高二数学二项式展开式的性质2

二项式定理与性质•二项式定理：，它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项.•二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。

•二项式定理的特别提醒：①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。

③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。

二项式定理常见的利用：方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。

职高高二数学二项式知识点二项式是数学中非常重要的一个概念，它在代数、统计学以及概率论等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍职高高二数学中的二项式知识点，包括二项式的定义、展开式、性质以及应用。

一、二项式的定义在数学中，二项式是指形如(x + y)^n的多项式，其中n是一个非负整数，而x、y为常量。

二项式由两项组成，第一项为x^n，第二项为y^n。

二、二项式的展开式1. 二项式定理二项式定理是二项式展开的基本公式，它表示(x + y)^n的展开式。

(x + y)^n = C(n, 0) * x^n * y^0 + C(n, 1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n, n-1) * x^1 * y^(n-1) + C(n, n) * x^0 * y^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合方式的数量。

C(n, k)可以通过下面的公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)2. 二项式系数展开式中的C(n, k)称为二项式系数。

二项式系数具有一些特殊的性质，如对称性和递推关系。

- 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)- 递推关系：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)3. 二项式的特殊情况当n为非负整数时，二项式展开式有一些特殊情况：- 当n为非负整数时，展开式中有n+1项；- 当n为偶数时，展开式中的奇数次幂的系数为0；- 当n为奇数时，展开式中的偶数次幂的系数为0。

三、二项式的性质1. 二项式的系数和次数关系对于二项式(x + y)^n，它的系数和次数之间存在一定的关系：- 系数和：C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n- 展开式的项数：展开式(x + y)^n共有n+1项2. 二项式系数的性质二项式系数具有一些重要的性质：- 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)- 杨辉三角形：二项式系数可以通过杨辉三角形来排列，每个系数等于它上方两个系数之和。

高二数学二项式定理【本讲主要内容】二项式定理二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、二项式系数和【知识掌握】 【知识点精析】1. 二项式定理及其特例： （1）（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++2. 二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3.杨辉三角：()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。

4. 二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C 。

rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（证明：m n m n n C C -=）。

直线2nr =是图象的对称轴。

（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值。

（3）二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++证明：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++（4）在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

高二数学选修2-3二项式知识点二项式是数学中一个重要的概念，广泛应用于代数、概率等领域。

在高二数学选修2-3中，学生将会学习有关二项式的重要知识点。

本文将介绍二项式的定义、展开、性质以及应用等内容。

1. 二项式的定义二项式是由两个代数项相加（或相减）而成的表达式，一般形式为：（a+b）^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。

其中，a和b被称为二项式的项，n被称为二项式的指数。

2. 二项式的展开二项式展开是指将一个二项式表达式展开为多项式的过程。

根据二项式定理，当n为非负整数时，二项式（a+b）^n可以展开为多项式的形式。

二项式定理的表达式为：（a+b）^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^(n-1) + C(n,n)a^0 b^n其中，C(n,r)表示从n个元素中取r个元素的组合数，计算公式为：C(n,r) = n! / [(n-r)!r!]3. 二项式的性质- 二项式展开后的多项式的项数为n+1，其中n为二项式的指数。

- 二项式展开后的多项式的各项系数由组合数C(n,r)决定。

- 二项式展开后的多项式中的各项次数之和为n。

4. 二项式的应用二项式在数学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：- 概率计算：二项式系数可以用于计算二项分布的概率。

- 代数运算：二项式的展开可以应用于多项式的乘法运算。

- 公式推导：二项式展开后的多项式可以推导出各种数学公式，如二次方程的求根公式等。

- 组合数学：二项式系数在组合数学中有着重要的地位，用于解决组合问题。

总结：高二数学选修2-3中的二项式知识点包括了二项式的定义、展开、性质以及应用等内容。

掌握了这些知识，可以为学生在数学或其他相关领域的学习中提供帮助，并广泛应用于实际问题的解决中。

年 级 高二 学科 数学内容标题 二项式定理（理科） 编稿老师胡居化一、教学目标1. 理解二项式定理的内容及其通项公式的概念，掌握二项式定理的应用.2. 理解二项式系数与展开式中某项系数的区别，掌握二项式系数的性质及其简单的应用.3. 理解方程的数学思想、转化的数学思想及赋值法等数学思想方法的应用.二、知识要点分析1.二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)(这个公式表示的规律叫二项式定理.（1）二项式nb a )(+的展开式的特点：（i ）展开式共有n+1项；（ii ）各项的次数之和等于n ；（iii ）a 的次数由n 降到0，b 的次数由0升到n .（2）二项展开式的系数：+∈∈≤≤N n N r n r C r n ,,0(,）（3）二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1，r=0，1，2n Λ，表示二项展开式的第（r+1）项.注：（i ）二项式n b a )(+的展开式的第（r+1）项r rn r n b a C -与二项展开式（b+a ）n 的第（r+1）项r rn rn a bC -是有区别的，应用时a ，b 不能随便交换.（ii ）二项展开式的系数rn C 与展开式中的对应项的系数不一定相等，二项式系数rn C 恒为正.而某项的系数可以是任意的实数.（iii ）二项式nb a )(-的展开式的通项公式是r r n r n r r b a C T -+-=)1(1，各项的二项式系数是r n C ，各项的系数是rn r C )1(-2. 二项式定理的应用：（1）进行近似计算；（2）证明整除或求余数问题；（3）证明有关的不等式.3. 二项式系数的性质：（1）rn r n r n C C C +=-+11（组合性质（2）的体现）.（2）mn nm n C C -=（与首末两端等距离的两项的二项式系数相等），即对称性. （3）增减性：当21+<n k 时，二项式系数kn C 是逐渐增大的；当21+>n k 时，二项式系数是逐渐减小的.（4）最大二项式系数：当n 是偶数时，n+1是奇数，展开式共有（n+1）项，故展开式中间一项的二项式系数最大，即第（)12+n项的二项式系数最大.最大的二项式系数是2nn C ；当n 为奇数时，（n+1）是偶数，共有（n+1）项，故中间有两项，即第）项项、（121n 21n +++的二项式系数最大，这两项的二项式的系数相等且最大，为21121+-+=n nn nCC. （5）二项式的系数和是nn n n n n n C C C C 22210=++++Λ，即，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即131202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ.二项展开式的各项系数和：一般的，设f （x ）=nn x a x a x a a ++++Λ2210的各项的系数和是f （1），其中x 的奇次项系数和等于)]1(f )1(f [21--；x 的偶次项系数和等于)]1()1([21-+f f .【典型例题】知识点一：二项式定理及其简单应用.例1. 123)1(xx -展开式中的常数项是（ ）A . －1320B . 1320C . －220D . 220【题意分析】本题是利用二项式定理求二项展开式中的某项问题，即通项公式的应用. 【思路分析】可设第（r+1）项是常数项，利用通项公式及x 的次数是零确定r 的值，即可确定常数项.【解题步骤】设第（r+1）项是常数项，则31212312121)1()1()1(rr rr r rr r r xC xx C T ---+-=-=9r 03rr 12x =⇒=--∴的次数是零，Θ，故第10项是常数项. 220)1(912910-=-=C T ，选C【解题后的思考】关于利用二项式定理求二项展开式中的某项或某项的系数问题，是二项展开式的通项公式的应用，一般设第（r+1）项是要求的项.根据要求确定r 的值，即可确定要求的项.易错点：把通项公式中的第（r+1）项误认为是第r 项.例2. 利用二项式定理解决下列问题 求：（1）（x 3－22x）5的展开式中x 5的系数； （2）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数.【题意分析】这两道试题都是二项展开式中的通项公式rr n r n r b a C T -+=1的应用.【思路分析】（1）假设第（r+1）项是展开式中含5x 的项，根据x 的次数是5确定r 的值.（2）假设第（r+1）项是有理项，根据通项公式中的各个因数的次数都是整数确定r 的取值个数，从而确定有理项的个数.【解题步骤】（1）假设第（r+1）项是展开式中含5x 的项，则T r ＋1＝r r r rrrx C xx C 51552535)2()2()(---=-， 依题意15－5r ＝5，解得r ＝2， 故（－2）225C ＝40为所求x 5的系数. （2）假设第（r+1）项是展开式中的有理项， 则T r ＋1＝r r r r rr r x Cx C---⋅⋅=1003250100310010023)2()3(，要使x 的系数为有理数，指数50－2r 与3r都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤1632（k ∈Z ）， ∴x 的系数为有理数的项共有17项..【解题后的思考】求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围.应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分.易错点是：在通项公式中漏掉r)1(-.例3. （1）求证：3724332+-+n n 能被64整除（2）求证：)3,(,12)32(1≥∈+<+-n N n n n 【题意分析】本题是应用二项式定理证明整除问题和证明不等式问题. 【思路分析】（1）将已知含有n 的式子中的323n 进行变形，即2n 23n 2333++⋅=1n )18(3++⋅=，然后用二项式定理展开.（2）21)23(12)32(11+>⇔+<--n n n n ，把11)211()23(--+=n n 用二项式定理展开.【解题步骤】 证明：（1）3724332+-+n n ＝3724)18(31+-+⋅+n n＝3724)8888(311121111101+-++++++++-++++n C C C C C n n n n n n n n n n Λ ＝3402424)88(64111211101+-++++⨯+-+-+-+n C C C C nn n n n n n n Λ ＝34024)1(24)88(6411211101+-+++++⨯-+-+-+n n C C C n n n n n n Λ ＝364)88(6411211101++++⨯-+-+-+n n n n n n C C C Λ故原式可被64整除. （2）21)23(12)32(11+>⇔+<--n n n n Θ21211)21()21(211)21()21(21)211()23(1221111*********+=-+>+++-+=++++=+=----------n n C n C C C C n n n n n n n n n n ΛΛΘ故原不等式成立.【解题后的思考】利用二项式定理证明整除问题时关键是找除数或其倍数的因式，要对已知的式子变形（如1321833++⋅n n ）＋（变形为）利用二项式定理展开含有除数或除数的倍数的式子或数.证明不等式问题也同样要对已知的不等式进行等价变形，目的是为使用二项式定理创造条件，体现了等价转化的数学思想的应用.【小结】本题组主要是二项式定理的通项公式的应用及利用二项式定理证明整除问题或证明不等式.在通项公式的应用过程中，注意它是第（r+1）项而不是第r 项.在证明整除或不等式问题时要对含有n 的式子变形为利用二项式定理提供条件.知识点二：求特定项的系数及二项式系数的性质的简单应用.例1. （2x －5y ）20展开式中各项系数之和是（ ） A . 203-B . 203C . 202D . 202-【题意分析】本题是利用赋值法求二项展开式的各项系数之和的问题.【思路分析】假设各项的系数是20210,,,a a a a Λ，在20)52(y x -中取x=y=1代入可求.【解题步骤】假设各项的系数是20210,,,a a a a Λ，令x=y=1得：202020103)1512(=⨯-⨯=+++a a a Λ，选B【解题后的思考】在求二项展开式的各项系数之和问题常采用赋值法，要体会这种数学方法的应用.易错点是：混淆各项系数与各项二项式系数，误选答案C例2. 已知（nx )21+中第6项的系数与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题意分析】本题首先确定n ，要根据n 的值确定二项式系数最大的项，要注意二项式系数与某项系数的区别.【思路分析】由已知确定n 的值，根据二项式系数的增减性可确定第几项二项式系数最大.对于系数最大的项的确定可以假设第（r+1）项的系数最大是T 0，第r 项的系数是T 1，第（r+2）项的系数是T 2，则T T T T 0201;≤≤，由此确定r 的值.【解题过程】822,)2(,)2(66556616755156=⇒=∴====++n C C x C T T x C T T n n n n ，故二项展开式（8)21x +中共有9项，中间一项第5项的二项式系数最大，所以所求的二项式系数最大的项是4444814511202x x C T T ===+，假设第（r+1）项的系数最大是T 0，第r 项的系数是T 1，第（r+2）项的系数是T 211821181802,2,2++--===r r r r r r C T C T C T ，⎪⎩⎪⎨⎧-------≥-------≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥∴+-++--)2(2)1(2222218818811881188r rr r r r r r r r r r C C C C C C C C 由（1）得：6912)!18()!1(!8)!8(!!82≤⇒-≥⇒+-⨯-≥-⨯⨯r rr r r r r ， 同理由（2）得：5≥r ，故}8,2,1,0{,65Λ∈≤≤r r ，即系数最大的项是第6项、第7项，67561792,1792x T x T ==【解题后的思考】对于求二项式系数最大项的问题可根据二项式系数的性质求解，对求系数最大项的问题通过建立不等式求解，本题的易错点是：混淆二项式系数与某项系数的概念.例3. 设1001002210100)32(x a x a x a a x ++++=-Λ，求下列各式的值. （1）99531a a a a ++++Λ（2）29931210020)()(a a a a a a +++-+++ΛΛ（3）||||||10010a a a +++Λ【题意分析】本题为采用赋值法求值的问题，根据所求的系数和赋予x 不同的值.【思路分析】对于（1）设1001002210)(x a x a x a a x f ++++=Λ，则99531a a a a ++++Λ＝2)1()1(--f f ，对于（2）用平方差公式分解得：29931210020)()(a a a a a a +++-+++ΛΛ＝f （1）f （－1）.（3）对于||||||10010a a a +++Λ等价于100)32(x +的各项系数之和.【解题步骤】（1）设1001002210)(x a x a x a a x f ++++=Λ，则99531a a a a ++++Λ＝2)1()1(--f f ＝2)32()32(100100+--（2）29931210020)()(a a a a a a +++-+++ΛΛ＝))((10099983210100210a a a a a a a a a a a +-++-+-++++ΛΛ＝1)32()32()1()1(100100=+-=-f f（3）令x ＝－1得：10010010)32(||||||)1(+=+++=-a a a f Λ【解题后的思考】像这类求二项展开式各项系数和的问题，或求奇次项系数和、偶次项系数和的问题常采用赋值法解决，要根据不同的系数之和赋予不同的值.【小结】本组三个例题是关于二项展开式的系数的问题，对于二项式的系数问题要利用二项式系数的性质解决，对于求某些特定的项的系数或系数和问题要采用赋值法和方程、不等式的数学思想方法解决.容易产生的错误是：把二项式系数与某项的系数混淆.【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述二项式定理和二项式系数性质的简单应用.在解决问题的过程中体现了方程的数学思想、不等式的数学思想、转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）一、选择题（共3小题，每题5分，计15分）1. )()1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345x x x x xA . 5xB . 1x 5-C . 1x 5+D . 1)1x (5--2. 若n )(b ),Z b ,a (,b a 2)12(,N n n n n n n =∈+=+∈+则A . 一定是奇数B . 一定是偶数C . 与n 的奇偶性相反D . 与n 有相同的奇偶性3. 在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 项的系数是（ ） A . －10 B . 10 C . －5 D . 5二、填空题（共3题，每题5分，计15分）4. 设_______________6C 6C C 6C ,N n 1n n n 23n 2n 1n =++++∈-+Λ 5. 已知5525101)1(x a bx x ax ++++=+Λ，则b=_____________ 6. 若nxx )1(+的展开式的各项系数之和是32，则n=________________三、计算题（30分，每题10分）7. 已知（2x ＋x lg x ）8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值. 8. 求：（1）（x ＋2）10（x 2－1）的展开式中x 10的系数；（2）（x －1）－（x －1）2＋（x －1）3－（x －1）4＋（x －1）5的展开式中x 2的系数.9. 求：（1）321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项； （2）若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 求（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值.【试题答案】一、选择题1. B 解析：原式＝5545235325415505)1()1()1()1()1(C x C x C x C x C x C +-+-+-+-+- －11]1)1[(5555-=-+-=x x C2. A 解析：特值法：取n=1时，,12)12(1+=+此时b=1，是奇数取n=2时，223)12(2+=+，此时b=3，为奇数3. B 解析：设第（r+1）项是含4x 的项，则r r r r rrrr x C xx C T 31055251)1()1()()1(--+-=⋅-=， 令10－3r ＝4知：r=2，故含4x 项的系数是10)1(252=-C二、填空题4.)17(61-n 解析：nn n n n nn C C C C 666)61(2210++++=+ΛΘ )17(61666)666(6171232112321-=++++⇒++++=-∴--nn n nnn n n n n n n n n C C C C C C C C ΛΛ 5. 40，解析：据题意知：b 是展开式中含2x 项的系数，r r r r r r x a C ax C T 551)(==+，r=2 又21015=⇒=a x ax C 故402225==C b .6. 5， 解析：5322=⇒=n n. 三、计算题7. 解：依题意T 5＝4lg 448)()2(x x x C ＝1120，整理得x 4（1＋lg x ）＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1， ∴x ＝1或x ＝101，故所求x 的值是：x ＝1或x ＝101. 8. 解：（1）∵ （x ＋2）10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…∴ （x ＋2）10（x 2－1）的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179 （2）∵ （x －1）－（x －1）2＋（x －1）3－（x －1）4＋（x －1）5＝xx x x x x 65)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=-------∴所求展开式中x 2的系数就是（x －1）6的展开式中x 3的系数36C -＝－20.9. 解：（1）∵ 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，设第（r+1）项是常数项，则r r r r rr r r x C x x C T --+-=-=36661|)(|)1()||1()||()1(，令r=3，∴ 所求展开式中的常数项是－36C ＝－20.（2）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝（32+）4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝4)23(-，由此可得（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2＝（a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4）（ a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4） ＝[)23)(23(-+]4＝1.。

高二下数学知识点二项式高二下数学知识点：二项式在高二下学期的数学学习中，二项式是一个重要的知识点。

二项式的概念是数学中的基础，掌握了二项式的性质和运算法则，可以帮助我们解决各种与二项式相关的问题。

本文将详细介绍二项式的定义、展开和理解以及与其相关的一些常用公式和应用。

一、二项式的定义在数学中，二项式是指形如(a + b)^n 的表达式，其中 a 和 b 是实数或者变量，n 是一个非负整数。

这个表达式可以通过二项式定理展开成一个多项式。

二、二项式的展开利用二项式定理，我们可以将二项式展开为多项式。

二项式定理的一般形式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1)* a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示在 n 个元素中选取 k 个元素的组合数，也称为二项式系数。

三、二项式的性质和运算法则1. 二项式展开后，系数之和等于 2^n，即 C(n,0) + C(n,1) +C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。

2. 二项式展开后，每一项的次数之和等于 n，即 n = 0 * C(n,0) + 1 * C(n,1) + 2 * C(n,2) + ... + n * C(n,n)。

3. 二项式展开后，a 的次数从 n 递减至 0，b 的次数从 0 递增至n。

4. 二项式的系数对称，即 C(n,k) = C(n,n-k)。

5. 二项式展开后的每一项都是一个数列，相邻项的系数之比等于 a:b，即 C(n,k)/C(n,k+1) = a:b。

四、与二项式相关的常用公式和应用1. 二项式系数的性质：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。

2. 杨辉三角形：杨辉三角形中的数值就是二项式系数，利用杨辉三角形可以快速求解二项式系数。