论传统的信号处理过程包括信号的采样、压缩、传输和重构四个部分，根据奈奎斯特采样定理，信号的采样速率不能低于信号最大带宽的两倍，只有以满足这一要求的采样速率进行采样，才能保证信息不丢失，但是在很多情况下，奈奎斯特采样速率显得很高，实现起来比较困难。

压缩感知是一种新的信号获取的方法，它突破了奈奎斯特采样定理的瓶颈，它将对信号的压缩和采样合并进行，使得测量数据量远远小于传统的采样方法所得的数据量。

压缩感知主要包括三个方面的内容：信号的稀疏表示、信号的压缩采样和信号的重构。

2、信号的稀疏表示前面提到，压缩感知理论只能直接应用于稀疏信号。

如果需要处理的信号是稀疏的，那就不需要稀疏表示这一部分，直接进行压缩采样就行了，但是就目前来看，我们所要处理的大多数信号都不是稀疏信号，这就需要将其转换为稀疏信号。

假设ψ=[ψ1, ψ2, ψ3, , ψN ]为R 空间上的一组基，Ψi (i=1,2,3…N)是N一个N*1的列向量，考虑x =[x 1, x 2, x 3, , x N ]T ，它是一个实值有限长的ψ线性表示：N x ∈R 一维离散信号，。

小波变换在压缩感知图像重构中的应用小波变换是一种数学工具，可以将信号或图像分解成不同频率的子信号或子图像。

它在信号处理和图像处理领域有着广泛的应用。

而压缩感知图像重构是一种利用稀疏表示和压缩感知理论来恢复图像的方法。

本文将探讨小波变换在压缩感知图像重构中的应用。

首先，我们来了解一下压缩感知的基本原理。

在传统的图像压缩算法中，通常采用离散余弦变换（DCT）或离散小波变换（DWT）来提取图像的频域信息，然后利用量化和编码技术来减少数据量。

而压缩感知则是一种新的思路，它认为信号或图像在稀疏表示域中可以以较少的信息进行恢复。

因此，压缩感知图像重构的关键在于如何找到图像的稀疏表示。

小波变换在压缩感知图像重构中的应用主要体现在两个方面：信号或图像的稀疏表示和重构算法。

首先，小波变换可以将信号或图像分解成不同频率的子信号或子图像，这种分解可以提供信号或图像的多尺度表示。

在压缩感知中，我们可以通过小波变换将信号或图像转换到小波域，然后利用小波系数的稀疏性来进行压缩表示。

因为自然图像通常具有较强的局部相关性，所以在小波域中，图像的高频小波系数通常是稀疏的。

通过对小波系数进行适当的阈值处理，我们可以得到信号或图像的稀疏表示。

其次，小波变换还可以用于压缩感知图像重构的算法设计。

在传统的压缩感知算法中，通常采用迭代方法来恢复信号或图像。

而小波变换可以提供一种更好的初始估计，从而加速迭代过程。

具体来说，我们可以通过小波变换将信号或图像转换到小波域，然后将小波系数的绝对值作为初始估计。

在迭代过程中，我们可以根据测量数据和稀疏表示模型来更新估计值，直到达到一定的迭代次数或满足一定的收敛条件为止。

通过这种方式，我们可以在较少的迭代次数下恢复出较好的图像质量。

除了上述的应用，小波变换还可以用于压缩感知图像重构的其他方面。

例如，我们可以利用小波变换的多尺度表示性质来设计更加鲁棒的重构算法，以应对图像中的噪声和失真。

此外，小波变换还可以与其他信号处理技术相结合，如稀疏表示、低秩矩阵恢复等，来进一步提高压缩感知图像重构的性能。

基于压缩感知的图像处理技术研究图像处理技术的发展在现代社会中扮演着至关重要的角色。

随着科技的日益发展，图像处理技术也在不断地提升，为我们的生活和工作提供了更为便利的方式。

对于图像处理技术的研究，不仅需要关注其本身，更要关注其应用，因为应用是对技术最好的检验。

压缩感知技术（Compressed Sensing）便是一种很好的解决方案。

压缩感知技术融合了信号处理、信息理论、计算数学、统计学等多个领域的知识，可有效地在数据存储、数据通信、计算机视觉、医学成像等领域中应用。

一、压缩感知技术概述压缩感知技术于2006年由David Donoho、Emmanuel Candès和Terence Tao等人提出。

它并不是一种图像压缩算法，而是一种从压缩数据中重建信号的新方法。

压缩感知的核心思想是：在采样时采用稀疏性作为先验信息，通过引入随机测量矩阵对稀疏信号进行采样，可以对信号进行高效重建。

与传统的采样方法仅采用正弦函数、切比雪夫等有规律采样不同，压缩感知采用了一些非规律的测量方式来采样信号，从而实现高压缩比和高重建精度。

由于压缩感知技术可实现高效的数据采样和重建，因此被广泛应用于信号处理、图像处理、视频压缩、医学成像等领域。

二、压缩感知技术在图像处理中的应用1、图像压缩图像压缩是指将数字图像的数据进行处理，以减少其数据量的过程。

在图像处理领域中，压缩感知技术被广泛用于图像压缩。

其主要优点是不需要进行变换和量化过程，避免了相关性对图像重建的影响，从而能够保持很高的重建质量。

2、图像重建图像重建是指通过采样的数据重构原始图像。

传统图像重建通常采用插值法，而插值法存在大量的算法复杂度和计算量，难以实现高效快捷的重构。

压缩感知技术则可通过善于利用稀疏性来实现高精度、低误差的重构过程，使其在图像重建领域中得到广泛应用。

3、图像恢复图像恢复是指对损坏、失真的图像进行修复的过程。

在数字图像传输过程中，由于网络噪声、压缩误差等原因，图像容易遭受各种损坏，从而导致图像质量下降。

压缩感知图像处理技术研究压缩感知图像处理技术是一种新型的图像压缩技术，它可以在保证图像质量的同时，显著减小数据传输的带宽，对于图像传输和存储有着重要的应用。

本文将介绍压缩感知图像处理技术的原理、算法和应用。

一、压缩感知图像处理技术的原理压缩感知图像处理技术的原理基于两个假设：稀疏性和不可约性。

稀疏性是指在某个基下，图像信号可以用相对较少的非零系数来表示，而不可约性是指在压缩之后，信号的重建误差可以被限制在某个较小的范围内。

基于这两个假设，可以通过测量信号在某个基下的非零系数，然后通过优化算法来重建原始信号，从而实现图像的压缩。

二、压缩感知图像处理技术的算法压缩感知图像处理技术的算法主要包括稀疏表示、测量矩阵设计和优化算法三个方面。

1.稀疏表示稀疏表示是指将信号表示为某个基下的非零系数。

通常使用的基有小波基和稀疏字典。

小波基是一组基函数，可以将信号分解成不同的频率分量，具有良好的局部性和稀疏性。

稀疏字典是一组基向量，可以通过学习算法来学习得到，能够更好地适应信号的特征。

2.测量矩阵设计测量矩阵是用来测量信号在某个基下的非零系数的矩阵。

一般来说，测量矩阵应该满足随机性和不相关性两个条件。

常用的测量矩阵包括高斯随机矩阵、伯努利矩阵和哈达玛矩阵等。

3.优化算法优化算法是用来重建信号的最优系数的算法。

常用的优化算法包括正则化算法、迭代算法和压缩感知匹配追踪算法等。

其中，压缩感知匹配追踪算法的速度和精度都比较高，是一种非常经典的算法。

三、压缩感知图像处理技术的应用压缩感知图像处理技术在图像传输和存储方面有着广泛的应用。

在图像传输方面，压缩感知技术可以显著减小数据传输的带宽，加快数据传输速度，同时还能够保证图像质量。

在图像存储方面，压缩感知技术可以用来减小存储成本，同时还能够保留较高的图像质量。

此外，压缩感知技术还可以用于医疗图像处理和视频编码等方面。

在医疗图像处理方面，压缩感知技术可以帮助医生更准确地诊断疾病，从而提高治疗效果。

基于单层小波变换的自适应压缩感知图像处理
刘国庆;林京
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(035)001
【摘要】文章在未知二维图像的稀疏度的情况下,提出了基于单层小波变换的自适应压缩感知算法,保留其中的低频系数,只针对高频系数进行测量.在小波变换把二维图像分成低低、低高、高低和高高的4块之后,利用稀疏度自适应匹配追踪算法,分别对其中包含在低高块中的列、高低块中的行、高高块整体中的那些高频系数进行恢复,再进行小波逆变换重构图像.仿真结果表明,与原来的单层小波变换的非自适应压缩感知算法相比,该算法解决了稀疏度未知情况下的图像恢复问题,而且重构图像质量也得到很好的保证,例如在相同的采样率下,新算法与原算法之间的PSNR相差不过2 dB.
【总页数】4页(P141-144)
【作者】刘国庆;林京
【作者单位】合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009;合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9
【相关文献】
1.基于单层双树小波变换和平滑零范数法的压缩感知图像重构 [J], 苏立超;黄添强;吴铁浩;袁秀娟
2.基于单层小波变换的加权压缩感知图像处理 [J], 王晨;高美凤
3.基于单层小波变换的图像融合压缩感知研究 [J], 杜淋
4.基于自适应分块的工业机器人压缩感知视觉图像处理 [J], 张晓东;苏瑞芳;董唯光
5.基于单层小波变换的压缩感知图像处理 [J], 岑翼刚;陈晓方;岑丽辉;陈世明
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如何使用小波变换进行图像压缩感知在当今数字化时代，图像数据的处理和传输已成为日常生活中不可或缺的一部分。

然而，大量的图像数据需要占用大量的存储空间和传输带宽，这给存储和传输带来了巨大的压力。

因此，图像压缩成为了一项重要的技术，以减少数据的存储和传输成本。

小波变换作为一种广泛应用于信号和图像处理的数学工具，被广泛应用于图像压缩领域。

它通过将图像分解为不同尺度和频率的子图像，有效地提取图像的重要信息，从而实现图像的压缩感知。

首先，我们需要了解小波变换的基本原理。

小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解为不同频率的子信号，并对每个子信号进行变换。

小波变换的核心是小波函数，它是一种特殊的函数，具有局部性和多尺度性质。

小波函数可以通过缩放和平移来适应不同频率和位置的信号。

在图像压缩感知中，小波变换可以将图像分解为低频和高频子图像。

低频子图像包含图像的大部分能量，而高频子图像则包含图像的细节信息。

通过对高频子图像进行量化和编码，我们可以实现图像的压缩。

与传统的基于离散余弦变换（DCT）的压缩方法相比，小波变换可以更好地保留图像的细节信息，并且可以在不同尺度上对图像进行分析。

在实际应用中，图像压缩感知可以通过以下步骤实现：1. 小波变换：将原始图像进行小波变换，得到低频和高频子图像。

通常使用二维小波变换，如离散小波变换（DWT）或连续小波变换（CWT）。

2. 高频子图像量化：对高频子图像进行量化，将其转换为离散的数字值。

量化的目的是减少数据的表示精度，从而减少存储和传输的数据量。

3. 熵编码：对量化后的高频子图像进行熵编码，将其转换为更紧凑的编码表示。

常用的熵编码方法包括霍夫曼编码和算术编码。

4. 低频子图像编码：对低频子图像进行进一步的编码。

由于低频子图像包含大量的能量，通常可以使用更简单的编码方法，如差分编码或游程编码。

5. 解码和重构：将编码后的数据进行解码和重构，恢复原始图像。

解码过程是编码过程的逆过程，可以通过逆小波变换来实现。

基于小波变换的图像压缩与重建算法研究图像压缩是数字图像处理中的重要技术，它可以减小图像的存储空间和传输成本。

而小波变换作为一种频域分析方法，具有优秀的时频局部性能特点，被广泛应用于图像压缩与重建中。

本文将对基于小波变换的图像压缩与重建算法进行研究，并探讨其原理、方法、应用和未来发展方向。

一、小波变换原理及其在图像压缩中的应用小波变换是一种多尺度分析方法，通过利用与信号特征尺度相匹配的小波基函数将信号分解到不同频率和相位分量上。

与傅里叶变换相比，小波变换具有时域和频域的局部分析能力，能够更准确地捕捉信号的时频特性。

在图像压缩中，小波变换被广泛应用于离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）和小波系数量化两个关键步骤。

首先，将输入图像进行离散小波变换，得到不同尺度的小波系数；然后，根据图像压缩率的要求，对小波系数进行量化，使得高频细节信息得到压缩。

二、基于小波变换的图像压缩与重建算法1. 离散小波变换（DWT）：离散小波变换是一种常用的小波变换方法，它将图像分解为低频分量和高频细节分量。

在压缩过程中，可以根据不同的需求选择不同的小波基函数和分解层数，以平衡图像质量和压缩率。

2. 小波系数量化：量化是图像压缩的基本步骤之一，其目的是通过舍入或量化步长将连续的小波系数映射为离散的量化值。

在图像压缩中，量化步骤决定了压缩质量和压缩率的平衡。

通常采用基于阈值的量化方法，通过设置阈值来进行小波系数的选择性量化，以减少冗余信息。

3. 码率控制：码率控制是图像压缩算法中一个重要的问题，其中目标是根据压缩率的要求选择适当的量化步长。

合理的码率控制可以保证在满足压缩率要求的同时，尽可能地保留图像的视觉质量。

传统的码率控制方法包括固定量化步长、可变量化步长和基于感知特性的量化方法。

4. 图像重建：在图像解压缩过程中，图像重建是一个关键步骤。

基于小波变换的图像重建算法采用逆小波变换（Inverse Wavelet Transform）将压缩后的小波系数恢复为原始图像。

小波变换在压缩感知中的应用实践指南引言：压缩感知是一种新兴的信号处理技术，它通过在采样阶段对信号进行压缩，以减少采样数据量，从而实现高效的信号重构。

在压缩感知领域，小波变换是一种常用的数学工具，它能够将信号分解为不同频率的子带，从而提供了更好的信号表示和分析能力。

本文将介绍小波变换在压缩感知中的应用实践指南。

一、压缩感知的基本原理压缩感知的基本原理是利用信号的稀疏性，通过少量的线性测量来重构完整的信号。

在传统的采样方法中，需要对信号进行高频率的采样，从而导致大量的冗余数据。

而在压缩感知中，我们通过选择合适的测量矩阵，将信号压缩为稀疏表示，然后利用这些稀疏表示进行信号重构。

二、小波变换的基本原理小波变换是一种将信号分解为不同频率的子带的数学工具。

与傅里叶变换相比，小波变换能够提供更好的时频局部化特性，从而更好地表示非平稳信号。

小波变换将信号分解为低频和高频成分，其中低频成分表示信号的趋势部分，高频成分表示信号的细节部分。

通过对小波系数的阈值处理，我们可以实现信号的稀疏表示。

三、小波变换在压缩感知中的应用1. 信号压缩小波变换可以将信号分解为不同频率的子带，其中高频子带通常具有较低的能量。

因此，我们可以选择保留低频子带的小波系数，而忽略高频子带的小波系数，从而实现信号的压缩。

通过这种方式，我们可以大大减少信号的数据量，提高信号的传输效率。

2. 信号重构在信号传输或存储过程中，由于各种原因（如信道噪声、数据丢失等），信号可能会发生损坏。

通过利用小波变换的稀疏表示，我们可以通过少量的测量数据来重构完整的信号。

具体而言，我们可以使用稀疏表示的小波系数来重构信号，从而恢复原始信号的完整性。

3. 图像压缩小波变换在图像压缩中也有广泛的应用。

通过对图像进行小波分解，我们可以将图像分解为低频和高频子带。

通过选择保留重要的低频子带和舍弃不重要的高频子带，我们可以实现图像的压缩。

同时，小波变换还能够提供更好的图像重构质量，从而保证压缩后图像的视觉效果。

第33卷第6期电子与信息学报Vol.33No.6 2011年6月Journal of Electronics & Information Technology Jun. 2011基于小波稀疏表示的压缩感知SAR成像算法研究王伟伟*①廖桂生①吴孙勇①②朱圣棋①①(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室西安 710071)②(桂林电子科技大学数学与计算科学学院桂林 541004)摘要：高分辨大场景合成孔径雷达(SAR)成像给数据存储和传输系统带来沉重负担。

该文对条带式体制下的SAR 成像，提出基于场景方位向小波稀疏表示的压缩感知成像方法。

该方法首先沿方位向进行随机稀疏采样得到降采样的原始数据，然后在距离向采用传统匹配滤波方法实现脉冲压缩处理，方位向则利用小波基作为场景散射系数的稀疏基，并通过求解最小1l范数优化问题重构方位向散射系数。

所提算法在方位向严重降采样下仍能够实现无模糊的SAR成像，实测数据成像结果表明所提算法具有较好的有效性和一定的实用性。

关键词：合成孔径雷达；压缩感知；小波稀疏基；优化算法中图分类号：TN957.52 文献标识码： A 文章编号：1009-5896(2011)06-1440-07 DOI: 10.3724/SP.J.1146.2010.01171A Compressive Sensing Imaging Approach Basedon Wavelet Sparse RepresentationWang Wei-wei①Liao Gui-sheng① Wu Sun-yong①② Zhu Sheng-qi①①(National Lab of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi’an 710071, China)②(Department of Computational Science and Mathematics, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)Abstract: High resolution and wide swath Synthetic Aperture Radar (SAR) imaging increases severely data transmission and storage load. To mitigate this problem, a compressive sensing imaging method is proposed based on wavelet sparse representation of scatter coefficients for stripmap mode SAR. In the presented method, firstly, the signal is sparsely and randomly sampled in the azimuth direction. Secondly, the matched filter is used to perform pulse compression in the range direction. Finally, the wavelet basis is adopted for the sparse basis, andthen the azimuth scatter coefficients can be reconstructed by solving the1l minimization optimization. Even if fewer samples can be obtained in the azimuth direction, the proposed algorithm can produce the unambiguous SAR image. Real SAR data experiments demonstrate that the effectiveness and stability of the proposed algorithm.Key words: SAR; Compressive Sensing (CS); Wavelet sparse basis; Optimization algorithm1引言合成孔径雷达(SAR)作为一种主动式的对地观测系统，具有全天时、全天候、远距离和宽测绘带的特点，因此获得了广泛应用。

基于小波变换的图像零树压缩感知方法周四望;刘龙康【摘要】稀疏性是压缩感知的前提,然而,自然图像通常不是稀疏的,因此对图像直接应用压缩感知算法很难取得高压缩效率.针对图像信号,将编码思想融入压缩感知理论,提出一种简单有效的零树压缩感知方法.该方法先利用零树思想辅助压缩感知测量,在得到测量值的同时编码重要系数的位置;然后提出零树追踪重构算法,通过精确解码重要系数位置来重构原始图像小波系数,提高重构精度.实验结果表明,相比于现有匹配追踪算法和EZW算法,本文方法有更高的压缩比和更好的图像重构质量.%The basic principle of Compressed Sensing (CS) theory is that if a signal is sparse, CS promises to deliver a full recovery of this signal with high probability from far fewer measurements than the original signal.Unfortunately, image signals usually are not sparse, and thus it is difficult to obtain high compression performance for image compressed sensing.This paper proposed a simple and efficient zerotree compressed sensing method for images.In the proposed scheme, the classical zerotree coding is integrated into the process of measure to encode the precise locations of significant elements, which is used to restore the original image by the proposed pursuit reconstruction algorithm to improve the quality of the reconstructed image.The experimental results show that, compared with the existing matching pursuit algorithms and Embedded Zerotree Wavelet (EZW) coding algorithm, the proposed algorithm achieves much higher compression ratio and better image quality.【期刊名称】《湖南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(044)002【总页数】8页(P129-136)【关键词】小波变换;图像处理;压缩感知;编码【作者】周四望;刘龙康【作者单位】湖南大学信息科学与工程学院,湖南长沙 410082;湖南大学信息科学与工程学院,湖南长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】TP37小波变换是图像压缩的重要方法[1].当图像信号经由小波变换转换到小波域后，其小波域系数隐含多分辨的树结构，存在相关性.在图像的小波域系数中，如果父系数小于给定的阈值，则其子系数也很大概率小于此阈值，利用此相关性对小波系数做进一步的编码，可显著增加图像压缩性能.嵌入式小波零树编码(EZW)[2]是最经典的一种图像编码方法，通过设计正重要系数、负重要系数、孤立零和零树根，将小于阈值的父子小波系数组织成树结构，提高了图像压缩比.Donoho等[3-5]认为，上述传统变换压缩方法鲁棒性差，而且压缩效率存在“自适应”的特点并且依赖信号本身的结构，进而提出了一种称为“压缩感知”的新理论，近年来吸引了越来越多研究人员的关注.设长度为N的信号x满足K-sparse 特性，即x中仅有K(K≪N)个元素为非零，则可由M×N(M≪N)大小的测量矩阵φ将信号x投影到低维空间，得到测量值y：y=φx.通过求解最优化问题：min ‖x‖0s. t . φx=y 即可以由φ和投影测量值y高概率地重构出原始信号，其中‖x‖0表示信号x的0范数.因为M远小于N，信号无需编码即被压缩.研究表明，上述最优化问题的求解可以转化为线性规划问题.Tropp等人[6]提出利用正交匹配追踪(OMP) 算法来重构信号，大大提高了计算的速度，且易于实现.OMP算法的本质是在K-sparse信号x中寻找关键的K个分量.其基本思想是比较测量矩阵φ的每一个列向量与测量值y的内积，每次追踪时确定1个关键分量的位置，并用最小二乘法求解此分量的值，直至找到K个关键的分量，从而重构出原始信号.Donoho等人[7-8]进一步提出了分段正交匹配追踪(StOMP)算法和压缩采样匹配追踪 (CoSaMP)算法，加快了图像重构的速度.信号的稀疏性是实现OMP等压缩感知算法的前提.不幸的是，一般来说图像是非稀疏的二维信号，通常的做法是将图像转换为某种变换域，例如小波域，然后再做压缩感知测量[9-10].当图像转换为小波域后，幅值大的小波系数主要聚集在低频子带，而高频子带的小波系数幅值大多接近于零，具有近似稀疏的特点.图像经多级小波变换后，各子带的小波系数形成层次结构，呈现出父子对应关系.每个父系数有4个子系数；每个子系数像他们的父系数一样，又有4个子系数，依次类推.父子小波系数之间存在时空相关性，一般来说，如果父系数的幅值小，则子系数有很大概率也是小系数.Donoho等人[11]提出多尺度压缩感知 (MCS)算法，对图像小波域的低频子带采用线性传递，而对高频子带则按不同的变换级分别进行压缩感知测量，再利用OMP等算法重构原始图像.MCS算法不拘泥于经典压缩感知理论，它根据图像小波域子带的特征融合压缩感知和线性测量两种方法，获得了好的图像重构质量.值得注意的是，Baraniuk等人[12]的研究表明，如果能利用图像小波域系数层次结构所展示的相关性来设计重构算法，则能进一步提高重构精度.压缩感知重构的效率依赖于信号的稀疏性特征，然而，即使将图像变换到小波域，也仅是近似稀疏的.对OMP等现有压缩感知算法来说，若想获得高的图像重构精度，只能大幅度增加测量次数，从而造成压缩比下降.针对此问题，我们认为仅仅对图像进行压缩感知是不够的.据此，本文将传统数据压缩的编码思想融入压缩感知的测量步和重构步，提出一种基于图像小波变换的零树压缩感知方法，利用小波系数的相关性来提高图像重构质量和压缩比.本节首先介绍零树的定义，然后将零树的思想融入压缩感知理论，提出基于图像小波变换的零树压缩感知方法，包括基于小波零树的测量算法和零树匹配追踪重构算法两部分.测量算法在测量步运行，图像被压缩；重构算法在重构步运行，图像被恢复.1.1 零树和零树根文献[2]中定义了零树根和零树的概念.定义1(零树根) 在图像小波域中，对于一个值为零的小波系数，如果它的父系数是重要系数，而子孙系数均为零，则称之为零树根.定义2(零树) 零树根和它的子孙系数称为零树.零树体现了小波系数的相关性.已知初始阈值，若小波系数的绝对值大于该阈值，则称之为重要系数，反之则是不重要系数.在对图像进行多级小波变换后，小波系数呈现出相互关联的统计特性.若父系数是不重要系数，则其子孙有很大概率也是不重要系数.零树即是利用这种特性定义的一种数据结构.文献[2]基于零树设计一种称为EZW的编码算法，实现了图像压缩.本文将对零树编码加以改造，使之与压缩感知理论相融合，进而提出一种新的零树压缩感知方法.1.2 基于小波零树的测量算法测量算法的核心是两符号零树编码子算法和测量子算法.在两符号零树编码子算法中，我们设计两个符号T和P来编码小波系数，基于零树挖掘多级小波系数之间的相关性.同时基于此编码子算法的结果来设计测量子算法.设扫描遍i的初值为1，图像扫描总次数为L.测量算法总体流程如图1所示.首先，设定初始阈值T0，即第一次扫描的阈值.考虑到将要进行的多遍扫描，初始阈值取2的幂次，其幅值由最大的小波系数确定：式中指绝对值；⎣·」指向下取整；c为图像分解的小波域系数矩阵.在之后的每次扫描时，阈值减小为上一次扫描时阈值的一半，即Ti=Ti-1/2 ,i=2,…,L依据阈值对图像小波系数进行扫描，若小波系数的绝对值大于阈值，则为重要小波系数，予以保留；否则为不重要系数，本轮扫描用零替代，但并不舍弃，而留待下一次扫描.然后，对扫描结果进行编码和测量，即设计零树编码子算法和测量子算法.将小波系数分为2类：一类是零树，包括零树根和它的子孙系数；其他小波系数则归结为另一类.相应地，设计2个符号T和P来编码小波系数，其中：T：编码零树根；P：编码除零树根与其子孙系数外的小波系数.基于符号P和T，我们提出一种编码算法，称之为两符号编码子算法，其算法流程如图2所示.设第i次扫描得到的小波系数矩阵为ci，阈值为Ti-1，编码子算法描述如图3所示. 测量子算法对小波系数矩阵ci进行投影，得到测量值.设测量矩阵为φi，测量子算法叙述如图4所示.在测量子算法的第2)步中，φi的维数由零树编码子算法和向量xi共同确定.其中由xi的维数来确定φi的列数，而编码子算法中符号P的个数来确定φi的行数.在本文中，测量矩阵中的数值为高斯随机数.1.3 零树追踪重构算法重构算法首先利用L次扫描得到的零树编码符号表追踪“重要系数”的位置，然后利用测量值来还原“重要系数”的值，从而重构小波系数矩阵.再经过小波逆变换重构原始图像.零树追踪算法的输入是包括L个编码符号表和L组测量值.由图3和图4不难看出，这正是测量算法的输出.设原始图像的大小为M×N，算法描述如图5所示.从图5所示的算法描述来看，零树追踪重构算法分为2个阶段,第1个阶段是追踪重要系数的位置，即符号P的位置,并依据P的位置确定测量矩阵φi用于重构的支撑集合，即φP.第2个阶段是用最小二乘法还原小波系数，即使用公式yi求解.性质零树追踪重构算法具有嵌入式特征.从图5所述零树追踪算法的第(2)步(for循环步)可以看出，我们提出的重构算法分为L小步，每一步重构出一部分小波系数xi'.随着重构步数向L步逼近，矩阵C与原始图像小波系数矩阵的距离越来越小.也就是说，对C做小波逆变换，得到重构图像的误差越来越小，即具有嵌入式重构的特征.具有嵌入式特征的零树追踪算法鲁棒性强，在此L小步循环中的任意步退出循环，算法依然能够正常重构，得到相应精度的重构图像，循环的次数越多，图像重构的精度就越高.1.4 复杂度分析与示例本小节先从计算复杂度的角度对小波零树压缩感知方法做简要分析，然后以一个8×8的数据矩阵为例，给出算法运行的示例.我们提出的零树压缩感知方法包括测量算法和重构算法.测量算法的核心是两符号零树编码子算法和测量子算法.编码子算法需要对图像的小波变换系数进行遍历，设图像的大小为n(n=M×N)，则第i次扫描时编码子算法的计算复杂度为O(n)；设第i次扫描时得到符号P的个数为pi，L遍扫描得到的大系数总数为p，即pi.这样，测量子算法的计算复杂度为O(pin)，则总的测量复杂度为O(Ln)+O(pn).因为L为预先设定的常数，所以，测量算法的复杂度可以控制在O(pn)以内.重构算法包括还原大系数位置和计算大系数的值.其中，还原大系数位置所需复杂度为O(Ln)；每遍扫描计算大系数值需要n)次操作，共需计算L遍，复杂度为n).因此，重构算法的总重构复杂度为O(p2n).考虑到所有压缩感知算法均需测量矩阵，因而在上述分析中，我们没有考虑生成测量矩阵φ的复杂度.接下来，针对一幅8×8的图像经过3级分解后得到的小波系数矩阵(如图6所示)，以一次Z型扫描为例(即L=1)，给出一个算法实现的示例.首先运行测量算法.依据初始阈值公式(1)可计算出T0=8.第1次扫描后，得到如图7所示的小波系数矩阵.对此矩阵做两符号零树编码，得到编码符号表Clist1={PPPTPTTTTPTTTTTTTPTT}.测量子算法则对小波系数矩阵执行Z型扫描一维化，得到向量x1：x1=(15,10,0,0,-12,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,14,0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0)T.在Clist1中，符号P的个数为6，x1的长度为64，因此测量矩阵φ1的大小为6×64.根据测量公式y1=φ1x1，可计算出测量结果y1=(61.91, 4.807 0,-1.476 3, 25.718 9,11.608 6, 8.516 8)T.从图7可以看出，大系数的个数是4个，但编码中符号P的个数是6.这是因为在测量算法中，我们将零树以外的系数均视为大系数的缘故.然后运行重构算法.重构算法的输入是测量算法的输出，也就是说，输入是Clist1和y1.先由Clist1恢复出大系数的位置，得到矩阵C1，如图8所示.依据C1中符号P的位置和矩阵φ1确定矩阵φp1，再由公式y1计算出重构向量，并按Z型扫描顺序回写入矩阵C.从图9可以看出，矩阵C和图7所示结果一致，表明完全重构了第1次扫描结果.随着扫描级数的增加，矩阵C中的空白元素逐渐被填满，最终还原出如图8所示的小波系数矩阵.1.5 讨论在OMP,StoMP和CosaMP等经典压缩感知重构算法中，追踪重要系数的位置带来了很大的计算复杂度，而且因此引起的位置误差造成重构精度严重下降.本文的基本思路是利用编码思想来精确追踪重要系数的位置，然后再基于最小二乘重构重要系数的值，从而提高重构精度.在测量算法中，编码的目的是追踪重要系数的位置，而无需如EZW算法一样编码重要系数的值，因此我们只简洁地设计了两个符号P和T，既能充分利用小波系数相关性，又能提高压缩比.然而在该子算法中，除零树根和相应的零树元素外的其他系数均被编码成P.这造成我们将孤立的零系数也看成了重要系数，带来了额外的计算开销.但因为小波相关性的缘故，这样的思路不会影响到算法的效率，我们将在实验部分加以验证.多遍扫描提高了稀疏度，也使得我们的方法具有鲁棒性.图像的小波域系数不是严格的稀疏信号，通过多遍扫描，不仅提高了每一次参与压缩感知的子信号稀疏度，而且，多遍扫描具有嵌入式特点，即便是算法意外终止，也会获得相应精度的重构图像，具有鲁棒性.本节测试小波图像零树压缩感知方法的性能，并与OMP，StOMP和CoSaMP等压缩感知算法以及EZW等编码压缩算法进行对比.实验的硬件环境是配置Intel(R) Xeon(r) E4028 四核 2.0 GHz CPU和4 G内存的PC机，软件环境是Windows7和Matlab 7.0.选取128×128大小的Lena，Shepp-Logan Phantom和Mondrian图像进行测试.这3个图像具有很好的代表性，标准测试图像Lena是平滑的自然图像，Mondrian属于简单图像，而Shepp-Logan Phantom则是介于两者之间的医学图像.在实验中，对上述3种图像信号采用Daubechies 9/7进行3层小波分解.本实验的评价指标是运行时间t，压缩比CR和峰值信噪比PSNR.运行时间t用于评估算法的计算复杂度.图像压缩比CR用于评价测量与编码算法的压缩效率，定义为原始图像的数据量Data_image与传输数据量Data_trans的比值.传输数据量即测量算法输出到重构算法的数据量.CR用公式表示如下：PSNR则用于评价重构算法恢复图像的精度.对于大小为M×N的图像，PSNR定义为：式中mn为重构图像第m行n列的灰度值；Xmn为原始图像第m行n列的灰度值；M×N为图像像素个数.图10给出了在传输数据量相同的情况下，Lena，Shepp-Logan Phantom和Mondrian等 3类图像信号在不同方法下重构的视觉效果.其中Lena图像，Shepp-Logan Phantom图像和Mondrian图像的数据传输量分别为9 060字节，6 460字节和5 020字节，相应的压缩比分别为1.8,2.5和3.3.从视觉效果看，本文提出的小波图像零树压缩感知方法远优于OMP算法，同时也好于EZW算法.然而，和原始图像相比，Lena图像的视觉效果还不能满足人们对图像质量的需求.压缩感知理论将采样和压缩结合起来，提高了压缩成像的速度，但要将其应用于自然图像压缩，还需更加深入的研究.在相同的传输数据量下，图11和图12分别比较了各算法的图像重构质量和运行时间.在本实验中，我们用运行时间来评估算法的计算复杂度.从图11可以看出，在重构质量方面，小波零树压缩感知方法优于OMP,StOMP,CoSaMP以及EZW算法，究其原因，是因为我们提出的重构算法通过解码可以精确恢复出大系数的位置，而且，只要采样次数等于符号P的个数，就能完全重构出大系数的值.从图12可以看出，我们提出的重构算法运行时间少于OMP算法；对于Shepp-Logan Phantom图像，本文方法的运行时间与StOMP,CoSaMP以及EZW算法相当，而对于Mondrian和Lena图像，则要花费更长的运行时间.这是因为相比于OMP 算法，本文方法无需逐个追踪重要系数，因而降低了复杂度，节省了运行时间.然而，本文方法需要解码和重构两个过程，相应地带来了额外的时间开销.图13比较了各种方法的压缩效率.可以看出，我们提出的小波零树压缩感知方法比其他方法有更高的压缩比.和EZW算法相比，本文方法采用简洁的两字符零树编码，这样，后续的算术熵编码有更高的效率，因而有更高的压缩比.和OMP，StOMP和CoSaMP等算法相比，本文方法编码了大系数的位置，因而测量次数显著减少.特别是在低重构精度的前提下，本文方法的压缩比远大于其他算法.图14给出了在图像重构质量相同的情况下，各压缩感知测量算法消耗缓存的对比结果.可以看出，相对于OMP，StOMP和CoSaMP等压缩感知匹配追踪算法，本文方法有最少的缓存数据量.这是因为在我们提出的测量算法中，零树编码子算法精确编码了重要系数的位置，因此重构算法可以据此重构重要系数的值.这样，测量矩阵φi的行数就会大大减少，因此比其他算法节省了更多的缓存.图像的小波域系数不是严格稀疏的，因此匹配追踪等压缩感知重构算法很难正确追踪重要系数的位置，从而降低了图像压缩感知的效率.鉴于此，本文将编码思想融入压缩感知的测量步与重构步，提出了一种基于图像小波变换的零树压缩感知方法，包括两符号零树编码子算法、测量子算法和零树追踪重构算法等.针对Lena,Shepp-Logan Phantom和Mondrian等3类测试图像的实验结果表明，在重构时间方面，本文方法的运行时间优于OMP算法；在压缩效率方面，本文方法的压缩比远高于OMP,StOMP和CoSaMP等匹配追踪算法以及EZW编码压缩算法；在重构质量方面，本文方法也有最好的图像恢复精度；同时，本文方法也比OMP,StOMP,CoSaMP等算法消耗更少的缓存.本文提出的零树压缩感知方法具有嵌入式特征，如何利用它来提高顺序压缩感知算法[13]的效率是我们将要进行的下一步工作.†通讯联系人，E-mail:**************.cn【相关文献】[1] DAUBECHIES I. 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基于小波变换的图像压缩方法研究摘要在当今社会，由于图像采集设备的广泛应用以及采集分辨率的逐步提高，图像数据呈指数增长，为了能够充分的利用图像数据，对图像和视频数据进行压缩成为亟待解决的问题并且成为图像处理领域研究的一个热点问题。

而小波变换因其优秀的时-频局部性特征和与人眼视觉系统多通道相吻合的多分辨率分解特性，在图像压缩领域得到了较为广泛的应用，基于小波变换的图像压缩编码算法成为了图像压缩领域中的一个最重要的分支，对其进行的研究和改进无疑是一项相对重要的任务和研究热点。

本文首先介绍小波分析及其性质,对尺度函数、小波母函数、多分辨分析等进行分析。

然后根据近些年发表的学术文章，分析并整理了第二代小波变换的理论与实现方法，分析了第二代小波变换的优点及这些优点在图像压缩中的应用。

还分析了图像小波变换后小波系数的特征，讨论了优化小波系数的小波基选择问题。

最后阐述了当前热门的EZW编码算法和SPIHT编码算法。

关键词：小波变换图像压缩小波基 EZW编码算法SPIHT 编码算法The research of image compression based on WaveletTransformAbstractWith the wide application of image acquisition device and the improvement of acquisition resolution, image data are growing rapidly. In order to utilize the image data effectively, the compression of image and video has become an urgent problem and has become a research hotpot in multimedia technology field. The wavelet transform technology becomes widely used in image compression fieldsfor its good time-frequency partial characteristic and wavelet multi-resolution characteristic matching well with the multichannel model of HVS. The image compression method based on wavelet transform has become an important branch of image compression，study and improve the algorithms of image compression based on wavelet is not only an important task but also a research hot.The thesis introduces the basic concepts of wavelet transform andmultiresolution analysis.Have analyzed and systemically summarized principles and realizing methods of the second generation wavelet, have analyzed advantages of the second generation wavelet transform and their applications in image compression. Characteristics of wavelet coefficients after wavelet transform are analyzed, discussed the optimal wavelet coefficients ofthe wavelet base selection problem. Finally elaborated the current popular EZW coding and SPIHT coding algorithm.Keywords：Wavelet transform Image compression Wavelet EZW coding algorithm SPIHT coding algorithm目录1绪论1.1 引言1.2小波的定义1.3小波的发展历史1.4图像压缩的基本方法及现状2 第一代小波分析的基本理论2.1第一代小波的性质与特点2.2 连续小波变换2.3 离散小波变换2.4 二维小波3 第二代小波分析的基本理论3.1 提升算法的基本方法3.2 Lazy提升3.3提升算法的过程3.4提升变换与第一代小波变换的比较4 基于小波变换的图像压缩方法4.1 图像压缩中小波基的选择问题4.2 EZW编码方法4.2.1 EZW编码方法的基本思想4.2.2 EZW算法实现的一般步骤4.3 SPIHT编码方法4.3.1 SPIHT编码方法的原理4.3.2 SPIHT算法的实现过程4.4 实验结果及结论5 总结与展望1绪论1.1引言科学研究表明，在人类从外界获取的信息中,有80%以上是来自视觉感知的。