高中数学二项式

高中数学常见题型解法归纳 - 二项式定理的应用【知识要点】1、二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(①项数：展开式中总共有(1)n +项，而不是n 项；②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改.()n a b +与()nb a +是不同的；③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列.b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列.各项的次数和等于n .2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅）（1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项；（2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数；（3）注意0,1,2,,r n =⋅⋅⋅.3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.即m nC =m n n C -. （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大.（3）所有二项式系数的和等于2n，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C4、二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()n n f x a a x a x a x =++++ 0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=，0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-5、证明组合恒等式常用赋值法.6、二项式系数展开式的系数最大项和二项式系数最大项.（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC 取得最大值.如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC -,12n nC+同时取得最大值.（2）系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来.【方法讲评】【例1】在二项式n+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？【点评】（1）要理解二项式的展开式的系数的定义，它指的是除去n x ，剩下的所有部分，而二项式的系数则指的是通项里的组合数.(2)二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.【反馈检测1】已知n x x )(3-的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512． （1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（2）求nx x x )1()1()1(43-++-+- 展开式中2x 项的系数．【例2】求二项式9展开式中的有理项.【点评】有理项指的是x 的指数为整数，可以是正整数，也可以是负整数和零. 【反馈检测2】已知n-的展开式中的二项式系数之和为256.（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项.【例3】已知二项式122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．（2）01279n n n C C C ++=，解得12n =，设1k T +项系数最大，由于()1212121121422x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭41112121112124444k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，9.410,10k k <<=，第11项最大1016896x ． 【点评】（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC 取得最大值.如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值.（2）系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来.【反馈检测3】已知在2)nx的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1．（1）求展开式中6x 的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；．（3）求231981...9n n n n nn c c c -++++的值.【例4】 求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数.【点评】（1）对于三项式的展开式教材上没有讲过，教材上只讲了二项式的展开式. 所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答. (2)对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，实际上就是数学的一个转化的思想的运用,把陌生的转化为熟悉的问题解答. 【反馈检测4】5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ）A ．252B ．－252C ．160D ．－160【例5】 在103)1()1(x x +-的展开式中，求5x 的系数. 【解析】103)1()1(x x +-1032)1)(331(x x x x +-+-=，要得到5x ，当第一个因式取1时，10)1(x +展开式取5次项，5x 项系数为510C 当第一个因式取x 3-时，10)1(x +展开式取4次项，5x 项系数为4103C - 当第一个因式取23x 时，10)1(x +展开式取3次项，5x 项系数为3103C 当第一个因式取-3x 时，10)1(x +展开式取2次项，5x 项系数为210C - ∴5x 项系数为510C 4103C -+3103C 210C -=-63 【点评】两个二项式相乘的系数问题，一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合 研究.【反馈检测5】610(1(1+求展开式中的常数项.【例6】已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求： （1）127a a a ++⋅⋅⋅+；（2）()()2202461357a a a a a a a a +++-+++．【点评】二项式展开式的系数和与差的问题，一般利用赋值法解答，主要是给二项式的展开式的变量赋一些特殊值，如：1，-1，0等.【反馈检测6】（1）设n n n x a x a x a a x ++++=- 2210)12(展开式中只有第5项的二项式系数最大．则||||||||210n a a a a ++++ = ．（2）1＋210101021011024C C C +⋯++＝ ．【例7】证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除【点评】整除性的问题，一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究，拆数是关键，本题中指数的底数是“3”，先变成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二项式定理研究就方便了.【反馈检测7】求证：15151-能被7整除.【例8】 求证：2<（1+n）n <3（2,n n N *≥∈）. 【证明】（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1 +C 2n （n 1）2+…+C n n （n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C n n ×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×n n n n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31 +!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n 1）n=1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n+…+C nn ×n n 1>2.所以2<（1+n 1）n <3. 【点评】看到(na b +）一般要联想到是否能利用二项式定理解答，这是一个观察联想的能力.【反馈检测8】 12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=【例9】求6998.0的近似值，使误差小于001.0；【点评】由nnn n n n x x x x C C C ++++=+...1)1(221，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n +≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+. 【反馈检测9】某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？参考答案【反馈检测1答案】（1）550101x x C T ==，446107210x x C T ==；（2）233+．【反馈检测2答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）所有有理项为：423518256x x x，，. 【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）依题意得：2256n =，8n ∴=()384841812rr rrr rr r C T C x--+⎛==-⋅ ⎝令3404r -=得163r =*∉N ∴展开式中没有常数项.（Ⅱ）当048r =，，时，1r T +为有理项.∴展开式中所有有理项为：423518256x x x ，，. 【反馈检测3答案】（1）672-；（2）325376x -；（3）91109-．【反馈检测3详细解析】（1）由1:14)2(:)2(2244=--n n C C ，解得9n =．因为通项：2522791)2(r rr r xC T -+-=，令3,625227=∴=-r r， 于是系数为672)2(339-=-C ．（2）设第1r +项系数绝对值最大，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--++119911992222r r r r r r r r C C C C解得20317≤≤r ，于是r 只能为6 所以系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C xx ---=．（3）原式=()911999991999292191090=-++++C C C C []1)91(9-+=91109-．【反馈检测4答案】B【反馈检测5答案】4246【反馈检测5详细解析】436103412610610(1(1m n m n m n m n C x C x C C x --⋅=⋅⋅展开式的通项为 0,3,6,0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,m m m m n m n n n n ===⎧⎧⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎨⎨⎨===⎩⎩⎩其中当且仅当即或或0034686106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.【反馈检测6答案】(1)6561；（2）59049.【反馈检测6详细解析】（1）由二项式系数的对称性，8=n（2）0123||,||,||,||,||n a a a a a ⋅⋅⋅即为8)12(+x 展开式中各项的系数在8)12(+x 中令1=x ，∴65613||||||||89210==++++a a a a（2）在10(1)x +＝r r r x C 10100∑=中，令2x =，得1＋25904932410101010210110==+⋯++C C C【反馈检测7答案】见解析.【反馈检测8答案】1(71)6n - 【反馈检测8详细解析】012233(16)6666n n n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅ 与已知的有一些差距，123211221666(666)6n n n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=- 【反馈检测9答案】耕地平均每年至多只能减少4亩．【反馈检测9详细解析】设耕地平均每年减少x 亩，现有人口为p 人，粮食单产为m 吨/亩，依题意 ()()()(),%101p 10m %11p x1010%221m 4104+⨯≥+⨯-⨯+⨯化简：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯≤22.101.011.1110x 103 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅+⨯+⨯+-=2210110301.0C 01.0C 122.11.1110 3 1.1101 1.1045 4.11.22⎡⎤≈-⨯≈⎢⎥⎣⎦4x ≤∴（亩）答：耕地平均每年至多只能减少4亩．。

二项式定理一．二项式定理1.右边的多项式叫做()na b +的二项展开式2.各项的系数rn C 叫做二项式系数3.式中的r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1 ()na b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m mn n n C C C -++= 性质3 ()na b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即012.n n n n n C C C +++=（令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=（令1,1a b ==-即得）性质5 ()na b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n nC -12n nC+相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6 2.在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++（3）13599a a a a ++++；2.（江西理4）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6 Ｄ．73.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ） Ａ．2- Ｂ．1- Ｃ．1Ｄ．24.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开：1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－202.求()()()2111nx x x ++++++ 展开式中3x 项的系数.二项式定理1、展开式中的特殊项1．解．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n nn C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。

《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。

高中数学二项式二项式是一类非常重要的数学概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等科学领域。

它是高中数学中的基本概念之一，也是高等数学的基础。

什么是二项式？二项式是由两个项目组成的简单多项式，具有两个未知数，标准格式为：ax2＋bx＋c，其中a, b, c为常数，x表示未知数。

二项式一般可以表示为： y = ax2＋bx＋c。

二项式的属性及性质。

二项式的属性有两个：第一，二项式的幂是有限的，一般只能是一次幂或者二次幂；第二，二项式只有两个未知数，如果有多个未知数，就不属于二项式。

此外，二项式也有如下性质：1. 二项式的根（即使x=0时，二项式值也为0）也是其性质之一，即可以求出根，也可以求出根的值。

2. 果a＞0，则二项式有两个不同的实根；3. 果a＝0形如bx＋c，则也有两个实根，若b＞0，则根为bx ＋c＝0，若b＜0，则根为bx＋c＝0，应注意此时的结果不等于0。

4. 果a＜0，二项式无实根，但可以求出两个共轭复根。

5. 二项式的总和也是其性质之一，其定义为：常数a, b和c 的和，可用另一种表示方式的形式表示。

6. 二项式的乘积也是其性质之一，其定义为：常数a, b和c 的乘积，可用另一种表示方式的形式表示。

7. 二项式的倒数也是其性质之一，其定义为：常数a，b和c的倒数，可用另一种表示方式的形式表示。

8. 二项式的极限也是其性质之一，其定义为：当x趋于无穷时，二项式的极限也可以用另一种表示方式的形式表示。

二项式的应用。

二项式可以用来解决多种不同的数学问题，如求解实数的根，求解大量的数值运算，解决抛物线问题，求解一元二次不等式，求解方程组，解决几何问题，解决概率问题，解决统计学问题，等等。

此外，二项式可以应用于机器学习，连接技术，文字处理，数据挖掘，压缩算法，信号处理，计算机图形学，图像处理等多个应用领域，从而帮助解决实际问题。

综上所述，二项式是一种非常重要的数学概念，它的属性和性质及其应用范围都非常广泛，因此在很多领域得到了非常广泛的应用。

二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r所表示的规律叫做二项式定理．2、相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．(3)展开式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n3、展开式具有以下特点(1)项数：共有n＋1项；(2)二项式系数：依次为C0n，C1n，C2n，…，C r n，…，C n n；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项是第r＋1项．[例1](1)用二项式定理展开(2x－32x2)5.(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)r C r n(x＋1)n－r＋…＋(－1)n C n n.[思路点拨](1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[答案](1)(2x－32x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4·(－32x2)＋…＋C55(－32x2)5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C r n(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C n n(－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．求(3x＋1x)4的展开式．解：法一：(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)(1x)3＋C44(1x)4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 2．求C 26＋9C 36＋92C 46＋93C 56＋94C 66的值．解：原式＝192(92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66) ＝192(C 06＋91C 16＋92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66)－192(C 06＋91C 16) ＝192(1＋9)6－192(1＋6×9)＝192(106－55)＝12 345. [例2] (1)(x ＋12 x)8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________． [答案] (1)二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8(x )8－r (12 x)r ＝C r 8(12)r x 4－r. 当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为 C 48(12)4＝358.故选B. (2)由题意得T r ＋1＝C r 6x6－r (－a x)r ＝(－a )r C r 6x 36-2r， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46.又∵B ＝4A ，∴(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a 2＝4.又∵a >0，∴a ＝2. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )4．A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：二项式(2x 2－1x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x 10－3r .当r ＝3时含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.4．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35＝C 6n·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！ ＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，解得n ＝7.5．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－22)r ·(32)20－r C r 20·x 20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r与20r 32-均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． 故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20.引入：nb)＋(a 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C 0n ＝C n n ＝1，C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即C m n ＝C n －mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12121++++n n T T 的二项式系数相等且最大．(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .且C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为Sn ，求S19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.[答案] S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274.n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an ＝2n －1.答案：2n －12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！.解得n ＝34. [例2] 设)(2x )－(12012201222102012R x x a x a x a a ∈++++=(1)求2012210a a a a ++++ 的值． (2)求2011531a a a a ++++ 的值． (3)求||||||||2012210a a a a ++++ 的值．[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．[答案] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2 012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r，∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012 ＝32 012.[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项的和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．()()()nx x x ++++++1112的展开式中各项系数的和为( )A ．12+n B ．12-n C ．121-+nD ．221-+n解析：令x ＝1，则222222132-=+++++n n答案：D4．已知14141313221072)21x a x a x a x a a x x +++++=-+ a14x14.(1)求1413210a a a a a +++++ (2)求13531a a a a +++ 解：(1)令x ＝1，则1413210a a a a a +++++ ＝72＝128. ①(2)令x ＝－1，则14133210a a a a a a +-+-+- ＝7)2(-＝－128.②①－②得2(13531a a a a ++++ )＝256，∴13531a a a a ++++ ＝128.[例3] (10分)已知(23x＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 根据已知条件求出n ，再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．[答案] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n .(1分)又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5. (2分)(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分) ∴T 3＝C 25(23x)3(3x 2)2＝90x 6，(4分) T 4＝C 35(23x)2(3x 2)3＝270223x.(5分)(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(23x)5－k (3x 2)k ＝3k C k51043k x+，(6分)得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， (8分)即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(23x)(3x 2)4＝405263x.(10分)[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．变式训练5．若(x 3＋1x 2)n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项是( )A ．210B ．120C ．461D ．416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n2＋1＝6，∴n ＝10， T r ＋1＝C r 10x3(10－r )(1x2)r ＝C r 10x 30－5r . ∴30－5r ＝0.∴r ＝6.常数项为C 610＝210. 答案：A 5．已知()nx 31+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n＋n(n－1)2＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.1.二项式展开式中的常数项是（）A.180B.90C.45D.3602.二项式的展开式中x3 的系数是（）A.84B. -84C.126D. -1263.设，则=（）A.﹣2014B.2014C.﹣2015D.20154.的展开式中含有常数项为第( )项A.4B.5C.6D.75.若对于任意的实数x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为（）A.3B.6C.9D.126.在二项式的展开式中，含x4 的项的系数是（）A.﹣10B.10C.﹣5D.57.展开式中不含x4项的系数的和为( )A.－1B.0C.1D.28.812014 除以100的余数是()A.1B.79C.21D.819.除以9的余数为( )A.8B.7C.6D.510.二项式展开式中的常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项11.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x-2项的系数为（）A.1B.4C.8D.1612.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个A.3B.4C.5D.613.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A.4B.5C.6D.714.展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A. -1B.C.1D.215.在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= （）A.6B.7C.8D.9二、填空题16.设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240 ，则n ＝________.17.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．18.(a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为-3 ,则x5的系数为________19.已知的展开式中的常数项为T ，f(x) 是以T 为周期的偶函数，且当时，f(x)=x ，若在区间[-1,3] 内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k 的取值范围是________20.对任意实数x ，有，则a3 的值为________.三、解答题21.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.在二项式的展开式中:（1）求展开式中含x3项的系数；（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.23.已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．24.已知，且．（1）求n的值；（2）求的值25.已知的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.（1）求m和n的值；（2）求展开式中含x2项的系数.课堂运用答案解析一、选择题1.【答案】A【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式展开式的通项为令得r=2所以二项式展开式中的常数项是.故选A．【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.2.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由于二项式的通项公式为,令9-2r=3，解得r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3• ,故答案为B．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.3.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.4.【答案】B【考点】二项式定理【解析】【解答】由二项展开式公式：，当8-2r=0，即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】因为，所以，故选择B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，二项式的展开式通项为：，令，得，则的项的系数为：.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，展开式中最后一项含x4，其系数为1，令x=1得，此二项展开式的各项系数和为，故不含x4项的系数和为1-1=0，故选B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】== 4，即除以100的余数为21.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.9.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9( ×98－×97＋…＋)－2.∴ ×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.选B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.10.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.11.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意可得，成等差数列，∴ ，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中项的系数为，故选：A．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.12.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项为∴前三项的系数分别是，∴前三项系数成等差数列∴∴∴当时,∴，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.13.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可. 14.【答案】D【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式的展开式的通项，当5-2r=3 时，r=1，系数，解得a=2，答案选D.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.15.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.二、填空题16.【答案】4【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题设知：，解得：，所以答案应填：4.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.17.【答案】40【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意，，解得：,所以的展开式中常数项为：所以答案应填：40.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.18.【答案】39【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.19.【答案】""【解析】【解答】∴ 的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∴区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∴ ，两函数图象有四个交点，必有解得，故填：．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.20.【答案】8【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，所以.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开三、解答题21.【答案】【解答】解：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.22.【答案】（1）【解答】解：展开式第r+1项:令，解得r=2，∴展开式中含x3项的系数为（2）【解答】解：∴第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数∴故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出k 的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等，表示出一个关于k的方程，解方程即可．23.【答案】（1）解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，n＝5∴n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C52 ( )3(3x2)2＝90x6，T4＝C53 ( )2(3x2)3＝（2）解：设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C5r ( )5－r(3x2)r＝3r C5r，∴ ,则，∴r＝4，即展开式中第5项系数最大，T5＝C54 ( )(3x2)4＝405.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.24.【答案】（1）【解答】解：由已知得：，由于, 所以（2）【解答】解：当x=1时，当x=0时，所以，【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式和的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求，所以首先令x=1,得；然后就只要求出a0的值来即可，因此需令x=0，得，从而得结果25.【答案】（1）【解答】解：由题意,，则n=5，由通项公式，则r=3，所以，所以m=2（2）【解答】解：=，所以展开式中含x2项的系数为．【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得n，其次利用二项展开式的通项公式中令r=3，易求得m；（2）在前小题已求得的m,n的基础上，要求展开式中求特定项（含x2项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的x2项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.一、选择题1.二项式展开式中的系数为（）A.5B.16C.80D.2.在的展开式中，含的项的系数是（）A.60B.160C.180D.2403.展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（）A. B. C. D.或4.设，那么的值为（）A. B. C. D.5.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.6.的展开式中，的系数为（）A.15B.C.60D.7.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.8.的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________.10.在的展开式中，项的系数为________．（结果用数值表示）11.二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．三、解答题12.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．13.已知二项式.（1）若它的二项式系数之和为.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.14.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.课后作业答案解析1.【答案】C【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开式的通项公式为，则当时，其展开式中的的系数为.故答案为：C．【分析】先求出二项的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为，令，则，则含的项的系数为.故答案为：D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得含x7项的系数．3.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】令，可得各项系数的之和为，则，解得，中间一项的系数最大，则，故答案为：A.【分析】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，通过各项系数之和大于8，小于32由已知求出n，即可求解中间项系数最大．4.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】时，；时，，∴ ，，∴ ，故答案为：B.【分析】利用展开式，分别令x=1与-1，两式相加或相减可得结论．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】∴ ，故展开式中含项的系数为．故答案为：A.【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得展开式中含x3项的系数．6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，系数为.故答案为：C．【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．7.【答案】B【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】因为，常数项为，中常数项为，故展开式中常数项为，故答案为：B.【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．8.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项展开式的性质，可得，所以，所以.展开式的通项为，令可得，常数项为，故答案为：B.【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．9.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解得. 的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．10.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】，令，得，，的展开式的通项为，则项的系数为.【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于4，求得r、m的值，即可求得x4项的系数．11.【答案】3【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得成等差数列，即，化简可得，解得n=8，或n=1（舍去）．二项式的展开式的通项公式为，为整数，可得r=0，4，8，故此展开式中有理项的项数是3.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．12.【答案】（1）解：的展开式的通项为= ，又第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，可得n=10.（2）解：由（1）可得，，令，可得r=2，所以含x2项的系数为（3）解：由（1）可得，，若T r+1为有理项，则，且0≤r≤10，所以r=2，5，8，则展开式中的有理项分别为，，【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）利用通项公式即可得出．（2）根据通项公式，由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出．13.【答案】（1）解：，通项为.①二项式系数最大的项为第项，.② ，则展开式中系数最大的项为第项，（2）解：，转化为被除的余数，，即余数为【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．（2）假设第r+1项的系数最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．14.【答案】（1）解：由题意得，解得．通项为，令，得，于是系数为（2）解：设第项系数的绝对值最大，则解得，于是只能为6，所以系数绝对值最大的项为（3）解：原式【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．（2）设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，（3）利用二项式定理求得结果．。

知识图谱-二项式定理通项及其应用赋值法二项式定理应用第04讲_二项式定理错题回顾二项式定理知识精讲一．二项式定理对于任何正整数，都有这个公式所表示的定理叫作二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项式展开式，其中各项系数叫作二项式系数．二．二项展开式的通项二项式展开式的第项，叫做二项式展开式的通项；它体现了二项式展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及系数方面有广泛的应用．三．二项式系数的性质1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即2．增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数和：；4．四．杨辉三角上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．类似这样的表，早在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书里就已出现，它反映了我国古代劳动人民的智慧和才能．在欧洲一般认为这是帕斯卡在（Pascal）于年发现的，称这个图形为“帕斯卡三角形”．观察杨辉三角形，可以看出二项式的前三条性质．五．二项式定理应用1．近似运算当的绝对值与1相比很小且不大时，常用近似公式，因为这时展开式的最后一部分很小，可以忽略不计．类似地，有．但使用这两个公式时应注意的条件，以及对计算精度的要求．要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位符合要求即可，少了不合要求，多了无用，且增加麻烦。

2．整除与余数问题（1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式，如求除以的余数，进行如下变化，，它的展开式除末项外，其余均含有这个因数，因此除以的余数与除以的余数相同；而，的展开式中除最末项外，其余各项均含有这个因数，故除以的余数为，从而除以的余数也为；（2）用二项式定理处理整除问题，通常把被除数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了；（3）注意余数的范围（为余数，，是余数），利用二项式定理变形后，若剩余部分是负数，要注意转换．3．证明不等式（1）用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证；（2）应用时注意巧妙地构造二项式；（3）证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．三点剖析一．注意事项1．二项式定理中，是不能交换的，即与是有区别的，前者展开式第项为，后者展开式第项为；2．二项式系数是组合数，它与二项展开式某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与“二项展开式某一项的系数”这两个概念，如展开式第项的二项式系数是，该项系数为；3．通项公式中，是第项，不是第项；4．近似运算中使用的是，在用此公式进行近似运算时，在开始中各项的取舍要根据问题对精度的要求来确定，具体选几项每个题目都可能不一样，有时可选择使用比更精确的公式。

二项式定理及其应用二项式定理是数学中非常基础的一个定理，它的重要性不亚于勾股定理和皮克定理。

在高中数学学习中，学生一定会接触到它，它被广泛应用于高中数学乃至进一步的数学学习中。

下面我们就来介绍一下什么是二项式定理以及它的应用。

一、二项式定理的定义二项式定理又称为二项式展开定理，是可以展开(a+b)^n的定理。

其中a、b为任意数，n为正整数。

它的一般形式为：(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n其中C(n,k)表示组合数。

二、组合数的定义组合数是数学中一个非常重要的概念，它的作用非常广泛，不仅仅在二项式定理中使用，还在概率论、统计学、组合数学等多个领域中都有应用。

组合数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!),其中0≤k≤n，n!表示n的阶乘。

三、二项式定理的应用1.幂的展开(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n中，幂的展开就是应用二项式定理的一个实际应用。

例如：(2x+3)^3 = C(3,0)·2^3·3^0 + C(3,1)·2^2·3^1 + C(3,2)·2^1·3^2 + C(3,3)·2^0·3^3 = 8x^3+36x^2+54x+272.排列组合排列组合问题是组合数学中的一个重要分支，可以通过二项式定理来解决。

高中数学二项式定理知识点总结
一. 二项式定理
二项式定理是一个数学定理，它是指给定的任意非负整数n和任意实数a，则杨辉三角中的第n行和第m项中的元素之和为：
(a+b)^n = ΣC(n,m)a^(n-m)b^m,m=0,1,...,n
二. 特点
1. 如果a=1和b=1，可以理解为杨辉三角公式，
C(n,m)=(n,m)=(n!)/(m!(n-m)!),C(n,m)是组合数；
2. 当n=m时，它可以被称为勒贝格定理；
3. 二项式定律的作用是可以用来计算出多项式的值，和实现多项式的数学推导；
三. 应用
1. 二项式定理可以用来求解二次函数y=x^2+ax+b在满足a^2-4b<0时，其极值与极点，同时还能应用于多项式的展开和逻辑判断；
2. 应用于光度学问题，二项式函数可以用来表达连续发射物质的浓度与位置之间的关系；
3. 在概率论和数论中，二项式定理用于求解有限次试验概率等问题；
4. 在图论中，二项式定理可被用来求解连通图的极大或极小的有向圈
数量；
5. 在微积分中，可以利用它求解一系列数学问题。

二项式定理高中1. 引言在高中数学中，我们学习了许多重要的数学定理和公式。

其中，二项式定理是一个非常重要且实用的定理，它在代数表达式的展开和组合数学中起着关键作用。

本文将详细介绍二项式定理的定义、推导过程、应用以及相关例题。

2. 定义二项式定理是指对于任意实数a 和b 以及非负整数n ，以下等式成立：(a +b )n =C n 0⋅a n ⋅b 0+C n 1⋅a n−1⋅b 1+C n 2⋅a n−2⋅b 2+...+C n n ⋅a 0⋅b n其中，C n k 表示从n 个元素中选取k 个元素的组合数。

3. 推导过程为了更好地理解二项式定理，我们可以通过数学归纳法来推导它。

首先考虑当n=1时，等式左边为(a +b )1=a +b ，右边为C 10⋅a 1⋅b 0+C 11⋅a 0⋅b 1=a +b 。

两边相等。

假设当n=k 时等式成立，即：(a +b )k =C k 0⋅a k ⋅b 0+C k 1⋅a k−1⋅b 1+C k 2⋅a k−2⋅b 2+...+C k k ⋅a 0⋅b k我们需要证明当n=k+1时等式也成立。

首先展开(a +b )k+1，可以得到：(a +b )k+1=(a +b )⋅(a +b )k根据假设，我们可以将(a +b )k 展开为：(a +b )k+1=(a +b )⋅[C k 0⋅a k ⋅b 0+C k 1⋅a k−1⋅b 1+C k 2⋅a k−2⋅b 2+...+C k k ⋅a 0⋅b k ]展开后，我们可以得到：(a +b )k+1=C k 0⋅a (k+1)⋅b (0+1)+C k 1⋅a (k−1+1)×b (1+1)+......+C (n−2)(n−2)×a (0+2)×b (n−2)+2+⋯+C n−3×a ×b ×(b n )⋯+C n ×(a n )×b 0将上述等式与(a+b)k+1展开的结果进行比较，可以发现每一项都与二项式定理中的对应项相等。

高中数学二项式定理二项式定理是数学中最重要的定理之一，它帮助我们理解多项式的乘积的意义，并能有效地解决多个公式的问题。

本文将详细论述二项式定理的定义、证明、应用以及其他有关的知识。

二项式定理的定义首先，要熟悉二项式定理的定义，要在掌握一个正确的定义前，了解一些术语的含义，这些术语如下所示：n是一个正整数，(a+b)^n 是指a和b的乘积。

二项式定理可以定义为：当n为非负整数时，(a + b)^n = a^n + nC1*a^(n-1)*b + nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n 其中 nC1, nC2, nC3等，可以用来表示不同的组合概率，这些概率也可以用系数表示。

证明证明二项式定理，最常用的方法就是使用归纳法。

首先，让n=0，此时(a + b)^0 = a^0 + 0C1*a^(-1)*b +0C2*a^(-2)*b^2 + + 0C0*a*b^0 + b^0,据组合系数的定义，可以得出当n=0时，等式成立；再让n=1，此时(a + b)^1 = a^1 + 1C1*a^0*b + 1C2*a^(-1)*b^2 + + 1C1*a*b^1 + b^1,上式可分别把等号左右两边的项目分别累加，再根据组合系数的定义，可以得出当n=1时，等式也成立；以此类推，可以得出当n=2,3,4,…时，等式也成立。

由此可以得出当n为正整数时，(a + b)^n = a^n + nC1*a^(n-1)*b+ nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n立。

由于以上方法只证明了当n为正整数时，等式成立，要想证明当n为非负整数时，等式也成立，那就要用反证法。

假设当n为非负整数时，(a + b)^n a^n + nC1*a^(n-1)*b + nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n，这意味着当n=0,1,2,3,4,…时，等式都不成立，而前面已经证明了当n=0,1,2,3,4,…时，等式是成立的，因此，这个假设是不正确的，故该等式在n为非负整数的情况下也成立。

高中数学二项式定理知识点总结1. 二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，有如下公式成立：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n, n-1) * a * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个的组合数，也叫做二项系数。

公式中的每一项称为二项式展开式的项。

2. 二项式系数的计算二项系数C(n, k)的计算可以使用组合数公式表示，即：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。

我们可以通过简化计算以及利用性质来计算二项系数。

例如，根据性质C(n, k) = C(n, n-k)，我们可以利用对称性简化计算。

3. 二项式定理的应用3.1. 求幂和根的近似值通过二项式定理，我们可以近似地计算某些幂和根的值。

例如，对于一个实数x和一个很小的实数y，我们可以利用二项式定理近似计算 (x + y)^n 的值。

3.2. 求组合数组合数是二项式系数的另一种常见应用。

在组合数学中，我们常常需要计算从n个元素中选择k个的组合数。

例如，在概率论中，我们需要计算选择k个事件发生的可能性。

3.3. 求多项式系数二项式定理还可以用来计算多项式的系数。

例如，对于一个多项式的展开式，我们可以通过二项式定理将其展开并求得各项系数。

4. 二项式定理的证明二项式定理可以通过数学归纳法来证明。

首先，我们证明当n=1时定理成立。

然后，我们假设当n=k时定理成立，并证明当n=k+1时也成立。

根据这个逻辑推理，我们可以得出结论二项式定理对于所有非负整数n都成立。

5. 二项式定理的拓展在高等数学中，二项式定理还有一些拓展形式。

二项式定理公式展开式二项式定理，这可是高中数学里的一个重要知识点呢！就像一把神奇的钥匙，能帮咱们解开好多数学谜题。

咱先来说说二项式定理的公式展开式到底是啥。

它呀，形如$(a+b)^n$的式子，展开后就是一系列项的和。

具体的公式是：$(a+b)^n = C_{n}^0 a^n b^0 + C_{n}^1 a^{n-1}b^1 + C_{n}^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_{n}^n a^0 b^n$ 。

这里的$C_{n}^r$叫做二项式系数，计算公式是$C_{n}^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这一堆符号和公式，感觉像天书一样，到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“别着急，咱们来玩个小游戏。

”我拿出了一袋子的糖果，说：“假设这里面有两种口味的糖果，草莓味和柠檬味。

咱们现在要从袋子里拿 n 颗糖，那有多少种拿法呢？”学生们开始七嘴八舌地讨论起来。

有的说一个一个数，有的说先分类再计算。

我引导他们：“其实呀，这就可以用二项式定理来解决。

把草莓味的糖果看成 a ，柠檬味的看成 b ，那拿糖的不同组合方式，不就是$(a+b)^n$的展开式嘛！”经过这么一解释，学生们好像有点开窍了。

咱们再深入讲讲二项式定理的应用。

比如说在概率统计中，它能帮我们计算某些随机事件的概率。

还有在数列求和中，也能发挥大作用。

而且，二项式定理还和我们的生活有点关系呢。

就像我们做选择的时候，比如你今天要决定穿什么衣服，有几件上衣和几条裤子可以选，那么总的搭配方式就可以用类似二项式定理的思路来计算。

在解题的时候，咱们得注意一些细节。

比如说计算二项式系数的时候，可别粗心大意算错了阶乘。

还有，展开式中各项的指数也要看清楚，别弄混了。

总之，二项式定理公式展开式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的规律，多做几道题练练手，就能把它变成我们解题的得力工具。

二项式定理两项相乘二项式定理是高中数学中的重要概念之一，它描述了两个数之和的乘积展开式的形式。

在这篇文章中，我们将探讨二项式定理的应用，以及它在数学和现实生活中的意义。

我们来回顾一下二项式定理的表达式。

对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。

组合数可以通过以下公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)现在，让我们来看一些二项式定理的应用。

1. 概率论：在概率论中，二项式定理可用于计算二项分布的概率。

二项分布描述了在n个独立重复的伯努利试验中，成功次数为k的概率。

例如，在投掷硬币的实验中，我们可以使用二项式定理计算出正面朝上k次的概率。

2. 组合数学：二项式定理可以应用于组合数学中的问题。

例如，在计算排列组合时，我们可以使用二项式定理来简化问题。

通过计算组合数，我们可以确定从n个元素中选取k个元素的不同组合数。

3. 经济学：二项式定理在经济学中也有广泛的应用。

例如，在计算股票期权的定价模型中，二项式定理可以用来估计不同价格变动情况下的期权价值。

这有助于投资者做出更明智的决策。

4. 工程学：在工程学中，二项式定理可用于估计不同条件下的概率和风险。

例如，在可靠性工程中，我们可以使用二项式定理来计算系统的可靠性和失效概率。

除了上述应用外，二项式定理还在统计学、物理学和计算机科学等领域中得到广泛应用。

它为解决复杂的数学和实际问题提供了有力的工具。

总结起来，二项式定理是数学中一个重要且有广泛应用的定理。

它不仅可以用于计算概率和组合数，还可以在经济学、工程学和其他领域中解决实际问题。