【数学】北京市第四中学高考调研卷试卷(一) (文)(解析版)

2019北京市第四中学高三调研卷数 学（文）页数：4页 题数：20题 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()UA B 等于A.{|11}x x -<≤B.{|11}x x -<<C.{|1}x x <-C.{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:16.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 DA ．若ββα⊥⊥m ,，则α//m ；B ．若m n m ⊥,//α，则α⊥n ；C ．若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα⊥；D ．若n m m =⊂βααβ ,,//，则n m //7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．152π； B ．203π； C ．1521π-； D ．2031π- 8. 若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：22221212112x x x y y x y x y +-+-+的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>； ②()()ln 0f x x x e =<<； ③()cos f x x =； ④()24f x x =-． 其中为“柯西函数”的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．曲线()2xf x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为 ．10．若变量,x y 满足则目标函数20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为 ．11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m 行的第n 个数为,m n a ，如3,215a =，若,2019m n a =，则m n += ． 12.已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值是2，则nm的值为 . 13．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=____． 14．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n n S a a n N =+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()*0n a n N >∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+. （1）求ω和ϕ的值； （2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值． 17. 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bx x-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)18．如图，四棱锥P ABCD -中，22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆为正三角形．且PA =(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且//PB 平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．20．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++.(1)若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0b =时，设()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．2019北京市第四中学高三调研卷数学（文）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． CDCDADCB二．填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9． 20x y -+= ． 10． 28 ． 11． 44 ．12. xe . 13．_－3__． 14． .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++． 解析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n=（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数()f x x ωϕ=+）的图象的一个对称中心为），（012π∴2,12k k Z πϕπ⨯+=∈911-或22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f∴41sin =α20πα<< ∴415cos =α∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（ 17.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555ii x==++++=∑ ，ni i i=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑， a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人， 由分层抽样的定义可知6301020x y==，解得2,4x y == 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A == 18．(1)证明：∵,2AB AD AB AD ⊥==，∴BD = 又PBD ∆为正三角形，所以PB PD BD ===又∵2,AB PA ==AB PB ⊥， 又∵,//AB AD BC AD ⊥，∴,AB BC PBBC B ⊥=，所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB ⊥平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PBC .6分 (2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为//BC AD ， 且2AD BC =，所以2OD OB =，连接OE ，因为//PB 平面ACE ，所以//PB OE ，则//2DE PE ， 由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2， 所以点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， 所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 即四面体A CDE -的体积为89.12分 19.（1）因为椭圆C 的焦点为，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()0000,0,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*） 12(F F因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200024443644820x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB，所以1262AB OP=，从而AB =．设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,2024x x y=+，所以()()()()222222012122222048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭．因为22003x y +=，所以()()20222016232491x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得()22005202x x ==舍去，则2012y =，因此P 的坐标为2⎝⎭．综上，直线l 的方程为y =+． 20．(1)由()32f x x x bx =++，得()232f x x x b '=++，因()f x 在区间[]1,2上不是单调函数， 所以()232f x x x b '=++在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，∴()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩，∴165b -<<-.(2)由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-，∵[]1,e x ∈，∴ln1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，令()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-，求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-，当[]1,e x ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥， ∴()t x 在[]1,e 上是增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-.(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠，∵POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ =，∴()()2320t F t t t -++= (*) 是否存在,P Q 等价于方程(*)在0t >且1t ≠是否有解， ①当01t <<时，方程(*)为 ∴()()232320t t t tt -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解；②当1t >时，方程(*)为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解，∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.。

北京市西城区2019-2020学年高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-r r r ，若()a c b -⊥r r r ，则n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】 先求出(1,4)a c n -=-r r ，再由()a c b -⊥r r r ，利用向量数量积等于0，从而求得n .【详解】由题可知(1,4)a c n -=-r r ，因为()a c b -⊥r r r ，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =，故选：C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.2．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）A ．24B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案； 当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.3．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=- 【答案】B【解析】【分析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的，故错误的可能是B 或者是D ，若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件．故错误的是B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．4．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ）A ．()()sin cos βα<f fB ．()()sin cos βα>f fC ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能【答案】B【解析】【分析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．【详解】由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减，根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增，因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-， 所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<， (cos )(sin )f f αβ<．故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．5．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】C【解析】【分析】 根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案. 【详解】由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π=时函数值最大，所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选C.【点睛】 已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min ,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求．6．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌（块）银牌 （块） 铜牌 （块） 奖牌总数 245 11 12 28 2516 22 12 54 2616 22 12 50 2728 16 15 59 2832 17 14 63 2951 21 28 100 30 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.7．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C【解析】【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|5==，得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过列举法可求解，如两角分别为2,63ππ时【详解】 当2,36A B ππ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出； 所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题9．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x +=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】B【解析】【分析】 由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x +=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案.【详解】函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，∵f （x ）为偶函数，取x ＝x+2，可得f （x+2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2.又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ，g （x ）44191221242x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，即函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 10．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ） A ．18-B ．63-C ．18D ．63 【答案】C【解析】【分析】在直角三角形ABC 中，求得12AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，，12AC cos CAB AB ∠==， 若32AD AB =u u u v u u u v ，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（） 223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=． 故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．11．下列不等式正确的是（ ）A ．3sin130sin 40log 4>>o oB ．tan 226ln 0.4tan 48<<o oC ．()cos 20sin 65lg11-<<o oD ．5tan 410sin 80log 2>>o o 【答案】D【解析】【分析】 根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>o o o o o ，利用排除法，即可求解．【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>o o o o o o ，可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log log 22=>>>=>o o o ， 所以5tan 410sin 80log 2>>o o ． 故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年北京四中高考数学阶段性试卷（一）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.角的终边过点，则( )A. B. C. D. 33.已知正数数列满足：，，那么使成立的n的最大值为( )A. 4B. 5C. 24D. 254.若函数是奇函数，当时，，则( )A. 2B.C.D.5.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.下列函数的图像中，既是轴对称图形又是中心对称的是( )A. B. C. D.7.在中，，D是AC的中点，则的取值范围是( )A. B. C. D.8.已知，，点P在圆C：上运动，则面积的最大值是( )A. 25B. 20C. 15D. 109.设，则“是第一象限角”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半即；如果n是奇数，则将它乘3加即，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数首项按照上述规则施行变换后的第8项为注：1可以多次出现，则n的所有不同值的个数为( )A. 4B. 6C. 32D. 12811.命题“，”的否定是______.12.若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为______ .13.已知双曲线W：，则W的实轴长为______；若W的上顶点恰好是抛物线V的焦点，则V的标准方程是______.14.能够说明“设a，b，c是任意实数．若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为__________.15.在平面直角坐标系xOy中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点P的轨迹为给出下面四个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线对称；③点在曲线C上；④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于其中所有正确结论的序号是__________.16.已知满足______，且，，求的值及的面积．从这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．条件①；条件②；条件③17.在某批次的某种灯泡中，随机地抽取100个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命天频数频率218a35b25合计1001根据频率分布表中的数据，写出a，b的值．某人从灯泡样品中随机地购买了2个，求2个灯泡中恰有一个是优等品的概率．某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，F 是PB中点，E为BC上一点．求证：平面PBC；当BE为何值时，二面角为；求三棱锥的体积．19.已知a为实数，函数当时，求曲线在点处的切线的方程；当时，求函数的极小值点；当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．20.设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，过点且斜率为k的直线l与椭圆相交于C，D两点．求椭圆的方程；是否存在实数k，使直线AC平行于直线BD？证明你的结论．21.对于项数为的有穷正整数数列，记…，…，，即为，，…中的最大值，称数列为数列的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，若数列的“创新数列”为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列；设数列为数列的“创新数列”，满足…，，求证：…，；设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】化简集合，从而判断A、B的有关系．本题考查了集合的化简与集合关系的判断与应用，属于基础题．【解答】解：，，故选：2.【答案】B【解析】解：因为角的终边过点，所以，则故选：由题意利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：．，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，故，由得，故使成立的n的最大值为24，故选：由题意可判断数列是以1为首项，1为公差的等差数列，从而求得．本题考查了数列的性质的判断与应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：函数是奇函数，当时，，则，故选：由奇函数的定义和对数的运算性质，可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意可知，，复数对应的点位于第二象限．故选通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义．6.【答案】A【解析】解：为奇函数，其图像关于原点对称，又图像关于直线对称，可得A选项符合题意；为偶函数，其图像关于y轴对称，不关于某点对称，可得选项B不符合题意；为奇函数，其图像关于原点对称，不关于某条直线对称，可得选项C不符合题意；为奇函数，其图像关于原点对称，不关于某条直线对称，可得选项D不符合题意．故选：分别判断各个函数的奇偶性和对称性，可得结论．本题考查函数的奇偶性和对称性，考查推理能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：，设，所以故选：利用已知条件表示的表达式，然后求解范围即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：根据题意，，，则，直线AB的方程为，即，圆C：，其圆心为，半径，圆心到直线AB：的距离，则圆周上的点到直线AB距离的最大值为，则面积的最大值，故选：根据题意，求出直线AB的方程以及的值，由直线与圆的位置关系分析圆周上的点到直线AB距离的最大值，结合三角形面积公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：是第一象限角，根据正弦和余弦线知，，是充分条件，由““，也可推出是第一象限角，是必要条件，故选：根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件的定义以及三角函数的性质，是一道基础题．10.【答案】B【解析】解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16，变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128共6个，故选：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n的所有可能的取值．本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力．11.【答案】，【解析】【分析】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是：，，故答案为：，12.【答案】【解析】解：由二项式的展开式中所有二项式系数的和是32，得，即，，由取，得展开式中的系数为故答案为：由已知可得n的值，写出二项展开式的通项，由x的指数为3求得r值，则答案可求．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．13.【答案】【解析】解：因为双曲线W：，故实半轴长为3，故实轴长为6，而上顶点坐标为，故V的标准方程为：，故答案为：6，根据标准方程可求实轴长及上顶点，从而可求抛物线的方程．本题考查了双曲线的实轴及抛物线的方程，属于易做题14.【答案】，，答案不唯一【解析】【分析】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．直接举例即可，本题答案不唯一.【解答】解：设a，b，c是任意实数．若，则”是假命题，可设a，b，c的值依次，，，满足，但不满足，故答案为：，，答案不唯一15.【答案】②③④【解析】【分析】本题考查轨迹方程，考查曲线的对称性，由已知求出轨迹方程，然后逐一分析，属于中档题．根据动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，可得曲线方程，然后逐项分析即可，即可得到结论．【解答】解：动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，，，若在曲线上，关于原点的对称点，不满足方程，故曲线C不关于原点对称，①错;若在曲线上，关于直线的对称点，满足方程，故曲线C关于直线对称，②对；将点代入方程得：，满足方程，故点在曲线C上，③对，当时，，当时，；当时，，即，，函数此部分图象如图所示：在第一象限内，曲线C与x轴非负半轴、y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于原点、和三点围成的三角形的面积，④正确；所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．16.【答案】解：选择条件①：因为，，所以，由正弦定理知，，所以，解得，所以的面积选择条件②：因为，所以，而，无法构成，不符合题意；选择条件③：由正弦定理知，，所以，解得，，因为，所以，所以，所以的面积【解析】条件①：由，结合两角和的正弦公式展开求得的值，再利用正弦定理求得，根据，得解；条件②：根据大边对大角，可知该不存在；条件③：利用正弦定理，求得和a的值，再由，结合两角和的正弦公式展开求得的值，根据，得解．本题考查解三角形，熟练掌握三角形的面积公式，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：由频率分布表的数据可知：，由表中数据可知，从灯泡样品中随机抽取一个优等品的概率为，故2个灯泡中恰有1个是优等品的概率是的所有取值为0，1，2，3，由题意，够买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，从这次批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，，，，所以随机变量X的分布列为：X0123P【解析】由频率分布表的数据能求出a，由表中数据可知，从灯泡样品中随机抽取一个优等品的概率为，由此能出2个灯泡中恰有1个是优等品的概率．的所有取值为0，1，2，3，由题意，够买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，从这次批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，由此能出随机变量X的分布列和期望．本题考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18.【答案】证明：因为平面ABCD，平面所以，因为ABCD是矩形，所以，因为，所以平面因为平面PAB，所以因为，F是PB中点，所以，因为，所以平面解：因为平面ABCD，所以又，所以以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则，，，，所以，设平面PDE的法向量为，则，故可设，平面PCE的法向量为，由于二面角的大小为，所以，解得【解析】通过证明，来证得平面建立空间直角坐标系，设，以二面角的余弦值列方程，从而求得a，也即BE的值．根据椎体体积计算方法，计算出三棱锥的体积．本题主要考查线面垂直的证明，锥体体积的计算，二面角的相关计算等知识，属于中等题．19.【答案】解：当时，，设曲线在点处的切线的方程为，因为，所以，又，所以切线方程为，即当时，，故，令，故，与在区间上的情况如下：x- 0+减极小值增所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数有且仅有一个极小值点函数的零点个数为2，理由如下：①当时，由于，所以，故函数在区间上单调递减，，，所以函数在区间上有且仅有一个零点；②当时，，故令，得，，故，因此恒有，所以函数在区间上单调递增．又，，所以函数在区间上有且仅有一个零点．综上，函数的零点个数为【解析】利用切点和斜率求得切线方程．利用导数研究函数的单调区间，由此求得的极小值点．对的单调区间进行判断，结合零点存在性定理判断出的零点的个数．本题考查了利用导数求曲线切线方程的问题以及利用导数研究函数的极值，零点问题，属于中档题．20.【答案】解：由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为：；由可得，，假设存在实数k满足，由题意可得直线l的方程为：，设，，联立，整理可得：，可得①，②，则，，因为，所以，所以可得，代入①可得，，再将，代入②中可得，整理可得，显然不成立，所以假设不成立，即不存在实数k，使直线AC平行于直线【解析】由椭圆的离心率及离心率的定义可得a，b的关系，再由短轴长可得b的值，进而求出a的值，求出椭圆的方程；假设存在实数k，使直线AC平行于直线BD，由可得A，B的坐标，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线AC，BD的斜率的表达式，令两个斜率相等可得C，D的横坐标的关系，代入两根之和及两根之积，方程无解，可得不存在实数k，使直线AC平行于直线本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，及两条直线平行的性质的应用，属于中档题．21.【答案】解：根据题意，若数列的“创新数列”为1，2，3，4，4，所有可能的数列为1，2，3，4，1；1，2，3，4，2；1，2，3，4，3；1，2，3，4，4；由题意知数列中又，所以，所以，即…，；当时，由得，又，所以，不满足题意；当时，由题意知数列中，又当时此时，，而，所以等式成立；当时此时，，而，所以等式成立；当，得，此时数列为1，2，当时，…，而…!，所以不存在满足题意的数列综上数列依次为1，2，【解析】根据题意，由“创新数列”的定义，分析可得答案；根据题意，由可得，进而可得，变形即可得答案；根据题意，分，，三种情况讨论，求出数列，综合三种情况即可得答案．本题考查数列的递推公式的应用，属于新定义的题型，关键是理解“创新数列”的定义．。

北京第四中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若,,,则b等于( )A.1B.C.D.2参考答案：A2. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A．B．C．D．参考答案：B3. 已知复数z=1﹣i，则=（）A．﹣B．C．﹣ i D． i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1﹣i，则===．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．4. 设二次函数，如果，则等于（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B． C． D．参考答案：C由题设条件可知△ABC 为等腰三角形，只要∠AF 2B为钝角即可，所以有，即，所以，解得，选C.6. 若复数为纯虚数，则实数m=( )A．2 B．﹣2 C．D．参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式，利用复数是纯虚数求解m即可．解答：解：复数==，复数为纯虚数，可得2m﹣1=0，解得m=．故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．7. 函数且的图像大致是（）A. B. C. D.参考答案：A函数且是偶函数，排除;当时，，可得，令，作出与图象如图:可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点。

故答案选8. 已知集合，，则集合B中元素个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案：C由题意，得，，则集合中元素个数为3；故选C.9. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：D10. 已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣2，﹣1] D．[﹣1，2]参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点B时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点C时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，解得，即B（2，0），此时z max=2．由，解得，即C（0，1），此时z min=0﹣1=﹣1．∴﹣1≤z≤2，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，，成等比数列，则函数的图像与轴交点的个数为_______．参考答案：12. 已知空间直角坐标系o﹣xyz中的点A的坐标为（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件是．参考答案：x+y+z=3【考点】空间中的点的坐标；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】通过平面α过点A且与直线OA垂直，利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件；【解答】解：因为OA⊥α，所以OA⊥AP，P（x，y，z）．=（1，1，1），由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．点P的坐标满足的条件是：x+y+z=3．故答案为：x+y+z=3．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力，转化思想，空间两点距离公式的应用．13. 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的取值范围是________．参考答案：14. 已知，则的最大值为参考答案：3815. 函数在点（）处的切线方程是_______________.参考答案：略16. 抛物线的准线方程为_____________参考答案：x=－117. 已知函数(a＜b)在R上单调递增，则的最小值为______. 参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

北京四中2020届高三第二学期统练数学试卷一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.tan570°=（ ）A.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】tan 570°=tan （360°+210°）=tan 210°=tan （180°+30°）=tan 30° 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 2.已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A.21 B. 42C.63 D. 84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.3.下列选项中，说法正确的是（ ）A. “20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，” B. 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角 C. 若22am bm ≤，则a b ≤ D. “()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件【答案】D【解析】 【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角；对于C 当m =0时，满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C 当m =0时,满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立，因此不正确； 选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确.故选：D .【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.4.已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】∵a >0，b >0，a +b =1，∴211111152a b a bab a b αβ+=+++=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时取“＝”号． 答案：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.5.某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A. 8B. 83C. 4D.43【答案】D【解析】【分析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA⊥底面ABCD的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为P A=2，∴四棱锥的体积为21242323 V=⋅⋅=.故选：D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.6.函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r （ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果． 【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z ∈k =0时解得x =2， 令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===u u u r u u u r u u u r，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=u u u r u u u r u u u r.故选：A .【点睛】本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.7.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A.15B.625C.825D.25【答案】A 【解析】 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.8.已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积为3，则p=（ ）． A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】试题分析：抛物线22,(0)y px p =>的准线为x =-ｐ２，双曲线的离心率为2，则222221=4c b e a a==+，3b a =3y x =，求出交点3(,)22p A -，3(,)22p B --，132AOB S ∆=⨯224p p ==2p =；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B Ð的范围是（ ）A.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由已知可得()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.10.单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A. 1B.C.D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA ， 即过6段后又回到起点， 可以看作以6为周期， 由202063364÷=L，白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB →BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D →DA ， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，所以它们此时的距离为2.故选B .【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．【答案】3- 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值. 【详解】根据茎叶图中的数据，得： 甲班5名同学成绩的平均数为1(7277808690)815x ⨯+++++=，解得0x =；又乙班5名同学的中位数为73，则3y =；033x y -=-=-.故答案为：3-.【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.12.在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为________．（用数值作答） 【答案】-40 【解析】 【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项()51031521rr rr r T C x --+=-，再令10-3r =1，得r =3即可得出x 项的系数【详解】5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为()()5251031551221rrr rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭， r =0，1，2，3，4，5， 令1031,3r r -==，所以5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为()3325=4210C ⋅--.故答案为：-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题. 13.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14.已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____． 【答案】（-4，2） 【解析】试题分析：因为21442(2)()4+428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+≥+⨯=当且仅当2x y =时取等号，所以22842m m m +<⇒-<<考点：基本不等式求最值 15.已知函数()()2cos10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><<⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()122015f f f ++⋅⋅⋅+=【答案】【解析】，由题意，得,解得，则的周期为4，且，所以.考点：三角函数的图像与性质.三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示。

2019届北京市第四中学高三调研（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可．详解：∵复数z====﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：D ．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到正方形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：其中正三角形ABC 的面积S 三角形=×16=4，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示， 则S 阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是： P=1﹣=1﹣π，故选：A ．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积. 4．阅读如图所示的程序框图，若输入a 的值为178，则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行10213s k =+=⨯，；第二次运行11031335s k =++=⨯⨯，；…∴第n次运行()()111013352121s n n =+++⋯+⨯⨯-+111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭，当输入817a =时，由n a >得8n >，程序运行了9次，输出的k 值为10． 【考点】程序框图.5．已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示， A ， B ， C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 因为平面DEHG ⊥平面，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A ．6．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A ．60里 B ．48里C ．36里D ．24里【答案】D【解析】每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得.【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列，所以，故（里），所以（里），选C.【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.7．ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知cos b a C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2a =， 3c =C =（ ） A ．34π B ．3π C ．6π D ．4π【答案】D 【解析】cos ,b a C C ⎛⎫=∴ ⎪ ⎪⎝⎭由正弦定理可得sin sin cos sin B A C A C =+，可得()s i nc o s3si nAC A +==，cos sin sin A C A C ∴=，由sin 0C ≠，可得sin A A =，tan A ∴=，由A 为三角形内角，可得,2,3A a c π===， ∴由正弦定理可得sin sin c A C a ⋅==∴由c a <，可得4C π=，故选D.8．已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ） A ．或B ．或C ．D ．【答案】B 【解析】∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.故选B ．二、填空题9．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________． 【答案】1【解析】2yz x =+表示(),x y 到()2,0-的斜率， 由可行域可知，过点()0,2或()3,5时，斜率最大，即max 1z =。

2025届北京市西城区北京市第四中学高考压轴卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，27cos 7C -=，则ABC 的面积为（ ） A ．32B ．3C ．7D ．722．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π163B ．4π33C 16343π+D ．43π1633．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．354．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 5．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．34B ．43C ．-43D ．-346．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)7．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -8．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–209．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%10．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．B ．CD ．25-11．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]12．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市第四中学2021届高三数学调研卷〔二〕文〔含解析〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.全集，，，那么等于〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，，.应选：C【点睛】此题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，那么复数z对应的点为，位于第四象限.此题选择D选项.【点睛】此题主要考查复数的运算法那么，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.曲线，，那么下面结论正确的选项是〔〕A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A, 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项A是错误的；对于选项B, 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线,所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项C是正确的；对于选项D, 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以选项D是错误的.应选：【点睛】此题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于根底题型．4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间〔单位：min〕绘制了如图茎叶图：那么以下结论中表述不正确的选项是( )A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】此题考查茎叶图，考查根本分析求解能力.属基此题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去局部后，余下局部的三视图如下列图，那么截去局部与剩余局部体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两局部，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去局部与剩余局部体积的比为：．应选：A．【点睛】此题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.假设是两条不同的直线，是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔〕A. 假设，那么；B. 假设，那么；C. 假设，那么；D. 假设，那么【答案】D【解析】【分析】在中，那么或；在中，那么与相交、平行或；在中，那么与相交或平行；由线面平行的性质定理得．【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，假设，，那么或，故错误；在中，假设，，那么与相交、平行或，故错误；在中，假设，，，那么与相交或平行，故错误；在中，假设，，，那么由线面平行的性质定理得，故正确．应选：【点睛】此题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查空间想象能力，是中档题．7.?九章算术?中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？〞其大意：“直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？〞现假设向此三角形内随意投一粒豆子，那么豆子落在其内切圆外的概率是〔〕A. ；B. ；C. ；D.【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，那么，解得．内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，应选：【点睛】此题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.假设函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，那么称为“柯西函数〞，那么以下函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数〞的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数〞定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数〞定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B 三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像假设f(x)与直线y=kx有两个交点，那么必有k≥2，此时，，所以〔x＞0〕，此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又〔e,1〕不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.应选：B【点睛】此题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每题5分．9.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】此题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。

2021-2022学年北京第四中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a，b∈R，则“a＞0，b＞0”是“a2+b2≥2ab的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：由a2+b2≥2ab得：（a﹣b）2≥0，?a，b是R恒成立，推不出a＞0，b＞0，不是必要条件，由“a＞0，b＞0”能推出“a2+b2≥2ab，是充分条件，故“a＞0，b＞0”是“a2+b2≥2ab的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．2. 双曲线C：的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．参考答案：A由题意得到则双曲线的渐近线方程为渐近线与圆相切，则双曲线方程为：.故答案为：A.3.参考答案：C易知：，所以，所以。

4. 在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A B 且C 且D 且参考答案：【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】D解析：解：设，，，，则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=×2×2＝2．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=×2×＝在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S3=×2×＝，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．【思路点拨】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．5. 等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，，则的值等于（）A. 66B. 90C. 117D. 127参考答案：C【分析】由题意可得成等差数列，代入数据可得．【详解】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列，故，代入数据可得，解得故选：C【点睛】本题考查等差数列前n项和的性质，属于基础题．6. 双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B7. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．24参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．8. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.参考答案：D对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.7.实数、满足，且的最大值不小于1，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．参考答案：A10. 若点P是不等式组表示的平面区域内的点，则点P到直线的距离的最大值与最小值的和为（）A．B． C. D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝-------参考答案：512. 等差数列中，前项和为,，则的值为________.参考答案：2014略13. 关于函数，下列命题：①、若存在，有时，成立；②、在区间上是单调递增；③、函数的图像关于点成中心对称图像；④、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号____________.参考答案：①、③略14. 过抛物线的焦点斜率为K的直线交抛物线于A、B两点，若直线AB的倾斜角为锐角，，则K= 。

2022届北京市第四中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，{}2,1B =--，那么A B ⋃=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}2,1,0-- C ．{}2,1-- D ．{}1-【答案】B【分析】求解一元二次不等式从而求解集合A ，再根据并集的定义求解A B . 【详解】由()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，得{}1,0A =-， 结合{}2,1B =--，可知{}2,1,0A B =--. 故选：B.2．已知i 为虚数单位，则复数12i13iz +=-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数的除法法则化简复数z ，即可得到对应的坐标. 【详解】()()()()12i 13i 12i 55i 11i 13i 13i 13i 1022z +++-+====-+--+ 则复数z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限．故选：B ．3．“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 【解析】1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．4．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，.AB BC ⊥则下列两条直线中，不互相垂直的是（ ）A ．1AA 和BCB ．1AB 和1BC C ．1A B 和BCD ．AB 和1B C【答案】B【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解. 【详解】对于A ，因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥； 对于B ，1AB 与1BC 不一定垂直； 对于C ，因为1AA BC ⊥，AB BC ⊥，且1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ,所以BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ,所以1AB BC ⊥；对于D ，因为1AA ⊥平面ABC ，11//CC AA ，所以1CC ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ,所以1CC AB ⊥，又AB BC ⊥，且1BC CC C =，1,BC CC ⊂平面11BCC B ,所以AB ⊥平面11BCC B ， 又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B ⊥C . 故选：B ．5．设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且1=2AE AB ，2=3BF BC ，如果=+EF mAB nAC （m n ，为实数），那么m n +的值为 A ．12-B ．0C ．12D ．1【答案】C【详解】 由题意得，如图所示1123EF EA AC CF AB AC BC =++=-+-1112()2363AB AC BA AC AB AC =-+-+=-+, 所以12,63m n =-=，所以12m n +=，故选C.6．已知点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．2【答案】C【解析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解：点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 22101211-+=+故选：C.【点睛】点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B+++.7．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为4π，则（ ）A ．函数f （x ）的图象关于原点对称B ．函数f （x ）的图象关于直线3x π=对称C ．函数f （x ）图象上的所有点向右平移3π个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数f （x ）在区间（0，π）上单调递增 【答案】C【详解】分析：函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，求出ω，可得()f x 的解析式，对各选项进行判断即可.详解：函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，24ππω∴=，12ω∴=， ()1n 26si f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由对称中心横坐标方程：1,26+=∈x k k Z ππ，可得23x k ππ=-，∴A 不正确；由对称轴方程：1,262x k k Z πππ+=+∈，可得22,3x k k Z ππ=+∈， ∴B 不正确；函数f （x ）图象上的所有点向右平移3π个单位，可得：1sin sin 2236x x ππ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象关于原点对称， ∴C 正确；令122,2262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 可得：4244,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数f （x ）在区间（0，π）上不是单调递增， ∴D 不正确；故选C.点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．8．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．若直线AF 的斜率为PF =A ．B ．6C ．8D ．16【答案】C【分析】写出直线AF 的方程，求得A 点坐标，即可求得P 点坐标，利用抛物线定义即可求得答案.【详解】∵抛物线方程为28y x = ， ∴焦点F (2,0)，准线l 方程为2x =- ，∵直线AF 的斜率为直线AF 的方程为2)y x =- ，由)22x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,可得A 点坐标为(2,A -， ∵P A ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为代入抛物线方程28y x =,得P 点坐标为(6,P ， ∴()628PF PA ==--= ，故选:C9．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,4 C ．()()0,11,+∞ D ．()()0,11,4⋃【答案】D【分析】()f x 在40x -≤<关于y 轴对称记为()g x ，转化为()g x 与()f x 只有一个交点，即可求解.【详解】[4,0)x ∈-时，()f x 关于y 轴对称记为()|3|,(0,4]g x x x =-+∈， 依题意()g x 与()f x 只有一个交点，当01a <<，()g x 与()f x 只有一交点，满足题意。