2017届高考数学一轮复习 必考部分 第四篇 平面向量 第1节 平面向量的概念及线性运算应用能力提升 文

1第 1 页 共 23 页教学辅导教案1．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120°案：B2．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( )A ．1 B.12C ．－12D ．－1 答案：D3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案：C5．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( ) A.32 B ．2 C ．0 D.34答案：A6．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 答案：C8.已知α是第二象限角，且f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝35，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－cos αsin α(－tan α)－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝35.又∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴f (α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＝45.[问题1]在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤[答案] D[解析] 由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D ．[问题2] 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ [解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →.(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|. (4)不相等． [问题3]根据右图填空：b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________. [答案] af f b δ[解析] 由向量加法的多边形法则可知．[问题4] 如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.[解析] 解法一：AP →＝AB →＋BP →，BQ →＝BC →＋CQ →，CR →＝CA →＋AR →.又∵P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 的中点，∴BP →＝12BC →，CQ →＝12CA →，AR →＝12AB →，∴AP →＋BQ →＋CR →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋12BC →＋12CA →＋12AB →＝32(AB →＋BC →＋CA →)＝0.解法二：AP →＝12(AB →＋AC →)，BQ →＝12(BA →＋BC →)，CR →＝12(CA →＋CB →)， ∴AP →＋BQ →＋CR →＝12(AB →＋AC →＋BA →＋BC →＋C A →＋CB →)＝0.[问题5]化简下列各式：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →－OD →＋AD →； (3)AB →－AD →－DC →.[解析] (1)AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)＋(CA →＋DC →)＝AD →＋DA →＝0. (2)OA →－OD →＋AD →＝OA →＋(AD →＋DO →) ＝OA →＋AO →＝0.(3)AB →－AD →－DC →＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →.[问题6] 如图，已知向量a 、b 、c ，求作向量a －c ＋b . 导学号34340514[解析] 如图，在平面内任取一点O ， 作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .连接AC ，则CA →＝a －c .过点B 作BD ∥AC ，且BD ＝AC ，则BD →＝CA →. 所以OD →＝OB →＋BD →＝b ＋a －c ＝a －c ＋b .[问题7]已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →.[解析] 如图所示，AM →＝CM →－CA →＝a －b ， MB →＝AM →＝a －b ， CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM → ＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2(a －b ) ＝2b －2a .[问题8]化简下列各式：(1)3(2a －b )－2(4a －3b )； (2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－32b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )． [解析] (1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3b .(2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b＝－16a .(3)原式＝6a －8b ＋2c －6a －3b ＋9c ＝－11b ＋11c .[问题9]设两个非零向量a 与b 不共线，若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线．[解析] ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →、BD →共线， 又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．1． 向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【典例剖析】【例1】若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a|a|＝b.其中正确的是()A．①④⑤B．③C ．①②③⑤D ．②③⑤[答案] D[解析] |a |与|b |大小关系不能确定，故①错，a 与其单位向量平行②正确．a ≠0，∴|a |>0，③正确．|b |＝1，故④错．由定义知⑤正确．【例2】如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．[解析] ∵AD →＝DB →，∴|AD →|＝|DB →|，从而D 是AB 的中点．∵DF →＝BE →，∴DF →与BE →是平行向量，从而DF ∥BE ，即DF ∥BC ．∴F 是AC 的中点． 由三角形中位线定理知，DF ＝12BC ，又|DF →|＝|BE →|，即DF ＝BE ， 从而E 为BC 的中点． 于是DE ∥AC ，且DE ＝12AC ．∴DE ∥AF 且DE =AF ，故DE →＝AF →. ∵F 是AC 的中点，∴AF ＝12AC ，【例3】在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |[答案] C [解析] 如图，a ＋b ＝c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．【例4】给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②③④[解析] 若O D →＋O E →＝OM →，则 O D →＝OM →－O E →，故①正确；若O D →＋O E →＝OM →，则OM →－O D →＝OM →＋D O →＝O E →，故②正确； 若O D →＋O E →＝OM →，则O D →－E O →＝OM →，故③正确；若O D →＋O E →＝OM →，则－O D →－O E →＝－OM →，即D O →＋E O →＝M O →，故④正确．【例5】下列各式中不能化简为PQ →的是( )A ．AB →＋(P A →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C ．QC →－QP →＋CQ →D ．P A →＋AB →－BQ →[答案] D[解析] A 中AB →＋BQ →＋P A →＝AQ →＋P A →＝PQ →， B 中AB →＋PC →＋BA →－QC →＝PC →－QC →＝PQ →， C 中QC →－QP →＋CQ →＝PQ →， 故选D ．【例6】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →.[解析] 如图所示，AM →＝CM →－CA →＝a －b ，MB →＝AM →＝a －b ， CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM → ＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2(a －b ) ＝2b －2a .【例7】化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b ). 答案：(1)14a －9b (2)－2a ＋4b【例8】（1）如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：C【例9】（1）已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a 与b 是共线向量，则实数k 的值为________．答案：－2（2）如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．[解析] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则： BD →＝BA →＋AD →＝－e 1＋e 2， BN →＝13BD →＝－13e 1＋13e 2，MB →＝12e 1，BC →＝AD →＝e 2，MC →＝MB →＋BC →＝12e 1＋e 2，MN →＝MB →＋BN →＝12e 1－13e 1＋13e 2＝16e 1＋13e 2＝13⎝⎛⎭⎫12e 1＋e 2. 故MN →＝13MC →，故M 、N 、C 三点共线．1．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形[答案] C[解析] 因为AB →与CD →为共线向量，所以AB →∥CD →，但|AB →|与|CD →|可能相等，也可能不相等．2．当向量a 与任一向量都平行时，向量a 一定是________．答案：零向量3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( )A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM → [答案] C[解析] 原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →. 4．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同 [答案] B[解析] ∵a 与b 方向相反，且|a |<|b |时，a ＋b 与a 的方向相反，a ＋b 与b 的方向相同，故B 不正确．5．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( )A ．a ＝bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．以上都不对[答案] C[解析] 由向量加法的平行四边形法则知，若a ＋b 平分a 与b 的夹角，则四边形是菱形，因此|a |＝|b |.6．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] ①、②、④、⑤、⑥正确，③不正确，故选C ． 7．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →－OE →C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE → [答案] B[解析] EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →，故选B ．8．设a 、b 为非零向量，且满足|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 的关系是( )A ．共线B ．垂直C ．同向D ．反向 [答案] D[解析] 设a 、b 的起点为O ，终点分别为A 、B ，则a －b ＝BA →，由|a －b |＝|a |＋|b |，故O 、A 、B 共线，且O 在AB 之间．故OA →与OB →反向，所以选D ． 9．已知|OA →|＝|OB →|＝2，且∠AOB ＝120°，则|OA →＋OB →|＝________.[答案]2[解析] 以OA →，OB →为邻边作▱OACB ， ∵|OA →|＝|OB →|，∴▱OACB 为菱形， ∴|OA →＋OB →|＝|OC →|，∵∠AOB ＝120°，∴△OAC 为正三角形，∴|OC →|＝ 2. 10．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →[答案] A[解析] ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →，∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →，故选A ．11．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.[答案] 13或－2[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ， ∴k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m 1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0， ∴k ＝13或－2.【知识点一】向量a ＋b 与非零向量a ，b 的模及方向的联系(1)当向量a 与b 不共线时，向量a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |，几何意义是三角形两边之和大于第三边．(2)当向量a 与b 同向时，向量a ＋b 与a (或b )方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当向量a 与b 反向，且|a |≤|b |时，a ＋b 与b 方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |.【知识点二】用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．【经典例题剖析】【例1】下列命题正确的是( )A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c 共线B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c 不共线C ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线 D ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量[错解] 错解一：因为向量a 与b 共线，所以a ＝λ1b ，又因为向量b 与c 共线，所以b ＝λ2c ，则a ＝λ1λ2c 向量a 与c 共线，故选A ．错解二：因为向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，根据传递性向量a 与c 不共线，故选B ．错解三：因为向量AB →与CD →是共线向量，所以AB →与CD →在同一条直线上，所以A 、B 、C 、D 四点共线，所以应选C ．[辨析] 错解一中对零向量的认知不到位，忽略了零向量与任何向量共线．错解二中错因是非零向量共线传递的负迁移，是平行线传递性的负迁移．错解三的错因是对向量共线与线段共线在认知上的错位．[正解] 当b ＝0时，A 不对；如图，△ABC 的中位线EF ，a ＝EF →，c ＝BC →，b ＝AB →，显然满足B 的条件，但a ∥c ，故B 不对；当AB →与CD →的基线平行或重合时，AB →与CD →共线，但显然前者A 、B 、C 、D 四点不共线，故C 错；假若a 与b 中存在一个向量为0，则一定有a ∥b ，与a 、b 不共线条件矛盾，∴D 正确．[变式1]已知a 、b 为两个向量，给出以下4个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 的方向相反；③|a |＝0或|b |＝0；④a 与b 都是单位向量． 由条件________一定可以得到a 与b 平行． [答案] ②③[解析] 长度相等或都是单位向量不能得到a ∥b ，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a ∥b .故填②③.【例2】(1)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________；(2)当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角．[解析]由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．[答案](1)4(2)|a|＝|b|[变式2]设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号为()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤答案：C【例3】已知▱ABCD中，AD＝a，AB＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．(1)用a ，b 表示向量MC ，NC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线． [解题流程][规范解答](1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝a .(1分)∵M 为AB 的中点，∴MB ＝12AB ＝12b ，(2分)∴MC ＝MB ＋BC ＝12b ＋a .(4分)∵N 为BD 上靠近B 的三等分点，∴NB ＝13DB ，(6分)∴NC ＝NB ＋BC ＝13DB ＋BC ＝13(AB －AD )＋BC＝13(b －a )＋a ＝23a ＋13b .(8分) (2)证明：由(1)知NC ＝23MC ，(10分)又NC 与MC 有公共点C ， ∴M ，N ，C 三点共线．(12分)[名师批注]平行四边形的对边平行且相等，且其对边示两相等向量，这在线性运算中经常用到先将MC 用平行四边形中的有关有向表示，然后再用向量表示这是解决此类问通法．要注意向量的始点和终点，此点也出错.将向量NB 转化为13()AB －AD此题的难点，很多同学因不会转化而无法在证出NC ∥MC 后，只有再说明NCMC 有公共点C ，才能说明M ，N ，C 线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完失分．[变式3]如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．答案：(1)OC ＝2a －b ；DC ＝2a －53b (2)451．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________．[答案] BD →、DA →[解析] 三角形的中位线平行且等于底边的一半，EF →＝12BA →＝BD →＝DA →.2．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________．[答案] |AB →|＝|DC →|[解析] 由等腰梯形可知，两腰长度相等，故两腰上的向量AB →与DC →满足|AB →|＝|DC →|. 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A ．AD →＋BE →＋CF →＝0 B ．BD →＋CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →＋CF →＝0 D ．BD →＋BE →＋FC →＝0[答案] A[解析] ∵D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，∴DE ∥AC ，DF ∥BC ． ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴ED →＝CF →.又AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0，故选A ．∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(AC →－AB →)＝23(b －c )，AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23b －23c ＝23b ＋13c .8．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b .[答案] －57[解析] ∵|a |＝5，|b |＝7，∴|a ||b |＝57，又方向相反，∴a ＝－57b .9．已知a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，则a ＋b ＝________，a －b ＝________，2a －3b ＝_______.[答案] 3e 1－e 2 e 1＋3e 2 e 1＋8e 2 [解析] ∵a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2， ∴a ＋b ＝3e 1－e 2， a －b ＝e 1＋3e 2，2a －3b ＝4e 1＋2e 2－3e 1＋6e 2 ＝e 1＋8e 2.10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值．[解析] ∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 8＝λk k ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝4λ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4λ＝－2.故k ＝±4.1．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是( )A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身) B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身) C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线 [答案] D[解析] 易知△ABC 和△ACD 均为正三角形．对于A ，向量AB →＝DC →； 对于B ，|AB →|＝|DC →|＝|DA →|＝|CB →|＝|CA →|；对于C ，△BAD 是顶角为120°的等腰三角形，则|BD →|＝3|DA →|； 对于D ，CB →∥DA →成立，故D 是错误的． 2．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a ＝b . 其中正确命题的序号是________． [答案] ②[解析] 在讨论向量共线的问题时，要考虑方向、长度、位置，尤其不能忘记对零向量的讨论．对于①，两个向量的模相等，但方向却不一定相同，故①错误． 对于②，a ＝b ，则a 与b 同向，∴a ∥b ，故②正确．对于③，|a |与|b |不一定相等，a 与b 的方向也不一定相同，故a ＝b 不一定成立，故③错误．3．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |[答案] C[解析] 如图，a ＋b ＝c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．22[答案] D[解析] ∵AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |，∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝22，故选D ．5．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．[答案] 3 [解析] 如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.6.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.[答案] 2[解析] ∵AD DB ＝AE EC ＝12， ∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1， 如图所示，作CF →＝ED →，连DF ，则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →，∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.7．已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0.求证：G 是△ABC 的重心．[解析] 如图，∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴GA →＝－(GB →＋GC →)()以GB →、GC →为邻边作平行四边形BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，∴GD →＝－GA →，又∵在▱BGCD 中，BC 交GD 于E ，∴BE →＝EC →，GE →＝ED →，∴AE 是△ABC 的边BC 的中线，且|GA →|＝2|GE →|，∴G 为△ABC 的重心．8．已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于E 点，O 是任意一点，如图所示．求证：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OE →.[解析] 解法一：因为E 为平行四边形两对角线的交点，所以2OE →＝OA →＋OC →，2OE →＝OB →＋OD →.即4OE →＝OA →＋OB →＋OC →＋OD →.解法二：因为OE →＝OA →＋AE →＝OB →＋BE →＝OC →＋CE →＝OD →＋DE →，而AE →＋CE →＝0，BE →＋DE→＝0，所以4OE →＝OA →＋OB →＋OC →＋OD →.。

特别提醒：①,sin()sin ,sincos 22A B C A B C A B C π++=-+==： ②锐角三角形⇒sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭⇒sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.（2）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式： ()sin sin i a b A B :=:；()sin 2a ii A R =；()2sin iii a R A =； ②已知三角形两边及一边的对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. （3）余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等， 解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.（4）面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）. （5）大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解、哪些不是.在三角形中，sin sin A B A B >⇔>，这是“正弦定理+大边对大角”的应用.14. 致命易错点提示：（1）特殊角三角函数值、诱导公式和三角变换公式使用错误；（2）大题第一步化简错误（应在化简完后立刻检验）；（3）已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围.第五部分 平面向量1. 向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，叫向量. 向量常用有向线段来表示.注意向量和数量的区别.（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量.(与AB 共线的单位向量有两个：AB±,一个同向，一个反向).（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.（5）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量, a 的相反向量是－a .（6）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行.提醒：①两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念，两个向量平行包含基线平行与重合两种情况, 但两条直线平行不包含两条直线重合.②三点A B C 、、共线⇔AB ∥AC .2. 向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意前为起点，后为终点.（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等.（3）坐标表示法：在平面直角坐标系内，以与x 轴、y 轴正方向同向的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3. 平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2.如:（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（用,a b 表示）（答：1322a b -）. （2）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）.4. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：（1）;a a λλ=（2）当λ0>时，λa 的方向与a 的方向相同;当λ0<时，λa 的方向与a 的方向相反;当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0. 5. 平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角.当θ＝0时，a ，b 同向;当θ＝π时，a ，b 反向;当θ＝2π时，a ，b 垂直.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积，或点积），记作：b a ⋅，即b a ⋅＝cos a b θ.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注意数量积是一个实数，不再是一个向量.如：①2=5=，3-=⋅b a ，则a b +等于____.） ②已知非零向量,a b 满足a b a b ==-，则,a a b 〈+〉的大小为____.（答：30）（3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0. 如:已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在→b 上的投影为____.(答：512) （4）b a ⋅的几何意义：数量积b a ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影数量的积.（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：①0=⋅⇔⊥b a b a .②当a ，b 同向时，b a ⋅＝a b ，特别地，22||a a a a =⋅=，||a = 当a 与b 反向时，b a ⋅＝－a b .当θ为锐角时，b a ⋅＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件.当θ为钝角时，b a ⋅＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件.③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：||||cos b a b a =θ ④||||||b a b a ≤⋅.如 ：已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______.（答：43λ<-或0λ>且13λ≠） 6．向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行.向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=.②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么， 由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±.②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==.③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.④平面向量数量积：2121y y x x b a +=⋅.⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+.⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则||AB =.7. 向量的运算律： （1）交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅.( 2 ) 结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅.（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+， c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(.如:在下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(.② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(. ③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+. ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b . ⑤ 若,a b c b ⋅=⋅则a c =.⑥22a a =. ⑦2a bb a a ⋅=.⑧222()a b a b ⋅=⋅. ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是______.（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约). （2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(⋅≠⋅.(为什么？)8. 向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0.如:(1)已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝___.（答：4）.(2)设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 三点共线.（答：－2或11）9. 向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=.如：已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = .（答：32）10．向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用.（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当 a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-. 当 a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.当 a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+. (这些和实数比较类似)（3）在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心坐标为123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 如 ：若ABC ∆的三边的中点坐标分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC ∆的重心坐标为_______.（答：24(,)33-） ②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心， 特别地，0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心.③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心.④向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠的基线经过ABC ∆的内心. （4）P 为12P P 的中点122MP MP MP +⇔=. （5）向量 PA PB PC 、、的终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、，使得PA PB PC αβ=+，且1αβ+=.如：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是____. （答：直线AB ） 第六部分 数列1．数列的定义：数列是一个定义域为正整数集*N （或它的有限子集{}n ,,3,2,1 ）上 的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.2. 一般数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 3. 等差数列的概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）.（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-.（3）等差数列的前n 项和：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+， 注意n S 与中间项的关系.（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,2a b A +=. 4．等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是。

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第四章平面向量4.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与a－b＝a＋(－b)b 的差三角形法则数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(1)λ(μa )＝(λμ)a ；(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．2．若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②答案 A解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．如图所示，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2答案 C解析 由题图可得a －b ＝BA →＝e 1－3e 2.3．(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.4．已知A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，p ，q ，r ∈R ，则p ＋q ＋r 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．3答案 B解析 ∵A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，∴存在实数λ使AB →＝λAC →，∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)， 即(λ－1)OA →＋OB →－λOC →＝0.∵pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，∴p ＝λ－1，q ＝1，r ＝－λ， ∴p ＋q ＋r ＝0.5．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .题型一 平面向量的概念例1 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 答案 ④解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC → B.12AD → C.AD →D.12BC → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 (1)C (2)A解析 (1)EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 (1)A (2)D解析 (1)∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29 B.27 C.25 D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三 共线定理的应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 (1)B (2)12解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B. (2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.10．方程思想在平面向量线性运算中的应用典例 (14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[10分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1. ②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[14分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[方法与技巧]1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.[失误与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等．2．设a 0，b 0分别是与a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2 D ．|a 0＋b 0|＝2 答案 C解析 因为是单位向量，所以|a 0|＝1，|b 0|＝1.3．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →. 4．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C．90° D．120° 答案 B解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又∵O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 平行四边形解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →.所以四边形ABCD 为平行四边形．7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________. 答案 2解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知， AB →⊥AC →，则AM 为Rt△ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.8．(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.9.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线； (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． (1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.12．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －bC ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .13．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为( ) A ．45° B ．60° C ．30° D ．15°答案 B解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sinB ·GB →＋sinC ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ， ∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.故选B.14．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案 －14a ＋14b解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .15．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3.。

第四篇平面向量(必修4)第1节平面向量的概念及线性运算课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有( D )(A)=2(B)=2(C)=2(D)=2解析:∵++=,∴+=-=+=,∴=2.故选D.2.如图所示,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则( A )(A)++=0(B)-+=0(C)+-=0(D)--=0解析: ++=++=(++)=0.故选A.3.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③λa=0(λ为实数),则λ必为零.④λ,μ为实数,若λa=μ b,则a与b共线.其中错误的命题的个数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误,当λ=μ=0时,λa=μ b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.4.(2013广东深圳中学阶段测试)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E 为BC的中点,则等于( A )(A)+(B)+(C)+(D)+解析:=++=-+,=+=+=+(-)=+.故选A.5.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( D )(A)|a|=|b|且a∥b (B)a=-b(C)a∥b (D)a=2b解析:∵表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量, ∴a与b必须方向相同才能满足=.故选D.6.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A、B、D (B)A、B、C(C)B、C、D (D)A、C、D解析:=++=3a+6b=3.因为与有公共点A,所以A、B、D三点共线.故选A.7.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( D )(A)k=1且c与d同向(B)k=1且c与d反向(C)k=-1且c与d同向(D)k=-1且c与d反向解析:由题意可设c=λd,即ka+b=λ(a-b).(λ-k)a=(λ+1)b.∵a, b不共线,∴∴k=λ=-1.∴c与d反向.故选D.二、填空题8.(2013广东茂名一中模拟)如图所示,正六边形ABCDEF中,++等于.解析:++=+-=-=.答案:9.(2013年高考四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= .解析:因为O为AC的中点,所以+==2,即λ=2.答案:210.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=(用a,b表示).解析:=+=-=b-(a+b)=-a+b.答案:-a+b11.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.解析:∵O是BC的中点,∴=(+).又∵=m,=n,∴=+.∵M、O、N三点共线,∴+=1.∴m+n=2.答案:2三、解答题12.设点O 在△ABC 内部,且有4++=0,求△ABC 与△OBC 的面积之比.解:取BC 的中点D,连接OD,则+=2,∵4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||, ∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.13.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是BC,AC 的中点,=,=a,=b.用a,b 表示向量,,,,.解:延长AD到G,使=,连接BG,CG,得到▱ABGC,所以=a+b,==(a+b),==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).B组14.(2013石家庄二模)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( C )(A)3 (B)1 (C)(D)解析:设=λ(λ∈R),则=+=+λ=+λ(-)=+λ-=(1-λ)+λ,则解得m=,故选C.15.(2013长春市第四次调研改编)如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=2,||=,||=2,若OC=λ+μ(λ,μ∈R),则= .解析:过C作CD∥OB交OA延长线于D,在△OCD中,∠COD=30°,∠OCD=90°,OC=2,∴OD=4,CD=2∴=2,=.∴=+=2+.∴λ=2,μ=,∴=.答案:16.设e1,e2是两个不共的线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A、B、D三点共线;(2)若=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,求k的值.(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵=2e1-8e2,∴=2.又∵与有公共点B,∴A、B、D三点共线.(2)解:由(1)可知=e1-4e2,∵=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,∴=λ(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2, 得解得k=12.。

平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。