2015年高考数学走出题海之黄金30题系列(第01期)专题06考前必做难题30题文(含解析)

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题二 新题精选30题1．设,x y ∈R ，且1i 3i x y +=+，则i x y +等于A ．2B ．4CD ．10【答案】C 【解析】试题分析：由复数相等的条件可得x=3,y=1;从而i x y +1013322=+=+=i ；故选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为A ．1 :B ．3C ．9D ．27【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图知，当输入的x=3知，x>0成立故y=log 33=1,所以输出的y=1; 故选：A ．3．“2a =”是“{}{}1,1,2,3a ⊆”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由2a =知{}{}1,1,2,3a ⊆成立，反之，由{}{}1,1,2,3a ⊆不能得到2a =，还有可能a=3;由充要条件的概念可知“2a =”是“{}{}1,1,2,3a ⊆”的充分而不必要条件. 故选A.4．已知y x ,满足2,1,220,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C5．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面命题正确的是Ａ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α Ｂ．若a ∥b ，b α⊂，则a ∥α Ｃ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ Ｄ．若αβ⊥，a β⊂，则a α⊥ 【答案】C 【解析】试题分析：对于A ，直线a 可能平行α，也有可能在α平面内的，所以A 错误； 对于B ，直线a 同样可能平行α，也有可能在α平面内的，所以B 错误；对于C ，由于两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，所以a α⊥正确； 对于D ，互相垂直的两个平面中的一个平面内的一直线，既有可能与另一平面平行，也有可能相交，还有可能线在面内的，所以D 错误； 故选：C ．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22sin sin sin A B B C -，c =，则角A 等于A ．30B ．60C ．120D ．150 【答案】A 【解析】试题分析：由正弦定理可知：条件22sin sin sin A B B C -等价于：bc b a 322=-，又c =，由余弦定理有23233222cos 22222=-=--=-+=bc b a b c bc a c b A ， 又因为oo A 1800<<， 所以A=30o, 故选A.7．若过点(的直线l 与曲线y =l 的斜率的取值范围为A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．⎡⎣ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】试题分析：如图：由于曲线y =1为半径的在X 轴上方的一个半圆；不难求得过点(的直线与半圆相切时的斜率为：21；所以直线 的斜率的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选D.8．函数cos(sin )y x =的图象大致是【答案】B 【解析】 试题分析：由21sin 12ππ<≤≤-<-x ，所以cos(sinx)>0,故排除A ，D ；且知余弦函数在[0，1]上是减函数，故排除C ； 从而选B.9．在等边ABC ∆中，6AB =,且D ,E 是边BC 的两个三等分点，则∙等于A. 18B. 26C. 27D. 28 【答案】B 【解析】试题分析：如图A∙)()(+∙+=)31()32(+∙+= )3132()3231(+∙+= 22929592+∙+=20269260cos 6695692⨯+⨯⨯+⨯==26 故选B.10．已知1F 为双曲线22:11411x y C -=的左焦点，直线l 过原点且与双曲线C 相交于,P Q 两点．若011=∙QF PF ，则△1PFQ 的周长等于A ．10B ．10C ．22D ．24 【答案】C11．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()f x f x -=,()()22f x f x +=-．若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+=，则曲线()y f x =在5x =处的切线方程为A ．30x y --=B ．70x y --=C ．30x y +-=D ．70x y +-= 【答案】D 【解析】试题分析：由()()f x f x -=,()()22f x f x +=-得)()())2(2()22()4(x f x f x f x f x f =-=+-=++=+知函数()f x 是以4为周期的周期函数, 所以2)1()1()14()5(=-==+=f f f f又由()()22f x f x +=-知: 曲线()y f x =关于直线x=2对称， 所以1)1()5(-=-'-='f f ；从而曲线()y f x =在5x =处的切线方程为)5(2--=-x y 即70x y +-=； 故选D.12．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ）A ．i 54B ．54C ．i 4D ．4 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()534534(34)43,3434345i ii z i z i i i ++-=+∴===--+，故虚部为54. 13．已知O 为坐标原点，点M 坐标为(－2，1)，在平面区域0+20x x y y ≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩上取一点N ，则使MN 取得最小值时，点N 的坐标是( )A .(0，0)B . (0，1)C . (0，2)D . (2，0) 【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组0+20x x y y ≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，得到ABO ∆及其内部，其中()()()2002000A B ，，，，，,点N 是区域内的动点，运动点N ,可得当N 坐标为()01，时，MN y ⊥轴，此时MN 取得最小值2,故选：B .14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为（ ）A .4B .4-C .6D .6-【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00301f m m =+=⇒=-，()()()3log 533log 5log 5314f f ∴-=-=--=-.15．正项等比数列{}n a 满足：3212a a a =+，若存在,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为( ) A .2 B .16 C .83D .32【答案】C 【解析】 试题分析：23211112,2a a a a q a q a =+∴=+，得2q =（负值舍去），又2116m n a a a ⋅=，所以112241111621626m n m n a q a q a m n --+-⋅=⇒==⇒+=，所以()9191919863n mm n m n m n m n +++⎛⎫+=++=≥= ⎪⎝⎭，当且仅当69m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即39,22m n ==时，取等号.16．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】试题分析：21(11)1s =+-=，不满足判断框中的条件，k =2；21(21)2s =+-=，不满足判断框中的条件，k =3；22(31)6s =+-=，不满足判断框中的条件，k =4；26(41)15s =+-=，不满足判断框中的条件，k =5；215(51)31s =+-=，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k =5；故选C ．17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .BC .D 【答案】C试题分析：由三视图知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体，故体积等于考点：三视图、几何体体积18．已知F 1、F 2,P双曲线离心率的取值范围是（ ）A . (1,2]B . [2 +∞)C . (1,3]D . [3，+∞)【答案】C 【解析】试题分析：设2 PF m =，则()12P F a m m c a =+≥-,，所以()22212|24|8|| 4a m a m a m PF ma PF +==++=，得2m a =，所以2c a a -≤，3e ≤ ，故选C .19．已知PC 为球O 的直径，,A B 是球面上两点，且6,4AB APC BPC π=∠=∠=,若球O 的表面积为64π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A．B．CD ．5212 【答案】A 【解析】试题分析：因为球O 的表面积为64π，所以球的半径为4，如图，由题意APC BPC ∆∆，均为等腰直角三角形，求出PA AC PB BC ====∴90POA POB ∠=∠=︒，所以PC ⊥平面ABO ．又6AB ABO =∆， 为等腰三角形，则162S ABO =⨯=，进而可得： 1243P ABC C AOB P AOBV V V =+=⨯⨯=﹣﹣﹣ 故答案为：A .20．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A . ∞（-，0）B . 12（0，） C .（0，1） D .+∞（0，）【答案】B 【解析】，显然要使()f x 21．sin15cos15-=o o12 C. 2-12-【答案】C 【解析】 试题分析：211(sin15cos151-2sin15cos15=1-=,sin15cos150,sin15cos15222-=-<∴-=）oo ooo o o oQ Q法2:sin15cos15sin(4530)cos(4530)2-=---=-o o o o o o法3：sin15cos15cos45cos15sin 45)45)2-=-=-=-o o o o o o o o 22．一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为 A. 38 B.382π- C.382π+ D. 12π- 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其表面积为22(343141)212138ππ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=，故选A.23．已知1,a b ==，且a b ⊥，则||a b +为（ ）（A （B （C ） 2 （D ）【答案】B 【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，2222123a b a a b b +=+⋅+=+=，所以3a b +=，故选B.24．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ）（A ）12（B ）1 （C （D ）2 【答案】C 【解析】试题分析：222a b c bc =+-,由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以1cos ,23A A π==，所以1sin 2ABC S bc A ∆==，故选C. 25．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )（A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ 【答案】C 【解析】试题分析：第一次运算结果为110,22422S n =+==+=；第二次运算结果为113,426244S n =+==+=；第三次运算结果为3111,6284612S n =+==+=，这时应输出结果，停止运算，对照选项，应选C.26．函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于( )（A ）2或0 （B ）2-或2 （C ）0 （D ）2-或0 【答案】B 【解析】试题分析：因为x ∀都有()()44f x f x ππ+=-，所以函数()f x 的对称轴为直线4x π=，所以当4x π=时，函数()f x 取得最大值或最小值，所以()2()244f f ππ==-或，故选B.27．已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点．若AF mFB =，则m 的值为（ ）（A （B ）32（C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】试题分析：如下图所示，抛物线的准线为l ，直线1)y x =-恒过抛物线的焦点(1,0)F ，过点,A B 分别作直线,AA l BB l ''⊥⊥，垂足分别为,A B ''，过B 作直线BC AA '⊥于C ，则(1)AB m BF =+，(1)AC m BF =-，60BAC ∠=︒，所以(1)(1)2(1)(1)AB m BF m AC m BF m ++===--，解之得3m =，故选D.28．若关于x 方程log (0,1)a x b b a a +=>≠有且只有两个解，则 （ ） （A ） 1b = （B ）0b = （C ）1b > （D ） 0b > 【答案】B 【解析】试题分析：函数log (0,1)a y x b a a =+>≠的图象如图所示，由图可知，只有当0b =时，函数log (0,1)a y x b a a =+>≠与直线y b =有且内有两个公共点，即方程log (0,1)a x b b a a +=>≠有且29．（本小题满分14分）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足299,9971-=-=+S a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设nn S b 21=，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：43->n T .【答案】（Ⅰ）212n n a +=-.（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）基本量法，设出1,a d ，列出方程，解之即可.（Ⅱ）先求数列{}n a 的前n 项和n S ，从而可求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法求其n 项和n T ，放缩可证结论成立.30．（本大题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且k ABAE=，点F 为PD 中点. (Ⅰ)若21=k ，求证：直线AF //平面PEC ； (Ⅱ)是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面PAB ，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由，【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)存在，2k =. 【解析】试题分析：(Ⅰ)证线面平行，可在平面内构造一直线与已知直线平行即可，即作//FM CD 与PC 相交于点M ，连接EM ，则直线EM 就是在平面内构造的直线，只要证//AF EM 即可.(Ⅱ)先假设存在常数k ，使平面PED ⊥平面PAB ，由面面垂直的判定求出k 的值，写过程时再返过来写出结果即可. 试题解析：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M .∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21，又FM ∥CD ∥AB ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………6分(Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥平面PAB ．…………8分 ∵k AB AE =，1AB =，22=k ，∴2AE =， 又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE . 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB .又∵PD D E D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………12分。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一经典母题30题(第一期)1．设复数11z i=-，则z 的共轭复数是( ) A ．11i +B ．1i +C ．11i-D ．1i -2．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为()A ．1317个项中，整式的个数是()A ．1B ．3C ．5D ．74．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若1AD BE ⋅=-，则λ的值为()(A B )2(C D )35.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.则a 的值为()(A B C D6.(0ω>)的图象分别向左.个图象的对称轴重合，则ω的最小值为()A.1C .2D .47.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．xy 2=的图像上 D ．12-=x y 的图像上8.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f '(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ''(x )是f '(x )的导数，若方程f ''(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

设函数32115()33212g x x x x =-+-，则20142015g ⎛++ ⎝A ．1B ．2016C ．2015D ．20149.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，所表示的平面区域被直线则k ＝( )A10.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为( )(瓶壁厚度忽见解析不计)A ．π8+B ．π48+C ．π16+D ．π416+11.若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为c b a ,,，则三角形的面积为根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则这个四面体的体积为()A B C D12.则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为( )A13．已知ABC ∆中，设三个内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且则c ＝.14.已知对任意*N ∈n ，向量都是直线x y =的方向向量，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，则=∞→n n S lim _____________．15.ABCD 是矩形，4AB =，3AD =，沿AC 将ADC ∆折起到AD C '∆，使平面AD C '⊥平面ABC ∆，F 是AD '的中点，E 是AC 上的一点，给出下列结论： ① 存在点E ，使得//EF 平面BCD ' ② 存在点E ，使得EF ⊥平面ABD ' ③ 存在点E ，使得D E '⊥平面ABC ④ 存在点E ，使得AC ⊥平面BD E '其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)16.已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，满足线段2PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为．17.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()12f x =()22223x ax a a -+--．若x R ∀∈，()()1f x f x -≤，则实数a 的取值范围为.18.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．①若{,3,6}M =2，则U M ð表示的6位字符串为； ②若{1,3}A =，集合A B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是．19.已知函数x x x f 2sin 22sin )(-=． (1)求函数)(x f 的最小正周期； (2)求函数)(x f y =在20.某批产品成箱包装，每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一，二，三箱中分别有0件，1件，2件二等品，其余为一等品.(1)在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；(2)在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望.21.ABC ∆中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(1,2),(cos 2m n A ==且1=⋅n m .(1)求A 的大小；(2)求ABC ∆的面积并判断ABC ∆的形状.22.深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：(1)采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数； (2)在(1)中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率； (3)用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．23.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令()11n n b -=-14n n na a +，求数列{}nb 的前n 项和n T .24.已知数列{}n a 满足：2,121==a a ，且1123(2,)n n n a a a n n *+-=+≥∈N ． (1)设1()n n n b a a n *+=+∈N ，求证{}n b 是等比数列； (2)(ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (ⅱ)求证：对于任意*∈N n 都有25.如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45A ∠=，90C ∠=，105ADC ∠=，AB BD =，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙)，设点E ，F 分别为棱AC ，AD 的中点．(1)证明DC ⊥平面ABC ；(2)求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3)求二面角B EF A --的余弦值．26.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1AB =，12AA =，M 是1AB 上的动点，且1AB AM λ=，N 是1CC 的中点.(1)，求证：平面1ANB ⊥平面11ABB A ；(2)若直线MN 与平面ABN 所成角的大小为，试求λ的值.27.已知椭圆C ：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ，①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，值最小时，求点T 的坐标．28.(0>>b a )的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F 构成等边三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；(3)试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．29.已知0a >，函数2()ln f x ax x =-. (1)求()f x 的单调区间； (2)当18a =时，证明：方程2()()3f x f =在区间(2，+∞)上有唯一解； (3)若存在均属于区间[]3,1的,αβ且1βα-≥，使()f α＝()f β，证明：ln 3ln 2ln 253a -≤≤．30.已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平 行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)试讨论函数()g x 的单调性； (3)证明：对任意n N *∈，都有。

专题01 经典母题30题一、选择题1．的相反数是（）A. B.﹣ C.2 D.﹣2【答案】B【解析】的相反数是﹣，添加一个负号即可．故选B．2．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD∥BCB.OA=OC，OB=ODC.AD=BC，AB∥CDD.AB=CD，AD=BC【答案】C【解析】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选C．4．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9．这5个数据的中位数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C．【解析】将这组数据重新排序为6，7，8，9，9，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8．故选C．5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D．6．由几个大小不同的正方形组成的几何图形如图，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得：从上面看有两排，前排右边一个，后排三个正方形，故选A．7．不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A．1x3-＞ B．1x3-＜ C．x1-＞ D．x1-＜【答案】C．【解析】移项得，3x ＞﹣1﹣2，合并同类项得，3x ＞﹣3，把x 的系数化为1得，x ＞﹣1．故选C ．8．将抛物线y=x 2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位【答案】A ．【解析】根据图象左移加可得，将抛物线y=x 2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，故选A ．9．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球的个数为（ ）A ．18B ．20C ．24D ．28【答案】C ．【解析】设黄球的个数为x 个，根据题意得：311212=+x ，解得：x=24， 经检验：x=24是原分式方程的解；∴黄球的个数为24．故选C ．10． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是（ ）A.x y 523x 2y 20+=⎧⎨+=⎩B.x y 522x 3y 20+=⎧⎨+=⎩C.x y 202x 3y 52+=⎧⎨+=⎩D.x y 203x 2y 52+=⎧⎨+=⎩【答案】D ．【解析】本题等量关系为：①男女生共20人；②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.据此列出方程组：x y 203x 2y 52+=⎧⎨+=⎩. 故选D ．11．如图，三棱柱的体积为10，其侧棱AB 上有一个点P 从点A 开始运动到点B 停止，过P 点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分，它们的体积分别为x 、y ，则下列能表示y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 【解析】∵过P 点作与底面平行的平面将体积为10的三棱柱截成两个部分的体积分别为x 、y ，∴x+y=10，即y=﹣x+10（0≤x ≤10）．∴函数图象是经过点（10，0）和（0，10）的线段．故选A ．12．如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3D E ．将△ADE 沿A E 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．则下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=CG ；③AG ∥CF ；④S △EGC =S △AFE ；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】①正确．理由：∵AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）；②正确．理由： EF=DE=31CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．∴BG=3=6﹣3=GC ；③正确．理由：∵CG=BG ，BG=GF ，∴CG=GF ，∴△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ．又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ；∴∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF ，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④正确．理由：∵S △GCE =21GC •CE=21×3×4=6，∵S △AFE =21AF •EF=21×6×2=6，∴S △EGC =S △AFE ； ⑤错误．∵∠BAG=∠FAG ，∠DAE=∠FAE ，又∵∠BAD=90°，∴∠GAF=45°，∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=135°． 故选C ．二、填空题13．分解因式：2a a - = ．【答案】()a a 1-.【解析】()2a a a a 1-=-.14．计算：50°﹣15°30′= ．【答案】34°30′．【解析】50°﹣15°30′=49°60′﹣15°30′=34°30′.15．在函数y=中，自变量x 的取值范围是 ．【答案】x ≠﹣2【解析】由题意得，2x+4≠0，解得x ≠﹣2．16．如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在点Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm ．【答案】12【解析】由翻折的性质得，DF=EF ，设EF=x ，则AF=6﹣x ，∵点E 是AB 的中点，∴AE=BE=×6=3，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+（6﹣x）2=x2，解得x=，∴AF=6﹣=，∵∠FEG=∠D=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠BEG，又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BGE ，∴==，即==，解得BG=4，EG=5，∴△EBG的周长=3+4+5=12．故答案为12．17．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数kyx=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．【答案】y=2x．【解析】设OC=a，∵点D在kyx=上，∴CD=ka.∵△OCD∽△ACO，∴23OC AC OC aACCD OC CD k=⇒==. ∴点A的坐标为（a，3a k ）.∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为3a a,22k⎛⎫⎪⎝⎭.∵点B在反比例函数图象上，∴kaak223=，∴a2=2k. ∴点B的坐标为（a2，a）.设直线OA的解析式为y=mx，则m·2a=a，∴m=2.∴直线OA的解析式为y=2x．18．某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为元．【答案】160【解析】设这种商品每件的进价为x元，由题意得，240×0.8﹣x=20%x，解得：x=160，即每件商品的进价为160元．19．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3【解析】如图所示：∵⊙O 的半径为2，弦BC=23，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD=BC=3，在Rt △OBD 中，∵BD 2+OD 2=OB 2，即（3）2+OD 2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA ﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．20．如图，在△ABC 中，AC=BC=8，∠C=90°，点D 为BC 中点，将△ABC 绕点D 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ′，B ′C ′与AB 交于点E ，则S 四边形ACDE = ．【答案】28【解析】由题意可得：∠B=∠BDE=45°，BD=4，则∠DEB=90°，∴BE=DE=22，∴S △BDE =21×22×22=4，∵S △ACB =21×AC ×BC=32，∴S 四边形ACDE =S △ACB ﹣S △BDE =28． 21．分式方程x x 1x 2x -=+的解为x= ． 【答案】2．【解析】去分母得：x 2=x 2﹣x+2x ﹣2，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 0的坐标为（1，0），将线段OM 0绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 1，使得M 1M 0⊥OM 0，得到线段OM 1；又将线段OM 1绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 2，使得M 2M 1⊥OM 1，得到线段OM 2；如此下去，得到线段OM 3，OM 4，OM 5，…根据以上规律，请直接写出OM 2014的长度为 ．【答案】21007．【解析】∵点M 0的坐标为（1，0），∴OM 0=1．∵线段OM 0绕原点O 逆时针方向旋转45°，M 1M 0⊥OM 0，∴△OM 0M 1是等腰直角三角形．∴OM 1OM 0同理，OM 21=2，OM 3OM 2=3，…，OM 2014OM 2013=2014=21007．三、解答题23．（1）计算：(1014sin4512-⎛⎫-︒-+ ⎪⎝⎭ （2）先化简，再求值：()()()2a a 3b a b a a b -++--，其中1a 1b 2==-，．【答案】（1）10；（2）54.【解析】（1）(1014sin45124112-⎛⎫-︒-+=--+ ⎪⎝⎭. （2）()()()2222222a a 3b a b a a b a 3ab a 2ab b a ab a b -++--=-+++-+=+. 当1a 1b 2==-，时，原式=2211511244⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭. 24．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt △ABC 的三个顶点A （﹣2，2），B （0，5），C （0，2）．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，得到△A 1B 1C ，请画出△A 1B 1C 的图形．（2）平移△ABC ，使点A 的对应点A 2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A 2B 2C 2的图形．（3）若将△A 1B 1C 绕某一点旋转可得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标．【答案】（1）图形见解析；(2)图形见解析；(3)旋转中心坐标（0，﹣2）．【解析】（1）如图所示：△A1B1C即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．25．海南有丰富的旅游产品．某校九年级（1）班的同学就部分旅游产品的喜爱情况对游客随机调查，要求游客在列举的旅游产品中选出喜爱的产品，且只能选一项，以下是同学们整理的不完整的统计图：根据以上信息完成下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）随机调查的游客有人；在扇形统计图中，A部分所占的圆心角是度；（3）请根据调查结果估计在1500名游客中喜爱黎锦的约有人．【答案】（1）补图见解析；（2）400， 72°；（3）420.【解析】（1）∵喜爱B产品的人数为60÷15%-80-72-60-76=112（人），∴将条形统计图补充完整如下：（2）400， 72°.（3）420.26．已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．【答案】（1）y=6x ﹣100；（2）120吨；（3）100吨．【解析】（1）设y 关于x 的函数关系式y=kx+b ，∵直线y=kx+b 经过点（50，200），（60，260），∴50k b 20060k b 260+=⎧⎨+=⎩，解得k 6b 100=⎧⎨=-⎩.∴y 关于x 的函数关系式是y=6x ﹣100. （2）由图可知，当y=620时，x ＞50，∴6x ﹣100=620，解得x=120．答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．（3）由题意得，()x 6x 100x 8060020-+-=，化简得x 2+40x ﹣14000=0 解得：x 1=100，x 2=﹣140（不合题意，舍去）．答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 过原点O ，与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，3），点C 为劣弧AO 的中点，连接AC 并延长到D ，使DC=4CA ，连接BD ．（1）求⊙M 的半径；（2）证明：BD 为⊙M 的切线；（3）在直线MC 上找一点P ，使|DP ﹣AP|最大．【答案】（1）52；（2）证明见解析；（3）取点A 关于直线MC 的对称点O ，连接DO 并延长交直线MC 于P ，此P 点为所求，且线段DO 的长为|DP ﹣AP|．【解析】（1）∵由题意可得出：OA 2+OB 2=AB 2，AO=4，BO=3，∴AB=5．∴圆的半径为52． （2）由题意可得出：M （2，32）．∵C 为劣弧AO 的中点，由垂径定理且 MC=52，故 C （2，﹣1）．如答图1，过 D 作 DH ⊥x 轴于 H ，设 MC 与 x 轴交于 N ，则△ACN ∽△ADH ，又∵DC=4AC ，∴ DH=5NC=5，HA=5NA=10．∴D （﹣6，﹣5）．设直线BD 表达式为：y=ax+b ，则6k b 5b 3-+=-⎧⎨=⎩，解得：4k 3b 3⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线BD 表达式为：y=43x+3． 设 BD 与 x 轴交于Q ，则Q （9,04- ）．∴OQ=94．∴2515AQ ,BQ 44== ． ∵222225625BQ ,AB 25,AQ 1616=== ，∴222BQ AB AQ +=．∴△ABQ 是直角三角形，即∠ABQ=90°． ∴BD ⊥AB ，BD 为⊙M 的切线．（3）如答图2，取点A 关于直线MC 的对称点O ，连接DO 并延长交直线MC 于P ，此P 点为所求，且线段DO 的长为|DP ﹣AP|的最大值．设直线DO 表达式为 y=kx ，∴﹣5=﹣6k ，解得：k=56．∴直线DO 表达式为 y=56x 又∵在直线DO 上的点P 的横坐标为2，∴y=53．∴P （2，53）．此时|DP ﹣28．如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线21y x 2=上的一个动点，且点A 在第一象限内．AE ⊥y 轴于点E ，点B 坐标为（0，2），直线AB 交x 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连结BD ．设线段AE 的长为m ，△BED 的面积为S ．（1）当m =S 的值．（2）求S 关于()m m 2≠的函数解析式．（3）①若S AF BF 的值； ②当m ＞2时，设AF k BF=，猜想k 与m 的数量关系并证明．【答案】（1；（2）()S m m >0,m 2=≠ ；（3）①34；②21k m 4=，证明见解析． 【解析】（1）∵点A 是抛物线21y x 2=上的一个动点，AE ⊥y 轴于点E ，且AE m =，∴点A 的坐标为21m,m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴当m =A 的坐标为)1． ∵点B 的坐标为()0,2 ，∴BE=OE=1．∵AE ⊥y 轴，∴AE ∥x 轴． ∴△ABE ∽△CBO ．∴AE BE CO BO=12=，解得CO =∵点D 与点C 关于y 轴对称，∴DO CO ==∴11S BE DO 122=⋅=⋅⋅．（2）①当0<m <2时，如图，∵点D 与点C 关于y 轴对称，∴△DBO ≌△CBO ．∵△ABE ∽△CBO ，∴△ABE ∽△DBO ．∴BE BOAE DO =．∴BE DO AE BO 2m ⋅=⋅= ∴11S BE DO 2m m 22=⋅=⋅=．②当m >2时，如图，同①可得11S BE DO AE OB m 22=⋅=⋅=综上所述，S 关于m 的函数解析式()S m m >0,m 2=≠ ．（3）①如图，连接AD ，∵△BEDS m == A的坐标为32⎫⎪⎭ ． 设ADFAEF BDF BEF S S AF k S S BF∆∆∆∆===，∴ADF BDF AEF BEF S kS ,S kS ∆∆∆∆== ． ∴()BDF BEF ADE ADF AEF BDE BDF BEF BDF BEFk S S S S S k S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆--===--．∴ADEBDE 13S AF 3k BF S 4∆∆===．②k 与m 的数量关系为21k m 4=，证明如下： 连接AD ，则 ∵ADF AEF BDF BEF S S AF k S S BF∆∆∆∆===，∴ADF BDF AEF BEF S kS ,S kS ∆∆∆∆== ． ∴()BDF BEF ADE ADF AEF BDE BDF BEF BDF BEF k S S S S S k S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++===++． ∵点A 的坐标为21m,m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，∴()22ADEBDE 11m m S 122k m m >2S m 4∆∆⋅===．29．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm ？小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】（1）2407mm ，4807mm ；（2）PN=60mm ，PQ 40=mm ． 【解析】（1）设矩形的边长PN=2ymm ，则PQ=ymm ，由条件可得△APN ∽△ABC ， ∴PN AE BC AD =，即2y 80y 12080-=，解得240y 7=，∴PN=2407×2=4807（mm ）. 答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm. （2）设PN=xmm ，由条件可得△APN ∽△ABC ， ∴PN AE BC AD =，即x 80PQ 12080-=，即2PQ 80x 3=-. ∴()()22S PN PQ x 80x x 80x x 602400=⋅=-=-+=--+.∴S 的最大值为2400mm 2，此时PN=60mm ，2PQ 8060403=-⨯=mm ．30．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？【答案】（1）购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．【解析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x 元，则购买一个台灯需要（x+20）元．根据题意 得2116020400⨯=+x x 解得 x=5经检验，x=5是原方程的解．所以 x+20=25．答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）设公司购买台灯的个数为a ，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）由题意得 25a+5（2a+8）≤670解得 a ≤21所以 荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．31．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．不久，第二列快车也从甲地发往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分后，第二列快车与慢车相遇．设慢车行驶的时间为x （单位：时），慢车与第一、第二列快车之间的距离y （单位：千米）与x （单位：时）之间的函数关系如图1、图2，根据图象信息解答下列问题：（1）甲、乙两地之间的距离为 千米．（2）求图1中线段CD 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）请直接在图2中的（ ）内填上正确的数．【答案】（1）900；（2）y=75x （6≤x ≤12）；（3）0.75，6.75．【解析】（1）由函数图象得：甲、乙两地之间的距离为900千米， 故答案为：900；（2）由题意，得：慢车速度为900÷12=75千米/时，快车速度+慢车速度=900÷4=225千米/时，快车速度=225﹣75=150千米/时，快车走完全程时间为900÷150=6小时快车到达时慢车与快车相距 6×75=450千米，∴C （6，450）．设y CD =kx+b （k ≠0，k 、b 为常数）把（6，450）（12，900）代入y CD =kx+b 中，有⎩⎨⎧=+=+450690012b k b k ，解得：⎩⎨⎧==075b k ．∴y=75x （6≤x ≤12）； （3）由题意，得4.5﹣（900﹣4.5×75）÷150=0.75，4.5+6﹣（900﹣4.5×75）÷150=6.75．故答案为：0.75，6.75．32．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB ）．（1）求点D 的坐标．（2）求直线BC 的解析式．（3）在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】【解析】（1）x 2﹣7x+12=0，解得x 1=3，x 2=4，∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3，过D 作DE ⊥y 于点E ，∵正方形ABCD ，∴AD=AB ，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE ，∵DE ⊥AE ，∴∠AED=90°=∠AOB ，∵DE ⊥AE ∴∠AED=90°=∠AOB ，∴△DAE ≌△ABO （AAS ），∴DE=OA=4，AE=O B=3，∴OE=7，∴D （4，7）；（2）过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同上可证得△BCM ≌△ABO ，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C （7，3），设直线BC 的解析式为y=kx+b （k ≠0，k 、b 为常数），代入B （3，0），C （7，3）得，⎩⎨⎧=+=+0337b k b k ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4943b k ，∴y=43x ﹣49； （3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一经典母题30题(第一期)1．设复数11z i=-，则z 的共轭复数是( )A ．11i +B ．1i +C ．11i-D ．1i -【答案】D【解析】由题可知，i i ii z +=-=-=11112，故z ＝1＋i 的共轭复数为z ＝1－i ；2．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为()A ．1【答案】B【解析】因为f (x 0)≥0，所以－x 02＋2x 0＋3≥0，解得：－1≤x 0≤3，所以使f (x 0)≥0成立的概率是B ．317个项中，整式的个数是()A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】B，(,016)k Z k ∈≤≤，要k ＝6，8，10，故有三项，选B .4．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若1AD BE ⋅=-，则λ的值为()(A B )2(C D )3【答案】C【解析】由题意可得：()()()1AD BE AB BD BC CE AB BC BC CA λ⎛⎫⋅=++=++ ⎪211AB BC BC AB CA BC CA λλ⋅++⋅+⋅=5.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.则a 的值为()(A B C D 【答案】D【解析】由题意可知：B b a B B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin =⇒=⇒=，所以，由余弦定理可得：B ac c a b cos 2222-+=即，所以122=a ，所以6.(0ω>)的图象分别向左.重合，则ω的最小值为()A .1C .2D .4 【答案】Cω＞0)y ＝2ω＞0)的图象向右平移②，解①得=0ω不合题意，解②得：ω＝2k ，k ∈Z ，则ω的最小值为2，故选C7.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．x y 2=的图像上D ．12-=x y 的图像上【答案】D【解析】由题可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环， x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环， x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x ＝4＋1＝5＞4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)点(4，8)满足均在函数12-=x y 的图像上；8.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f '(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ''(x )是f '(x )的导数，若方程f ''(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题六考前必做难题30题(理科)(第一期)1、如图，在△中，，是上的一点，若，则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图，∵B，P，N三点共线，∴，∴，即，∴①，又∵，∴，∴②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．2、如图所示，是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，设双曲线的左焦点为，则由双曲线、过原点的直线的对称性，以及可得，又由在双曲线上且可得，故可得到3、设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数．．．的最小值是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，值域为(0，1]，所以；当时，，值域为，所以；当时，，值域为，则，故，当时，值域为，当时，值域为，因为，所以，对称轴为，故在上是增函数，则在上的值域为，即)，有题意知，，解得，故正实数a的最小值为；4、在等腰梯形中，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为( )A.B.C. 2 D.【答案】B【解析】设双曲线的实半轴为，则.设椭圆的长半轴为，则.所以.令，则，在上，都为增函数，又，所以在上，，从而，所以在上单调递减.又在上单调递减，所以在上单调递减，故，即.若对任意不等式恒成立，则.选B.5、已知函数下列是关于函数的零点个数的4个判断:(1)当时，有3个零点；(2)当时，有2个零点;(3)当时，有4个零点；(4)当时，有1个零点．则正确的判断是A．(1)(4) B．(2)(3) C．(1)(2) D．(3)(4)【答案】D【解析】由，即，设，则方程等价为当时，作出函数的图象如图，，此时方程有两个根其中，由，此时有两解，由，知有两解，此时共有4个解，即函数有4个零点.②若，由图象，，此时方程有一个跟，其中，由知此时只有1个解，即函数有1个零点，故答案为D.6、如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：(1)平面平面；(2)当且仅当x＝时，四边形的面积最小；(3)四边形周长，是单调函数；(4)四棱锥的体积为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为( )A．(1)(4) B．(2) C．(3) D．(3)(4)【答案】C【解析】(1)由于，，则，则，又因为，则平面平面；(2)由于四边形为菱形，，，要使四边形的面积最小，只需最小，则当且仅当时，四边形的面积最小；(3)因为，，在上不是单调函数；(4)，＝，到平面的距离为1，，又，，为常函数.故只有(3)正确，选C7、如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得，圆弧在以B为圆心，半径为BG的圆上，而圆弧在以A为圆心，半径为AE＝2的圆上.故＝，由于，故，则，所以＋＝.故选A.8、定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：①；②；③；④.其中是在上的“追逐函数”的有A．1个B.2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合题中所给的追逐函数的定义，可知对于④在区间上的值域为，而函数在上的值域为，所以不成立，而对于③，指数函数比幂函数增长速度更快，到一定程度会是，使得成立，所以不对，可知①②是正确的，所以有两个，故答案为B.9、已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为( )A、B、C、D、【答案】A【解析】∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：又∵∴①是的斜边中点，∴又②③②③代入①∴即∴，所以.10、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：(i)对任意的，恒有；(ii)当，，时，总有成立．则下列四个函数中不是函数的个数是( )①②③④A．1 B．2C．3D．4【答案】A．11、是定义在上的奇函数，若当时，，则关于的函数的所有零点之和为(用表示)【答案】【解析】根据对称性，作出R上的函数图象，由F(x)＝f(x)＋a，所以，零点就是f(x)与y＝－a∈(0，1)交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数f(x)的图象与y＝－a∈(0，1)的交点在(2，4)之间的交点关于x＝3对称，所以，x1＋x2＝6，在(－5，－4)，(－3，－2)之间的两个交点关于x＝－3对称，所以，x3＋x4＝－6，设x∈(－1，0]，则－x∈[0，1)，所以，，即，由，所以，，即，所以，.12、下列结论：①若命题，命题则命题“且”是真命题；②已知直线，则的充要条件是；③若随机变量，则，④全市某次数学考试成绩，则直线与圆相切或相交。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题二 新题精选30题1．在△ABC 中，“B A sin sin >”是“B A >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理k B b A a ==sin sin ，得kbB k a A ==sin ,sin ，由B A sin sin >得k b k a >，即b a >，由大边对大角得B A >；当B A >得b a >，即kbk a >，由正弦定理得B A sin sin >，因此“B A sin sin >”是“B A >”的充要条件，故答案为C. 2．计算：=++)2log 2)(log 3log 3(log 9384A ．45B ．25 C ．5D ．15【答案】A 【解析】试题分析：由换底公式得()()2log 2log 3log 3log 9384++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=9lg 2lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 3lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 453lg 22lg 32lg 63lg 5=⋅=，故答案为A. 3．若55cos sin =+θθ，]π,0[∈θ，则=θtan A ．21-B ．21C ．2-D ．2【答案】C 【解析】试题分析：()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222++=+51=，因此得054cos sin 2<-=θθ，由于[]πθ,0∈，0cos ,0sin <>∴θθ，因此⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，∴()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222-+=-59=，由于0cos ,0sin <>θθ，553cos sin =-θθ，又由于55cos sin =+θθ，55cos ,552sin -==∴θθ，得2cos sin tan -==θθθ，故答案为C. 4．设1F 、2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足︒=∠120MAN ，则该双曲线的离心率为 A ．321B ．319 C ．35D ．3【答案】A5．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（第7题）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一圆锥通过轴截面的半圆锥，底面直径为2，半径为1，高为1， 体积61131212ππ=⋅⋅⋅⋅=V ，故答案为6π.6．已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=aA ．2B ．1C ．21 D ．41 【答案】C 【解析】试题分析：不等式对应的区域如图阴影部分，由y x z +=2，得z x y +-=2，表示的是斜率是2-截距为z的平行直线，由图可知，当直线z x y +-=2经过点C 时，截距最小，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+=121y x x ，得⎩⎨⎧-==11y x即()1,1C ，由于C 点也在()3-=x a y 上，a 21-=-∴，得21=a ，故答案为C. （第2题）侧视图正视图俯视图7．已知圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(Q ，直线AB 交x 轴于点P ，则=⋅||||PB PAA ．4B ．5C ．6D ．8【答案】B 【解析】试题分析：圆配方得()9222=+-y x ，圆心坐标()0,2C ，半径3=r ，()1,1=，因此直线AB 的方程为()()013=-+-y x ，即04=-+y x ，即()0,4P ，设()11,y x A ，()22,y x B ，因此()()2222212144y x y x PB PA +-⋅+-=⋅，由于B A ,在圆上，5412121+=+∴x y x ，5422222+=+x y x ，21421421x x PB PA -⋅-=⋅∴()21211684441x x x x ⋅++-=，联立⎩⎨⎧=--++-=054422x y x x y ，得0111222=+-x x ，211,62121=⋅=+∴x x x x 代入得 5=⋅PB PA ，故答案为B.8．已知()2,M m 是抛物线()220y px p =>上一点，则“1p ≥”是“点M 到抛物线焦点的距离不少于3”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：充分性：当“1p ≥”时，根据抛物线的定义知，点M 到抛物线焦点的距离等于其到准线的距离：1522222p +≥+=； 必要性：当“点M 到抛物线焦点的距离等于其到准线的距离不少于3”所以解得：2p ≥，所以答案为B. 9．在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ） AB ．2 C．D ．4【答案】B 【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，得到：1sin1202bc ︒=122c ⨯=2c =，由余弦定理得：22222222cos12012a =+-⨯⨯︒=解得：a =，根据正弦定理得三角形外接圆的半径2=，所以答案为：B.10．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ） A ．[8,10]- B ．[7,10]- C ．[6,8]-D ．[7,8]-【答案】B 【解析】试题分析：根据题意4,23,2x y x yz x y x y+≥-⎧=⎨-<-⎩，经可行域画出图形，可知为封闭区域且顶点坐标分别为:当2x y ≥时()()()()2,2,2,1,2,1,2,2A B C D ---,分别代入目标函数得到：24210z =⨯+=，2417z =⨯-=，2417,2426z z =-⨯+=-=-⨯+=-，当2x y <时，()()2,1,2,1B C --，()()2,2,2,2E F ---，分别代入目标函数得到：()3217,2317z z =⨯--==-⨯-=-，()()3217,2317,2324,2328z z z z =⨯--==-⨯-=-=-⨯--=-=⨯+=，综上z 的取值范围为：[]7,10-.（解法二：平移）11．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中,m n 均大于0，则nm21+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】试题分析：根据对数函数的性质，知()2,1A --，根据点A 在直线10mx ny ++=上，所以有：()2100,0m n m n --+=>>即：()210,0m n m n +=>>，所以当0,0m n >>时，()121242448n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当“2m n =”即：11,42m n ==时取“=”），所以答案为C.12．设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若0)()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是 （ ）A ．1 BC ．eD ．3【答案】B 【解析】试题分析：函数()y f x =在其图像上一点()()00,x f x 处的切线方程根据求导得到：()20000426y x x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭064ln x x -+，由此能推导出x x x x f ln 46)(2+-=，根据求导得到：存在.13．已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概率是（ ） A.14 B.13 C.27 D.12【答案】C. 【解析】试题分析：02001()21log 224f x x x ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，∴所求概率为422817-=-．． 14．若执行如下图所示的程序框图，则输出的a =（ ） A ．20 B ．14 C ．10 D ．7【答案】C. 【解析】试题分析：依次执行程序框图中的语句，可得：①10a =，1i =；②5a =，2i =；③14a =，3i =；④7a =，4i =；⑤20a =，5i =；⑥10a =，6i =，又∵当2016i =时，跳出循环，而201615403=+⨯，∴输出的10a =．15．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()f x 的图象（ ） A.关于直线12x π=对称 B.关于直线512x π=对称 C.关于点(,0)12π对称 D.关于点5(,0)12π对称 【答案】B. 【解析】试题分析：∵()f x 最小正周期为π，∴22ππωω=⇒=，∴()f x 向右平移3π个单位后得到2()sin[2()]sin(2)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，又∵()g x 函数图象关于原点对称，∴23k πϕπ-+=，23k πϕπ=+，k Z ∈，又∵||2πϕ<，∴21||132k k ππ+<⇒=-， 3πϕ=-，∴()sin(2)3f x x π=-，当12x π=时，236x ππ-=-，∴A，C 错误，当512x π=时，232x ππ-=，∴B 正确，D 错误．16．已知在圆22420x y x y +-+=内，过点(1,0)E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. B.【答案】D. 【解析】试题分析：由题意，将圆的方程化为标准方程：22(2)(1)5x y -++=，圆心坐标(2,1)F ，半径r =如图，显然当AC 为直径最长，即AC =而当EF BD ⊥时最短，EF ==BD ==12ABCD S AC BD =⨯=..17．已知某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）A.16B.32C.48D.144 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意可得，该几何体为为四棱锥P ABCD -，∴11(2+6)66=48332P ABCD V Sh -==⨯⨯⨯..18．已知实数a ，b 满足23a=，32b=，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ） A.(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2) 【答案】B. 【解析】试题分析：∵23a=，32b =，∴1a >，01b <<，又∵()x f x a x b =+-， ∴1(1)10f b a-=--<，(0)10f b =->，从而由零点存在定理可知()f x 在区间(1,0)-上存在零点． 19．已知实数x ，y 满足条件2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，若目标函数3z x y =+的最小值为5，则其最大值为（ ）A.10B.12C.14D.15 【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的平面区域，即可行域，作直线l ：3y x =-，平移l ，从而可知当2x =，4y c =-时，min 324105z c c =⋅+-=-=，∴5c =， ∴当433c x +==，813cy -==时，max 33110z =⋅+=..20．已知点O 为双曲线C 的对称中心，过点O 的两条直线1l 与2l 的夹角为60，直线1l 与双曲线C 相交于1A ，1B ，直线2l 与双曲线C 相交于点2A ，2B ，若使1122||||A B A B =成立的直线1l 与2l 有且只有一对，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A.2]B.2)C.)+∞D.)+∞ 【答案】A. 【解析】试题分析：分析题意可知，1l 与2l 的斜率都存在，设1l ：1y k x =，11(,)A x y ，22(,)B x y ，双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程可得2221221k x x a b -=2222221a b x b a k ⇒=-，∴1112|||A B x x =-=22||A B =又∵1122||||A B A B =2212k k =⇒=，显然12k k ≠，∴12k k =-，∵1l 与2l 夹角为60，∴不妨1k =，2k =或1k =2k =∵满足条件的1l ，2l 只有一对，∴13k =或1k =仅有一值能符合方程2222221a b x b a k =-，∴222210(3330b ac e a b a ⎧->⎪⇒=∈⎨⎪-≤⎩. 21．已知数列{}n a 的通项公式为*(1)(21)cos 1()2nn n a n n N π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则60S =（ ） A ．-30 B ．-60C ．90D ．120【答案】D. 【解析】试题分析：由题意可得，当43n k =-时，431n k a a -==，当42n k =-时，4268n k a a k -==-，当41n k =-时，411n k a a -==，当4n k =时，48n k a a k ==，∴43424148k k k k a a a a ---+++=，∴60815120S =⋅=. 22.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若22()S a b c +=+， 则cos A 等于（ ） A.45 B.45- C.1517 D.1517- 【答案】D. 【解析】试题分析：∵222221()2(sin 1)4S a b c a b c bc A +=+⇒=+--，由余弦定理可得1sin 1cos 4A A -=，联立22sin cos 1A A +=，可得15cos 17A =-． 23．4(1)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（ ）A.-100B.-15C.35D.220 【答案】A. 【解析】试题分析：由二项式定理可得，6(2)x -展开式第1r +项，616(2)r r r r T C x -+=-，∴3x 的系数为336(2)160C -=-，4x 的系数为226(2)60C -=，∴6(1)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为16060100-+=-．24．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为（ ） A.115 B.15 C.14 D.12【答案】B. 【解析】试题分析：由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1-3天，第2-4天，第3-5天，第4-6天四种情况，∴所求概率333363415A P C A ⋅==⋅．25．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该曲线交于A ，B 两点，若OA OB +与向量(3,1)n =--共线，则双曲线C 的离心率（ ）3 C.43D.4 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，可将直线方程设为y x c =+，代入双曲线的方程并化简可得22222222()20b a x a cx a c a b ----=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴212222a cx x b a +=-， 212122222b c y y x x c b a +=++=-，∴22222222(,)a c b cOA OB b a b a +=--，又∵OA OB +与(3,1)n =--共线，∴2222222233a cbc c e b a b a a =⋅⇒==--． 26．设函数()||f x x x a =-，若对1x ∀，2[3,)x ∈+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,3]-∞-B.[3,0)-C.(,3]-∞D.(0,3] 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意分析可知条件等价于()f x 在[3,)+∞上单调递增，又∵()||f x x x a =-，∴当0a ≤时，结论显然成立，当0a >时：则22 () x ax x af x x ax x a⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，∴()f x 在(,)2a-∞上单调递增，在(,)2a a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，∴03a <≤，综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞．27．（本小题满分13分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边，且2c =，3C π=.（1）若ABC ∆a ，b ； （2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值. 【答案】（1）2a b ==；（2）2A π=或6π. 【解析】试题分析：（1）利用条件中结合余弦定理可得222242cos3a b ab a b ab π=+-=+-，再由ABC ∆的面积4ab =，联立方程即可求解；（2）将条件中的等式作三角恒等变形为sin cos 2sin cos B A A A =，分cos 0A =，cos 0A ≠两种情况分类讨论即可求解.试题解析：（1）∵2c =，3C π=，由余弦定理得222242cos3a b ab a b ab π=+-=+-，∵ABC ∆的面1sin 2ab C =4ab =，联立22424a b ab a b ab ⎧+-=⇒==⎨=⎩；（2）∵sin sin()2sin 2C B A A +-=，，∴sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， ∴sin cos 2sin cos B A A A =，①当cos 0A =时，2A π=，②当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得a =b =，∴222b ac =+，即2B π=，又∵3C π=，∴6A π=，综上所述，2A π=或6π. 28．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对*n N ∀∈，有22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n b ={}n b 的前n 项和为n T ，求1T ，2T ，3T ，…，100T 中有理数的个数.【答案】（1）n a n =；（2）9.29．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，//AD BC ，6AD =，24BC AB ==，E ，F 分别在BC ，AD上，//EF AB ，现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）若1BE =，是否在折叠后的线段AD 上存在一点P ，且AP PD λ=u u u r u u u r，使得//CP 平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（2）求三棱锥A CDF -的体积的最大值，并求此时二面角E AC F --的余弦值．【答案】（1）存在32λ=；（2）A CDF V -体积的最大值为3. 【解析】试题分析：（1）首先利用线面垂直的判定可证得AF ⊥平面EFDC ，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量，即可求解；（2）设BE x =，即可建立A CDF V -关于x 的函数关系式，从而可得A CDF V -的最大值，再求得平面ACE 与平面ACF 的法向量，即可求解. 试题解析：∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF平面EFDC EF =，FD EF ⊥，∴FD ⊥平面ABEF ，又∵AF ⊂平面ABEF ，∴FD AF ⊥，在折起过程中，AF EF ⊥，同时FD EF F =，∴AF ⊥平面EFDC ，故以F 为原点，以FE ，FD ，FA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）（1）若1BE =，则各点坐标如下：(0,0,0)F ，(0,0,1)A ，(0,5,0)D ，(2,3,0)C ，∴平面ABEF 的法向量可为(0,5,0)FD =，∵AP PD λ=，∴151(0,,)1111FP FA FD λλλλλλ=+=++++，若//CP 平面ABEF ，则必有CP FD ⊥，即0C P F D ⋅=，∵32132(2,,)(0,5,0)50111CP FD λλλλλ-+-+⋅=-⋅=⋅=+++，∴32λ=，∴AD 上存在一点P ，且32A P P D =，使得//CP 平面ABEF ；（2）设B E x =，∴(04)AF x x =<≤，6FD x =-，故21112(6)(6)323A C D F V x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-+，∴当3x =时，A CDF V -有最大值，且最大值为3，∴(0,0,3)A ，(0,3,0)D ，(2,1,0)C ，(2,0,0)E ，∴(2,0,3)AE =-，(2,1,3)AC =-，(0,0,3)FA =，(2,1,0)FC =，设平面ACE 的法向量111(,,)m x y z =，则00m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111230230x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，不妨令13x =，则10y =，12z =，则(3,0,2)m =，设平面ACF 的法向量222(,,)n x y z =，则0n FA n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2223020z x y =⎧⎨+=⎩，令21x =，22y =-，20z =，则(1,2,0)n =-，则cos ,||||13m n mn m n ⋅<>===， ∴二面角E AC F --的余弦值为65. 30．（本小题满分12分）为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． 【答案】（1）7；（2）ξ的分布列如下： 5E ξ=. 【解析】试题分析：（1）用事件A 表示至少有一名“高个子”被选中，则其对立事件A 表示没有一名“高个子”被选中，求对立事件A 的概率，即可求解；（2）根据题意可知，ξ服从二项分布2(3,)5B ，从而利用独立重复试验概率的求解，即可得ξ的概率分布及其期望.试题解析：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51306=，∴选中的“高个子”有11226⨯=人，“非高个子”有11836⨯=人，用事件A 表示至少有一名“高个子”被选中，则其对立事件A 表示没有一名“高个子”被选中，则232537()111010C P A C =-=-=，因此至少有一人是“高个子”的概率是710；（2）依题意，抽取30名学生中12名是“高个子”，∴抽取一名学生是“高个子”的频率为122305=，频率当作概率，那么从所有高中生中抽取一名学生是“高个子”的概率是25，又∵所取总体数量较多，抽取3名学生看成进行3次独立重复试验，∴ξ服从二项分布2(3,)5B ，ξ的取值为0，1，2，3，033227(0)(1)5125P C ξ==-=，1232254(1)(1)55125P C ξ==-=，2232236(2)()(1)55125P C ξ==-=，33328(0)()5125P C ξ===，∴ξ的分布列如下：∴01231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或26355E ξ=⨯=）.。

2015年高考数学走出题海之黄金系列05考前必做基础30题1. 集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =I （ ）A ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤【答案】B【解析】由题意{0,1,2,3,4,5,6}A =，{{03}B x x x =<>或，所以{4,5,6}A B =，选B.2. 已知直线1ax by +=与圆22:1O x y +=相切，则ab 的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 2D.4 【答案】B【解析】直线1ax by +=与圆22:1O x y +=相切，则圆心到直线的距离为11d ==221a b ∴+=，而221=2a b ab +≥，则12ab ≤，（当且仅当a b =时取等号）；ab 的最大值为12，选B3. 在等差数列{}n a 中， 1a ，2015a 为方程016102=+-x x 的两根，则=++201410082a a a （ ）A ．10B ．15C ．20D ．40【答案】B【解析】等差数列{}n a 中， 1a ，2015a 为方程016102=+-x x 的两根，则1020151=+a a ，102014220151=+=+a a a a ，102100820151==+a a a ，51008=a ，则=++201410082a a a 10+5=15.4. 在7(1)ax +的展开式中，3x 项的系数是2x 项系数和5x 项系数的等比中项，则实数a 的值为（ ） A ．259 B ．45 C ．253D ．53【答案】A 【解析】试题分析:根据二项式定理，3x 项的系数为347a C ，2x 项系数为257a C ，5x 项系数527a C ，由3x 项的系数是2x 项系数和5x 项系数的等比中项，则5272572347)(a C a C a C ⋅=，则925=a . 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4 D 【答案】A6. 已知向量,a b 满足3,2,5a b a b ==+=，则向量a 与b 夹角的余弦值为 ． 【解析】225,2cos 743cos a b a a b b θθ+=∴+⋅+=+最，BCD．周期为π，图象关于点【答案】B【解析】将函数()cos2f x x =的图象向右平移x 2sin =，对称轴方程 ()()()x g x x x g -=-=-=-2sin 2sin ，为奇函数，图象不关于A 不对，()x g 是奇函数，故C不对，周期π=T ，不关于点 B. 10. 已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0- 【答案】D 是方程的一个零点；由题意，得0=+a e x 有一个非正根，则x e a -=，(]0,∞-∈x ， 10≤<∴x e ，即01<≤-a .11. 设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =,则(113.5)f =（ ）A ．10B ．10- D 【答案】B，∴()f x 是最小正周期为6的周期函．12. 过抛物线：()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为60︒的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线上，则双曲线的离心率为 ;【答案】3【解析】过抛物线：()220y px p =>的焦点F (,0)2p，倾斜角为60︒的直线l 的方程为)2py x =-，直线l 与抛物线在第一象限的交点为3()2p ，点A 也在双曲线：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线上，应在b y x a =32b p a =⨯，则有22433b b a a =⇒=，222222=e -1b c a a a -=24733e e =⇒=⇒= 13. 已知函数()ln f x x =与函数()sin xg x x=，(,0)(0,)x ππ∈-⋃，则两个函数在x ∈(,0)(0,)ππ-⋃上交点个数为 ；【答案】2 【解析】试题分析：函数()ln f x x =，0x ≠，是一个偶函数，先画出当0,ln x y x >=的图象，根据偶函数图象关于y 轴对称，在画出y 轴左侧的图象；又因为()sin xg x x=，2sin cos ()sin x x xg x x-'=，当[，）2x ππ∈时，()0g x '>，当(0,)2x π∈时，sin tan ,cos sin x x x x x x <<<，则()0g x '>，可见()g x 在（0，）π上为增函数，而()()sin()sin x xg x g x x x--===-，则()g x 也是偶函数，图象关于y 轴对称，最后当0x →时，利用单位圆可以看出非常小的角x 所对的弧长为x 与角x的正切线相比已非常接近，即sin x x →，即1sin xx→，从另一个角度利用洛必达法则，sin x xlin x→=0()1limlim 1(sin )cos x x o x x x →→'=='，画出函数()g x 的图象，可见两个函数在x ∈(,0)(0,)ππ-⋃上交点个数为2个；14. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =；②()cos f x x =④2()f x x =.则输出的函数是（ ）A. ()sin f x x =B. ()cos f x x = D. 2()f x x = 【答案】A【解析】对①()sin f x x =，显然满足()()0f x f x +-=，且存在零点.故选A.15..如图，圆221x y +=上一定点A(0，1),一动点M 从A 点开始逆时针绕圆运动一周，并记由射线OA 按逆时针方向绕O 点旋转到射线OM 所形成的∠AOM 为x ，直线AM 与X 轴交于点N （t ,0）,则函数t =()f x 的图像大致为（ ）【答案】【解析】设点(sin ,cos )M x x -，则直线AM 的方程为111cos Y 1sin xX x-=+，求直线与x 轴的交点1cos 10sin x t x -+=，则sin cos 1x t x =-，研究(0,2)x π∈的图象，由101cos t x'=>-，说明函数为增函数，选A16. 已知：函数(14)y x =≤≤的图象与函数a y log x =（0且1a a >≠）的图象有一个交点，则a 的取值范围是 ； 【答案】12a << 【解析】试题分析：先画出函数1(4)2y x =≤≤的图象，其图象在第一象限为1[,4]2上的增函数，曲线两端点为(1,1),(4,2)A B ，当01a <<时，函数(14)y x =≤≤的图象与函数a y log x=（0且1a a >≠）的图象无交点；当1a >，若a y log x =过点(4,2)B ，则2=log 4a ，则2a =，则12a <<；17. 某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（1）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率． 【答案】（1）见表（2）有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系（3【解析】试题分析：（1）由2×2列联表得相关知识易得（2相关数据，可得2 4.844 3.841K ≈≥，可知有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系（3）由题，成绩在[]130,140的学生中男生4人，女生有2人，故由古试题解析：（1）（2）由（1）中表格的数据知，∵24.844 3.841K ≈≥ ，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．（3）成绩在[]130,140的学生中男生410008.050=⨯⨯人， 女生有210004.050=⨯⨯人从6名学生中任取2人，用列举法列出共有15种选法，若选取的都是男生，共有6种选法；） 故所求事件的概率623111555p =-=-=； 18. 为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，预测8t =时，细菌繁殖个数. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：【答案】（1）^0.850.25y t =-；（2）6.55千个.19. 已知)0(2sin2sin 3)(2>-=ωωωxx x f 的最小正周期为π3.(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,2ππx 时，求函数)(x f 的最小值； (2)在ABC ∆中，若1)(=c f ，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．【答案】（1）13-，（2）215- 【解析】∵f (x )＝3sin(ωx )－2·1－cos ωx 2＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin(ωx ＋π6)－1，由2πω＝3π得ω＝23，∴f (x )＝2sin(23x ＋π6)－1. (1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，∴当sin(23x ＋π6)＝32时，f (x )min ＝2×32－1＝3－1.(2)由f (C )＝2sin(23C ＋π6)－1及f (C )＝1，得sin(23C ＋π6)＝1，而π6≤23C ＋π6≤5π6， 所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2. 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，∴2cos 2A －sin A －sin A ＝0，∴sin 2A ＋sin A －1＝0，解得sin A ＝－1±52.∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12.20. 已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．【答案】(1) [,],63k k k Z ππππ-+∈ ；(2)233+．【解析】(1)∵()cos cos2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈. (2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得∴512B AC ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. 21. 已知数列}{n a 为等差数列，其中11,a =713a =. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足，n T 为数列}{n b 的前n 项和，当不等式8n T n λ<+（*∈N n ）恒成立时，求实数λ的取值范围.【答案】（1）21n a n =-.（2）25<λ.【解析】（1）∵71613162a a d d d =+⇒=+⇒= 所以1(1)21n a a n d n =+-=- （2）∵数列}{n b 满足要使不等式8n T n λ<+（*∈N n ）恒成立，只需不等式时取得，∴25<λ；22. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）2n n a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n 【解析】（Ⅰ）∵122+=-n n S ① 当2≥n 时，122-=-n n S ② ①-②得，2=n n a （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==n n n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ， 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n ∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n ③231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由③-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n23. 随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率．【答案】（Ⅰ）9；（Ⅱ）25【解析】 (1)158162163168168+170171+179+18210a x ++++++=……………2分170=………………4分解得179a =所以污损处是9.………………6分 (2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分而事件A 含有4个基本事件，………………10分 ∴P(A)＝410＝25………………12分24. 某小组共有A B C D E 、、、、五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)，如下表所示:(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.【答案】（Ⅰ）21；（Ⅱ）103. 【解析】（Ⅰ）逐一写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查找出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．试题解析： （Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有： （A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ）共6个． 由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A ，B ），（A ，C ），（B ，C ）共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=2163=； （Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）， （D ，E ）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有： （C ，D ）（C ，E ），（D ，E ）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=103. 25. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；，求四棱锥11A BB C C -的体积.【答案】（1）证明详见解析；（2）2V =.【解析】（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则 CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1AB 1OA ⊥OB 1．又OA ⊥CC 1，OB 1∩CC 1＝O ， 所以OA ⊥平面BB 1C 1C ．S □BB 1C 1C ＝BC ×BB 1 sin 60°＝V A －BB 1C 1C□BB 1C 1C ×OA ＝2． 12分 26.. 如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ， =ADC=90BAD ∠∠o，E 为BC 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA//平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【答案】（1）证明详见解析；（2）当点F 位于PC 三分之一分点（靠近P 点）时, //PA 平面BDF .【解析】（1）连结BD ，90BAD ADC ∠=∠=，，所以2BD DC a ==，E 为BC 中点，所以BC DE ⊥ .又因为PD ⊥平面ABCD ,所以BC PD ⊥,因为DE PD D =,所以BC ⊥平面PDE .因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PDE .（2）当点F 位于PC 三分之一分点（靠近P 点）时, //PA 平面BDF连结,AC BD 交于O 点,//AB CD ,所以AOB ∆COD ∆,从而在CPA ∆中……10分所以//OF PA .而OF ⊂平面BDF ,PA ⊄平面BDF ,所以//PA 平面BDF ……12 分; 27.如右图, A B 是☉O 的直径, A C 是弦, ∠B A C 的平分线AD 交☉O 于点D, D E ⊥A C, 交A C 的延长线于点E, O E 交AD 于点F 。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题三最有可能考的30题1.已知集合[1,1]A =-，{|(3)(21)0}B x x x =+-≤，则=B A ( ) A ．]21,3[- B ．]21,1[- C ．)21,1[- D ． )21,3(- 2.命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是( ) A. 12sin ,≤∈∀x R x B. 12sin ,>∉∀x R x C. 12sin ,0≤∈∃x R x D. 12sin ,0>∉∃x R x3. 已知函数2log 1(0)()(2)(0)x x f x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则(0)f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．34.函数()f x = ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．()()0,11,2D ．[)(]0,11,25. 设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A ．a b a b a a << B ．b a a a b a <<C ．a a b b a a <<D ．a a b a b a <<6.曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为 ． 7. 函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是(A) (B) (C) (D) 8. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =则B =A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 9.为了得到函数3y x =的图象，可以将函数x x y 3cos 3sin +=的图象( )A ．向右平移12π个单位长 B ．向右平移4π个单位长 C ．向左平移12π个单位长 D ．向左平移4π个单位长10. 向量a,b)(2),+⊥-a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ）Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒11.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点M，AB =1AD =，且 16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ．12.设等比数列{}n a 各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++= ( ).A 12 .B 10 .C 8 .D 32log 5+13. 已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且目标函数2z x y =+的最小值为1，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．13C ．14D ．1814.若过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦15. 已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =＿＿。

2015年高考数学走出题海之黄金100题系列 专题四 名校模拟精华30题(理) 第一期1. (数学理卷·2015届四川省宜宾市高三第一次诊断考试)设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是【答案】B【解析】：根据()f x 的函数，我们易得出其值域为：R ，又∵()()2,0xf x x =?时，值域为(]0,1；()()x x 0f x 2=log ＞时，其值域为R ， ∴可以看出()f x 的值域为(]0,1上有两个解， 要想at t a x f f +=222))((，在()1,t ??上只有唯一的x R Î满足，必有()()1ff x >（因为2220a t at +>）， 所以：()f x ＞2，解得：x ＞4，当 x ＞4时，x 与f （f （x ））存在一一对应的关系，∴2221a t at +>，()1,t ??，且a ＞0，所以有：（2at ﹣1）（at+1）＞0，解得：12t a>或者1t a <-（舍去），∴112a £，∴12a ³，故选：B 2. (数学（理）卷·2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试)数列{}n a 是正项等比数列，{}nb 是等差数列，且67a b =，则有 ( )A ．39410a a b b +≤+B ．39410a a b b +≥+C ．39410a a b b +≠+D ．39a a +与410b b +大小不确定 【答案】B 【解析】111671n n n a a q b b n d a b -==+-= ，（），，5281139114101626a q b d a a a q a q b b b d ∴=++=++=+，，（）285763961112222b a a a a a q a q a q ==+-=+，－85522321111110a q a q a q a q a q q ==-≥－－（－）（），39410a a b b +≥+ ，故选B.3. （ 数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题三 最有可能考的30题1.设全集U R =，集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，则集合()U C AB =（ ）A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：∵集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，∴(,2]A B =-∞，∴ ()(2,)U C A B =+∞.2.命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是( ) A. 12sin ,≤∈∀x R x B. 12sin ,>∉∀x R x C. 12sin ,0≤∈∃x R x D. 12sin ,0>∉∃x R x 【答案】C【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ”3.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=（A ）2- （B ）0 （C ）1（D ）2【答案】A 【解析】试题分析：由已知2)1()1(-=-=-f f4.函数()f x =的定义域是（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．()()0,11,2D ．[)(]0,11,2【答案】D 【解析】试题分析：由22010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得021x x ≤≤⎧⎨≠⎩，故01x ≤<，或12x <≤，∴函数()f x 的定义域为[)(]0,11,2.5.设0.14a =，3log 0.1b =，0.10.5c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】B 【解析】试题分析：设函数4x y =，3log y x =，0.5x y =， 由指数函数、对数函数的性质可知1a >，0b <，01c <<．6.曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为 ． 【答案】310x y --= 【解析】试题分析：∵2'36y x x =-+，∴1'|363x y ==-+=，切点（1，2），∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．7.下列图象中，可能是函数x xx xe e y e e ---=+图象的是【答案】A【解析】0)0(=f ，所以排除选项C,D ；12111222+-=+-=x x x e e e y 在定义域上为增函数，所以选A.8.在△ABC 中,已知3C π=,4b =,△ABC 的面积为则c =（ ☆ ）【答案】C【解析】 试题分析：232232sin 21=⇒=⨯==a a C ab S ，由余弦定理得12cos 2222=-+=C ab b ac ， 故32=c9.已知函数()sin(2))f x x ϕϕπ=+<（的图象向左平移6π个单位后得到()cos(2)6g x x π=+的图象，则ϕ的值为（ ）A.23π-B.3π- C.3π D.23π【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++，又∵2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++， ∴2+=233k ππϕπ+，即=23k πϕπ+，k Z ∈，∵ϕπ<，∴=3πϕ，故选C. 10.已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = .【解析】试题分析：∵(1,3)a =-，(1,)b t =，∴2(3,32)a b t -=--，∵(2)a b a -⊥， ∴(2)0a b a -∙=，即(1)(3)3(32)0t -⨯-+-=，即2t =，∴(1,2)b =，∴2||12b =+=11.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点M ，AB 1AD =，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ．【答案】34【解析】试题分析：2121122()()()()()()3333333MA MB MD DA DB BD DA DB AD AB DA AB AD ⋅=+⋅=+⋅=-+⋅-22212242221()()333399996AD AB AB AD AD AB AB AD AB AD =--⋅-=--⋅=-⋅=-,AB AD ⋅=3412.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++= （A ）578 （B ）558 （C ）18（D ）18- 【答案】C 【解析】试题分析：因{}n a 为等比数列，故69363,,S S S S S --也成等比数列，所以()⇒-=-)(693236S S S S S8169=-S S 13.已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A.34B.14C.211D.4【答案】B14.若过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：设直线l过点()2P --，直线l 的倾斜角为α，当2πα≠时，直线l 的斜率tan k α=，则直线l 的方程可写成：(2y k x +=+即：20kx y -+-=，由直线l 与圆224x y +=有公共2≤，(80k k ⇔≤，解得00tan 0,k ααπ≤≤≤≤<，03πα∴≤≤，故选B ．15.已知0a ≠,直线(2)40ax b y +++=与直线(2)30ax b y +--=互相垂直，则ab 的最大值为 A ．0 BC ．4D ．2【答案】D 【解析】试题分析：由直线垂直可得()()2220a b b ++-=，变形可得224a b +=，由基本不等式可得2242a b ab =+≥，∴2ab ≤，当且仅当a b ==时取等号，∴ab 的最大值为：2.16.圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a = ▲ ． 【答案】-4； 【解析】试题分析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离由22＋2＝2－a ，得a ＝－4.17.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为（ ）A B ． D ．【答案】A 【解析】试题分析：因为2c ==，所以()2F 2,0，因为点P 的横坐标为2，所以Q x P ⊥轴，由22213y -=，解得y =，所以Q P =P 、Q 在双曲线C 上，所以12F F P -P =12QF QF -=1122F QF F QF Q P +=P +=P ==，所以△1PFQ 的周长为11FQF Q P ++P ==，故选A ． 18.设斜率为22的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于不同的两点,P Q ，若点,P Q 在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是【解析】试题分析：根据题意可知：22,,,b b P c Q c a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2PQ k =即：22b ac =再结合：222c a b =+，解得ca=19.已知n m ,是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若,,//αγαβγβ⊥⊥则B.若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则C.若//,//,//m n m n αα则D.若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 【答案】D. 【解析】试题分析：用反例来说明：对于选项A ，在正方体1111D C B A ABCD -中，设=α平面11A ADD ，=β平面11A ABB ，=γ平面ABCD ，而AB =⋂βγ，并不满足γ∥β，所以选项A 不正确；对于选项A ，在正方体1111D C B A ABCD -中，设=α平面11A ADD ，=β平面11A ABB ，1AA m =，1BB n =，此时也不满足α∥β，所以选项B 不正确；对于选项C ，1BB m =，1AA n =，=α平面11A ADD ，此时α⊂n ，所以选项C 不正确；对于选项D ，因为m ∥n ，α⊥m ，所以α⊥n ，又因为β⊥n ，所以α∥β，所以选项D 正确.20.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 A. 37πB. 35πC. 33πD. 31π【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是由一个倒立的圆锥和一个半球组合而成，其中半球和圆锥的底面半径都为3，圆锥的母线长为5，则几何体的表面积为πππππ33151822=+=+=Rl R S . 21.有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是 (A)8 (B)12 (C)36(D)48【答案】B 【解析】试题分析：5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻，只需乙、丙分别在甲的两边相邻位置，可采用“捆绑法”解决，但乙、丙可以换位置，12233=A . 22.10)1)(1(x x -+ 展开式中3x 的系数为_________．【答案】-75. 【解析】试题分析：因为10)1(x -的展开式的通项为：r r r x C T )(101-=+，当第一项取1时，此时10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为10)1(x -的展开式的3x 的系数即3103310)1(C C -=-；当第二项取x 时，此时10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为10)1(x -的展开式的2x 的系数即2102210)1(C C =-；所以所求式子中展开式中3x 的系数为-75.故应填-75.23.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016B. 2C.12D. 1-【答案】A 【解析】试题分析：第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，故应选A.24.若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝( ).A ．5 C ．7 D ． 13 【答案】A 【解析】试题分析：复数bi a +与bi a -互为共轭复数，则复数i z 32-=，进而复数z 的模||z ＝.133-222=+）（25.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ．【答案】4π⎫⎪⎭26.已知()f x =⋅a b ，其中(2cos ,2)x x =a ，(cos ,1)x =b ，R x ∈． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，a =且向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，求边长b 和c 的值．【答案】（Ⅰ）(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）3,2b c ==【解析】试题分析：（Ⅰ）由向量数量积定义及三角变换公式可得2()2cos 21cos23sin 212cos(2f x x x x x x ==-=++)32cos(2π++x ，令2223k x k ππππ++≤≤可得63k x k ππππ-+≤≤，故()f x 的单调递减区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭⇒3A π=，利用余弦定理可得()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=，又(3,s i n )B =m 与(2,sin )C =n 共线⇒2sin 3sin B C=⇒23b c =，从而解得3,2b c ==试题解析：（Ⅰ）由题意知2()2cos 21cos2212cos(2)3f x x x x x x π==+=++，∵cos y x =在区间[2,2]k k πππ+(k ∈Z )上单调递减， ∴令2223k x k ππππ++≤≤，得63k x k ππππ-+≤≤， ∴()f x 的单调递减区间(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，∴cos 213A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又72333A πππ<+<，∴23A ππ+=，即3A π=，∵a =()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=． 因为向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，所以2sin 3sin B C =， 由正弦定理得23b c =，∴3,2b c ==．27.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时 间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ． 下面临界值表仅供参考：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）18；（3）X 的分布列为：0k，1512110+1+22828282EX =⨯⨯⨯=. 【解析】 试题解析：（1）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，……2分 ∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；……3分（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)，……4分 设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >，……5分 ∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯，即乙比甲先解答完的概率为18；……7分（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种，恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种，……8分∴X 可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的分布列为：，……11分 ∴1512110+1+22828282EX =⨯⨯⨯=. .……12分28.已知{}n a 是一个单调递增的等差数列，且满足2421a a =,1510a a +=，数列{}n c 的前n 项和为1n n S a =+()N n *∈，数列{}n b 满足2n n n b c =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(Ⅰ) 21(*)N n a n n =-∈；(Ⅱ) 24(12)2412n n n T +⨯-==-- 【解析】试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则依题知0d >.由315210a a a =+=,又可得35a =.由2421a a =,得(5)(5)21d d -+=,可得2d =.所以1321a a d =-=.可得21(*)N n a n n =-∈ ……………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得12n n S a n =+=当2n ≥时,122(1)2n n n c S S n n -=-=--=当1n =时,112c S ==满足上式，所以2(*)N n c n =∈所以12222n n n n n b c +==⨯=，即12n n b +=, 因为211222n n n n b b +++==，14b = 所以数列{}n b 是首项为4,公比为2的等比数列. 所以前n 项和24(12)2412n n n T +⨯-==-- ………………………12分 29.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB 11C AB A --的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1AB 1所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则C (0，－1，0)，B 1(0，0)，A (0，0， …6分设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为1(3,0,AB =，(0,1,AC =-，所以11111100010x y z x y z +⨯=⨯-⨯=⎪⎩，取m ＝(11)． …8分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为1(3,0,AB =，1(0,2,0)AA =，所以222111000200x y z x y z +⨯=⨯+⨯+⨯=⎪⎩，取n ＝(1，0，1)． …10分则cos ,5||||5m n m n m n ∙<>===⨯，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为． …12分 30.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x(Ⅰ)求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数)(x f 单调递增区间；(Ⅲ)若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1y =;（Ⅱ）(0,)∞+；（Ⅲ）1(0,][e,)ea ∈∞+.【解析】试题解析：解：（Ⅰ）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+,所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+,(0)0f '=,又因为(0)1f =,所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ……3分(Ⅱ)由⑴,()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.令a a x x h x ln )1(2)(-+=，则0ln 2)('2≥+=a a x h x所以当0,1a a >≠时, ()f x '在R 上是增函数…………………5分又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+…………………8分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立,而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤,所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可. …………………9分又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值 ()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值 因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a'=-=->+, 所以1()2ln g a a a a =--在()0,a ∈+∞上是增函数. 而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-;当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-.所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥………………11分当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.………………12分 综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+………………13分.。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题六考前必做难题30题(理科)(第二期)1、已知复数∈+=a ai z (21R )，i z 212-=，若21z z 为纯虚数，则=||1z ( ) A ．2 B ．3C ．2D ．52、如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边,AB AD 分别交于F E 、两点，且交其对角线于K ，其25AE AB =,12AF AD =,AK AC λ=， 则λ的值为( )A ．29B ．27C ．25D ．233、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]62(，-内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A. （1,2）B. （2，＋∞）C. （1, 34）D. )2,4(34、已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0f x f x ---=，③在[1,1]-上表达式为[1,0]()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为（ ） A. 5B. 6C. 7D. 85、下列命题正确的个数有( )（1）命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件（2）命题“R x ∈∃,使得210x x ++<”的否定是:“对x R ∀∈, 均有210x x ++>” （3）经过两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程121()()y y x x --=12()(x x y -1)y -来表示（4）在数列{}n a 中,11=a ,n S 是其前n 项和,且满足2211+=+n n S S ,则{}n a 是等比数列 （5）若函数223-)(a bx ax x x f ++=在1=x 处有极值10，则114==b a ， A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ． 49B ．13C ．29D ．197、在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y kx =（0k >）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A内的概率为827，则k 的值为（ ） A ．827 B ．1981 C ．23 D ．138、已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，其导函数记作()()'02f x f =-， ,且()()12f x f x π+=,当,[)0x π∈时，()()()'c o s 2s i n 2'f x x f x x f x⋅>⋅-,若方程s (0)ec n f x k x +=在[0,+∞)上有n 个解，则数列2{}nnk 的前n 项和为（ ） A .()121nn -⋅+B .()1122n n +-⋅+C .1?2n n -⋅D . (21)314n n -⋅+9、已知四面体P ABC -中，4PA =，AC =PB BC ==，PA ⊥平面PBC ，则四面体P ABC -的外接球体积为（ ） A ．1256π B．3 C．3 D．310、已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A ．2)1(-=n n a n B ．1-=n a n C ．)1(-=n n a n D ．22-=n n a11、已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的中心为O ，左焦点为F ，P 是双曲线上的一点=⋅→→PF OP 且24→→→=⋅OFOF OP ，则该双曲线的离心率是（ ）12、一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为13、给出下列四个命题：①ABC ∆中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件； ②当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x+≥； ③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >； ④若函数)23(-=x f y 为R 上的奇函数，则函数)(x f y =的图象一定关于点)0,23(F 成中心对称．其中所有正确命题的序号为．14、设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y R ∈,均有()()()2014f x y f x f y +=++成立，若函数()()20132014g x f x x =+有最大值M 和最小值m ，则M m + =__________.15、若定义在],[b a 上的函数13)(23+-=x x x f 的值域为]1,3[-，则a b -的最大值是.16、对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取1x ，[)20,x ∈+∞，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k N ∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ④函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；则其中所有真命题的序号是．17、银川市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、CD 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出其最大值．18、已知函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. (1)证明:a c b 2=+(2)若c b =,θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==,求四边形OACB 面积的最大值.19、某渔业公司年初用98万元购得一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年的捕鱼收益50万元 （1）第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； ②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船。

专题三 压轴题拔高精选第一组1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为l ，过12,F F 分别作l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为 . 【答案】2a π 【解析】试题分析：如图，设00(,)Q x y ，(,)R x y ，由2221||||||||||2F Q F P PQ F P F P a =+=+=，∴||OR a =， ∴R 的轨迹为以O 为圆心，a 为半径的圆，∴2S a π=.2. 设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[1,2]- 【解析】试题分析：∵()x f x e x =--，∴'()1x f x e =--，∵11xe +>，∴1(0,1)1xe ∈+，由()2c o s g x a x x =+，得'()2sin g x a x =-，又2si n [2,2]x -∈-，∴2si n [2,2]a x a a -∈-++，要使过曲线()xf x e x =--（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则2021a a -+≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤，即a 的取值范围为12a -≤≤. 3. 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56-世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ． 【答案】32π 【解析】试题分析：作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切两半径为2的 小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又2Г的体积为3443V π=⨯- 3422643ππ⨯⨯=，∴1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．4. 若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则称m 为离实数x 最近的整数，记作[]x ，即[]x m =．（1）若1122x -<≤，则[]()f x x x =-的值域是 ；（2）设集合[]{}(,)|(),A x y y f x x x x ===-∈R ，{}(,)|()1,B x y y g x kx x ===-∈R ，若集合A B I 的子集恰有4个，则实数k 的取值范围是 . 【答案】11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦；33,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭或33,117⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1）当11,22x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，[]0x =，[]11(),22f x x x x ⎛⎤=-=∈- ⎥⎝⎦.故填11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. （2）由条件知()f x 是周期为1的周期函数，由周期性可作出其图象.又集合A B I 的子集恰有4个，即A B I 中只有两个元素.作出()f x 和()g x 的图象如图所示，则有11(1)(1)22150022k ----≤<----或11(1)(1)221170022k ----<≤--，即335k -≤<-或33117k <≤.故填33,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭或33,117⎛⎤ ⎥⎝⎦.5. 定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，2x （12a x x b <<<），满足1()()()f b f a f x b a-'=-，2()()()f b f a f x b a -'=-，则称数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为[],a b 上的“对望函数”．已知函数321()3f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是 .【答案】3(,3)26. 若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为 . 【答案】[]4,5- 【解析】试题分析：至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立,即至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式224x m x -≤-成立,等价于至少存在一个()0x x ≥使函数2y x m =-和函数24y x =-的图像有交点.当22y x m x m =-=-时,直线与y 轴交点为()0,m -,由数形结合可知4m -≤; 当22y x m m x =-=-时,直线与()24,0y x x =-≥相切时,设切点为()00,x y ,0'2,'2x x y x y x ==-∴=-,由导数的几何意义可得00221x x -=-⇒=,即切点为()1,3,代入2y m x =-可得5m =.由数形结合分析可得满足题意的m 的取值范围为[]4,5-.7. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）. 【答案】①③④ 【解析】试题分析：①()4f x x =时, ()4f x x =,所以存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立,所以()4f x x =是“条件约束函数”;②()22f x x =+时()22f x x =+,故不存在常数()0f x x ωω>≤，使即2x xω≥+对一切实数x 均成立,所以()22f x x =+不是“条件约束函数”;③()2225x f x x x =-+时 ()2225xf x x x =-+,使()f x x ω≤即()()22222514f x xx x x ω≥==-+-+对一切实数x均成立,只需()2max21214x ω⎛⎫≥= ⎪ ⎪-+⎝⎭.所以()2225xf x x x =-+是“条件约束函数”;④因为()f x 是奇函数,所以当20x =时()20f x =.由对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-可得()11040f x x -≤-,即对一切x 均有()4f x x ≤.所以此时()f x 是“条件约束函数”.综上可得是“条件约束函数”的有: ①③④.8. 已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈；②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4611615()a d d =++，46(,14][46,)a ∈-∞-+∞（2）①详见解析，②不存在【解析】试题分析：（1）数列{}n a 递推关系式是一个分段函数，可通过分段点进行连接：16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d =++，根据对勾函数得21d d +≥，或21d d -+≤，从而有46(,14][46,)a ∈-∞-+∞（2）①当116n ≤≤时，数列{}n a 是一个等差数列，易得1134n n a -=+，从而314i j k b ++-=+，令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=．问题转化为证明7i j k ++=有满足条件,,,116i j k i j k *∈<<N ≤≤解，易求得1,2,4i j k ===②(1)n a a n d =+-∴3(3)b a i j k d =+++-3,342,a md m m Z =+∈≤≤，问题转化为是否存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈），使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩消去a,d 得3548y x z x -=-，由于||42339z x -≤-=，所以无解试题解析：（1）当1a =时，16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d =++． ………………………2分因为0d ≠，21d d +≥，或21d d-+≤，所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞． ………………………4分（2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，314i j k b ++-=+． ……………6分令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=． 因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤，所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． ………………………8分②不存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． ………………………9分假设存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ．(1)n a a n d =+-，∴3(3)b a i j k d =+++-，从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． ………………………11分因为18，1，5340同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈），使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩从而7(),86(),5y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则3548y x z x -=-． ………………………13分 因为35与48互质，且y x -与z x -为整数， 所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾．所以不存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ． ………………………16分9. 已知函数()ln (1)f x x a x =--，()xg x e =．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<； （3）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥，()1h x ≥时，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(,)a+∞；（2）(],2-∞.【解析】试题分析：本题考查导数的运算、利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第（1）问利用导数求函数的单调区间，注意对参数a 的分类讨论；第（2）问背景为指数函数x y e =与对数函数ln y x =关于直线y x =对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y x =对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；第（3）问考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题1xe x ≥+这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．试题解析：（1）依题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对()f x 求导，得11()axf x a x x-'=-=． ①若0a ≤，对一切0x >有()0f x '>，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ②若0a >，当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<．所以函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(,)a+∞． （3分） （2）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为22(,)x y ，则22xy e =，22222()x y k g x e x '===， 所以21x =，2y e =，则22xk e e ==． 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111111()y k f x a x e x '==-==， 所以1111x y ax e ==-，111a x e=-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e-+-=． （6分） 令11()ln 10m x x x e =-+-=，则22111)('x x x x x m -=-=，()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．若1(0,1)x ∈，因为11()20m e ee =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e∈，而111a x e=-在11(,1)x e ∈上单调递减，所以211e e a e e --<<． 若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e =， 所以1110a x e=-=（舍去）． 综上可知，211e e a e e--<<． （9分） （3）()(1)()ln(1)x h x f x g x x ax e =++=+-+，1()1xh x e a x '=+-+． ①当2a ≤时，因为1xe x ≥+，所以11()12011x h x e a x a a x x '=+-≥++-≥-≥++， ()h x 在[)0,+∞上递增，()(0)1h x h ≥=恒成立，符合题意．②当2a >时，因为2221(1)1()0(1)(1)x xx e h x e x x +-''=-=≥++，所以()h x '在[)0,+∞上递增，且(0)20h a '=-<，则存在0(0,)x ∈+∞，使得(0)0h '=．所以()h x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，又0()(0)1h x h <=， 所以()1h x ≥不恒成立，不合题意． （13分）综合①②可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞． （14分） 10. 已知函数22()ln f x x a x x=++. （Ⅰ）若()f x 在区间[2,3]上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设()f x 的导数'()f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点A 11(,)x y 、11(,)B x y 所在直线的斜率为k ，求证：当4a ≤时，||1k >.【答案】（1）7a ≥-；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，因为()f x 在[2,3]上单调递增，所以将题目转化为'()0f x ≥在[2,3]上恒成立，即222a x x≥-在[]2,3上恒成立，构造函数()g x ，对()g x 求导，判断函数()g x 的单调性，求出最大值，代入到恒成立的表达式中；第二问，将||1k >进行转化12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--，只需证()12221212221x x ax x x x ++->，再进行转化，即证明()1212122x x a x x x x +<+，利用均值不等式和导数计算.试题解析：（1）由()22ln f x x a x x =++，得()'222af x x x x=-+．因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()'2220afx x x x=-+≥在[]2,3上恒成立，………………2分 即222a x x ≥-在[]2,3上恒成立，设22()2g x x x =-，则22()40g x x x'=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故max ()(2)7g x g ==-，所以7a ≥-．……………4分 （2） 解法一：12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--而()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+- 故欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->…………………6分即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>…………………8分设t =，()()240u t t t t =+>，则()242u t t t'=- 令()0u t '=得t =()4u t a ≥=>≥ ………………………10分∴()1212122x x x x a x x ++>∴()()''1212f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x ''->-∴当4a ≤时，1k >…………………12分 解法二：对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x +3≥＝3 4.5a >> …………………8分 ∴ ()12221212221x x a x x x x ++-> 而()'222afx x x x=-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-12x x >-…………………10分 故：()()''1212f x f x x x ->- ， 即1212()()1f x f x x x ''->-∴当4a ≤时，1k >………12分 第二组1. 设⎩⎨⎧<-+++≥-+=)0()3()4()0()(22222x a x a a x x k a x k x f ，其中R ∈a ．若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则k 的取值范围为 ． 【答案】]9,33[-- 【解析】试题分析：设k a x k x g -+=22)(，222)3()4()(a x a a x x h -+++=，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即042≤+a a ，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即)0()0(h g =，()223a k a -=-，所以，96-=a k 在]0,4[-上有解，从而]9,33[--∈k . 2. 已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1 【解析】试题分析：由于2=xy ，所以()()xyy x y xy x y x y x y x 4442284822222233+++-+=+++ yx xyy xy x y x y xy x 264222222+-++=++-=y x y x y x xy y x 2122262+-+=+-+=，令y x t 2+=422=≥xy ， 函数t t y 12-=，则01212>+='t y ，则tt y 12-=在[)+∞,4上单调递增，134min =-=∴y . 3. 已知数列}{n a 的首项11=a ，且满足)2(11≥=---n a a a a n n n n ，则=+++201520143221a a a a a a ． 【答案】20152014. 【解析】试题分析：由()211≥=---n a a a a n n n n ，201520143221a a a a a a +++∴ ()()()201520143221a a a a a a -+-+-=20151a a -=由()211≥=---n a a a a n n n n ，得()21111≥=--n a a n n 为常数，因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以111=a 为首项，1为公差的等差数列，()20151120151112015=⋅-+=∴a a ，2015112015=∴a ，201520143221a a a a a a +++∴ 20152014201511=-=. 4. 在平面直角坐标系中，点P 是直线21:-=x l 上一动点，定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,点Q 为PF 的中点，动点M 满足0=⋅,λ=)(R ∈λ,过点M 作圆2)3(22=+-y x 的切线，切点分别为T S ,,则⋅的最小值是 ．【答案】53【解析】试题分析：设M 坐标为()M x y ，，由MP l ⊥知12P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；由点Q 为PF 的中点，得 02y Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；又因为0=⋅，所以QM PF QM PF ⊥，、斜率乘积为1-，即 11222y x yy---=- ，解得：22y x =，所以M的轨迹是抛物线，设()2M y ，到圆心()30，的距离()()22222422324925d d y y y y y =-+=-+=-+，，∴22y =时，min d=，此时21cos ,215MS MT <>=⨯-=，所以3cos ,5M MT MS M M M T T S S ⋅=⋅<>=⋅ 5. 用)(n g 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,(9)9g =，10的因数有1,2,5,10,(10)5g =,那么)12()3()2()1(2015-++++g g g g = .【答案】3142015-【解析】试题分析：由()g n 的定义易知2()()g n g n =，且若n 为奇数则()g n n =,令12()()()(32(1))n f n g g g g =+++⋯-,则1112321()()()()()n f n g g g g ++=+++⋯- 1113212()()()4)2(2n n g g g ++=++⋯+-+++⋯+-112121/[()](21)()()2224()n n n n g g g f n ++=+-+++⋯+-=+即1((4))n f n f n +-=,分别取n 为12n ⋯，，，并累加得24(14)4()()()1431144441nn nf n f +-=++⋯+==--⨯-,又()1)11(fg ==，所以414113()()n f n +=-+,所以12()()()(32(1))n f n g g g g =+++⋯-=14411()3n --+,令n =2015得 )12()3()2()1(2015-++++g g g g =3142015-,故答案为3142015-． 6. 已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .【答案】12（0，）【解析】，显然要使()f x 7. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*． 则函数1()()xxf x e e =*的最小值为 . 【答案】3 【解析】试题分析：根据题意()()1111001123xx x x x x x x f x e e e e e e e e ⎛⎫=+*+*=++=+= ⎪⎝⎭（当且仅当“0x =”时取“=”），所以的最小值为3. 8. 已知函数322()233f x x ax x =--．（Ⅰ）当0a =时，求曲线)(x f y =在点(3,(3))f 的切线方程；（Ⅱ）对一切()+∞∈,0x ,2()4ln 31af x a x x a '+≥--恒成立,求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0a >时，试讨论()f x 在(1,1)-内的极值点的个数．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）实数 的取值范围为 ；（Ⅲ）当 ， 在内的极值点的个数为1；当 时, 在内的极值点的个数为0.【解析】试题分析：（Ⅰ）对原函数求导，进而求得()3f '即切线的斜率，切点为()3,9，进而求得切线的方程; （Ⅱ）恒成立问题即为求最值，将原函数变形为，令，即使()max a g x ≥即可，对()g x 求导，找到其单调区间，进而求得其最大值，得到a 的取值范围; （Ⅲ）对原函数求导，根据二次函数的图像对a 分情况讨论，进而求得极值点的个数. 试题解析：（Ⅰ）由题意知,所以又 ，所以曲线在点的切线方程为 4分（Ⅱ）由题意: ,即设,则当时,；当时,所以当 时， 取得最大值故实数 的取值范围为（Ⅲ）根据题意求得：()()22430f x x ax a '=-->，()()()141,030,1410f a f f a '''-=-=-<=--<， ①当410a -≤即104a <≤时，当x ∈()1,1-时，()0f x '≤，所以()f x 在()1,1-上无极值； ②当410a ->即14a >时，()f x 在()1,1-上有一个极值点. 综上：当 ，在内的极值点的个数为1；当时,在内的极值点的个数为0.9. 若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”． （Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .【答案】（1）1423S =-；（2）2*2*50,125,501250,2650,n n n n n N S n n n n N⎧-+≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩. 【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，通过对称数列的定义域，得出125b b =，224b b =，…，1214b b =，所以12122()1S b b b =++++，然后利用等比数列的前n 项和公式计算即可；第二问，由于数列为50项的对称数列，所以当n 小于25时，n S 就是从1c 开始的等比数列，不存在对称，可以直接求和，当n 大于25时，除了前25项的和以外，还有多出来的几项的和. 试题解析：（1）依题意，131b =，142b =，…，1212251322b b =⨯=. ∴121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.∴121214121212[1()]22()12123112S b b b ⨯-=++++=⨯+=--.（2）依题意，502624249c c =+⨯=，∵{}n c 是50项的“对称数列”. ∴15049c c ==，24947c c ==，…，25261c c ==. ∴当125n ≤≤时，250n S n n =-+； 当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯，2501250n S n n =-+. 综上，2*2*50,125,501250,2650,n n n n n N S n n n n N⎧-+≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩. 10. 已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ． （Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)4≥m ;(2)346-≤k . 【解析】试题分析：(1)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（2）对于给出的具体函数的解析式的函数，证明或判断在某区间上的单调性有两种方法：一是利用函数单调性的定义：作差、变形，由()()21x f x f -的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论；二是利用函数的导数求解；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：（Ⅰ）∵43≤≤a ，∴)(x f y =在),1(a 上递减，在)(∞+，a 上递增， 又∵)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，∴)1()(f m f ≥，得0))(1(≥--a m m ，∴max a m ≥，即 4≥m ；…6分（Ⅱ）∵)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<- ∴)(|)(|)(|)(|2211x g x f x g x f -<-恒成立 令)(|)(|)(x g x f x F -=，∴)(x F 在]4,2[上递增。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题三 最有可能考的30题1.已知集合[1,1]A =-，{|(3)(21)0}B x x x =+-≤，则=B A I ( ) A ．]21,3[- B ．]21,1[- C ．)21,1[- D ． )21,3(- 【答案】B试题分析：11[1,1],[3,].[1,]22A B A B =--∴=-I ，选B. 2.命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是( ) A. 12sin ,≤∈∀x R x B. 12sin ,>∉∀x R x C. 12sin ,0≤∈∃x R x D. 12sin ,0>∉∃x R x 【答案】C【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ” 3. 已知函数2log 1(0)()(2)(0)x x f x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则(0)f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】试题分析：2(0)(20)(2)log 21110f f f =-==-=-=，选B .4.函数()f x =的定义域是（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．()()0,11,2UD ．[)(]0,11,2U 【答案】D 【解析】试题分析：由22010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得021x x ≤≤⎧⎨≠⎩，故01x ≤<，或12x <≤，∴函数()f x 的定义域为[)(]0,11,2U .5. 设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A ．abab a a << B ．baaa b a << C ．a a b b a a << D ．aa b a b a <<【答案】C 【解析】试题分析：由于指数函数1()2xy =是减函数，由已知111()()1222b a <<<得01a b <<<，当01a <<时，x y a =为减函数，所以b a a a <，排除A 、B ；又因为幂函数a y x =在第一象限内为增函数，所以aa ab <，选C6.曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为 ． 【答案】310x y --= 【解析】试题分析：∵2'36y x x =-+，∴1'|363x y ==-+=，切点（1，2），∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．7. 函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是(A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】试题分析：x x y sin =是偶函数，故排除D ，0)(=πy ，2)2(ππ=y 排除B ，C.8. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =3cos a B ．则B = A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理得B a A b cos 3sin ⋅=⋅，B A A B cos sin 3sin sin ⋅=⋅，由于0sin ≠A ，3tan cos sin ==B BB ，3π=∴B ，故答案为C.9. 为了得到函数2sin 3y x =的图象，可以将函数x x y 3cos 3sin +=的图象( )A ．向右平移12π个单位长 B ．向右平移4π个单位长C ．向左平移12π个单位长D ．向左平移4π个单位长【答案】A 【解析】试题分析：由sin 3cos3y x x =+得，2sin(3)2sin 3()412y x x ππ=+=+，将2sin 3()12y x π=+向右平移12π个单位长，便可得2sin 3()2sin 31212y x x ππ=-+=的图象.故选A.10. 向量a,b 满足1,2,()(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒ 【答案】C 【解析】试题分析：由于()(2)()(2)0a b a b a b a b +⊥-⇒+⋅-=r r r r r r r r，即：2220a a b b+⋅-=r r r r,则0a b ⋅=r r，所以向量a 与b 的夹角为90011.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点M ，2AB 1AD =，且16MA MB⋅=-u u u r u u u r，则AB AD⋅=u u u r u u u r．【答案】34【解析】试题分析：2121122()()()()()()3333333 MA MB MD DA DB BD DA DB AD AB DA AB AD ⋅=+⋅=+⋅=-+⋅-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22212242221()()333399996AD AB AB AD AD AB AB AD AB AD=--⋅-=--⋅=-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,AB AD⋅=u u u r u u u r3412. 设等比数列{}na各项均为正数，且564718a a a a+=，则3132310log log loga a a+++=L( ).A 12 .B 10 .C 8 .D32log5+【答案】B13. 已知,x y满足2y xx yx a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且目标函数2z x y=+的最小值为1，则实数a的值是（）A．1B．13C．14D．18【答案】B【解析】试题分析：考察2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，平移直线20x y +=，为使2z x y =+取得最小值1，须其经过直线,y x x a ==的交点(,)a a ，所以121,,3a a a +==选B . 14.若过点()23,2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：设直线l 过点()23,2P --，直线l 的倾斜角为α，当2πα≠时，直线l 的斜率tan k α=，则直线l 的方程可写成： (223y k x +=+ 即：2320kx y k -+-=，由直线l 与圆224x y +=有公共222322(1)k k -≤+- ，(830k k ⇔≤，解得030tan 3,0,k ααπ≤≤≤≤≤<Q ，03πα∴≤≤，故选B ．15. 已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =＿＿。

2015年高考数学走出题海之黄金100题系列专题05【通用版】【第一期】专题05 考前必做30题组1．下列命题中，真命题是 （ ） A ．0x R ∃∈，使得00x e ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥C ．函数2()2xf x x =-有两个零点D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：对任意的x R ∈，0xe >恒成立，A 错误；当sin 1x =-时，22sin 1sin x x+=-，B 错误；2()2x f x x =-有三个零点（2,4x =，还有一个小于0），C 错误（这时就可选D ），当1,1a b >>时，一定有1ab >，但当2,3a b =-=-时，61ab =>也成立，故D 正确. 考点：复合命题的真假.2.设C B A c b a ,,,,,为非零常数，则“02>++c bx ax 与02>++C Bx Ax 解集相同”是“CcB b A a ==”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 充分而不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当1,1,2a b c A B C ======时，不等式“02>++c bx ax 与02>++C Bx Ax 解集均为空集，解集相同，此时a b cA B C =≠，当1,1a b c A B C ======-时，Cc B b A a ==，此时解集显然不同，所以“02>++c bx ax 与02>++C Bx Ax 解集相同”是“Cc B b A a ==”的既不充分也不必要条件. 考点：解不等式，充要条件.3.设向量11(1,0),(,)22a b ==r r ，则下列结论中正确的是( )A ．||||a b =r rB ．2a b =r r gC ．//a b r rD ．()a b b -⊥r r r【答案】D 【解析】试题分析：221121,222a b ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ,a b ∴≠r r ,所以A 不正确; 1112102222a b ⋅=⨯+⨯=≠r r ,所以B 不正确; 因为101122≠,所以C 不正确; ()111111,,0222222a b a b b ⎛⎫⎛⎫-=-∴-⋅=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r Q ,()a b b ∴-⊥r r r .故D正确.考点：1向量的模;2向量的平行,垂直关系.4.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S =（ ).A 18 .B 36 .C 54 .D 72【答案】D【解析】因为5418a a -=，所以1854=+a a ；则721842)(82)(854818=⨯=+=+=a a a a S . 考点：等差数列.5.已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的 A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<a C ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S【答案】C 【解析】试题分析：设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立,对于C,当03>a 时,01>a ,因为q -1与20131q -同号,所以02013>S ,选项C 正确,对于D,取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D 错.故选C 考点：等比数列性质、前n 项和.6.设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 【答案】B 【解析】试题分析：()f x 的最小正周期22T ππ==，∵()06f π=，∴图象C 关于点(,0)6π对称，∴图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到，函数()f x 的单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-++()k Z ∈，当0k =时，5[,]122x ππ∈-≠⊂5[,]1212ππ-，∴函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是先增后减. 考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.7.若函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=2,1212,2x x x a x f x 是R 是的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,∞-B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,813C.()2,0D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-813,【答案】D 【解析】试题分析：要使)(x f 为R 上的减函数，则⎪⎩⎪⎨⎧-≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛<-)2(2121022a a ，解得813≤a考点：函数的性质.8.设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅u u u r u u u r≤成立，则a b +的最大值等于（ ）（A ）2（B ）1（C ）0（D ）3 【答案】A 【解析】试题分析：作出区域D ，如图所示，又1OA OB ⋅u u u r u u u r≤，表示目标函数z ax by =+的最大值为1，可知z ax by =+在点（0，1）和点（1,0）处的值小于等于1，即1,1a b ≤≤，所以a b +的最大值等于2. 考点：简单的线性规划.9.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是俯视图侧（左）视图正（主）视图11112A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】D 【解析】2的正方形，高为2的四棱锥，所以 几何体的体积为：1422233V ==.故选D. 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.10.在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是（ ） A ．124+ B ．34C ．22D ．224+ 【答案】D考点：三角函数的最值.11. 若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25 【答案】C 【解析】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为1,2,4,8,16,....，即12n n a -=，那么3541620a a +=+=. 方法二：对于()223513134a a a q a q a a +=+=+，又135a a +=，则354520a a +=⨯=.方法三：对于213111145a a a a q a a +=+=+=，解方程可得，11a =，那么通项12n n a -=，可知34a =，516a =，则3520a a +=.故选C.考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式. 12.设,a b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是( ) ①若0×a b =，则有+=-a b a b ； ②⋅=a b a b ；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则+=+a b a b ；④若+=-a b a b ，则存在实数λ，使得a ＝λb .A . ①③B . ①④C .②③D . ②④【答案】B 【解析】试题分析：①若0综^?a b =a b +=-a b a b ，故①正确；②cos θ⋅=≤a b a b a b ，故②错误；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，等价于a //b ，即a 与b 方向相同或相反，而+=+a b a b 表示a 与b 方向相同，故③错；④若+=-a b a b ，则a 与b 方向相反，故存在实数λ，使得a ＝λb ，故④正确. 考点：向量的基本性质.13.设二项式431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为A ，则A=A. -6B. -4C. 4D. 6【答案】B 【解析】试题分析：()444314431rrr r r r r T C x C x x --+⎛==- ⎝，由4403r -=得3r =，所以3314(1)4r T C +=-=-，故选B.考点：二项式定理.14.2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A) 1818A 种 (B)218218A A 种 (C)281031810A A A 种 (D)2020A 种【答案】B【解析】先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有22A 种不同方法；再安排其余人员，有1818A 种不同方法；所以，共有181822A A 种不同方法.考点：排列组合.15. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:①()(2)0f x f x +-=，②(2)()f x f x -=-， ③在[1,1]-上表达式为21[1,0]()cos()(0,1]2x x f x x x π⎧- ∈-⎪=⎨ ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数20()10x x g x x x ≤⎧ =⎨- >⎩ 的图像在区间[3,3]-上的交点个数为（ ） A.5 B.6 C.7D.8【答案】B 【解析】试题分析：由⑴()(2)0f x f x +-=可得)(x f 关于（1,0）对称，⑵(2)()f x f x -=-可得)(x f 关于直线1-=x 对称，作出示意图知函数()f x 与函数)(x g 有6个交点考点：函数与方程16.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在f （x ）的图像上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“姊妹点对”（点对（A ，B ）与（B ，A ） 可看作一个“姊妹点对”。

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一 经典母题1. 设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为__________．2. 已知复数2(52)Z i =-（i 为虚数单位），则复数Z 的实部是 .3. 设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__________．4. 已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂= .5. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R .若13()()22f f =，则a ＋3b 的值为__________．6. 在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()x x f 2=的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 。

7. 设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是___________. 8. 在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2b y ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 9. 设α为锐角，若π4cos()65α+=，则sin(2α＋π12)的值为__________．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角αβ，，它们的终边分别交单位圆于A B ，两点．已知A B ，两点的横坐标分别是10（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．11. 如图，在矩形ABCD中，AB =，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是__________．12. 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA(OB +OC)的最小值是 .13. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = ▲ . 14. （1）设12,,,n a a a 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i ）当4n =时，求1a d的数值； （ii ）求n 的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．15. 设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤2x y≤9，则34x y 的最大值是__________．16. 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则ba的取值范围是__________． 17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是__________．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 19. 设集合(),,,)2(2|,222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤=R y x m y x m y x A {}R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,,122|),(。

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )．A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B．[－1,0] C．(－∞，－2] D.9,4⎛⎫--∞⎪⎝⎭【答案】A2．已知以4T=为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m>。

若方程3()f x x=恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B．15(,7)3C．48(,)33D. ()7,2【答案】B3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A4．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】：B【解析】：令)()(x g x f =可得b ax x+=21zxxk 学 科 网 设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <，结合图形可知，5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ）A 、11B 、10C 、9D 、8 【答案】B 【解析】零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．【考点定位】1、导数的应用, 2、根的存在性定理.6．已知数列a n ：12132143211121231234，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724 B.76 C.1115 D.715【答案】A7．现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅I 【答案】C 【解析】对()1xf x x =-求导得：21()(1)f x x '=--.由21()2(1)f x x '=-=--得21x =+.由此得切点为2(1,12)++.代入()2g x x t =-+得223t =+.由图可知223t <+时，函数()1xf x x =-，8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ--+=--（x ＞2）的最小值（ ）A.42 B.22C.142+D.142-+ 【答案】A 【解析】9．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是 （ ）A ．5[2,2] B ．510[,]23 C ．10[2,]3 D ．1[,4]4【答案】C【考点定位】线性规划.10．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小 【答案】Ｂ 【解析】考点：直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到面的距离11．已知点A 在抛物线24y x =上，且点A 到直线10x y --=2A 的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】考点：点到直线的距离，直线与圆锥曲线的公共点问题.12．已知函数2()(2),[2,)xf x x x e x =-∈-+∞,()f x '是函数()f x 的导函数，且()f x '有两个零点1x 和2x (12x x <),则()f x 的最小值为()A ．1()f xB ．2()f xC ．(2)f -D ．以上都不对 【答案】B 【解析】试题分析：22'()(22)(2)[(22)2]x x xf x x a e x ax e x a x a e =-+-=+--，由题意12'()'()0f x f x ==，当1x x <或2x x >时，'()0f x >，当12x x x <<时，'()0f x <，因此()f x 的最小值是2()f x ，选B ．考点：函数的极值与最值．13. 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30o ,则C 的离心率为( )（A ）2 （B ）22 （C ）3 （D ）43【答案】C 【解析】14．已知1a >，且函数xy a =与函数log a y x =的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为 .【答案】(,)e e【考点】导数与切线．15.如图，在ABC ∆中，1,2,120===∠AC AB BAC ο，D 是边BC 上一点，BD DC 2=，则BC AD ⋅=_________．【答案】38- 【解析】试题分析：()31323131+=-+=+=+=, -=()38323131313222-=-+⋅=-⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅∴.考点：向量的数量积16．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a qN N **挝.【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.【解析】zxxk 学 科 网即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤.（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =. zxxk 学 科 网 所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， 所以公比21a q a =为正有理数. 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1.因此1a N *Î，q *∈N .【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、充要条件.17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PA 的中点．⑴求证：PC P 平面BDE ； ⑵求证：平面PAC ⊥平面BDE ； ⑶若PA a =，求三棱锥C BDE -的体积．【答案】⑴见解析； ⑵见解析；⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=． 【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面的平行的证明以及面面垂直的郑敏而后三棱锥体积的运算的因为ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点，又因为E 为PA 的中点，所以ME 为PAC ∆的中位线， 所以ME PC P ， ……………3分又因为ME ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，zxxk 学 科 网 所以PC P 平面BDE ．……5分 ⑵因为ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ．………………………………………………………………8分 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ．…………………………10分 ⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=．…………………………14分 【考点定位】空间直线与平面的位置关系；2、几何体的体积. zxxk 学 科 网18．如图①，已知∆ABC 是边长为l 的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将∆ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF ，其中BC=2．(1)证明：DE//平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD=23时，求三棱锥F-DEG 的体积F DEG V - 【答案】(1)详见解析，(2)详见解析，(3)3. zxxk 学 科 网 【解析】在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立,//DE BC ∴ (2)DE ⊄Q 平面BCF , BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF (4)（2）在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥,12BF CF ==……..5 Q 在三棱锥A BCF -中,2BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥ .......7 BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥Q 平面 zxxk 学 科 网 .. (9)（Ⅲ）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面．11111131332323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭………….13 【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理,几何体的体积.19．菱形ABCD 的边长为3，AC 与BD 交于O ，且ο60=∠BAD ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥B ADC -（如图），点M 是棱BC 的中点，32DM =（1）求证：平面ABC⊥平面MDO；（2）求三棱锥ABDM-的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）93 16.【解析】zxxk 学科网试题解析：(1）由题意，32 OM OD==,因为322DM=,所以90DOM∠=o，OD OM⊥． 3分【考点定位】面面垂直，几何体的体积.20．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点, 点2(1,)2P 在椭圆上C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）1222=+y x ；（2）满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0) 【解析】试题解析：(1)法一：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =, 1分222211211a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 2分 2,1a b ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分法二：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =, 1分222212222||||(11)(0)(11)(0)2222a PF PF =+=-+-++-=分 ∴2,1ab ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分21．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =u u u r u u u u r ．【答案】(1) 2212y x -=；(2)29；(3)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在12Rt MF F ∆中，︒=∠3021F MF ，212221F F c b ==+21F M b =，通过直角三角形的关系就可求得b ；(2)由(1)知双曲线的渐近线为2y x =，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点P 作该双曲线两条渐近线的垂线12,PP PP ，12PPP ∠为锐角，这样这题我们只要认真计算，设P 点坐标为00(,)x y ，由点到直线距离公式求出距离12,PP PP ，利用两条直线夹角公式求出12cos PPP ∠，从而得到向量的数量积21PP PP ⋅；(3)首先 2AB OM =u u u r u u u u r等价于OA OB ⊥，因此设1122(,),(,)A x y B x y ，我们只要则点Q 到两条渐近线的距离分别为00001222|||33x y x y PP PP -+==分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -= 又1cos 3θ=，所以220000002221233933x y x y x y θ-+-==⋅= 10分（3）由题意，即证：OA OB ⊥ zxxk 学 科 网设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y += 11分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：【考点定位】(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．22．已知动点P 到点A (－2,0)与点B (2,0)的斜率之积为－14，点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D .求证，A ，D ，N 三点共线．【答案】（1）24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．（2）见解析【解析】(1)解 设P 点坐标(x ，y )，则k AP ＝2y x + (x ≠－2)，k BP ＝2y x - (x ≠2)，由已知2y x +·2y x -＝－14，化简，得24x ＋y 2＝1，所求曲线C 的方程为24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．＝2414kk＋，所以Q 222284(,)1414k k k k -＋＋. 当x ＝4，得y M ＝6k ，即M (4,6k )．zxxk 学 科 网 又直线BQ 的斜率为－14k ，方程为y ＝－14k (x －2)，当x ＝4时，得y N ＝－12k ，即N 1(4,)2k-.直线BM 的斜率为3k ，方程为y ＝3k (x －2)．因为k AD ＝－112k ，k AN ＝－112k，所以k AD ＝k AN . zxxk 学 科 网 所以A ，D ，N 三点共线．【考点定位】1、轨迹方程；2、直线与椭圆的关系.23．已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的离心率与双曲线1222=-x y 的离心率互为倒数，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设第（2）问中的2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅,求||的取值范围.【答案】（1）12322=+y x ；（2）x y 42=（3）[)+∞,58【解析】试题分析：（1）双曲线的离心率为3，所以椭圆的离心率为3。