华中师范大学2010量子力学考研试题

1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。

、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。

忽略自旋和辐射跃迁。

投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。

求出该常数。

、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。

利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。

四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。

今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。

对普通的氢原子，基态波函数： 。

利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。

五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。

光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。

试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。

量子力学考研真题量子力学在考研真题中的重要性一、引言考研作为一项重要的普通高等教育招生考试，通过对学生综合素质的评价，选拔出优秀的研究生候选人。

而在考研中，量子力学作为一门重要的基础课程，始终占据着重要的地位。

本文将探讨量子力学在考研真题中的重要性，并对相关考点进行梳理与分析。

二、量子力学与考研真题1. 量子力学的背景与基础原理量子力学作为现代物理学的重要分支之一，研究微观领域的物质与能量交互作用的规律。

其基础原理包括波粒二象性、双缝干涉实验、不确定性原理等，这些都是考研真题中常见的知识点。

2. 量子力学的考点与考察方式在考研真题中，量子力学通常以选择题、填空题、计算题等形式出现，要求考生掌握基础概念、原理和应用技巧。

例如，选择题可能会考察波函数、算符、能级等基本概念的定义和性质；填空题则可能要求考生将给定的量子动力学方程进行求解；计算题则常常涉及到具体情境下的能级计算、波函数归一化等。

三、量子力学在考研中的重要性1. 知识体系的完整性量子力学作为现代物理学的重要组成部分，与其他学科如电磁学、热力学等相互关联，共同构成了物理学的知识体系。

了解量子力学的基本原理和概念，有助于建立起一个完整的物理学知识框架，从而更好地理解和应用其他学科的知识。

2. 考研试题的频度与权重考研真题中，量子力学的涉及频率较高，且所占权重较大。

这意味着，对量子力学的掌握程度直接关系到考生在考试中的得分情况。

精通量子力学的考生，能更好地应对考试，获得更多的分数。

3. 实际应用价值量子力学在现代科学和技术中有着广泛的应用，如量子计算、量子通信、量子密码学等。

了解量子力学的基本原理和应用，不仅有助于学生更好地理解科学前沿的发展，还能为将来的科研与工作提供基础。

四、提高量子力学学习效果的措施1. 系统性学习从考研真题中提取出量子力学相关知识点，进行分析和梳理，对基本原理和公式进行透彻理解，形成系统性的学习框架。

2. 多维度练习通过解答考研真题以及扩展习题，加强对量子力学知识的应用与理解。

华师华师物理物理方向考研提示：方向考研提示：1量子力学的命题人貌似是贾亚量子力学的命题人貌似是贾亚教授教授，他所带的基地班用教材是自David J. Griffiths 教授所著教授所著《量子力学概论》第二版，个人感觉看汪德新老师的书同时有空也要翻一翻这个书，网上Griffiths 教授的教材和答案的答案的电子电子版。

版。

2 2011 2012 2013年的试题貌似网上是没有的，2012年的题比较难，2013的题的题很简单很简单，听考上来的人都考一百二三十。

2008年之前的题在华师在华师研究生研究生院网站上应该是可以找到的。

院网站上应该是可以找到的。

3普通物理看程守洙老师的普通物理比较好，特别是要普通物理看程守洙老师的普通物理比较好，特别是要注意力注意力学有个大题一般都非常难，而且基本上都是和“纯滚动”相关的，纯滚动一定要下大力气搞清楚，光学可能是干涉计算。

定要下大力气搞清楚，光学可能是干涉计算。

4复试录取情况，基本上都录取了，刷的人极少，但是复试复试录取情况，基本上都录取了，刷的人极少，但是复试笔试笔试课程的复习还是必须的，2014年自费所以奖学金的竞争可能会很激烈。

年自费所以奖学金的竞争可能会很激烈。

复试联系导师的问题：粒子所老师都还是比较缺学生的，发邮件不回不代表没戏，有几个牛人可能是没空回，建议来复试直接去办公室面谈。

谈。

5一点忠告：刚进粒子所的时候很多同学都一腔热血，要在物理研究上做一番事业，学一年基础课后，会很大程度消磨当初的豪情壮志，对困难要有对困难要有心理准备心理准备，学习上有问题多与同组的师兄师姐交流。

，学习上有问题多与同组的师兄师姐交流。

祝每一份耕耘都有收获祝每一份耕耘都有收获。

《量子力学》题库一、简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为：ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。

等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。

试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。

答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。

或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。

在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。

5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。

在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。

6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

一、填空题（共10题，每题2分，共20分）1. 若某种光的波长为λ，则其光子的能量为 ，动量大小为 。

2. 戴维逊—革末实验主要表现出电子具有 。

3. 若(),x t ψ是归一化的波函数，则()2,x t dx ψ表示4. 设力学量算符ˆF 与ˆG 不对易，且其对易子为ˆˆˆ,F G ik ⎡⎤=⎣⎦，则它们的不确定性关系为 。

5. 厄米算符在自身表象是 矩阵。

6. 从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云的图像，电子云是 ；7. 设氢原子处于态()211021112,,()(,)()(,)3r R r Y r Y ψθϕθϕθϕ-=，求氢原子的角动量z 分量的平均值8. 证明电子具有自旋的实验是 。

9. 两个角动量1211, 2j j ==耦合的总角动量J = 10.共振跃迁意思是 。

共振跃迁意思是 当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即mn ωω≠±时，跃迁概率不大；当mn ωω=±时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概率随时间而增大，称为共振跃迁。

二、判断题（共10题，每题1分，共10分）1. 光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。

2. 若12,,,,n ψψψ是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加1122n n C C C ψψψψ=++++（其中12,,,,n C C C 为复常数）也是体系的一个可能状态。

3. 不同定态的线性叠加还是定态。

4. 因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。

5. 若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。

6. 粒子在中心力场中运动，若角动量L z 是守恒量，那么L x 就不是守恒量。

7. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，则粒子的波函数一定具有确定的宇称。

8. 费米子体系的哈密顿算符Hˆ必须是交换反对称的，波色子体系的哈密顿算符Hˆ必须是交换对称的。

华中师范大学 2004 –2005 学年第二学期期末考试试卷（B 卷）课程名称 量子力学 课程编号 50112200 任课教师 贾亚一、计算题：（共4题，1题20分，2题15分3题15分，4题20分）1． 在zS ˆ表象中，求自旋算符S ˆ在}cos ,cos ,{cos γβα=n 方向投影算符γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆˆz y x n S S S n S S ++=⋅= 的本征值和相应的本征态。

解：在z S ˆ表象中nS ˆ的矩阵表示为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2ˆi i S n（1）则nS ˆ的本征方程为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i λγβαβαγcos cos cos cos cos cos（2）a 、b 不全为零的条件是久期方程)(cos cos cos cos cos cos =+-+--λγβαβαλγi i（3） 解之得1cos cos cos 2222=++=γβαλ，1±=λ（4）故，n S ˆ的本征值为 2±=n S将本征值代入（2）式，可得2 =n S 时的本征函数为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+1cos 1cos cos 2cos 1γβαγψi ； 2 -=n S 时的本征函数为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=-1cos 1cos cos 2cos 1γβαγψi 。

2．质量为μ的粒子束被球壳δ势场散射，)()(0a r V r V -=δ，在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。

解：散射振幅的玻恩近似公式为q r d r r rV q f sin )(2)(02⎰∞-= μθ（1） 其中2sin2θk q =，θ为散射角。

利用δ函数的积分性质，由（1）式可得2s i n2)2s i n 2s i n (2s i n 2)(22020θθμμθka ka a V qa a V f ⋅-=-= （2） 微分截面为qa qa V f 24422022sin 4)()( μθθσ==在高能近似下：1>>ka ，有1>>θka ，)2sin 2sin(θka 随θ变化而迅速振荡，其平方可按21对待。

一、填空题1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067（2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050【答案】（1）B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为（2）A【解析】取x为原点，则有波函数为所求概率即4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。

【答案】波粒二象性5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。

【答案】6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。

【答案】二、选择题7．__________。

【答案】8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。

【答案】9．（1）_____；（2）_____。

【答案】10．下面关于厄米算符的定义式中.正确的为（）.【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数.厄米算符定义式为11．量子谐振子的能量是（）.【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为而本征值为n，于是谐振子能量为第 4 页，共 47 页12．设粒子处于态为归一化的球谐函数，则的平均值为（）。

(),x t 是归一化的波函数，()2,x t dx 表示 t 时刻⎣⎦5/9 。

证明电子具有自旋的实验是 钠黄线的精细结构院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号：------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 4 页)()mn F δω±。

式中,,,n ψ是体系22n n C C ψψ++++（其中1,,,,n C C C 为复常数）也是体系的一个可------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 2 页(共 4 页)r dr +球壳内发现电子的概率（利用球函数的归一性，径向波函数是实函数）20()nl w r dr =⎰2(mn mn r ρω20mn r =，导致跃迁概率为零，20mn r ≠，就得到选择------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 3 页(共 4 页)，求粒子出12ω，转折点μω，经典禁区为,μωμω⎫⎛⎫++∞⎪ ⎪⎪ ⎪和。

华中师范大学2010年硕士研究生入学考试科目名称：量子力学考试时间: 三小时满分:150分
科目代码：825 适用专业:物理学院等相关专业
注意：①所有答案必须写在答题纸或答题卡上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；
②本科目不允许使用计算器；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
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四、证明题（共30分，每小题15分）
1、如果力学量戶守恒，且其算符不显含，，证明该力学量在任意状态
寸中取值的儿率分布不随时间变化o
2、对于一维运动，设有两个波函数寸1和寸2是对应于同—能量E的解, 证明:
（1）寸沖2 -寸2寸1 =常数;
（2）…维运动的束缚态都是不简并的。

量子力学考研模拟题(2)参考答案一、填空题1．矢量，算符，厄米，本征值，态的叠加2．力学量，Hamilton 量，状态，状态，本征态二、1．证明 全同粒子的不可区分性体现在体系Hamilton 量的交换对称性。

也就是说，)1,2(ˆ)2,1(ˆH H= 因此，)2,1(ˆ)2,1(ˆ)1,2()1,2(ˆ)2,1()2,1(ˆˆ1212ψψψP H H H P == 由此得到，0)2,1()ˆˆ)2,1(ˆˆ(121212=-ψP H H P 0)2,1()]2,1(ˆˆ[12=ψH P 所以0]ˆˆ[12=H P ，12ˆP 为守恒量 2．证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=+++++++U dt U d U U dt d i dt U d U i Udt Ud i Hˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆˆ因为Hˆ是幺正的， 1ˆˆ=+U U， 所以0)ˆˆ(=+U Udtd 因此HUdtU d i Hˆˆˆˆ=⋅=++可见Hˆ为厄米算符。

3．证明（1）+--+=3322!3!211yyyi i i eyσθσθθσθσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-= !5!3!4!2115342θθθσθθy i θσθsin cos y i +=(2)由于θσθsin cos yi +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 因此，yi Treθσ=Tr ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos =θcos 2 三、证明 因为)(ˆz y i y z zy i l x --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-= ψψ )(ˆx z i z x x z i l y --=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-= ψψ)(ˆy x i x y yx i l z --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-= ψψ 由此得到)(ˆ22z y l x += ψ，)(ˆ22x z l x += ψ，)(ˆ22y x l x += ψ因此，ψψψψψ222222)(2ˆˆˆˆ =++=++=z y x l l l l z y x可见，z y x ++=ψ是2ˆl 的本征值为22 的本征函数。